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專題2.13 直線與圓的位置關系-重難點題型精講
1．直線與圓的位置關系及判定方法
(1)直線與圓的位置關系及方程組的情況如下：
(2)直線與圓的位置關系的判定方法
①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的
實數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.
②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當dr時，直線與圓相離.
2．圓的切線及切線方程
(1)自一點引圓的切線的條數(shù)：
①若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；
②若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；
③若點在圓內，則過此點不能作圓的切線.
(2)求過圓上的一點的圓的切線方程：
①求法：先求切點與圓心連線的斜率k()，則由垂直關系可知切線斜率為，由點斜式方程可求
得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.
②重要結論：
a.經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.
b.經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.
c.經(jīng)過圓+Dx+Ey+F=0上一點P的切線方程為
.
3．圓的弦長問題
設直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：
(1)幾何法
如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關系式：.
(2)代數(shù)法
將直線方程與圓的方程組成方程組，設交點坐標分別為A,B.
①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.
②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根與系數(shù)的關系可得或的關系式，通常把或叫作弦長公式.
4．解與圓有關的最值問題
(1)利用圓的幾何性質求最值的問題
求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.
①如圖2-5-1-4①，當直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d
為圓心到直線的距離；
②如圖2-5-1-4②，當直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；
③如圖2-5-1-4③，當直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.
(2)利用直線與圓的位置關系解決最值(取值范圍) 問題
解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標——函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)關系式的特征選
用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.
①形如u=的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.
②形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.
③形如的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.
(3)經(jīng)過圓內一點的最長弦就是經(jīng)過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.
5．直線與圓的方程的應用
(1)解決實際問題的步驟：
(2)建系原則
建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼狄盐諆蓚€原則：
①對稱性原則.可以選擇對稱中心為坐標原點，對稱軸所在的直線為坐標軸.到兩個定點的距離問題，可
以選擇兩個定點所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標軸等.有兩條相互垂直的直線的問題則可選其為坐標軸.
②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點在坐標軸上.如與三角形有關的問題，可以考慮將三角形的三個頂點全部放在坐標軸上.
【題型1 直線與圓的位置關系及判定】
【方法點撥】
①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)
解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即<0，
則直線與圓相離.
②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當d圓相切；當d>r時，直線與圓相離.
【例1】（2022·江西省高一階段練習（理））直線mx-2y-m+1=0與圓x2+y2-4x-2y+1=0的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【解題思路】先根據(jù)圓的方程求出圓心和半徑，然后根據(jù)不等式恒成立的法則可知對任意恒成立，即可知恒成立，即直線與圓相交.
【解答過程】解：由題意得：
已知圓的方程可化為，即圓心的坐標為，半徑為
圓心到直線的距離為
當時，即 ，則整理可知：，根據(jù)二次函數(shù)的性質，，故不等式恒成立，直線與圓相交；
當時，即 ，不等式無解；
故直線mx-2y-m+1=0與圓x2+y2-4x-2y+1=0的位置關系是相交；
故選：A.
【變式1-1】（2022·河南·高二階段練習）對于任意實數(shù)，圓與直線的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相離 D．與的取值有關
【解題思路】根據(jù)直線方程得到直線經(jīng)過定點，再通過比較點到圓心的距離和半徑的大小得到點在圓的內部，從而得到直線與圓的位置關系.
【解答過程】∵直線的方程，整理得，令，解得，∴直線過定點，
∵圓的方程為，整理得，
∴圓的圓心，半徑，
∴圓心到定點的距離為：，
∴點在圓的內部，直線與圓的位置關系是相交.
故選：A.
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）已知直線與圓相離，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由圓心到直線的距離大于半徑即可求解.
【解答過程】由，得，
∵直線與圓相離，
∴解得．
∴實數(shù)m的取值范圍是，
故選:D．
【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）已知點在圓內，直線是以為中點的弦所在直線，直線的方程為，則（ ）
A．且與圓相離 B．且與圓相切
C．且與圓相交 D．且與圓相離
【解題思路】由圓的性質可確定直線的斜率，進而得到方程，可知；結合點在圓內的特點，利用點到直線距離公式可確定圓心到直線的距離，由此可得結論.
