資源簡介

第二章 有理數及其運算
有理數 用正負數表示具有相反意義的量
正數和負數的概念
有理數及其分類
數軸 數軸
數軸上的點與有理數的關系
比較有理數的大小
絕對值 相反數
絕對值的概念
兩個負數比較大小
有理數的加法 有理數的加法法則
有理數加法的運算律
有理數的減法 有理數的減法法則
有理數的加減混合運算 有理數的加減法統一
有理數的加減混合運算步驟
利用有理數的加減運算解決實際問題
有理數的乘法 有理數的乘法法則
倒數
有理數乘法法則的推廣
有理數乘法的運算律
有理數的除法 有理數的除法法則
有理數的乘方 有理數的乘方
有理數乘方的運算
科學記數法 科學記數法的概念及其表示
有理數的混合運算 有理數混合運算順序
有理數
用正負數表示具有相反意義的量
（1）“加分與扣分”“收入與支出”“零上溫度與零下溫度”等都是具有相反意義的量，為了表示具有相反意義的量。我們可以把其中一個量規定為正的，用正數來表示；而把與這個量意義相反的量規定為負的，用負數表示
正數和負數的概念
（1）正數的定義：大于0的數叫做正數
（2）負數的定義：在正數前面加上“-”號的數叫做負數
（3）0既不是正數也不是負數
（4）0是正數和負數的分界，0是自然數，0不僅僅可以表示“沒有”，而且可以表示特定的意義，如0℃是一個確定的溫度
帶正號的數不一定是正數，帶負號的數不一定是負數，如+（-2），-（-2）
有理數及其分類
（1）有理數的概念：整數和分數統稱為有理數
（2）有理數的分類
（3）有限小數與無限循環小數也是分數；
無限不循環小數不能化為分數，故不是有理數；兀是無理數。
知識點 核心內容
相反意義的量 ①意義相反的同一類量 ②都是有數量，數量可以不同
正數和負數 正數是比0大的數，負數是比0小的數
有理數的分類
【模塊二】數軸
數軸
數軸三要素：原點、正方向、單位長度，數軸是一條可以向兩個方向無限延伸的直線
（2）數軸畫法：
①畫直線定原點，原點表示0
②規定從原點向右的方向為正方向
③選擇適當的長度為單位長度
數軸上的點與有理數的關系
任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示，但數軸上的點并不都表示有理數，不可能出現同一個點，表示兩個不同的有理數的情況
比較有理數的大小
數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大
知識點 核心內容
數軸的概念 規定了原點正方向和單位長度的直線叫做數軸
數軸的畫法 （1）畫直線（2）取原點（3）選中方向，通常取向右的方向為正方向，并選取適當的長度為單位長度（4）標數在數軸上依次標復-2，-1，0，1，2等
有理數的大小比較 數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大，正數大于0，負數小于0，正數大于負數
絕對值
相反數
（1）相反數的定義：
①代數意義：如果兩個數只有符號不同，那么稱其中一個數為另一個數的，
相反數也稱這兩個數互為相反數，特別地，0的相反數是0
②幾何意義：在數軸上位于原點兩側，與原點距離相等的兩個點所表示的
數互為相反數
（3）相反數的性質：任何一個數都有相反數，而且只有一個，正數的相反數是負數；負數的相反數是正數；0的相反數是0
（4）求相反數的方法：求一個數的相反數只需在這個數前面添上“-”號
絕對值的概念
（1）絕對值的幾何意義：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做這個數的絕對值，如：+2的絕對值等于2，記作l+2l=2 -3的絕對值等于3，記作|-3l=3
（2）絕對值的代數意義：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0
（3）任何一個數的絕對值總是非負數
（4）在數軸上表示某數的點距離原點越遠，該數的絕對值越大，距離原點越近，該數的絕對值越小
兩個負數比大小
（1）兩個負數在數軸上對應的點都位于原點左側，因而絕對值越大，說明這個數所對應的點位置越靠左，因為在數軸上，右邊的點表示的數比左邊的點表示的數大，所以兩個負數比較大小，絕對值大的反而小
（2）比較兩個負數大小的方法：
［1］借助數軸標注出數對應的點進行比較
［2］利用法則比較：
①分別求出兩個負數的絕對值
②比較兩個絕對值的大小
③根據“兩個負數比較大小，絕對值大的反而小”做出判斷
知識點 核心內容
相反數 如果兩個數只有符號不同，那么稱其中一個數為另一個數的相反數，也稱這兩個數之間互為相反數
絕對值 概念 在數軸上，一個數所對應的點到原點的距離
求絕對值 a（a>0） |a|= a（a=0） a（a<0）
性質 絕對值具有非負性，即|a|≥0
互為相反數的兩個數的絕對值相等
兩個負數比較大小 ①兩個負數比較大小，絕對值大的反而小 ②在數軸上表示兩個負數，距離原點遠的點表示的數小
有理數的加法
有理數加法法則
（1）同號兩數相加取相同的符號，并把絕對值相加
