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專題9.3 用樣本估計總體（重難點題型精講）
1．頻率分布直方圖
(1)頻率分布表與頻率分布直方圖的意義
為了探索一組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，一般先要用表格對數(shù)據(jù)進行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來.在初
中，我們曾用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個小組的個數(shù).
有時，我們更關(guān)心各個小組的數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例的大小，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖來整理和表示數(shù)據(jù).
(2)頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟
與畫頻數(shù)分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.
第一步，求極差
極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.
第二步，決定組距與組數(shù)
第三步，將數(shù)據(jù)分組
通常對組內(nèi)數(shù)據(jù)取左閉右開區(qū)間，最后一組數(shù)據(jù)取閉區(qū)間.
第四步，列頻率分布表
計算各小組的頻率，作出頻率分布表.
第五步，畫頻率分布直方圖
畫圖時，以橫軸表示分組，縱軸（小長方形的高度）表示.
2．其他幾類常用統(tǒng)計圖——條形圖、折線圖、扇形圖
條形圖 折線圖 扇形圖
特 點 一般地，條形圖中，一條軸上顯示的是所關(guān)注的數(shù)據(jù)類型，另一條軸上對應(yīng)的是數(shù)量、個數(shù)或者比例，條形圖中每一長方形都是等寬的. 用一個單位長度表示一定的數(shù)量，用折線的起伏表示數(shù)量的增減變化. 用整個圓表示總體，扇形圖中，每一個扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數(shù)據(jù)大小成正比.
作用及選用情景 能清楚地表示每個項目的具體數(shù)量，便于相互比較大小. 能清楚地看出數(shù)量增減變化的情況及各部分數(shù)量的多少.常用來表示隨時間變化的數(shù)據(jù)，當然，也可以用在其他合適的情形中. 可以形象地表示出各部分數(shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的比例情況.
圖例
3．總體百分位數(shù)的估計
(1)概念
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個
值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
(2)求解步驟
可以通過下面的步驟計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計算i=n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p
百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).
4．總體集中趨勢的估計
在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度
刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.具體概念回顧如下：
名稱 概念
平 均 數(shù) 如果有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用表示，即=（x1+x2+…+xn）.
中 位 數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個數(shù)據(jù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時）或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時）稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
眾 數(shù) 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)）稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
5．總體離散程度的估計
(1)方差和標準差
假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則我們稱為這組數(shù)據(jù)的
方差.有時為了計算方差的方便，我們還把方差寫成的形式.
我們對方差開平方，取它的算數(shù)平方根，稱為這組數(shù)據(jù)的標準差.
(2)總體（樣本）方差和總體標準差
①一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為，，，，總體平均數(shù)為，則總體方差=
.
②加權(quán)式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(kN)個，不妨記為，，，，其中出
現(xiàn)的頻數(shù)為(i=1，2，，k)，則總體方差為=.
總體標準差：S=.
(3)標準差與方差的統(tǒng)計意義
①標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
②在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差.
③標準差(方差)的取值范圍為[0,+).若樣本數(shù)據(jù)都相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性，則
標準差為0.反之，標準差為0的樣本，其中的數(shù)據(jù)都相等.
6．頻率分布直方圖中的統(tǒng)計參數(shù)
(1)頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”
根據(jù)眾數(shù)的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(些)點的橫坐標為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一般用
中點近似代替.
(2)頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”
根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).
因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計中位數(shù)的值.
(3)頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”
平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.因為平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分
布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
【題型1 頻率分布直方圖的相關(guān)計算問題】
【方法點撥】
由頻率分布直方圖進行相關(guān)計算時，需掌握下列關(guān)系式：
(1)小長方形的面積=組距×=頻率；
(2)各小長方形的面積之和等于1；
(3)=頻率，此關(guān)系式的變形為=樣本容量，樣本容量×頻率=頻數(shù).
【例1】（2023春·天津濱海新·高三開學(xué)考試）隨著若卡塔爾世界杯的舉辦，全民對足球的熱愛程度有所提高，組委會在某場比賽結(jié)束后，隨機抽取了若干名球迷對足球“喜愛度”進行調(diào)查評分，把喜愛程度較高的按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有32人，第三組中女性球迷有4人，則第三組中男性球迷人數(shù)為（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
【解題思路】由已知可求出第一組與第二組的頻率之和，進而得到樣本容量.然后根據(jù)第三小組的頻率，即可求出第三小組的人數(shù)，得出答案.