【解答過程】直線以為中點，直線的斜率，
直線的方程為：，即，則，
在圓內，，
則圓心到直線的距離，與圓相離.
故選：A.
【題型2 圓的切線問題及切線方程的求解】
【方法點撥】
①當一條直線l與圓C相切時，毫無疑問地要用到圓心C到直線l的距離d=r(r為圓C的半徑).
②當一條直線l與圓C相切于點P時，則lPC.
③過圓外一點P向圓C作切線，切點為Q，則必定會用到.
【例2】（2022·全國·高三專題練習）過點作圓的切線，則的方程為（ ）
A． B．或
C． D．或
【解題思路】根據(jù)題意，設圓x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圓心為C，分析可得點M在圓上，求出直線MC的斜率，即可得切線的斜率k，由直線的點斜式方程分析可得答案．
【解答過程】解：根據(jù)題意，設圓x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圓心為C，
圓x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圓心為（1，3），
又由點M的坐標為（3，1），有，即點M在圓上，
則，則切線的斜率k＝1，
則切線的方程為y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；
故選：C．
【變式2-1】（2021·山西大同·高三階段練習（文））已知圓心在軸上，半徑為的圓上有一點，則圓在點M處的切線方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【解題思路】求得圓心坐標，根據(jù)點斜式求得切線方程.
【解答過程】設圓心，
則，解得或.
當時，，，切線方程為.
當時，，，切線方程為.
所以切線方程為或.
故選：D.
【變式2-2】（2022·安徽蚌埠·一模）過直線上的點作圓的切線，則切線長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】要切線長最小，就要直線上的點到圓心的距離最小，則此最小值為圓心到直線的距離，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再利用勾股定理可求出切線長的最小值.
【解答過程】圓的圓心為，半徑為，
因為圓心到直線的距離，
所以切線長最小值為.
故選：B.
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知圓：，點是軸上的一個動點，，分別切圓C于P，Q兩點，則線段長的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】設，利用面積相等得到，再根據(jù)即可求得的取值范圍.
【解答過程】設，則，
由可知，
∵AC垂直平分PQ，
∴，
∴當時，PQ取得最小值，
又，∴，
∴．
故選：B．
.
【題型3 圓的弦長問題】
【方法點撥】
當直線與圓相交時，因幾何法求弦長較方便，一般不用代數(shù)法.
用幾何法求解圓的弦長的一般步驟：第一步：確定圓的半徑r；第二步：求解圓心到直線的距離d；第三步：
代入公式求解弦長.
【例3】（2022·全國·高二課時練習）直線被圓所截得的弦長為（ ）
A． B．4 C． D．
【解題思路】直接利用直線被圓截得的弦長公式求解即可.
【解答過程】由題意圓心，圓C的半徑為3，
故C到的距離為，
故所求弦長為.
故選：A.
【變式3-1】（2022·全國·高三專題練習）過點，作傾斜角為的直線l，則直線l被圓截得的弦長為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題，由點斜式寫出直線，由點線距離公式求出圓心到直線距離，可結合垂徑定理得出所截弦長
【解答過程】依題意，直線l的方程為，即，則圓心O到直線l的距離.又因為圓的半徑，所以所求的弦長為，
故選：D.
【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線：恒過點，過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則的最小值為（ ）
A． B．2 C．4 D．
【解題思路】寫出直線的定點坐標并判斷與圓的位置關系，進而確定最小時直線與直線的位置關系，即可得結果.
【解答過程】由恒過，
又，即在圓C內，
要使最小，只需圓心與的連線與該直線垂直，所得弦長最短，
由，圓的半徑為5，
所以.
故選：A.