（2）異號兩數相加，絕對值相等于時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值
（3）一個數同零相加仍得這個數
（4）兩個數的和不一定大于其中的每一個加數
有理數加法的運算律
（1）加法交換律：a+b=b+a
（2）加法結合律：（a+b）+c=a+（b+c）
（3）在運用運算律計算時，移項時要連同符號一起移動，即帶著符號“搬家”
知識點 核心內容
有理數的加法法則 （1）同號兩數相加取相同的符號，并把絕對值相加 （2）異號兩數相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值 （3）一個數同0相加，仍得這個數
有理數加法的簡便運算 借助加法交換律和加法結合律進行簡便運算，原則如下： （1）優先相加互為相反數的兩個數 （2）幾個小數相加可得整數時，優先相加 （3）同分母分數優先相加 （4）符號相同的數優先相加 （5）易于通分的數優先相加 （6）存在帶分數的運算中，先將帶分數拆成整數和分數兩部分，再將整數部分和分數部分分別相加
有理數的減法
有理數的減法法則
（1）有理數的減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數
（2）用字母表示有理數的減法法則為a-b=a+（-b），字母ab可以表示任意有理數
（3）任何數減去0，仍得這個數；0減去一個數，結果還是這個數的相反數
（4）在有理數中，符號“-”有三種含義：①減號②負號③表示一個數的，相反數
（5）被減數與減數的位置不能互換，因為減法沒有交換律
知識點 核心內容
有理數的減法 法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數
運算步驟：①根據有理數的減法法則，把減號變為加號，把減數變為它的相反數②利用有理數的加法法則進行運算
有理數的加減混合運算
有理數的加減法的統一
（1）有理數的加減混合運算中的減法，可以根據有理數的減法法則轉化成加法，這樣原來的加減混合運算就被統一成加法運算
（2）在合式里，通常把各個加數前面的“+”號和“（）”省略不寫，寫成省略括號和加號的和的形式，如（-2）+（+3）+（-5）可以寫成-2+3-5的形式
（3）在交換加數的位置時，要連同加數前面的符號一起交換；
在運用加法結合律時，有時把減號看作負號
有理數的加減混合運算步驟
（1）有理數的加減混合運算的步驟：
①把加減混合運算統一成加法運算
②寫成省略括號和加號的和的形式
③利用加法法則進行計算
（2）有理數的加減混合運算的注意事項：在用結合律簡化運算時，一般將互為相反數或易湊整，易通分的數結合或將正、負數分別結合
（3）交換加數的位置時，要連同它前面的符號一起交換
利用有理數的加減運算解決實際問題
（1）“水位變化”問題是典型的有理數的加減混合運算的實際問題，首先要理解水位變化的含義，即正號表示水位比前一天上升，負號表示水位比前一天下降，參考對象是前一天的水位，同樣地，此類問題還適用于“股票變化”“產量變化”等實際問題
知識點 核心內容
把加減混合算式寫成省略括號和加號的和的形式 簡化符號的規律，同號得正，異號得負，即+（+a）=a，-（-a）=a，+（-a）=-a，-（+a）=-a
兩種不同的讀法：例如-4-9+2，可讀成“負4、負9、正2的合”或“負4減9加2”
有理數的加減混合運算 （1）根據簡化符號的規律，把加減混合算式寫成省略括號和加號的“和”的形式 （2）運用加法交換律和結合律算“和”
有理數的乘法
有理數的乘法法則
（1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘
（2）任何數與0相乘，積仍為0
（3）有理數乘法運算的一般步驟：
①確定積的符號
②計算各數的絕對值
③計算絕對值的積
（4）任何一個數的絕對值都是非負數
（5）一個數同-1相乘，就得到這個數的相反數
（6）當因數中有負數時，必須用括號括起來，如-3和-4的積，應列式為（-3）×（-4），第一個因數有括號時，括號可以省略
（7）有理數乘法法則中“同號得正，異號得負”是針對兩個非零的有理數相乘，若兩個因數中有一個因數為0，積就為0
倒數
（1）如果兩個有理數的乘積為1，那么稱其中的一個數是另一個數的倒數，也稱這兩個有理數互為倒數
（2）求分數的倒數，把分數的分子、分母顛倒即可
（3）求小數的倒數，先將小數轉化為分數，再求倒數，求一個帶分數的倒數，先將帶分數轉化為假分數，再求倒數
（4）根據乘法法則“同號得正”，可知互為倒數的兩個數符號相同，即正數的倒數是正數，負數的倒數是負數
（5）0沒有倒數，倒數等于本身的數，只有1和-1
有理數乘法法則推廣
（1）幾個不等于0的有理數相乘，先根據負因數的個數“奇負偶正”的原則確定積的符號，然后再把各個因數的絕對值相乘
（2）幾個有理數相乘，如果有一個因數為0，那么積為0；反之，如果幾個有理數的積為0，那么至少有一個因數為0
有理數乘法的運算律
（1）乘法的交換律：ab=ba
（2）乘法的結合律：（ab）c=a（bc）
（3）乘法對加法的分配律：a（b+c）=ab+ac
