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專題1.1 空間向量及其線性運算-重難點題型精講
1．空間向量的概念
(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
(2)長度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作，其模記為|a|或||.
(4)幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量 模為1的向量稱為單位向量
相反向量 與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為 －a
共線向量(平行向量) 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
2．空間向量的線性運算
空間向量的線性運算 加法 a＋b＝＋ ＝
減法 a－b＝－＝
數乘 當λ>0時，λa＝λ＝； 當λ<0時，λa＝λ＝； 當λ＝0時，λa＝0
運算律 交換律：a＋b＝b＋a； 結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
3．共線向量
(1)空間兩個向量共線的充要條件
對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
(2)直線的方向向量
在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線 l 的方向向量．
4．共面向量
(1)共面向量
如圖，如果表示向量a的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要條件
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
【題型1 空間向量概念的理解】
【方法點撥】
在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．
【例1】（2021秋 城關區校級期末）下列命題中正確的是（　　）
A．若，，則與所在直線平行
B．向量、、共面即它們所在直線共面
C．空間任意兩個向量共面
D．若，則存在唯一的實數λ，使
【變式1-1】（2021秋 西夏區校級月考）下列命題正確的是（　　）
A．若與共線，與共線，則與共線
B．向量共面就是它們所在的直線共面
C．零向量沒有確定的方向
D．若，則存在唯一的實數λ使得
【變式1-2】下列關于空間向量的說法中正確的是（　　）
A．若向量平行，則所在直線平行
B．若，則的長度相等而方向相同或相反
C．若向量滿足，則
D．相等向量其方向必相同
【變式1-3】（2021秋 福建期中）給出下列命題：
①若空間向量
②空間任意兩個單位向量必相等
③若空間向量
④在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有
⑤向量（1，1，0）的模為；
其中假命題的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【題型2 空間向量的加減運算】
【方法點撥】
①巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．
②巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．
【例2】（2021秋 東莞市期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2021秋 西城區校級期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2021秋 潞州區校級期末）如圖，在空間四邊形P﹣ABC中，（　　）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2021秋 大興區期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　）
A． B． C． D．
【題型3 空間向量的線性運算】
【方法點撥】
①數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量．
②明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙利用線段的中點進行解題．
【例3】（2021秋 金華期末）在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點，則（　　）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2021秋 湖北期末）如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC延長線上一點，，則（　　）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2021秋 光明區期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分別是BC，CC1的中點，，則（　　）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2022春 海陵區校級期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，，則（　　）
A． B．
C． D．
【題型4 空間向量的線性運算（求參數）】
【例4】（2022春 蕭縣校級月考）已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PC，PD上的點，且xyz，2，，則x+y+z的值為（　　）
A． B． C．1 D．
【變式4-1】（2021秋 重慶期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別在棱BB1和DD1上，且BE，DF．若，則x+y+z＝（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．
【變式4-2】（2021秋 溫州期末）如圖的平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M在BB1上，點N在DD1上，且BMBB1，D1ND1D，若，則x+y+z＝（　　）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2021秋 香坊區校級期中）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是面BB1C1C的中心，若abc，給出以下結論：
①a+b+c＝2；
②b；
③a＝1；
④a＝2c；
⑤a＝b．
其中正確結論的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【題型5 向量共線的判定及應用】
【方法點撥】
①判斷或證明兩向量，(≠)共線，就是尋找實數λ，使＝λ成立，為此常結合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達．
②判斷或證明空間中的三點(如P，A，B)共線的方法：是否存在實數λ，使＝λ；
【例5】（2022春 灣里區期中）已知非零向量，，且、、不共面．若，則x+y＝（　　）
A．﹣13 B．﹣5 C．8 D．13
【變式5-1】（2021秋 鏡湖區校級期末）在四面體O﹣ABC中，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點，若，則使G與M，N共線的x的值為（　　）
A．1 B．2 C． D．
【變式5-2】（2022春 市中區校級月考）已知空間的一組基底，若與共線，則x+y的值為（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．0
【變式5-3】（2021秋 鄒城市期中）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，．試運用向量方法證明：E，F，B三點共線．
【題型6 向量共面的判定及應用】
【方法點撥】
①若已知點P在平面ABC內，則有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數法求出參數．
②證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．
【例6】（2022春 成都期中）已知M，A，B，C為空間中四點，任意三點不共線，且2xy，若M，A，B，C四點共面，則x+y的值為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式6-1】（2022春 楊浦區校級期中）下列條件中，一定使空間四點P、A、B、C共面的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2022春 常州期中）對于空間任意一點O，若，則A，B，C，P四點（　　）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．與O點位置有關
【變式6-3】（2022春 海陵區校級月考）設A，B，C，D為空間中的四個點，則“”是“A，B，C，D四點共面”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件專題1.1 空間向量及其線性運算-重難點題型精講
1．空間向量的概念
(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
(2)長度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作，其模記為|a|或||.
