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第六章 計數(shù)原理 章末題型大總結(jié)
一、數(shù)學(xué)思想方法
1、分類討論思想
1．（2023上·高二課時練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．18 B．36
C．72 D．48
【答案】B
【詳解】解法一：
按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，
在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個．
由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有個．
解法二：
按個位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，
在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個．
由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有個．
解法三 ：
所有的兩位數(shù)共有90個，
其中個位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11，22，33，…，99，共9個；
有10，20，30，…，90共9個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，
則剩余的兩位數(shù)有個．
在這72個兩位數(shù)中，每一個個位數(shù)字（a）小于十位數(shù)字（b）的兩位數(shù)都有一個十位數(shù)字（a）小于個位數(shù)字（b）的兩位數(shù)與之對應(yīng)，
故滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)是.
故選：B.
2．（2023下·海南省直轄縣級單位·高二校考期中）有名歌舞演員，其中名會唱歌，名會跳舞，從中選出人，并指派一人唱歌，另一個跳舞，則不同的選派方法有 （ ）A．種 B．種 C．種 D．72種
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，有名歌舞演員，其中名會唱歌，名會跳舞，
則既會跳舞又會唱歌的有人，
只會唱歌的有人，只會跳舞的有人;
若選出2人，沒有既會跳舞又會唱歌，則有種選法，
若選出2人中有1人既會跳舞又會唱歌，則有種選法，
若選出2人全部是既會跳舞又會唱歌的，則有種選法，
綜上共有種選法.
故選：C.
3．（2023下·遼寧·高三朝陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）武術(shù)是中國的四大國粹之一，某武校上午開設(shè)文化課，下午開設(shè)武術(shù)課，某年級武術(shù)課有太極拳、形意拳、長拳、兵器四門，計劃從周一到周五每天下午排兩門課，每周太極拳和形意拳上課三次，長拳和兵器上課兩次，同樣的課每天只上一次，則排課方式共有（ ）
A．19840種 B．16000種 C．31360種 D．9920種
【答案】D
【詳解】先從5天中選3天排太極拳，有種，
然后再從所選的3天中選一節(jié)排太極拳有種，
所以太極拳有種排法，
若五天中有天既有太極拳又有形意拳，
則哪一天重復(fù)有種，
再從另外不重復(fù)的2天中每天選1天排形意拳，有種，
再從剩下的4節(jié)課中選2節(jié)排長拳，有種，則另外2節(jié)排兵器，
所以有種，
若五天中有天既有太極拳又有形意拳，
則哪兩天重復(fù)有種，
再從另外不重復(fù)的2天中排形意拳，有種，
再從剩下的4節(jié)課中抽2節(jié)課排長拳，有種，則另外2節(jié)排兵器，
但排在同一天不合適，所以有種，
所以共有種，
若五天中有天既有太極拳又有形意拳，
則剩下的4節(jié)課中選2節(jié)排長拳，有種，再去掉排同一天的種，
所以有種，
綜上所述：共有
種.
故選：D.
4．（2024上·甘肅·高二統(tǒng)考期末）“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環(huán)往復(fù)的修辭手法，而數(shù)學(xué)上也有類似這樣特征的一類“回文數(shù)”，如232，251152等，那么在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”共有 個.
【答案】225
【詳解】依題意，五位正整數(shù)中 “回文數(shù)”具有：
萬位與個位數(shù)字相同，且不為0，千位與十位數(shù)字相同，
求有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”的個數(shù)有兩類辦法：
第一類：萬位數(shù)字為偶數(shù)且不為0有4種，千位選一個奇數(shù)有5種，
百位選一個奇數(shù)有5種，
不同 “回文數(shù)”的個數(shù)為個，
第二類：萬位數(shù)字為奇數(shù)有5種，千位選一個偶數(shù)有5種，百位選一個奇數(shù)有5種，
不同 “回文數(shù)”的個數(shù)為，
由分類加法原理得，
在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”共有：個.
故答案為：225
5．（2023下·吉林白城·高二校考期末）部隊是青年學(xué)生成長成才的大學(xué)校，是砥礪品格、增強(qiáng)意志的好課堂，是施展才華、成就事業(yè)的大舞臺，國防和軍隊現(xiàn)代化建設(shè)迫切需要一大批有責(zé)任、敢擔(dān)當(dāng)?shù)挠兄厩嗄陻y筆從戎、報效祖國．為響應(yīng)征兵號召，某高等院校7名男生和5名女生報名參軍，經(jīng)過逐層籃選，有5人通過入伍審核．
(1)若學(xué)生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人員尚未接到通知，求所有可能結(jié)果有多少種？
(2)若至少有2名女生通過入伍審核，但入伍人員尚未接到通知，求所有可能結(jié)果有多少種？
【答案】(1)120
(2)596
【詳解】（1）因為學(xué)生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人員尚未接到通知，
所以從學(xué)生甲和乙以外的10人中任選3人，
所以所有的可能結(jié)果有種．
（2）從12人中任選5人的所有可能結(jié)果有種，
選出的5人中沒有女生所有可能結(jié)果有種，
選出的5人中有1名女生所有可能結(jié)果有種，
所以至少有2名女生被選出的選法數(shù)為種．
2、整體思想
1．（2023上·廣東東莞·高三校考階段練習(xí)）某中學(xué)為慶祝建校130周年，高二年級派出甲 乙 丙 丁 戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動，活動結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有 種(用數(shù)字作答)．
【答案】24
【詳解】將丙、丁捆綁排列有種，再把他們作為整體與戊排成一排有種，
排完后其中有3個空，最后將甲、乙插入其中的兩個空有種，
綜上，共有種排法.
故答案為：
2．（2023下·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中），，，，，，6名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若不站在兩端，和必須相鄰，則不同的排列方式共有 種．
【答案】
【詳解】根據(jù)題意，由于和相鄰，把和看成一個元素，與其他個人全排列，有種排法，
其中站在兩端的排法有種，
則有種符合題意的排法．
故答案為：．
3．（2023上·高二課時練習(xí)）將5個人排成一排，若甲和乙必須排在一起，則有多少種不同的排法？
【答案】48
【詳解】根據(jù)捆綁法，
共有種不同的排法.
4．（2023上·高二課時練習(xí)）用1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求所有相鄰兩個數(shù)字的奇偶性都不同，且1和2相鄰．問：有多少個這樣的六位數(shù)？
【答案】40
【詳解】先排3、5，有種方法，再將4、6插空排列，有種方法，
最后將捆綁放到3、4、5、6形成的5個空中，
且保持所有相鄰兩個數(shù)字的奇偶性都不同，共有種方法，
綜上：一共有個這樣的六位數(shù).
5．（2023下·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）現(xiàn)有8個人（5男3女）站成一排.
(1)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法
(2)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法
【答案】(1)4320
(2)2880
【詳解】（1）根據(jù)題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，
將這個整體與5名男生全排列，有種情況，
則女生必須排在一起的排法有種；
（2）根據(jù)題意，將5名男生全排列，有種情況，
排好后除去2端有4個空位可選，在4個空位中任選3個，安排3名女生，有種情況，
則女生兩旁必須有男生，有種不同排法
3、 主元思想
1．（2023上·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校校考階段練習(xí)）為了全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，加快農(nóng)村、農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化建設(shè)，某市準(zhǔn)備派6位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員到A，B，C，3地指導(dǎo)工作；每地上午和下午各安排一位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員，且每位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員只能被安排一次，其中張指導(dǎo)員不安排到地，李指導(dǎo)員不安排在下午，則不同的安排方案共有（ ）
A．180種 B．240種 C．480種 D．540種
【答案】B
【詳解】李指導(dǎo)員安排在C地上午時，張指導(dǎo)員有種安排方案，其余4位指導(dǎo)員有種安排方案，則共有種安排方案；
李指導(dǎo)員不安排在C地上午時，李指導(dǎo)員有種安排方案，張指導(dǎo)員有種安排方案，其余4位指導(dǎo)員有種安排方案，則共有種安排方案；
綜上，共有96+144=240種安排方案.
故選：B
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）2022年10月16日至10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國人民代表大會在北京召開．會議圓滿結(jié)束后，某市為了宣傳好二十大會議精神，市宣傳部決定組織去甲、乙、丙、丁4個村開展二十大宣講工作，每村至少1人，其中不去甲村，且不去同一個村，則宣講的分配方案種數(shù)為（ ）
A．216 B．198 C．180 D．162
【答案】D
【詳解】當(dāng)單獨(dú)去一個村時，有種，
當(dāng)與除以外的另外一人去一個村時，有種，
所以共有種分配方案．
故選：D
3．（2024上·上海·高二上海南匯中學(xué)校考期末）學(xué)校安排甲乙丙丁4名運(yùn)動員參加米接力賽，其中甲不跑第一棒，則共有 種不同的接力方式.
【答案】
【詳解】甲先在第二、三、四棒中選一棒，有種選法，
乙丙丁三人選擇除甲選擇之外的三棒，全排列即可，有種選法，
所以一共有種接力方式，
故答案為：.
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）某醫(yī)院選派甲、乙等4名醫(yī)生到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)義診，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少有一人，每名醫(yī)生只能去一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且甲、乙不在同一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的選派方法有 種．
【答案】30
【詳解】由題意知可按甲、乙兩人的選派情況分兩類：
①甲、乙均單獨(dú)去一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則剩下的2人一起去另一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，共有種選派方法；
②甲、乙兩人有一人和另外2人中的一人一起去一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，剩下的2人均單獨(dú)去一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，共有種選派方法．
由分類加法計數(shù)原理可知，不同的選派方法共有（種）．
故答案為：
5．（2023下·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）現(xiàn)有包括甲、乙在內(nèi)的5名同學(xué)在比賽后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，則符合要求的排列方法共有 種
【答案】54
【詳解】先排乙，從中間的3個位置中選1個安排乙，則有種方法，
再排甲，從除左端外，剩下的3個位置中選1個安排甲，則有種方法，
最后排其余3個，有種方法，
所以由分步乘法原理可知共有種方法，
故答案為：54
4、“正難則反”思想
1．（2023下·河南洛陽·高二校考期中）某班團(tuán)支部換屆選舉，從已產(chǎn)生的甲、乙、丙、丁四名候選人中選出三人分別擔(dān)任書記、副書記和組織委員，并且規(guī)定：上屆任職的甲、乙、丙三人不能連任原職，則不同的任職結(jié)果有（ ）.
A．15 B．11 C．14 D．23
【答案】B
【詳解】四人中選出三人分別任職三個不同的崗位，其方法數(shù)為，
三個職位中有一位連任，假設(shè)上屆任職的甲、乙、丙三人分別擔(dān)任書記、副書記和組織委員，
假設(shè)甲連任書記，副書記可選的人選分別為丙和丁，
當(dāng)丁擔(dān)任了副書記，則組織委員只能選乙；當(dāng)丙擔(dān)任了副書記，則組織委員只能選乙和丁，
故其方法數(shù)為；
三個職位中有兩位連任，其方法數(shù)為；
三個職位中三位都連任，其方法數(shù)為1.
故符合題意的方法數(shù)為.
故選：B.
2．（2023上·遼寧大連·高二大連市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）將2個男生和4個女生排成一排，要求2個男生都不與女生甲相鄰的排法有 種.
【答案】288
【詳解】先將除甲外其它3個女生排一排有種，共有4個空，
若2個男生與女生甲排一起有種，再將他們插入上述4個空中的一個有種，
此時，共有種；
若2個男生中的一個與女生甲排一起有種，再將他們和另一個男生插入上述4個空中的兩個有種，
此時，共有種；
又6個人做全排列有種，故2個男生都不與女生甲相鄰的排法有種.
故答案為：
3．（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試）第六屆進(jìn)博會招募志愿者，某校高一年級有3位同學(xué)報名，高二年級有5位同學(xué)報名，現(xiàn)要從報名的學(xué)生中選取4人，要求高一年級和高二年級的同學(xué)都有，則不同的選取方法種數(shù)為 .（結(jié)果用數(shù)值表示）
【答案】65
【詳解】由題意，要求高一年級和高二年級的同學(xué)都有，
則有.
另解：間接法：.
故答案為：65
4．（2023上·高二課時練面上有10個點，其中有4個點在同一條直線上，除此以外，不再有三點共線.問：由這些點可以確定多少條直線？
【答案】
【詳解】方法一（直接法）共線的4點記為A，B，C，D.
第一類：A，B，C，D確定1條直線
第二類：A，B，C，D以外的6個點可確定條直線；
第三類：從A，B，C，D中任取1點，其余6點中任取1點可確定條直線．
根據(jù)分類計數(shù)原理，共有不同直線（條）.
方法二（間接法）10個點取2個點共有種，
4個共線點取2個共有種，以上均表示同一條直線，再加上4個共線點所在的直線，
則可確定不同的直線有（條）.
5．（2023上·高二課時練習(xí)）（1）從10男8女中任選5人，共有多少種不同的選法？
（2）從10男8女中任選5人（男女都有）擔(dān)任5項不同的工作，共有多少種不同的選法？
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）從10男8女中任選5人有種不同的選法；
（2）從10男8女中任選5人擔(dān)任5項不同的工作有種不同的選法，
其中5人全部是男生的有種不同的選法，全部是女生有種不同的選法，
故符合條件的方法種數(shù)為：.
5、函數(shù)思想
1．（2022·湖北武漢·高三華中師大一附中校考階段練習(xí)）設(shè)為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，若，則
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【詳解】為正整數(shù)，由展開式的二項式系數(shù)的最大值為，以及二項式系數(shù)的性質(zhì)可得，
同理，由展開式的二項式系數(shù)的最大值為，可得．
再由，可得，即，
即，即，解得，
故選：．
2．（2023下·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【詳解】因為，
所以，即，解得或，
因為，所以.
故選：C．
3．（2022·高二課時練習(xí)）已知的展開式中所有的二項式系數(shù)之和為128.
（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項.
【答案】（1），；（2）.
【詳解】（1）由題意，知，所以.在二項式系數(shù)中，最大的是與，
故二項式系數(shù)最大的項是第4項與第5項，即，.
（2）設(shè)第項的系數(shù)最大，
則有，由于，故，所以系數(shù)最大的項是第6項，即.
二、重點題型精講
題型01兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用
【典例1】（2024上·甘肅白銀·高二校考期末）安排5名志愿者完成四項工作，其中項工作需2人，項工作不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配了工作，且每項工作均有人完成，則不同的安排方法共有（ ）
A．66種 B．60種 C．54種 D．48種
【答案】D
【詳解】甲去完成項工作，有種不同的安排方式；
甲不去完成項工作，又項工作不安排甲完成，有種不同的安排方式，
故共有種不同的安排方式．
故選：D
【典例2】（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）教務(wù)處準(zhǔn)備給高三某班的學(xué)生排周六的課表，上午五節(jié)課，下午三節(jié)課．若準(zhǔn)備英語、物理、化學(xué)、地理各排一節(jié)課，數(shù)學(xué)、語文各排兩節(jié)課連堂，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，則不同的排課方式有（ ）
A．216種 B．384種 C．408種 D．432種
【答案】D
【詳解】由題意，數(shù)學(xué)、語文不能同時安排在下午，
若數(shù)學(xué)（連堂）安排在下午，在英語、物理、化學(xué)、地理中選一種安排在下午有種，
再把余下的三科與語文（連堂）安排在上午，把上午看作四節(jié)課，則有種，
此時共有種；
若語文（連堂）安排在下午，在英語、物理、化學(xué)、地理中選一種安排在下午有種，
再把余下的三科與數(shù)學(xué)（連堂）安排在上午，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，
把上午看作四節(jié)課，數(shù)學(xué)只能安排在后三節(jié)有種，其余三科全排有種，
此時共有種；
若數(shù)學(xué)、語文都安排在上午，在英語、物理、化學(xué)、地理中選一種安排在上午有種，
將上午看作三節(jié)課，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，有種，
再把余下的三科安排在下午作全排有種，
此時共有種；
綜上，共有種.
故選：D
【典例3】（2023·全國·高二課堂例題）用0，1，2，…，9這十個數(shù)字，可以排成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？
【答案】2296
【詳解】滿足條件的四位數(shù)可以分為兩類：
第一類的末位數(shù)字是0，有個，
第二類的末位數(shù)字不是0，要排成這樣的四位數(shù)，可以分成三個步驟來完成：
第一步，確定末位數(shù)字，因為只能是2，4，6或8，所以有種方法；
第二步，確定首位數(shù)字，因為數(shù)字不能重復(fù)，所以有種方法；
第三步，確定中間兩位數(shù)字，有種方法，
由分步乘法計數(shù)原理可知，這樣的數(shù)字有個，
由分類加法計數(shù)原理可知，滿足條件的四位數(shù)個數(shù)為
.
【變式1】（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）2023年的五一勞動節(jié)是疫情后的第一個小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費(fèi)旅游．除常見的五個旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有（　　）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【答案】B
【詳解】①恰有2個部門所選的旅游地相同，
第一步，先將選相同的2個部門取出，有種；
第二步，從6個旅游地中選出3個排序，有種，
根據(jù)分步計數(shù)原理可得，方法有種；
②4個部門所選的旅游地都不相同的方法有種，
根據(jù)分類加法計數(shù)原理得，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有種．
故選：B
【變式2】（2023·全國·模擬預(yù)測）為貫徹落實“立德樹人”的根本任務(wù)，探索德智體美勞“五育并舉”的實施路徑，某校統(tǒng)籌推進(jìn)以“五育并舉＋教師教育”為特色的第二課堂養(yǎng)成體系，引導(dǎo)學(xué)生崇尚勞動、尊重勞動者、提高勞動素養(yǎng)，以勞動周的形式開展勞育工作的創(chuàng)新實踐．若學(xué)生可以參加“民俗文化”“茶藝文化”“茶壺制作”“水果培育”“蔬菜種植”“3D打印”這六門勞動課中的一門，則甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生中至少有3名所選勞動課全不相同的方法共有 種．
【答案】1080
【詳解】分兩種情況討論：
若4名學(xué)生選的課全不同，則有種方法；
若有3名學(xué)生選的課全不同，即只有2名學(xué)生選的課相同，則有種方法．
故共有種方法．
故答案為：1080
【變式3】（2023上·上海虹口·高三上海財經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級中學(xué)校考期中）在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中，小于50000的奇數(shù)有 個．
【答案】
【詳解】小于50000的奇數(shù)萬位只能是1，2，3，4，個位只能為1，3，5，
①萬位為或，則萬位有種方法，個位有種方法，
其余各位為種方法，則種方法；
②萬位為或，則萬位有種方法，個位有種方法，
其余各位為種方法，則種方法；
共有：種方法.
故答案為：.
題型02數(shù)字排列問題
【典例1】（2023下·北京東城·高二景山學(xué)校校考期中）在，，，，，，這個數(shù)中任取個數(shù)，將其組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則能被整除，且比大的數(shù)共有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【詳解】若這個數(shù)的千位數(shù)為，百位數(shù)為，則這個數(shù)可以是，，共個，
若這個數(shù)的千位數(shù)為，百位數(shù)為，則這個數(shù)的個位只能是，
滿足條件的數(shù)共有個，
若這個數(shù)的千位數(shù)為，百位數(shù)為，則滿足條件的數(shù)共有個，
若這個數(shù)的千位數(shù)為，這個數(shù)的個位只能是，則滿足條件的數(shù)共有個，
若這個數(shù)的千位數(shù)為，則滿足條件的數(shù)共有個，
根據(jù)分類計數(shù)原理，可得滿足條件的數(shù)共有個．
故選：C．
【典例2】（2023上·高二單元測試）由數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字且奇偶數(shù)字相間的六位數(shù)的個數(shù)為 ．
【答案】60
【詳解】當(dāng)首位為奇數(shù)時，則奇數(shù)位上都是奇數(shù)才能滿足題意，這樣三個位奇數(shù)在三個奇數(shù)位置排列，
三個偶數(shù)在三個偶數(shù)位置排列共有種結(jié)果，
當(dāng)首位是偶數(shù)時，三個奇數(shù)在偶數(shù)位置排列，三個偶數(shù)有兩個可以排在首位，
共有種結(jié)果，
根據(jù)分類計數(shù)原理可以得到共有種結(jié)果.
故答案為：60．
【典例3】（2023下·高二課時練習(xí)）已知0， 1， 2， 3， 4， 5這六個數(shù)字．
(1)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的三位奇數(shù)？
(2)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的小于1 000的自然數(shù)？
(3)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的大于3 000且小于5 421的四位數(shù)？
【答案】(1)48
(2)131
(3)175
【詳解】（1）分3步：
①先選個位數(shù)字，由于組成的三位數(shù)是奇數(shù)，因此有3種選法；
②再選百位數(shù)字有4種選法；
③十位數(shù)字也有4種選法；
由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有個.
（2）分3類：
①一位數(shù)，共有6個；
②兩位數(shù)，先選十位數(shù)字，有種選法；再選個位數(shù)字也有種選法，共有個；
③三位數(shù)，先選百位數(shù)字，有種選法；再選十位數(shù)字也有種選法；再選個位數(shù)字，有種選法，共有個；
因此，比1 000小的自然數(shù)共有個．
（3）分4類：
①千位數(shù)字為或時，后面三個數(shù)位上可隨便選擇，此時共有個；
②千位數(shù)字為，百位數(shù)字為之一時，共有個；
③千位數(shù)字為，百位數(shù)字是，十位數(shù)字為之一時，共有個；
④也滿足條件；
故所求四位數(shù)共有個.
【變式1】（2023上·江蘇·高三海安高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個五位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和為3，則這樣的五位數(shù)共有 個．
【答案】
【詳解】若一個五位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和為3，則這樣的五位數(shù)可分為類：
第一類，五位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字是個，個組成，
則由首位不為可知，在首位，其余各位為，即，僅有種方法；
第二類，五位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字是個，個，個組成，
則由首位不為可知，或在首位，選個放在首位，另個則從其它個位選個位放上，其余各位為，
共有種方法；
第三類，五位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字是個，個組成，
則由首位不為可知，在首位，在其它個位中選個位為，其余各位為，共有種方法；
所以由分類計數(shù)原理可得共有個這樣的五位數(shù).
故答案為：.
【變式2】（2023上·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學(xué)校考期末）將0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則：
(1)可以組成多少個偶數(shù)？
(2)可以組成多少個比13123大的數(shù)？
【答案】(1)60；
(2)82.
【詳解】（1）當(dāng)個位數(shù)字為0時，可以組成個偶數(shù)；
當(dāng)個位數(shù)字不為0時，可以組成個偶數(shù)；
所以可以組成個偶數(shù).
（2）所組成的比13123大的五位數(shù)，可以分為以下2類：
第一類：形如，共有個，
第二類：形如，共有個，
所以可以組成個比13123大的數(shù).
【變式3】（2023上·高二課時練習(xí)）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，問：
(1)能夠組成多少個五位偶數(shù)？
(2)能夠組成多少個小于的正整數(shù)？
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）依題意，當(dāng)0在個位時，組成五位偶數(shù)個數(shù)為；
當(dāng)2,4在個位時，組成五位偶數(shù)，首位不為0，則個數(shù)為，
共計組成的五位偶數(shù)個數(shù)為；
（2）小于的正整數(shù)有：
一位數(shù)有5個；
兩位數(shù)有個；
三位數(shù)有個；
四位數(shù)1為千位時有
四位數(shù)2為千位時有，3個；
小于的正整數(shù)共有個.
題型03涂色問題
【典例1】（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期末）學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍(lán)色 米白色 橄欖綠 薄荷綠，欲給小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有（ ）種不同的涂色方法.
A．78 B．66 C．56 D．48
【答案】B
【詳解】當(dāng)選擇兩種顏色時，因為欖綠與薄荷綠不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，
所以共有種選法，因此不同的涂色方法有種，
當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠都被選中，則有種方法選法，
因此不同的涂色方法有種，
當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠只有一個被選中，則有種方法選法，
因此不同的涂色方法有種，
當(dāng)選擇四種顏色時，不同的涂色方法有種，
所以共有種不不同的涂色方法，
故選：B.
【典例2】（2023·浙江·模擬預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué) 中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金 木 水 火 土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【答案】D
【詳解】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件.
五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.
故問題轉(zhuǎn)化為如圖五個區(qū)域，
有種不同的顏色可用，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，即色區(qū)域的環(huán)狀涂色問題.

