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專題1.5 空間向量基本定理-重難點題型精講
1．空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．
2．空間向量的正交分解
(1)單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
3．證明平行、共線、共面問題
(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
4．求夾角、證明垂直問題
(1)θ為a，b的夾角，則cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，則a⊥b a·b＝0.
5．求距離(長度)問題
＝( ＝ )．
【題型1 空間向量基底的判斷】
【方法點撥】
(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個
基底．
(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發的三條
棱對應的向量為基底，并在此基礎上構造其他向量進行相關的判斷．
【例1】（2021秋 揭西縣期末）若構成空間的一個基底，則下列向量能構成空間的一個基底的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【解題思路】根據已知條件，結合向量共面的定理，即可求解．
【解答過程】解：對于A，若向量，，共面，
則，即，解得λ＝﹣1，μ＝2，
故向量，，共面，故A錯誤，
對于B，若向量，，共面，
則，λ，μ無解，
故向量，，不共面，故B正確，
對于C，若向量，，共面，
則，即，解得λ＝2，μ＝﹣1，
故向量，，共面，故C錯誤，
對于D，若向量，，共面，
則，解得λ＝μ＝1，
故向量，，共面，故D錯誤．
故選：B．
【變式1-1】（2021秋 貴池區校級期中）已知{，，}是空間的一個基底，若2，2，，，則下列可以為空間一個基底的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【解題思路】利用共面向量定理以及空間向量的線性運算，判斷三個向量是否是共面向量，即可判斷得到答案．
【解答過程】解：對于A，由題意可得，
所以，
故共面，
故選項A錯誤；
對于B，由題意可得，，
所以，
故共面，
故選項B錯誤；
對于C，由題意可得，，
故共面，
故選項C錯誤；
對于D，假設共面，則存在實數λ，μ，使得，
即，
所以，
故共面，這與{，，}是空間的一個基底矛盾，
所以假設不成立，
則不共面，
故選項D正確．
故選：D．
【變式1-2】（2021秋 河北月考）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1與B1C相交于點O，則下列向量能組成一組基底的為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【解題思路】不共面的向量才能組成一組基底，由此能求出結果．
【解答過程】解：對于A，∵不共面，∴能組成一組基底，故A正確；
對于B，∵共面于平面ABC1，∴不能組成一組基底，故B錯誤；
對于C，∵共面于平面ACC1A1，∴不能組成一組基底，故C錯誤；
對于D，∵共面于平面AB1C，∴不能組成一組基底，故D錯誤．
故選：A．
【變式1-3】（2021秋 朝陽區校級月考）已知是空間的一個基底，若，則（　　）
A．是空間的一組基底
B．是空間的一組基底
C．是空間的一組基底
D．與中的任何一個都不能構成空間的一組基底
【解題思路】根據空間向量的共線定理、共面定理，對選項中的命題真假性判斷即可．
【解答過程】解：對于A，因為，所以2，所以向量、、共面，不是空間的一組基底；
對于B，因為，所以2，所以向量、、共面，不是空間的一組基底；
對于C，假設與、不是空間的一組基底，則xyx（）+y（）＝（x+y）（x﹣y），
因為、、是空間的一組基底，所以x、y的值不存在，即可向量、、不共面，是空間的一組基底；
對于D，由選項C知，向量、、是空間的一組基底，所以選項D錯誤．
故選：C．
【題型2 空間向量基本定理的應用（表示向量）】
【方法點撥】
用基底表示向量的步驟:
(1)定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底．
(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等
向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果．
(3)下結論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結果中只能含有，，
，不能含有其他形式的向量．
【例2】（2022春 梅州期末）已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點，，PN＝ND，設，，，則向量用為基底表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
【解題思路】由圖形可得，根據比例關系可得，，再根據向量減法可得，代入整理并代換為基底向量即可．
【解答過程】解：根據題意，可得
，
即．
故選：D．
【變式2-1】（2021秋 石家莊期末）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，點M是A1D1的中點，點N是CA1上的點，且CN：CA1＝1：4，則向量可表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
【解題思路】根據空間向量加法和減法的運算法則，以及向量的數乘運算即可求解．
【解答過程】解：因為在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，
點M是A1D1的中點，點N是CA1上的點，且CN：CA1＝1：4，