(4)幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量 模為1的向量稱為單位向量
相反向量 與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為 －a
共線向量(平行向量) 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
2．空間向量的線性運算
空間向量的線性運算 加法 a＋b＝＋ ＝
減法 a－b＝－＝
數乘 當λ>0時，λa＝λ＝； 當λ<0時，λa＝λ＝； 當λ＝0時，λa＝0
運算律 交換律：a＋b＝b＋a； 結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
3．共線向量
(1)空間兩個向量共線的充要條件
對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
(2)直線的方向向量
在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線 l 的方向向量．
4．共面向量
(1)共面向量
如圖，如果表示向量a的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要條件
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
【題型1 空間向量概念的理解】
【方法點撥】
在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．
【例1】（2021秋 城關區校級期末）下列命題中正確的是（　　）
A．若，，則與所在直線平行
B．向量、、共面即它們所在直線共面
C．空間任意兩個向量共面
D．若，則存在唯一的實數λ，使
【解題思路】A．若，，則與所在直線平行或重合；
B．向量、、共面，則它們所在直線可能共面，也可能不共面；
C．根據共面向量基本定理即可判斷出；
D．利用向量共線定理可知：若，則存在唯一的實數λ，使使或．
【解答過程】解：A．若，，則與所在直線平行或重合，因此不正確；
B．向量、、共面，則它們所在直線可能共面，也可能不共面，因此不正確；
C．根據共面向量基本定理可知：空間任意兩個向量共面，正確；
D．若，則存在唯一的實數λ，使使或，因此不正確．
綜上可知：只有C正確．
故選：C．
【變式1-1】（2021秋 西夏區校級月考）下列命題正確的是（　　）
A．若與共線，與共線，則與共線
B．向量共面就是它們所在的直線共面
C．零向量沒有確定的方向
D．若，則存在唯一的實數λ使得
【解題思路】從向量共線反例判斷A，共面向量定理判斷B，零向量的定義判斷C，共線向量定理判斷D．推出正確命題選項．
【解答過程】解：若與共線，與共線，則與共線，如果，與不共線，A不正確．
向量共面就是它們所在的直線共面，這是不正確的，三個向量所在直線可以互為異面直線．
零向量沒有確定的方向，滿足零向量的定義．
若，則存在唯一的實數λ使得，不正確，因為，存在這一條件．
故選：C．
【變式1-2】下列關于空間向量的說法中正確的是（　　）
A．若向量平行，則所在直線平行
B．若，則的長度相等而方向相同或相反
C．若向量滿足，則
D．相等向量其方向必相同
【解題思路】根據空間中任意兩個向量必然共面，可判斷A；根據相等向量和相反向量的定義，可判斷B；根據向量不能比較大小，可判斷C；根據相等向量的概念，可判斷D．
【解答過程】解：對于A，若向量平行，則所在直線平行或重合，故A錯誤；
若，則，的長度相等而方向不存在確定關系，故B錯誤；
向量不能比較大小，故C錯誤；
相等向量其方向必相同，故D正確．
故選：D．
【變式1-3】（2021秋 福建期中）給出下列命題：
①若空間向量
②空間任意兩個單位向量必相等
③若空間向量
④在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有
⑤向量（1，1，0）的模為；
其中假命題的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】在①中，向量與方向不一定相同；在②中，空間任意兩個單位向量的方向不一定相同；在③中，若空間向量，則向量與不一定相等；在④中，由向量相等的定義得必有；在⑤中，由模式的定義得向量（1，1，0）的模為．
【解答過程】解：在①中，若空間向量，向量與方向不一定相同，故①是假命題；
在②中，空間任意兩個單位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命題；
在③中，若空間向量，則向量與不一定相等，故③是假命題；
在④中，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定義得必有，故④是真命題；
在⑤中，由模式的定義得向量（1，1，0）的模為，故⑤是真命題．
故選：C．
【題型2 空間向量的加減運算】
【方法點撥】
①巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．
②巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．
【例2】（2021秋 東莞市期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】根據已知條件，結合向量的加減法法則，即可求解．
