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專題1.7 空間向量及其運算的坐標表示-重難點題型精講
1．空間直角坐標系
(1)空間直角坐標系及相關概念
①空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底，以O為原點，分別以i，j，k 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系O-xyz.
②相關概念：O叫做原點，i，j，k 都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．
(2)右手直角坐標系
在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．
2．空間一點的坐標
在空間直角坐標系O-xyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底 {i，j，k}下與向量 對應的有序實數組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．
3．空間向量的坐標
在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．
4．空間向量的坐標運算
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量運算 向量表示 坐標表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數量積 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
5．空間向量的平行、垂直及模、夾角
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
當b≠0時，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
6．空間兩點間的距離公式
設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
則P1P2＝||＝.
【題型1 求空間點的坐標】
【方法點撥】
(1)求某點M的坐標的方法：
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在
z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)．
(2)空間點對稱問題的解題策略：
①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規律，才能準確求解．
②對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論．
【例1】（2022春 溧陽市期中）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，則點A1的坐標為（　　）
A．（0，4，7） B．（﹣2，0，1） C．（2，0，﹣1） D．（2，0，1）
【變式1-1】（2021秋 蘄春縣期中）設點M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若，則點B的坐標為（　　）
A．（1，0，﹣2） B．（3，2，0） C．（1，0，2） D．（3，﹣2，0）
【變式1-2】（2020秋 西昌市期末）空間直角坐標系中，點P（﹣1，2，﹣3）關于平面yOz對稱的點P1的坐標為（　　）
A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）
【變式1-3】（2021秋 新源縣期末）如圖三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面BB1C1C是邊長為2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于點O，AO⊥側面BB1C1C，且△AB1C為等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，則點A1的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【題型2 空間向量運算的坐標表示】
【方法點撥】
空間向量坐標運算的規律及注意點:
(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定；
(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算．
(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標．
【例2】（2021秋 河池期末）已知（1，2，3），（0，﹣1，4），則23等于（　　）
A．（﹣4，6，14） B．（﹣4，0，6） C．（﹣4，3，6） D．（2，1，18）
【變式2-1】（2021秋 柯橋區期末）在空間直角坐標系中，向量，，則向量（　　）
A．（0，1，10） B．（﹣4，7，0）
C．（4，﹣7，0） D．（﹣4，﹣12，25）
【變式2-2】（2021秋 烏蘭察布月考）已知向量（2，3，﹣4），（﹣4，﹣3，﹣2），2，則（　　）
A．（0，3，﹣6） B．（0，6，﹣20） C．（0，6，﹣6） D．（6，6，﹣6）
【變式2-3】（2021秋 和平區期末）已知（2，﹣3，1），（2，0，3），（0，1，﹣2），則43等于（　　）
A．（4，﹣4，6） B．（﹣6，﹣6，﹣5） C．（10，0，7） D．（10，﹣6，19）
【題型3 空間向量數量積運算的坐標表示】
【例3】（2021秋 黃陵縣校級期末）已知，，則（　　）
A．﹣5 B．﹣7 C．3 D．
【變式3-1】（2022春 廈門期末）若A（2，﹣4，﹣1），B（﹣1，5，1），C（3，﹣4，1），則（　　）
A．﹣11 B．3 C．4 D．15
【變式3-2】（2020秋 泉州期末）已知，，，則x的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，10） C．（﹣4，+∞） D．（10，+∞）
【變式3-3】（2021秋 無錫期末）（理科）若向量、的坐標滿足，，則 等于（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7
【題型4 空間向量的模與兩點間的距離】
【方法點撥】
求空間中兩點間的距離的步驟:
(1)建立適當的空間直角坐標系，求出相應點的坐標A()，B()；
(2)利用公式|AB|= ||==求A、B間的距離.
