資源簡介

1．圓周運(yùn)動
核心素養(yǎng)定位 物理觀念 (1)認(rèn)識圓周運(yùn)動、勻速圓周運(yùn)動的特點． (2)理解線速度的物理意義，知道勻速圓周運(yùn)動中線速度的方向． (3)理解角速度的物理意義． (4)了解轉(zhuǎn)速和周期的意義．
科學(xué)思維 (1)掌握線速度和角速度的關(guān)系． (2)能在具體的情境中確定線速度和角速度． (3)理解線速度、角速度、周期、轉(zhuǎn)速等各量的相互關(guān)系．
科學(xué)態(tài)度與責(zé)任 會用描述勻速圓周運(yùn)動的物理量分析有關(guān)問題；有主動將所學(xué)知識應(yīng)用于日常生活的意識，既能在合作中堅持自己的觀點，也能尊重他人．
一、線速度
1．定義：做圓周運(yùn)動的物體在一段______的時間Δt內(nèi)，通過的弧長Δs與這段時間Δt______叫作線速度．　 Δs是弧長，不是位移！
2．表達(dá)式：v＝________．
3．意義：線速度描述做圓周運(yùn)動的物體沿圓周______的快慢．
　　線速度是瞬時速度，表示沿軌跡運(yùn)動的快慢
4．方向：物體做圓周運(yùn)動時該點的________方向．
　　　　　　　　　與半徑垂直
5．勻速圓周運(yùn)動
(1)定義：物體沿著圓周運(yùn)動，并且線速度的大小處處________，這種運(yùn)動叫作勻速圓周運(yùn)動．準(zhǔn)確的說法應(yīng)是勻速率圓周運(yùn)動
(2)性質(zhì)：線速度的方向是時刻________的，所以是一種________運(yùn)動．
二、角速度
1．定義：連接物體跟圓心的半徑轉(zhuǎn)過的角Δθ與所用時間Δt之比叫作角速度．
2．表達(dá)式：ω＝．單位：弧度
3．單位：國際單位制中角速度的單位是弧度每秒，符號是rad/s或s－1.
4．物理意義：角速度是描述做圓周運(yùn)動的物體繞圓心轉(zhuǎn)動的快慢．
　　　“轉(zhuǎn)動”與“運(yùn)動”是有區(qū)別的
三、周期
1．周期：做勻速圓周運(yùn)動的物體，運(yùn)動________所用的________叫作周期，用T表示．周期也是常用的物理量，它的單位與時間的單位相同．
　　與角速度成正比
2．轉(zhuǎn)速n：物體轉(zhuǎn)動的________與所用時間之比．單位：____________或____________．
3．周期和轉(zhuǎn)速的關(guān)系：T＝(n的單位為r/s時)．
4．勻速圓周運(yùn)動是角速度________的圓周運(yùn)動．
　　周期不變
四、線速度與角速度的關(guān)系
1．兩者關(guān)系：在圓周運(yùn)動中，線速度的大小________角速度大小與半徑的乘積．
2．表達(dá)式：v＝________．
【情境思考】
如圖是日常生活中常見到的圓周運(yùn)動實例，請對以下結(jié)論作出判斷．
(1)游樂場的摩天輪轉(zhuǎn)動的線速度不變．(　　)
(2)吊扇正常工作時各扇葉的角速度相等．(　　)
(3)吊扇正常工作時扇葉上各點的線速度大小相等．(　　)
(4)吊扇正常工作時扇葉上各點的周期相等．(　　)
1　弧度的計算
用L表示弧長，r表示半徑，則弧度θ＝.
例如，弧長為0.12 m，半徑為0.1 m，
則圓心角θ＝ rad＝1.2 rad.
圓周角360°對應(yīng)的弧長為2πr，
則圓心角為＝2π rad.
　圓周運(yùn)動分類
(1)如圖甲所示為勻速圓周運(yùn)動．
(2)如圖乙所示為變速圓周運(yùn)動．
　角度、弧度的單位換算
度量角的大小的兩種單位制
2　線速度與角速度的區(qū)別
如圖是一個玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三個點，當(dāng)陀螺繞垂直于地面的軸線以角速度ω穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時，有如下關(guān)系．
(1)線速度關(guān)系：a、c兩點在相等時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長相等，則線速度大小相等(va＝vc)，但方向不同；a、b兩點的線速度方向相同，但大小不同(va>vb)．
(2)角速度關(guān)系：a、b、c三點在相等時間內(nèi)半徑轉(zhuǎn)過的圓心角相等，三點角速度相同．
目標(biāo)一　描述圓周運(yùn)動的物理量及其關(guān)系
【導(dǎo)思】
打籃球的同學(xué)可能玩過轉(zhuǎn)籃球，讓籃球在指尖旋轉(zhuǎn)，展示自己的球技．籃球繞指尖所在的豎直軸旋轉(zhuǎn)時：
(1)籃球上不同高度的各點的角速度相同嗎？
(2)線速度大小相同嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
1．描述圓周運(yùn)動的物理量
線速度v＝＝
角速度ω＝＝
2．描述圓周運(yùn)動的物理量之間的關(guān)系
(1)線速度與角速度的關(guān)系式：v＝ωr.
①當(dāng)v一定時，ω與r成反比；
②當(dāng)ω一定時，v與r成正比．
(2)線速度與周期、轉(zhuǎn)速的關(guān)系式：v＝＝2πrn.
(3)角速度與周期、轉(zhuǎn)速的關(guān)系式：ω＝＝2πn.
【典例】
例 1[2023·廣東揭陽期中]如圖所示為時鐘面板，當(dāng)時鐘正常工作時，關(guān)于時針、分針和秒針的轉(zhuǎn)動，下列判斷正確的是(　　)
A．時針的角速度最大
B．秒針的角速度最大
C．時針尖端的線速度大于分針尖端的線速度
D．時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動周期相等
例 2“南昌之星”摩天輪的轉(zhuǎn)盤直徑為153 m，轉(zhuǎn)一圈的時間大約是30 min.乘客乘坐摩天輪觀光時，其線速度大約為(　　)
A．5.0 m/s B．1.0 m/s
C．0.50 m/s D．0.25 m/s
例 3 水車是我國勞動人民利用水能的一項重要發(fā)明．如圖為某水車模型，從槽口水平流出的水初速度大小為v0，垂直落在與水平面成30°角的水輪葉面上，落點到輪軸間的距離為R.在水流不斷沖擊下，輪葉受沖擊點的線速度大小接近沖擊前瞬間水流速度大小，忽略空氣阻力，重力加速度為g.有關(guān)水車及從槽口流出的水的以下說法正確的是(　　)
A．水流在空中運(yùn)動時間為t＝
B．水流在空中運(yùn)動時間為t＝
C．水車最大角速度接近ω＝
D．水車最大角速度接近ω＝
目標(biāo)二　四種常見的傳動裝置
【導(dǎo)思】
(1)圖甲、乙中A、B兩點分別有什么物理量是相同的？
(2)圖甲中B、C兩點有什么物理量是相同的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
1．共軸傳動
做圓周運(yùn)動的物體繞同一軸轉(zhuǎn)動，各點的角速度ω相同，周期T和頻率f也相同．如圖甲所示，A點和B點在同軸的一個圓盤上，則當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動時，A點和B點的角速度、線速度、周期之間的關(guān)系為ωA＝ωB，＝，TA＝TB，并且轉(zhuǎn)動方向相同．
2．皮帶傳動
如圖乙所示，兩個輪子用皮帶連接，皮帶不打滑，A、B兩點分別是兩個輪子邊緣上的點，則A、B兩點線速度大小相同，vA＝vB，根據(jù)v＝ωr可知，＝，根據(jù)T＝＝可知，＝，兩輪轉(zhuǎn)動方向相同，即角速度的大小與半徑成反比，周期與半徑成正比．
3．齒輪傳動
如圖丙所示，A點和B點分別是兩個齒輪邊緣上的點，兩個齒輪嚙合，則當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動時，A點和B點的線速度、角速度、周期之間的關(guān)系為vA＝vB，＝＝＝＝，式中N1、N2分別表示兩齒輪的齒數(shù)，兩點轉(zhuǎn)動方向相反．
4．摩擦傳動
如圖丁、戊所示，兩摩擦輪靠摩擦傳動，A點和B點分別是兩輪邊緣上的點，傳動時如果兩摩擦輪在接觸處沒有相對滑動，則兩輪在接觸處的線速度大小相等，此時A點和B點的線速度、角速度、周期之間的關(guān)系為vA＝vB，＝＝.
【典例】
例 4 如圖甲所示，修正帶是通過兩個齒輪的相互嚙合進(jìn)行工作的，其簡化原理圖如圖乙所示．A、B、C三點位于齒輪不同位置，已知2rC＝rA，rC＝rB.以下關(guān)于A、B、C三點的線速度大小v、角速度大小ω之間關(guān)系的說法正確的是(　　)
A．vAC．ωA>ωB，vB＝vC D．ωA<ωB，vB＝vC
例 5 如圖所示，自行車后架上裝有給車頭燈供電的小發(fā)電機(jī)，小發(fā)電機(jī)的上端有一個摩擦小輪．行駛過程中，當(dāng)需要小發(fā)電機(jī)向車頭燈供電時，摩擦小輪壓緊車輪，如圖所示，此時摩擦小輪在自行車車輪摩擦力的作用下轉(zhuǎn)動，發(fā)電機(jī)發(fā)電．已知此時摩擦小輪與自行車車輪之間不打滑，則下列說法正確的是(　　)
A．車輪轉(zhuǎn)動角速度大于大齒輪轉(zhuǎn)動角速度
B．車輪邊緣的線速度等于小齒輪邊緣的線速度
C．摩擦小輪轉(zhuǎn)動角速度小于小齒輪轉(zhuǎn)動角速度
D．摩擦小輪邊緣的線速度小于大齒輪邊緣的線速度
規(guī)律方法
解決傳動問題的思路
(1)分清傳動特點：若屬于皮帶傳動或齒輪傳動，則輪子邊緣各點線速度大小相等；若屬于共軸傳動，則輪上各點的角速度相等．
(2)確定半徑關(guān)系：根據(jù)裝置中各點位置確定半徑關(guān)系，或根據(jù)題意確定半徑關(guān)系．
(3)擇式分析：若線速度大小相等，則根據(jù)ω∝分析；若角速度大小相等，則根據(jù)v∝r分析．
目標(biāo)三　圓周運(yùn)動的周期性造成的多解問題
【導(dǎo)思】
如圖所示為飛鏢游戲．
(1)對準(zhǔn)A點就能在最高點直接射中A點嗎？
(2)飛鏢射中A點時，A點轉(zhuǎn)動到哪個位置？
(3)飛鏢射中A點時，A點一定轉(zhuǎn)動半圈嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
1．問題特點
(1)研究對象：勻速圓周運(yùn)動的多解問題含有兩個做不同運(yùn)動的物體．
(2)運(yùn)動特點：一個物體做勻速圓周運(yùn)動，另一個物體做其他形式的運(yùn)動(如平拋運(yùn)動、勻速直線運(yùn)動等)．
(3)運(yùn)動的關(guān)系：根據(jù)兩物體運(yùn)動的時間相等建立等式，求解待求物理量．
2．分析技巧
(1)抓住聯(lián)系點：明確題中兩個物體的運(yùn)動性質(zhì)，抓住兩運(yùn)動的聯(lián)系點——時間相等．
(2)先特殊后一般：先考慮第一個周期的情況，再根據(jù)運(yùn)動的周期性，考慮多個周期時的規(guī)律．
(3)分析時注意兩個運(yùn)動是獨立的，互不影響．
【典例】
例 6 (多選)如圖所示，在水平勻速轉(zhuǎn)動的圓盤圓心正上方一定高度處，若向同一方向以相同速度每秒均勻拋出N個小球，不計空氣阻力，發(fā)現(xiàn)小球僅落在圓盤邊緣，且共有6個均勻?qū)ΨQ分布的落點，則圓盤轉(zhuǎn)動的角速度可能是(　　)
A．πN rad/s B．πN rad/s
C．πN rad/s D．πN rad/s
例 7[2023·四川南充高一下期中]子彈以初速度v0水平向右射出，沿水平直線穿過一個正在沿逆時針方向轉(zhuǎn)動的薄壁圓筒，在圓筒上只留下一個彈孔(從A位置射入，B位置射出，如圖所示)．OA、OB之間的夾角θ＝，已知圓筒半徑R＝0.5 m，子彈始終以v0＝60 m/s的速度沿水平方向運(yùn)動(不考慮重力的作用)，則圓筒的轉(zhuǎn)速可能是(　　)
A．20 r/s B．60 r/s
C．100 r/s D．140 r/s
1．[2023·泰安高一檢測](多選)甲、乙兩個做圓周運(yùn)動的質(zhì)點，它們的角速度之比為3∶1，線速度之比為2∶3，那么下列說法正確的是(　　)
A．它們的半徑之比為2∶9
B．它們的半徑之比為1∶2
C．它們的周期之比為2∶3
D．它們的周期之比為1∶3
2．(多選)20世紀(jì)70年代我國農(nóng)村常用轆轤澆灌農(nóng)田，其模型圖如圖所示，細(xì)繩繞在半徑為r的輪軸上懸掛一個水桶M，輪軸上均勻分布著6根手柄，柄端有6個質(zhì)量均勻的小球m.小球離軸心的距離為R，輪軸、繩(極細(xì))及手柄的質(zhì)量以及摩擦均不計．當(dāng)手柄勻速轉(zhuǎn)動n周把水桶提上來時，下列說法正確的是(　　)
A.小球的角速度為2πn(rad/s)
B．輪軸轉(zhuǎn)動的角速度等于小球轉(zhuǎn)動的角速度
C．水桶的速度是小球轉(zhuǎn)動線速度的
D．輪軸轉(zhuǎn)動了nR周
3．[2023·河南平頂山高一期末]如圖所示，車牌自動識別系統(tǒng)的閘桿可繞O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動．某汽車從自動識別線ab處運(yùn)動到閘桿處的時間為4.5 s，自助識別系統(tǒng)的反應(yīng)時間為0.5 s．如果汽車運(yùn)動到閘桿位置時，閘桿剛好由水平位置轉(zhuǎn)到豎直位置，則閘桿轉(zhuǎn)動的平均角速度大小為(　　)
A． rad/s B． rad/s
C． rad/s D． rad/s
4．如圖是一種新概念自行車，它沒有鏈條，共有三個轉(zhuǎn)輪，A、B、C轉(zhuǎn)輪半徑依次減小．輪C與輪A嚙合在一起，騎行者踩踏板使輪C轉(zhuǎn)動，輪C驅(qū)動輪A轉(zhuǎn)動，從而使得整個自行車沿路面前行．對于這種自行車，下列說法正確的是(　　)
A．轉(zhuǎn)輪A、B、C線速度大小vA、vB、vC之間的關(guān)系是vA>vB>vC
B．轉(zhuǎn)輪A、B、C線速度大小vA、vB、vC之間的關(guān)系是vA＝vB>vC
C．轉(zhuǎn)輪A、B、C角速度ωA、ωB、ωC之間的關(guān)系是ωC>ωB>ωA
D．轉(zhuǎn)輪A、B、C角速度ωA、ωB、ωC之間的關(guān)系是ωA＝ωC>ωB
5．1849年，法國科學(xué)家斐索用如圖所示的方法在地面上測出了光速．他采用的方法是讓光束從高速旋轉(zhuǎn)的齒輪的齒縫正中央穿過，經(jīng)鏡面反射回來，調(diào)節(jié)齒輪的轉(zhuǎn)速，使反射光束恰好通過相鄰的另一個齒縫的正中央，由此可測出光的傳播速度．若測量出在時間t內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)動了n周，齒輪的齒數(shù)為P，齒輪與鏡子間距離為d，則光速表達(dá)式為(　　)
A． B．
C． D．
6．[2023·山東臨沂高一下聯(lián)考](多選)如圖所示，一位同學(xué)玩飛鏢游戲，圓盤最上端有一P點，飛鏢拋出時與P點等高，且到P點距離為L.當(dāng)飛鏢以初速度v0垂直于盤面瞄準(zhǔn)P點拋出的同時，圓盤繞經(jīng)過盤心O點的水平軸在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動．忽略空氣阻力，重力加速度為g，若飛鏢恰好擊中P點，則下列說法正確的是(　　)
A．飛鏢擊中P點所需的時間為
B．圓盤的半徑為
C．圓盤轉(zhuǎn)動角速度的最小值為
D．P點隨圓盤轉(zhuǎn)動的線速度可能為
1．圓周運(yùn)動
導(dǎo)學(xué)　掌握必備知識
一、
1．很短　之比
2.
3．運(yùn)動
4．切線
5．(1)相等　(2)變化　變速
三、
1．一周　時間
2．圈數(shù)　轉(zhuǎn)每秒(r/s)　轉(zhuǎn)每分(r/min)
4．不變
四、
1．等于
2．ωr
情境思考
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
共研　突破關(guān)鍵能力
目標(biāo)一
　提示：(1)籃球上各點的角速度是相同的．
(2)由于不同高度的各點轉(zhuǎn)動時的圓心、半徑不同，由v＝ωr可知不同高度的各點的線速度大小不同．
[例1]　解析：相同時間內(nèi)秒針轉(zhuǎn)過的角度最大，所以秒針的角速度最大，故A錯誤，B正確；因為相同時間內(nèi)分針轉(zhuǎn)過的角度大于時針轉(zhuǎn)過的角度，所以分針的角速度大于時針的角速度，又因為分針的長度大于時針，根據(jù)v＝ωr可知分針尖端的線速度大于時針尖端的線速度，故C錯誤；時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動周期不相等，故D錯誤．
答案：B
[例2]　解析：乘客做圓周運(yùn)動的半徑R＝ m，周期T＝30 min＝1 800 s，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動各物理量間的關(guān)系可得v＝ωR＝R，代入數(shù)據(jù)得v≈0.25 m/s，故D正確．
答案：D
[例3]　解析：水流垂直落在與水平面成30°角的水輪葉面上，水平方向速度和豎直方向速度滿足tan 30°＝，解得t＝，A、B錯誤；水流到水輪葉面上時的速度大小為v＝＝2v0，根據(jù)v＝ωR，解得ω＝，C正確，D錯誤．故選C.