分為以下兩類情況：
第一類：三個區(qū)域涂三種不同的顏色，
第一步涂區(qū)域，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區(qū)域上，則有種方法，
第二步涂區(qū)域，由于顏色不同，有種方法，
第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計數(shù)原理，則共有種方法；
第二類：三個區(qū)域涂兩種不同的顏色，
由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數(shù)相同.
若涂一色，
第一步涂區(qū)域，可看成同一區(qū)域，且區(qū)域不同色，
即涂個區(qū)域不同色，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區(qū)域上，則有種方法，
第二步涂區(qū)域，由于顏色相同，則有種方法，
第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計數(shù)原理，則共有種方法；
若涂一色，與涂一色的方法數(shù)相同，
則共有種方法.
由分類計數(shù)原理可知，不同的涂色方法共有種.
故選：D.
【典例3】（2023下·湖北十堰·高二校考階段練習(xí)）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有 種（用數(shù)字作答）.

【答案】
【詳解】如圖，用表示個區(qū)域，
分4步進(jìn)行分析：
①，對于區(qū)域，有5種顏色可選；
②，對于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；
③，對于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；
④，對于區(qū)域、，若與顏色相同，區(qū)域有3種顏色可選，
若與顏色不相同，區(qū)域有2種顏色可選，區(qū)域有2種顏色可選，
則區(qū)域、有種選擇，
則不同的涂色方案有種.
故答案為：.

【變式1】（2023上·江西南昌·高三南昌市外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）某植物園要在如圖所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（ ）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【詳解】分兩類情況：
第一類：2與4種同一種果樹，
第一步種1區(qū)域，有5種方法；
第二步種2與4區(qū)域，有4種方法；
第三步種3區(qū)域，有3種方法；
最后一步種5區(qū)域，有3種方法，
由分步計數(shù)原理共有種方法；
第二類：2與4種不同果樹，
第一步在1234四個區(qū)域，從5種不同的果樹中選出4種果樹種上，是排列問題，共有種方法；
第二步種5號區(qū)域，有2種方法，
由分步計數(shù)原理共有種方法.
再由分類計數(shù)原理，共有種不同的方法.
故選：C.
【變式2】（2023下·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，..，8，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（ ）

A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種
【答案】C
【詳解】由題意可得，只需確定區(qū)域的顏色，即可確定整個傘面的涂色.
先涂區(qū)域1，有7種選擇；再涂區(qū)域2，有6種選擇.
當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇.
當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有6種選擇.
故不同的涂色方案有種.
故選：C
【變式3】（多選）（2023上·甘肅白銀·高二校考期末）用種不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】AD
【詳解】當(dāng)時，分四步：
第一步，涂處，有3種涂色方案；第二步，涂處，有2種涂色方案；
第三步，涂處，有2種涂色方案；第四步，涂處，有1種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故A正確；
當(dāng)時，分四步：
第一步，涂處，有4種涂色方案；第二步，涂處，有3種涂色方案；
第三步，涂處，有3種涂色方案；第四步，涂處，有2種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故B錯誤；
當(dāng)時，分四步：
第一步，涂處，有5種涂色方案；第二步，涂處，有4種涂色方案；
第三步，涂處，有4種涂色方案；第四步，涂處，有3種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故C錯誤；
當(dāng)時，分四步：
第一步，涂處，有6種涂色方案；第二步，涂處，有5種涂色方案；
第三步，涂處，有5種涂色方案；第四步，涂處，有4種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故D正確.
故選：AD.
題型04全排列問題
【典例1】（2023上·湖南長沙·高二長郡中學(xué)校考階段練習(xí)）為了弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某學(xué)校欲利用每周的社團(tuán)活動課開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門課程，每周開設(shè)一門，連續(xù)開設(shè)六周，若課程“射”不排在第二周，課程“樂”不排在第五周，則所有可能的排法種數(shù)為
【答案】504
【詳解】“射”不在第二周且“樂”不在第五周的排法可以分為兩類：
第一類“射”排在第五周的排法，排法有種，
第二類“射”不在第二和第五周且“樂”不在第五周的排法，
①若“樂”在第二周，則射有四種選法，然后剩余四項全排列，則共有種排法
②若“樂”不在第二周，則“射”與樂共有種選法，然后剩余四項全排列則共有種，
由分類加法原理可得總的排法數(shù)為，
故答案為：504.
【典例2】（2023下·安徽滁州·高二校考期中）班級迎接元旦晚會有個唱歌節(jié)目、個相聲節(jié)目和個魔術(shù)節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．
(1)2個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？
(2)相聲節(jié)目不排在第一個節(jié)目、魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個節(jié)目，有多少種排法？
(3)現(xiàn)在臨時增加個魔術(shù)節(jié)目，要求重新編排節(jié)目單，要求個相聲節(jié)目不相鄰且個魔術(shù)節(jié)目也不相鄰，有多少種排法？
【答案】(1)種
(2)種
(3)種
【詳解】（1）將個相聲節(jié)目捆綁在一起，看成個節(jié)目，與其余個節(jié)目一起排，
則共有種不同排法；
（2）若相聲節(jié)目排在第一個節(jié)目，則有種不同排法，
若魔術(shù)節(jié)目排在最后一個節(jié)目，則有種不同排法，
若相聲節(jié)目排在第一個節(jié)目，并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個節(jié)目，則有種不同排法，
則相聲節(jié)目不排在第一個節(jié)目、魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個節(jié)目，
可以用個節(jié)目的全排列減去相聲節(jié)目排在第一個節(jié)目的排列數(shù)和魔術(shù)節(jié)目排在最后一個節(jié)目的排列數(shù)，
再加上相聲節(jié)目排在第一個節(jié)目并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個節(jié)目的排列數(shù)，
所以共有種不同排法；
（3）若個相聲節(jié)目相鄰，則有種不同排法，
若個魔術(shù)節(jié)目相鄰，也有種不同排法，
若個相聲節(jié)目相鄰，并且個魔術(shù)節(jié)目也相鄰，則有種不同排法，
則個相聲節(jié)目不相鄰且個魔術(shù)節(jié)目也不相鄰，可由個節(jié)目的全排列減去個相聲節(jié)目相鄰的排列數(shù)和個魔術(shù)節(jié)目相鄰的排列數(shù)，
再加上個相聲節(jié)目相鄰并且個魔術(shù)節(jié)目也相鄰的排列數(shù)，
所以共有種不同排法．
【典例3】（2023上·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）求下列問題的排列數(shù):
(1)3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相鄰;
(2)3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排頭,女生乙不能排排尾.
【答案】(1)480
(2)504
【詳解】（1）解:由題知共6人,除去男生甲和女生乙外,還有4人,
將4人全排共種,
4人排好后留下5個位置,將這5個位置分給甲乙,有種,
所以男生甲和女生乙不能相鄰共種
（2）由于男生甲不能排排頭,女生乙不能排排尾,
當(dāng)乙排排頭時,甲沒有限制,此時排列數(shù)為種,
當(dāng)乙不排排頭,因為乙不能排排尾,
所以乙只能排中間4個位置中,共種,
因為甲不能排排頭,除去排頭位置和已經(jīng)排好的乙外,
還有4個位置,選一個位置給甲,有種,
此時還有另4人,沒有限制,全排列有種,
故當(dāng)乙不排派頭時有種,
所以男生甲不能排排頭,女生乙不能排排尾共計:
種.
【變式1】（2023下·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）有四名男生，兩名女生和兩名老師站成一排照相，在下列情況下，各有多少種不同的站法？（結(jié)果用數(shù)字作答）
(1)兩名老師站正中間；
(2)四名男生身高都不相等，從左向右看，四名男生按從高到低的順序站.
【答案】(1)1440
(2)1680
【詳解】（1）2名老師站中間，有種站法，6名學(xué)生有種站法，
故共有種；
（2）先從8個位置中選出4個位置給4名男生，有種方法，再在剩下的4個位置上排其余4人，有種站法，
故四名男生從左到右按照由高到低的順序的站法有=1680（種）．
【變式2】（2023下·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）畢業(yè)典禮期間，國際班的7名師生站成一排拍照留念，其中老師1人，男學(xué)生4人.在下列各種情況下，有多少種不同的站法？請分別列式計算出結(jié)果
(1)前排站3人，后排站4人
(2)老師的左右兩邊都是女學(xué)生
(3)男學(xué)生互不相鄰
(4)老師不站中間，且女學(xué)生不站兩端
【答案】(1)5040
(2)240
(3)144
(4)2112
【詳解】（1）解：因為前排站3人，后排站4人，只需全排，將后4人站到后排即可，
即共種；
（2）因為老師1人，男學(xué)生4人，所以女學(xué)生2人，
將兩名女生與一名老師捆綁共種，
再將捆綁后的三位和剩余4人一起排列共有：種，
所以共種；
（3）先將兩名女生和一名老師全排，共種，
共有4個空，將4名男生插空有種，
所以共種；
（4）當(dāng)老師站兩端時，先排老師，有2種情況，再在中間5個位置選兩個給女生進(jìn)行排列，
再將剩余的4位男生全排列，共種，
當(dāng)老師不站兩端時，且不站中間，則有4種情況，
再選2個男生站兩端進(jìn)行排列，剩下的人全排，
共有種，
所以共有種.
【變式3】（2021上·高二課時練習(xí)）如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘蓬是由塊相同的區(qū)域組成的，用種顏色分別涂在傘蓬的個區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內(nèi)，則不同的顏色圖案的此類太陽傘至多有多少種

【答案】
【詳解】如圖，對個區(qū)域進(jìn)行編號，任選一組對稱區(qū)域（如與）同色，
用種顏色涂個區(qū)域的不同涂法有種，
又由于與，與，與，與是對稱的，即重復(fù)染色次，
故此種圖案至多有（種）.

