資源簡介

一　集合與常用邏輯用語
必記結論
1.集合
(1)子集、真子集個數計算公式
對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為2n，2n－1，2n－1，2n－2.
(2)集合運算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用數軸求解；若已知的集合是點集，用數形結合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解．
2．含有一個量詞的命題的否定
全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，如下所述：
命題 命題的否定
x∈M，p(x) x∈M， p(x)
x∈M，p(x) x∈M， p(x)
3.充分條件與必要條件的三種判定方法
(1)定義法：正、反方向推理，若p q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p q，且qD /p，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)．
(2)集合法：利用集合間的包含關系．例如，若A B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件．
(3)等價法：將命題等價轉化為另一個便于判斷真假的命題．
易錯剖析
易錯點1　忽視集合中元素的互異性
【突破點】　求解集合中元素含有參數的問題，先根據其確定性列方程，求出值后，再根據其互異性檢驗．
易錯點2　未弄清集合的代表元素
【突破點】　集合的特性由元素體現，在解決集合的關系及運算時，要弄清集合的代表元素是什么．
易錯點3　遺忘空集
【突破點】　空集是一個特殊的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思維定式的原因，在解題中常遺忘這個集合，導致解題錯誤或解題不全面．
易錯點4　忽視不等式解集的端點值
【突破點】　進行集合運算時，可以借助數軸，要注意集合中的“端點元素”在運算時的“取”與“舍”．
易錯點5　對含有量詞的命題的否定不當
【突破點】　由于有的命題的全稱量詞往往可以省略不寫，從而在進行命題否定時易只否定全稱量詞命題的判斷詞，而不否定被省略的全稱量詞．
易錯快攻
易錯快攻一　忽視不等式解集的端點值
1[2022·北京卷]已知全集U＝{x|－3A．(－2，1]　　B. (－3，－2)
C．[－2，1) D. (－3，－2]
易錯快攻二　對含有量詞的命題的否定不當
2設命題p： x<0，x2≥1，則 p為(　　)
A． x≥0，x2<1
B． x<0，x2<1
C． x≥0，x2<1
D． x<0，x2<1
一　集合與常用邏輯用語
[典例1]　解析：因為U＝{x|－3答案：D
[典例2]　解析：因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以應先將存在量詞改成全稱量詞，然后否定結論即可，所以命題p： x<0，x2≥1的否定是 x<0，x2<1，故選B.
答案：B五　數列
必記結論
1.等差數列
設Sn為等差數列{an}的前n項和，則
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an.
(2)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構成的數列是等差數列．
(3)＝n＋是關于n的一次函數或常數函數，數列也是等差數列．
(4)Sn＝＝＝＝….
(5)若等差數列{an}的項數為偶數)，公差為d，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，則所有項之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1為中間兩項)，S偶－S奇＝md，＝.
(6)若等差數列{an}的項數為奇數2m－1(m∈N*)，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，則所有項之和S2m－1＝(2m－1)am(am為中間項)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
(7)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n).
2．等比數列
(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)．
(3){an}，{bn}成等比數列，則{λan}，，{anbn}，成等比數列(λ≠0，n∈N*)．
(4)若等比數列的項數為2n(n∈N*)，公比為q，奇數項之和為S奇，偶數項之和為S偶，則＝q.
(5)通項公式an＝a1qn－1＝·qn，從函數的角度來看，它可以看作是一個常數與一個關于n的指數函數的積，其圖象是指數型函數圖象上一系列孤立的點．
(6)與等差中項不同，只有同號的兩個數才能有等比中項；兩個同號的數的等比中項有兩個，它們互為相反數．
(7)三個數成等比數列，通常設這三個數分別為，x，xq；四個數成等比數列，通常設這四個數分別為，xq，xq3.
3．求數列通項公式的常用方法
(1)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：
an＝
(2)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝
(3)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．
(4)已知＝f(n)，求an，用累乘法：an＝··…··a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．
(5)構造等比數列法：若已知數列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠，設存在非零常數λ，使得an＋1＋λ＝＋λ)，其中λ＝，則數列就是以a1＋為首項，p為公比的等比數列，先求出數列的通項公式，再求出數列{an}的通項公式即可．
4．數列求和的常用方法
(1)公式法：①等差數列的求和公式；②等比數列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*.
