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專題2.1 直線的傾斜角與斜率-重難點題型精講
1．直線的傾斜角
(1)傾斜角的定義
①當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
②當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°.
(2)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.
2．直線的斜率
(1)直線的斜率
把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率與傾斜角的對應關系
圖示
傾斜角(范圍) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范圍) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)過兩點的直線的斜率公式
過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.
3．兩條直線(不重合)平行的判定
類型 斜率存在 斜率不存在
前提條件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
對應關系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 兩直線的斜率都不存在
圖示
4．兩條直線垂直的判定
圖示
對應關系 l1⊥l2(兩直線的斜率都存在) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率為0 l1⊥l2
【題型1 直線的傾斜角】
【方法點撥】
直線傾斜角的概念和范圍：
(1)求直線的傾斜角主要根據定義來求，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討
論．
(2)注意傾斜角的范圍．
【例1】（2022·江蘇·鹽城市高二階段練習）直線的傾斜角為（ ）
A．30° B．45° C．120° D．150°
【解題思路】求得直線的斜率，結合斜率與傾斜角的關系，即可求解.
【解答過程】由題意，直線可化為，可得斜率，
設直線的傾斜角為，則，
因為，所以．
故選：A．
【變式1-1】（2022·甘肅臨夏·高二期末（文））直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據直線斜率求傾斜角即可.
【解答過程】直線中，斜率，而斜率，，
又，.
故選：C.
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）過，兩點的直線的傾斜角是（ ）
A．45 B．60° C．120° D．135°
【解題思路】求出斜率后，由斜率與傾斜角的關系可得傾斜角．
【解答過程】由已知直線的斜率為，，
所以傾斜角．
故選：D.
【變式1-3】（2021·安徽·高二階段練習）直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出直線的斜率，結合傾斜角的取值范圍可得結果.
【解答過程】設直線的傾斜角為，則，因為，故.
故選：D.
【題型2 直線的斜率】
【方法點撥】
求直線的斜率：
(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”，當直線與x軸垂直時，斜率是不存在的．
(2)斜率公式與兩點P1，P2的先后順序無關．
【例2】（2022·北京十五中高二期中）如圖，直線的斜率分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】直接由斜率的定義判斷大小即可.
【解答過程】由斜率的定義知，.
故選：D.
【變式2-1】（2022·安徽省亳州市高二期末）將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意知直線的斜率為，設其傾斜角為，將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率為，化簡求值即可得到答案.
【解答過程】由知斜率為，設其傾斜角為，則，
將直線繞著原點逆時針旋轉，
則
故新直線的斜率是.
故選：B.
【變式2-2】（2021·廣東·深圳高二階段練習）直線的斜率是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用直線的斜截式方程可求得直線的斜率.
【解答過程】直線的斜率為.
故選：D.
【變式2-3】（2021·全國·高二專題練習）已知在直角坐標系中，等邊△ABC中A與原點重合，若AB的斜率為，則BC的斜率可能為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先尋求AB，BC傾斜角之間的關系，然后結合兩角和的正切公式即可求解.
【解答過程】設AB的傾斜角α，BC的傾斜角β，
則或，tanα，
當時，tanβ，
當時，tanβ=.
故選：C.
【題型3 傾斜角和斜率的應用】
【方法點撥】
傾斜角和斜率的應用
(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯系．
(2)涉及直線與線段有交點問題，常根據數形結合思想，利用斜率公式求解．
【例3】（2022·全國·高三專題練習）設點，，直線過點且與線段AB相交，則直線的斜率k的取值范圍是（　　）
A．或 B．
C． D．以上都不對
【解題思路】先畫出線段AB，之后連接PA，PB求得PA，PB的斜率，通過觀察圖像找到直線l斜率的取值范圍
【解答過程】如圖所示，直線PB，PA的斜率分別為，
結合圖形可知或
故選：A.
【變式3-1】（2022·貴州·遵義市高二期中（理））直線l的傾斜角等于直線傾斜角的2倍，則直線l的斜率是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求出直線傾斜角，即可求出直線l的傾斜角和斜率.
