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專題2.11 圓的方程-重難點(diǎn)題型精講
1．圓的定義
圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長為半徑).
圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.
2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程 (r>0)叫作以點(diǎn)(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.
(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此
在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
3．圓的一般方程
(1)方程叫做圓的一般方程.
(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因
此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.
下列情況比較適用圓的一般方程：
①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；
②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線
方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).
4．二元二次方程與圓的方程
(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：
二元二次方程，對比圓的一般方程
，我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的方程.
(2)二元二次方程表示圓的條件：
二元二次方程表示圓的條件是
5．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.
(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為
.平面內(nèi)一點(diǎn).
6．與圓有關(guān)的對稱問題
(1)圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱.
(2)圓關(guān)于點(diǎn)對稱
①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.
②若兩圓關(guān)于某點(diǎn)對稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn).
(3)圓關(guān)于直線對稱
①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.
②若兩圓關(guān)于某直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.
7．與圓有關(guān)的最值問題
(1)與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題
①形如t=形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；
②形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；
③形如t=形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.
(2)與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值問題
①記C為圓心，r為圓的半徑，則圓外一點(diǎn)A到圓上距離的最小值為|AC|-r，最大值為|AC|+r；
②過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦為圓的直徑，最短弦是以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；
③記圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，直線與圓相離，則圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為d+r，最
小距離為d-r；
④過兩定點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓.
【題型1 圓的方程的求法】
【方法點(diǎn)撥】
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
①直接代入法：已知圓心坐標(biāo)和半徑大小，直接代入求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
②待定系數(shù)法：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)參變量，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件才能確定出圓的方程.當(dāng)已知曲
線為圓時(shí)，一般用待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a,b,r的方程組，求出a,b,r.
(2)圓的一般方程的求法
待定系數(shù)法：①設(shè)：根據(jù)題意設(shè)出圓的一般方程；
②列：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于D,E,F的方程組；③解：解方程組，求出D,E,F的值.
【例1】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)三點(diǎn)在坐標(biāo)系的位置，確定出是直角三角形，其中是斜邊，則有過三點(diǎn)的圓的半徑為的一半，圓心坐標(biāo)為的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.
【解答過程】由已知得，分別在原點(diǎn)、軸、軸上，
，
經(jīng)過三點(diǎn)圓的半徑為，
圓心坐標(biāo)為的中點(diǎn)，即，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C.
【變式1-1】（2022·江蘇省高二階段練習(xí)）以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.
【解答過程】以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B.
【變式1-2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）與圓同圓心，且過點(diǎn)的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設(shè)所求圓的方程為，利用點(diǎn)求得，從而確定正確答案.
【解答過程】依題意，設(shè)所求圓的方程為，
由于所求圓過點(diǎn)，所以，
解得，所以所求圓的方程為．
故選：B.
【變式1-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.
【解答過程】設(shè)圓的一般方程為，
因?yàn)椋谶@個(gè)圓上，
所以有，
故選：B.
【題型2 二元二次方程表示圓的條件】
【方法點(diǎn)撥】
判斷一個(gè)二元二次方程是否表示圓，可以從以下幾個(gè)方面入手：①看
系數(shù)：與的系數(shù)應(yīng)相等；②看形式：表達(dá)式中不應(yīng)含有xy項(xiàng)；③在比較：要大于0.
【例2】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)甲：實(shí)數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】由方程表示圓可構(gòu)造不等式求得的范圍，根據(jù)推出關(guān)系可得結(jié)論.
【解答過程】若方程表示圓，則，解得：；
∵，，
甲是乙的必要不充分條件.
故選：B.
【變式2-1】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若曲線：表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)圓的一般式變形為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)而可得參數(shù)范圍.
【解答過程】由，
得，
由該曲線表示圓，
可知，
解得或，
故選：B.
【變式2-2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)圓的一般式方程需滿足的條件即可直接求出答案.
【解答過程】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，
所以，解得.
故選：B.
