資源簡(jiǎn)介

6.2.3　向量的數(shù)乘運(yùn)算
1.通過(guò)實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算法則，理解兩個(gè)平面向量共線的含義．
2.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義．
重點(diǎn)：實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，向量平行的充要條件；
難點(diǎn)：理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量平行的充要條件。
閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。
我們知道數(shù)是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法嗎？它和實(shí)數(shù)可以做乘法嗎？
探究1：已知非零向量，作出和，它們的長(zhǎng)度與方向與具有怎樣的關(guān)系？
【答案】
，記作。即.
的方向與的方向相同，。
類(lèi)似地，，其方向與的方向相反，.
知識(shí)點(diǎn)一　向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律
1．向量數(shù)乘的定義
一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa．
(1)|λa|＝|λ||a|．特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0．
(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反．
從兩個(gè)角度理解向量數(shù)乘
(1)代數(shù)角度
實(shí)數(shù)與向量的乘積λa仍然是一個(gè)向量；λa＝0 λ＝0或a＝0.
(2)幾何角度
|λ|>1
λ>1 在原方向上伸長(zhǎng)到原來(lái)的λ倍
λ<－1 在反方向上伸長(zhǎng)到原來(lái)的－λ倍
0<|λ|<1
0<λ<1 在原方向上縮短到原來(lái)的λ倍
－1<λ<0 在反方向上縮短到原來(lái)的－λ倍
2．向量數(shù)乘的運(yùn)算律
設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，a，b為向量，則滿(mǎn)足如下運(yùn)算律：
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb；
(4)(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的線性運(yùn)算
向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算．向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量．
對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
向量的線性運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的運(yùn)算，具有實(shí)數(shù)與多個(gè)向量和的乘積形式，計(jì)算時(shí)應(yīng)先去括號(hào)．共線向量可以“合并同類(lèi)項(xiàng)”“提取公因式”，這里的“同類(lèi)項(xiàng)”“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．
(1)實(shí)數(shù)和向量可以求積，但不能求和或求差．
(2)λ＝0或a＝0 λa＝0.
化簡(jiǎn)(2a＋8b)－(4a－2b)等于(　　)
A．－3a－6b B．6b－3a
C．2b－3a D．3a－2b
【答案】B
探究2：引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關(guān)系嗎？
【答案】當(dāng)?shù)姆较蛳嗤划?dāng)?shù)姆较蛳喾矗磳?shí)數(shù)與向量的積與原向量平行。
知識(shí)點(diǎn)二　共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa．
思考：為什么要是非零向量？可以是非零向量嗎？
【答案】向量共線定理中規(guī)定向量a≠0，因?yàn)槿绻鸻＝0，
當(dāng)b＝0時(shí)，0＝λ0，λ可以是任意實(shí)數(shù)；
當(dāng)b≠0時(shí)，b＝λ0，λ值不存在．
（1）判斷兩個(gè)向量是否共線的關(guān)鍵是看兩個(gè)向量是否滿(mǎn)足向量共線定理，即向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.因此，在考慮問(wèn)題時(shí)，不要忽略零向量．
（2）這個(gè)定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對(duì)實(shí)數(shù)t，s，使t＋s＝，則與共線；若兩個(gè)非零向量與不共線，且t＋s，則必有t＝s＝0.
判斷下列各小題的向量與是否共線。
。
【答案】（1）共線 （2）共線 （3） 不共線
考點(diǎn)一 向量數(shù)乘運(yùn)算的定義
例1 （2023上·高二課時(shí)訓(xùn)練）已知a、b為非零向量，試判斷下列各命題的真假，并說(shuō)明理由．
(1)2a的方向與a的方向相同； (2)|－2a|＝|3a|；
(3)a是單位向量； (4)a＋b與－a－b是一對(duì)相反向量．
【解析】　(1)真命題．∵2>0，
∴2a的方向與a的方向相同．
(2)假命題．|－2a|＝|a|＝2|a|＝|3a|.
(3)真命題．＝＝＝1.
(4)真命題．∵a＋b與－a－b是一對(duì)相反向量，且－(a＋b)＝－a－b，
∴a＋b與－a－b是一對(duì)相反向量．
【對(duì)點(diǎn)演練】已知λ∈R，a≠0，則在下列各命題中，正確的命題有(　　)
①當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向一定相同；
②當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向一定相反；
③當(dāng)λa與a的方向相同時(shí)，λ＞0；
④當(dāng)λa與a的方向相反時(shí)，λ＜0.
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】D　
【解析】由λ與向量a的乘積λa的方向規(guī)定，易知①②③④正確．
考點(diǎn)二 向量的線性運(yùn)算
例2．（2023上·北京·高二北京市第一六一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是兩兩不共線的向量，且向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量基底運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
故選：C
(1)向量的數(shù)乘運(yùn)算可類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類(lèi)項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．
(2)向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算．
【對(duì)點(diǎn)演練1】（2024高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量混合運(yùn)算即可.
【詳解】，
故選：C.
【對(duì)點(diǎn)演練2】若，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合，利用向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】
，
故選：A.
【對(duì)點(diǎn)演練3】已知向量x，y滿(mǎn)足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，則x＝________，y＝________．(用a，b表示)．
【答案】3a＋2b　4a＋3b
【解析】由已知得
①×3＋②×2得x＝3a＋2b，
①×4＋②×3，得y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
考點(diǎn)三 用已知向量表示未知向量
例3．（2023下·福建泉州·高二校考期中）如圖所示，向量，在一條直線上，且則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由得 ，即可得答案．
【詳解】由得
．
即， 則．
故選：B．
用已知向量表示相關(guān)向量的基本思路:用已知向量來(lái)表示其他向量是解向量相關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ),除了要利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外,還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理、性質(zhì),如三角形的中位線定理,相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等,把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解。
【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可知：為的重心，結(jié)合向量的線性運(yùn)算結(jié)合重心的性質(zhì)分析求解.
【詳解】設(shè)，
由題意可知：為的重心，且為的中點(diǎn)，
可知四點(diǎn)共線，且，
所以.
故選：A.
【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·湖北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（ ）