【解答過程】由題意結(jié)合頻率分布直方圖可得，第一組與第二組的頻率之和為，第三組頻率為.
因為第一組與第二組共有32人，所以樣本容量，
所以，第三組人數(shù)為，所以第三組中男性球迷人數(shù)為.
故選：C.
【變式1-1】（2023春·天津和平·高三開學(xué)考試）某單位組織全體員工登錄某網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)平臺進行學(xué)習(xí)并統(tǒng)計積分，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知學(xué)習(xí)積分在（單位：萬分）的人數(shù)是60人，并且學(xué)習(xí)積分超過2萬分的員工可獲得“學(xué)習(xí)達人”稱號，則該單位可以獲得該稱號的員工人數(shù)為（ ）
A．15 B．16 C．30 D．32
【解題思路】根據(jù)學(xué)習(xí)積分在的頻率及人數(shù)，故可得全體員工的人數(shù)，再根據(jù)在的頻率即可求解.
【解答過程】學(xué)習(xí)積分在的頻率為，學(xué)習(xí)積分在的頻率為，
因為學(xué)習(xí)積分在（單位：萬分）的人數(shù)是60人，
所以全體員工的人數(shù)為人，
所以該單位可以獲得該稱號的員工人數(shù)為人.
故選:A.
【變式1-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖是一學(xué)校期末考試中某班物理成績的頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)的分組依次為、、、、、，若成績不低于70分的人數(shù)比成績低于70分的人數(shù)多4人，則該班的學(xué)生人數(shù)為（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【解題思路】根據(jù)頻率分布直方圖求出的值，即得解.
【解答過程】解：由題得
由題得低于70分的頻率為，
所以不低于70分的頻率為，
設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為，則，
所以.
故選：B.
【變式1-3】（2023春·天津·高三期末）為倡導(dǎo)“節(jié)能減排，低碳生活”的理念，某社區(qū)對家庭的人均月用電量情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某社區(qū)100個家庭的人均月用電量（單位：千瓦時），將數(shù)據(jù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.若該社區(qū)有3000個家庭，估計全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時的家庭數(shù)為（ ）
A．300 B．450 C．480 D．600
【解題思路】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，求出人均月用電量低于80千瓦時的頻率即可計算作答.
【解答過程】由頻率分布直方圖知，人均月用電量低于80千瓦時的頻率為，
而該社區(qū)有3000個家庭，所以全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時的家庭數(shù)約為.
故選：D.
【題型2 統(tǒng)計圖的綜合應(yīng)用問題】
【方法點撥】
條形圖可以直觀地表示各個項目的具體數(shù)量，扇形圖能夠清晰地顯示各個項目占總體的百分比，折線圖可
以清楚地看到數(shù)據(jù)變動趨勢，解決統(tǒng)計類問題時常需將若干種統(tǒng)計圖結(jié)合，不能孤立分開.
【例2】（2023春·四川成都·高三開學(xué)考試）某保險公司為客戶定制了A，B，C，D，E共5個險種，并對5個險種參保客戶進行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計圖：
用該樣本估計總體，以下四個說法錯誤的是（ ）．
A．57周歲以上參保人數(shù)最少
B．18～30周歲人群參保總費用最少
C．C險種更受參保人青睞
D．31周歲以上的人群約占參保人群80％
【解題思路】根據(jù)扇形圖、散點圖、頻率圖對選項進行分析，從而確定正確答案.
【解答過程】A選項，57周歲以上參保人數(shù)所占比例是，是最少的，A選項正確.
B選項，“18～30周歲人群參保平均費用”比“57周歲以上人群參保平均費用”的一半還多，
而18～30周歲人群參保人數(shù)所占比例是57周歲以上參保人數(shù)所占比例的兩倍，
所以57周歲以上參保人群參保總費用最少，B選項錯誤.
C選項，C險種參保比例，是最多的，所以C選項正確.
D選項，31周歲以上的人群約占參保人群，D選項正確.
故選：B.
【變式2-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）世界人口變化情況的三幅統(tǒng)計圖如圖所示．
下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加
B．2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多
C．1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢
D．2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平
【解題思路】結(jié)合圖像逐一辨析即可.
