資源簡介

2015 年高考全國 1 卷數學試卷分析
一．整體解讀
試卷緊扣考試說明，從考生熟悉的基礎知識入手，寬角度、多視點、有層次地考查了學
生的數學理性思維能力、對數學本質的理解能力及數學素養和潛能的區分度，達到了“考基
礎、考能力、考素質、考潛能”的考試目標。試卷所涉及的知識內容限定在考試大綱的范圍
內，幾乎覆蓋了高中所學知識的全部重要內容，體現了“重點知識重點考查”的原則。
1、回歸教材，注重基礎
2015 年新課標卷遵循了考查基礎知識為主體的原則，尤其是考試說明中的大部分知識
點，選擇題、填空題考查了復數、三角函數、簡易邏輯、概率、解析幾何、向量、框圖、二 項式定理（理科）、線性規劃等知識點，大部分屬于常規題型，是學生在平時訓練中常見的 類型。同時，在立體幾何、導數等題目上進行了一些微創新，與我國古代《九章算術》中的 著名題目相聯系，這些題目的設計回歸教材和中學教學實際。
2、適當設置題目難度與區分度
與往年新課標卷相對比，今年的選填難度仍然設置在選擇題和填空題的最后兩道。尤其
以選擇題第 12 題和填空題第 16 道為代表。有的同學平時此類型的題目見的較少，需要在考
場緊張的狀態下獨自解決，這考查了同學在壓力狀態下分析問題，解決問題的能力。對此，
我們之前給出的建議是，不要在這類型的題目花費過多的時間，從而壓縮了后面解答題部分
的答題時間，同時也影響考試情緒。
3、布局合理，考查全面，著重數學方法和數學思想的考察
在解答題部分，文、理兩科試卷均對高中數學中的重點內容時行了考查。包括數列、立
體幾何、概率統計、解析幾何、導數五大版塊和三選一問題。以知識為載體，立意于能力，
讓數方法和數學思統方式貫穿于整個試題的解答過程之中。
4、命題考察的沿續性
2015 年新課標卷，在力求創新基礎上，也有一些不變的東西。例如 2015 年新課標 1 卷
理科選擇題第 7 題與 2014 年新課標 1 卷文科第 6 題的命題方式基本完全一致。
1
二．考點分布
1.理科
集合
0
復數
5
函數
5
向量
5
簡易邏輯
5
程序框圖
5
線性規劃
5
二項式定理
5
解三角形
10
幾何證明選講
10
坐標系與參數方程
10
不等式選講
10
數列
12
概率與統計
17
導數
17
立體幾何
22
解析幾何
22
2.文科
集合
5
復數
5
線性規劃
5
向量
5
簡易邏輯
5
程序框圖
5
2
函數
10
數列
10
幾何證明選講
10
坐標系與參數方程
10
不等式選講
10
解三角形
17
概率與統計
17
導數
17
立體幾何
22
解析幾何
22
2015文科試卷分析
25
20
15
分值
10
5
0
復數
線性規劃
向量
簡易邏輯
程序框圖
函數數列幾何證明選講坐標系與參數方程不等式選講解三角形
概率與統計導數
解析幾何
集合
立體幾何
絕密★啟封并使用完畢前
試題類型：A
2015年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
注意事項：
1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷3至5頁.
2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置.
3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.
4. 考試結束后，將本試題和答題卡一并交回.
第Ⅰ卷
選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
設復數z滿足＝i，則|z|＝
(A)1 (B) (C) (D)2
(2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝
(A) (B) (C) (D)
(3)設命題P：nN，>，則P為
(A)nN， > (B) nN， ≤
(C)nN， ≤ (D) nN， ＝
(4)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
(5)已知M(x0，y0)是雙曲線C： 上的一點，F1、F2是C上的兩個焦點，若＜0，則y0的取值范圍是
(A)(－，) (B)(－，)
(C)(，) (D)(，)
(6)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
(7)設D為ABC所在平面內一點，則
(A) (B)
(C) (D)
(8)函數f(x)＝的部分圖像如圖所示，則f(x)的單調遞減區間為
(A)()，k (b)()，k
(C)()，k (D)()，k
(9)執行右面的程序框圖，如果輸入的t＝0.01，則輸出的n＝
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