A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】先將分別用表示，再結(jié)合題意即可得解.
【詳解】，
，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以.
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)演練3】(2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷)在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,BD=2DA。記=m,=n,則=( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
【答案】B
【解析】因?yàn)?+=+3,又因?yàn)?+,所以=-2+3=-2m+3n。故選B。
考點(diǎn)四 向量共線定理及應(yīng)用
例4．（1）（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三校考階段練習(xí)）已知向量不共線，，，，則（ ）
A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，C，D三點(diǎn)共線
C．A，B，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線
【答案】C
【分析】根據(jù)向量共線定理進(jìn)行判斷即可.
【詳解】因?yàn)椴还簿€，，，，
易得互不共線，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，B，C，D三點(diǎn)不共線，故AD錯(cuò)誤；
又，易得不共線，則A，C，D三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；
而，所以A，B，D三點(diǎn)共線，故C正確.
故選：C.
（2）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，，且A，C，D三點(diǎn)共線，則（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知求出.根據(jù)已知可得共線，進(jìn)而得出，代入向量整理得出方程組，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，.
因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以共線，
則，使得，
即，
整理可得.
因?yàn)椋还簿€，
所以有，解得.
故選：D.
利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線，一般先任取兩點(diǎn)構(gòu)造向量，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩向量共線，需注意的是，在證明三點(diǎn)共線時(shí)，不僅要證明b＝λa(a≠0)，還要說(shuō)明向量a，b有公共點(diǎn)．　
【對(duì)點(diǎn)演練1】(1)已知e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．
(2)已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若＝x＋y，求證：x＋y＝1.
[證明]　(1)∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝e1－4e2.
又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴＝2，∴∥.
∵AB與BD有交點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．
(2)由于A，B，P三點(diǎn)共線，所以向量，在同一直線上，由向量共線定理可知，必定存在實(shí)數(shù)λ使 ＝λ，
即－＝λ(－)，
所以＝(1－λ)＋λ，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
【對(duì)點(diǎn)演練2】設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量a＝2e1－e2，與向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共線，則λ的值為_(kāi)_______．
【答案】－
【解析】因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)μ，使b＝μa成立．
即e1＋λe2＝μ(2e1－e2)＝2μe1－μe2，
所以(2μ－1)e1＝(λ＋μ)e2，
又因?yàn)閑1與e2不共線．
所以解得λ＝－.
【對(duì)點(diǎn)演練3】已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且＋＋＝，則下列向量一定共線的是(　　)
A.與 B.與
C.與 D.與
【答案】B
【解析】因?yàn)椋剑裕?，即－2＝，所以與共線．故選B.
例5（2023上·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比值為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】先設(shè)，于是得到點(diǎn)O是的重心，則，再結(jié)合三角形面積公式即可求出的面積與的面積，進(jìn)而得到答案.
【詳解】不妨設(shè)，如圖所示，