【解答過程】由折線圖可以看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加，故A正確：
由扇形統(tǒng)計圖可知2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故B正確：
由條形統(tǒng)計圖可知2050年歐洲人口與南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正確：
三幅統(tǒng)計圖并不能得到各個洲人口增長速度的快慢，故C錯誤．
故選：C．
【變式2-2】（2022·山西運城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）2021年，我國各地落實糧食生產(chǎn)責任和耕地保護制度，加大糧食生產(chǎn)扶持力度，支持復(fù)墾撂荒地，連續(xù)兩年實現(xiàn)增長.我國2020年與2021年糧食產(chǎn)量種類分布及占比統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法不正確的是（ ）
A．我國2020年的糧食總產(chǎn)量約為13390億斤
B．我國2021年豆類產(chǎn)量比2020年減產(chǎn)明顯，下降了約14.2%
C．我國2021年的各類糧食產(chǎn)量中，增長量最大的是玉米
D．我國2021年的各類糧食產(chǎn)量中，同2020年相比，所占比例下降的只有豆類
【解題思路】對于A：只需要將即可判斷；對于B：2021年豆類產(chǎn)量比2020年減少 （億斤），下降率為 即可判斷；對于C：分別計算出各類糧食產(chǎn)量增長或減少的量即可判斷；對于D：分別計算出各類糧食產(chǎn)量增長或減少的量即可判斷
【解答過程】由題得我國2020年的糧食總產(chǎn)量為（億斤）.A正確；
我國2021年豆類產(chǎn)量比2020年豆類產(chǎn)量下降了，B正確；
我國2021年類糧食產(chǎn)量中，只有豆類產(chǎn)量下降，而稻谷增長了（億斤），小麥增長了（億斤），玉米增長了（億斤），薯類增長了（億斤），其他增長了（億斤），由此可得增長量最大的是玉米.C正確；
小麥，玉米，其他所長比例均是上升，薯類所占比例不變，豆類，稻谷所占比例均下降，所以D錯誤，
故選：D.
【變式2-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某保險公司推出了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險.現(xiàn)對5個險種參保客戶進行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計圖：
用樣本估計總體，以下四個選項錯誤的是（ ）
A．30~41周歲參保人數(shù)最多
B．隨著年齡的增長，人均參保費用越來越多
C．54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的8%
D．定期壽險最受參保人青睞
【解題思路】根據(jù)所給的統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖逐個選項分析即可
【解答過程】由扇形圖可知，31~41周歲的參保人數(shù)最多，故選項A正確；
由折線圖可知，隨著年齡的增長人均參保費用越來越多，故選項B正確；
由扇形圖可知，54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的92%，故選項C錯誤；
由柱狀圖可知，丁險種參保比例最高，故選項D正確.
故選：C.
【題型3 百分位數(shù)的求解】
【方法點撥】
根據(jù)計算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟，結(jié)合具體問題，進行求解即可.
【例3】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）某工廠隨機抽取名工人,對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進行統(tǒng)計,數(shù)據(jù)如下表,則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（ ）
件數(shù) 7 8 9 10 11
人數(shù) 3 7 5 4 1
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)百分位數(shù)的求法求解即可.
【解答過程】抽取的工人總數(shù)為,,
那么第百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排序的第項與第項數(shù)據(jù)的平均數(shù),
第項與第項數(shù)據(jù)分別為,
所以第百分位數(shù)是,
故選:C.
【變式3-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某校從高一新生中隨機抽取了一個容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是170，則x=（ ）
A．169 B．170 C．171 D．172
【解題思路】根據(jù)百分位數(shù)的定義求第60百分位數(shù)，由條件列方程可得.
【解答過程】因為樣本容量為10，且樣本數(shù)據(jù)從小到大排序如下：
158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，
又，
所以第60百分位數(shù)為，由已知，
所以，
故選：C.
【變式3-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）一組數(shù)據(jù)如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，則該組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是（ ）
A．12 B．12.5 C．13 D．13.5
【解題思路】根據(jù)百分位數(shù)的定義，直接計算可得答案.
【解答過程】根據(jù)題意得，該組數(shù)據(jù)有11個數(shù)，且已經(jīng)從小到大排列，則該組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是，所以取第4個數(shù)13，
故選：C.