的展開式中，的系數為
(A)10 (B)20 (C)30 (D)60
圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，
該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的
表面積為16 ＋ 20，則r＝
(A)1
(B)2
(C)4
(D)8
12.設函數f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的
整數x0，使得f(x0)0，則a的取值范圍是( )
A.[，1) B. [) C. [) D. [，1)
第II卷
本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題~第(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答.第(22)題~第(24)題未選考題，考生根據要求作答.
二、填空題：本大題共3小題，每小題5分
(13)若函數f(x)＝xln(x＋)為偶函數，則a＝
(14)一個圓經過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸上，則該圓的標準方程為 .
(15)若x，y滿足約束條件，則的最大值為 .
(16)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是 .
三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
(17)(本小題滿分12分)
Sn為數列{an}的前n項和.已知an>0，
(Ⅰ)求{an}的通項公式：
(Ⅱ)設 ，求數列}的前n項和
(18)如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，
E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，
DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)證明：平面AEC⊥平面AFC
(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值
(19)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1，2，···，8)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)(yi－)
(wi－)(yi－)
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi ＝， ， ＝
(Ⅰ)根據散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)
(Ⅱ)根據(Ⅰ)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；
(Ⅲ)以知這種產品的年利率z與x、y的關系為z＝0.2y－x.根據(Ⅱ)的結果回答下列問題：
年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？
附：對于一組數據(u1 v1)，(u2 v2)…….. (un vn)，其回歸線v＝u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
(20)(本小題滿分12分)
在直角坐標系xoy中，曲線C：y＝與直線l:y＝kx＋a(a>0)交于M，N兩點，
(Ⅰ)當k＝0時，分別求C在點M和N處的切線方程；
(Ⅱ)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM＝∠OPN？說明理由.
(21)(本小題滿分12分)
已知函數f(x)＝
(Ⅰ)當a為何值時，x軸為曲線 的切線；
(Ⅱ)用 表示m，n中的最小值，設函數 ，討論h(x)零點的個數
請考生在(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.
(22)(本題滿分10分)選修4－1：幾何證明選講
如圖，AB是☉O的直徑，AC是☉O的切線，BC交☉O于點E

若D為AC的中點，證明：DE是☉O的切線；
若OA＝CE，求∠ACB的大小.?
(23)(本小題滿分10分)選修4－4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中.直線:x＝－2，圓：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點， x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
求，的極坐標方程；
若直線的極坐標方程為，設與的交點為， ，求△C2MN的面積
(24)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知函數＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(Ⅰ)當a＝1時，求不等式f(x)>1的解集；
(Ⅱ)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍
2015年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學試題答案
A卷選擇題答案
選擇題
（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B
（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D
A、B卷非選擇題答案
二、填空題
（13）1 （14） （15）3 （16）
解答題
（17）解：
（I）由，可知
可得 即
由于可得
又，解得
所以是首相為3，公差為2的等差數列，通項公式為
（II）由
設數列的前n項和為，則
（18）解：
（I）連結BD，設BDAC=G，連結EG，FG，EF.
在菱形ABCD中不妨設GB=1.由ABC=120°，
可得AG=GC=.由 BE平面ABCD, AB=BC可知AE=EC.
又AEEC，所以EG=，且EGAC.在RtEBG中，
可得BE=故DF=.在RtFDG中，可得FG=.
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=，
可得FE=.從而
又因為
所以平面
如圖，以G為坐標原點，分別以GB，GC的方向為x軸，y軸正方向，
為單位長，建立空間直角坐標系G-xyz.
由（I）可得所以
故
所以直線AE與直線CF所成直角的余弦值為.
（19）解：
（I）由散點圖可以判斷，適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型。 ……2分
（II）令，先建立y關于w的線性回歸方程。由于

。
所以y關于w的線性回歸方程為，因此y關于x的回歸方程為。 ……6分
（III）（i）由（II）知，當x=49時，年銷售量y的預報值
年利潤z的預報值
。 ……9分
（ii）根據（II）的結果知，年利潤z的預報值
所以當，即x=46.24時，取得最大值
故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大。 ……12分
（20）解：
（I）有題設可得又
處的導數值為，C在點出的切線方程為
，即.
股所求切線方程為
存在符合題意的點，證明如下：
設P(0，b)為符合題意的點，M(x,y),N(x,y)直線PM，PN的斜率分別為
故
從而
當b=-a時，有
（21）解：
（I）設曲線y=f(x)與x軸相切于點
因此，當
（II）當
是的零點
綜上，當
（22）解：
（I）鏈接AE，由已知得，
在中，由已知得，DE=DC故
鏈接OE，則OBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90°
故，DE是得切線
（II）設CE=1，AE=X，由已知得，
由攝影定理可得，AE=CE.BE，所以即
可得，所以