【例4】（2021秋 臨沂期末）若（﹣1，2，3），（1，﹣1，﹣5），則（　　）
A． B． C．5 D．10
【變式4-1】（2022春 古田縣校級月考）在空間直角坐標系O﹣xyz中，點A（2，﹣1，1）關于y軸的對稱點為B，則|AB|＝（　　）
A．2 B．2 C．2 D．
【變式4-2】（2022 湛江校級模擬）已知向量（0，﹣1，1），（4，1，0），|λ|且λ＞0，則λ＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【變式4-3】（2022春 鹽城期中）在空間直角坐標系中，B（﹣1，2，3）關于x軸的對稱點為點B'，若點C（1，1，﹣2）關于Oxz平面的對稱點為點C'，則|B'C'|＝（　　）
A． B． C． D．
【題型5 空間向量夾角問題】
【方法點撥】
建立適當的空間直角坐標系，求出相應點的坐標，求出相關向量的坐標表示，利用空間向量的夾角的余弦
值公式進行求解即可.
【例5】（2022春 內江期末）已知，，則（　　）
A． B． C．0 D．1
【變式5-1】（2021秋 禪城區校級期中）已知向量，（k，2，0），若與夾角為，則k的值為（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【變式5-2】（2021秋 渭濱區期末）已知，，且，則向量與的夾角為（　　）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2021秋 廣東期中）已知向量（2，﹣1，3），（﹣4，2，t）的夾角為鈍角，則實數t的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，﹣6） B．
C． D．
【題型6 空間向量的平行與垂直】
【方法點撥】
(1)利用空間向量證明兩直線平行的步驟
①建立適當的空間直角坐標系，求出相應點的坐標；②求出直線的方向向量；③證明兩向量共線；④說明
其中一個向量所在直線上的點不在另一個向量所在直線上，即表示方向向量的有向線段不共線，即可得證.
(2)利用空間向量證明兩直線垂直的步驟
①建立適當的空間直角坐標系，求出相應點的坐標；②求出直線的方向向量的坐標；③計算兩向量的數量
積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直.
【例6】（2021秋 迎江區校級月考）已知向量，，若⊥，則實數λ的值為（　　）
A．1 B．1或﹣2 C．﹣2 D．2
【變式6-1】（2021秋 安康期末）已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若∥，則y﹣2z＝（　　）
A．﹣20 B．﹣17 C．11 D．4
【變式6-2】（2021秋 慶安縣校級期末）已知（1，5，﹣2），（3，1，z），若，則實數z的值為（　　）
A．5 B．2 C．3 D．4
【變式6-3】（2021秋 屯溪區校級期中）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，2），且k與2互相平行，則k＝（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2專題1.7 空間向量及其運算的坐標表示-重難點題型精講
1．空間直角坐標系
(1)空間直角坐標系及相關概念
①空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底，以O為原點，分別以i，j，k 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系O-xyz.
②相關概念：O叫做原點，i，j，k 都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．
(2)右手直角坐標系
在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．
2．空間一點的坐標
在空間直角坐標系O-xyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底 {i，j，k}下與向量 對應的有序實數組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．
3．空間向量的坐標
在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．
4．空間向量的坐標運算
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量運算 向量表示 坐標表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數量積 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
5．空間向量的平行、垂直及模、夾角
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
當b≠0時，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
6．空間兩點間的距離公式
設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
則P1P2＝||＝.