題型05元素位置有限制問題
【典例1】（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）2023杭州亞運(yùn)會于9月23日至10月8日舉辦，組委會將6名志愿者隨機(jī)派往黃龍體育中心 杭州奧體中心 浙江大學(xué)紫金港校區(qū)三座體育館工作，若每名志愿者只去一座體育館工作，每座體育館至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黃龍體育中心，則不同的分配方案種數(shù)為（ ）
A．180 B．300 C．360 D．380
【答案】C
【詳解】若甲單獨(dú)一組：由于甲同學(xué)不去黃龍體育中心，所以先排甲共有種，
再將其余5人分成兩組共有種，分配到另外兩個體育中心共有，
所以此類情況共有種；
若甲與其他志愿者一組：先安排甲共有種，
然后將其余5人分成三組共有種，
再將三組分配到三個體育館共種，
所以此類情況共有種.
綜上，不同的分配方案共有360種.
故選：C.
【典例2】（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）2023年10月23日，杭州亞運(yùn)會歷時16天圓滿結(jié)束.亞運(yùn)會結(jié)束后，甲 乙 丙 丁 戊五名同學(xué)排成一排合影留念，其中甲 乙均不能站左端，且甲 丙必須相鄰，則不同的站法共有（ ）
A．18種 B．24種 C．30種 D．36種
【答案】C
【詳解】由題意可知，當(dāng)丙站在左端時，有種站法；
當(dāng)丙不站在左端時，有種站法.
由分類加法計數(shù)原理可得，一共有種不同的站法.
故選：C.
【典例3】（2024·廣西·模擬預(yù)測）第19屆杭州亞運(yùn)會的吉祥物，分別取名為“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”，是一組承載深厚底蘊(yùn)和充滿時代活力的機(jī)器人，組合名為“江南憶”.現(xiàn)有6個不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個，將這6個吉祥物排成前后兩排，每排3個，且每排相鄰兩個吉祥物名稱不同，則排法種數(shù)共有 .（用數(shù)字作答）
【答案】336
【詳解】由題意可分兩種情形：
①前排含有兩種不同名稱的吉祥物，
首先，前排從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”中取兩種，有種情況，
從選出的兩種吉祥物中，其中一種取兩個，另一種選一個，有種排法，
選出的三個吉祥物進(jìn)行排列，選一個的一定放中間，名字相同的放兩邊，
由于屬于不同的吉祥物，故有種排法，
綜上，有種排法；
其次，后排剩余兩個相同名字的吉祥物和另一個名字不同的吉祥物，
故有種排法，故共有種不同的排法；
②前排含有三種不同名稱的吉祥物，
先從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各二選一，有種選法，
再進(jìn)行全排列，故有種排法；
同理后排有種排法，此時共有種排法；
因此，共有種排法，
故答案為：336.
【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某班在一次班團(tuán)活動中，安排2名男生和4名女生講演，為安排這六名學(xué)生講演的順序，要求兩名男生之間不超過1人講演，且第一位和最后一位出場講演的是女生．則不同的安排方法總數(shù)為（　　）
A．168 B．192 C．240 D．336
【答案】C
【詳解】第一位和最后一位出場講演的是女生，有種，
中間4人，為2男2女，任意排列有種，
若中間2名女生，則有種，則滿足條件的有種，
則共有種不同的安排方法．
故選：C
【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A、B、C、D、E為0﹣9中五個不重復(fù)的數(shù)字，且滿足以下豎式加法，則滿足條件的四位數(shù)ABCD共有 個．
【答案】4
【詳解】由題可知，個位無進(jìn)位且為，所以，
千位為，所以千位上的是由百位進(jìn)1得到的，即，
百位有進(jìn)位則，所以，，
十位的個位為，則有進(jìn)位，則，
所以，，，
所以滿足條件的四位數(shù)ABCD為：5983，3985，1987，7981，共4個．
故答案為：4．
【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次，已知甲沒有得到冠軍，并且甲和乙都不是第5名，則這5個人名次排列的可能情況共有 種．
【答案】54
【詳解】解：甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次，
已知甲沒有得到冠軍，并且甲和乙都不是第5名，則甲有種排法，
當(dāng)乙是冠軍時，剩下的有種排法，
當(dāng)乙不是冠軍時，有＝12種排法，
則這5個人名次排列的可能情況共有種．
故答案為：54．
題型06相鄰與不相鄰問題
【典例1】（2024上·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學(xué)校聯(lián)考期末）7個人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（ ）種站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
【答案】D
【詳解】當(dāng)甲站在每一排的兩端時，有4種站法，此時乙的位置確定，剩下的人隨便排，有種站排方式；