(2)分組求和法：當直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和．
(3)倒序相加法：在數列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項的和有共性，則常考慮選用倒序相加法進行求和．
(4)錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成的，那么常選用錯位相減法將其和轉化為“一個新的等比數列的和”，從而進行求解．
(5)裂項相消法：如果數列的通項可分裂成“兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和．常用的裂項形式有
①＝；
②＝；
③<＝，
＝<<
＝；
④
＝ [].
易錯剖析
易錯點1　不清楚an與Sn的關系
【突破點】　已知數列{an}的前n項和Sn，求an時，利用an＝Sn－Sn－1，需注意分n＝1和n≥2兩種情況討論．
易錯點2　不清楚裂項和拆項的規律，導致多項或少項
【突破點】　“裂項法”的特點：①分式的每個分子相同，分母都是兩個(或三個)代數式相乘，若不具備就需要轉化；②剩余項一般是前后對稱．常見形式有：.
易錯點3　忽視對等比數列中公比的分類討論
【突破點】　在解決等比數列{an}的前n項和時，通常只想到Sn＝，把q＝1的情況不自覺地排除在外，這是對前n項和公式理解不透所致．解等比數列的問題，一定要注意對公比的分類討論．
易錯快攻
易錯快攻一　忽視對n＝1的檢驗失分
1[2022·新高考Ⅰ卷]記Sn為數列{an}的前n項和，已知a1＝1，{}是公差為的等差數列．
(1)求{an}的通項公式；
(2)證明：＋…＋<2.
易錯快攻二　忽視公比q的取值
2已知數列{an}的前n項和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，則“A＝－B”是“數列{an}是等比數列”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
五　數列
[典例1]　(1)解析：∵a1＝1，∴S1＝a1，∴＝1，
又∵{}是公差為的等差數列，
∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝，
∴當n≥2時，Sn－1＝，
∴an＝Sn－Sn－1＝，
整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1，
即＝，
∴an＝a1××…×
＝1××…×＝，
顯然對于n＝1也成立，
∴{an}的通項公式an＝.
(2)
[典例2]　解析：當A＝－B時，Sn＝Aqn－A，則an＝Aqn－1(q－1)，
當q＝1或A＝0時，an＝0，此時數列{an}不是等比數列．
若數列{an}是等比數列，當q＝1時，Sn＝na1，此時不具備Sn＝Aqn＋B(q≠0)的形式，故q≠1，
則Sn＝＝·qn，
此時A＝－，B＝，A＝－B.
綜上，“A＝－B”是“數列{an}是等比數列”的必要不充分條件．故選B.
答案：B四　三角函數與平面向量
必記結論
1.誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα
正切 tanα tanα －tanα －tanα
口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變，符號看象限
2.三種三角函數的性質
函數 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
圖象
單調性 在(k∈Z)上單調遞增；在(k∈Z)上單調遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調遞減　　　　 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上單調遞增
對稱性 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝＋kπ(k∈Z) 對稱中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k∈Z) 對稱中心：(k∈Z)
3.三角函數圖象的變換
由函數y＝sinx的圖象變換得到y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法
4．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
sin (α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
cos (α±β)＝cosαcosβ sinαsinβ.
tan (α±β)＝.
sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．
cos(α＋β)cos (α－β)＝cos2α－sin2β.
5．二倍角、輔助角及半角公式
(1)二倍角公式
sin2α＝2sinαcosα.
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝.
①1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2.
②1－sin2α＝(sinα－cosα)2.
(2)輔助角公式
y＝asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin (x＋φ)，其中角φ的終邊所在象限由a，b的符號確定，角φ的值由tanφ＝(a≠0)確定．
(3)半角公式
sin＝±，
cos＝±，
tan＝±＝＝.