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知圓O：，已知直線l：與圓O的交點分別M，N，當直線l被圓O截得的弦長最小時，（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直線過定點，當直線與垂直時，弦長最短．
【解答過程】直線l：，即，所以直線過定點，，圓半徑，
點在圓內，所以當直線與垂直的時候，最短，
此時．
故選：C．
【題型4 直線與圓有關的最值問題】
【方法點撥】
解直線與圓的最值問題主要有以下兩種思路：
①代數(shù)法：利用平面幾何中的有關公式，構造函數(shù)，把問題轉化為函數(shù)的最值，然后根據(jù)函數(shù)最值的求法
進行求解.在轉化過程中常用到向量的數(shù)量積、一元二次方程根與系數(shù)的關系、換元等知識和方法.
②幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標系中與圓建立聯(lián)系，分析其與圓的位置變化情況，找到最大、
最小取值點.
【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，點是直線上的動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用面積相等求出.設，得到.利用幾何法分析出，即可求出的最小值.
【解答過程】圓：化為標準方程：，其圓心,半徑.
過點P引圓C的兩條切線,切點分別為點A、B,如圖：
在△PAC中,有，即，變形可得：.
設，則.
所以當?shù)闹导磝最小時，的值最大，此時最小.
而的最小值為點C到直線的距離，即，
所以.
故選：B.
【變式4-1】（2022·全國·高三專題練習）瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作，，點，點，過其“歐拉線”上一點Р作圓O：的兩條切線，切點分別為M，N，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求中垂線方程，結合點線距離判斷“歐拉線”與圓O的位置關系并求出圓心到直線的距離，由幾何關系判斷的最小時的位置，進而求的最小值.
【解答過程】由題設，中點為，“歐拉線”斜率為，
所以“歐拉線”方程為，即，
又到的距離為，即“歐拉線”與圓O相離，
要使的最小，則在△與△中最小，即最大，而僅當“歐拉線”時最大，
所以，則，且圓O半徑 ，，
所以，即.
故選：B.
【變式4-2】（2022·江蘇·高二專題練習）已知點在圓上，直線與軸、軸分別交于點、，則下列結論中正確的有（ ）
①點到直線的距離小于
②點到直線的距離大于
③當最小時，
④當最大時，
A．個 B．個 C．個 D．個
【解題思路】計算出點到直線的距離的最大值和最小值，可判斷①②的正誤；利用最小和最大時，確定點的位置，求出的值，可判斷③④的正誤.
【解答過程】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，
所以，直線與圓相離，
點到直線的距離的最大值為，最小值為，
因為，，故①對，②錯；
直線交軸于點，交軸于點，，
過點作圓的兩條切線，切點分別為、，如下圖所示：
當最小時，點與點重合，此時，
當最大時，點與點重合，此時，③④都對.
故選：C.
【變式4-3】（2021·湖北·高二期中）已知圓，圓，、分別是圓、上動點，是軸上動點，則的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)兩圓及的位置關系，將的最大轉化為求最大，再應用將軍飲馬模型作關于軸的對稱點，利用三角形的三邊關系確定的最大值，進而求的最大值.
【解答過程】要使的最大，需盡可能大，盡可能小，
∴連接、，讓兩直線與兩圓的交點，離盡可能遠，離盡可能近，如下圖示：
在△中最大即可，令，關于軸的對稱點為，
∴最大，故共線時的最大值為，
∴的最大值為.
故選：D.
【題型5 直線與部分圓的相交問題】
【方法點撥】
一條直線和一個圓的一部分有交點時，如果用代數(shù)法去研究，則要轉化為一元二次方程根的取值情況，過
程比較繁瑣，因此這類問題一般采用數(shù)形結合的方法去研究，研究應抓住兩類直線：一是切線；二是過端
點的直線.
【例5】（2022·湖南·高二階段練習）若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】確定直線恒過定點，確定曲線表示以點為圓心，1為半徑，且位于直線右側的半圓，包括點，．由直線與圓的位置關系可得結論（需要求出切線的斜率）
【解答過程】直線恒過定點，曲線表示以點為圓心，1為半徑，且位于直線右側的半圓，包括點，．
如圖，當直線l經(jīng)過點時，l與曲線C有兩個交點，此時，直線記為；
當l與半圓相切時，由，得，切線記為．
由圖可知當時，l與曲線C有兩個交點，
故選：A．
【變式5-1】（2021·山東泰安·高二期中）設點是曲線上的任意一點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】點是曲線上的任意一點，故點滿足方程，可表示點與點連線斜率，由幾何意義易得結論.