答案：C
目標(biāo)二
提示：(1)圖甲中A、B兩點在自行車的同一條鏈條上，這決定了A、B兩點的線速度大小是相等的．同一條鏈條上的所有點的線速度大小都一樣．圖乙中的兩個齒輪邊緣相同時間內(nèi)必定轉(zhuǎn)過相同弧長，故圖乙中A、B兩點線速度大小相等．它們和圖甲中的A、B兩點是類似的，同理還有皮帶傳動、摩擦小輪，由于邊緣始終沒有相對滑動，相同時間內(nèi)必定轉(zhuǎn)過相同弧長，我們可以總結(jié)為“同線的線速度大小相等”．
(2)B、C的轉(zhuǎn)軸相同，B轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)，C一定同時轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)，所以B、C的角速度是相等的．我們稱為“同軸轉(zhuǎn)動”．
[例4]　解析：A、C是同軸轉(zhuǎn)動，有ωA＝ωC，vA＝ωArA，vC＝ωCrC，又因2rC＝rA，故vA＝2vC；A、B是同緣傳動，有vA＝vB，又因vA＝2vC，所以vB＝2vC.A、C、D錯誤，B正確．故選B.
答案：B
[例5]　解析：小齒輪和車輪同軸轉(zhuǎn)動，角速度大小相同，車輪半徑大于小齒輪半徑，由v＝ωr知車輪邊緣的線速度大于小齒輪邊緣的線速度，故B錯誤；大齒輪和小齒輪通過鏈條相連，邊緣線速度大小相同，根據(jù)v＝ωr可知，小齒輪的角速度大于大齒輪的角速度，故車輪轉(zhuǎn)動角速度大于大齒輪轉(zhuǎn)動角速度，故A正確；摩擦小輪邊緣線速度與車輪邊緣線速度大小相同，由v＝ωr知摩擦小輪轉(zhuǎn)動角速度大于車輪轉(zhuǎn)動角速度，也就大于小齒輪轉(zhuǎn)動角速度，故C錯誤；由于小齒輪邊緣的線速度小于車輪邊緣的線速度，大齒輪和小齒輪通過鏈條相連，邊緣線速度大小相同，故摩擦小輪邊緣的線速度大于大齒輪邊緣的線速度，故D錯誤．
答案：A
目標(biāo)三
　提示：(1)不能，飛鏢要做平拋運(yùn)動，在豎直方向會向下運(yùn)動．
(2)A點做的是圓周運(yùn)動，而飛鏢在初速度所在豎直平面內(nèi)做平拋運(yùn)動，故射中A點時A點必定轉(zhuǎn)到最低點的位置．
(3)不一定，飛鏢射中A點時，A點可能轉(zhuǎn)動半圈，也可能是一圈半、兩圈半……總之是半圈的奇數(shù)倍．
[例6]　解析：小球在盤邊緣共有6個均勻分布的落點，說明每轉(zhuǎn)動2nπ＋π或2nπ＋π角度后就有一個小球落在圓盤的邊緣，故Δθ＝(2n＋)π或Δθ＝(2n＋)π(n＝0，1，2，…)，Δt＝ s，故角速度ω＝＝N(2n＋)π rad/s或ω＝N(2n＋)π rad/s(n＝0，1，2，…)．當(dāng)n＝0時，ω＝πN rad/s或ω＝πN rad/s；當(dāng)n＝1時，ω＝πN rad/s或ω＝πN rad/s；當(dāng)n＝2時，ω＝πN rad/s或ω＝πN rad/s.選項A、C正確，B、D錯誤．
答案：AC
[例7]　解析：OA、OB之間的夾角θ＝，所以A與B之間的距離等于R，在子彈飛行的時間內(nèi)，圓筒轉(zhuǎn)動的角度為(2n－)π(n＝1，2，3，…)，則時間t＝(n＝1，2，3，…)，所以子彈的速度v0＝＝＝＝ m/s(n＝1，2，3，…)，解得ω＝2(2n－)πv0(n＝1，2，3，…)，則轉(zhuǎn)速N＝＝(2n－)v0(n＝1，2，3，…)．當(dāng)n＝1時，N＝×60 r/s＝100 r/s；當(dāng)n＝2時，N＝×60 r/s＝220 r/s.故選項C正確．
答案：C
精練　落實學(xué)科素養(yǎng)
1．解析：因為v＝ωr，所以r＝，則r甲∶r乙＝∶＝2∶9，選項A正確，B錯誤；因為T＝，所以T甲∶T乙＝∶＝1∶3，選項D正確，C錯誤．
答案：AD
2．解析：題中的n不是轉(zhuǎn)速，根據(jù)題意無法求出小球的角速度，選項A錯誤；轉(zhuǎn)軸和小球?qū)儆谕S轉(zhuǎn)動，角速度相等，選項B正確；水桶的速度為v＝ωr，小球轉(zhuǎn)動線速度為v′＝ωR，水桶的速度是小球轉(zhuǎn)動線速度的，選項C正確；手柄和輪軸屬于同軸轉(zhuǎn)動，手柄勻速轉(zhuǎn)動n周，輪軸轉(zhuǎn)動了n周，選項D錯誤．故選B、C.
答案：BC
3．解析：由題知，汽車運(yùn)動時間為4.5 s，自助識別系統(tǒng)的反應(yīng)時間為0.5 s，則說明閘桿有4 s的轉(zhuǎn)動時間，則閘桿轉(zhuǎn)動的平均角速度大小為ω＝ rad/s＝ rad/s，B正確．
答案：B
4．解析：自行車運(yùn)動過程中，前后輪A、B的線速度大小相等，由于A、C嚙合在一起，A、C線速度大小也相等，因此vA＝vB＝vC，故A、B錯誤；由ω＝可知，在線速度大小相等的情況下，半徑越小，角速度越大，故C正確，D錯誤．故選C.
答案：C
5．解析：根據(jù)在時間t內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)動了n周，可求出齒輪的轉(zhuǎn)動周期，為T＝，由于齒輪的齒數(shù)為P，則可求出每轉(zhuǎn)動一齒的時間，為t0＝＝.根據(jù)題意可知，光從齒縫正中央穿過，經(jīng)鏡面反射回來，反射光束恰好通過相鄰的另一個齒縫的正中央，可得2d＝ct0＝c·，解得c＝.故選A.
答案：A
6．解析：飛鏢做平拋運(yùn)動，在水平方向做勻速直線運(yùn)動，則飛鏢擊中P點所需的時間為，選項A正確；當(dāng)飛鏢擊中P點時，P點應(yīng)該在圓盤的最低點，則圓盤的半徑為R＝h＝＝，選項B錯誤；圓盤轉(zhuǎn)動的角速度滿足ωt＝2πn＋π(n＝0，1，2，…)，當(dāng)n＝0時角速度最小，則最小值為，選項C錯誤；P點隨圓盤轉(zhuǎn)動的線速度為v＝ωR＝＝(n＝0，1，2，…)，當(dāng)n＝2時，v＝，選項D正確．
答案：AD2．向心力
核心素養(yǎng)定位 物理觀念 (1)知道向心力的概念，知道向心力是根據(jù)力的作用效果命名的． (2)掌握向心力的表達(dá)式． (3)知道勻速圓周運(yùn)動的向心力特點． (4)知道變速圓周運(yùn)動和一般曲線運(yùn)動的受力特點．
科學(xué)思維 (1)會分析向心力的來源． (2)能夠計算簡單情境中的向心力． (3)能夠處理勻速圓周運(yùn)動的動力學(xué)問題．
科學(xué)探究 通過實驗體會向心力的存在，會設(shè)計相關(guān)實驗，探究向心力大小與半徑、角速度、質(zhì)量的關(guān)系，體會控制變量法在研究多個物理量關(guān)系中的應(yīng)用．
第1課時　實驗：探究向心力大小的表達(dá)式
一、向心力是變力
1．定義：做勻速圓周運(yùn)動的物體所受的合力總指向________，這個指向________的力叫作向心力．
2．作用：改變速度的________．
3．方向：始終沿著________指向________．
　時刻在變
　　不是物體實際受的力
4．向心力是根據(jù)力的________命名的，它是由______________________提供的．
二、探究向心力大小與半徑、角速度、質(zhì)量的關(guān)系
探究方案一　感受向心力
1．實驗原理
如圖所示，在繩子的一端拴一個小沙袋(或其他小物體)，另一端握在手中．將手舉過頭頂，使沙袋在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，此時，沙袋所受的向心力近似等于手通過繩對沙袋的________．
2．實驗步驟
(1)在小沙袋的質(zhì)量和角速度不變的條件下，改變小沙袋做圓周運(yùn)動的半徑進(jìn)行實驗，比較向心力與________的關(guān)系．
(2)在小沙袋的質(zhì)量和做圓周運(yùn)動的半徑不變的條件下，改變小沙袋的角速度進(jìn)行實驗，比較向心力與________的關(guān)系．
(3)換用不同質(zhì)量的小沙袋，在角速度和半徑不變的條件下，重復(fù)上述操作，比較向心力與________的關(guān)系．
3．實驗結(jié)論：半徑越________，角速度越________，質(zhì)量越________，向心力越大．
探究方案二　用向心力演示器定量探究
1．實驗原理
向心力演示器如圖所示．勻速轉(zhuǎn)動手柄1，可以使變速塔輪2和3以及長槽4和短槽5隨之勻速轉(zhuǎn)動，槽內(nèi)的小球也隨著做勻速圓周運(yùn)動．皮帶分別套在塔輪2和3上的不同圓盤上，可使兩個槽內(nèi)的小球分別以幾種不同的角速度做勻速圓周運(yùn)動．小球做勻速圓周運(yùn)動的向心力由橫臂6的擋板對小球的壓力提供．球?qū)醢宓姆醋饔昧Γㄟ^橫臂的杠桿作用使彈簧測力套筒7下降，從而露出標(biāo)尺8.根據(jù)標(biāo)尺8上露出的紅白相間等分標(biāo)記，可以粗略計算出兩個球所受向心力的比值．
2．實驗步驟
(1)皮帶套在塔輪2和3半徑相同的圓盤上，小球轉(zhuǎn)動半徑和轉(zhuǎn)動角速度相同時，探究向心力與小球質(zhì)量的關(guān)系．
(2)皮帶套在塔輪2和3半徑相同的圓盤上，小球轉(zhuǎn)動角速度和質(zhì)量相同時，探究向心力與轉(zhuǎn)動半徑的關(guān)系．
(3)皮帶套在塔輪2和3半徑不同的圓盤上，小球質(zhì)量和轉(zhuǎn)動半徑相同時，探究向心力與角速度的關(guān)系．
3．實驗結(jié)論：在半徑和角速度一定的情況下，向心力大小與質(zhì)量成________．
在質(zhì)量和角速度一定的情況下，向心力大小與半徑成________．
在質(zhì)量和半徑一定的情況下，向心力大小與________________成正比．
目標(biāo)一　對向心力的理解
【導(dǎo)思】
如圖所示，用細(xì)繩拉著質(zhì)量為m的小球在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動．
(1)小球受哪些力作用？合力指向什么方向？
(2)除以上力外，小球還受不受向心力？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
1．向心力的作用效果是改變速度方向，不改變速度大小．
2．向心力不是作為具有某種性質(zhì)的力來命名的，而是根據(jù)力的作用效果命名的，它可以由某個力或幾個力的合力提供．
3．向心力的方向指向圓心，與線速度方向垂直，方向時刻在改變，故向心力為變力．
4．當(dāng)物體受到的合外力大小不變，方向始終與線速度方向垂直且指向圓心時，物體做勻速圓周運(yùn)動．
【典例】
例 1 (多選)下列關(guān)于向心力的說法正確的是(　　)
A．做勻速圓周運(yùn)動的物體所受的合力提供向心力
B．勻速圓周運(yùn)動的向心力是恒力
C．勻速圓周運(yùn)動的向心力的大小一直在變化
D．向心力只改變物體速度的方向
例 2 如圖所示是游樂園轉(zhuǎn)盤游戲，游客坐在勻速轉(zhuǎn)動的水平轉(zhuǎn)盤上，與轉(zhuǎn)盤相對靜止．關(guān)于他們的受力情況和運(yùn)動趨勢，下列說法中正確的是(　　)
A．游客在勻速轉(zhuǎn)動過程中處于平衡狀態(tài)
B．受到重力、支持力、靜摩擦力和向心力的作用
C．游客受到的靜摩擦力方向沿半徑方向指向圓心
D．游客相對于轉(zhuǎn)盤的運(yùn)動趨勢與其運(yùn)動方向相反
目標(biāo)二　教材原型實驗
　
【典例】
例 3 如圖所示，同學(xué)們分小組探究影響向心力大小的因素．同學(xué)們用細(xì)繩系一紙杯(杯中有30 mL的水)在空中甩動，使杯在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，來感受向心力．如圖甲，在繩離杯心40 cm處打一結(jié)點A，80 cm處打一結(jié)點B，學(xué)習(xí)小組中一位同學(xué)用手表計時，另一位同學(xué)操作，如圖乙，其余同學(xué)記錄實驗數(shù)據(jù)．
操作一：手握繩結(jié)A，使杯在水平面內(nèi)每秒運(yùn)動一周，體會向心力的大小．
操作二：手握繩結(jié)B，使杯在水平面內(nèi)每秒運(yùn)動一周，體會向心力的大小．
操作三：手握繩結(jié)A，使杯在水平面內(nèi)每秒運(yùn)動兩周，體會向心力的大小．
操作四：手握繩結(jié)A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平面內(nèi)每秒運(yùn)動一周，體會向心力的大小．
(1)操作二與操作一相比較：質(zhì)量、角速度相同，向心力的大小與轉(zhuǎn)動半徑大小有關(guān)．
操作三與操作一相比較：質(zhì)量、轉(zhuǎn)動半徑相同，向心力的大小與角速度大小有關(guān)．
操作四與操作一相比較：________________相同，向心力大小與________有關(guān)．
(2)物理學(xué)中此種實驗方法叫________法．
(3)小組總結(jié)階段，在空中甩動，使杯在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的同學(xué)談感受時說：“手腕發(fā)酸，感覺力的方向不是指向圓心的向心力而是背離圓心的離心力，跟書上的說法不一樣．”你認(rèn)為該同學(xué)的說法是否正確，為什么？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
例 4 某同學(xué)利用如圖所示的向心力演示器，探究小球做勻速圓周運(yùn)動向心力Fn的大小與小球質(zhì)量m、轉(zhuǎn)速n和運(yùn)動半徑r之間的關(guān)系．勻速轉(zhuǎn)動手柄1，可使變速塔輪2和3以及長槽4和短槽5隨之勻速轉(zhuǎn)動，槽內(nèi)的小球也隨著做勻速圓周運(yùn)動．使小球做勻速圓周運(yùn)動的向心力由橫臂6的擋板對小球的彈力提供．球?qū)醢宓姆醋饔昧Γㄟ^橫臂的杠桿作用使彈簧測力套筒7下降，從而露出標(biāo)尺8.根據(jù)標(biāo)尺8上露出的紅白相間等分標(biāo)記，可以粗略計算出兩個球所受向心力的比值．
實驗過程如下．
(1)把兩個質(zhì)量相同的小球分別放在長槽和短槽上，使它們的運(yùn)動半徑相同，調(diào)整塔輪上的皮帶的位置，探究向心力的大小與________的關(guān)系，將實驗數(shù)據(jù)記錄在表格中．
(2)保持兩個小球質(zhì)量不變，調(diào)整塔輪上皮帶的位置，使與皮帶相連的左、右兩輪半徑r左________r右(選填“>”“＝”或“<”)，保證兩輪轉(zhuǎn)速相同．增大長槽上小球的運(yùn)動半徑，探究向心力的大小與運(yùn)動半徑的關(guān)系，將實驗數(shù)據(jù)記錄在表格中．
(3)使兩小球的運(yùn)動半徑和轉(zhuǎn)速相同，改變兩個小球的質(zhì)量，探究向心力的大小與質(zhì)量的關(guān)系，將實驗數(shù)據(jù)記錄在表格中．
(4)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，小球做勻速圓周運(yùn)動的向心力Fn的大小與小球質(zhì)量m、轉(zhuǎn)速n和運(yùn)動半徑r之間的關(guān)系是________．
A．Fn∝mnr B．Fn∝mn2r
C．Fn∝m2n2r D．Fn∝mnr2
目標(biāo)三　探索創(chuàng)新實驗
【典例】
例 5 如圖甲所示是某同學(xué)探究做圓周運(yùn)動的物體的向心力、軌道半徑及線速度大小關(guān)系的實驗裝置．圓柱體放置在水平光滑圓盤上做勻速圓周運(yùn)動，力傳感器測量向心力Fn，速度傳感器測量圓柱體的線速度大小v.該同學(xué)通過保持圓柱體質(zhì)量和運(yùn)動半徑不變，來探究向心力Fn與線速度大小v的關(guān)系．
(1)該同學(xué)采用的實驗方法為________．
A．等效替代法
B．控制變量法
C．理想化模型法
(2)改變線速度大小v，多次測量，該同學(xué)測出了五組Fn、v數(shù)據(jù)，如表所示．
v/(m·s－1) 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Fn/N 0.88 2.00 3.50 5.50 7.90
該同學(xué)對數(shù)據(jù)分析后，在圖乙坐標(biāo)紙上描出了五個點．
①作出Fn v2圖線；
②若圓柱體運(yùn)動半徑r＝0.2 m，由作出的圖線可得圓柱體的質(zhì)量m＝________ kg.(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)
例 6 如圖甲所示為探究向心力大小與質(zhì)量、轉(zhuǎn)動半徑、角速度關(guān)系的實驗裝置．金屬塊放置在轉(zhuǎn)臺凹槽中，電動機(jī)帶動轉(zhuǎn)臺做圓周運(yùn)動，可通過改變電動機(jī)的電壓來控制轉(zhuǎn)臺的角速度．?dāng)?shù)字計時器可以采集轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的時間信息．已知金屬塊被約束在轉(zhuǎn)臺的徑向凹槽中，只能沿半徑方向移動，且可以忽略與凹槽之間的摩擦力．
(1)某同學(xué)保持金屬塊質(zhì)量和轉(zhuǎn)動半徑不變，僅改變轉(zhuǎn)臺的角速度，探究向心力大小與角速度的關(guān)系．不同角速度對應(yīng)的向心力大小可由力傳感器讀出．若數(shù)字計時器記錄轉(zhuǎn)臺每轉(zhuǎn)50周的時間為T，則金屬塊轉(zhuǎn)動的角速度ω＝________.