根據(jù)題意則，即點(diǎn)O是的重心，
取的中點(diǎn)，連接，則三點(diǎn)共線，且，
所以邊上的高是邊上的高的倍，
，即，
同理可得：，，
所以有，
又因?yàn)椋?br/>那么，
故的面積與的面積的比值為.
故選：A.
【對(duì)點(diǎn)演練】點(diǎn)P在△ABC所在平面上,且滿(mǎn)足++=2,則=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】　因?yàn)?+=2=2(-),所以3=-=,所以,共線,且3||=||,所以=
考點(diǎn)五 三角形重心、內(nèi)心的向量表示
例6（1）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，，則的軌跡一定通過(guò)的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
【答案】A
【詳解】
由題意，當(dāng)時(shí)，由于表示邊上的中線所在直線的向量，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心，如圖，故選A．

（2）（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A B C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
【答案】C
【分析】根據(jù)是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，可知點(diǎn)軌跡，據(jù)此可求解.
【詳解】因?yàn)闉榉较蛏系膯挝幌蛄浚瑸榉较蛏系膯挝幌蛄浚?br/>則的方向與的角平分線一致，
由，可得，
即，
所以點(diǎn)P的軌跡為的角平分線所在直線，
故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的內(nèi)心.
故選：C.
【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）設(shè)為的重心，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)闉橹匦模?br/>所以，
所以，
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)演練2】（2022下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】題目考察三角形四心的問(wèn)題，易得：為三角形的重心，位于中線的三等分點(diǎn)處，從而求出三角形面積的比例關(guān)系
【詳解】
如圖所示，由得：為三角形的重心，是中線的交點(diǎn)，
且，所以，，底邊為，
所以，
故選：B
一、單選題
1．（2023下·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，滿(mǎn)足，則與（ ）
A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的共線及模的關(guān)系確定選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量，滿(mǎn)足，
所以為共線反向向量，且模不相等，
所以ABC錯(cuò)誤，D正確.
故選：D
2．（2022下·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末）的化簡(jiǎn)結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平面向量的線性運(yùn)算方法即可求得答案.
【詳解】由題意，.
故選：B.
3．（2023·新疆·高三學(xué)業(yè)考試）已知，與的方向相反，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】確定方向和大小關(guān)系即可得答案.
【詳解】由，得，
又與的方向相反，所以.
故選：C.
4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，為不共線向量，，，，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則求出，即可判斷.
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以，
則關(guān)系式中正確的是，
故選：B．
5．（2022上·廣西玉林·高二校考階段練習(xí)）已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用共線向量定理逐項(xiàng)判斷作答.
【詳解】向量，不共線，且，，，
，則有，而有公共點(diǎn)B，有A，B，D共線，A是；
，不存在實(shí)數(shù)，使得，因此不共線，A，B，C不共線，B不是；
，不存在實(shí)數(shù)，使得，因此不共線，B，C，D不共線，C不是；
，不存在實(shí)數(shù)，使得，因此不共線，A，C，D不共線，D不是.
故選：A
6．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則下列命題正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)乘向量的模的意義即可得解.
【詳解】由數(shù)乘向量的模的意義可知，故AB錯(cuò)誤，C正確，
當(dāng)或時(shí)，，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