6．正、余弦定理及其變形
定理 正弦定理 余弦定理
內容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC
變形 (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；(5)＝＝2R cosA＝；cosB＝；cosC＝
7.平面向量數量積的坐標表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模 |a|＝ |a|＝
數量積 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2
夾角 cosθ＝ cosθ＝
a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立
易錯剖析
易錯點1　不清楚向量夾角范圍
【突破點】　數學試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時把這些因素考慮到，是解題成功的關鍵，如當a·b<0時，a與b的夾角不一定為鈍角，要注意隱含的情況．
易錯點2　忽視正、余弦函數的有界性
【突破點】　許多三角函數問題可以通過換元的方法轉化為代數問題解決，在換元時注意正、余弦函數的有界性．
易錯點3　忽視三角函數值對角的范圍的限制
【突破點】　在解決三角函數中的求值問題時，不僅要看已知條件中角的范圍，更重要的是注意挖掘隱含條件，根據三角函數值縮小角的范圍．
易錯點4　圖象變換方向或變換量把握不準確
【突破點】　圖象變換若先作周期變換，再作相位變換，應左(右)平移個單位．另外注意根據φ的符號判定平移的方向．
易錯快攻
易錯快攻一　忽視向量的夾角范圍致誤
1已知向量a，b均為非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a，b的夾角為(　　)
A．　　B．C．　　D．
易錯快攻二　函數圖象平移的方向把握不準
2將函數y＝sin (2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個單位長度后，得到一個偶函數的圖象，則φ的一個可能取值為(　　)
A．　　B．C．0　　　D．
四　三角函數與平面向量
[典例1]　解析：因為(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
所以
所以即
設a，b的夾角為α，則cosα＝＝，
因為α∈[0，π]，
所以α＝，即a，b的夾角為，故選C.
答案：C
[典例2]　解析：將函數y＝sin (2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個單位長度后，得到的圖象對應的函數解析式為y＝sin＝sin.
因為所得函數為偶函數，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
即φ＝kπ＋(k∈Z)，則φ的一個可能取值為，故選B.
答案：B三　函數、導數
必記結論
1.函數的定義域和值域
(1)求函數定義域的類型和相應方法
①若已知函數的解析式，則函數的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍．
②若已知f(x)的定義域為[a，b]，則f(g(x))的定義域為不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為函數y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．
(2)常見函數的值域
①一次函數y＝kx＋b(k≠0)的值域為R.
②二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：當a>0時，值域為[，＋∞)，當a<0時，值域為(－∞，].
③反比例函數y＝(k≠0)的值域為{y∈R|y≠0}．
2．函數的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函數在其定義域上的整體性質，對于定義域內的任意x(定義域關于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數)．
(2)周期性是函數在其定義域上的整體性質，一般地，對于函數f(x)，如果對于定義域內的任意一個x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數，T是它的一個周期．
3．函數的單調性
函數的單調性是函數在其定義域上的局部性質．
①單調性的定義的等價形式：設x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函數；
(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是減函數．
②若函數f(x)和g(x)都是減函數，則在公共定義域內，f(x)＋g(x)是減函數；若函數f(x)和g(x)都是增函數，則在公共定義域內，f(x)＋g(x)是增函數；根據同增異減判斷復合函數y＝f(g(x))的單調性．
4．指數函數與對數函數的基本性質
(1)定點：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過(0，1)點；
y＝logax(a>0，且a≠1)恒過(1，0)點．
(2)單調性：當a>1時，y＝ax在R上單調遞增；y＝logax在(0，＋∞)上單調遞增；
當05．導數的幾何意義
(1)f′(x0)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)切點的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上．
6．利用導數研究函數的單調性
(1)求可導函數單調區間的一般步驟
①求函數f(x)的定義域；
②求導函數f′(x)；
③由f′(x)>0的解集確定函數f(x)的單調增區間，由f′(x)<0的解集確定函數f(x)的單調減區間．
(2)由函數的單調性求參數的取值范圍
①若可導函數f(x)在區間M上單調遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導函數f(x)在區間M上單調遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等號不恒成立)；
②若可導函數在某區間上存在單調遞增(減)區間，f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區間上存在解集；
③若已知f(x)在區間I上的單調性，區間I中含有參數時，可先求出f(x)的單調區間，則I是其單調區間的子集．
7．利用導數研究函數的極值與最值
(1)求函數的極值的一般步驟
①確定函數的定義域；
②解方程f′(x)＝0；
③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側的符號變化；
若左正右負，則x0為極大值點；
若左負右正，則x0為極小值點；
若不變號，則x0不是極值點．
(2)求函數f(x)在區間[a，b]上的最值的一般步驟
①求函數y＝f(x)在[a，b]內的極值；
②比較函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