【解答過程】曲線表示以為圓心，為半徑的下半圓，如圖所示：
可表示點與點連線斜率
當直線與圓相切時：設直線方程為，即
圓心到直線距離，
解得或，
又，所以，
當直線經(jīng)過點時，，
綜上，
故選：B.
【變式5-2】（2021·天津高二階段練習）設曲線上的點到直線的距離的最大值為，最小值為，則的值為( )
A． B． C． D．
【解題思路】將曲線化成圓的方程的形式，結合圖像，過曲線上任意一點作平行于直線的直線，可得到當直線的方程為時，直線與直線的距離為，然后利用圓心到直線的距離減去半徑可得，進而可得到答案.
【解答過程】由可知，，且，即曲線是以為圓心，半徑為1的半圓，
過曲線上任一點作平行于直線的直線，如下圖所示：
其中實線為直線，虛線為直線，
曲線上的點到直線的距離可轉化為直線與直線之間的距離，
結合圖像易知，當直線過時，直線與直線之間的距離最大，
即曲線上的點到直線的距離最大，易知此時直線的方程為：，
由平行線間的距離公式可得，，
因為到直線的距離為，
所以曲線上的點到直線的距離的最小值為，
從而.
故選：D.
【變式5-3】（2021·山東·高二階段練習）過點引直線與曲線相交于 兩點，則直線的斜率取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】畫出曲線表示的圖象，數(shù)形結合即可求出.
【解答過程】設直線為，
曲線表示圓心在原點，半徑為1的圓的上半部分，
如圖：當直線與圓相切于第一象限時，則由，
解得（舍去）或，
又，
因為直線與曲線相交于 兩點，
所以數(shù)形結合可得.
故選：B.
【題型6 直線與圓的方程的應用】
【方法點撥】
用坐標法解決幾何問題時應注意以下幾點：
①應在利于解題的原則下建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担豢呻S便建立；
②在實際問題中，有些量具有一定的限制條件，轉化成代數(shù)問題時要注意取值范圍；
③最后一定要將代數(shù)結果轉化成幾何結論.
【例6】（2022·全國·高二課時練習）如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經(jīng)過O，A，B三點．
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C區(qū)域內有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險
【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，求出點A，B的坐標，設出圓C的一般方程，利用待定系數(shù)法求解作答.
（2）求出船D的航線所在直線的方程，再利用點到直線距離公式計算判斷作答.
【解答過程】（1）
依題意，因A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，則點，
又B島在O島的正東方向距O島20千米處，則，
設過O，A，B三點的圓C的方程為，
則，解得，
所以圓C的方程為．
（2）
因船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，則，
而船D沿著北偏東45°方向行駛，則船D的航線所在直線l的斜率為1，直線l的方程為，
由（1）知，圓C的圓心為，半徑，
則圓心C到直線l的距離，則，
所以該船有觸礁的危險.
【變式6-1】（2022·湖北·高二期末）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向km處設立觀測點A，在平臺O的正東方向12km處設立觀測點B，規(guī)定經(jīng)過O、A、B三點的圓以及其內部區(qū)域為安全預警區(qū)．如圖所示：以O為坐標原點，O的正東方向為x軸正方向，建立平面直角坐標系．
(1)試寫出A，B的坐標，并求兩個觀測點A，B之間的距離；
(2)某日經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在該平臺O正南10km C處，有一艘輪船正以每小時km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會進入安全預警區(qū)？如果不進入，請說明理由；如果進入，則它在安全警示區(qū)內會行駛多長時間？
【解題思路】（1）先求出A，B的坐標，再由距離公式得出A，B之間的距離；
（2）由三點的坐標列出方程組得出經(jīng)過三點的圓的方程，設輪船航線所在的直線為，再由幾何法得出直線與圓截得的弦長，進而得出安全警示區(qū)內行駛時長.