【變式2-3】（2022·內(nèi)蒙古·高一期中）若方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】運(yùn)用配方法，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征進(jìn)行求解即可.
【解答過程】由，
得，則.
故選：A.
【題型3 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】
【方法點(diǎn)撥】
點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.
根據(jù)具體條件，可以通過幾何法或代數(shù)法進(jìn)行判斷.
【例3】（2022·四川省高二階段練習(xí)（理））點(diǎn)P(m，3)與圓(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置關(guān)系為（ ）
A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓上 D．與m的值有關(guān)
【解題思路】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中，看結(jié)果即可判斷選項(xiàng)是哪個(gè).
【解答過程】將點(diǎn)P(m，3)坐標(biāo)代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，
有： 恒成立，故點(diǎn)P在圓外，
故選：A.
【變式3-1】（2021·全國·高二課前預(yù)習(xí)）兩個(gè)點(diǎn)、與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓外
B．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓內(nèi)
C．點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)
D．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外
【解題思路】本題可將點(diǎn)、代入方程左邊，通過得出的值與的大小關(guān)系即可判斷出結(jié)果.
【解答過程】將代入方程左邊得，
則點(diǎn)在圓內(nèi)，
將代入方程左邊得，
則點(diǎn)在圓外，
故選：D.
【變式3-2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由表示圓可得，點(diǎn)A（1，2）在圓C外可得，求解即可
【解答過程】由題意，表示圓
故，即或
點(diǎn)A（1，2）在圓C：外
故，即
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或
即
故選：A.
【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在圓的外部，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】由點(diǎn)在圓外以及方程表示圓得到不等式組，解不等式組即可.
【解答過程】由點(diǎn)在圓外知，即，解得，
又為圓，則，
解得，故.
故選：D.
【題型4 圓有關(guān)的軌跡問題】
【方法點(diǎn)撥】
求曲線的軌跡方程，常用以下幾種方法：直接法、代入法、定義法等.
①“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別，“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大小(范圍)等特征；“軌跡方
程”是方程(等式)，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍.
②求動(dòng)點(diǎn)的軌跡往往先求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程研究軌跡圖形；求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有時(shí)需要先由
條件判斷軌跡圖形，再由圖形求方程.
【例4】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，則以為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設(shè)，根據(jù)即得.
【解答過程】設(shè)，由條件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故，
即，所以，
因?yàn)闉橹苯侨切蔚闹苯琼旤c(diǎn)，
所以，故所求軌跡方程為．
故選：C.
【變式4-1】（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知A（3，3），點(diǎn)B是圓x2+y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】通過定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，用M的坐標(biāo)表示B，把B的坐標(biāo)代入圓的方程，整理可得點(diǎn)M的軌跡方程.
【解答過程】設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），B（a，b），因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，所以a＝3x﹣6，b＝3y﹣6，又點(diǎn)B是圓x2+y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，所以B的坐標(biāo)適合圓的方程，即
故選：A.
【變式4-2】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，B為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）
A． B．
C． D．
【解題思路】在直角三角形中利用幾何關(guān)系即可獲解
【解答過程】圓即,半徑
因?yàn)?所以
又是的中點(diǎn),所以
所以點(diǎn)的軌跡方程為
故選：B.
【變式4-3】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直接設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式代入運(yùn)算整理．
【解答過程】∵，即
設(shè)，則，整理得
故選：B．
【題型5 與圓有關(guān)的對稱問題】
【方法點(diǎn)撥】
(1)圓關(guān)于點(diǎn)對稱：
①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.
②若兩圓關(guān)于某點(diǎn)對稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn).
(2)圓關(guān)于直線對稱：
①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.
②若兩圓關(guān)于某直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.
【例5】（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）圓關(guān)于原點(diǎn)對稱的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出已知圓的圓心和半徑，求出圓心關(guān)于原點(diǎn)對稱的圓的圓心的坐標(biāo)，即可得到對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解答過程】解：圓的圓心，半徑等于，
圓心關(guān)于原點(diǎn)對稱的圓的圓心，
故對稱圓的方程為，
故選：．
【變式5-1】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若圓與圓C關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由對稱性得出的圓C圓心坐標(biāo)，進(jìn)而寫出方程.