易錯剖析
易錯點1　函數的單調區間理解不準確
【突破點】　對于函數的幾個不同的單調遞增(減)區間，切忌使用并集，只要指明這幾個區間是該函數的單調遞增(減)區間即可．
易錯點2　判斷函數的奇偶性時忽略定義域
【突破點】　一個函數具備奇偶性的必要條件是這個函數的定義域關于原點對稱，如果不具備這個條件，函數一定是非奇非偶函數．
易錯點3　不清楚導數與極值的關系
【突破點】　(1)f′(x0)＝0只是可導函數f(x)在x0處取得極值的必要條件，即必須有這個條件，但只有這個條件還不夠，還要考慮f′(x)在x0兩側是否異號．
(2)已知極值點求參數要進行檢驗．
易錯點4　混淆“切點”致誤
【突破點】　注意區分“過點A的切線方程”與“在點A處的切線方程”的不同．“在”說明這點就是切點，“過”只說明切線過這個點，這個點不一定是切點．
易錯點5　導數與單調性的關系理解不準確
【突破點】　(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上單調遞增(遞減)的充分不必要條件．
(2)對可導函數f(x)在(a，b)上為單調增(減)函數的充要條件為：對于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)內的任何子區間上都不恒為零．若求單調區間，可用充分條件．若由單調性求參數，可用充要條件．即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否則容易漏解．
易錯快攻
易錯快攻一　混淆“切點”致誤
1 (1)[2023·全國甲卷]曲線y＝在點(1，)處的切線方程為(　　)
A．y＝xB．y＝x
C．y＝x＋D．y＝x＋
(2)[2022·新高考Ⅰ卷]若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________．
易錯快攻二　混淆“函數的單調區間”“函數在區間上單調”“函數存在單調區間”
2 (1)已知函數f(x)＝x2－2x－alnx在(0，＋∞)上單調遞增，求實數a的取值范圍．
(2)已知函數f(x)＝lnx－ax2－2x存在單調遞減區間，求實數a的取值范圍．
三　函數、導數
[典例1]　(1)解析：由題意可知y′＝＝，則曲線y＝在點處的切線斜率k＝y′|x＝1＝，所以曲線y＝在點處的切線方程為y－＝(x－1)，即y＝x＋，故選C.
(2)解析：設切線的切點坐標為(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)ex，則f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝.因為y0＝，切線過原點，所以f′(x0)＝，即＝.整理，得＋ax0－a＝0.由題意知該方程有兩個不同的實數根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.
答案：C　(2)(－∞，－4)
[典例2]　(1)解析：因為f(x)＝x2－2x－alnx在(0，＋∞)上單調遞增，
所以f′(x)＝2x－2－≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2x2－2x在(0，＋∞)上恒成立，
而y＝2x2－2x＝2－≥－，當且僅當x＝時，等號成立，
所以a≤－，
所以實數a的取值范圍為.
(2)解析：f(x)＝lnx－ax2－2x的定義域為(0，＋∞)，
由題意得f′(x)＝－ax－2<0在(0，＋∞)上有解，
即其中y＝＝－1≥－1，
故a>－1，故實數a的取值范圍是(－1，＋∞)．七　解析幾何
必記結論
1.直線方程的五種形式
(1)點斜式：y－y1＝k(x－x1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)．
(3)兩點式：＝(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線)．
(4)截距式：＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)．
2．直線的兩種位置關系
當不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時：
(1)兩直線平行l1∥l2 k1＝k2.
(2)兩直線垂直l1⊥l2 k1·k2＝－1.
3．三種距離公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點間的距離
|AB|＝.
(2)點到直線的距離d＝(其中點P(x0，y0)，直線方程為Ax＋By＋C＝0)．
(3)兩平行線間的距離d＝(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)．
4．圓的方程的兩種形式
(1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圓的一般方程：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
5．直線與圓、圓與圓的位置關系
(1)直線與圓的位置關系：相交、相切、相離，代數判斷法與幾何判斷法．
(2)圓與圓的位置關系：相交、內切、外切、外離、內含，代數判斷法與幾何判斷法．
6．橢圓的標準方程及幾何性質
標準方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
圖形
幾何性質 范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
對稱性 對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點
焦點 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)
軸 線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸；長軸長為2a，短軸長為2b
焦距 |F1F2|＝2c
離心率 焦距與長軸長的比值：e＝＝∈(0，1)
a，b，c的關系 c2＝a2－b2
7.雙曲線的標準方程及幾何性質
標準方程 ＝1(a>0，b＞0) ＝1(a>0，b＞0)
圖形
幾何性質 范圍 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
對稱性 對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點
焦點 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實軸和虛軸；實軸長為2a，虛軸長為2b
焦距 |F1F2|＝2c
離心率 焦距與實軸長的比值：e＝＝∈(1，＋∞)
漸近線 y＝±x y＝±x
a，b，c的關系 a2＝c2－b2
8.拋物線的標準方程及幾何性質
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
幾何性質 對稱軸 x軸 y軸
頂點 O(0，0)
焦點 F F F F
準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
離心率 e＝1
9.雙曲線的方程與漸近線方程的關系
(1)若雙曲線的方程為＝1(a>0，b>0)，則漸近線的方程為＝0，即y＝±x.