(2)上述實驗中，該同學(xué)多次改變角速度后，記錄了一組角速度的平方ω2與對應(yīng)的向心力Fn大小的數(shù)據(jù)，見下表．請根據(jù)表中數(shù)據(jù)在圖乙給出的坐標(biāo)紙中作出Fn與ω2的關(guān)系圖像．由圖像可知，當(dāng)金屬塊質(zhì)量和轉(zhuǎn)動半徑一定時，F(xiàn)n與ω2呈________(選填“線性”或“非線性”)關(guān)系．
次序 1 2 3 4 5
Fn/N 0.70 1.35 1.90 2.42 3.10
ω2/(102 rad·s－1)2 2.3 4.6 6.6 8.3 10.7
(3)為了探究向心力大小與轉(zhuǎn)動半徑、質(zhì)量的關(guān)系，還需要用到的實驗器材有______________、______________．
1．控制變量法是物理實驗探究的基本方法之一．如圖是用控制變量法探究向心力大小與質(zhì)量m、角速度ω和半徑r之間關(guān)系的實驗情境圖．
(1)探究向心力大小與質(zhì)量m之間關(guān)系的是圖________．
(2)探究向心力大小與角速度ω之間關(guān)系的是圖________．
2．[2023·濟(jì)南高一檢測]如圖甲為探究向心力的大小Fn與質(zhì)量m、角速度ω和轉(zhuǎn)動半徑r之間關(guān)系的實驗裝置，圖乙為示意圖，圖丙為俯視圖．圖乙中A、B槽分別與a、b輪同軸固定，a、b兩輪在皮帶的帶動下勻速轉(zhuǎn)動．
(1)在該實驗中應(yīng)用了____________(選填“理想實驗法”“控制變量法”或“理想模型法”)來探究向心力的大小與質(zhì)量m、角速度ω和轉(zhuǎn)動半徑r之間的關(guān)系．
(2)如圖乙所示，如果兩個鋼球質(zhì)量相等，且a、b輪半徑相同，則是在驗證向心力的大小Fn與________的關(guān)系．
A．質(zhì)量m　　B．轉(zhuǎn)動半徑r　　C．角速度ω
(3)現(xiàn)有兩個質(zhì)量相同的鋼球，①球放在A槽的邊緣，②球放在B槽的邊緣，a、b輪半徑相同，它們到各自轉(zhuǎn)軸的距離之比為2∶1.則鋼球①、②的線速度之比為________．
3．隨著航天技術(shù)的發(fā)展，許多實驗可以搬到太空中進(jìn)行．飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動時，無法用天平稱量物體的質(zhì)量．假設(shè)某宇航員在這種環(huán)境下設(shè)計了如圖所示裝置(圖中O為光滑的小孔)來間接測量物體的質(zhì)量：給待測物體一個初速度，使它在桌面上做勻速圓周運(yùn)動．已知飛船中帶有基本的測量工具．
(1)物體與桌面間的摩擦力可以忽略不計，原因是
________________________________________________________________________.
(2)實驗時需要測量的物理量是彈簧測力計示數(shù)Fn、圓周運(yùn)動的周期T和________________________________________________________________________．
(3)待測物體質(zhì)量的表達(dá)式為m＝________________________________________________________________________.
4．如圖所示是“DIS向心力實驗器”．當(dāng)質(zhì)量為m的砝碼隨旋轉(zhuǎn)臂一起在水平面內(nèi)做半徑為r的圓周運(yùn)動時，所需的向心力可通過牽引桿由力傳感器測得．旋轉(zhuǎn)臂另一端的擋光桿(擋光桿的擋光寬度為Δs，旋轉(zhuǎn)半徑為R)每經(jīng)過光電門一次，通過力傳感器和光電門就同時獲得一組向心力Fn和角速度ω的數(shù)據(jù)．
(1)某次旋轉(zhuǎn)過程中，擋光桿經(jīng)過光電門時的遮光時間為Δt，則角速度ω＝________．
(2)以Fn為縱坐標(biāo)，以________(選填“Δt”“”“(Δt)2”或“”)為橫坐標(biāo)，可在坐標(biāo)紙中描出數(shù)據(jù)點作一條直線，該直線的斜率為k＝______________．(用上述已知量的字母表示)
第1課時　實驗：探究向心力大小的表達(dá)式
導(dǎo)學(xué)　掌握必備知識
一、
1．圓心　圓心
2．方向
3．半徑　圓心
4．作用效果　某個力或者幾個力的合力
二、
探究方案一
1．拉力
2．(1)半徑　(2)角速度　(3)質(zhì)量
3．大　大　大
探究方案二
3．正比　正比　角速度的平方
共研　突破關(guān)鍵能力
目標(biāo)一
　提示：(1)小球受到重力、支持力和繩的拉力，合力等于繩的拉力，方向指向圓心．
(2)小球不受向心力，向心力是按力的作用效果命名的，繩的拉力提供向心力．
[例1]　解析：做勻速圓周運(yùn)動的物體所受的合力提供向心力，其方向不斷變化，但大小不變．向心力總與速度方向垂直，故向心力的作用效果只改變速度的方向．選項A、D正確．
答案：AD
[例2]　解析：游客做勻速圓周運(yùn)動，合力指向圓心，處于非平衡狀態(tài)，A錯誤；游客所受重力G與支持力FN二力平衡，所受合力等于摩擦力Ff，則摩擦力提供向心力，所以游客受到的靜摩擦力方向沿半徑方向指向圓心，B錯誤，C正確；游客相對于轉(zhuǎn)盤的運(yùn)動趨勢方向和其受到的靜摩擦力方向相反，故應(yīng)是背離圓心，D錯誤．
答案：C
目標(biāo)二
[例3]　解析：(1)根據(jù)向心力公式Fn＝mω2r，由牛頓第二定律有FT＝mω2r；操作二與操作一相比較，質(zhì)量、角速度相同，向心力的大小與轉(zhuǎn)動半徑大小有關(guān)；操作三與操作一相比較，質(zhì)量、轉(zhuǎn)動半徑相同，向心力的大小與角速度大小有關(guān)；操作四與操作一相比較，角速度、轉(zhuǎn)動半徑相同，向心力大小與質(zhì)量有關(guān)．(2)物理學(xué)中此種實驗方法叫控制變量法．(3)該同學(xué)受力分析的對象是自己的手，我們實驗受力分析的對象是紙杯．細(xì)繩的拉力提供紙杯做圓周運(yùn)動的向心力，指向圓心；細(xì)繩對手的拉力與向心力大小相等，方向相反，背離圓心．
答案：(1)角速度、轉(zhuǎn)動半徑　質(zhì)量　(2)控制變量　(3)說法不對．該同學(xué)受力分析的對象是自己的手，我們實驗受力分析的對象是紙杯．細(xì)繩的拉力提供紙杯做圓周運(yùn)動的向心力，方向指向圓心；細(xì)繩對手的拉力與向心力大小相等，方向相反，背離圓心．
[例4]　解析：(1)把兩個質(zhì)量相同的小球分別放在長槽和短槽上，使它們的運(yùn)動半徑相同，即m、r一定，調(diào)整塔輪上的皮帶的位置，根據(jù)控制變量法可知，探究的是向心力的大小與轉(zhuǎn)速的關(guān)系．
(2)變速塔輪靠皮帶傳動，邊緣的線速度大小相同，為保證兩輪轉(zhuǎn)速相同，根據(jù)v＝ωr、ω＝2πn可知，應(yīng)使兩輪半徑相同．
(4)根據(jù)表中數(shù)據(jù)
第1次：＝1，＝＝1，＝＝＝＝.
結(jié)論1：做圓周運(yùn)動的小球的轉(zhuǎn)速、質(zhì)量相等時，向心力Fn的大小與運(yùn)動半徑成正比，即Fn∝r.
第2次：＝1，＝＝1，＝＝＝＝.
結(jié)論2：做圓周運(yùn)動的小球的轉(zhuǎn)速、運(yùn)動半徑相等時，向心力Fn的大小與小球的質(zhì)量成正比，即Fn∝m.
第3次：＝＝1，＝＝1，＝＝＝＝.
結(jié)論3：做圓周運(yùn)動的小球的質(zhì)量、運(yùn)動半徑相等時，向心力Fn的大小與轉(zhuǎn)速的平方成正比，即Fn∝n2.
綜上所述：小球做勻速圓周運(yùn)動的向心力Fn大小與小球質(zhì)量m、轉(zhuǎn)速n和運(yùn)動半徑r之間的關(guān)系是Fn∝mn2r.
答案：(1)轉(zhuǎn)速　(2)＝　(4)B
目標(biāo)三
[例5]　解析：(1)實驗中研究向心力和速度大小的關(guān)系，保持圓柱體質(zhì)量和運(yùn)動半徑不變，采用的實驗方法是控制變量法，所以選項B是正確的．
(2)①作出Fn v2圖線，如圖所示．
②根據(jù)Fn＝知，圖線的斜率k＝，則有＝，代入數(shù)據(jù)計算得出m≈0.18 kg.
答案：(1)B　(2)①見解析圖　②0.18
[例6]　解析：(1)由題意可知，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的周期為T0＝，根據(jù)角速度和周期的關(guān)系可得角速度ω＝＝.
(2)根據(jù)描點法在坐標(biāo)紙中作出Fn ω2的關(guān)系圖像如圖所示，由圖像可知，F(xiàn)n與ω2呈線性關(guān)系．
(3)為了探究向心力大小跟轉(zhuǎn)動半徑、質(zhì)量的關(guān)系，還需要用刻度尺測金屬塊的轉(zhuǎn)動半徑，用天平測量金屬塊的質(zhì)量m.
答案：(1)　(2)圖見解析　線性　(3)刻度尺　天平
精練　落實學(xué)科素養(yǎng)
1．解析：(1)根據(jù)Fn＝mω2r可知，要研究小球受到的向心力大小與質(zhì)量m的關(guān)系，需控制小球的角速度和轉(zhuǎn)動半徑不變，故丙圖正確．
(2)根據(jù)Fn＝mω2r可知，要研究小球受到的向心力大小與角速度的關(guān)系，需控制小球的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動半徑不變，故甲圖正確．
答案：(1)丙　(2)甲
2．解析：(1)在該實驗中應(yīng)用了控制變量法來探究向心力的大小與質(zhì)量m、角速度ω和轉(zhuǎn)動半徑r之間的關(guān)系．(2)如題圖乙所示，如果兩個鋼球質(zhì)量相等，且a、b輪半徑相同，兩球轉(zhuǎn)動的角速度相同，則是在驗證向心力的大小Fn與轉(zhuǎn)動半徑r的關(guān)系．(3)鋼球①、②的角速度相等，則根據(jù)v＝ωr可知，線速度之比為2∶1.
答案：(1)控制變量法　(2)B　(3)2∶1
3．解析：(1)太空中物體處于完全失重狀態(tài)，則物體與接觸面間幾乎沒有壓力，摩擦力幾乎為零．(2)實驗時需要測量的物理量是彈簧測力計示數(shù)Fn、圓周運(yùn)動的周期T和物體做圓周運(yùn)動的半徑R.(3)由向心力公式Fn＝mω2R＝mR，可得待測物體質(zhì)量的表達(dá)式為m＝.
答案：(1)物體與接觸面間幾乎沒有壓力，摩擦力幾乎為零
(2)圓周運(yùn)動的半徑R
(3)
4．解析：(1)擋光桿通過光電門時的線速度v＝，由ω＝，解得ω＝.(2)根據(jù)向心力公式有Fn＝mω2r，將ω＝代入上式解得Fn＝mr，可以看出，以為橫坐標(biāo)，可在坐標(biāo)紙中描出數(shù)據(jù)點作一條直線，該直線的斜率為k＝mr.
答案：(1)　(2)　mr第2課時　向心力的分析和向心力公式的應(yīng)用
一、向心力的大小
向心力的大小可以表示為Fn＝________或Fn＝________．
二、變速圓周運(yùn)動和一般曲線運(yùn)動的受力特點
1．變速圓周運(yùn)動合力的作用效果
變速圓周運(yùn)動的合力產(chǎn)生兩個方向的效果：
(1)跟圓周相切的分力Ft：與物體運(yùn)動的方向平行，改變線速度的______．
　 　　　　　　同向加速，反向減速
(2)指向圓心的分力Fn：與物體運(yùn)動的方向垂直，改變線速度的______．
　 　　　　　　　　　提供向心力
2．一般曲線運(yùn)動
(1)曲線運(yùn)動：運(yùn)動軌跡既不是________也不是________的曲線運(yùn)動，稱為一般的曲線運(yùn)動，如圖所示．
(2)處理方法：將曲線分割成為許多很短的小段，質(zhì)點在每小段的運(yùn)動都可以看作________的一部分．
【情境思考】
如圖，一輛汽車正勻速通過一段彎道公路．判斷以下問題．
(1)汽車受到的合力為零．(　　)
(2)汽車做圓周運(yùn)動的向心力由汽車的牽引力提供．(　　)
(3)汽車做圓周運(yùn)動的向心力既可以改變汽車速度的大小，也可以改變汽車速度的方向．(　　)
　
　
目標(biāo)一　向心力的來源分析和計算
【導(dǎo)思】
如圖所示，圓盤在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，角速度為4 rad/s，盤面上距離圓盤中心0.1 m的位置有一個質(zhì)量為0.1 kg的小物體隨圓盤一起轉(zhuǎn)動．
(1)小物體做勻速圓周運(yùn)動的向心力大小為多少？
(2)小物體所需向心力由什么力提供？大小是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
1．向心力的大小：Fn＝mω2r＝m＝mr.
2．向心力的來源分析
在勻速圓周運(yùn)動中，由合力提供向心力；在非勻速圓周運(yùn)動中，物體合力不是始終指向圓心的，合力的一個分力提供向心力．
【典例】
例 1 如圖所示，用長為L的細(xì)線拴住一個質(zhì)量為m的小球，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，重力加速度為g.關(guān)于小球的受力情況，下列說法正確的是(　　)
A．小球受到重力、細(xì)線的拉力和向心力三個力
B．向心力由細(xì)線對小球的拉力提供
C．向心力的大小等于細(xì)線對小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于
例 2[2023·臺州市書生中學(xué)高二開學(xué)考試]如圖所示，圓柱形轉(zhuǎn)筒繞其豎直中心軸轉(zhuǎn)動，小物體貼在轉(zhuǎn)筒內(nèi)壁上隨轉(zhuǎn)筒一起轉(zhuǎn)動而不滑落．下列說法正確的是(　　)
A．小物體受到重力、彈力、摩擦力和向心力共四個力的作用
B．小物體隨筒壁做圓周運(yùn)動的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁對小物體的摩擦力隨轉(zhuǎn)速增大而增大
D．筒壁對小物體的彈力隨轉(zhuǎn)速增大而增大
例 3 一個質(zhì)量為0.1 kg的小球，用一長為0.45 m的細(xì)繩拴著，繩的另一端系在O點，讓小球從如圖所示位置由靜止開始釋放，運(yùn)動到最低點時小球的速度為3 m/s.(小球視為質(zhì)點，繩不可伸長，不計空氣阻力，取g＝10 m/s2)
(1)分析小球運(yùn)動到最低點時向心力的來源，畫出小球受力示意圖．
(2)求小球到達(dá)最低點時繩對小球的拉力的大小．
規(guī)律方法
勻速圓周運(yùn)動中力學(xué)問題的解題步驟
(1)明確研究對象，確定物體在哪個平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，明確圓心和半徑r.
(2)對研究對象進(jìn)行受力分析，明確向心力是由什么力提供的．
(3)確定v、ω、T、n等物理量中哪個是已知的，選擇合適的公式列式求解．
(4)根據(jù)F合＝F向列方程，求解．
目標(biāo)二　變速圓周運(yùn)動和一般的曲線運(yùn)動
【導(dǎo)思】
蕩秋千是小朋友很喜歡的游戲．
(1)當(dāng)秋千向下蕩時，小朋友做的是勻速圓周運(yùn)動還是變速圓周運(yùn)動？
(2)繩子拉力與重力的合力指向懸掛點嗎？運(yùn)動過程中，向心力公式Fn＝m＝mω2r還適用嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
1．變速圓周運(yùn)動
(1)做變速圓周運(yùn)動的物體所受的合力不指向圓心，產(chǎn)生兩個方向的效果，如圖所示．
(2)變速圓周運(yùn)動中某一點的向心力仍可用Fn＝m＝mω2r等公式求解，只不過v、ω都是指物體運(yùn)動到該點的瞬時值．
2．一般的曲線運(yùn)動
曲線軌跡上的每一小段可看成圓周運(yùn)動的一部分，在分析其速度大小與合力關(guān)系時，可采用圓周運(yùn)動的分析方法來處理．
(1)合力方向與速度方向夾角為銳角時，力為動力，速率越來越大．
(2)合力方向與速度方向夾角為鈍角時，力為阻力，速率越來越小．
【典例】
例 4 如圖所示，物塊P置于水平轉(zhuǎn)盤上隨轉(zhuǎn)盤一起運(yùn)動，圖中c方向沿半徑指向圓心，a方向與c方向垂直．當(dāng)轉(zhuǎn)盤逆時針轉(zhuǎn)動時，下列說法正確的是(　　)
A．當(dāng)轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動時，P所受摩擦力方向為c
B．當(dāng)轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動時，P不受轉(zhuǎn)盤的摩擦力
C．當(dāng)轉(zhuǎn)盤加速轉(zhuǎn)動時，P所受摩擦力方向可能為a
D．當(dāng)轉(zhuǎn)盤減速轉(zhuǎn)動時，P所受摩擦力方向可能為b
例 5 一般的曲線運(yùn)動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運(yùn)動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替．如圖甲所示，曲線上的A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側(cè)的兩點作一圓，在極限情況下，這個圓就叫作A點的曲率圓，其半徑ρ叫作A點的曲率半徑．現(xiàn)將一物體沿與水平面成α角的方向以速度v0拋出，如圖乙所示，則其在軌跡最高點P處的曲率半徑是(　　)
1.