（4）分配律的逆用：ab+ac=a（b+c）
（5）利用分配律計算一定要注意括號內的各因數的符號
（6）運用乘法的運算律可進行簡便計算，通常遵循以下原則：①互為倒數的兩數相結合；②積為整數的數相結合；③便于約分的分數相結合
知識點 核心內容
有理數乘法法則 兩數相乘同號得正異號得負，并把絕對值相乘，任何數與零相0，積仍為0
倒數 如果兩個有理數的乘積為一，那么乘其中的一個數是另一個數的倒數，也稱這兩個有理數，互為倒數
有理數乘法法則的推廣 幾個不等于零的有理數相乘積的符號？由負因數的個數決定，積的絕對值等于各個因數的絕對值的積幾個有理數相乘，有一個因數為0時，積就為0
有理數乘法運算律 （1）乘法的交換律：ab=ba （2）乘法的結合律：（ab）c=a（bc） （3）乘法對加法的分配律：a（b+c）=ab+ac
有理數的除法
有理數的除法法則
（1）法則一：兩個有理數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除，0除以任何非0的數都得0
法則二：除以一個數等于乘這個數的倒數
在計算時，根據具體情況靈活運用，一般在能整除的情況下應用法則一，不能整除的情況下應用法則二
（2）若兩個數的商為0，則這兩個數相等；若兩個數的商為-1，則這兩個數互為相反數
知識點 核心內容
有理數的 除法法則 兩個有理數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；0除以任何非0的數都得0，0不能做除數
除一個數等于乘這個數的倒數
有理數的乘方
有理數的乘方
（1）一般地，n個相同的因數a相乘記作a ，即a×a×…×a=a ，這種求n個相同因數a的運算叫做乘方，乘方的結果叫做冪，a叫做底數，n叫做指數，a 讀作“a的n次方”或“a的n次冪”
（2）冪的指數與底數不能隨意交換，即不能把2 寫成3
（3）一個數可以看作它本身的一次方指數一，通常省略不寫
（4）底數a可以是任何有理數，如負數、0、分數等
（5）當底數是分數或負數時，一定要用括號把整個底數括起來，例如（-2） 不能寫成-2
有理數乘方的運算
（1）由乘方的意義，可以得出冪的符號法則：
①正數的任何次冪都是正數
②負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數
③0的任何次冪都是0
（2）互為相反數的兩個數的奇數次冪仍然互為相反數；互為相反數的兩個數的偶數次冪相等
知識點 核心內容
乘方 求n個相同，因數a的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫做冪
乘方的符號法則 正數的任何次冪都是正數，負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數，0的任何次冪都是0
乘方運算 根據乘方的符號法則，確定符號，再將其轉化為乘法運算
科學記數法
科學計數法的概念及其表示
（1）一般地，一個大于10的數，可以表示成a×10 的形式，其中1≤a<10，陰虛眾數，這種計數方法叫做科學計數法
（2）記數對象：大于10的數
一般形式：a×10 ，其中1≤a<10，n是正整數
a與n的確定：a是整數位數只有一位的數，n等于原數的整數位數減1
（3）對于含有數字單位的數，應先將原數進行單位換算，再用科學記數法表示
（4）用科學記數法表示7642.53
7642.53=7.64253×10
知識點 核心內容
科學記數法 把一個大于10的數記成a×10 的形式，其中1≤a<10，n是正整數，這種技術方法叫做科學記數法
科學記數法還原 （1）10的指數n是幾，就把小數點向右移動幾位 （2）把用科學記數法表示的數a×10 中10的指數n加上1，就得到原來整數的位數
有理數混合運算
有理數混合運算順序
（1）有理數的混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號先算括號里面的，有理數混合運算順序遵循從高級到低級的原則，若是同級運算，則需要按照從左到右的順序進行近似數
（1）近似數是與實際很接近的數，如我國約有13億人口等，四舍五入法是求近似數的常用方法
（2）判斷一個數是不是近似數，其關鍵在于判斷這個數在實際問題中是否可以準確得到
（3）求近似數的方法：“四舍五入法”“去尾法”“進一法”
（4）按預定要求取近似值時，不要遺漏小數點后面的0，對較大數取近似值最好用科學計數法表示
（5）求帶計數單位或用科學計數法形式表示的近似數的精確度時，要看原數的最后一位數字，在整個數中所在的位置
（6）近似數最末尾的0不能隨意去掉，去掉末尾的0，意味著改變了精確度
知識點 核心內容
有理數的混合運算 運算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號先算括號里的
運算律：靈活運用運算律可簡化計算

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