所以
，
故選：D．
【變式2-2】（2022春 浙江月考）如圖，在四面體OABC中，，點M、N分別在線段OA、BC上，且2OM＝MA，CN＝2NB，則等于（　?。?br/>A． B．
C． D．
【解題思路】利用空間向量的線性運算，空間向量基本定理求解即可．
【解答過程】解：∵點M、N分別在線段OA、BC上，且2OM＝MA，CN＝2NB，
∴，（），
∴（），
∴．
故選：D．
【變式2-3】（2021秋 宜昌期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若，，，點P為A1C1與B1D1的交點，則（　?。?br/>A． B． C． D．
【解題思路】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，各面均為平行四邊形，由此找出共線的向量，再線性計算即可．
【解答過程】解：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，
∵P是A1C1與B1D1的交點，在平行四邊形A1B1C1D1中，P為A1C1與B1D1的中點，
∴（）．
故選：C．
【題型3 空間向量基本定理的應用（求參數）】
【例3】（2021秋 慈溪市期末）已知空間A、B、C、D四點共面，且其中任意三點均不共線，設P為空間中任意一點，若64λ，則λ＝（　?。?br/>A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【解題思路】根據空間四點共面的充要條件代入即可解決．
【解答過程】解：，
即，
整理得，
由A、B、C、D四點共面，且其中任意三點均不共線，
可得6﹣3+λ＝1，解得λ＝﹣2，
故選：B．
【變式3-1】（2021秋 湖北期末）《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是A1C1，BB1的中點，G是MN的中點，若xyz，則x+y+z＝（　?。?br/>A．1 B． C． D．
【解題思路】連接AM，AN，由，即可求出答案．
【解答過程】解：連接AM，AN，如下圖：
由于G是MN的中點，
∴，
根據題意知，
所以x+y+z，
故選：C．
【變式3-2】（2021秋 新化縣期末）四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，若x2y3z，則x+y+z等于（　　）
A．1 B． C． D．2
【解題思路】根據底面ABCD是平行四邊形，E為棱PC的中點，用、和表示，即可求出x、y和z的值，再求和即可．
【解答過程】解：如圖所示，
因為底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，
所以（）（），
若x2y3z，則，
解得，
所以x+y+z．
故選：B．
【變式3-3】（2021秋 思明區校級期中）如圖，M，N分別是四面體O﹣ABC的棱OA，BC的中點，設，，，若，則x+y﹣z＝（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】利用空間向量基本定理以及空間向量的線性運算進行轉化，結合向量相等的定義，求出x，y，z的值，即可得到答案．
【解答過程】解：因為M，N分別是四面體O﹣ABC的棱OA，BC的中點，
所以，
又，
所以，
則x+y﹣z．
故選：A．
【題型4 利用空間向量基本定理解決幾何問題】
【方法點撥】
利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:
(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；
(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；
(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用向量的數量積可以求得．
【例4】（2022秋 中牟縣月考）已知在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、M為空間任意兩點，如果有764，那么點M必（　?。?br/>A．在平面BAD1內 B．在平面BA1D內
C．在平面BA1D1內 D．在平面AB1C1內
【解題思路】根據空間向量的加減法運算得出，最后由向量共面定理求解即可．
【解答過程】解：因為764
，
所以M，B，A1，D1四點共面，即點M必在平面BA1D1內．
故選：C．
【變式4-1】（2021秋 三門縣校級期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，設，，．
（1）用，，表示；
（2）求AC1的長．
【解題思路】（1）由空間向量加法法則得，由此能求出結果．
（2）（）2，由此能求出AC1的長．
【解答過程】解：（1）∵在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，
∴．
（2）∵AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
．
∴（）2
2
＝25+9+16+0+2×5×4×cos60°+2×3×4×cos60°
＝82．
∴AC1的長||．
【變式4-2】如圖所示，在三棱錐 A－BCD 中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E為BC的中點．
(1)證明：AE⊥BC ；
(2)求直線AE與DC的夾角的余弦值．
【解題思路】（1）由空間向量的數量積運算得·＝0，由此能求出結果．
（2）求出·＝2，得＝，由此能求出cos〈，〉．
【解答過程】證明：因為＝－＝(＋)－，＝－，
所以·＝ ·(－)
＝2－2－·＋·，
又DA，DB，DC兩兩垂直， 且DB＝DC＝DA＝2，
所以·＝0，
故 AE⊥BC.
(2)解　·＝ ·
＝·＋2－·＝2＝2，
由2＝ 2＝2＋2＋2＝6，得＝.
所以cos〈，〉＝＝＝ .
故直線AE與DC的夾角的余弦值為.