當(dāng)甲不站在每一排的兩端時，有3種站法，此時乙和甲相鄰有兩個位置可選，丙和甲不相鄰有四個位置可選，剩下的人隨便站，有種站排方式；

故總共有種站排方式.
故選：D．
【典例2】（2023·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，這個數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和，小李以前6項數(shù)字的某種排列作為他的銀行卡密碼，如果數(shù)字1與2不相鄰，則小李可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為（ ）
A．144 B．120 C．108 D．96
【答案】A
【詳解】命題意圖 本題考查排列與組合的應(yīng)用．
解析 先排數(shù)字2，3，5，8，有種排法，4個數(shù)字形成5個空當(dāng)．
第一類：若兩個1相鄰，則從可選擇的3個空當(dāng)中選出一個放入兩個1，有3種排法；
第二類：若兩個1也不相鄰，則從可選擇的3個空當(dāng)中選出兩個分別放入數(shù)字1，
有3種排法．所以密碼個數(shù)為．
故選：A
【典例3】（2023上·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）現(xiàn)有4男2女共6個人排成一排照相，其中兩個女生相鄰的排法種數(shù)為多少？
（2）8個體育生名額，分配給5個班級，每班至少1個名額，有多少種分法？
（3）要排一份有4個不同的朗誦節(jié)目和3個不同的說唱節(jié)目的節(jié)目單，如果說唱節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個說唱節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)為多少？
（4）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生．現(xiàn)選派6名去甲、乙兩地參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，要求每隊必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊由2名外科醫(yī)生1名內(nèi)科醫(yī)生組成，有多少種派法？（最后結(jié)果都用數(shù)字作答）
【答案】（1）；（2）；（3）576；（4）.
【詳解】（1）兩個女生相鄰捆綁處理，有種；
（2）將8個體育生名額排成一列，在形成的中間7個空隙中插入4塊隔板，
所以不同的放法種數(shù)為；
（3）第1步，先排4個朗誦節(jié)目共種；
第2步，排說唱節(jié)目，不相鄰則用插空法，且保證不放到開頭，
從剩下4個空中選3個插空共有種，所以一共有=576種排法；
（4）先分類：
①若外科女醫(yī)生必選，則一組內(nèi)科4男選1，外科4男選1；
另一組內(nèi)科3女中選1女，外科3男選2，共有種；
②若外科女醫(yī)生不選，則一組內(nèi)科3女選1，外科4男選2；
另一組內(nèi)科2女選1，外科2男選2 ，共有種；
由于分赴甲乙兩地，所以共有種．
【變式1】（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）某5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時，又來了甲 乙 丙3位同學(xué)要加入，若保持原來5位同學(xué)的相對順序不變，且甲 乙2位同學(xué)互不相鄰，丙同學(xué)不站在兩端，則不同的加入方法共有（ ）
A．360種 B．144種 C．180種 D．192種
【答案】D
【詳解】分兩種情況：
當(dāng)丙不在甲 乙中間時，先加入甲，有種方法，再加入乙，有種方法，最后加入丙，有種方法，此時不同的加入方法共有種；
當(dāng)丙在甲 乙中間時，共有種方法.
故不同的加入方法共有種.
故選：D
【變式2】（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）唐宋八大家，又稱唐宋散文八大家，是中國唐代韓愈、柳宗元，宋代蘇洵、蘇軾、蘇轍、王安石、曾鞏、歐陽修八位散文家的合稱，其中江西獨(dú)占三家，分別是：王安石、曾鞏、歐陽修，他們掀起的古文革新浪潮，使詩文發(fā)展的陳舊面貌煥然一新.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校決定從唐宋八大家中挑選五位，于某周末開展他們的散文賞析課，五位散文家的散文賞析課各安排一節(jié)，連排五節(jié).若在來自江西的三位散文家中至少選出兩人，且他們的散文賞析課互不相鄰，則不同的排課方法共有 種.（用數(shù)字作答）
【答案】
【詳解】由題意可得，若挑選來自江西的三位散文家中選出兩人，則另外五位中挑選三人，
則有種情況，且他們互不相鄰，則有種情況，即；
若挑選來自江西的三位散文家中選出三人，則另外五位中挑選兩人，且他們互不相鄰，
則有種情況；
故不同的排課方法共有種情況.
故答案為：.
【變式3】（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校校考期中）電影《長津湖》講述了在極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神為長津湖戰(zhàn)役勝利做出重要貢獻(xiàn)的故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結(jié)果）
(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？
(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？
【答案】(1)720種
(2)1440種
(3)960種．
【詳解】（1）根據(jù)題意，先將3個女生排在一起，有種排法，
將排好的女生視為一個整體，與4個男生進(jìn)行排列，共有種排法，
由分步乘法計數(shù)原理，共有種排法；
（2）根據(jù)題意，先將4個男生排好，有種排法，
再在這4個男生之間及兩頭的5個空位中插入3個女生有種方法，
故符合條件的排法共有種；
（3）根據(jù)題意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有種排法，
由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，
最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空擋中有種排法，故符合條件的排法共有種．
題型07分組分配問題
【典例1】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學(xué)校聯(lián)考期末）2023年杭州亞運(yùn)會志愿者第一小組有5人，需要分配到擊劍 拳擊 柔道比賽場館，每個場館至少1人，至多2人，則不同的分配方法有多少種（ ）
A．90種 B．150種 C．180種 D．240種
【答案】A
【詳解】現(xiàn)將第一小組5人分層組，為一組1人兩組2人，
所以有種，再將其分分配到擊劍 拳擊 柔道比賽場館種，
所以共有種.
故選：A.
【典例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）2023年7月28日至8月8日，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會在四川成都成功舉辦．某中學(xué)積極響應(yīng)，舉辦學(xué)校運(yùn)動會．小趙、小錢、小孫、小李、小周5位同學(xué)報名參加3個項目，每人只報名1個項目，每個項目至少1人，小趙和小錢不參加同一個項目，則不同的報名方法共有（ ）
A．72種 B．114種 C．120種 D．144種
【答案】B
【詳解】方法一：5位同學(xué)報名參加3個項目，人數(shù)構(gòu)成分為與兩種情況，
先分組再將不同組分配去參加運(yùn)動項目：
①小趙和小錢分別在2人組和2人組：；
②小趙和小錢分別在2人組和1人組：；
③小趙和小錢分別在1人組和1人組：；
④小趙和小錢分別在1人組和3人組：，
所以共有（種）不同的報名方法.
方法二：不考慮小趙與小錢的特殊要求，5位同學(xué)報名參加3個項目，
人數(shù)構(gòu)成分為與兩種情況：
①；②：，共有150種情況．
假如小趙與小錢參加同一個項目，分為他們都在2人組和都在3人組兩種情況，
①都在2人組：；②都在3人組：，
考慮兩人的特殊要求之后，共有（種）不同的報名方法.
故選：B．
【典例3】（2024上·天津南開·高三南開中學(xué)校考階段練習(xí)）2023年成都大運(yùn)會期間，5名同學(xué)到3個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，每個場館至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有 種．
【答案】
【詳解】名同學(xué)可分為三組，也可分為三組，
若分為三組，則安排的方法有種，
若分為三組，則安排的方法有種，
由分類加法計數(shù)原理可知，一共有種安排方法，
故答案為：.
【變式1】（2023上·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校派出五名教師去三所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，其中有一對教師夫婦參與支教活動．根據(jù)相關(guān)要求，每位教師只能去一所學(xué)校參與支教，并且每所學(xué)校至少有一名教師參與支教，同時要求教師夫婦必須去同一所學(xué)校支教，則不同的安排方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【詳解】先將五個人分為三組， 每組的人數(shù)分別為、、或、、，
若三組的人數(shù)分別為、、，則教師夫婦必在三人的一組，
則教師夫婦這組還需從剩余的三人中抽人，此時，不同的分組方法數(shù)為種；
若三組人數(shù)分別為、、，則兩人一組的有一組是教師夫婦，
只需將剩余三人分為兩組，且這兩組的人數(shù)分別為、，此時，不同的分組方法種數(shù)為種.
接下來，將所分的三組分配給三所不同的學(xué)校，
因此，不同的安排方案種數(shù)為種.
故選：C.
【變式2】（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）為了支援與促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個地方的方法種數(shù)為（ ）
A．18 B．150 C．36 D．54
【答案】C
【詳解】五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，
分派方案可按人數(shù)分為3，1，1或2，2，1兩種情況，
根據(jù)題意兩位女教師分派到同一個地方，分派方案可分為兩種情況：
若兩位女教師分配到同一個地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；
若兩位女教師分配到同一個地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；
故共有：36種分派方法，
故選：．
【變式3】（2023上·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將六名志愿者分配到四個場所做志愿活動，其中場所至少分配兩名志愿者，其他三個場所各至少分配一名志愿者，則不同的分配方案共有 種．（用數(shù)字作答）
【答案】660
【詳解】第一類：A場所2人，B，C，D其中一場所2人，共有種；
第二類：A場所3人，，C，D每個場所1人，共有種；
則不同的分配方案共有種．
故答案為：660.
題型08二項展開式及其逆應(yīng)用
【典例1】（2024上·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列 的通項公式為，其前n項和為，則使的最小n是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由二項式定理，，，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知則單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，時，故的最小值為7.
故選：C.
【典例2】（2023上·高二課時練習(xí)）化簡．
【答案】
【詳解】原式
.
【變式1】 （2023下·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若對，恒成立，其中，，則（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
【答案】C
【詳解】由，
得，所以，所以.
故選：C.
【變式2】（2023下·甘肅武威·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若對，恒成立，其中，則（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】C
【詳解】由，
得，所以，.
故選：C.
題型09特定項（特定項系數(shù)）
【典例1】（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的展開式中第4項與第6項的二項式系數(shù)相等，寫出展開式中的一個有理項 ．
【答案】，，（寫出其中一個即可）
【詳解】由題意知，所以，
整理得，解得或（舍去），
所以的展開式的通項為：
，，．
若為有理項，則，所以，4，8，
故展開式中所有的有理項為：，
，．
故答案為：，，
【典例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）展開式中的常數(shù)項為 ．
【答案】
【詳解】因為，
則的展開通項公式為，
的展開通項公式為，
令，即，
可得和，
相加得，
故答案為：.
【典例3】（2023下·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）已知，設(shè)．
(1)求的值；
(2)求的展開式中的有理項．
【答案】(1)
(2)，，
【詳解】（1）由已知得：,
解得：．
（2）當(dāng)，展開式的通項為
，
要使之為有理項則為整數(shù)，
此時可以取到0，3，6
所以有理項分別是第1項，第4項，第7項，
，，．
【變式1】 （2023·全國·模擬預(yù)測）的展開式中常數(shù)項為 （用數(shù)字作答）．
【答案】46
【詳解】若要得到展開式中的常數(shù)項，則只能第一個括號選且第二個括號里選6個，
或者第一個括號里面選一個3且第二個括號里面分別各選2個、4個，
所以展開式中常數(shù)項為．
故答案為：46.
【變式2】（2023上·天津和平·高三天津一中校考階段練習(xí)）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
【答案】24
【詳解】二項式展開式的通項為，
由，得，則，所以x的系數(shù)為24.
故答案為：24.
【變式3】（2023下·湖北十堰·高二校考階段練習(xí)）已知的展開式中，第6項為常數(shù)項.
(1)求含項的系數(shù)；
(2)求展開式中所有的有理項.
【答案】(1)
(2)，，.
【詳解】（1）通項公式為.
因為第項為常數(shù)項，所以時，有，解得.
令，解得.
所以含項的系數(shù)為.
（2）由題意可知，，
則可能的取值為，，.
所以第項，第項，第項為有理項，分別為，，.
題型10二項式系數(shù)（含最值問題）
【典例1】（多選）（2023下·江蘇無錫·高二江陰市華士高級中學(xué)校聯(lián)考期中）若（）的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則的可能取值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】ABC
【詳解】A選項，此時展開式有8項，第4項二次項系數(shù)，第5項二次項系數(shù)最大且相等，故滿足題意，故A正確；
B選項，此時展開式有9項，第5項二次項系數(shù)最大，故滿足題意，故B正確；
C選項，此時展開式有10項，第5項二次項系數(shù)，第6項二次項系數(shù)最大且相等，故滿足題意，故C正確；
D選項，此時展開式有11項，第6項二次項系數(shù)最大，不合題意，故D錯誤.
故選：ABC