【解答過程】解：∵ABCD﹣A1B1C1D1為平行四面體，
∴．
故選：B．
【變式2-1】（2021秋 西城區校級期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】利用空間向量的線性運算法則求解．
【解答過程】解：∵，
∴，
故選：C．
【變式2-2】（2021秋 潞州區校級期末）如圖，在空間四邊形P﹣ABC中，（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】直接利用向量的線性運算求出結果．
【解答過程】解：．
故選：A．
【變式2-3】（2021秋 大興區期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】根據已知條件，結合向量的加減法法則，即可求解．
【解答過程】解：由題意可得，．
故選：C．
【題型3 空間向量的線性運算】
【方法點撥】
①數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量．
②明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙利用線段的中點進行解題．
【例3】（2021秋 金華期末）在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點，則（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】直接利用向量的線性運算的應用求出結果．
【解答過程】解：在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點；
所以，，
故；
故選：A．
【變式3-1】（2021秋 湖北期末）如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC延長線上一點，，則（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用空間向量的線性運算，空間向量基本定理求解即可．
【解答過程】解：∵，
∴
，
故選：A．
【變式3-2】（2021秋 光明區期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分別是BC，CC1的中點，，則（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用向量加法法則能求出結果．
【解答過程】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分別是BC，CC1的中點，，
則
．
故選：D．
【變式3-3】（2022春 海陵區校級期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，，則（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意利用空間向量基本定理求解即可．
【解答過程】解：∵，，∴（），
∴，∴A錯誤；
∵，∴（），
所以，
故選：D．
【題型4 空間向量的線性運算（求參數）】
【例4】（2022春 蕭縣校級月考）已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PC，PD上的點，且xyz，2，，則x+y+z的值為（　　）
A． B． C．1 D．
【解題思路】由空間向量的線性運算直接計算即可．
【解答過程】解：由題可知，，
所以，
所以，所以，
故選：B．
【變式4-1】（2021秋 重慶期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別在棱BB1和DD1上，且BE，DF．若，則x+y+z＝（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．
【解題思路】根據已知條件，結合空間向量及其線性運算法則，即可求解．
【解答過程】解：
，
，
即x＝﹣1，y＝1，z，
∴．
故選：D．
【變式4-2】（2021秋 溫州期末）如圖的平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M在BB1上，點N在DD1上，且BMBB1，D1ND1D，若，則x+y+z＝（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】利用向量的三角形法則、向量的運算性質即可得出．
【解答過程】解：∵，，，
∴
，
∴x＝﹣1，y＝1，z，
∴x+y+z．
故選：B．
【變式4-3】（2021秋 香坊區校級期中）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是面BB1C1C的中心，若abc，給出以下結論：
①a+b+c＝2；
②b；
③a＝1；
④a＝2c；
⑤a＝b．
其中正確結論的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據空間向量的線性運算表示向量，可得各數值，逐一判斷即可．
【解答過程】解：如圖所示：
，
即a＝1，b，c，
所以a+b+c＝2，①正確，