【解答過程】直線的斜率，則其傾斜角為30°，故直線l的傾斜角為60°，
所以l的斜率為.
故選：B.
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）設直線的斜率為，且，求直線的傾斜角的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由，得到，結合正切函數的性質，即可求解．
【解答過程】由題意，直線的傾斜角為，則，
因為，即，
結合正切函數的性質，可得．
故選：D．
【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習）已知直線，，若直線l過且與直線m n在第一象限圍成一個等腰銳角三角形，則直線l的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
【解題思路】根據題意，設直線的斜率為，分析直線、的交點為，設，而點在直線上，求出的值，分析可得，故必為頂點，由此可得，必有，解可得的值，即可得答案．
【解答過程】解：根據題意，設直線的斜率為，
直線，，兩直線相交于點，設，
點在直線上，直線與直線相交于點，
為等腰銳角三角形，
則，則，
故必為頂點，必有
則有，
必有，解可得：或，
則，
故選：．
【題型4 兩條直線平行的判定】
【方法點撥】
判斷兩條不重合的直線是否平行的方法
【例4】（2022·江蘇·高二課時練習）直線和直線平行，則直線和直線的位置關系是（ ）
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
【解題思路】利用兩直線平行的等價條件即可求解.
【解答過程】因為直線和直線平行，
所以，
故直線為，與直線平行
故選：B.
【變式4-1】（2022·河南高二階段練習）若直線與直線平行，則（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【解題思路】根據兩直線平行，列出方程，去掉兩直線重合的情況，即可得到結果.
【解答過程】由直線與直線平行，可得:，解得．
故選:B.
【變式4-2】（2021·山西·懷仁市高二階段練習）直線，，則“”是“”的（ ）條件
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】利用直線與直線平行時，斜率相等且截距不相等的性質分別討論充分性和必要性即可.
【解答過程】解：①充分性：當時，，，所以與斜率相等，且截距不相等，故，所以充分；
②必要性：，，當時，
則，解得：或，
當時，兩直線重合，所以舍去，
當時，兩直線斜率相等且截距不相等，符合題意，所以必要.
所以“”是“”的充要條件
故選：C.
【變式4-3】（2021·全國·高二課時練習）滿足下列條件的直線與，其中的是（ ）
①的斜率為2，過點，；
②經過點，，平行于軸，但不經過點；
③經過點，，經過點，．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【解題思路】從斜率是否相等以及直線是否重合兩個角度逐項分析即可.
【解答過程】根據兩點間的斜率公式知①中的斜率為2，但是不能保證，有可能兩條直線重合；
②③中的兩條直線斜率相等但不重合，可以保證．
故選：B.
【題型5 兩條直線垂直的判定】
【方法點撥】
判斷兩條直線是否垂直：
在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應注意有一條直線與x軸垂
直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．
【例5】（2022·江蘇·高二課時練習）下列方程所表示的直線中，一定相互垂直的一對是( )
A．與 B．與
C．與 D．與
【解題思路】兩直線一條斜率為零，一條斜率不存在，此時它們垂直；或者兩直線斜率均存在且不為零，斜率之積為－1，則它們垂直.據此即可求解.
【解答過程】A：a＝0時，兩直線分別為：，此時它們垂直；當a≠0時，它們斜率之積為，則它們不垂直；故兩條直線不一定垂直；
B：兩直線斜率之積為：，故兩直線垂直；
C：兩直線斜率之積為：，故兩直線不垂直；
D：兩直線斜率之積為：，故兩條直線不垂直；
故選：B.
【變式5-1】（2022·全國·高二課時練習）下列直線中，與直線垂直的是（ ）
A．直線 B．直線
C．直線 D．直線
【解題思路】由兩直線垂直，當斜率存在時，有，即得解
【解答過程】因為直線的斜率為3，所以與直線垂直的直線的斜率為，經觀察只有選項D中的直線的斜率為
故選：D.