如圖所示，在傾斜的環(huán)形賽道上有若干輛小車正在行駛，假設(shè)最前面的小車做勻速圓周運(yùn)動，則它所受的合外力(　　)
A．是一個恒力，方向沿OA方向
B．是一個恒力，方向沿OB方向
C．是一個變力，此時方向沿OA方向
D．是一個變力，此時方向沿OB方向
2.
如圖所示，一雜技演員駕駛摩托車沿半徑為R的圓周做線速度大小為v的勻速圓周運(yùn)動．若雜技演員和摩托車的總質(zhì)量為m，則其所受向心力大小為(　　)
A． B．
C． D．
3．如圖，一圓盤可繞一通過圓心且垂直于盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動，在圓盤上放一塊橡皮，橡皮隨圓盤一起轉(zhuǎn)動(俯視為逆時針)．某段時間內(nèi)圓盤轉(zhuǎn)速不斷增大，但橡皮仍相對圓盤靜止．在這段時間內(nèi)，關(guān)于橡皮所受摩擦力Ff的方向的四種表示(俯視圖)中，正確的是(　　)
4.
如圖是山東艦在海上轉(zhuǎn)彎時的照片．假設(shè)山東艦質(zhì)量為m＝6×107 kg，整個過程中山東艦做勻速圓周運(yùn)動的速度大小為20 m/s，圓周運(yùn)動的半徑為1 000 m，下列說法正確的是(　　)
A.轉(zhuǎn)彎時水對艦的作用力指向圓心
B．轉(zhuǎn)彎時水對艦的作用力大小約為6.0×108 N
C．轉(zhuǎn)彎時水對艦的作用力大小約為2.4×106 N
D．轉(zhuǎn)彎時水對艦的作用力大小為0
5.
如圖所示，長為L的懸線固定在O點，在O點正下方處有一釘子C，把懸線另一端質(zhì)量為m的小球拉到跟懸點在同一水平面上無初速度釋放．小球運(yùn)動到懸點正下方懸線碰到釘子時，下列說法正確的是(　　)
A．小球的線速度突然增大
B．小球的角速度突然減小
C．懸線的拉力突然減小
D．小球的向心力突然增大
6.
(多選)2022年2月12日，在速度滑冰男子500 m決賽上，高亭宇以34秒32的成績刷新奧運(yùn)紀(jì)錄．國家速度滑冰隊在訓(xùn)練彎道技術(shù)時采用人體高速彈射裝置，在實際應(yīng)用中裝置在前方通過繩子拉著運(yùn)動員，使運(yùn)動員做勻加速直線運(yùn)動，到達(dá)設(shè)定速度時，運(yùn)動員松開繩子，進(jìn)行高速入彎訓(xùn)練．已知彎道半徑為25 m，人體彈射裝置可以使運(yùn)動員在4.5 s內(nèi)由靜止達(dá)到入彎速度18 m/s，入彎時冰刀與冰面的接觸情況如圖所示，運(yùn)動員質(zhì)量為50 kg，重力加速度g＝10 m/s2，忽略彎道內(nèi)外高度差及繩子與冰面的夾角、冰刀與冰面間的摩擦．下列說法正確的是(　　)
A．運(yùn)動員勻加速運(yùn)動的距離為81 m
B．勻加速過程中，繩子的平均彈力為200 N
C．運(yùn)動員入彎時的向心力為648 N
D．入彎時冰刀與水平冰面的夾角大于45°
第2課時　向心力的分析和向心力公式的應(yīng)用
導(dǎo)學(xué)　掌握必備知識
一、
mω2r
二、
1．(1)大小　(2)方向
2．(1)直線　圓周　(2)圓周運(yùn)動
情境思考
答案：(1)×　(2)×　(3)×
共研　突破關(guān)鍵能力
目標(biāo)一
　提示：(1)小物體所需要的向心力為Fn＝mω2r，將ω＝4 rad/s，r＝0.1 m，m＝0.1 kg代入，解得Fn＝0.16 N.
(2)向心力由小物體所受圓盤的摩擦力提供，F(xiàn)f＝Fn＝0.16 N．
[例1]　解析：
對小球進(jìn)行受力分析可知，小球受到重力、細(xì)線的拉力兩個力，這兩個力的合力提供向心力；也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，A、B錯誤，C正確；向心力的大小Fn＝mg tan θ，D錯誤．
答案：C
[例2]　解析：小物體隨轉(zhuǎn)筒一起做圓周運(yùn)動，受重力、彈力和靜摩擦力共三個力的作用，故選項A錯誤；水平方向上，彈力指向圓心，提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知轉(zhuǎn)速越大，角速度越大，小物體所受的彈力越大，故選項B錯誤，D正確；在豎直方向上，小物體所受的重力和靜摩擦力平衡，靜摩擦力大小不變，故選項C錯誤．
答案：D
[例3]　解析：
(1)由題意可知，當(dāng)小球運(yùn)動到最低點時，小球受重力和繩的拉力兩個力的作用，繩的拉力和重力的合力提供向心力，小球受力示意圖如圖所示．
(2)由(1)可知，小球到達(dá)最低點時，繩的拉力和重力的合力提供向心力，F(xiàn)T－mg＝m，
則FT＝mg＋m＝3 N.
答案：(1)見解析　(2)3 N
目標(biāo)二
提示：(1)小朋友做變速圓周運(yùn)動．
(2)在最低點時，繩子拉力與重力的合力指向懸掛點，在其他位置，合力不指向懸掛點．向心力公式Fn＝m＝mω2r仍然適用．
[例4]　解析：轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動時，物塊P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做勻速圓周運(yùn)動的向心力，故摩擦力方向為c，A項正確，B項錯誤；當(dāng)轉(zhuǎn)盤加速轉(zhuǎn)動時，物塊P做加速圓周運(yùn)動，不僅有沿c方向指向圓心的向心力，還有指向a方向的切向力，使線速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C項錯誤；當(dāng)轉(zhuǎn)盤減速轉(zhuǎn)動時，物塊P做減速圓周運(yùn)動，不僅有沿c方向指向圓心的向心力，還有與a方向相反的切向力，使線速度大小減小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D項錯誤．
答案：A
[例5]　解析：物體做斜上拋運(yùn)動，在最高點的速度即為斜上拋的水平速度，即vP＝v0cos α，在最高點重力提供向心力，即mg＝m，聯(lián)立以上兩式解得ρ＝＝，C正確．
答案：C
精練　落實學(xué)科素養(yǎng)
1．解析：做勻速圓周運(yùn)動的物體所受的合外力大小不變，方向沿半徑指向圓心，則最前面的小車所受的合外力是大小不變、方向不斷變化的變力，此時方向沿OB方向，選項D正確．
答案：D
2．解析：根據(jù)向心力公式得F向＝m，故選B.
答案：B
3．解析：因為圓盤轉(zhuǎn)速不斷增大，所以橡皮塊將隨圓盤一起進(jìn)行加速圓周運(yùn)動，此時摩擦力Ff既要提供指向圓心的向心力，又要提供與運(yùn)動方向相同的切向力，所以合力方向應(yīng)該在軌道內(nèi)側(cè)且與速度成銳角，故選C.
答案：C
4．解析：
山東艦在運(yùn)動過程中受到重力與水的作用力，合力的方向沿水平方向提供向心力，則有F＝m＝6×107× N＝2.4×107 N．因為合力的方向指向圓心，所以水的作用力的方向斜向上，受力分析如圖所示，則水對艦的作用力大小為F水＝，代入數(shù)據(jù)可得F水≈6.0×108 N，選項B正確．
答案：B
5．解析：懸線碰到釘子時，小球的線速度大小不變，運(yùn)動的半徑減小，根據(jù)v＝ωr知，小球的角速度增大，故A、B錯誤；根據(jù)Fn＝m知，小球線速度的大小不變，運(yùn)動半徑減小，小球的向心力增大，根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)－mg＝Fn，懸線的拉力增大，故C錯誤，D正確．
答案：D
6．解析：運(yùn)動員勻加速運(yùn)動的距離為x＝t＝×4.5 m＝40.5 m，A錯誤；勻加速過程中，加速度a＝＝ m/s2＝4 m/s2，由牛頓第二定律得，繩子的平均彈力F＝ma＝50×4 N＝200 N，B正確；運(yùn)動員入彎時的向心力Fn＝m＝50× N＝648 N，C正確；設(shè)入彎時冰刀與水平冰面的夾角為θ，tan θ＝＝＝<1，得θ<45°，D錯誤．故選B、C.
答案：BC3．向心加速度
核心素養(yǎng)定位 物理觀念 (1)知道向心加速度的概念． (2)知道勻速圓周運(yùn)動中向心加速度大小的表達(dá)式．
科學(xué)思維 (1)理解向心加速度與半徑的關(guān)系，并會用來進(jìn)行簡單的計算． (2)能根據(jù)問題情境選擇合適的向心加速度的表達(dá)式．
科學(xué)態(tài)度與責(zé)任 了解分析勻速圓周運(yùn)動速度變化量時用到的極限思想．
一、勻速圓周運(yùn)動的加速度方向
1．定義：物體做勻速圓周運(yùn)動時的加速度總指向________，這個加速度叫作向心加速度．　沒有特殊情況
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向__________，故向心加速度只改變速度的________，不改變速度的________．
　 　　描述線速度方向變化的快慢
3．物體做勻速圓周運(yùn)動時，向心加速度始終指向________，方向在時刻________，所以勻速圓周運(yùn)動是變加速曲線運(yùn)動．
二、勻速圓周運(yùn)動的加速度大小
1．向心加速度公式：________或an＝ω2r.　　
2．向心加速度的公式既適用于勻速圓周運(yùn)動，也適用于非勻速圓周運(yùn)動．
【情境思考】
如圖所示，一輛汽車以恒定速率駛?cè)氕h(huán)島，請對以下結(jié)論作出判斷．
(1)汽車在環(huán)島中各點的向心加速度是相同的.(　　)
(2)汽車在環(huán)島中運(yùn)動的加速度指向環(huán)島的圓心．(　　)
(3)汽車以恒定速率在環(huán)島內(nèi)運(yùn)動四分之一圓弧時，其速度變化量與初速度的夾角為135°.(　　)
(4)汽車在相等時間內(nèi)的速度變化量相同．(　　)
(5)由an＝可知，加速度an與半徑r成反比．(　　)
(6)由an＝ω2r可知，加速度an與半徑r成正比．(　　)
1　
因為做圓周運(yùn)動的物體的速度方向時刻沿圓周的切線方向，即速度方向時刻在變化，所以不管其速度大小是否變化，一定存在加速度．
2　
向心加速度是勻速圓周運(yùn)動的瞬時加速度，是指某時刻或某位置的加速度．公式an＝中的v是指該時刻或該位置的線速度．
　圓周運(yùn)動中向心加速度的方向
如圖所示的勻速圓周運(yùn)動中，物體由A運(yùn)動到B，在B點作vA和vB的矢量，從vA末端指向vB末端的矢量即為Δv.當(dāng)物體由A運(yùn)動到B的時間Δt→0時，Δv的方向沿半徑指向圓心，加速度的方向與Δv方向一致，故物體做勻速圓周運(yùn)動時的加速度指向圓心．
目標(biāo)一　對向心加速度的理解
【導(dǎo)思】
(1)如圖所示，月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動時，月球的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化嗎？若變化，變化的原因是什么？
(2)物體做勻速圓周運(yùn)動時，合力有什么特點？
(3)根據(jù)牛頓第二定律，月球的加速度沿什么方向？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
1．對向心加速度及其方向的理解
(1)向心加速度的方向：總指向圓心，方向時刻改變．
(2)向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小．
2．圓周運(yùn)動的性質(zhì)
因為向心加速度方向時刻發(fā)生變化，所以圓周運(yùn)動都是變加速曲線運(yùn)動．
3．非勻速圓周運(yùn)動的加速度
如圖所示，做圓周運(yùn)動的物體在某位置時的加速度a可以分解為相互垂直的兩個分加速度an和at.
【典例】
例 1 (多選)關(guān)于向心加速度，以下說法正確的是(　　)
A．向心加速度的方向始終與線速度方向垂直
B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小
C．物體做圓周運(yùn)動時的加速度方向始終指向圓心
D．物體做勻速圓周運(yùn)動時的加速度方向始終指向圓心
例 2 (多選)如圖所示是花樣滑冰雙人滑中的一個經(jīng)典動作——雙人直立旋轉(zhuǎn)，兩人均單足直膝站立，圍繞同一中心旋轉(zhuǎn)．在不考慮阻力的情況下，兩名運(yùn)動員的運(yùn)動可以分別看作勻速圓周運(yùn)動．關(guān)于他們的向心力與向心加速度，下列說法正確的是(　　)
A．向心力的方向保持不變，始終指向圓心
B．向心加速度保持不變
C．向心加速度的方向始終與線速度的方向垂直
D．對于其中任意一人來說，所受的合力提供向心力，合力的方向始終指向圓心
目標(biāo)二　向心加速度的公式和應(yīng)用
【導(dǎo)思】
(1)如圖甲所示，物塊的加速度如何求？
(2)如圖乙所示，小球做勻速圓周運(yùn)動的向心力大小是多少？方向有什么特點？
(3)能用求圖甲中物塊加速度的方法求圖乙中小球的加速度嗎？小球的加速度的大小是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
1．向心加速度公式
(1)an＝＝ω2r.
(2)因為v＝ωr，所以向心加速度也可以寫成an＝ωv.
(3)因為ω＝＝2πf，所以向心加速度也可以寫成an＝r＝4π2f2r.
2．向心加速度與半徑的關(guān)系(如圖所示)
【典例】
例 3 某同學(xué)在研究圓周運(yùn)動時做擺臂動作，用手機(jī)內(nèi)置的速度傳感器測定手的速度．該同學(xué)先用刻度尺測量手臂伸直時的長度(刻度尺的零刻度線與肩平齊)，如圖所示，然后他伸直手臂，手握手機(jī)，將手臂以肩為軸自然下擺．若當(dāng)手臂擺到豎直位置時，手機(jī)顯示的速度大小約為0.65 m/s，則此時手機(jī)的向心加速度大小約為(　　)
A.0.65 m/s2 B．1.3 m/s2
C．2 m/s2 D．6.5 m/s2
例 4“旋轉(zhuǎn)紐扣”是一種傳統(tǒng)游戲．如圖，先將紐扣繞幾圈，使穿過紐扣的兩股細(xì)繩擰在一起，然后用力反復(fù)拉繩的兩端，紐扣正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)會交替出現(xiàn)，拉動多次后，紐扣繞其中心的轉(zhuǎn)速可達(dá)50 r/s，此時紐扣上距離中心1 cm處的點向心加速度大小約為(　　)
A．10 m/s2B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
例 5[2023·浙江金華十校高一下期末]如圖甲是汽車發(fā)動機(jī)的結(jié)構(gòu)圖，其中正時帶傳動系統(tǒng)對發(fā)動機(jī)的正常運(yùn)行起到至關(guān)重要的作用，圖乙是其簡化圖．圖中皮帶輪的半徑之比為R1∶R2＝1∶2，A、C是皮帶輪邊緣上的點，B為距軸心為R1的點．當(dāng)系統(tǒng)勻速轉(zhuǎn)動時，以下說法正確的是(　　)
A．A、B兩點的線速度大小之比為1∶2
B．A、C兩點的角速度大小之比為1∶2
C．B、C兩點的向心加速度大小之比為1∶4
D．A、C兩點的周期之比為1∶2
規(guī)律方法
分析此類問題要“看”“找”“選”
1．[2023·河南駐馬店高一下月考]如圖所示為某學(xué)校學(xué)生以整齊的步伐跑操時的場景．對于恰好通過彎道的某一班級中的所有同學(xué)，下列說法正確的是(　　)
A．這些同學(xué)的線速度大小相等
B．這些同學(xué)的角速度大小相等
C．這些同學(xué)的向心加速度大小相等
D．這些同學(xué)的向心力大小相等
2．青州市牛角嶺盤山公路風(fēng)景亮麗、環(huán)境優(yōu)美，吸引眾多自駕游愛好者前來打卡游玩，被稱為“魯中川藏線”．在埡口有一個魯中川藏線的觀景臺，如圖是從觀景臺上拍攝的圖片，一輛汽車以恒定的速率通過該盤山公路的過程中，下列說法中正確的是(　　)
A．汽車勻速運(yùn)動
B．汽車的加速度始終為零
C．汽車的加速度不變
D．汽車的加速度變化
3．甲同學(xué)在周五離校時，看到乙同學(xué)的家長用某型號汽車接其回家，甲同學(xué)觀察該汽車的后雨刮器．設(shè)雨刮器擺臂可視為繞O點旋轉(zhuǎn)的折桿OAB，如圖所示，OA長度為a、AB長度為3a，∠OAB＝120°，AB部分裝有膠條，雨刮器工作時膠條緊貼后窗平面可視為勻速率轉(zhuǎn)動．雨刮器工作時，下列說法正確的是(　　)
A．A、B兩點線速度大小之比為1∶4
B．A、B兩點角速度之比為1∶3
C．A、B兩點加速度大小之比為1∶
D．B點加速度方向沿著AB指向A
4.
如圖所示，一圓環(huán)以直徑AB所在的直線為軸勻速轉(zhuǎn)動，P、Q、R是環(huán)上的三點，則下列說法正確的是(　　)
A．向心加速度的大小關(guān)系為aP＝aQ＝aR
B．任意時刻P、Q、R三點向心加速度的方向均不同
C．線速度大小關(guān)系為vP>vQ>vR
D．任意時刻P、Q、R三點的線速度的方向均不同
5.