【解答過程】(1)
由題意得，∴；
(2)
設圓的方程為，
因為該圓經(jīng)過三點，∴，得到.
所以該圓的方程為：，
化成標準方程為：.
設輪船航線所在的直線為，則直線的方程為：，
圓心（6，8）到直線的距離，
所以直線與圓相交，即輪船會駛入安全預警區(qū).
直線與圓截得的弦長為 ，行駛時長小時.
即在安全警示區(qū)內行駛時長為半小時.
【變式6-2】（2022·浙江·高二期末）如圖，一個湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個點 ，并修建兩段直線型道路 .規(guī)劃要求，線段 上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑.已知點到直線的距離分別為和（為垂足），測得，，（單位：百米）.
(1)若道路與橋垂直，求道路的長；
(2)在規(guī)劃要求下，點能否選在處？并說明理由.
【解題思路】（1）建立適當?shù)淖鴺讼担脠A及直線的方程，進而得解.
（2）不妨點選在處，求方程并求其與圓的交點，在線段上取點不符合條件，得結論.
【解答過程】(1)
如圖，過作，垂足為.
以為坐標原點，直線為軸，建立平面直角坐標系.
因為為圓的直徑，，所以圓的方程為.
因為，，所以，故直線的方程為，
則點，的縱坐標分別為3，
從而，，
直線的斜率為.
因為，所以直線的斜率為，
直線的方程為.令，得，，
所以.
因此道路的長為15（百米）.
(2)
若點選在處，連結，可求出點，又，
所以線段.
由解得或，
故不妨取，得到在線段上的點，
因為，
所以線段上存在點到點的距離小于圓的半徑5.
因此點選在處不滿足規(guī)劃要求.
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）為了保證我國東海油氣田海域的海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺的正東方向設立了兩個觀測站（點在點、點之間），它們到平臺的距離分別為海里和海里，記海平面上到兩觀測站距離，之比為的點的軌跡為曲線，規(guī)定曲線及其內部區(qū)域為安全預警區(qū)（如圖）．
(1)以為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，求曲線的方程；
(2)某日在觀測站處發(fā)現(xiàn)，在該海上平臺正南海里的處，有一艘輪船正以每小時海里的速度向北偏東方向航行，如果航向不變，該輪船是否會進入安全預警區(qū)？如果不進入，說明理由；如果進入，則它在安全預警區(qū)中的航行時間是幾小時．
【解題思路】（1）、根據(jù)題意可知，利用兩點間距離公式化簡即可得到曲線的方程；
（2）、先求出輪船航行直線方程，再判斷航行直線與安全預警區(qū)的位置關系，然后計算出航行直線被安全預警區(qū)截得的弦長，進而可以求出輪船在安全預警區(qū)中的航行時間；
【解答過程】（1）
設，則由題意，根據(jù)題意可知，
，，曲線的方程為:
（2）
在該海上平臺正南海里處,，
輪船向北偏東方向航行, 輪船航行直線的傾斜角為，即直線的斜率為，
輪船航行直線方程：，即.
曲線的方程為: ,圓心，半徑為
圓心到直線的距離,
如果輪船不改變航向，輪船一定會進入安全預警區(qū).
直線被圓截得的弦長
輪船的速度為每小時海里，它在安全預警區(qū)中的航行時間
答：如果輪船不改變航向，輪船一定會進入安全預警區(qū)，它在安全預警區(qū)中的航行時間為個小時．專題2.13 直線與圓的位置關系-重難點題型精講
1．直線與圓的位置關系及判定方法
(1)直線與圓的位置關系及方程組的情況如下：
(2)直線與圓的位置關系的判定方法
①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的
實數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.
②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當dr時，直線與圓相離.
2．圓的切線及切線方程
(1)自一點引圓的切線的條數(shù)：
①若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；
②若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；
③若點在圓內，則過此點不能作圓的切線.