【變式3-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）《中國居民膳食指南（2022）》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達19.0%．為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，測量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)是（ ）
A．55 B．57.25 C．58.75 D．60
【解題思路】確定第75百分位數(shù)在內(nèi)，直接根據(jù)百分位數(shù)的概念計算得到答案.
【解答過程】因為，
所以該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)在內(nèi)，
設(shè)第75百分位數(shù)為m，則，解得．
故選：C.
【題型4 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用】
【方法點撥】
中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”、“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根
據(jù)實際需要選擇使用.
【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某企業(yè)有1000名職工，現(xiàn)按照總體的10%抽取樣本，通過分層抽樣得到如下年收入表：
年收入（元） 50萬 15萬 8萬 4萬 3萬 1.2萬
人數(shù) 1 6 15 55 20 3
某次工資上調(diào)中，只提高了最低收入，即從年收入1.2萬元提高到2萬元，其他職工的收入不變，則下列關(guān)于本企業(yè)職工年收入的說法中正確的是 （ ）
A．平均數(shù)和眾數(shù)都提高了 B．平均數(shù)和中位數(shù)都提高了
C．平均數(shù)不變，中位數(shù)提高了 D．中位數(shù)和眾數(shù)不變，平均數(shù)提高了
【解題思路】首先說明平均數(shù)提高了，再說明中位數(shù)和眾數(shù)沒有改變.
【解答過程】解：由于提高了最低收入，即從年收入1.2萬元提高到2萬元，其他職工的收入不變，所以平均數(shù)提高了.
提高最低收入后，有1人年收入50萬，6個人年收入15萬，15個人年收入8萬，55個人年收入4萬，20個人年收入3萬，3個人年收入2萬，所以眾數(shù)還是4萬，中位數(shù)還是4萬，眾數(shù)和中位數(shù)沒有變化.
故選：D.
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某籃球運動員練習(xí)罰籃，共20組，每組50次，每組命中球數(shù)如下表：
命中球數(shù) 46 47 48 49 50
頻數(shù) 2 4 4 6 4
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（ ）
A．48，4 B．48.5，4 C．48，49 D．48.5，49
【解題思路】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求解.
【解答過程】數(shù)據(jù)總個數(shù)為20個，
因此中位數(shù)是第10個與第11個數(shù)據(jù)的中位數(shù)，即，
眾數(shù)為出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)，即數(shù)據(jù)49（出現(xiàn)6次），
故選：D.
【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）經(jīng)團委統(tǒng)計，某校申請“志愿服務(wù)之星”的10名同學(xué)在本學(xué)期的志愿服務(wù)時長（單位：小時）分別為26、25、23、24、29、25、32、25、24、23，記這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，上四分位數(shù)為，眾數(shù)為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直接算出中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)即可.
【解答過程】將10個數(shù)據(jù)由小到大排列：23，23，24，24，25，25，25，26，29，32，則平均數(shù)；
上四分位數(shù)為第75百分位數(shù)，
因為，故上四分位數(shù)為第8個數(shù)，；
25出現(xiàn)3次，最多，眾數(shù)．
所以，
故選：A.
【變式4-3】（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）某電子廠質(zhì)檢員從、兩條生產(chǎn)線上各隨機抽取件產(chǎn)品進行質(zhì)檢，測得該產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)如下：；.若該產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)，則該產(chǎn)品質(zhì)量為優(yōu)等品，則（ ）
A．樣本中生產(chǎn)線生產(chǎn)的優(yōu)等品和生產(chǎn)線生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量相同
B．樣本中生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的平均值相同
C．樣本中生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的極差相同
D．樣本中生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)相同
【解題思路】利用優(yōu)等品對產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)的要求可判斷A選項；利用平均數(shù)的定義可判斷B選項；利用極差的定義可判斷C選項；利用中位數(shù)的定義可判斷D選項.
【解答過程】對于A選項，樣本中生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中，優(yōu)等品有件，生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中，優(yōu)等品有件，A錯；
對于B選項，樣本中生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為，
生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為，B錯；
對于C選項，樣本中生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的極差為，
生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的極差為，C錯；
對于D選項，樣本中、生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)均為，D對.
故選：D.
【題型5 方差、標準差的求解及應(yīng)用】
【方法點撥】
根據(jù)方差、標準差的概念和計算公式，進行求解即可.