【典例2】（ 2023上·天津北辰·高三校考階段練習(xí)）若展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中第三項的二項式系數(shù)為 .
【答案】
【詳解】展開式的二項式系數(shù)和為，故，
展開式中第三項的二項式系數(shù)為.
故答案為：.
【典例3】（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知在的展開式中，第3項的二項式系數(shù)與第4項的二項式系數(shù)相等，且的系數(shù)為，則 .
【答案】
【詳解】二項式的展開式的通項公式為
，，
所以第3項的二項式系數(shù)，第4項的二項式系數(shù)為，
因為第3項的二項式系數(shù)與第4項的二項式系數(shù)相等，
所以，解得，
所以在的展開式中的系數(shù)為，
由已知，解得，
故答案為：.
【典例4】（2023下·河南鄭州·高二校聯(lián)考期中）已知展開式前三項的二項式系數(shù)和為.
(1)求展開式中各項的二項式系數(shù)和；
(2)求展開式中的常數(shù)項；
(3)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由題意，展開式前三項的二項式系數(shù)和為.
二項式定理展開前三項二項式系數(shù)和為：，
解得：或（舍去），即的值為，
故有展開式中，各項二項式系數(shù)之和為.
（2）由通項公式，，
令，可得：.
展開式中的常數(shù)項為；
（3）是偶數(shù)，展開式共有項，則第四項最大，
展開式中二項式系數(shù)最大的項為.
【變式1】（2024上·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學(xué)校考期末）已知展開式中第3項和第5項的二項式系數(shù)相等，則 ，且展開式中的常數(shù)項為 .
【答案】 6 240
【詳解】由題意得，所以.
又的展開式通項公式：
，
令，得
所以常數(shù)項為,
故答案為：①6;②240.
【變式2】（2023下·福建福州·高二福建省福州第八中學(xué)校考期末）的展開式中，若二項式系數(shù)最大的項僅是第4項，則展開式中的系數(shù)為 ．
【答案】
【詳解】因為在二項式的展開式中，二項式系數(shù)最大的項僅是第4項，
所以展開式中第4項是中間項，共有7項，則，
所以展開式的通項公式為，
令，得，
所以展開式中含項的系數(shù)是.
故答案為：．
【變式3】（2023上·高二課時練習(xí)）已知的展開式中第7項和第8項的二項式系數(shù)相等，求展開式中系數(shù)最大的項及二項式系數(shù)最大的項．
【答案】答案見解析
【詳解】因為的展開式中第7項的二項式系數(shù)是，第8項的二項式系數(shù)是，
則，解得，
所以的展開式共有項，則二項式系數(shù)最大的是第7和第8項，
又的展開通項公式為，
則，；
而第項的系數(shù)是，不妨設(shè)第項為系數(shù)最大的項，
則，即，
即，即，解得，則，
即第10項的系數(shù)最大，；
綜上，展開式中系數(shù)最大的項為，二項式系數(shù)最大的項為與.
【變式4】（2023下·湖北宜昌·高二校聯(lián)考期中）若展開式前三項的二項式系數(shù)之和為22.
(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
(2)求展開式中的常數(shù)項.
【答案】(1)
(2)135
【詳解】（1）因為展開式前三項的二項式系數(shù)之和為22，所以，
即，
解得或（舍），故的值為6，
即展開式中最大的二項式系數(shù)為，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為第4項，
即.
（2）由題意知展開式中通項公式為，
令，解得，
所以，故展開式中的常數(shù)項為135.
題型11系數(shù)（含系數(shù)最大，小項）
【典例1】（2023上·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學(xué)校考期中）的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為 .
【答案】1792
【詳解】由得，
所以的展開式的通項為，
當(dāng)展開式的項的系數(shù)最大時，為偶數(shù)，
比較，，，，，
所以當(dāng)時，展開式中項的系數(shù)最大，該項系數(shù)為1792.
故答案為：1792.
【典例2】（2023下·高二課時練習(xí)）在的展開式中.
(1)求第三項的系數(shù)；
(2)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項？
(3)求系數(shù)最大的項與系數(shù)最小的項.
【答案】(1)112
(2)第6項和第7項
(3)，
【詳解】（1）的展開式的通項為，
則，
所以第三項的系數(shù)為；
（2）設(shè)第項系數(shù)的絕對值最大，
則，即，解得
所以或，
故系數(shù)的絕對值最大的項是第6項和第7項；
（3）由（2）知，展開式中的第6項和第7項系數(shù)的絕對值最大，第6項的系數(shù)為負(fù)，第7項的系數(shù)為正，
故系數(shù)最大的項為，
系數(shù)最小的項為.
【典例3】（2022·高二課時練習(xí)）已知的展開式中，二項式系數(shù)和為256.
(1)此展開式中有沒有常數(shù)項？有理項的個數(shù)是幾個？并說明理由；
(2)求展開式中系數(shù)最小的項.
【答案】(1)沒有常數(shù)項，有理項有5個；
(2)
【詳解】（1）由題意，二項式系數(shù)和為，解得，通項為，
①若為常數(shù)項，當(dāng)且僅當(dāng)，即，且，這是不可能的，所以展開式中不含常數(shù)項；
②若為有理項，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，2，4，6，8，故展開式中共有5個有理項；
（2）設(shè)展開式中第項、第項、第項的系數(shù)絕對值分別為、、，
若第項的系數(shù)絕對值最大，則解得，故或，
因為時，第6項的系數(shù)為負(fù)；時，第7項的系數(shù)為正，所以系數(shù)最小的項為.
【變式1】（2024上·上海·高二上海市復(fù)旦中學(xué)校考期末）已知在的展開式中，前三項的系數(shù)分別為，，，且滿足．
(1)求展開式中系數(shù)最大的項；
(2)求展開式中所有有理項．
【答案】(1)，；
(2)，．
【詳解】（1）的展開式通項公式為：，，1，2，，，
則，，，
，解得，（舍去）.
由，記系數(shù)為，,1，2，，
設(shè)最大，則有，且，于是，解得，
所以,均為最大，
所以系數(shù)最大項為第3項和第4項；
（2）通項，
令，1，2，，所以只有當(dāng)，6時，對應(yīng)的項才為有理項，
有理項為，．
【變式2】（2023上·高二課時練習(xí)）求的二項展開式中系數(shù)最大的項．
【答案】
【詳解】展開式中通項公式為： ，
設(shè)第項的系數(shù)絕對值最大，則 ，
即，整理得，
所以且，
當(dāng)時，系數(shù)為負(fù)值，項的系數(shù)不是最大的；
當(dāng)時，，
故的二項展開式中系數(shù)最大的項為．
【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）(1)已知在的二項展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，求該二項展開式中不含x的項；
(2)已知在的二項展開式中，只有第七項的系數(shù)最大，求n的值；
(3)已知在的二項展開式中，第六項的系數(shù)最小，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）因為只有第六項的二項式系數(shù)最大，由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得，
的二項展開式的通項為，
令，所以，該二項展開式中不含x的項為；
（2）的二項展開式的通項為，
所以展開式項的系數(shù)是，即偶數(shù)項的系數(shù)為負(fù)數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)為正數(shù)，
只有第七項的系數(shù)最大，則有，且，
又，解得；
（3）的二項展開式的通項為，
所以展開式項的系數(shù)是，即偶數(shù)項的系數(shù)為負(fù)數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)為正數(shù)，
第六項的系數(shù)為，因為第六項的系數(shù)最小，
所以，又，解得.
題型12二項式系數(shù)和與系數(shù)和
【典例1】（2023上·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，對原式兩邊求導(dǎo)可得：
，
令，可得.
故選：C．
【典例2】（多選）（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A．展開式中所有二項式的系數(shù)和為 B．展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項
C． D．
【答案】ACD
【詳解】對于A：展開式中所有二項式的系數(shù)和為，正確；
對于B：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)知，且是二項式系數(shù)中最大的兩項，于是展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項和第1013項，錯誤；
對于C：取，得，取，得，
故，正確；
對于D：等式兩邊同時求導(dǎo)，得到，
取，得，正確．
故選：ACD
【典例3】（2023上·廣西河池·高三貴港市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在的二項式中，所有的二項式系數(shù)之和為64，則各項的系數(shù)的絕對值之和為 ．
【答案】729/
【詳解】由題意的二項式中，所有的二項式系數(shù)之和為64，
即，
設(shè)的各項的系數(shù)為，
則各項的系數(shù)的絕對值之和為，
即為中各項的系數(shù)的和，
令，，
即各項的系數(shù)的絕對值之和為，
故答案為：729
【典例4】（2024上·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）已知二項式，且滿足.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2)6560.
【詳解】（1）由得：，解得.
（2）由（1）知，根據(jù)二項式展開式通項，
易知，，，為負(fù)值，其它系數(shù)為正值，
所以，，
于是，令則；令則；
所以.
【變式1】（2023下·河南鄭州·高二校考階段練習(xí)）已知，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】對于A，令可得，即A錯誤；
對于B，令可得，所以B正確；
對于C，令可得，
將選項B中的式子與C中式子相減可得，
所以可得，因此C正確；
對于D，令可得，即可知D正確.
故選：A
【變式2】（2023上·重慶·高三重慶市萬州沙河中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知展開式的二項式系數(shù)之和為256，則其展開式中的系數(shù)為 .（用數(shù)字作答）
【答案】1120
【詳解】由 , 得.
展開式的通項，
,令, 得,
則展開式中含的項為.
所以的系數(shù)為1120.
故答案為：1120.
【變式3】（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知，若展開式各項的二項式系數(shù)的和為1024，則的值為 ．
【答案】17010
【詳解】，
展開式各項的二項式系數(shù)的和為，，
故展開式的通項公式為．
則令，可得．
故答案為：17010．
【變式4】（2022上·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期末）已知的二項式系數(shù)和為256，則展開式中含項的系數(shù)為 ．
【答案】112
【詳解】因為二項式系數(shù)和為256，所以，即，
所以，
令，則，
所以展開式中含項的系數(shù)為112.
故答案為：112
題型13 二項式定理應(yīng)用
【典例1】（2023上·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)a，b，m(m＞0)為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為.若，，則的值可以是（ ）
A．2018 B．2020
C．2022 D．2024
【答案】A
【詳解】因為
所以被10除得的余數(shù)為8，而2018被10除得的余數(shù)是8.
故選：A．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式，得名于英國數(shù)學(xué)家泰勒．根據(jù)泰勒公式，有，其中，，，．現(xiàn)用上述式子求的值，下列選項中與該值最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意得
當(dāng)時，
于是
故選：D.
【典例3】（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知.
(1)求的值；
(2)設(shè)，求被6除的余數(shù).
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由題設(shè)，則展開式通項為，，
所以.
（2）由題設(shè)，
而
，
所以，
顯然，除外，其它項均可被6整除，又，
所以被6除的余數(shù)為.
【變式1】（2023下·甘肅武威·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，且（，且），則（ ）
A．1 B．2 C．15 D．16
【答案】D
【詳解】，因為能被17整除，所以可以被17整除，即能被17整除，因為且，所以.
故選：D.
【變式2】（多選）（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．精確到0.1的近似數(shù)為1.6
C．被8整除的余數(shù)為1
D．
【答案】ABD
【詳解】對于A，，
令，則，為負(fù)數(shù)，為正數(shù)，
令，，
故，故A正確；
對于B，
,
故精確到0.1的近似數(shù)為1.6，B正確；
對于C，，
由此可得被8整除的余數(shù)為，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：ABD
【變式3】（2024·陜西咸陽·校考模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，其前項和為，若，則除以7的余數(shù)為 .
【答案】3
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為成等差數(shù)列，所以.
又因為，，，
解得，所以，，
，
則
，
所以除以7的余數(shù)為3.
故答案為：3.
題型14 楊輝三角形
【典例1】（2023上·四川成都·高一四川省蒲江縣蒲江中學(xué)校考開學(xué)考試）我國南宋時期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律.
當(dāng)代數(shù)式的值為1時，則x的值為（ ）
A．2或4 B．2或 C．2 D．
【答案】A
【詳解】由規(guī)律可得：，
令，，∴，
∵，∴，∴，∴或，
故選：A
【典例2】（多選）（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為引導(dǎo)游客領(lǐng)略傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究的精彩并傳播中國傳統(tǒng)文化，某景點推出了“解數(shù)學(xué)題獲取名勝古跡入場碼”的活動.活動規(guī)則如下：如圖所示，將楊輝三角第行第個數(shù)記為，并從左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行的斜線，記第條斜線上所有數(shù)字之和為，入場碼由兩段數(shù)字組成，前段的數(shù)字是的值，后段的數(shù)字是的值，則（ ）