(2)若漸近線的方程為y＝±x(a>0，b>0)，即±＝0，則雙曲線的方程可設為＝λ(λ≠0)．
(3)若所求雙曲線與雙曲線＝1(a>0，b>0)有公共漸近線，其方程可設為＝λ(λ>0，焦點在x軸上；λ<0，焦點在y軸上)．
10．拋物線焦點弦的相關結論
設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為直線AB的傾斜角，則
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)＝.
(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切．
易錯剖析
易錯點1　遺漏方程表示圓的充要條件
【突破點】　二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0，在此條件下，再根據其他條件求解．
易錯點2　解決截距問題忽略“0”的情形
【突破點】　解決直線在兩坐標軸上的截距或截距具有某種倍數關系的問題時，需注意兩點：
(1)截距不是距離，直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.
(2)明確直線方程的截距式不能表示過原點或與坐標軸垂直的直線．因此解題時應該從截距是否為0進行分類討論．
易錯點3　忽視斜率不存在的情況
【突破點】　(1)在解決兩直線平行的相關問題時，若利用l1∥l2 k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情況，就會導致漏解．
(2)對于解決兩直線垂直的相關問題時，若利用l1⊥l2 k1·k2＝－1求解，要注意其前提條件是k1與k2必須同時存在．
易錯點4　忽略直線與圓錐曲線相交問題中的判別式
【突破點】　凡是涉及直線與圓錐曲線位置關系的問題，一定不能忘記對判別式的討論．
易錯點5　忽視雙曲線定義中的條件
【突破點】　雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a<|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數，而不是差的絕對值為常數，那么其軌跡只能是雙曲線的一支．
易錯點6　忽視圓錐曲線定義中的焦點位置
【突破點】　橢圓的焦點位置由分母的大小確定，雙曲線則是根據二次項系數的符號來確定的．解決此類問題時，一定要將方程化為曲線的標準形式．
易錯快攻
易錯快攻一　忽視直線與圓錐曲線相交問題中的判別式
1[2023·新課標Ⅱ卷]已知橢圓C：＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點，若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，則m＝(　　)
A．B．
C．－D．－
易錯快攻二　遺漏直線的斜率不存在的情況
2[2023·新課標Ⅱ卷]已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為(－2，0)，離心率為.
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點(－4，0)的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P.證明：點P在定直線上．
七　解析幾何
[典例1]　解析：由題意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，所以點F1到直線AB的距離是點F2到直線AB的距離的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)．故選C.
答案：C
[典例2]　(1)解析：設雙曲線C的方程為＝1(a>0，b>0)，c為雙曲線C的半焦距，
由題意可得，解得.
所以雙曲線C的方程為＝1.
(2)解析：方法一　設M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN的方程為x＝my－4，
則x1＝my1－4，x2＝my2－4.
聯立得，得(4m2－1)y2－32my＋48＝0.
因為直線MN與雙曲線C的左支交于M，N兩點，所以4m2－1≠0，且Δ>0.
由根與系數的關系得，所以y1＋y2＝y1y2.
因為A1，A2分別為雙曲線C的左、右頂點，
所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直線MA1的方程為＝，直線NA2的方程為＝，
所以＝，得＝＝＝.
因為＝
＝
＝
＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以點P在定直線x＝－1上．
解析：方法二　由題意得A1(－2，0)，A2(2，0)．
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN的方程為x＝my－4，
則＝1，即＝16.
如圖，連接MA2，
＝·＝＝＝4　①.
由＝1，得4x2－y2＝－y2＝16，
4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0.
由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝6，[my－(x－2)]＝1.
4(x－2)2＋16(x－2)·[my－(x－2)]－y2＝0，4(x－2)2＋(x－2)my－(x－2)2－y2＝0，
兩邊同時除以(x－2)2，得·＝0，
即－·＝0.
＝＝，
由根與系數的關系得＝－　②.
由①②可得＝.
：y＝(x＋2)＝：y＝(x－2)．
由，解得x＝－1.