【例5】（2023春·山西·高三階段練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用平均數(shù)和方差公式可求得新數(shù)據(jù)的方差.
【解答過程】設(shè)甲組數(shù)據(jù)分別為、、、，乙組數(shù)據(jù)分別為、、、，
甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，可得，方差為，可得，
乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，可得，方差為，可得，
混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
方差為
.
故選：D.
【變式5-1】（2022·高一單元測試）期末考試后，高二某班50名學(xué)生物理成績的平均分為85，方差為8.2，則下列四個數(shù)中不可能是該班物理成績的是（ ）
A．60 B．78 C．85 D．100
【解題思路】利用方差的定義、計算公式進行判斷.
【解答過程】根據(jù)題意，平均數(shù)，方差，所以，若存在，則，則方差必然大于8.2，不符合題意，所以60不可能是所有成績中的一個數(shù)據(jù)．又，，.故B，C，D錯誤.
故選：A．
【變式5-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)有n個樣本，，…，，其標準差是，另有n個樣本，，…，，且，其標準差為，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)標準差的計算公式分別表示，由此判斷兩者關(guān)系.
【解答過程】設(shè)樣本，，…，的平均數(shù)為，樣本，，…，的平均數(shù)為，則
，
，
，
，
所以，故，
故選：B.
【變式5-3】（2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某校舉行校園歌手大賽，5名參賽選手的得分分別是9，8.7，9.3，x，y.已知這5名參賽選手的得分的平均數(shù)為9，方差為0.1，則（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【解題思路】先由平均數(shù)和方差分別得到和的值，再整體代入計算的值即可.
【解答過程】因為平均數(shù)為，
所以.
因為方差為
所以，
所以，
又因為，
所以，
所以，
所以.
故選：D.
【題型6 頻率分布直方圖中集中趨勢參數(shù)的計算】
【方法點撥】
(1)平均數(shù)：用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積(即該小組的頻率)的乘積之和近似代替平均數(shù).
(2)中位數(shù)：根據(jù)中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等列式求中位數(shù).
(3)眾數(shù)：可以用最高小矩形底邊中點的橫坐標來近似代替眾數(shù).
【例6】（2022秋·遼寧遼陽·高一期末）“天宮課堂”是為發(fā)揮中國空間站的綜合效益，推出的首個太空科普教育品牌．”天宮課堂”是結(jié)合載人飛行任務(wù)，貫穿中國空間站建造和在軌運營系列化推出的，將由中國航天員擔任“太空教師”，以青少年為主要對象，采取天地協(xié)同互動方式開展．2022年10月12日15時40分，“天宮課堂”第三課在中國空間站開講．學(xué)校針對這次直播課，舉辦了”天宮課堂”知識競賽，有100名學(xué)生代表參加了競賽，競賽后對這100名學(xué)生的成績（滿分100分）進行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)分為［60，70），［70，80），［80，90），［90，100]這4組，畫出如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中m的值；
(2)估計這100名學(xué)生競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）；
(3)若該校準備對本次知識競賽成績較好的40%的學(xué)生進行嘉獎，試問被嘉獎的學(xué)生的分數(shù)不低于多少？
【解題思路】（1）利用頻率組距直方圖各個小長方形的面積之和為進行計算；
（2）根據(jù)直方圖數(shù)據(jù)和平均數(shù)的計算公式進行計算求解；
（3）根據(jù)題意，從高分往低分統(tǒng)計，計算出小長方形的面積之和為時即可.
【解答過程】（1）由圖可得,解得
（2）估計這100名學(xué)生競賽成績的平均數(shù)．
（3）設(shè)被嘉獎的學(xué)生的分數(shù)不低于，
因為第四組的頻率為，第三組的頻率為，
所以，所以，得．
【變式6-1】（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末）某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，準備舉辦讀書活動，并購買一定數(shù)量的書籍豐富小區(qū)圖書站.由于不同年齡段的人看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)看書人員進行年齡調(diào)查，隨機抽取了40名讀書者進行調(diào)查，將他們的年齡（單位：歲）分成6段：,,后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求在這40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)；
(2)求這40名讀書者的年齡的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表）.