【變式5-2】已知直線，，若，則實數的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【解題思路】利用一般式下兩直線垂直的充要條件“”即可求解
【解答過程】由．
故選：A．
【變式5-3】（2022·河南高二階段練習）m＝－1是直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】求出直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直時的值，再根據充分必要條件的定義即可得出答案.
【解答過程】因為直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直，
所以，所以，所以或，
所以當m＝－1時，直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直.
但直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直時，m＝－1不一定成立.
所以m＝－1是直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直的充分不必要條件.
故選：A.
【題型6 垂直與平行的應用】
【方法點撥】
用代數運算解決幾何圖形問題
(1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運用數形結合的方法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的
斜率關系進行判定．
(2)明確運算對象，探究運算思路，是對邏輯推理與數學運算核心素養的考查．
【例6】（2022·江蘇·高二課時練習）已知，，，四點，若順次連接四點，試判斷圖形的形狀．
【解題思路】計算四條邊所在直線的斜率，判斷邊之間的位置關系，即可判斷圖形的形狀 .
【解答過程】由斜率公式，得，，，,
所以，又因為 ,說明與不重合，
所以．
因為，所以與不平行．
又因為，所以．
故四邊形為直角梯形．
【變式6-1】（2022·全國·高一課時練習）設，，，問是否存在正實數m，使為直角三角形
【解題思路】由分別為直角求解（相應直線斜率乘積為）可得．
【解答過程】要使為直角三角形，則角A，B，C中需有一個為直角.由題意知，直線AB，BC，AC的斜率都存在．
當A為直角時，則AC⊥AB，所以，即，解得，舍去；
當B為直角時，，；
當C為直角時，，或（舍去）.
綜上所述，存在正實數或，使為直角三角形.
【變式6-2】（2022·江蘇·高二課時練習）在平面直角坐標系中，四邊形的頂點按逆時針順序依次是，，，，其中，試判斷四邊形的形狀，并給出證明．
【解題思路】根據題意，結合直線斜率的坐標計算公式，分別判斷直線是否平行與垂直即可.
【解答過程】四邊形是矩形．證明如下：
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
所以，，所以，，
所以四邊形是平行四邊形．
又，
所以，所以四邊形是矩形．
又，，
令，即，無解，
所以與不垂直，故四邊形是矩形．
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）已知，，.
（1）若，，，可以構成平行四邊形，求點的坐標；
（2）在（1）的條件下，判斷，，，構成的平行四邊形是否為菱形.
【解題思路】（1）分四邊形、、是平行四邊形三種情況討論，分別利用對邊的斜率相等求解，即可；
（2）分別驗證對角線是否垂直，即對角線斜率乘積是否為，即可.
【解答過程】（1）由題意得，
，，設.
若四邊形是平行四邊形，則，，
即，解得，即.
若四邊形是平行四邊形，
則，，
即，解得，即.
若四邊形是平行四邊形，
則，，
即，解得，即.
綜上，點的坐標為（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.
（2）若的坐標為（-1，6），
因為，，
所以，所以，
所以平行四邊形為菱形.
若的坐標為（7，2），
因為，，
所以，所以平行四邊形不是菱形.
若的坐標為（3，-2），因為，直線的斜率不存在，所以平行四邊形不是菱形.
因此，平行四邊形為菱形,平行四邊形,不是菱形.專題2.1 直線的傾斜角與斜率-重難點題型精講
1．直線的傾斜角
(1)傾斜角的定義
①當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
②當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°.
(2)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.
2．直線的斜率
(1)直線的斜率
把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率與傾斜角的對應關系
圖示
傾斜角(范圍) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范圍) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)過兩點的直線的斜率公式
過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.