所以點P在定直線x＝－1上．六　立體幾何
必記結論
1.空間幾何體的表面積和體積
幾何體 側面積 表面積 體積
圓柱 S側＝2πrl S表＝2πr(r＋l) V＝S底h＝πr2h
圓錐 S側＝πrl S表＝πr(r＋l) V＝S底h＝πr2h
圓臺 S側＝π(r＋r′)l S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l) V＝(S上＋S下＋)h＝π(r2＋r′2＋rr′)h
直棱柱 S側＝Ch(C為底面周長) S表＝S側＋S上＋S下(棱錐的S上＝0) V＝S底h
正棱錐 S側＝Ch′(C為底面周長，h′為斜高) V＝S底h
正棱臺 S側＝(C＋C′)h′(C，C′分別為上、下底面周長，h′為斜高) V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
2.球的組合體
(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．
(2)球與正方體的組合體：正方體的內切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長．
(3)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內切球的半徑為a(正四面體高a的)，外接球的半徑為a(正四面體高a的)．
3．空間線面位置關系的證明方法
(1)線線平行： a∥b， a∥b，
a∥b， c∥b.
(2)線面平行： a∥α， a∥α，
a∥α.
(3)面面平行： α∥β， α∥β， α∥γ.
(4)線線垂直： a⊥b.
(5)線面垂直： l⊥α， a⊥β， a⊥β， b⊥α.
(6)面面垂直： α⊥β， α⊥β.
4．用空間向量證明平行、垂直
設直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分別為μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)．則有：
(1)線面平行
l∥α a⊥μ a·μ＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)線面垂直
l⊥α a∥μ a＝kμ a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β μ∥υ μ＝λυ a2＝λa3，b2＝λb3，
c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β μ⊥υ μ·υ＝0 a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
5．用向量求空間角
(1)直線l1，l2的夾角θ有cosθ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分別是直線l1，l2的方向向量)．
(2)直線l與平面α的夾角θ有sinθ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直線l的方向向量，n是平面α的法向量)．
(3)平面α，β的夾角θ有cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，則α－l－β二面角的平面角為θ或π－θ(其中n1，n2分別是平面α，β的法向量)．
易錯剖析
易錯點1　不清楚空間點、線、面的位置關系
【突破點】　解決這類問題的基本思路有兩個：一是逐個尋找反例作出否定的判斷或逐個進行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結合長方體模型或實際空間位置(如課桌、教室)作出判斷，要注意定理應用準確、考慮問題全面細致．
易錯點2　表面積的計算不準確
【突破點】　在求表面積時還要注意空間物體是不是中空的，表面積與側面積要認真區分．
易錯點3　對折疊與展開問題認識不清致誤
【突破點】　注意折疊或展開過程中平面圖形與空間圖形中的變量與不變量，不僅要注意哪些變了，哪些沒變，還要注意位置關系的變化．
易錯點4　建立空間直角坐標系不當致誤
【突破點】　利用空間向量坐標法求解空間角或距離時，應首先考慮建立空間直角坐標系，但一定要找到兩兩垂直關系，該證明的需要證明．
易錯快攻
易錯快攻一　忽視平面圖形翻折前后的顯性關系
1如圖，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，現沿CN將△CDN折起，使△ADN為正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，過BM的平面與線段DN、DC分別交于E，F.
(1)求證：EF⊥DA；
(2)在棱DN上(不含端點)是否存在點E，使得直線DB與平面BMEF所成角的正弦值為，若存在，請確定E點的位置；若不存在，說明理由．
易錯快攻二　建立空間直角坐標系忽視垂直關系的證明
2[2023·新課標Ⅱ卷]如圖，三棱錐A BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點．
(1)證明：BC⊥DA；
(2)點F滿足＝，求二面角D AB F的正弦值．
六　立體幾何
[典例1]　(1)解析：證明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，
∴BM∥CN，
在四棱錐D ABCN中，CN 平面CDN，
BM 平面CDN，∴BM∥平面CDN，
又平面BMEF∩平面CDN＝EF，
∴BM∥EF，
∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，
∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，
又DA 平面ADN，∴EF⊥DA.
(2)解析：存在，E為棱DN上靠近N點的四等分點．
∵DA＝DN，AM＝MN＝1，
連接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，
∴DM⊥平面ABCN.