【題型1 求空間點的坐標】
【方法點撥】
(1)求某點M的坐標的方法：
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在
z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)．
(2)空間點對稱問題的解題策略：
①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規律，才能準確求解．
②對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論．
【例1】（2022春 溧陽市期中）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，則點A1的坐標為（　　）
A．（0，4，7） B．（﹣2，0，1） C．（2，0，﹣1） D．（2，0，1）
【解題思路】點A1的坐標為（a，b，c），由，能求出點A1的坐標．
【解答過程】解：平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，
設點A1的坐標為（a，b，c），
則由，得（﹣1﹣a，2﹣b，4﹣c）＝（1，2，3），
解得a＝﹣2，b＝0，c＝1，
則點A1的坐標為（﹣2，0，1）．
故選：B．
【變式1-1】（2021秋 蘄春縣期中）設點M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若，則點B的坐標為（　　）
A．（1，0，﹣2） B．（3，2，0） C．（1，0，2） D．（3，﹣2，0）
【解題思路】根據空間向量的線性坐標運算法則，即可得解．
【解答過程】解：設B（x，y，z），則（x﹣2，y﹣1，z+1），
因為，（1，1，1），
所以（1，1，1）＝（x﹣2，y﹣1，z+1），
所以x＝3，y＝2，z＝0，即點B為（3，2，0）．
故選：B．
【變式1-2】（2020秋 西昌市期末）空間直角坐標系中，點P（﹣1，2，﹣3）關于平面yOz對稱的點P1的坐標為（　　）
A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）
【解題思路】直接利用點關于面的對稱的應用求出結果．
【解答過程】解：空間直角坐標系中，點P（﹣1，2，﹣3）關于平面yOz對稱的點P1的坐標為B（1，2，﹣3）．
故選：B．
【變式1-3】（2021秋 新源縣期末）如圖三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面BB1C1C是邊長為2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于點O，AO⊥側面BB1C1C，且△AB1C為等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，則點A1的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】過A1作A1E⊥平面BCC1B1，垂足是E，連結B1E，C1E，則B1E∥OC1，C1E∥OB1，A1E∥AO，由此能求出點A1的坐標．
【解答過程】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面BB1C1C是邊長為2菱形，∠CBB1＝60°，
BC1交B1C于點O，AO⊥側面BB1C1C，且△AB1C為等腰直角三角形，
如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，
過A1作A1E⊥平面BCC1B1，垂足是E，連結B1E，C1E，
則B1E∥OC1，C1E∥OB1，A1E∥AO，
∴點A1的坐標為（，1，1）．
故選：B．
【題型2 空間向量運算的坐標表示】
【方法點撥】
空間向量坐標運算的規律及注意點:
(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定；
(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算．
(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標．
【例2】（2021秋 河池期末）已知（1，2，3），（0，﹣1，4），則23等于（　　）
A．（﹣4，6，14） B．（﹣4，0，6） C．（﹣4，3，6） D．（2，1，18）
【解題思路】運用空間向量坐標的線性運算即可得出答案．
【解答過程】解：由（1，2，3），（0，﹣1，4），
可得32（1，2，3）+3（0，﹣1，4）＝（2，1，18），
故選：D．
【變式2-1】（2021秋 柯橋區期末）在空間直角坐標系中，向量，，則向量（　　）