【解題思路】（1）由圖計算得年齡在的頻率為，乘以人數(shù)即可；
（2）直接利用平均數(shù)公式即可計算出平均數(shù)，設(shè)中位數(shù)為，得到關(guān)于的方程，解出即可.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖知，年齡在的頻率為
，
故這40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)為.
（2）這40名讀書者年齡的平均數(shù)為
，
設(shè)中位數(shù)為，則
，
解得，故這40名讀書者年齡的中位數(shù)為55.
【變式6-2】（2022秋·寧夏銀川·高一期末）2021年根據(jù)移動通信協(xié)會監(jiān)測，某校全體教師通訊費用（單位：元）如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
(1)估計該校教師話費的80%分位數(shù)和中位數(shù)；
(2)估計該校教師通訊費用的眾數(shù)和平均數(shù)．
【解題思路】（1）找出給定百分位數(shù)所對應(yīng)的頻率，在頻率分布直方圖中找到其對應(yīng)的橫坐標；中位數(shù)就是頻率分布直方圖面積的一半所對應(yīng)的橫坐標.
（2）眾數(shù)指頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標；平均數(shù)是頻率分布直方圖每組數(shù)值的中間值乘以頻率后相加.
【解答過程】（1）該校教師話費在80元以下的頻率為：，
該校教師話費在[80，100]的頻率為0.3，因此，該校教師話費的80%分位數(shù)在[80，100]內(nèi).
由．可以估計該校教師話費的80%分位數(shù)為.
設(shè)中位數(shù)為X：，所以X=70.
（2）該校教師通訊費用的眾數(shù)為70；
平均數(shù)為：.
【變式6-3】（2022秋·云南楚雄·高二階段練習(xí)）某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)， [260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖：
(1)求直方圖中的的值
(2)估計月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)，第80百分位數(shù)．
(3)從月平均用電量在[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]內(nèi)的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，求從月平均用電量在[220，240)內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？
【解題思路】（1）由各組數(shù)據(jù)頻率之和即所有矩形面積之和為1可得答案；
（2）由直方圖中最高矩形底邊的中點得眾數(shù)，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊直方圖面積相等、第80百分位數(shù)左邊面積占總面積的，據(jù)此可得答案；
（3）利用頻率估計月平均用電量為的居民在四組中所占比例，即可得答案.
【解答過程】（1）因直方圖中，各組數(shù)據(jù)頻率之和為所有矩形面積之和為1，
則，
得.
（2）月平均用電量的眾數(shù)是＝230.
因前3個矩形面積之和為.
前4個矩形面積之和為.
則中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，得，即中位數(shù)為224.
因為前4個矩形面積之和為，前5個矩形面積之和為，則第80百分位數(shù)在[240，260)內(nèi)，
設(shè)第80百分位數(shù)為，則，解得，即第80百分位數(shù)約為253.33.
（3）月平均用電量為的居民對應(yīng)的頻率為：.
又由（2）分析可知，月平均用電量為的四組居民對應(yīng)頻率之和為：.
則應(yīng)抽取居民的戶數(shù)為：.專題9.3 用樣本估計總體（重難點題型精講）
1．頻率分布直方圖
(1)頻率分布表與頻率分布直方圖的意義
為了探索一組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，一般先要用表格對數(shù)據(jù)進行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來.在初
中，我們曾用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個小組的個數(shù).
有時，我們更關(guān)心各個小組的數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例的大小，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖來整理和表示數(shù)據(jù).
(2)頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟
與畫頻數(shù)分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.
第一步，求極差
極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.
第二步，決定組距與組數(shù)
第三步，將數(shù)據(jù)分組
通常對組內(nèi)數(shù)據(jù)取左閉右開區(qū)間，最后一組數(shù)據(jù)取閉區(qū)間.
第四步，列頻率分布表
計算各小組的頻率，作出頻率分布表.
第五步，畫頻率分布直方圖
畫圖時，以橫軸表示分組，縱軸（小長方形的高度）表示.
2．其他幾類常用統(tǒng)計圖——條形圖、折線圖、扇形圖
條形圖 折線圖 扇形圖
特 點 一般地，條形圖中，一條軸上顯示的是所關(guān)注的數(shù)據(jù)類型，另一條軸上對應(yīng)的是數(shù)量、個數(shù)或者比例，條形圖中每一長方形都是等寬的. 用一個單位長度表示一定的數(shù)量，用折線的起伏表示數(shù)量的增減變化. 用整個圓表示總體，扇形圖中，每一個扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數(shù)據(jù)大小成正比.