如圖，以M為坐標原點，分別以MA，MB，MD所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則D(0，0，)，B(0，1，0)，M(0，0，0)，N(－1，0，0)，
＝(0，1，－)，＝(0，－1，0)，＝(1，0，)，
設＝λ，(0<λ<1)，則E(λ－1，0，λ)，＝(λ－1，0，λ)，
設平面BMEF的一個法向量為n＝(x，y，z)，則
不妨令x＝λ，則z＝1－λ，n＝(λ，0，1－λ)，
設直線DB與平面BMEF所成角為α，則有
sinα＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
解得λ＝或λ＝－(舍)．
＝，即在棱DN上存在點E，使得直線DB與平面BMEF所成角的正弦值為，E為棱DN上靠近N點的四等分點．
[典例2]　(1)解析：證明：如圖，連接DE，AE，
因為DC＝DB，且E為BC的中點，所以DE⊥BC.
因為∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS)．
可得AC＝AB，故AE⊥BC.
因為DE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE.
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA.
(2)解析：由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC.
不妨設DA＝DB＝DC＝2，因為∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2.
由題可知△DBC為等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝.
因為AE⊥BC，所以AE＝＝.
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED.
以E為坐標原點，ED所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EA所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)，＝(－，0，)，＝(0，－)．
設F(xF，yF，zF)，因為＝，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，)．
所以＝(，0，0)．
設平面DAB的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
則，即，取x1＝1，則y1＝z1＝1，m＝(1，1，1)．
設平面ABF的法向量為n＝(x2，y2，z2)，
則，即，得x2＝0，取y2＝1，則z2＝1，n＝(0，1，1)．
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
記二面角D AB F的大小為θ，則sinθ＝＝＝，
故二面角D AB F的正弦值為.二　不等式
必記結論
1.一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數化為正數)；二判(判斷Δ的符號)；三解(解對應的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)．
解含有參數的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數，它決定二次函數的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小．
2．一元二次不等式的恒成立問題
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是
3．分式不等式
>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
≥0(≤0)
4．利用基本不等式求最值
(1)對于正數x，y，若積xy是定值P，則當x＝y時，和x＋y有最小值2.
(2)對于正數x，y，若和x＋y是定值S，則當x＝y時，積xy有最大值S2.
(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，則有＝(ax＋by)·()＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝()2.
(4)已知a，b，x，y∈R＋，若＝1，則有x＋y＝(x＋y)·()＝a＋b＋≥a＋b＋2＝()2.
易錯剖析
易錯點1　不能正確應用不等式性質
【突破點】　在使用不等式的基本性質進行推理論證時一定要注意前提條件，如不等式兩端同時乘以或同時除以一個數、式，兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件．
易錯點2　忽視基本不等式應用的條件
【突破點】　(1)利用基本不等式a＋b≥2以及變式ab≤()2等求函數的最值時，務必注意a，b為正數(或a，b非負)，特別要注意等號成立的條件．
(2)對形如y＝ax＋(a，b>0)的函數，在應用基本不等式求函數最值時，一定要注意ax，同號．
易錯點3　解含參數的不等式時分類討論不當
【突破點】　解形如ax2＋bx＋c>0的不等式時，首先要考慮對x2的系數進行分類討論．當a＝0時是一次不等式，解的時候還要對b，c進一步分類討論；當a≠0且Δ>0時，不等式可化為a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．
易錯點4　不等式恒成立問題處理不當
【突破點】　應注意恒成立與存在性問題的區別，如對任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，則為恒成立問題，可化為f(x)max≤g(x)min，但對存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，則為存在性問題，可化為f(x)min≤g(x)max，應特別注意兩函數中的最大值與最小值的關系．
易錯快攻
易錯快攻一　忽視基本不等式的應用條件
1函數y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)過定點A，若點A在直線mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，則的最小值為(　　)
A．3B.2
C．D．
易錯快攻二　解含參數的不等式時分類不當致誤
2已知函數f(x)＝ax2－x＋a.
(1)若 x>0，f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍；
(2)已知實數a∈R，解關于x的不等式f(x)≥0.
二　不等式
[典例1]　解析：易知函數y＝ax＋1－3過定點A(－1，－2)．
因為點A在直線mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，所以－m－2n＝－2，即＋n＝1，
所以＝＝＋2＝，當且僅當＝即m＝n時取等號．故選C.
答案：C
[典例2]　(1)解析：若 x>0，ax2－x＋a≥0即a≥恒成立，
則只需滿足a≥，x>0.
令h(x)＝(x>0)，則h(x)＝＝，當且僅當x＝1時等號成立，
故實數a的取值范圍是.
(2)解析：不等式f(x)≥0即ax2－x＋a≥0，
①當a＝0時，f(x)≥0即－x≥0，此時f(x)≥0的解集為(－∞，0].