一個風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片的轉(zhuǎn)速為19～30轉(zhuǎn)每分鐘，轉(zhuǎn)子葉片的軸心通過低速軸跟齒輪箱連接在一起，再通過齒輪箱把高速軸的轉(zhuǎn)速提高到低速軸轉(zhuǎn)速的50倍左右，最后由高速軸驅(qū)動發(fā)電機(jī)工作．即使風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉片轉(zhuǎn)得很慢也依然可以發(fā)電．如圖所示為三級[一級增速軸(Ⅱ軸)、二級增速軸(Ⅲ軸)、輸出軸(Ⅳ軸)]增速箱原理圖．已知一級增速軸(Ⅱ軸)與輸入軸(Ⅰ軸)的速比為3.90，二級增速軸(Ⅲ軸)與一級增速軸(Ⅱ軸)的速比為3.53，輸出軸(Ⅳ軸)與二級增速軸(Ⅲ軸)的速比為3.23(速比＝)．若該風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片的轉(zhuǎn)速為20轉(zhuǎn)每分鐘，則下列說法正確的是(　　)
A．輸出軸(Ⅳ軸)的轉(zhuǎn)速為1 500轉(zhuǎn)每分鐘
B．一級增速軸(Ⅱ軸)與輸入軸(Ⅰ軸)接觸部分的半徑之比為3.90∶1
C．一級增速軸(Ⅱ軸)與輸入軸(Ⅰ軸)接觸部分的線速度大小之比為1∶3.90
D．一級增速軸(Ⅱ軸)與輸入軸(Ⅰ軸)接觸部分的向心加速度大小之比為3.90∶1
3．向心加速度
導(dǎo)學(xué)　掌握必備知識
一、
1．圓心
2．垂直　方向　大小
3．圓心　變化
二、
1．a(chǎn)n＝
情境思考
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×
共研　突破關(guān)鍵能力
目標(biāo)一
　提示：(1)月球的速度方向不斷發(fā)生變化，所以運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化．運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化的原因是受到向心力的作用．
(2)物體做勻速圓周運(yùn)動時，物體所受的合力提供向心力，合力的方向總是指向圓心．
(3)月球受到的合力提供向心力，方向總是指向圓心．根據(jù)牛頓第二定律可知，月球做勻速圓周運(yùn)動時的加速度也總是指向圓心．
[例1]　解析：向心加速度的方向沿半徑指向圓心，線速度方向則沿圓周的切線方向，所以向心加速度的方向始終與線速度的方向垂直，A正確；物體做勻速圓周運(yùn)動時，只具有向心加速度，加速度的方向始終指向圓心，向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小，B、D正確；一般情況下，圓周運(yùn)動的向心加速度與切向加速度的合加速度方向不是始終指向圓心的，C錯誤．
答案：ABD
[例2]　解析：向心力的方向時刻指向圓心，時刻改變，故A錯誤；勻速圓周運(yùn)動的向心加速度時刻指向圓心，方向沿半徑方向，與線速度方向垂直，方向時刻改變，故B錯誤，C正確；根據(jù)勻速圓周運(yùn)動的定義可知，當(dāng)合力提供向心力時，物體將做勻速圓周運(yùn)動，合力方向始終指向圓心，故D正確．故選C、D.
答案：CD
目標(biāo)二
提示：(1)物塊所受的合力即為F，根據(jù)牛頓第二定律，可得
a＝.
(2)豎直方向有FTcos θ＝mg，水平方向有FTsin θ＝Fn.故Fn＝mg tan θ，方向時刻指向圓心O.
(3)能．a(chǎn)n＝＝g tan θ.
[例3]　解析：根據(jù)題意，由圖可知，手機(jī)轉(zhuǎn)動的半徑約為0.65 m，手臂擺到豎直位置時手機(jī)的向心加速度大小約為an＝＝0.65 m/s2，故選A.
答案：A
[例4]　解析：圓周運(yùn)動的向心加速度an＝ω2r＝(2πn)2r，由題干信息知n＝50 r/s，r＝0.01 m，代入數(shù)據(jù)可得an接近，故C正確．
答案：C
[例5]　解析：根據(jù)傳動規(guī)律可知vA＝vC，ωB＝ωC，根據(jù)v＝ωR可得vC＝2vB，所以A、B兩點的線速度大小之比為＝，A、C兩點的角速度大小之比為＝＝，故A、B錯誤；根據(jù)a＝ω2R可知，B、C兩點的向心加速度大小之比為＝＝，故C錯誤；根據(jù)T＝可知，A、C兩點的周期之比為＝＝，故D正確．
答案：D
精練　落實學(xué)科素養(yǎng)
1．解析：同學(xué)們通過彎道的過程，相當(dāng)于繞操場上某點同軸轉(zhuǎn)動的過程，角速度相同．根據(jù)公式v＝ωr，可知不同跑道的同學(xué)做圓周運(yùn)動的半徑不同，線速度不同，A錯誤，B正確；根據(jù)向心加速度公式an＝ω2r，可知角速度相同，半徑不同，則向心加速度不同，C錯誤；根據(jù)向心力的公式Fn＝man，可知每位同學(xué)質(zhì)量不同，向心加速度不同，向心力也不一定相同，D錯誤．
答案：B
2．解析：汽車以恒定的速率通過該盤山公路的過程中，速度的方向在不斷改變，不是勻速運(yùn)動，A錯誤；可把通過盤山公路的過程分為很多小的圓周運(yùn)動，汽車具有向心加速度，加速度不為零，汽車加速度的方向在不斷變化，B、C錯誤，D正確．故選D.
答案：D
3．解析：因為A、B兩點是同軸轉(zhuǎn)動，所以A、B兩點的角速度是相等的，故B錯誤；A、B兩點做圓周運(yùn)動的圓心都是O點，半徑分別是OA和OB，由余弦定理得OB＝a.A、B兩點的角速度相等，由v＝ωr可知A、B兩點的線速度大小之比等于半徑之比，故A、B兩點線速度大小之比為1∶，由向心加速度公式an＝ω2r，可得A、B兩點向心加速度大小之比也等于半徑之比，為1∶，故A錯誤，C正確；B的向心加速度的方向沿著OB指向圓心O，故D錯誤．故選C.
答案：C
4．解析：圓環(huán)上各點的角速度相等，由an＝ω2r知aP>aQ>aR，A錯誤；由v＝ωr知vP>vQ>vR，C正確；因為向心加速度總是指向圓心，所以任意時刻P、Q、R三點向心加速度的方向都垂直于AB且指向AB，即任意時刻P、Q、R三點向心加速度的方向均相同，B錯誤；圓周運(yùn)動中線速度的方向與向心加速度的方向垂直，則任意時刻P、Q、R三點的線速度的方向均相同，D錯誤．
答案：C
5．解析：輸出軸(Ⅳ軸)的轉(zhuǎn)速為20×3.90×3.53×3.23 r/min＝889.3 r/min，選項A錯誤；一級增速軸(Ⅱ軸)與輸入軸(Ⅰ軸)接觸部分的線速度大小相等，則根據(jù)v＝2πrn可知，半徑之比為1∶3.90，選項B、C錯誤；根據(jù)an＝可知，一級增速軸(Ⅱ軸)與輸入軸(Ⅰ軸)接觸部分的向心加速度大小之比為3.90∶1，選項D正確．故選D.
答案：D4．生活中的圓周運(yùn)動
核心素養(yǎng)定位 物理觀念 (1)了解生活中的各種圓周運(yùn)動現(xiàn)象． (2)知道航天器中的失重現(xiàn)象． (3)知道離心運(yùn)動產(chǎn)生的原因．
科學(xué)思維 (1)能根據(jù)所學(xué)知識分析生活中的各種圓周運(yùn)動現(xiàn)象． (2)會分析火車(汽車)轉(zhuǎn)彎、汽車過凸形橋和凹形路面時的有關(guān)問題．
科學(xué)態(tài)度與責(zé)任 觀察生活中的離心現(xiàn)象，了解其在生活中的應(yīng)用，并知道離心運(yùn)動所帶來的危害；能體會物理學(xué)的技術(shù)應(yīng)用對日常生活的影響．
一、火車轉(zhuǎn)彎
1．火車在彎道上的運(yùn)動特點
火車在彎道上運(yùn)動時實際是在做圓周運(yùn)動（軌道平面在水平面內(nèi)），因而具有________加速度，由于其質(zhì)量巨大，需要很大的向心力．　Fn＝
2．火車轉(zhuǎn)彎時向心力的來源分析
(1)若轉(zhuǎn)彎時內(nèi)外軌一樣高，火車轉(zhuǎn)彎時，外側(cè)車輪的輪緣擠壓________，火車的向心力由外軌對車輪輪緣的________提供(如圖甲所示)，由于火車的質(zhì)量很大，轉(zhuǎn)彎所需的向心力很大，鐵軌和車輪極易受損．
(2)若轉(zhuǎn)彎時外軌略高于內(nèi)軌，根據(jù)轉(zhuǎn)彎處軌道的半徑和規(guī)定的行駛速度，適當(dāng)調(diào)整內(nèi)外軌的高度差，使轉(zhuǎn)彎時所需的向心力由________和________的合力提供，從而減輕外軌與輪緣的擠壓(如圖乙所示)．
　　　　　合力方向沿水平方向
二、汽車過拱形橋
項目 汽車過凸形橋 汽車過凹形橋
受力
分析
續(xù)表
項目 汽車過凸形橋 汽車過凹形橋
向心力 Fn＝________＝m Fn＝________＝m
對橋的壓力 F′N＝________ F′N＝________
結(jié)論 汽車對橋的壓力小于汽車的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力________ 汽車對橋的壓力大于汽車的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力________
三、航天器中的失重現(xiàn)象
1．向心力分析：當(dāng)航天器在近地軌道做勻速圓周運(yùn)動時，軌道半徑近似等于地球半徑R，所受地球引力近似等于重力mg.航天員受到的地球引力與座艙對他的支持力的合力為他提供向心力，即mg－FN＝m，所以FN＝________．
2．失重狀態(tài)：當(dāng)v＝________時，座艙對航天員的支持力FN＝0，航天員處于________狀態(tài).　　mg－FN＝
四、離心運(yùn)動
1．定義：做圓周運(yùn)動的物體沿著________飛出或做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動．
　 　　　　　　　　　　　不是沿半徑向外
2．原因：向心力突然________或合力不足以提供____________________．
3．離心運(yùn)動的應(yīng)用和防止
(1)應(yīng)用：洗衣機(jī)的脫水筒；離心干燥器；離心制管技術(shù)；分離血漿和紅細(xì)胞的離心機(jī)．
(2)防止：轉(zhuǎn)動的砂輪、飛輪的轉(zhuǎn)速不能太高；在公路彎道，車輛不允許超過________________．
【情境思考】
　
如圖所示，由上海飛往美國洛杉磯的飛機(jī)在飛越太平洋上空的過程中，如果保持飛行速度的大小和距離海平面的高度均不變，飛機(jī)上的乘客對座椅的壓力等于其重力嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1　
教材思考與討論
如圖所示，高速公路轉(zhuǎn)彎處和場地自行車賽道，路面往往有一定的傾斜度，車以較大速度行駛時，利用重力mg與支持力FN的合力提供向心力，減小車輪與路面間的徑向摩擦力以防側(cè)滑．
2　汽車過拱形橋
　
由F′N＝mg－m可知，汽車行駛的速率確定時，拱形橋的半徑R越大，F(xiàn)′N越大，汽車安全性越高．
教材思考與討論
如果將地球看成一個巨大的拱形橋，橋面的半徑就是地球的半徑，會不會出現(xiàn)速度大到一定程度時，地面對車的支持力為零？這種情況若出現(xiàn)，則此時駕駛員對座椅的壓力是多少？
假設(shè)會出現(xiàn)這種情況，此時駕駛員對座椅的壓力為零，由mg＝m可得v0＝＝ m/s≈7.9×103 m/s＝7.9 km/s．
　離心運(yùn)動的防止
如圖所示，汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時，若最大靜摩擦力不足以提供向心力，即Fmax目標(biāo)一　火車轉(zhuǎn)彎問題分析
【導(dǎo)思】
圖甲為摩托車在水平道路上轉(zhuǎn)彎，圖乙為火車轉(zhuǎn)彎，圖丙為火車輪緣與鐵軌．摩托車和火車轉(zhuǎn)彎提供向心力的方式一樣嗎？鐵路彎道處鐵軌有什么特點？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
1．轉(zhuǎn)彎軌道特點
(1)火車轉(zhuǎn)彎時重心高度不變，軌道是圓弧，軌道圓面在水平面內(nèi)．
(2)轉(zhuǎn)彎軌道外高內(nèi)低，這樣的設(shè)計使火車受到的支持力向內(nèi)側(cè)發(fā)生傾斜，以提供火車做圓周運(yùn)動的向心力．
2．轉(zhuǎn)彎軌道受力與火車速度的關(guān)系
(1)如圖所示，火車轉(zhuǎn)彎時，火車所受支持力與重力的合力充當(dāng)向心力，則mg tan θ＝，則v0＝，其中r為彎道半徑，θ為軌道平面與水平面的夾角(tan θ≈，h為內(nèi)外軌高度差，L為內(nèi)外軌間距)，v0為轉(zhuǎn)彎處的規(guī)定速度．此時，內(nèi)外軌道對火車均無側(cè)向擠壓作用．
(2)若火車行駛速度v0＞，外軌對輪緣有側(cè)壓力．
(3)若火車行駛速度v0＜，內(nèi)軌對輪緣有側(cè)壓力．
【典例】
例 1 有一列重為100 t的火車，以72 km/h的速率通過一個內(nèi)外軌一樣高的彎道，軌道半徑為400 m，g取10 m/s2.
(1)試計算鐵軌受到的側(cè)壓力．
(2)如圖所示，若要使火車以此速率通過彎道，且使鐵軌受到的側(cè)壓力為零，我們可以適當(dāng)傾斜路基，試計算路基傾斜角度θ的正切值．
例 2 (多選)如圖為自行車運(yùn)動員在水平道路上轉(zhuǎn)彎的情景．轉(zhuǎn)彎軌跡可看成一段半徑為r的圓弧，運(yùn)動員始終與自行車在同一平面內(nèi)．轉(zhuǎn)彎時，只有當(dāng)?shù)孛鎸ψ孕熊?包括人)的作用力通過自行車(包括人)的重心時，自行車才不會傾倒．設(shè)自行車和人的總質(zhì)量為M，輪胎與路面間的動摩擦因數(shù)為μ，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g.下列說法正確的是(　　)
A．自行車受到地面的支持力方向與自行車所在平面平行
B．轉(zhuǎn)彎時自行車不發(fā)生側(cè)滑的最大速度為
C.轉(zhuǎn)彎時自行車與地面間的靜摩擦力一定為μMg
D．轉(zhuǎn)彎速度越大，自行車所在平面與地面的夾角越小
規(guī)律方法
車輛轉(zhuǎn)彎問題的分析方法
求解車輛轉(zhuǎn)彎問題的關(guān)鍵是對向心力的分析與求解．合理建立“車輛轉(zhuǎn)彎”情景模型，要把握如下幾點．
(1)火車或汽車以適當(dāng)速度通過“外高內(nèi)低”的彎道時，由重力與支持力的合力提供向心力，其合力沿水平方向指向圓心．
(2)火車在水平彎道上轉(zhuǎn)彎時，鐵軌對輪緣的彈力提供向心力．
(3)汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時，摩擦力提供向心力．
目標(biāo)二　汽車過拱形橋　航天器中的失重現(xiàn)象
【導(dǎo)思】
(選自魯科版新教材“迷你實驗室”)
(1)用兩根鐵絲彎成如圖所示的凹凸橋．首先，把一個小球放在凹橋底部A處，調(diào)節(jié)兩軌間的距離，使球剛好不掉下去，但稍加一點兒壓力，球就會撐開兩軌下落．然后，讓球從斜軌滾下．當(dāng)球經(jīng)過凹橋底部A處時，你觀察到了什么？說明了什么？
(2)把凹橋下面的搭鉤扣上，并調(diào)整凸橋頂端B處兩軌間的距離，使小球在B處放置時，剛好能在此處撐開兩軌下落．然后，讓小球從斜軌滾下．當(dāng)球經(jīng)過凸橋頂端B處時，你又觀察到了什么？說明了什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
1．汽車過凸形橋時
在最高點滿足mg－FN＝m，即FN＝mg－，處于失重狀態(tài)．
(1)當(dāng)0≤v＜時，0＜FN≤mg.
(2)當(dāng)v＝時，F(xiàn)N＝0.
(3)當(dāng)v＞時，汽車會脫離橋面，做平拋運(yùn)動，發(fā)生危險．
2．汽車過凹形路面時
在最低點滿足FN－mg＝，即FN＝mg＋，處于超重狀態(tài)．車速v越大，壓力越大．
3．航天器中的失重現(xiàn)象
(1)在近地圓形軌道上，航天器(包括衛(wèi)星、飛船、空間站)的重力提供向心力，滿足關(guān)系Mg＝M，則v＝.
(2)質(zhì)量為m的航天員，受到的座艙的支持力為FN，則mg－FN＝.