（23）解：
（I）因為，，所以的極坐標方程為，的極坐標方程為。 ……5分
（II）將代入，得，解得，。故，即。
由于的半徑為1，所以的面積為。 ……10分
（24）解：
（I）當時，化為，
當時，不等式化為，無解；
當時，不等式化為，解得；
當時，不等式化為，解得。
所以的解集為。 ……5分
（II）由題設可得，
所以函數的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，，的面積為。
由題設得，故。
所以a的取值范圍為 ……10分
B卷選擇題
選擇題
（1）D （2）A （3）C （4）A (5) D (6) B
(7) D (8) A (9) C (10) C (11) B (12) A
2015年普通高等學校招生全國統一考試（新課標1卷）文
一、選擇題：每小題5分,共60分
1、已知集合，則集合中的元素個數為
（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2
2、已知點，向量，則向量
（A） （B） （C） （D）
3、已知復數滿足，則（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數，從中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、已知橢圓E的中心為坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線的焦點重合，是C的準線與E的兩個交點，則
（A） （B） （C） （D）
6、《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（ ）
（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛
7、已知是公差為1的等差數列，為的前項和，若，則（ ）
（A） （B） （C） （D）
8、函數的部分圖像如圖所示，則的單調遞減區間為（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9、執行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ）
（A） （B） （C）7 （D）8
10、已知函數 ，
且，則
（A）
（B）
（C）
（D）
11、圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則( )
（A）
（B）
（C）
（D）
12、設函數的圖像與的圖像關于直線對稱，且
，則( )
（A） （B） （C） （D）
二、填空題：本大題共4小題,每小題5分
13、數列中為的前n項和，若，則 .
14.已知函數的圖像在點的處的切線過點，則 .
15. 若x,y滿足約束條件 ,則z=3x+y的最大值為 ．
16.已知是雙曲線的右焦點，P是C左支上一點， ，當周長最小時，該三角形的面積為 ．
三、解答題
17. （本小題滿分12分）已知分別是內角的對邊，.
（I）若，求
（II）若，且 求的面積.
18. （本小題滿分12分）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，，
（I）證明：平面平面；
（II）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側面積.
19. （本小題滿分12分）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費和年銷售量數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.
（I）根據散點圖判斷，與，哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
（II）根據（I）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（III）已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為 ，根據（II）的結果回答下列問題：
（i）當年宣傳費=49時，年銷售量及年利潤的預報值時多少？
（ii）當年宣傳費為何值時，年利潤的預報值最大？
20. （本小題滿分12分）已知過點且斜率為k的直線l與圓C：交于M，N兩點.
（I）求k的取值范圍；
（II）若，其中O為坐標原點，求.
21. （本小題滿分12分）設函數.
（I）討論的導函數的零點的個數；
（II）證明：當時.
請考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號
22. （本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖AB是O直徑，AC是O切線，BC交O與點E.
（I）若D為AC中點，證明：DE是O切線；
（II）若 ，求的大小.
23. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系 中，直線，圓，以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.
（I）求的極坐標方程.
（II）若直線的極坐標方程為，設的交點為，求 的面積.
24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函數 .
（I）當 時求不等式 的解集；
（II）若的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍.
2015年普通高等學校招生全國統一考試（新課標1卷）文
答案
選擇題
（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B
（7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C
填空題
（13）6 （14）1 （15）4 （16）
解答題
17、解：
（I）由題設及正弦定理可得=2ac.
又a=b，可得cosB== ……6分
（II）由（I）知=2ac.
因為B=，由勾股定理得.
故，的c=a=.
所以△ABC的面積為1. ……12分
18、解：
（I）因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.
因為BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分
（II）設AB=，在菱形ABCD中，又∠ABC= ，可得
AG=GC=，GB=GD=.
因為AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG為直角三角形，可得BE=.
由已知得，三棱錐E-ACD的體積=×AC·GD·BE=.
故=2 ……9分
從而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與 △ECD的面積均為.
故三棱錐E-ACD的側面積為3+2. ……12分
19、解：
（I）由散點圖可以判斷，y=c+d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費的回歸方程式類型.
（II）令，先建立y關于w的線性回歸方程式.由于
,
，
所以y關于w的線性回歸方程為,因此y關于的回歸方程為
（Ⅲ）（i）由（II）知，當=49時，年銷售量y的預報值
，
年利潤z的預報值
……9分
（ii）根據（II）的結果知，年利潤z的預報值
.
所以當，即=46.24時，取得最大值.
故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大. ……12分
20、解：
（I）由題設，可知直線的方程為.
因為與C交于兩點，所以.
解得 .
所以k的取值范圍為. ……5分
（II）設.
將代入方程，整理得
.
所以.

.
由題設可得=12，解得k=1，所以的方程是y=x+1.
故圓心C在上，所以. ……12分
21、解：
（I）的定義域為.
當≤0時，沒有零點；
當時，因為單調遞增，單調遞減，所以在單調遞增，又，
當b滿足0＜b＜且b＜時，，故當＜0時存在唯一零點.
……6分
（II）由（I），可設在的唯一零點為，當時，＜0；
當時，＞0.
故在單調遞減，在單調遞增，所以時，取得最小值，最小值為.
由于，所以.
故當時，. ……12分
22、解：
（I）連接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
連結OE，則∠OBE=∠OEB.
又∠OED+∠ABC=，所以∠DEC+∠OEB=，故∠OED=，DE是O的切線.
……5分

（II）設CE=1，AE=，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，，
所以，即.可得，所以∠ACB=.
……10分
23、解：
（I）因為，所以的極坐標方程為，
的極坐標方程為. ……5分
（II）將代入，得，解得
.故，即
由于的半徑為1，所以的面積為. ……10分
24、解：
（I）當時，化為.
當時，不等式化為，無解；
當時，不等式化為，解得；
當，不等式化為-+2＞0，解得1≤＜2.
所以的解集為. ……5分
（II）由題設可得，
所以函數的圖像與軸圍成的三角形的三個丁點分別為
,△ABC的面積為.
由題設得＞6，故＞2.
所以的取值范圍為. ……10分

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