7．（2023上·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期中）已知D，E分別為的邊BC，AC的中點(diǎn)，且，，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得，，結(jié)合中線的性質(zhì)運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>且，，
可得，，
所以，整理得．
故選：C．
8．（2023上·陜西銅川·高三校考期末）在中，若，則點(diǎn)（ ）
A．在直線上 B．在直線上 C．在直線上 D．為的外心
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的減法法則將已知條件化簡(jiǎn)，再利用向量共線定理可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以和共線，
因?yàn)楹陀泄捕它c(diǎn)，
所以三點(diǎn)共線，
所以點(diǎn)在直線上，
故選：A
多選題
9.（2023下·陜西西安·高一期中）下列命題正確的的有（ ）
A．
B．
C．若，則共線
D．，則共線
【答案】ABC
【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算判斷A，B；由共線向量的定義判斷C，D.
【詳解】解：對(duì)于A，，故正確；
對(duì)于B，，故正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋裕怨簿€，故正確；
對(duì)于D，因?yàn)楹愠闪ⅲ圆灰欢ü簿€，故錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10．（2023上·河南·高三西平縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)．下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算逐個(gè)判定即可
【詳解】對(duì)于A：，A正確；
對(duì)于B：，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由平行四邊形法則可知，所以，C正確；
對(duì)于D：，D錯(cuò)誤，
故選：AC
11．（2023上·重慶江北·高二校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)
B．若，則點(diǎn)M是的重心
C．若，則點(diǎn)M，B，C三點(diǎn)共線
D．若，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，以及重心的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解．
【詳解】對(duì)于A中，如圖所示，根據(jù)向量的平行四邊形法則，可得，
若，可得M為BC的中點(diǎn)，所以A正確；

對(duì)于B中，若M為的重心，則滿(mǎn)足，
即，所以B不正確；
對(duì)于C中，由，可得，即，
所以M，B，C三點(diǎn)共線，所以C正確；
對(duì)于D中，如圖所示，由，

可得，所以D正確．
故選：ACD
12．（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考期中）在中，，為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則（ ）
A．
B．
C．四邊形的面積是面積的
D．和的面積相等
【答案】AB
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可判定A正確；設(shè)，求得，結(jié)合三點(diǎn)共線，求得，可判定B正確；設(shè)的面積為，根據(jù)三角形的面積公式，求得四邊形的面積為，可判定C不正確；根據(jù)題意，得到，可判定D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋礊椋拷c(diǎn)）的三等分點(diǎn)，
所以，所以A正確；
對(duì)于B，設(shè)，
由點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，
可得，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，
所以，可得且，
解得，即，所以B正確；
對(duì)于C，設(shè)的面積為，因?yàn)椋傻茫?br/>又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且，可得，
所以四邊形的面積為，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，可得，所以，
所以和的面積不相等，所以D錯(cuò)誤.
故選：AB
填空題
13．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習(xí)）若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，所以，
故答案為：.
14.（2023下·上海嘉定·高一校考期末）已知是的邊上的中線，若，則 .（用表示）
【答案】
【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義，結(jié)合向量對(duì)應(yīng)線段的位置關(guān)系用表示出.
【詳解】由題意知：.