A．（0，1，10） B．（﹣4，7，0）
C．（4，﹣7，0） D．（﹣4，﹣12，25）
【解題思路】進行向量坐標的加法運算即可．
【解答過程】解：∵，
∴．
故選：A．
【變式2-2】（2021秋 烏蘭察布月考）已知向量（2，3，﹣4），（﹣4，﹣3，﹣2），2，則（　　）
A．（0，3，﹣6） B．（0，6，﹣20） C．（0，6，﹣6） D．（6，6，﹣6）
【解題思路】推導出4，利用向量坐標運算法則直接求解．
【解答過程】解：∵向量（2，3，﹣4），（﹣4，﹣3，﹣2），2，
∴4（8，12，﹣16）+（﹣8，﹣6，﹣4）＝（0，6，﹣20）．
故選：B．
【變式2-3】（2021秋 和平區期末）已知（2，﹣3，1），（2，0，3），（0，1，﹣2），則43等于（　　）
A．（4，﹣4，6） B．（﹣6，﹣6，﹣5） C．（10，0，7） D．（10，﹣6，19）
【解題思路】使用向量的坐標運算計算．
【解答過程】解：43（2，﹣3，1）+（8，0，12）﹣（0，3，﹣6）＝（10，﹣6，19）．
故選：D．
【題型3 空間向量數量積運算的坐標表示】
【例3】（2021秋 黃陵縣校級期末）已知，，則（　　）
A．﹣5 B．﹣7 C．3 D．
【解題思路】利用向量空間向量坐標運算法則求解．
【解答過程】解：∵，，
∴1﹣6+0＝﹣7．
故選：B．
【變式3-1】（2022春 廈門期末）若A（2，﹣4，﹣1），B（﹣1，5，1），C（3，﹣4，1），則（　　）
A．﹣11 B．3 C．4 D．15
【解題思路】先求出的坐標表示，再利用向量數量積的坐標表示計算即可
【解答過程】解：由已知，（2﹣3，﹣4﹣（﹣4），﹣1﹣1）＝（﹣1，0，﹣2），
（﹣1﹣3，5﹣（﹣4），1﹣1）＝（﹣4，9，0），
∴4+0+0＝4，
故選：C．
【變式3-2】（2020秋 泉州期末）已知，，，則x的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，10） C．（﹣4，+∞） D．（10，+∞）
【解題思路】利用向量數量積公式直接求解．
【解答過程】解：∵，，，
∴2+18+5x＜0，解得x＜﹣4，
∴x的取值范圍是（﹣∞，﹣4）．
故選：A．
【變式3-3】（2021秋 無錫期末）（理科）若向量、的坐標滿足，，則 等于（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7
【解題思路】利用向量的運算和數量積運算即可得出．
【解答過程】解：∵（1，﹣2，0）；
（﹣3，1，2）．
∴1×（﹣3）﹣2×1+0＝﹣5．
故選：B．
【題型4 空間向量的模與兩點間的距離】
【方法點撥】
求空間中兩點間的距離的步驟:
(1)建立適當的空間直角坐標系，求出相應點的坐標A()，B()；
(2)利用公式|AB|= ||==求A、B間的距離.
【例4】（2021秋 臨沂期末）若（﹣1，2，3），（1，﹣1，﹣5），則（　　）
A． B． C．5 D．10
【解題思路】求出，由此能求出．
【解答過程】解：∵（﹣1，2，3），（1，﹣1，﹣5），
∴（0，1，﹣2），
則．
故選：A．
【變式4-1】（2022春 古田縣校級月考）在空間直角坐標系O﹣xyz中，點A（2，﹣1，1）關于y軸的對稱點為B，則|AB|＝（　　）
A．2 B．2 C．2 D．
【解題思路】首先求出關于y軸的對稱點坐標，再根據空間兩點的距離公式計算可得結果．
【解答過程】解：點A（2，﹣1，1）關于y軸的對稱點為B（﹣2，﹣1，﹣1），
∴|AB|2．
故選：C．
【變式4-2】（2022 湛江校級模擬）已知向量（0，﹣1，1），（4，1，0），|λ|且λ＞0，則λ＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【解題思路】對|λ|兩邊平方，列出方程解出．
【解答過程】解：||，||，1．
∵|λ|，∴（）2＝29．即λ2||2+2λ||2＝29，∴2λ2﹣2λ﹣12＝0，∵λ＞0，∴λ＝3．
故選：D．
【變式4-3】（2022春 鹽城期中）在空間直角坐標系中，B（﹣1，2，3）關于x軸的對稱點為點B'，若點C（1，1，﹣2）關于Oxz平面的對稱點為點C'，則|B'C'|＝（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】寫出B關于x軸的對稱點B'，點C關于Oxz平面的對稱點C'，再計算|B'C'|的值．
【解答過程】解：空間直角坐標系中，B（﹣1，2，3）關于x軸的對稱點為點B'（﹣1，﹣2，﹣3），
點C（1，1，﹣2）關于Oxz平面的對稱點為點C'（1，﹣1，﹣2），
所以|B'C'|．
故選：B．
【題型5 空間向量夾角問題】
【方法點撥】
建立適當的空間直角坐標系，求出相應點的坐標，求出相關向量的坐標表示，利用空間向量的夾角的余弦
值公式進行求解即可.