A． B．
C． D．該景點入場碼為
【答案】BCD
【詳解】由題意得，
對于A：即為第行第個數(shù)，則，故A錯誤；
對于B：展開式的通項為，
其中，，，，
所以，，故B正確；
對于C：，，，，，
歸納可得，即，
所以，，，，
，故C正確；
對于D：，
故，該景點入場碼為，故D正確.
故選：BCD.
【典例3】（2023下·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）楊輝是我國古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，著有《詳解九章算法》 《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數(shù)字表示，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.

楊輝三角本身包含了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學(xué)問題.
性質(zhì)1：楊輝三角的第行就是的展開式的二項式系數(shù)；
性質(zhì)2（對稱性）：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等，即；
性質(zhì)3（遞歸性）：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即；
性質(zhì)4：自腰上的某個1開始平行于腰的一條線上的連續(xù)個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜右下方的那個數(shù)，比如：；
請回答以下問題：
(1)求楊輝三角中第8行的各數(shù)之和；
(2)證明：；
(3)在的展開式中，求含項的系數(shù).
【答案】(1)256
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1）楊輝三角中第8行的各數(shù)之和為
（2）
，
（3）的展開式中，求含項的系數(shù)為
【變式1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前項和為，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項依次取出組成新的數(shù)列記為，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意知：第行數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列的通項為，
，；
則數(shù)列的整數(shù)項為：，
數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
，，.
故選：B.
【變式2】（多選）（2023下·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和，如果，那么下面關(guān)于萊布尼茨三角形的結(jié)論正確的是（ ）