【變式4-3】如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中點，O是底面ABCD的中心．求證：B1O⊥平面PAC.
【解題思路】令＝a，＝b，＝c，得到⊥，⊥，即可得證.
【解答過程】證明：如圖，連接BD，則BD過點O，令＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，
且＝＋＝a＋b，
＝＋＝＋＝(－)＋＝a－b＋c .
∴·＝(a＋b)·（a-b+c）
＝|a|2＋a·b－a·b－|b|2＋a·c＋b·c＝－＝0.
∴⊥，即AC⊥OB1.
又＝＋＝b＋c，
∴·＝（a-b+c）·(b＋c)
＝a·b－|b|2＋c·b＋a·c－b·c＋|c|2
＝－＋＝0，
∴⊥，
即OB1⊥AP.又AC∩AP＝A，AC，AP 平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.專題1.5 空間向量基本定理-重難點題型精講
1．空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．
2．空間向量的正交分解
(1)單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
3．證明平行、共線、共面問題
(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
4．求夾角、證明垂直問題
(1)θ為a，b的夾角，則cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，則a⊥b a·b＝0.
5．求距離(長度)問題
＝( ＝ )．
【題型1 空間向量基底的判斷】
【方法點撥】
(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個
基底．
(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發的三條
棱對應的向量為基底，并在此基礎上構造其他向量進行相關的判斷．
【例1】（2021秋 揭西縣期末）若構成空間的一個基底，則下列向量能構成空間的一個基底的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【變式1-1】（2021秋 貴池區校級期中）已知{，，}是空間的一個基底，若2，2，，，則下列可以為空間一個基底的是（　?。?br/>A．，， B．，， C．，， D．，，
【變式1-2】（2021秋 河北月考）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1與B1C相交于點O，則下列向量能組成一組基底的為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【變式1-3】（2021秋 朝陽區校級月考）已知是空間的一個基底，若，則（　?。?br/>A．是空間的一組基底
B．是空間的一組基底
C．是空間的一組基底
D．與中的任何一個都不能構成空間的一組基底
【題型2 空間向量基本定理的應用（表示向量）】
【方法點撥】
用基底表示向量的步驟:
(1)定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底．
(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等
向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果．
(3)下結論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結果中只能含有，，
，不能含有其他形式的向量．
【例2】（2022春 梅州期末）已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點，，PN＝ND，設，，，則向量用為基底表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式2-1】（2021秋 石家莊期末）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，點M是A1D1的中點，點N是CA1上的點，且CN：CA1＝1：4，則向量可表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式2-2】（2022春 浙江月考）如圖，在四面體OABC中，，點M、N分別在線段OA、BC上，且2OM＝MA，CN＝2NB，則等于（　　）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2021秋 宜昌期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若，，，點P為A1C1與B1D1的交點，則（　?。?br/>A． B． C． D．
【題型3 空間向量基本定理的應用（求參數）】
【例3】（2021秋 慈溪市期末）已知空間A、B、C、D四點共面，且其中任意三點均不共線，設P為空間中任意一點，若64λ，則λ＝（　?。?br/>A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【變式3-1】（2021秋 湖北期末）《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是A1C1，BB1的中點，G是MN的中點，若xyz，則x+y+z＝（　　）
A．1 B． C． D．
【變式3-2】（2021秋 新化縣期末）四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，若x2y3z，則x+y+z等于（　　）
A．1 B． C． D．2
【變式3-3】（2021秋 思明區校級期中）如圖，M，N分別是四面體O﹣ABC的棱OA，BC的中點，設，，，若，則x+y﹣z＝（　?。?br/>A． B． C． D．
【題型4 利用空間向量基本定理解決幾何問題】
【方法點撥】
利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:
(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；
(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；
(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用向量的數量積可以求得．
【例4】（2022秋 中牟縣月考）已知在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、M為空間任意兩點，如果有764，那么點M必（　?。?br/>A．在平面BAD1內 B．在平面BA1D內
C．在平面BA1D1內 D．在平面AB1C1內
【變式4-1】（2021秋 三門縣校級期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，設，，．
（1）用，，表示；
（2）求AC1的長．
【變式4-2】如圖所示，在三棱錐 A－BCD 中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E為BC的中點．
(1)證明：AE⊥BC ；
(2)求直線AE與DC的夾角的余弦值．
【變式4-3】如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中點，O是底面ABCD的中心．求證：B1O⊥平面PAC.

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