b，②正確，
a＝1，③正確，
a＝2c，④正確，
a＝2b，⑤錯誤，
故選：D．
【題型5 向量共線的判定及應用】
【方法點撥】
①判斷或證明兩向量，(≠)共線，就是尋找實數λ，使＝λ成立，為此常結合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達．
②判斷或證明空間中的三點(如P，A，B)共線的方法：是否存在實數λ，使＝λ；
【例5】（2022春 灣里區期中）已知非零向量，，且、、不共面．若，則x+y＝（　　）
A．﹣13 B．﹣5 C．8 D．13
【解題思路】根據向量共線可得，從而可解方程組求出x，y，再求出x+y即可．
【解答過程】解：∵，，不共面，故，，可看作空間向量的一組基底，
∵，故存在λ≠0，使得，
即（x+1）82y3λ2λ4λ，
∴，解得：，
則x+y＝﹣5．
故選：B．
【變式5-1】（2021秋 鏡湖區校級期末）在四面體O﹣ABC中，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點，若，則使G與M，N共線的x的值為（　　）
A．1 B．2 C． D．
【解題思路】由已知可得，．假設G與M，N共線，則存在實數λ使得，與比較可得．
【解答過程】解：，．
假設G與M，N共線，則存在實數λ使得，
與比較可得：，，
解得x＝1．
故選：A．
【變式5-2】（2022春 市中區校級月考）已知空間的一組基底，若與共線，則x+y的值為（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．0
【解題思路】根據與共線可得出，再根據為基底，從而根據空間向量基本定理可得出x+y的值．
【解答過程】解：因為與共線，空間的一組基底，
所以，
所以x+y＝0．
故選：D．
【變式5-3】（2021秋 鄒城市期中）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，．試運用向量方法證明：E，F，B三點共線．
【解題思路】法一：分別求出，，根據共線向量的定義判斷即可；
法二：求出，結合EF∩FB＝F，從而證明E，F，B三點共線．
【解答過程】證明：【方法一】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，
連接EF，FB，A1B．因為，，
所以
；
，
顯然，，所以，
又EF∩FB＝F，所以E，F，B三點共線．
【方法二】證明：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，
連接EF，FB．由題意，，，
易得，
所以．又EF∩FB＝F，故E，F，B三點共線．
【題型6 向量共面的判定及應用】
【方法點撥】
①若已知點P在平面ABC內，則有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數法求出參數．
②證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．
【例6】（2022春 成都期中）已知M，A，B，C為空間中四點，任意三點不共線，且2xy，若M，A，B，C四點共面，則x+y的值為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】由共面向量定理能求出x+y．
【解答過程】解：M，A，B，C為空間中四點，任意三點不共線，
且2xy，M，A，B，C四點共面，
則由共面向量定理得：﹣2+x+y＝1．解得x+y＝3．
故選：D．
【變式6-1】（2022春 楊浦區校級期中）下列條件中，一定使空間四點P、A、B、C共面的是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】要使空間中的P、A、B、C四點共面，只需滿足，且x+y+z＝1即可．
【解答過程】解：對于A選項，，（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3≠1，所以點P與A、B、C三點不共面；
對于B選項，，1+1+1＝3≠1，所以點P與A、B、C三點不共面；
對于C選項，，，所以點P與A、B、C三點不共面；
對于D選項，，，所以點P與A、B、C三點共面．
故選：D．
【變式6-2】（2022春 常州期中）對于空間任意一點O，若，則A，B，C，P四點（　　）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．與O點位置有關
【解題思路】由共面向量基本定理、空間向量基本定理即可得出．
【解答過程】解：∵，可得1，
∴四點P、A、B、C必共面．
故選：B．
【變式6-3】（2022春 海陵區校級月考）設A，B，C，D為空間中的四個點，則“”是“A，B，C，D四點共面”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據空間向量共面定理，結合充分條件，必要條件的定義判斷即可．
【解答過程】解：A，B，C，D為空間中的四個點，
①當時，則A，B，C，D四點共面，
②當A，B，C，D四點中有三點共線時，滿足A，B，C，D四點共面，但不滿足，
∴是A，B，C，D四點共面的充分不必要條件，
故選：A．

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