當(dāng)v＝時，F(xiàn)N＝0，航天員處于完全失重狀態(tài)．
(3)航天器內(nèi)的任何物體都處于完全失重狀態(tài)．
【典例】
例 3 鄉(xiāng)間公路在通過小型水庫泄洪閘的下游時常常修成凹形路面，也叫“過水路面”．現(xiàn)有一“過水路面”的圓弧半徑為50 m，一輛質(zhì)量為800 kg的小汽車駛過“過水路面”．如圖所示，當(dāng)小汽車通過“過水路面”的最低點時速度為5 m/s，g取10 m/s2，則此時汽車對路面的壓力為多大？
例 4[2023·北京師大附中高一期末]有一輛質(zhì)量為800 kg的小汽車駛上圓弧半徑為50 m的拱橋，如圖所示．取g＝10 m/s2，求：
(1)若汽車到達(dá)橋頂時速度為5 m/s，橋?qū)ζ嚨闹С至Φ拇笮。?br/>(2)若汽車經(jīng)過橋頂時恰好對橋頂沒有壓力而騰空，汽車此時的速度大小．
(3)已知地球半徑R＝6 400 km，現(xiàn)設(shè)想一輛沿赤道行駛的汽車，若不考慮空氣的影響，也不考慮地球自轉(zhuǎn)，那它開到多快時就可以“飛”起來．此時駕駛員對座椅的壓力是多大？駕駛員處于什么狀態(tài)？
目標(biāo)三　對離心運(yùn)動的理解
【導(dǎo)思】
鏈球比賽中，運(yùn)動員放手后，原本高速旋轉(zhuǎn)的鏈球會飛出；雨天，當(dāng)你旋轉(zhuǎn)雨傘時，會發(fā)現(xiàn)水滴沿著傘的邊緣切線飛出．
(1)鏈球飛出后受幾個力？
(2)你能說出水滴沿著傘的邊緣切線飛出的原因嗎？
(3)物體做離心運(yùn)動的條件是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
1．離心運(yùn)動的實質(zhì)
物體逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動，本質(zhì)是物體慣性的體現(xiàn)，從受力情況看是向心力不足．
2．四種運(yùn)動情況的判斷
如圖所示，根據(jù)物體所受合外力與所需向心力的關(guān)系，可進(jìn)行如下判斷．
【典例】
例 5 如圖所示，摩托車比賽中，騎手為了快速通過水平彎道，經(jīng)常將車身壓向內(nèi)側(cè)，俗稱壓彎．將摩托車過彎道看成圓周運(yùn)動，下列說法正確的是(　　)
A．摩托車過彎道時所需的向心力由地面的支持力提供
B．摩托車過彎道時受到的重力和支持力的合力提供向心力
C．摩托車過彎道的速度越大，所需的向心力越小
D．摩托車過彎道時速度過大，摩托車會沖向賽道外側(cè)
例 6[2023·江蘇高一聯(lián)考]一質(zhì)量為2.0×103 kg的汽車在水平公路上行駛，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力為1.4×104 N．當(dāng)汽車經(jīng)過半徑為80 m的水平彎道時，下列判斷正確的是(　　)
A．汽車轉(zhuǎn)彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力
B．汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時所需的向心力為1.4×104 N
C．汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時汽車會發(fā)生側(cè)滑
D．汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度不超過7.0 m/s2
教你解決問題
題干要點 信息提取
“水平公路上行駛” 重力與支持力等大反向
“最大靜摩擦力為1.4×104 N” 摩擦力提供向心力， 最大值為1.4×104 N
“汽車經(jīng)過半徑為80 m的彎道時” 圓周運(yùn)動的半徑為80 m
[試解]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．[2023·河北邯鄲高一檢測]下列措施不屬于防止離心現(xiàn)象造成危害的是(　　)
2.
(多選)如圖所示，航天員在圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動的空間站中處于完全失重狀態(tài)，下列說法正確的是(　　)
A．航天員仍受重力的作用
B．航天員受力平衡
C．航天員所受重力等于所需的向心力
D．航天員不受重力的作用
3．(多選)火車在鐵軌上轉(zhuǎn)彎可以視為做勻速圓周運(yùn)動，火車速度提高易使外軌受損．為解決火車高速轉(zhuǎn)彎時使外軌受損這一難題，你認(rèn)為理論上可行的措施是(　　)
A．減小彎道半徑
B．增大彎道半徑
C.適當(dāng)減小內(nèi)外軌道的高度差
D．適當(dāng)增加內(nèi)外軌道的高度差
4．如圖所示為高速公路某彎道處，該段公路寬度為16 m，內(nèi)外側(cè)的高度差為2 m，某車道設(shè)計安全時速為108 km/h(無側(cè)滑趨勢)．已知角度較小時，角的正切值近似等于正弦值，g取10 m/s2.該車道的轉(zhuǎn)彎半徑為(　　)
A．500 m B．720 m
C．700 m D．520 m
5.
[2023·廣東清遠(yuǎn)高一聯(lián)考](多選)如圖所示，汽車過拱形橋時的運(yùn)動可以視為勻速圓周運(yùn)動，質(zhì)量為1 t的汽車以20 m/s的速度過橋，橋面的圓弧半徑為100 m，g取.當(dāng)汽車經(jīng)過橋頂時，下列說法正確的是(　　)
A．汽車的向心加速度是4 m/s2
B．汽車受到的合力是8×103 N
C．汽車受到的支持力是6×103 N，方向豎直向上
D．汽車對橋面的壓力是6×103 N，方向豎直向下
4．生活中的圓周運(yùn)動
導(dǎo)學(xué)　掌握必備知識
一、
1．向心
2．(1)外軌　彈力　(2)重力G　支持力FN
二、
mg－FN　FN－mg　mg－　mg＋　越小　越大
三、
1．mg－m
2.　完全失重
四、
1．切線方向
2．消失　所需的向心力
3．(2)規(guī)定的速度
情境思考
提示：由于人與飛機(jī)一同做勻速圓周運(yùn)動，重力和座椅對人的支持力的合力提供人做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力，即mg－FN＝m，可知mg>FN，由牛頓第三定律知，飛機(jī)上的乘客對座椅的壓力小于其重力．
共研　突破關(guān)鍵能力
目標(biāo)一
　提示：提供向心力的方式不一樣，摩托車轉(zhuǎn)彎時由摩擦力提供向心力，火車轉(zhuǎn)彎時由支持力在水平方向上的分力提供向心力．
火車質(zhì)量太大，輪緣與外軌間的相互作用力太大，鐵軌和車輪極易受損，需要設(shè)置特別的軌道，使外軌高于內(nèi)軌，使火車受到的重力與支持力的合力提供向心力．
[例1]　解析：(1)72 km/h＝20 m/s，外軌對輪緣的側(cè)壓力提供火車轉(zhuǎn)彎所需要的向心力，所以有FN＝m＝ N＝105 N，由牛頓第三定律可知鐵軌受到的側(cè)壓力大小等于105 N.
(2)火車過彎道時，重力和鐵軌對火車的彈力的合力正好提供向心力，如圖所示，則mg tan θ＝m，由此可得tan θ＝＝0.1.
答案：(1)105 N　(2)0.1
[例2]　解析：
自行車(包括人)受地面支持力FN的方向豎直向上，A項錯誤；由μMg＝M得轉(zhuǎn)彎時自行車不發(fā)生側(cè)滑的最大速度v＝，B項正確；轉(zhuǎn)彎時自行車(包括人)與地面間的靜摩擦力一定小于或等于最大靜摩擦力μMg，C項錯誤；轉(zhuǎn)彎速度越大，向心力越大，則自行車所在平面與地面的夾角α越小，D項正確．
答案：BD
目標(biāo)二
提示：(1)小球經(jīng)過凹橋底部時從兩軌間掉了下去，說明運(yùn)動的小球?qū)Π紭虻撞康膲毫Υ笥陟o止時的壓力．
(2)小球運(yùn)動到凸橋頂端時沒有落下，說明運(yùn)動的小球?qū)ν箻蝽敹说膲毫π∮陟o止時的壓力．
[例3]　解析：
汽車在“過水路面”的最低點時受力如圖所示，由牛頓第二定律得FN－mg＝，解得FN＝mg＋m＝(800×10＋800×) N＝8 400 N．根據(jù)牛頓第三定律得，汽車對路面的壓力大小F′N＝FN＝8 400 N.
答案：8 400 N
[例4]　解析：(1)以汽車為研究對象，由牛頓第二定律得
mg－FN＝，代入數(shù)據(jù)解得FN＝7 600 N.
(2)當(dāng)FN＝0時，有mg＝，
解得v2＝＝10 m/s.
(3)當(dāng)v3＝時汽車就會“飛”起來，將R＝6.4×106 m代入得v3＝8 000 m/s.
選駕駛員為研究對象，由m′g－F′N＝得F′N＝0.
根據(jù)牛頓第三定律知駕駛員對座椅的壓力為0，駕駛員處于完全失重狀態(tài)．
答案：(1)7 600 N　(2)10 m/s　(3)8 000 m/s　0　完全失重狀態(tài)
目標(biāo)三
提示：(1)重力和空氣阻力．
(2)旋轉(zhuǎn)雨傘時，雨滴也隨著運(yùn)動起來，但傘面上的雨滴受到的合力不足以提供其做圓周運(yùn)動的向心力，雨滴由于慣性要保持其原來的速度方向而沿切線方向飛出．
(3)向心力突然消失或物體受到的合力不足以提供其運(yùn)動所需的向心力．
[例5]　解析：摩托車通過的是水平彎道，豎直方向上重力和支持力平衡，不提供向心力，向心力由地面對摩托車的摩擦力提供，A、B錯誤；根據(jù)向心力公式有F向＝m，所以速度越大，所需的向心力越大，C錯誤；當(dāng)摩托車過彎道的速度過大時，摩擦力不足以提供此時所需的向心力，摩托車做離心運(yùn)動，D正確．故選D.
答案：D
[例6]　解析：汽車轉(zhuǎn)彎時受到重力、地面的支持力以及地面給的摩擦力，其中摩擦力充當(dāng)向心力，故A錯誤；當(dāng)汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時，根據(jù)牛頓第二定律可得，所需的向心力Fn＝m＝ N＝1×104 N，小于最大靜摩擦力1.4×104 N，汽車不會發(fā)生側(cè)滑，故B、C錯誤；汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度為an＝＝ m/s2＝，即汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度不超過，故D正確．
答案：D
精練　落實學(xué)科素養(yǎng)
1．解析：公路上的減速帶是為了防止汽車超速而產(chǎn)生危險，不屬于防止離心現(xiàn)象造成危害；砂輪外側(cè)加防護(hù)罩是為了避免砂輪轉(zhuǎn)速過大發(fā)生離心現(xiàn)象而分裂飛出；鏈球運(yùn)動場地安裝防護(hù)網(wǎng)是為了防止鏈球離心飛出而造成危害；彎道限速是為了防止汽車車速過大發(fā)生離心現(xiàn)象，造成翻車或側(cè)滑．故選A.
答案：A
2．解析：做勻速圓周運(yùn)動的空間站中的航天員，所受重力全部提供其做圓周運(yùn)動的向心力，處于完全失重狀態(tài)，并非航天員不受重力作用，A、C正確，B、D錯誤．
答案：AC
3．解析：
火車轉(zhuǎn)彎時，若速度合適，內(nèi)外軌道均不受擠壓，此時，重力和支持力的合力提供向心力，如圖所示．根據(jù)mg tan θ＝m，解得v＝.火車速度提高時，為了使外軌不受損，應(yīng)適當(dāng)增大彎道半徑或適當(dāng)增加內(nèi)外軌道的高度差，故A、C錯誤，B、D正確．
答案：BD
4．解析：設(shè)路面的傾角為θ，由題意可知tan θ≈sin θ＝＝.汽車以安全時速轉(zhuǎn)彎時，剛好由汽車的重力和路面對汽車的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律有mg tan θ＝m，解得r＝720 m，故B正確．
答案：B
5．解析：汽車經(jīng)過橋頂時，由勻速圓周運(yùn)動的知識可得an＝＝ m/s2＝4 m/s2，F(xiàn)合＝man＝×4 N＝4×103 N，故A正確，B錯誤；根據(jù)牛頓第二定律得mg－FN＝F合，解得FN＝6×103 N，即汽車受到的支持力大小為6×103 N，方向豎直向上，根據(jù)牛頓第三定律可知，汽車對橋面的壓力大小為6×103 N，方向豎直向下，故C、D正確．
答案：ACD第六章素養(yǎng)綜合評價
(時間：75分鐘　滿分：100分)
一、單項選擇題(本題共7小題，每小題4分，共28分，每小題只有一個選項符合題意．)
1．下列情形中，關(guān)于向心力的來源判斷正確的是(　　)
A．圖甲中，動車轉(zhuǎn)彎時，鐵軌的支持力提供向心力
B．圖乙中，飛機(jī)在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)彎時，重力與升力的合力提供向心力
C．圖丙中，汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時，軌跡切線方向上的摩擦力提供向心力
D．圖丁中，小孩乘坐旋轉(zhuǎn)木馬運(yùn)動時，木馬的重力提供向心力
2.
如圖所示，餐桌上的水平玻璃轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動時，其上的物品相對于轉(zhuǎn)盤靜止，則以下說法正確的是(　　)
A．越靠近圓心的物品線速度越大
B．越靠近圓心的物品加速度越小
C．越靠近圓心的物品角速度越小
D．越靠近圓心的物品所受摩擦力越小
3.
在2022年3月23日的“天宮課堂”上，航天員王亞平搖晃裝有水和油的小瓶，靜置后水和油混合在一起沒有分層．圖甲為航天員葉光富啟動“人工離心機(jī)”，即用繩子一端系住裝有水油混合的瓶子，以繩子的另一端O為圓心做如圖乙所示的圓周運(yùn)動，一段時間后水和油成功分層(水的密度大于油的密度).以空間站為參考系，此時(　　)
A．水和油的線速度大小相等B．水的向心加速度比油的小
C．油對水有指向圓外的作用力D．水對油的作用力大于油對水的作用力
4.
2022年2月7日，任子威為中國隊奪得短道速滑男子1000m的冬奧會歷史首金．某中學(xué)生特意發(fā)布了一篇推文，來介紹其比賽中過彎道的情景(如圖所示).下列說法正確的是(　　)
A．此時運(yùn)動員處于平衡狀態(tài)
B．此時運(yùn)動員受到重力、支持力和向心力的作用
C．若轉(zhuǎn)彎半徑相同，速率越大，運(yùn)動員越容易發(fā)生側(cè)滑
D．若速率相同，轉(zhuǎn)彎半徑越大，運(yùn)動員越容易發(fā)生側(cè)滑
5.
在2022年3月23日天宮課堂中，航天員老師利用手搖離心機(jī)將水油分離．天宮課堂中宇航員的手搖離心機(jī)可簡化為如圖在空間站中手搖小瓶的模型．假設(shè)小瓶(包括小瓶中的油和水)的質(zhì)量為m，P為小瓶的質(zhì)心，細(xì)線的長度(從圖中O到P之間的長度)為L，小瓶在t時間內(nèi)轉(zhuǎn)動了n圈．當(dāng)小瓶轉(zhuǎn)動到豎直平面內(nèi)最高點時，細(xì)線中的拉力為(　　)
A．B．C．D．
6.
2022年2月18日，北京冬奧會自由式滑雪女子U型場地技巧決賽中，中國選手谷愛凌奪冠，摘得中國代表團(tuán)本屆冬奧會第八金．如圖所示，當(dāng)運(yùn)動員在決賽中經(jīng)過U型場地最低點時，下列說法正確的是(　　)
A．地面對滑板的支持力大于滑板對地面的壓力
B．運(yùn)動員對滑板的壓力大于地面對滑板的支持力
C．運(yùn)動員對滑板的壓力等于運(yùn)動員所受的重力
D．運(yùn)動員對滑板的壓力大于運(yùn)動員所受的重力
7.
鐵路在彎道處的內(nèi)、外軌道高度是不同的，已知內(nèi)、外軌道平面與水平面的夾角為θ，如圖所示，彎道處的圓弧半徑為r.若質(zhì)量為m的火車轉(zhuǎn)彎時速度等于，則下列說法正確的是(　　)
A．內(nèi)軌對內(nèi)側(cè)車輪輪緣有擠壓B．外軌對外側(cè)車輪輪緣有擠壓
C．這時鐵軌對火車的支持力等于D．這時鐵軌對火車的支持力大于
二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題有多個選項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分．)
8.
[2023·浙江精誠聯(lián)盟聯(lián)考]如圖所示是起吊重物的吊車．某次操作過程中，液壓桿收縮，吊臂繞固定轉(zhuǎn)軸O逆時針轉(zhuǎn)動，吊臂上的A、B兩點做圓周運(yùn)動，此時A點的角速度為ω，液壓桿的長度為d，OB＝2OA＝2l.下列說法正確的是(　　)
A．A點的速度方向垂直于液壓桿B．B點的角速度為ω
C．A、B兩點的線速度大小關(guān)系為vB＝2vAD．A點的線速度大小為ωl
9.
如圖所示，乘坐游樂園的過山車時，質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)沿圓周軌道運(yùn)動．下列說法正確的是(　　)
A．人在最低點時對座位的壓力大于mg
B．人在最高點和最低點時的向心加速度大小相等
C．人在最高點時對座位仍可能產(chǎn)生壓力，且壓力不一定小于mg
D．車在最高點時人處于倒坐狀態(tài)，若沒有保險帶，人一定會掉下去
10.
如圖所示，在水平轉(zhuǎn)臺上放一個質(zhì)量M＝2kg的木塊，它與轉(zhuǎn)臺間的最大靜摩擦力Ffmax＝6.0N，繩的一端系該木塊，通過轉(zhuǎn)臺的中心孔O(孔光滑)，另一端系一個質(zhì)量m＝1.0kg的物體N.當(dāng)轉(zhuǎn)臺以角速度ω＝5rad/s勻速轉(zhuǎn)動時，木塊相對轉(zhuǎn)臺靜止．則木塊到O點的距離可以是(g取10m/s2，木塊、物體可看成質(zhì)點)(　　)
A．0.04mB．0.08mC．0.16mD．0.32m
三、非選擇題(本題共5小題，共54分．按題目要求作答，計算題要有必要的文字說明和解題步驟，有數(shù)值計算的要注明單位．)
11．(8分)如圖是一個研究向心力與哪些因素有關(guān)的實驗裝置的示意圖，其中做勻速圓周運(yùn)動的物體的質(zhì)量為m，放置在未畫出的圓盤上，圓周的軌道半徑為r，力電傳感器測定的是向心力F，光電傳感器測定的是物體的線速度．實驗中測得的數(shù)據(jù)如下表．
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
甲、乙、丙三圖是根據(jù)上述實驗數(shù)據(jù)作出的F v、F v2、F v3三個圖像．
(1)研究向心力與線速度的關(guān)系時，保持物體質(zhì)量和運(yùn)動半徑一定，為方便研究，應(yīng)畫的圖像是________．
A．甲圖像，即F v圖像　　　　B．乙圖像，即F v2圖像　　　　C．丙圖像，即F v3圖像
(2)為研究F與r的關(guān)系，實驗時除保持物體的質(zhì)量不變外，還應(yīng)保持不變的物理量是______________．
(3)已知表中數(shù)據(jù)是r＝0.1m時所得的數(shù)據(jù)，根據(jù)所學(xué)知識和上述信息，求得物體的質(zhì)量為________kg(保留兩位小數(shù)).