【例5】（2022春 內江期末）已知，，則（　　）
A． B． C．0 D．1
【解題思路】利用空間向量的夾角余弦值公式，即可求得．
【解答過程】解：∵，，
∴．
故選：B．
【變式5-1】（2021秋 禪城區校級期中）已知向量，（k，2，0），若與夾角為，則k的值為（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【解題思路】根據空間向量坐標求得，由空間向量的夾角公式和向量的數量積運算得，即可求出k的值．
【解答過程】解：因為，且與夾角為，
則，
所以，
可知k＜0，解得：．
故選：A．
【變式5-2】（2021秋 渭濱區期末）已知，，且，則向量與的夾角為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】通過空間向量的數量積求解x，然后求解向量的夾角．
【解答過程】解：，，且，
可得x﹣2＝﹣3，解得x＝﹣1，
向量與的夾角為θ，cosθ，θ∈[0，π]，
所以θ．
故選：A．
【變式5-3】（2021秋 廣東期中）已知向量（2，﹣1，3），（﹣4，2，t）的夾角為鈍角，則實數t的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，﹣6） B．
C． D．
【解題思路】向量（2，﹣1，3），（﹣4，2，t）的夾角為鈍角，得，由此能求出實數t的取值范圍．
【解答過程】解：∵向量（2，﹣1，3），（﹣4，2，t）的夾角為鈍角，
∴，
解得t，且t≠﹣6，
∴實數t的取值范圍為（﹣∞，﹣6）∪（﹣6，）．
故選：B．
【題型6 空間向量的平行與垂直】
【方法點撥】
(1)利用空間向量證明兩直線平行的步驟
①建立適當的空間直角坐標系，求出相應點的坐標；②求出直線的方向向量；③證明兩向量共線；④說明
其中一個向量所在直線上的點不在另一個向量所在直線上，即表示方向向量的有向線段不共線，即可得證.
(2)利用空間向量證明兩直線垂直的步驟
①建立適當的空間直角坐標系，求出相應點的坐標；②求出直線的方向向量的坐標；③計算兩向量的數量
積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直.
【例6】（2021秋 迎江區校級月考）已知向量，，若⊥，則實數λ的值為（　　）
A．1 B．1或﹣2 C．﹣2 D．2
【解題思路】利用向量垂直的性質列方程直接求解．
【解答過程】解：∵向量，，⊥，
∴λ（1+λ）﹣2＝0，
解得實數λ＝1或λ＝﹣2．
故選：B．
【變式6-1】（2021秋 安康期末）已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若∥，則y﹣2z＝（　　）
A．﹣20 B．﹣17 C．11 D．4
【解題思路】根據已知條件，結合空間向量的坐標運算，即可求解．
【解答過程】解：∵A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），
∴，，
∵∥，
∴，解得y＝﹣3，z＝7，
∴y﹣2z＝﹣17．
故選：B．
【變式6-2】（2021秋 慶安縣校級期末）已知（1，5，﹣2），（3，1，z），若，則實數z的值為（　　）
A．5 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據，則 0，然后利用數量積的坐標關系建立等式，可求出z的值．
【解答過程】解：∵（1，5，﹣2），（3，1，z），，
∴ 0即1×3+5×1+（﹣2）×z＝0，解得：z＝4．
故選：D．
【變式6-3】（2021秋 屯溪區校級期中）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，2），且k與2互相平行，則k＝（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【解題思路】利用向量坐標運算法則先求出k，2，再由k與2互相平行，列方程能求出k．
【解答過程】解：向量（1，1，0），（1，0，2），
∴k（k﹣1，k，﹣2），2（3，2，2），
∵k與2互相平行，
∴，
解得k＝﹣2．
故選：B．

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