作用及選用情景 能清楚地表示每個項目的具體數(shù)量，便于相互比較大小. 能清楚地看出數(shù)量增減變化的情況及各部分數(shù)量的多少.常用來表示隨時間變化的數(shù)據(jù)，當然，也可以用在其他合適的情形中. 可以形象地表示出各部分數(shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的比例情況.
圖例
3．總體百分位數(shù)的估計
(1)概念
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個
值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
(2)求解步驟
可以通過下面的步驟計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計算i=n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p
百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).
4．總體集中趨勢的估計
在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度
刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.具體概念回顧如下：
名稱 概念
平 均 數(shù) 如果有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用表示，即=（x1+x2+…+xn）.
中 位 數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個數(shù)據(jù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時）或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時）稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
眾 數(shù) 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)）稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
5．總體離散程度的估計
(1)方差和標準差
假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則我們稱為這組數(shù)據(jù)的
方差.有時為了計算方差的方便，我們還把方差寫成的形式.
我們對方差開平方，取它的算數(shù)平方根，稱為這組數(shù)據(jù)的標準差.
(2)總體（樣本）方差和總體標準差
①一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為，，，，總體平均數(shù)為，則總體方差=
.
②加權(quán)式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(kN)個，不妨記為，，，，其中出
現(xiàn)的頻數(shù)為(i=1，2，，k)，則總體方差為=.
總體標準差：S=.
(3)標準差與方差的統(tǒng)計意義
①標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
②在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差.
③標準差(方差)的取值范圍為[0,+).若樣本數(shù)據(jù)都相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性，則
標準差為0.反之，標準差為0的樣本，其中的數(shù)據(jù)都相等.
6．頻率分布直方圖中的統(tǒng)計參數(shù)
(1)頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”
根據(jù)眾數(shù)的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(些)點的橫坐標為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一般用
中點近似代替.
(2)頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”
根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).
因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計中位數(shù)的值.
(3)頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”
平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.因為平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分
布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
【題型1 頻率分布直方圖的相關(guān)計算問題】
【方法點撥】
由頻率分布直方圖進行相關(guān)計算時，需掌握下列關(guān)系式：
(1)小長方形的面積=組距×=頻率；
(2)各小長方形的面積之和等于1；
(3)=頻率，此關(guān)系式的變形為=樣本容量，樣本容量×頻率=頻數(shù).
【例1】（2023春·天津濱海新·高三開學(xué)考試）隨著若卡塔爾世界杯的舉辦，全民對足球的熱愛程度有所提高，組委會在某場比賽結(jié)束后，隨機抽取了若干名球迷對足球“喜愛度”進行調(diào)查評分，把喜愛程度較高的按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有32人，第三組中女性球迷有4人，則第三組中男性球迷人數(shù)為（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
【變式1-1】（2023春·天津和平·高三開學(xué)考試）某單位組織全體員工登錄某網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)平臺進行學(xué)習(xí)并統(tǒng)計積分，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知學(xué)習(xí)積分在（單位：萬分）的人數(shù)是60人，并且學(xué)習(xí)積分超過2萬分的員工可獲得“學(xué)習(xí)達人”稱號，則該單位可以獲得該稱號的員工人數(shù)為（ ）
A．15 B．16 C．30 D．32
【變式1-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖是一學(xué)校期末考試中某班物理成績的頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)的分組依次為、、、、、，若成績不低于70分的人數(shù)比成績低于70分的人數(shù)多4人，則該班的學(xué)生人數(shù)為（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【變式1-3】（2023春·天津·高三期末）為倡導(dǎo)“節(jié)能減排，低碳生活”的理念，某社區(qū)對家庭的人均月用電量情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某社區(qū)100個家庭的人均月用電量（單位：千瓦時），將數(shù)據(jù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.若該社區(qū)有3000個家庭，估計全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時的家庭數(shù)為（ ）
A．300 B．450 C．480 D．600
【題型2 統(tǒng)計圖的綜合應(yīng)用問題】
【方法點撥】
條形圖可以直觀地表示各個項目的具體數(shù)量，扇形圖能夠清晰地顯示各個項目占總體的百分比，折線圖可
以清楚地看到數(shù)據(jù)變動趨勢，解決統(tǒng)計類問題時常需將若干種統(tǒng)計圖結(jié)合，不能孤立分開.