12.
(8分)某同學(xué)設(shè)計了如圖所示裝置探究向心力與質(zhì)量、半徑關(guān)系的實驗．水平桿光滑，豎直桿與水平桿鉸合在一起，互相垂直，繞過定滑輪的細(xì)線兩端分別與物塊和力傳感器連接．
(1)探究向心力與質(zhì)量關(guān)系時，讓物塊1、2的質(zhì)量不同，測出物塊1、2的質(zhì)量分別為m1、m2，保持____________________相同，轉(zhuǎn)動豎直桿，測出不同角速度下兩力傳感器的示數(shù)F1、F2，測出多組F1、F2，作出F1 F2圖像．如果作出的圖像是過原點的直線，且圖像的斜率等于________，則表明在此實驗過程中向心力與質(zhì)量成正比．
(2)探究向心力與半徑關(guān)系時，讓物塊1、2的________相同，測出物塊1和物塊2到轉(zhuǎn)軸的距離分別為r1、r2，轉(zhuǎn)動豎直桿，測出不同角速度下兩力傳感器的示數(shù)F1、F2，測出多組F1、F2，作出F1 F2圖像．如果作出的圖像是過原點的直線，且圖像的斜率等于________，則表明在此實驗過程中向心力與半徑成正比．
13.
(10分)2022年2月19日，北京冬奧會花樣滑冰雙人滑比賽中，中國選手奪得中國隊第九金．圖甲中，男運(yùn)動員以自己為軸拉著女運(yùn)動員做圓錐擺運(yùn)動，可簡化為如圖乙所示的模型．物塊的重力為mg，物塊到懸掛點的擺線長為L，測得物塊在時間t內(nèi)完成了n次完整的圓錐擺運(yùn)動．
(1)求懸線與豎直方向的夾角(可用三角函數(shù)表示)；
(2)求懸線對物塊的拉力．
14.
(12分)如圖所示，小球Q在豎直平面內(nèi)逆時針做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)Q球轉(zhuǎn)到與O在同一水平線上時，另一小球P從距圓周最高點為h處開始自由下落，重力加速度為g.要使兩球在圓周最高點相碰，求：
(1)Q球轉(zhuǎn)動的角速度ω；
(2)Q球做勻速圓周運(yùn)動的周期及其最大值．
15.
(16分)激光高速特技車(以下簡稱小車)依靠強(qiáng)磁電機(jī)提供動力，能以很大的速度在空心圓體中運(yùn)動，如圖甲所示．某同學(xué)將魚缸固定在示數(shù)已調(diào)零的臺秤上，打開小車開關(guān)，使小車在半徑為r＝0.064m的豎直面內(nèi)沿魚缸表面做勻速圓周運(yùn)動．已知魚缸的質(zhì)量M＝0.90kg，小車的質(zhì)量m＝0.01kg，不考慮空氣阻力等影響，運(yùn)動模型如圖乙所示．
(1)求小車恰能過最高點A時速度大小v1；
(2)若小車在最高點A時，臺秤的示數(shù)為F1＝5.5N，求此時小車速度大小v2；
(3)在(2)的前提下，求小車在最低點B時臺秤的示數(shù)F2.
第六章素養(yǎng)綜合評價
1．解析：圖甲中，動車轉(zhuǎn)彎時，鐵軌的支持力和重力(或支持力、重力和鐵軌的擠壓力)的合力提供向心力，A錯誤；圖乙中，飛機(jī)在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)彎時，升力和重力的合力提供向心力，B正確；圖丙中，汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎時，徑向上的摩擦力提供向心力，C錯誤；小孩乘坐旋轉(zhuǎn)木馬運(yùn)動時，木馬對小孩的作用力和小孩的重力的合力提供向心力，D錯誤．故選B.
答案：B
2．解析：玻璃轉(zhuǎn)盤上物體的運(yùn)動相當(dāng)于同軸轉(zhuǎn)動，即角速度相等，由關(guān)系式v＝ωR可知，當(dāng)角速度相同時，線速度與半徑成正比，故A、C錯誤；由關(guān)系式a＝ω2R可知，當(dāng)角速度相同時，加速度與半徑成正比，故B正確；由牛頓第二定律可知f＝mω2R，當(dāng)角速度相同時，物體所受摩擦力的大小與物品的質(zhì)量以及半徑有關(guān)，故D錯誤．故選B.
答案：B
3．解析：由于水的密度大于油的密度，因此水在底層，油在上層．水和油的角速度相等，但運(yùn)動半徑不同，因此線速度不相等，A錯誤；根據(jù)a＝ω2r，由于水的半徑大，因此水的向心加速度比油的大，B錯誤；油做圓周運(yùn)動的向心力是由水提供的，根據(jù)牛頓第三定律，油對水有指向圓外的作用力，且與水對油的作用力大小相等，C正確，D錯誤．
答案：C
4．解析：運(yùn)動員過彎道時在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，有向心加速度，不是平衡狀態(tài)，A錯誤；對運(yùn)動員受力分析，受重力、支持力和摩擦力，向心力是效果力，不能與性質(zhì)力同時分析，B錯誤；根據(jù)F＝m知，彎道半徑相同，速率越大，向心力越大，越容易發(fā)生側(cè)滑，C正確；根據(jù)F＝m知，速率相同，彎道半徑越小，向心力越大，越容易沖出跑道，彎道半徑越大，向心力越小，越不容易發(fā)生側(cè)滑，D錯誤．故選C.
答案：C
5．解析：小瓶在t時間內(nèi)轉(zhuǎn)動了n圈，則周期為T＝.在空間站中手搖小瓶在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，僅有線的拉力提供向心力，有FT＝mL＝，故選C.
答案：C
6．解析：地面對滑板的支持力和滑板對地面的壓力，是一對相互作用力，大小相等，故A錯誤；滑板做圓周運(yùn)動，受到地面對它向上的支持力、重力及運(yùn)動員對它向下的壓力，合力提供向心力，因此運(yùn)動員對滑板的壓力小于地面對滑板的支持力，故B錯誤；運(yùn)動員受到滑板的支持力和重力，合力提供向心力，因此支持力大于重力，根據(jù)牛頓第三定律可知，運(yùn)動員對滑板的壓力等于滑板對運(yùn)動員的支持力，故C錯誤，D正確．
答案：D
7．解析：
對火車進(jìn)行受力分析如圖，由圖中幾何關(guān)系得FNcosθ＝mg，則FN＝，火車的速度為時，火車的重力和軌道對火車的支持力的合力恰好等于所需的向心力，內(nèi)、外軌道對火車均無側(cè)壓力，故C正確，A、B、D錯誤．
答案：C
8．解析：吊臂繞固定轉(zhuǎn)軸O旋轉(zhuǎn)，A點為吊臂上一點，故A點的速度方向垂直于吊臂，A錯誤；A、B兩點都在吊臂上共同繞固定轉(zhuǎn)軸O旋轉(zhuǎn)，故B點的角速度等于A點的角速度，B正確；根據(jù)v＝ωr可知，A點的線速度大小為ωl，vB＝2vA，故C、D正確．
答案：BCD
9．解析：人在最低點時支持力與重力的合力提供向心力，即滿足F1－mg＝m，支持力大于重力，由牛頓第三定律可得，人對座位的壓力大于mg，A正確；人在最高點和最低點時的速度大小不同，向心加速度a＝，故向心加速度大小不相等，B錯誤；人在最高點時滿足F2＋mg＝m，可知座位對人仍可能產(chǎn)生壓力，且壓力不一定小于mg，與經(jīng)過最高點的速度v2大小有關(guān)，由牛頓第三定律知，人在最高點時對座位仍可能產(chǎn)生壓力，且壓力不一定小于mg，C正確；車在最高點時人處于倒坐狀態(tài)，只要速度達(dá)到一定值，即使沒有保險帶，人也不會掉下去，D錯誤．故選AC.
答案：AC
10．解析：木塊做勻速圓周運(yùn)動，轉(zhuǎn)臺對木塊的靜摩擦力和繩子的拉力的合力提供向心力，其中物體N處于平衡狀態(tài)，則繩子的拉力等于物體的重力，根據(jù)向心力公式得Fn＝mg＋Ff＝Mω2r，解得r＝.當(dāng)Ff＝Ffmax＝6.0N時，r最大，rmax＝m＝0.32m，當(dāng)Ff＝－6.0N時，r最小，則rmin＝m＝0.08m，故木塊到O點的距離為0.08～0.32m，B、C、D正確．
答案：BCD
11．解析：(1)向心力與線速度的關(guān)系為F＝m，物體質(zhì)量和運(yùn)動半徑一定時，向心力和線速度的平方成正比，因此為方便研究，應(yīng)畫的圖像是F v2圖像．故選B.
(2)根據(jù)F＝m和F＝mω2r可知，為研究F與r的關(guān)系，實驗時除保持物體的質(zhì)量不變外，還應(yīng)保持不變的物理量是線速度v(或角速度ω)的大小．
(3)利用表中數(shù)據(jù)可得F＝0.88v2，
又F＝m＝v2，則的值為0.88kg·m－1，
當(dāng)r＝0.1m時，解得m≈0.09kg.
答案：(1)B　(2)線速度v(或角速度ω)的大小　(3)0.09
12．解析：(1)探究向心力與質(zhì)量關(guān)系時，讓物塊1、2的質(zhì)量不同，保持物塊到豎直軸的距離相同，轉(zhuǎn)動豎直桿，測出不同角速度下兩力傳感器的示數(shù)F1、F2，作出F1 F2圖像，由F＝mω2r可知，＝.如果作出的圖像是過原點的直線，且圖像的斜率等于，則表明在此實驗過程中向心力與質(zhì)量成正比．
(2)探究向心力與半徑關(guān)系時，讓物塊1、2的質(zhì)量相同，測出物塊1和物塊2到轉(zhuǎn)軸的距離分別為r1、r2，轉(zhuǎn)動豎直桿，測出不同角速度下兩力傳感器的示數(shù)F1、F2，作出F1 F2圖像．由F＝mω2r可知，＝，如果作出的圖像是過原點的直線，且圖像的斜率等于，則表明在此實驗過程中向心力與半徑成正比．
答案：(1)物塊到豎直軸距離　　(2)質(zhì)量　
13．解析：(1)由題意知物塊做圓周運(yùn)動的周期T＝，
對物塊受力分析可得mgtanθ＝mLsinθ，
解得cosθ＝.
(2)由受力分析可得懸線對物塊的拉力F＝，
代入數(shù)據(jù)可得F＝.
答案：(1)cosθ＝　(2)
14．解析：(1)小球P做自由落體運(yùn)動，有h＝gt2，
解得t＝，
Q球運(yùn)動到最高點的時間為
t′＝＋nT(n＝0，1，2，3，…)，
由于T＝，t＝t′，
解得ω＝2π(＋n) (n＝0，1，2，3，…).
(2)根據(jù)公式T＝，
解得T＝(n＝0，1，2，3，…)
當(dāng)n取0時，周期最大，最大值為Tmax＝4.
答案：(1)2π(＋n) (n＝0，1，2，3，…)
(2)(n＝0，1，2，3，…)　4
15．解析：(1)小車恰好能過最高點，小車在最高點A剛好由重力提供做圓周運(yùn)動所需的向心力，則有mg＝m，
解得v1＝＝0.8m/s.
(2)小車在最高點A時，以小車為對象，設(shè)魚缸對小車的彈力大小為FA，根據(jù)牛頓第二定律可得FA＋mg＝m，
以魚缸為對象，根據(jù)受力平衡可得F′1＋F′A＝Mg，
由牛頓第三定律可知FA＝F′A，F(xiàn)′1＝F1，
聯(lián)立解得v2＝4.8m/s.
(3)小車在最低點B時，以小車為對象，設(shè)魚缸對小車的彈力大小為FB，根據(jù)牛頓第二定律可得FB－mg＝m，
以魚缸為對象，根據(jù)受力平衡可得F′2＝Mg＋F′B，
由牛頓第三定律可知FB＝F′B，F(xiàn)′2＝F2，
聯(lián)立解得F2＝12.7N.
答案：(1)0.8m/s　(2)4.8m/s　(3)12.7N拓 展 課5　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動和圓周運(yùn)動的臨界問題
素養(yǎng)·目標(biāo)要求
1．掌握豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的輕繩模型和輕桿模型的分析方法．
2．知道水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動的幾種常見模型，并會找它們的臨界條件．
3．掌握圓周運(yùn)動臨界問題的分析方法．
拓展一　豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的輕繩(過山車)模型
【導(dǎo)思】
如圖所示，甲圖中小球受繩拉力和重力作用，乙圖中小球受軌道的彈力和重力作用，在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動．小球在繩、軌道的限制下不能遠(yuǎn)離圓心且在最高點無支撐，我們稱這類運(yùn)動為“輕繩模型”．
(1)小球在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動是勻速圓周運(yùn)動嗎？
(2)小球運(yùn)動到最高點時，由什么力來提供向心力？繩上拉力或軌道的彈力與速度有何關(guān)系？
(3)試分析小球通過最高點的最小速度．
(4)分析小球通過最高點時繩上拉力與速度的關(guān)系．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
模型特點
項目 特點
情景圖示
彈力特征 彈力可能向下，也可能等于零
受力
示意圖
力學(xué)方程 mg＋FT(FN)＝m
臨界特征 FT(FN)＝0，即mg＝m，得v＝
v＝的意義 物體能否過最高點的臨界速度
【典例】
例 1 如圖所示，水流星是中國傳統(tǒng)雜技的保留項目，是中華文化的重要傳承．結(jié)實的繩子系著裝有水的水桶，使水桶在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，為了研究問題方便，可以把水桶當(dāng)作質(zhì)點．桶內(nèi)水的質(zhì)量為0.5 kg，水桶做圓周運(yùn)動的半徑R＝0.4 m，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)若在最高點時水不流出，求此時水桶的最小速率．
(2)若在最高點時水桶的速率為4 m/s，求此時水對桶底的壓力．
(3)若在最低點時桶底承受的壓力為桶內(nèi)水重力的6倍，求此時水桶的速率．
例 2 如圖所示，游樂場翻滾過山車上的乘客常常會在高空倒懸時嚇得魂飛魄散．軌道最高處離地面32 m，最低處幾乎貼地，圓環(huán)直徑15 m，過山車經(jīng)過圓環(huán)最高點時的速度約為18 m/s.在這樣的情況下能否保證乘客的安全呢？(g取m/s2)
拓展二　豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的輕桿模型
【導(dǎo)思】
如圖所示，細(xì)桿上固定的小球和在光滑管形軌道內(nèi)運(yùn)動的小球在重力和桿(管道)的彈力作用下在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，這類運(yùn)動稱為“輕桿模型”．
(1)試分析小球通過最高點的最小速度．
(2)分析小球在最高點時桿上的力(或管道的彈力)隨速度的變化．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【歸納】
模型特點
項目 特點
情景圖示
彈力特征 彈力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意圖
力學(xué)方程 mg±FN＝m
臨界特征 v＝0，即Fn＝0，此時FN＝mg
v＝的意義 FN表現(xiàn)為拉力還是支持力的臨界速度
【典例】
例 3 如圖所示，長度為0.5 m的輕質(zhì)細(xì)桿OA，A端固定一質(zhì)量為3 kg的小球，以O(shè)點為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動．若小球通過最高點時的速度為2 m/s，取g＝10 m/s2，則此時輕桿OA受到小球的作用力為(　　)
A．6 N的拉力 B．6 N的壓力
C．54 N的拉力 D．54 N的壓力
例 4[2023·山西長治高一下期中](多選)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動是高中物理的經(jīng)典模型之一．某同學(xué)通過如下實驗來探究其相關(guān)規(guī)律，如圖所示，質(zhì)量為m的小球固定在力傳感器測量的一側(cè)，傳感器另一側(cè)與輕桿連接．現(xiàn)給小球一初速度讓其繞桿上的水平軸O點做圓周運(yùn)動，小球到O點的距離為L，已知當(dāng)力傳感器受到小球?qū)λ膲毫r讀數(shù)為負(fù)，受到拉力時讀數(shù)為正，重力加速度為g.下列說法正確的是(　　)
A．只有當(dāng)小球通過圓周最高點的速度大于時才能做完整的圓周運(yùn)動
B．若小球通過圓周最高點時的速度為 ，則力傳感器讀數(shù)為－mg
C．小球在與圓心等高的B點下方運(yùn)動的過程中，力傳感器讀數(shù)總是正值
D．若小球通過圓周最低點時的速度為，則力傳感器讀數(shù)為mg
例 5 (多選)如圖所示，有一個半徑為r的光滑圓管道，現(xiàn)給小球一個初速度，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動．關(guān)于小球在最高點時的速度v，下列敘述中正確的是(　　)
A．v的最小值為
B．v由零逐漸增大，在最高點管道對小球的彈力逐漸增大
C．當(dāng)v由逐漸增大時，在最高點管道對小球的彈力也逐漸增大
D.當(dāng)v由逐漸減小時，在最高點管道對小球的彈力逐漸增大
規(guī)律方法
豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的求解思路
拓展三　水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動的臨界問題
【歸納】
1．常見三種情況
(1)不滑動的臨界問題
質(zhì)量為m的物體在水平面上做圓周運(yùn)動或隨圓盤一起轉(zhuǎn)動(如圖所示)時，靜摩擦力提供向心力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值Ffm時，物體運(yùn)動的速度也達(dá)到最大，即Ffm＝，解得vm＝.