(2)求過圓上的一點的圓的切線方程：
①求法：先求切點與圓心連線的斜率k()，則由垂直關系可知切線斜率為，由點斜式方程可求
得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.
②重要結論：
a.經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.
b.經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.
c.經(jīng)過圓+Dx+Ey+F=0上一點P的切線方程為
.
3．圓的弦長問題
設直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：
(1)幾何法
如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關系式：.
(2)代數(shù)法
將直線方程與圓的方程組成方程組，設交點坐標分別為A,B.
①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.
②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根與系數(shù)的關系可得或的關系式，通常把或叫作弦長公式.
4．解與圓有關的最值問題
(1)利用圓的幾何性質求最值的問題
求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.
①如圖2-5-1-4①，當直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d
為圓心到直線的距離；
②如圖2-5-1-4②，當直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；
③如圖2-5-1-4③，當直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.
(2)利用直線與圓的位置關系解決最值(取值范圍) 問題
解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標——函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)關系式的特征選
用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.
①形如u=的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.
②形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.
③形如的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.
(3)經(jīng)過圓內一點的最長弦就是經(jīng)過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.
5．直線與圓的方程的應用
(1)解決實際問題的步驟：
(2)建系原則
建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼狄盐諆蓚€原則：
①對稱性原則.可以選擇對稱中心為坐標原點，對稱軸所在的直線為坐標軸.到兩個定點的距離問題，可
以選擇兩個定點所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標軸等.有兩條相互垂直的直線的問題則可選其為坐標軸.
②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點在坐標軸上.如與三角形有關的問題，可以考慮將三角形的三個頂點全部放在坐標軸上.
【題型1 直線與圓的位置關系及判定】
【方法點撥】
①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)
解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即<0，
則直線與圓相離.
②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當d圓相切；當d>r時，直線與圓相離.
【例1】（2022·江西省高一階段練習（理））直線mx-2y-m+1=0與圓x2+y2-4x-2y+1=0的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【變式1-1】（2022·河南·高二階段練習）對于任意實數(shù)，圓與直線的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相離 D．與的取值有關
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）已知直線與圓相離，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）已知點在圓內，直線是以為中點的弦所在直線，直線的方程為，則（ ）
A．且與圓相離 B．且與圓相切
C．且與圓相交 D．且與圓相離
【題型2 圓的切線問題及切線方程的求解】
【方法點撥】
①當一條直線l與圓C相切時，毫無疑問地要用到圓心C到直線l的距離d=r(r為圓C的半徑).
②當一條直線l與圓C相切于點P時，則lPC.
③過圓外一點P向圓C作切線，切點為Q，則必定會用到.
【例2】（2022·全國·高三專題練習）過點作圓的切線，則的方程為（ ）
A． B．或
C． D．或
【變式2-1】（2021·山西大同·高三階段練習（文））已知圓心在軸上，半徑為的圓上有一點，則圓在點M處的切線方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【變式2-2】（2022·安徽蚌埠·一模）過直線上的點作圓的切線，則切線長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知圓：，點是軸上的一個動點，，分別切圓C于P，Q兩點，則線段長的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【題型3 圓的弦長問題】
【方法點撥】
當直線與圓相交時，因幾何法求弦長較方便，一般不用代數(shù)法.
用幾何法求解圓的弦長的一般步驟：第一步：確定圓的半徑r；第二步：求解圓心到直線的距離d；第三步：
代入公式求解弦長.
【例3】（2022·全國·高二課時練習）直線被圓所截得的弦長為（ ）
A． B．4 C． D．
【變式3-1】（2022·全國·高三專題練習）過點，作傾斜角為的直線l，則直線l被圓截得的弦長為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線：恒過點，過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則的最小值為（ ）
A． B．2 C．4 D．
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知圓O：，已知直線l：與圓O的交點分別M，N，當直線l被圓O截得的弦長最小時，（ ）
A． B． C． D．
【題型4 直線與圓有關的最值問題】
【方法點撥】
解直線與圓的最值問題主要有以下兩種思路：
①代數(shù)法：利用平面幾何中的有關公式，構造函數(shù)，把問題轉化為函數(shù)的最值，然后根據(jù)函數(shù)最值的求法
進行求解.在轉化過程中常用到向量的數(shù)量積、一元二次方程根與系數(shù)的關系、換元等知識和方法.
②幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標系中與圓建立聯(lián)系，分析其與圓的位置變化情況，找到最大、
最小取值點.
【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，點是直線上的動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022·全國·高三專題練習）瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作，，點，點，過其“歐拉線”上一點Р作圓O：的兩條切線，切點分別為M，N，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022·江蘇·高二專題練習）已知點在圓上，直線與軸、軸分別交于點、，則下列結論中正確的有（ ）
①點到直線的距離小于
②點到直線的距離大于
③當最小時，
④當最大時，
A．個 B．個 C．個 D．個
【變式4-3】（2021·湖北·高二期中）已知圓，圓，、分別是圓、上動點，是軸上動點，則的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 直線與部分圓的相交問題】
【方法點撥】
一條直線和一個圓的一部分有交點時，如果用代數(shù)法去研究，則要轉化為一元二次方程根的取值情況，過
程比較繁瑣，因此這類問題一般采用數(shù)形結合的方法去研究，研究應抓住兩類直線：一是切線；二是過端
點的直線.
【例5】（2022·湖南·高二階段練習）若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2021·山東泰安·高二期中）設點是曲線上的任意一點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2021·天津高二階段練習）設曲線上的點到直線的距離的最大值為，最小值為，則的值為( )
A． B． C． D．
【變式5-3】（2021·山東·高二階段練習）過點引直線與曲線相交于 兩點，則直線的斜率取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型6 直線與圓的方程的應用】
【方法點撥】
用坐標法解決幾何問題時應注意以下幾點：
①應在利于解題的原則下建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担豢呻S便建立；
②在實際問題中，有些量具有一定的限制條件，轉化成代數(shù)問題時要注意取值范圍；
③最后一定要將代數(shù)結果轉化成幾何結論.
【例6】（2022·全國·高二課時練習）如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經(jīng)過O，A，B三點．
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C區(qū)域內有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險
【變式6-1】（2022·湖北·高二期末）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向km處設立觀測點A，在平臺O的正東方向12km處設立觀測點B，規(guī)定經(jīng)過O、A、B三點的圓以及其內部區(qū)域為安全預警區(qū)．如圖所示：以O為坐標原點，O的正東方向為x軸正方向，建立平面直角坐標系．
(1)試寫出A，B的坐標，并求兩個觀測點A，B之間的距離；
(2)某日經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在該平臺O正南10km C處，有一艘輪船正以每小時km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會進入安全預警區(qū)？如果不進入，請說明理由；如果進入，則它在安全警示區(qū)內會行駛多長時間？
【變式6-2】（2022·浙江·高二期末）如圖，一個湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個點 ，并修建兩段直線型道路 .規(guī)劃要求，線段 上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑.已知點到直線的距離分別為和（為垂足），測得，，（單位：百米）.
(1)若道路與橋垂直，求道路的長；
(2)在規(guī)劃要求下，點能否選在處？并說明理由.
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）為了保證我國東海油氣田海域的海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺的正東方向設立了兩個觀測站（點在點、點之間），它們到平臺的距離分別為海里和海里，記海平面上到兩觀測站距離，之比為的點的軌跡為曲線，規(guī)定曲線及其內部區(qū)域為安全預警區(qū)（如圖）．
(1)以為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，求曲線的方程；
(2)某日在觀測站處發(fā)現(xiàn)，在該海上平臺正南海里的處，有一艘輪船正以每小時海里的速度向北偏東方向航行，如果航向不變，該輪船是否會進入安全預警區(qū)？如果不進入，說明理由；如果進入，則它在安全預警區(qū)中的航行時間是幾小時．

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