3．兩條直線(不重合)平行的判定
類型 斜率存在 斜率不存在
前提條件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
對應關系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 兩直線的斜率都不存在
圖示
4．兩條直線垂直的判定
圖示
對應關系 l1⊥l2(兩直線的斜率都存在) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率為0 l1⊥l2
【題型1 直線的傾斜角】
【方法點撥】
直線傾斜角的概念和范圍：
(1)求直線的傾斜角主要根據定義來求，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討
論．
(2)注意傾斜角的范圍．
【例1】（2022·江蘇·鹽城市高二階段練習）直線的傾斜角為（ ）
A．30° B．45° C．120° D．150°
【變式1-1】（2022·甘肅臨夏·高二期末（文））直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）過，兩點的直線的傾斜角是（ ）
A．45 B．60° C．120° D．135°
【變式1-3】（2021·安徽·高二階段練習）直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 直線的斜率】
【方法點撥】
求直線的斜率：
(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”，當直線與x軸垂直時，斜率是不存在的．
(2)斜率公式與兩點P1，P2的先后順序無關．
【例2】（2022·北京十五中高二期中）如圖，直線的斜率分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2022·安徽省亳州市高二期末）將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2021·廣東·深圳高二階段練習）直線的斜率是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2021·全國·高二專題練習）已知在直角坐標系中，等邊△ABC中A與原點重合，若AB的斜率為，則BC的斜率可能為（ ）
A． B． C． D．
【題型3 傾斜角和斜率的應用】
【方法點撥】
傾斜角和斜率的應用
(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯系．
(2)涉及直線與線段有交點問題，常根據數形結合思想，利用斜率公式求解．
【例3】（2022·全國·高三專題練習）設點，，直線過點且與線段AB相交，則直線的斜率k的取值范圍是（　　）
A．或 B．
C． D．以上都不對
【變式3-1】（2022·貴州·遵義市高二期中（理））直線l的傾斜角等于直線傾斜角的2倍，則直線l的斜率是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）設直線的斜率為，且，求直線的傾斜角的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習）已知直線，，若直線l過且與直線m n在第一象限圍成一個等腰銳角三角形，則直線l的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
【題型4 兩條直線平行的判定】
【方法點撥】
判斷兩條不重合的直線是否平行的方法
【例4】（2022·江蘇·高二課時練習）直線和直線平行，則直線和直線的位置關系是（ ）
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
【變式4-1】（2022·河南高二階段練習）若直線與直線平行，則（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【變式4-2】（2021·山西·懷仁市高二階段練習）直線，，則“”是“”的（ ）條件
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式4-3】（2021·全國·高二課時練習）滿足下列條件的直線與，其中的是（ ）
①的斜率為2，過點，；
②經過點，，平行于軸，但不經過點；
③經過點，，經過點，．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【題型5 兩條直線垂直的判定】
【方法點撥】
判斷兩條直線是否垂直：
在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應注意有一條直線與x軸垂
直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．
【例5】（2022·江蘇·高二課時練習）下列方程所表示的直線中，一定相互垂直的一對是( )
A．與 B．與
C．與 D．與
【變式5-1】（2022·全國·高二課時練習）下列直線中，與直線垂直的是（ ）
A．直線 B．直線
C．直線 D．直線
【變式5-2】已知直線，，若，則實數的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【變式5-3】（2022·河南高二階段練習）m＝－1是直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【題型6 垂直與平行的應用】
【方法點撥】
用代數運算解決幾何圖形問題
(1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運用數形結合的方法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的
斜率關系進行判定．
(2)明確運算對象，探究運算思路，是對邏輯推理與數學運算核心素養的考查．
【例6】（2022·江蘇·高二課時練習）已知，，，四點，若順次連接四點，試判斷圖形的形狀．
【變式6-1】（2022·全國·高一課時練習）設，，，問是否存在正實數m，使為直角三角形
【變式6-2】（2022·江蘇·高二課時練習）在平面直角坐標系中，四邊形的頂點按逆時針順序依次是，，，，其中，試判斷四邊形的形狀，并給出證明．
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）已知，，.
（1）若，，，可以構成平行四邊形，求點的坐標；
（2）在（1）的條件下，判斷，，，構成的平行四邊形是否為菱形.

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