(2)與支持面或桿的彈力有關(guān)的臨界問題
此問題要分析出恰好無支持力這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度)等．
(3)繩子被拉斷的臨界問題
質(zhì)量為m的物體被長為l的輕繩拴著(如圖所示)，且繞繩的另一端O在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動．當(dāng)繩子的拉力達(dá)到最大值Fm時，物體的速度最大，即Fm＝，解得vm＝.這就是物體在半徑為l的圓周上運(yùn)動的臨界速度．
2．解題方法
(1)對物體進(jìn)行受力分析．
(2)找到其中變化的力以及它的臨界值．
(3)求出向心力(合力或沿半徑方向的合力)的臨界值．
(4)用向心力公式求出運(yùn)動學(xué)量(線速度、角速度、周期、半徑等)的臨界值．
【典例】
例 6 如圖所示，AB為豎直轉(zhuǎn)軸，在細(xì)繩AC和BC的結(jié)點C處系一質(zhì)量為m的小球，兩繩能承擔(dān)的最大拉力均為2mg.當(dāng)AC和BC均拉直時，∠ABC＝90°，∠ACB＝53°，BC＝1 m.ABC能繞豎直軸AB勻速轉(zhuǎn)動，因而小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動．當(dāng)小球的線速度增大時，兩繩均會被拉斷．
(1)哪根繩最先被拉斷？
(2)求另一根繩被拉斷時小球的線速度v的大小．(已知g取 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
例 7 (多選)如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺上放置兩個質(zhì)量均為10 kg的滑塊A、B，用一根不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩連接(細(xì)繩繃緊但無張力)．二者距離轉(zhuǎn)軸的距離均為0.1 m，其中A與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)為0.75，B與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)為0.25.現(xiàn)緩慢增大轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)速，已知繩子能承受的最大拉力為25 N，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為10 m/s2.下列說法正確的是(　　)
A．轉(zhuǎn)臺的角速度超過5 rad/s時，細(xì)繩將斷裂
B．細(xì)繩拉斷后A、B兩滑塊同時發(fā)生滑動
C．細(xì)繩拉斷后滑塊A受到的摩擦力大小為50 N
D．若細(xì)繩可承受無限大拉力，則A、B永遠(yuǎn)不會發(fā)生相對滑動
例 8 如圖所示，用一根長為l＝1 m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m＝1 kg的小球(可視為質(zhì)點)，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°.當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動的角速度為ω時，細(xì)線的張力為FT.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取 m/s2，結(jié)果可用根式表示)
(1)若要小球剛好離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？
(2)若細(xì)線與豎直方向的夾角為α＝60°，則小球的角速度ω′為多大？
拓展課5　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動和圓周運(yùn)動的臨界問題
拓展一
　提示：(1)因為速度的方向與力的方向不總是相互垂直，所以小球在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動不是勻速圓周運(yùn)動．
(2)對于圖甲，向心力由小球的重力和繩的拉力的合力提供；對于圖乙，向心力由小球的重力和軌道的彈力的合力提供．一般來說，速度越大，繩的拉力或軌道的彈力越大．
(3)由于繩(軌道)不可能對球有向上的支持力，只能產(chǎn)生向下的拉力(彈力)，由F＋mg＝m可知，當(dāng)F＝0時，v最小，最小速度為v＝.
(4)①v＝時，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受繩的拉力(或軌道的壓力)為零．
②v<時，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脫離圓軌道，不能到達(dá)最高點．
③v>時，mg[例1]　解析：(1)水跟著水桶一起做圓周運(yùn)動，要讓水不流出水桶，則在最高點處有mg≤m，
解得v≥＝2 m/s，則水桶的最小速率為2 m/s.
(2)設(shè)在最高點時桶底對水的壓力為FN1，由牛頓第二定律有mg＋FN1＝，解得FN1＝15 N．由牛頓第三定律知水對桶底的壓力為15 N，方向豎直向上．
(3)在最低點時桶底承受的壓力為桶內(nèi)水重力的6倍，則桶底對水的支持力為桶內(nèi)水的重力的6倍，桶底對水的支持力為FN2，由牛頓第二定律有FN2－mg＝，解得v2＝2 m/s.
答案：(1)2 m/s　(2)15 N，方向豎直向上　(3)2 m/s
[例2]　解析：要保證乘客安全，過山車能通過圓環(huán)最高點時的最小速度為臨界速度，
此時圓形軌道對過山車的作用力為零，重力提供向心力，則有mg＝，解得v＝＝5 m/s，
由5 m/s<18 m/s可知，這種情況下過山車和人一定能安全通過頂點．
答案：能保證安全
拓展二
　提示：(1)由于桿(或管道)在最高點處能對小球產(chǎn)生向上的支持力，故小球恰能到達(dá)最高點的最小速度v＝0，此時小球受到的支持力FN＝mg.
(2)①v＝時，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，輕桿(或管道)與小球間無作用力．
②v<時，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F(xiàn)越小．
③v>時，mg[例3]　解析：小球運(yùn)動到最高點時受到重力與輕桿的彈力，假設(shè)輕桿對小球的彈力方向向上，大小為FN，此時小球受到的合力提供向心力，有mg－FN＝，解得FN＝mg－＝6 N，說明輕桿對小球提供向上的支持力，根據(jù)牛頓第三定律可知，輕桿OA受到小球向下的壓力，大小為6 N．故選項B正確．
答案：B
[例4]　解析：輕桿模型中，小球通過最高點的速度大于等于零時，就能做完整的圓周運(yùn)動，A錯誤；在最高點，對小球受力分析有mg＋F＝m，將速度 代入，解得F＝－mg，傳感器受到向下的壓力，B正確；在與圓心等高的B點下方運(yùn)動的過程中，小球需要的向心力由傳感器對小球的拉力減去重力沿桿向外的分力提供，小球一直受到拉力，力傳感器讀數(shù)總是正值，C正確；在最低點，對小球受力分析有F′－mg＝m，將速度代入，解得F′＝3mg，D錯誤．
答案：BC
[例5]　解析：小球在最高點，管道對小球的作用力可以向上，也可以向下，所以v的最小值為零，故A錯誤．在最高點，當(dāng)v＝時，根據(jù)牛頓第二定律得mg－FN＝，可得管道對小球的作用力FN＝0；當(dāng)v<時，管道對小球的作用力方向向上，根據(jù)牛頓第二定律得mg－FN＝m，當(dāng)v由逐漸減小時，管道對小球的彈力逐漸增大；當(dāng)v>時，管道對小球的作用力方向向下，根據(jù)牛頓第二定律得mg＋FN＝m，當(dāng)v由逐漸增大時，管道對小球的彈力也逐漸增大．故C、D正確，B錯誤．
答案：CD
拓展三
[例6]　解析：(1)當(dāng)小球的線速度增大時，豎直方向合力為0，則細(xì)繩AC的拉力不變，即FTA不變，則FTB增大，所以BC繩先斷．
(2)當(dāng)BC繩斷開后，小球線速度繼續(xù)增大，當(dāng)FTAC＝2mg時，AC繩被拉斷．設(shè)此時AC繩與豎直方向夾角為α，對小球受力分析如圖所示，則有
FTACcos α＝mg，
FTACsin α＝，
r＝LACsin α，
且FTAC＝2mg，
解得α＝60°，v＝5 m/s.
答案：(1)BC繩先斷　(2)5 m/s
[例7]　解析：設(shè)轉(zhuǎn)臺的角速度為ω時，細(xì)繩恰好拉斷，此時細(xì)繩拉力為FT＝25 N，此時對B根據(jù)牛頓第二定律可得FT＋μ2mg＝mω2r，解得ω＝5 rad/s，故A錯誤；細(xì)繩拉斷瞬間，A需要的向心力FA＝mω2r＝50 N，A與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力FfA＝μ1mg＝75 N，則靜摩擦力足以提供向心力，A不發(fā)生滑動，同理B與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力FfB＝μ2mg＝25 N，不足以提供向心力，B發(fā)生滑動，故B錯誤；細(xì)繩拉斷后，A受到的摩擦力提供向心力，大小為FA＝mω2r＝50 N，故C正確；若細(xì)繩可承受無限大拉力，而兩者需要的向心力大小相同，拉力與摩擦力的合力總是足以提供向心力，A、B永遠(yuǎn)不會發(fā)生相對滑動，故D正確．故選C、D.
答案：CD
[例8]　解析：(1)
若要小球剛好離開錐面，則小球只受到重力和細(xì)線的拉力，受力分析如圖所示．
小球做勻速圓周運(yùn)動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平．在水平方向運(yùn)用牛頓第二定律及向心力公式得
mg tan θ＝l sin θ，
解得ω0＝ ＝ rad/s.
(2)當(dāng)細(xì)線與豎直方向夾角為α＝60°時，由牛頓第二定律及向心力公式得
mg tan α＝mω′2l sin α，
解得ω′＝ ＝2 rad/s.
答案：(1) rad/s　(2)2 rad/s第六章綜合提升
知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建
核心素養(yǎng)提升
情境1　山東艦測試——科學(xué)思維
例 1[2023·浙江湖州高一下期末]山東艦是我國首艘自主建造的國產(chǎn)航母，如圖為山東艦進(jìn)行180°回轉(zhuǎn)測試．山東艦以較為穩(wěn)定的航行姿態(tài)，最終在海面上畫了一個直徑約為1 000米的浪圈．將山東艦的運(yùn)動近似看作勻速圓周運(yùn)動，浪圈近似看作其運(yùn)動軌跡，忽略山東艦的大小和形狀，設(shè)其航速約為20節(jié)(1節(jié)＝1.852 km/h)．根據(jù)上述信息，下列關(guān)于山東艦回轉(zhuǎn)測試的物理量中，不能近似求得的是(　　)
A．運(yùn)動周期T
B．運(yùn)動角速度ω的大小
C．向心加速度an的大小
D．向心力Fn的大小
情境2　短道速滑——科學(xué)思維
例 2 2022年2月7日在首都體育館舉行的北京冬奧會短道速滑項目男子1 000 m決賽中，中國選手任子威奪得冠軍，其比賽場地如圖所示．場地周長為111.12 m，其中直道長度為28.85 m，彎道半徑為8 m.若一名質(zhì)量為50 kg的運(yùn)動員以大小為12 m/s的速度進(jìn)入彎道，緊鄰黑色標(biāo)志塊做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動員可看作質(zhì)點，重力加速度g取，則運(yùn)動員在彎道上受到冰面最大作用力的大小最接近(　　)
A．500 N B．900 N
C．1 030 N D．2 400 N
情境3　氣嘴燈——科學(xué)思維
例 3[2023·浙江杭州期中]如圖為自行車氣嘴燈及其結(jié)構(gòu)圖，彈簧一端固定在A端，另一端拴接重物，當(dāng)車輪高速旋轉(zhuǎn)時，LED燈就會發(fā)光．下列說法正確的是(　　)
A．安裝時A端比B端更遠(yuǎn)離圓心
B．增大重物質(zhì)量可使LED燈在較低轉(zhuǎn)速下也能發(fā)光
C．高速旋轉(zhuǎn)時，重物由于受到離心力的作用，拉伸彈簧從而使觸點接觸
D．勻速行駛時，若LED燈轉(zhuǎn)到最低點時能發(fā)光，則在最高點時也一定能發(fā)光
情境4　單杠——模型建構(gòu)
例 4 (多選)如圖所示是單杠運(yùn)動員在單臂旋轉(zhuǎn)過程中的動作．已知運(yùn)動員的質(zhì)量為m，重心到手支撐點的距離為L，運(yùn)動員在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動且剛好能通過最高點，重力加速度為g.下列說法正確的是(　　)
A．運(yùn)動員在最高點時速度為
B．運(yùn)動員在最高點時向心力為0
C．若運(yùn)動員在最低點速度變大，則他對單杠的作用力可能減小
D．若運(yùn)動員在最高點速度變大，則他對單杠的作用力可能增大，也可能減小
情境5　餐桌——模型建構(gòu)
例 5[2023·山東德州第一中學(xué)模擬]一種餐桌的構(gòu)造如圖甲所示．已知圓形玻璃轉(zhuǎn)盤的半徑r＝0.6 m，圓形桌面的半徑R＝1 m，不計轉(zhuǎn)盤的厚度，桌面到地面的高度h＝1 m．輕繩一端固定在轉(zhuǎn)盤邊緣，另一端連接著質(zhì)量m＝2 kg的小物塊，小物塊被輕繩帶動沿桌面邊緣一起旋轉(zhuǎn)，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，二者角速度相同，俯視圖如圖乙所示．某時刻輕繩突然斷裂，小物塊沿桌面邊緣飛出后的落地點到桌面和轉(zhuǎn)盤共同圓心O的距離s＝ m，重力加速度g取10 m/s2.
(1)求小物塊飛出桌面邊緣的速度大小v0.
(2)求小物塊與桌面之間的動摩擦因數(shù)μ.
情境6　盤山公路——科學(xué)思維
例 6 如圖中給出了一段S形單行盤山公路的示意圖．彎道1、彎道2可看作同一水平面上的圓弧，圓心分別為O1、O2，彎道中心線半徑分別為r1＝10 m，r2＝20 m，有一直道與彎道1、彎道2兩彎道圓弧相切．質(zhì)量m＝1 200 kg的汽車通過彎道時做勻速圓周運(yùn)動，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是車重的1.25倍，行駛時要求汽車不打滑．(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)若汽車以一恒定的速率沿彎道中心、直道中心線(圖中虛線所示)行駛，求通過盤山公路的最大速率v(可用根式表示)．
(2)汽車從彎道1的A點進(jìn)入，從同一直徑上的B點駛離，有經(jīng)驗的司機(jī)會利用路面寬度，用最短時間勻速安全通過彎道．設(shè)路寬d＝10 m，求此最短時間(A、B兩點都在軌道的中心線上，計算時視汽車為質(zhì)點，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)．
第六章綜合提升
核心素養(yǎng)提升
[例1]　解析：由題意可知山東艦做勻速圓周運(yùn)動的直徑d≈1 000 m，線速度v＝ m/s≈10 m/s，根據(jù)T＝＝，可得周期T≈314 s，根據(jù)ω＝＝，可得角速度大小ω≈0.02 rad/s，根據(jù)an＝＝，可得向心加速度大小an≈0.2 m/s2，但是由于不知道山東艦的質(zhì)量，所以無法求山東艦所需向心力Fn的大小，故選D.
答案：D
[例2]　解析：運(yùn)動員在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動需要的向心力為Fn＝m＝900 N，豎直方向受力平衡，則FN＝mg＝500 N，所以運(yùn)動員受到冰面的作用力F＝≈1 030 N，故選C.
答案：C
[例3]　解析：要使重物做離心運(yùn)動從而使M、N接觸，則A端應(yīng)靠近圓心，因此安裝時A端比B端更遠(yuǎn)離氣嘴，A錯誤；燈在最低點時，根據(jù)牛頓第二定律得F彈－mg＝mω2r，解得ω＝ ，因此增大重物質(zhì)量可使LED燈在較低轉(zhuǎn)速下也能發(fā)光，B正確；轉(zhuǎn)速越大，所需向心力越大，彈簧拉伸得越長，M、N接觸時燈就會發(fā)光，不能說重物受到離心力作用，C錯誤；燈在最低點時有F1－mg＝，燈在最高點時有F2＋mg＝，勻速行駛時，在最低點時彈簧對重物的彈力大于在最高點時彈簧對重物的彈力，因此勻速行駛時，若LED燈轉(zhuǎn)到最低點時能發(fā)光，則在最高點時不一定能發(fā)光，D錯誤．
答案：B
[例4]　解析：運(yùn)動員在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動且剛好能通過最高點，此時運(yùn)動員的重力和單杠對他的支持力平衡，則在最高點時速度為0，向心力為0，故A錯誤，B正確；運(yùn)動員在最低點時，向心力Fn＝F－mg＝m，解得單杠對他的作用力F＝mg＋m，可知，當(dāng)運(yùn)動員在最低點速度變大時，單杠對他的作用力增大，根據(jù)牛頓第三定律可知，他對單杠的作用力增大，故C錯誤；運(yùn)動員在最高點時，恰好由重力提供向心力，即mg＝m，解得此時運(yùn)動員的速度v＝，當(dāng)v<時，有mg－F＝m，速度v增大，F(xiàn)減小，當(dāng)v>時，有mg＋F＝m，速度v增大，F(xiàn)增大，故D正確．故選B、D.
答案：BD
[例5]　解析：(1)小物塊沿桌面邊緣飛出后做平拋運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t，則豎直位移為h＝gt2，水平位移為x＝v0t，
由幾何關(guān)系可知s＝，
聯(lián)立解得v0＝ m/s.
(2)設(shè)輕繩對小物塊的拉力大小為FT，方向與小物塊和圓心O連線的夾角為θ，則
sin θ＝，
小物塊沿桌面邊緣旋轉(zhuǎn)時的向心力由輕繩的拉力FT和小物塊與桌面間的摩擦力Ff共同提供，故
FTcos θ＝，F(xiàn)Tsin θ＝Ff，F(xiàn)f＝μmg，
聯(lián)立解得μ＝.
答案：(1) m/s　(2)
[例6]　解析：(1)當(dāng)汽車所受的靜摩擦力達(dá)到最大時，汽車的速度最大，汽車在彎道1上轉(zhuǎn)彎時，由牛頓第二定律得kmg＝，解得v1＝＝5 m/s，
汽車在彎道2上轉(zhuǎn)彎時，由牛頓第二定律得，kmg＝，解得v2＝＝5 m/s，
比較v1、v2大小，通過盤山公路的最大速率v＝5 m/s.
(2)用時最短路線應(yīng)為過A、B兩點且與路內(nèi)側(cè)邊相切的圓弧，如圖所示，
則有R2＝＋[R－(r1－)]2，解得R＝12.5 m，
由kmg＝，可得vm＝＝12.5 m/s，
sin θ＝＝，解得θ＝53°，
線路長度為s＝·2πR＝23.1 m，解得t＝＝1.8 s.
答案：(1)5 m/s　(2)1.8 s

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