A．當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值
B．第8行第2個數(shù)是
C．（，）
D．（，）
【答案】BC
【詳解】對于A，根據(jù)楊輝三角的特點，當(dāng)為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值，當(dāng)為奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值，所以當(dāng)每一項取倒數(shù)時，再乘以一個常數(shù)，可得當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項取得最小值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最小值，所以A錯誤，
對于B，由萊布尼茨三角形知：第8行第2個數(shù)是，故B正確；
對于C，由組合數(shù)性質(zhì)知：，所以（，），故C正確；
對于D，由從第0行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和知：（，），故D錯誤.
故選：BC.
【變式3】（2023下·河北石家莊·高二河北新樂市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形.萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和，如果（n為正整數(shù)），那么下面關(guān)于萊布尼茨三角形的結(jié)論中正確的序號是 .
①當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值；②第8行第2個數(shù)是；③（，）；
【答案】②③
【詳解】對于①，根據(jù)楊輝三角的特點，當(dāng)為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值，當(dāng)為奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值，
所以當(dāng)每一項取倒數(shù)時，再乘以一個常數(shù)，可得當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項取得最小值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最小值，所以①錯誤；
對于②，第7行第1個數(shù)為，第8行第1個數(shù)為，所以第8行第2個數(shù)為，所以②正確；
對于③，每一行距離首末距離相等的兩項相等，即，所以③正確；
故答案為：②③第六章 計數(shù)原理 章末題型大總結(jié)
一、數(shù)學(xué)思想方法
1、分類討論思想
1．（2023上·高二課時練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．18 B．36
C．72 D．48
2．（2023下·海南省直轄縣級單位·高二校考期中）有名歌舞演員，其中名會唱歌，名會跳舞，從中選出人，并指派一人唱歌，另一個跳舞，則不同的選派方法有 （ ）A．種 B．種 C．種 D．72種
3．（2023下·遼寧·高三朝陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）武術(shù)是中國的四大國粹之一，某武校上午開設(shè)文化課，下午開設(shè)武術(shù)課，某年級武術(shù)課有太極拳、形意拳、長拳、兵器四門，計劃從周一到周五每天下午排兩門課，每周太極拳和形意拳上課三次，長拳和兵器上課兩次，同樣的課每天只上一次，則排課方式共有（ ）
A．19840種 B．16000種 C．31360種 D．9920種
4．（2024上·甘肅·高二統(tǒng)考期末）“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環(huán)往復(fù)的修辭手法，而數(shù)學(xué)上也有類似這樣特征的一類“回文數(shù)”，如232，251152等，那么在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”共有 個.
5．（2023下·吉林白城·高二校考期末）部隊是青年學(xué)生成長成才的大學(xué)校，是砥礪品格、增強(qiáng)意志的好課堂，是施展才華、成就事業(yè)的大舞臺，國防和軍隊現(xiàn)代化建設(shè)迫切需要一大批有責(zé)任、敢擔(dān)當(dāng)?shù)挠兄厩嗄陻y筆從戎、報效祖國．為響應(yīng)征兵號召，某高等院校7名男生和5名女生報名參軍，經(jīng)過逐層籃選，有5人通過入伍審核．
(1)若學(xué)生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人員尚未接到通知，求所有可能結(jié)果有多少種？
(2)若至少有2名女生通過入伍審核，但入伍人員尚未接到通知，求所有可能結(jié)果有多少種？
2、整體思想
1．（2023上·廣東東莞·高三校考階段練習(xí)）某中學(xué)為慶祝建校130周年，高二年級派出甲 乙 丙 丁 戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動，活動結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有 種(用數(shù)字作答)．
2．（2023下·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中），，，，，，6名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若不站在兩端，和必須相鄰，則不同的排列方式共有 種．
3．（2023上·高二課時練習(xí)）將5個人排成一排，若甲和乙必須排在一起，則有多少種不同的排法？
4．（2023上·高二課時練習(xí)）用1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求所有相鄰兩個數(shù)字的奇偶性都不同，且1和2相鄰．問：有多少個這樣的六位數(shù)？
5．（2023下·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）現(xiàn)有8個人（5男3女）站成一排.
(1)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法
(2)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法
3、 主元思想
1．（2023上·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校校考階段練習(xí)）為了全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，加快農(nóng)村、農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化建設(shè)，某市準(zhǔn)備派6位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員到A，B，C，3地指導(dǎo)工作；每地上午和下午各安排一位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員，且每位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員只能被安排一次，其中張指導(dǎo)員不安排到地，李指導(dǎo)員不安排在下午，則不同的安排方案共有（ ）
A．180種 B．240種 C．480種 D．540種
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）2022年10月16日至10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國人民代表大會在北京召開．會議圓滿結(jié)束后，某市為了宣傳好二十大會議精神，市宣傳部決定組織去甲、乙、丙、丁4個村開展二十大宣講工作，每村至少1人，其中不去甲村，且不去同一個村，則宣講的分配方案種數(shù)為（ ）
A．216 B．198 C．180 D．162
3．（2024上·上海·高二上海南匯中學(xué)校考期末）學(xué)校安排甲乙丙丁4名運(yùn)動員參加米接力賽，其中甲不跑第一棒，則共有 種不同的接力方式.
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）某醫(yī)院選派甲、乙等4名醫(yī)生到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)義診，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少有一人，每名醫(yī)生只能去一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且甲、乙不在同一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的選派方法有 種．
5．（2023下·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）現(xiàn)有包括甲、乙在內(nèi)的5名同學(xué)在比賽后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，則符合要求的排列方法共有 種
4、“正難則反”思想
1．（2023下·河南洛陽·高二校考期中）某班團(tuán)支部換屆選舉，從已產(chǎn)生的甲、乙、丙、丁四名候選人中選出三人分別擔(dān)任書記、副書記和組織委員，并且規(guī)定：上屆任職的甲、乙、丙三人不能連任原職，則不同的任職結(jié)果有（ ）.
A．15 B．11 C．14 D．23
2．（2023上·遼寧大連·高二大連市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）將2個男生和4個女生排成一排，要求2個男生都不與女生甲相鄰的排法有 種.
3．（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試）第六屆進(jìn)博會招募志愿者，某校高一年級有3位同學(xué)報名，高二年級有5位同學(xué)報名，現(xiàn)要從報名的學(xué)生中選取4人，要求高一年級和高二年級的同學(xué)都有，則不同的選取方法種數(shù)為 .（結(jié)果用數(shù)值表示）
4．（2023上·高二課時練面上有10個點，其中有4個點在同一條直線上，除此以外，不再有三點共線.問：由這些點可以確定多少條直線？
5．（2023上·高二課時練習(xí)）（1）從10男8女中任選5人，共有多少種不同的選法？
（2）從10男8女中任選5人（男女都有）擔(dān)任5項不同的工作，共有多少種不同的選法？
5、函數(shù)思想
1．（2022·湖北武漢·高三華中師大一附中校考階段練習(xí)）設(shè)為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，若，則
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2023下·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2022·高二課時練習(xí)）已知的展開式中所有的二項式系數(shù)之和為128.
（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項.
二、重點題型精講
題型01兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用
【典例1】（2024上·甘肅白銀·高二校考期末）安排5名志愿者完成四項工作，其中項工作需2人，項工作不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配了工作，且每項工作均有人完成，則不同的安排方法共有（ ）
A．66種 B．60種 C．54種 D．48種
【典例2】（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）教務(wù)處準(zhǔn)備給高三某班的學(xué)生排周六的課表，上午五節(jié)課，下午三節(jié)課．若準(zhǔn)備英語、物理、化學(xué)、地理各排一節(jié)課，數(shù)學(xué)、語文各排兩節(jié)課連堂，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，則不同的排課方式有（ ）
A．216種 B．384種 C．408種 D．432種
【典例3】（2023·全國·高二課堂例題）用0，1，2，…，9這十個數(shù)字，可以排成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？
【變式1】（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）2023年的五一勞動節(jié)是疫情后的第一個小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費(fèi)旅游．除常見的五個旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有（　　）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【變式2】（2023·全國·模擬預(yù)測）為貫徹落實“立德樹人”的根本任務(wù)，探索德智體美勞“五育并舉”的實施路徑，某校統(tǒng)籌推進(jìn)以“五育并舉＋教師教育”為特色的第二課堂養(yǎng)成體系，引導(dǎo)學(xué)生崇尚勞動、尊重勞動者、提高勞動素養(yǎng)，以勞動周的形式開展勞育工作的創(chuàng)新實踐．若學(xué)生可以參加“民俗文化”“茶藝文化”“茶壺制作”“水果培育”“蔬菜種植”“3D打印”這六門勞動課中的一門，則甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生中至少有3名所選勞動課全不相同的方法共有 種．
【變式3】（2023上·上海虹口·高三上海財經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級中學(xué)校考期中）在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中，小于50000的奇數(shù)有 個．
題型02數(shù)字排列問題
【典例1】（2023下·北京東城·高二景山學(xué)校校考期中）在，，，，，，這個數(shù)中任取個數(shù)，將其組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則能被整除，且比大的數(shù)共有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【典例2】（2023上·高二單元測試）由數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字且奇偶數(shù)字相間的六位數(shù)的個數(shù)為 ．
【典例3】（2023下·高二課時練習(xí)）已知0， 1， 2， 3， 4， 5這六個數(shù)字．
(1)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的三位奇數(shù)？
(2)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的小于1 000的自然數(shù)？
(3)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的大于3 000且小于5 421的四位數(shù)？
【變式1】（2023上·江蘇·高三海安高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個五位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和為3，則這樣的五位數(shù)共有 個．
【變式2】（2023上·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學(xué)校考期末）將0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則：
(1)可以組成多少個偶數(shù)？
(2)可以組成多少個比13123大的數(shù)？
【變式3】（2023上·高二課時練習(xí)）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，問：
(1)能夠組成多少個五位偶數(shù)？
(2)能夠組成多少個小于的正整數(shù)？
題型03涂色問題
【典例1】（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期末）學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍(lán)色 米白色 橄欖綠 薄荷綠，欲給小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有（ ）種不同的涂色方法.
A．78 B．66 C．56 D．48
【典例2】（2023·浙江·模擬預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué) 中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金 木 水 火 土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【典例3】（2023下·湖北十堰·高二校考階段練習(xí)）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有 種（用數(shù)字作答）.

【變式1】（2023上·江西南昌·高三南昌市外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）某植物園要在如圖所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（ ）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480
【變式2】（2023下·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，..，8，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（ ）

A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種
【變式3】（多選）（2023上·甘肅白銀·高二校考期末）用種不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（ ）

A． B．
C． D．
題型04全排列問題
【典例1】（2023上·湖南長沙·高二長郡中學(xué)校考階段練習(xí)）為了弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某學(xué)校欲利用每周的社團(tuán)活動課開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門課程，每周開設(shè)一門，連續(xù)開設(shè)六周，若課程“射”不排在第二周，課程“樂”不排在第五周，則所有可能的排法種數(shù)為
【典例2】（2023下·安徽滁州·高二校考期中）班級迎接元旦晚會有個唱歌節(jié)目、個相聲節(jié)目和個魔術(shù)節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．
(1)2個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？
(2)相聲節(jié)目不排在第一個節(jié)目、魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個節(jié)目，有多少種排法？
(3)現(xiàn)在臨時增加個魔術(shù)節(jié)目，要求重新編排節(jié)目單，要求個相聲節(jié)目不相鄰且個魔術(shù)節(jié)目也不相鄰，有多少種排法？
【典例3】（2023上·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）求下列問題的排列數(shù):
(1)3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相鄰;
(2)3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排頭,女生乙不能排排尾.
【變式1】（2023下·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）有四名男生，兩名女生和兩名老師站成一排照相，在下列情況下，各有多少種不同的站法？（結(jié)果用數(shù)字作答）
(1)兩名老師站正中間；
(2)四名男生身高都不相等，從左向右看，四名男生按從高到低的順序站.
【變式2】（2023下·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）畢業(yè)典禮期間，國際班的7名師生站成一排拍照留念，其中老師1人，男學(xué)生4人.在下列各種情況下，有多少種不同的站法？請分別列式計算出結(jié)果
(1)前排站3人，后排站4人
(2)老師的左右兩邊都是女學(xué)生
(3)男學(xué)生互不相鄰
(4)老師不站中間，且女學(xué)生不站兩端
【變式3】（2021上·高二課時練習(xí)）如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘蓬是由塊相同的區(qū)域組成的，用種顏色分別涂在傘蓬的個區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內(nèi)，則不同的顏色圖案的此類太陽傘至多有多少種