②當a≠0時，函數f(x)＝ax2－x＋a的圖象的對稱軸為直線x＝，令ax2－x＋a＝0，則Δ＝，
(ⅰ)當a<－時，Δ<0，此時f(x)≥0的解集為 ；
(ⅱ)當a＝－時，Δ＝0，此時f(x)≥0的解集為，即{－1}；
(ⅲ)當－0，函數f(x)的零點為x0＝，此時f(x)≥0的解集為[]；
(ⅳ)當00，函數f(x)的零點為x0＝，此時f(x)≥0的解集為(－∞，；
(ⅴ)當a≥時，Δ≤0，此時f(x)≥0的解集為R.
綜上，當a<－時，f(x)≥0的解集為 ；當a＝－時，f(x)≥0的解集為{－1}；當－必記結論
1.統計中四個數字特征
(1)眾數：在樣本數據中，出現次數最多的那個數據；
(2)中位數：在樣本數據中，將數據按大小排列，位于最中間的數據．如果數據的個數為偶數，就取中間兩個數據的平均數作為中位數；
(3)平均數：樣本數據的算術平均數，
即＝(x1＋x2＋…＋xn)；
(4)方差與標準差
方差：
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
標準差：
s＝.
2．排列數、組合數公式及其相關性質
(1)排列數公式
＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝＝n！＝n(n－1)(n－2)·…·2·1(n∈N*)．
(2)組合數公式
＝＝(m≤n，n，m∈N*).
3．二項式定理
(a＋b)n＝bn(n∈N*).這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中各項的系數(k＝0，1，2，…，n)叫做二項式系數．式中的an－kbk叫做二項展開式的通項，用Tk＋1表示，即通項為展開式的第k＋1項：Tk＋1＝an－kbk(其中)．
4．概率的計算公式
(1)古典概型的概率公式
P(A)＝；
(2)互斥事件的概率計算公式
P(A＝P(A)＋P(B)；
(3)對立事件的概率計算公式
P()＝1－P(A)；
(4)相互獨立事件的概率：
P(AB)＝P(A)P(B)；
(5)條件概率：P(B|A)＝＝；
5．二項分布：
Pn(k)＝pk(1－p)n－k；E(X)＝np；D(X)＝np(1－p).
6．超幾何分布：
P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
E(X)＝.
7．正態分布
(1)正態分布的定義及表示
若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)＝，x∈R，則稱隨機變量X服從正態分布，記為X～N(μ，σ2)．
正態總體在三個特殊區間內取值的概率值．
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
(2)正態曲線的特點
①曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱．
②曲線在x＝μ處達到峰值.
③當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．
④曲線與x軸之間的面積為1.
⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移．
⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
易錯剖析
易錯點1　對統計圖表中的概念理解不清，識圖不準確
【突破點】　求解統計圖表問題，重要的是認真觀察圖表，發現有用信息和數據．對于頻率分布直方圖，應注意圖中的每一個小矩形的面積是落在該區間上的頻率，所有小矩形的面積和為1，當小矩形等高時，說明頻率相等，計算時不要漏掉其中一個．
易錯點2　對等可能事件認識不清致誤
【突破點】　解與等可能事件相關的題目時，由于對等可能性事件的基本事件構成理解不清，往往計算基本事件或多或少或所劃分事件根本不等可能性，從而導致失誤．
易錯點3　對抽樣概念把握不準
【突破點】　解決隨機抽樣問題時，造成失分原因是分層中不明確有幾層，計算比例時找不準比例關系．在學習時應熟練掌握各種抽樣方法的步驟，注意系統抽樣中各段入樣的個體編號成等差數列，公差即每段的個體數．
易錯快攻
易錯快攻　用頻率分布直方圖解題時誤把縱軸當作頻率
[2022·新高考Ⅱ卷]在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：
(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)；
(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間[20，70)的概率；
(3)已知該地區這種疾病的患病率為0.1%，該地區年齡位于區間[40，50)的人口占該地區總人口的16%.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間[40，50)，求此人患這種疾病的概率．(以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001)．
八　概率與統計
[典例]　(1)解析：平均年齡＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(歲)．
(2)解析：設A＝{一人患這種疾病的年齡在區間[20，70)}，所以
P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.
(3)解析：設B＝{任選一人年齡位于區間[40，50)}，C＝{任選一人患這種疾病}，
則由條件概率公式可得
P(C|B)＝＝＝＝0.0014375≈0.0014.

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