故答案為：
15.（2023下·遼寧·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】2
【分析】利用向量的加減運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，所以，即.
故答案為：2
16．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考期中）已知為內(nèi)一點(diǎn)，且，若三點(diǎn)共線，則的值為
【答案】
【分析】把用表示，然后根據(jù)三點(diǎn)共線定理求解．
【詳解】取中點(diǎn)，連接，則，又，∴，
∴，
又三點(diǎn)共線，∴，．
解答題
17.如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示向量，.
【解析】因?yàn)椋剑絘，＝＋＝b，
所以
解得＝a－b，＝b－a.
18.設(shè)兩個(gè)不共線的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，使向量d＝λ a＋μ b與向量c共線？
解：∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d與c共線，則存在實(shí)數(shù)k使d＝k·c，即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke2－9ke2.由
得λ＝－2μ，故存在這樣的實(shí)數(shù)λ和μ，
只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．6.2.3　向量的數(shù)乘運(yùn)算
1.通過(guò)實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算法則，理解兩個(gè)平面向量共線的含義．
2.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義．
重點(diǎn)：實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，向量平行的充要條件；
難點(diǎn)：理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量平行的充要條件。
閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。
我們知道數(shù)是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法嗎？它和實(shí)數(shù)可以做乘法嗎？
探究1：已知非零向量，作出和，它們的長(zhǎng)度與方向與具有怎樣的關(guān)系？
知識(shí)點(diǎn)一　向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律
1．向量數(shù)乘的定義
一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作 ．
(1)|λa|＝ ．特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝ ．
(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向 ；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反．
從兩個(gè)角度理解向量數(shù)乘
(1)代數(shù)角度
實(shí)數(shù)與向量的乘積λa仍然是一個(gè)向量；λa＝0 λ＝0或a＝0.
(2)幾何角度
|λ|>1
λ>1 在原方向上伸長(zhǎng)到原來(lái)的λ倍
λ<－1 在反方向上伸長(zhǎng)到原來(lái)的－λ倍
0<|λ|<1
0<λ<1 在原方向上縮短到原來(lái)的λ倍
－1<λ<0 在反方向上縮短到原來(lái)的－λ倍
2．向量數(shù)乘的運(yùn)算律
設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，a，b為向量，則滿(mǎn)足如下運(yùn)算律：
(1)λ(μa)＝ ；
(2)(λ＋μ)a＝ ；
(3)λ(a＋b)＝ ；
(4)(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝ .
3．向量的線性運(yùn)算
向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算．向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量．
對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ ．
向量的線性運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的運(yùn)算，具有實(shí)數(shù)與多個(gè)向量和的乘積形式，計(jì)算時(shí)應(yīng)先去括號(hào)．共線向量可以“合并同類(lèi)項(xiàng)”“提取公因式”，這里的“同類(lèi)項(xiàng)”“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．
(1)實(shí)數(shù)和向量可以求積，但不能求和或求差．
(2)λ＝0或a＝0 λa＝0.
化簡(jiǎn)(2a＋8b)－(4a－2b)等于(　　)
A．－3a－6b B．6b－3a
C．2b－3a D．3a－2b
探究2：引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關(guān)系嗎？
知識(shí)點(diǎn)二　共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa．
思考：為什么要是非零向量？可以是非零向量嗎？
（1）判斷兩個(gè)向量是否共線的關(guān)鍵是看兩個(gè)向量是否滿(mǎn)足向量共線定理，即向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.因此，在考慮問(wèn)題時(shí)，不要忽略零向量．
（2）這個(gè)定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對(duì)實(shí)數(shù)t，s，使t＋s＝，則與共線；若兩個(gè)非零向量與不共線，且t＋s，則必有t＝s＝0.
判斷下列各小題的向量與是否共線。
。
考點(diǎn)一 向量數(shù)乘運(yùn)算的定義
例1 （2023上·高二課時(shí)訓(xùn)練）已知a、b為非零向量，試判斷下列各命題的真假，并說(shuō)明理由．
(1)2a的方向與a的方向相同； (2)|－2a|＝|3a|；
(3)a是單位向量； (4)a＋b與－a－b是一對(duì)相反向量．
【對(duì)點(diǎn)演練】已知λ∈R，a≠0，則在下列各命題中，正確的命題有(　　)
①當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向一定相同；
②當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向一定相反；
③當(dāng)λa與a的方向相同時(shí)，λ＞0；
④當(dāng)λa與a的方向相反時(shí)，λ＜0.
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
考點(diǎn)二 向量的線性運(yùn)算
例2．（2023上·北京·高二北京市第一六一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是兩兩不共線的向量，且向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)演練1】（2024高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)演練2】若，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)演練3】已知向量x，y滿(mǎn)足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，則x＝________，y＝________．(用a，b表示)．
考點(diǎn)三 用已知向量表示未知向量
例3．（2023下·福建泉州·高二校考期中）如圖所示，向量，在一條直線上，且則（ ）