題型05元素位置有限制問題
【典例1】（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）2023杭州亞運(yùn)會于9月23日至10月8日舉辦，組委會將6名志愿者隨機(jī)派往黃龍體育中心 杭州奧體中心 浙江大學(xué)紫金港校區(qū)三座體育館工作，若每名志愿者只去一座體育館工作，每座體育館至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黃龍體育中心，則不同的分配方案種數(shù)為（ ）
A．180 B．300 C．360 D．380
【典例2】（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）2023年10月23日，杭州亞運(yùn)會歷時16天圓滿結(jié)束.亞運(yùn)會結(jié)束后，甲 乙 丙 丁 戊五名同學(xué)排成一排合影留念，其中甲 乙均不能站左端，且甲 丙必須相鄰，則不同的站法共有（ ）
A．18種 B．24種 C．30種 D．36種
【典例3】（2024·廣西·模擬預(yù)測）第19屆杭州亞運(yùn)會的吉祥物，分別取名為“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”，是一組承載深厚底蘊(yùn)和充滿時代活力的機(jī)器人，組合名為“江南憶”.現(xiàn)有6個不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個，將這6個吉祥物排成前后兩排，每排3個，且每排相鄰兩個吉祥物名稱不同，則排法種數(shù)共有 .（用數(shù)字作答）
【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某班在一次班團(tuán)活動中，安排2名男生和4名女生講演，為安排這六名學(xué)生講演的順序，要求兩名男生之間不超過1人講演，且第一位和最后一位出場講演的是女生．則不同的安排方法總數(shù)為（　　）
A．168 B．192 C．240 D．336
【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A、B、C、D、E為0﹣9中五個不重復(fù)的數(shù)字，且滿足以下豎式加法，則滿足條件的四位數(shù)ABCD共有 個．
【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次，已知甲沒有得到冠軍，并且甲和乙都不是第5名，則這5個人名次排列的可能情況共有 種．
題型06相鄰與不相鄰問題
【典例1】（2024上·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學(xué)校聯(lián)考期末）7個人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（ ）種站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
【典例2】（2023·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，這個數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和，小李以前6項數(shù)字的某種排列作為他的銀行卡密碼，如果數(shù)字1與2不相鄰，則小李可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為（ ）
A．144 B．120 C．108 D．96
【典例3】（2023上·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）現(xiàn)有4男2女共6個人排成一排照相，其中兩個女生相鄰的排法種數(shù)為多少？
（2）8個體育生名額，分配給5個班級，每班至少1個名額，有多少種分法？
（3）要排一份有4個不同的朗誦節(jié)目和3個不同的說唱節(jié)目的節(jié)目單，如果說唱節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個說唱節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)為多少？
（4）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生．現(xiàn)選派6名去甲、乙兩地參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，要求每隊必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊由2名外科醫(yī)生1名內(nèi)科醫(yī)生組成，有多少種派法？（最后結(jié)果都用數(shù)字作答）
【變式1】（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）某5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時，又來了甲 乙 丙3位同學(xué)要加入，若保持原來5位同學(xué)的相對順序不變，且甲 乙2位同學(xué)互不相鄰，丙同學(xué)不站在兩端，則不同的加入方法共有（ ）
A．360種 B．144種 C．180種 D．192種
【變式2】（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）唐宋八大家，又稱唐宋散文八大家，是中國唐代韓愈、柳宗元，宋代蘇洵、蘇軾、蘇轍、王安石、曾鞏、歐陽修八位散文家的合稱，其中江西獨(dú)占三家，分別是：王安石、曾鞏、歐陽修，他們掀起的古文革新浪潮，使詩文發(fā)展的陳舊面貌煥然一新.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校決定從唐宋八大家中挑選五位，于某周末開展他們的散文賞析課，五位散文家的散文賞析課各安排一節(jié)，連排五節(jié).若在來自江西的三位散文家中至少選出兩人，且他們的散文賞析課互不相鄰，則不同的排課方法共有 種.（用數(shù)字作答）
【變式3】（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校校考期中）電影《長津湖》講述了在極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神為長津湖戰(zhàn)役勝利做出重要貢獻(xiàn)的故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結(jié)果）
(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？
(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？
題型07分組分配問題
【典例1】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學(xué)校聯(lián)考期末）2023年杭州亞運(yùn)會志愿者第一小組有5人，需要分配到擊劍 拳擊 柔道比賽場館，每個場館至少1人，至多2人，則不同的分配方法有多少種（ ）
A．90種 B．150種 C．180種 D．240種
【典例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）2023年7月28日至8月8日，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會在四川成都成功舉辦．某中學(xué)積極響應(yīng)，舉辦學(xué)校運(yùn)動會．小趙、小錢、小孫、小李、小周5位同學(xué)報名參加3個項目，每人只報名1個項目，每個項目至少1人，小趙和小錢不參加同一個項目，則不同的報名方法共有（ ）
A．72種 B．114種 C．120種 D．144種
【典例3】（2024上·天津南開·高三南開中學(xué)校考階段練習(xí)）2023年成都大運(yùn)會期間，5名同學(xué)到3個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，每個場館至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有 種．
【變式1】（2023上·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校派出五名教師去三所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，其中有一對教師夫婦參與支教活動．根據(jù)相關(guān)要求，每位教師只能去一所學(xué)校參與支教，并且每所學(xué)校至少有一名教師參與支教，同時要求教師夫婦必須去同一所學(xué)校支教，則不同的安排方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【變式2】（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）為了支援與促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個地方的方法種數(shù)為（ ）
A．18 B．150 C．36 D．54
【變式3】（2023上·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將六名志愿者分配到四個場所做志愿活動，其中場所至少分配兩名志愿者，其他三個場所各至少分配一名志愿者，則不同的分配方案共有 種．（用數(shù)字作答）
題型08二項展開式及其逆應(yīng)用
【典例1】（2024上·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列 的通項公式為，其前n項和為，則使的最小n是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·高二課時練習(xí)）化簡．
【變式1】 （2023下·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若對，恒成立，其中，，則（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
【變式2】（2023下·甘肅武威·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若對，恒成立，其中，則（ ）
A． B．0 C．2 D．3
題型09特定項（特定項系數(shù)）
【典例1】（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的展開式中第4項與第6項的二項式系數(shù)相等，寫出展開式中的一個有理項 ．
【典例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）展開式中的常數(shù)項為 ．
【典例3】（2023下·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）已知，設(shè)．
(1)求的值；
(2)求的展開式中的有理項．
【變式1】 （2023·全國·模擬預(yù)測）的展開式中常數(shù)項為 （用數(shù)字作答）．
【變式2】（2023上·天津和平·高三天津一中校考階段練習(xí)）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
【變式3】（2023下·湖北十堰·高二校考階段練習(xí)）已知的展開式中，第6項為常數(shù)項.
(1)求含項的系數(shù)；
(2)求展開式中所有的有理項.
題型10二項式系數(shù)（含最值問題）
【典例1】（多選）（2023下·江蘇無錫·高二江陰市華士高級中學(xué)校聯(lián)考期中）若（）的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則的可能取值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【典例2】（ 2023上·天津北辰·高三校考階段練習(xí)）若展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中第三項的二項式系數(shù)為 .
【典例3】（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知在的展開式中，第3項的二項式系數(shù)與第4項的二項式系數(shù)相等，且的系數(shù)為，則 .
【典例4】（2023下·河南鄭州·高二校聯(lián)考期中）已知展開式前三項的二項式系數(shù)和為.
(1)求展開式中各項的二項式系數(shù)和；
(2)求展開式中的常數(shù)項；
(3)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.
【變式1】（2024上·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學(xué)校考期末）已知展開式中第3項和第5項的二項式系數(shù)相等，則 ，且展開式中的常數(shù)項為 .
【變式2】（2023下·福建福州·高二福建省福州第八中學(xué)校考期末）的展開式中，若二項式系數(shù)最大的項僅是第4項，則展開式中的系數(shù)為 ．
【變式3】（2023上·高二課時練習(xí)）已知的展開式中第7項和第8項的二項式系數(shù)相等，求展開式中系數(shù)最大的項及二項式系數(shù)最大的項．
【變式4】（2023下·湖北宜昌·高二校聯(lián)考期中）若展開式前三項的二項式系數(shù)之和為22.
(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
(2)求展開式中的常數(shù)項.
題型11系數(shù)（含系數(shù)最大，小項）
【典例1】（2023上·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學(xué)校考期中）的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為 .
【典例2】（2023下·高二課時練習(xí)）在的展開式中.
(1)求第三項的系數(shù)；
(2)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項？
(3)求系數(shù)最大的項與系數(shù)最小的項.
【典例3】（2022·高二課時練習(xí)）已知的展開式中，二項式系數(shù)和為256.
(1)此展開式中有沒有常數(shù)項？有理項的個數(shù)是幾個？并說明理由；
(2)求展開式中系數(shù)最小的項.
【變式1】（2024上·上海·高二上海市復(fù)旦中學(xué)校考期末）已知在的展開式中，前三項的系數(shù)分別為，，，且滿足．
(1)求展開式中系數(shù)最大的項；
(2)求展開式中所有有理項．
【變式2】（2023上·高二課時練習(xí)）求的二項展開式中系數(shù)最大的項．
【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）(1)已知在的二項展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，求該二項展開式中不含x的項；
(2)已知在的二項展開式中，只有第七項的系數(shù)最大，求n的值；
(3)已知在的二項展開式中，第六項的系數(shù)最小，求n的值．
題型12二項式系數(shù)和與系數(shù)和
【典例1】（2023上·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多選）（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A．展開式中所有二項式的系數(shù)和為 B．展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項
C． D．
【典例3】（2023上·廣西河池·高三貴港市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在的二項式中，所有的二項式系數(shù)之和為64，則各項的系數(shù)的絕對值之和為 ．
【典例4】（2024上·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）已知二項式，且滿足.
(1)求的值；
(2)求的值.
【變式1】（2023下·河南鄭州·高二校考階段練習(xí)）已知，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023上·重慶·高三重慶市萬州沙河中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知展開式的二項式系數(shù)之和為256，則其展開式中的系數(shù)為 .（用數(shù)字作答）
【變式3】（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知，若展開式各項的二項式系數(shù)的和為1024，則的值為 ．
【變式4】（2022上·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期末）已知的二項式系數(shù)和為256，則展開式中含項的系數(shù)為 ．
題型13 二項式定理應(yīng)用
【典例1】（2023上·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)a，b，m(m＞0)為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為.若，，則的值可以是（ ）
A．2018 B．2020
C．2022 D．2024
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式，得名于英國數(shù)學(xué)家泰勒．根據(jù)泰勒公式，有，其中，，，．現(xiàn)用上述式子求的值，下列選項中與該值最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知.
(1)求的值；
(2)設(shè)，求被6除的余數(shù).
【變式1】（2023下·甘肅武威·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，且（，且），則（ ）
A．1 B．2 C．15 D．16
【變式2】（多選）（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．精確到0.1的近似數(shù)為1.6
C．被8整除的余數(shù)為1
D．
【變式3】（2024·陜西咸陽·校考模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，其前項和為，若，則除以7的余數(shù)為 .
題型14 楊輝三角形
【典例1】（2023上·四川成都·高一四川省蒲江縣蒲江中學(xué)校考開學(xué)考試）我國南宋時期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律.
當(dāng)代數(shù)式的值為1時，則x的值為（ ）
A．2或4 B．2或 C．2 D．
【典例2】（多選）（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為引導(dǎo)游客領(lǐng)略傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究的精彩并傳播中國傳統(tǒng)文化，某景點推出了“解數(shù)學(xué)題獲取名勝古跡入場碼”的活動.活動規(guī)則如下：如圖所示，將楊輝三角第行第個數(shù)記為，并從左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行的斜線，記第條斜線上所有數(shù)字之和為，入場碼由兩段數(shù)字組成，前段的數(shù)字是的值，后段的數(shù)字是的值，則（ ）

A． B．
C． D．該景點入場碼為
【典例3】（2023下·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）楊輝是我國古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，著有《詳解九章算法》 《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數(shù)字表示，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.

楊輝三角本身包含了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學(xué)問題.
性質(zhì)1：楊輝三角的第行就是的展開式的二項式系數(shù)；
性質(zhì)2（對稱性）：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等，即；
性質(zhì)3（遞歸性）：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即；
性質(zhì)4：自腰上的某個1開始平行于腰的一條線上的連續(xù)個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜右下方的那個數(shù)，比如：；
請回答以下問題：
(1)求楊輝三角中第8行的各數(shù)之和；
(2)證明：；
(3)在的展開式中，求含項的系數(shù).
【變式1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前項和為，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項依次取出組成新的數(shù)列記為，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【變式2】（多選）（2023下·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和，如果，那么下面關(guān)于萊布尼茨三角形的結(jié)論正確的是（ ）

A．當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值
B．第8行第2個數(shù)是
C．（，）
D．（，）
【變式3】（2023下·河北石家莊·高二河北新樂市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形.萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和，如果（n為正整數(shù)），那么下面關(guān)于萊布尼茨三角形的結(jié)論中正確的序號是 .
①當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值；②第8行第2個數(shù)是；③（，）；

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