【解答過程】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為
因?yàn)殛P(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，所以圓C的方程為
即
故選：C.
【變式5-2】（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）圓關(guān)于點(diǎn)對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出圓心關(guān)于的對稱點(diǎn)，即為對稱圓的圓心，對稱圓的半徑為1.
【解答過程】圓的圓心為，
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，
所以對稱圓的圓心為，
又因?yàn)榘霃讲蛔儯?br/>所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：A.
【變式5-3】（2021·廣東·高二階段練習(xí)）若圓和圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題意可知直線即為線段的中垂線，求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和所在直線的斜率，從而可求的直線的斜率，即可得出答案.
【解答過程】解：因?yàn)閳A和圓關(guān)于直線對稱，
所以直線即為線段的中垂線，
，
則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，
所以直線的斜率，
所以直線的方程是，即.
故選：A.
【題型6 與圓有關(guān)的最值問題】
【方法點(diǎn)撥】
與圓有關(guān)的最值問題主要有兩類：①與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題；②與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值問題；
解題時(shí)，根據(jù)具體題目分析是哪類最值問題，再進(jìn)行求解即可.
【例6】（2022·山西·高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】令為中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，圓中弦長、弦心距、半徑的幾何關(guān)系求得軌跡為圓，求定點(diǎn)到所得圓上點(diǎn)距離的最大值，結(jié)合即可求結(jié)果.
【解答過程】由，要使最大只需到中點(diǎn)距離最大，
又且，
令，則，整理得，
所以軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又，即在圓內(nèi)，
故，而，故.
故選：D.
【變式6-1】（2022·河南·高二階段練習(xí)）若x，y滿足，則的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．無法確定
【解題思路】由為圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，結(jié)合圓的性質(zhì)即得.
【解答過程】由，可得，
表示以為圓心，以為半徑的圓，
設(shè)原點(diǎn)， ，
則（為圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方）的最小值是
．
故選：C．
【變式6-2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在過點(diǎn)且與直線垂直的直線上，則圓：上的點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡的距離的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
【解題思路】利用直線垂直的性質(zhì)、直線的點(diǎn)斜式以及直線與圓上的點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行求解.
【解答過程】過點(diǎn)且與直線垂直的直線為：，
已知點(diǎn)在該直線上，所以，即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，又圓：，
所以圓心，半徑，所以圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡的距離的最小值為：
.故A，B，D錯(cuò)誤.
故選：A.
【變式6-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)，，若，則當(dāng)，變化時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求得A，兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)得到，再結(jié)合可得到C軌跡為動(dòng)圓，求得該動(dòng)圓圓心的方程，即可求得答案.
【解答過程】由得 ，
故 由得，
由得，設(shè) ，則 ，
即，即點(diǎn)C軌跡為一動(dòng)圓，
設(shè)該動(dòng)圓圓心為 ，則，
整理得 ，代入到中，
得： ，即C軌跡的圓心在圓上，
故點(diǎn)（1,1）與該圓上的點(diǎn)的連線的距離加上圓的半徑即為點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值，最大值為 ，
故選：B.專題2.11 圓的方程-重難點(diǎn)題型精講
1．圓的定義
圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長為半徑).
圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.
2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程 (r>0)叫作以點(diǎn)(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.
(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此
在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
3．圓的一般方程
(1)方程叫做圓的一般方程.
(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因
此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.
下列情況比較適用圓的一般方程：
①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；
②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線
方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).
4．二元二次方程與圓的方程
(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：
二元二次方程，對比圓的一般方程
，我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的方程.
(2)二元二次方程表示圓的條件：
二元二次方程表示圓的條件是
5．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.
(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為
.平面內(nèi)一點(diǎn).
6．與圓有關(guān)的對稱問題
(1)圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱.
(2)圓關(guān)于點(diǎn)對稱
①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.