A． B．
C． D．
【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·湖北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（ ）

A． B．2 C． D．3
【對(duì)點(diǎn)演練3】(2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷)在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,BD=2DA。記=m,=n,則=( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
考點(diǎn)四 向量共線定理及應(yīng)用
例4．（1）（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三校考階段練習(xí)）已知向量不共線，，，，則（ ）
A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，C，D三點(diǎn)共線
C．A，B，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線
（2）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，，且A，C，D三點(diǎn)共線，則（ ）
A． B．2 C．4 D．
【對(duì)點(diǎn)演練1】(1)已知e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．
(2)已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若＝x＋y，求證：x＋y＝1.
【對(duì)點(diǎn)演練2】設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量a＝2e1－e2，與向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共線，則λ的值為_(kāi)_______．
【對(duì)點(diǎn)演練3】已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且＋＋＝，則下列向量一定共線的是(　　)
A.與 B.與
C.與 D.與
例5（2023上·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比值為（ ）
A．2 B． C． D．3
【對(duì)點(diǎn)演練】點(diǎn)P在△ABC所在平面上,且滿(mǎn)足++=2,則=( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)五 三角形重心、內(nèi)心的向量表示
例6（1）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，，則的軌跡一定通過(guò)的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心

（2）（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A B C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）設(shè)為的重心，則（ ）
A．0 B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)演練2】（2022下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2023下·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，滿(mǎn)足，則與（ ）
A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反
2．（2022下·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末）的化簡(jiǎn)結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·新疆·高三學(xué)業(yè)考試）已知，與的方向相反，且，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，為不共線向量，，，，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·廣西玉林·高二校考階段練習(xí)）已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
6．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則下列命題正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023上·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期中）已知D，E分別為的邊BC，AC的中點(diǎn)，且，，則為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·陜西銅川·高三校考期末）在中，若，則點(diǎn)（ ）
A．在直線上 B．在直線上 C．在直線上 D．為的外心
多選題
9.（2023下·陜西西安·高一期中）下列命題正確的的有（ ）
A．
B．
C．若，則共線
D．，則共線
10．（2023上·河南·高三西平縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)．下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023上·重慶江北·高二校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)
B．若，則點(diǎn)M是的重心
C．若，則點(diǎn)M，B，C三點(diǎn)共線
D．若，則
12．（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考期中）在中，，為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則（ ）
A．
B．
C．四邊形的面積是面積的
D．和的面積相等
填空題
13．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習(xí)）若，則 ．
14.（2023下·上海嘉定·高一校考期末）已知是的邊上的中線，若，則 .（用表示）
15.（2023下·遼寧·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為 .
16．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考期中）已知為內(nèi)一點(diǎn)，且，若三點(diǎn)共線，則的值為
解答題
17.如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示向量，.
18.設(shè)兩個(gè)不共線的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，使向量d＝λ a＋μ b與向量c共線？

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