②若兩圓關(guān)于某點(diǎn)對稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn).
(3)圓關(guān)于直線對稱
①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.
②若兩圓關(guān)于某直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.
7．與圓有關(guān)的最值問題
(1)與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題
①形如t=形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；
②形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；
③形如t=形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.
(2)與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值問題
①記C為圓心，r為圓的半徑，則圓外一點(diǎn)A到圓上距離的最小值為|AC|-r，最大值為|AC|+r；
②過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦為圓的直徑，最短弦是以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；
③記圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，直線與圓相離，則圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為d+r，最
小距離為d-r；
④過兩定點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓.
【題型1 圓的方程的求法】
【方法點(diǎn)撥】
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
①直接代入法：已知圓心坐標(biāo)和半徑大小，直接代入求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
②待定系數(shù)法：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)參變量，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件才能確定出圓的方程.當(dāng)已知曲
線為圓時(shí)，一般用待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a,b,r的方程組，求出a,b,r.
(2)圓的一般方程的求法
待定系數(shù)法：①設(shè)：根據(jù)題意設(shè)出圓的一般方程；
②列：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于D,E,F的方程組；③解：解方程組，求出D,E,F的值.
【例1】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2022·江蘇省高二階段練習(xí)）以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）與圓同圓心，且過點(diǎn)的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 二元二次方程表示圓的條件】
【方法點(diǎn)撥】
判斷一個(gè)二元二次方程是否表示圓，可以從以下幾個(gè)方面入手：①看
系數(shù)：與的系數(shù)應(yīng)相等；②看形式：表達(dá)式中不應(yīng)含有xy項(xiàng)；③在比較：要大于0.
【例2】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)甲：實(shí)數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-1】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若曲線：表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2022·內(nèi)蒙古·高一期中）若方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型3 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】
【方法點(diǎn)撥】
點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.
根據(jù)具體條件，可以通過幾何法或代數(shù)法進(jìn)行判斷.
【例3】（2022·四川省高二階段練習(xí)（理））點(diǎn)P(m，3)與圓(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置關(guān)系為（ ）
A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓上 D．與m的值有關(guān)
【變式3-1】（2021·全國·高二課前預(yù)習(xí)）兩個(gè)點(diǎn)、與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓外
B．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓內(nèi)
C．點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)
D．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外
【變式3-2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在圓的外部，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【題型4 圓有關(guān)的軌跡問題】
【方法點(diǎn)撥】
求曲線的軌跡方程，常用以下幾種方法：直接法、代入法、定義法等.
①“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別，“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大小(范圍)等特征；“軌跡方
程”是方程(等式)，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍.
②求動(dòng)點(diǎn)的軌跡往往先求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程研究軌跡圖形；求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有時(shí)需要先由
條件判斷軌跡圖形，再由圖形求方程.
【例4】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，則以為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知A（3，3），點(diǎn)B是圓x2+y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，B為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【題型5 與圓有關(guān)的對稱問題】
【方法點(diǎn)撥】
(1)圓關(guān)于點(diǎn)對稱：
①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.
②若兩圓關(guān)于某點(diǎn)對稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn).
(2)圓關(guān)于直線對稱：
①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.
②若兩圓關(guān)于某直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.
【例5】（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）圓關(guān)于原點(diǎn)對稱的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若圓與圓C關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）圓關(guān)于點(diǎn)對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2021·廣東·高二階段練習(xí)）若圓和圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 與圓有關(guān)的最值問題】
【方法點(diǎn)撥】
與圓有關(guān)的最值問題主要有兩類：①與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題；②與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值問題；
解題時(shí)，根據(jù)具體題目分析是哪類最值問題，再進(jìn)行求解即可.
【例6】（2022·山西·高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2022·河南·高二階段練習(xí)）若x，y滿足，則的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．無法確定
【變式6-2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在過點(diǎn)且與直線垂直的直線上，則圓：上的點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡的距離的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
【變式6-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)，，若，則當(dāng)，變化時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．

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