【例2】（2023春·四川成都·高三開學(xué)考試）某保險公司為客戶定制了A，B，C，D，E共5個險種，并對5個險種參保客戶進行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計圖：
用該樣本估計總體，以下四個說法錯誤的是（ ）．
A．57周歲以上參保人數(shù)最少
B．18～30周歲人群參保總費用最少
C．C險種更受參保人青睞
D．31周歲以上的人群約占參保人群80％
【變式2-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）世界人口變化情況的三幅統(tǒng)計圖如圖所示．
下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加
B．2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多
C．1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢
D．2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平
【變式2-2】（2022·山西運城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）2021年，我國各地落實糧食生產(chǎn)責任和耕地保護制度，加大糧食生產(chǎn)扶持力度，支持復(fù)墾撂荒地，連續(xù)兩年實現(xiàn)增長.我國2020年與2021年糧食產(chǎn)量種類分布及占比統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法不正確的是（ ）
A．我國2020年的糧食總產(chǎn)量約為13390億斤
B．我國2021年豆類產(chǎn)量比2020年減產(chǎn)明顯，下降了約14.2%
C．我國2021年的各類糧食產(chǎn)量中，增長量最大的是玉米
D．我國2021年的各類糧食產(chǎn)量中，同2020年相比，所占比例下降的只有豆類
【變式2-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某保險公司推出了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險.現(xiàn)對5個險種參保客戶進行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計圖：
用樣本估計總體，以下四個選項錯誤的是（ ）
A．30~41周歲參保人數(shù)最多
B．隨著年齡的增長，人均參保費用越來越多
C．54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的8%
D．定期壽險最受參保人青睞
【題型3 百分位數(shù)的求解】
【方法點撥】
根據(jù)計算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟，結(jié)合具體問題，進行求解即可.
【例3】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）某工廠隨機抽取名工人,對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進行統(tǒng)計,數(shù)據(jù)如下表,則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（ ）
件數(shù) 7 8 9 10 11
人數(shù) 3 7 5 4 1
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某校從高一新生中隨機抽取了一個容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是170，則x=（ ）
A．169 B．170 C．171 D．172
【變式3-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）一組數(shù)據(jù)如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，則該組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是（ ）
A．12 B．12.5 C．13 D．13.5
【變式3-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）《中國居民膳食指南（2022）》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達19.0%．為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，測量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)是（ ）
A．55 B．57.25 C．58.75 D．60
【題型4 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用】
【方法點撥】
中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”、“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根
據(jù)實際需要選擇使用.
【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某企業(yè)有1000名職工，現(xiàn)按照總體的10%抽取樣本，通過分層抽樣得到如下年收入表：
年收入（元） 50萬 15萬 8萬 4萬 3萬 1.2萬
人數(shù) 1 6 15 55 20 3
某次工資上調(diào)中，只提高了最低收入，即從年收入1.2萬元提高到2萬元，其他職工的收入不變，則下列關(guān)于本企業(yè)職工年收入的說法中正確的是 （ ）
A．平均數(shù)和眾數(shù)都提高了 B．平均數(shù)和中位數(shù)都提高了
C．平均數(shù)不變，中位數(shù)提高了 D．中位數(shù)和眾數(shù)不變，平均數(shù)提高了
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某籃球運動員練習(xí)罰籃，共20組，每組50次，每組命中球數(shù)如下表：
命中球數(shù) 46 47 48 49 50
頻數(shù) 2 4 4 6 4
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（ ）
A．48，4 B．48.5，4 C．48，49 D．48.5，49
【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）經(jīng)團委統(tǒng)計，某校申請“志愿服務(wù)之星”的10名同學(xué)在本學(xué)期的志愿服務(wù)時長（單位：小時）分別為26、25、23、24、29、25、32、25、24、23，記這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，上四分位數(shù)為，眾數(shù)為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）某電子廠質(zhì)檢員從、兩條生產(chǎn)線上各隨機抽取件產(chǎn)品進行質(zhì)檢，測得該產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)如下：；.若該產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)，則該產(chǎn)品質(zhì)量為優(yōu)等品，則（ ）
A．樣本中生產(chǎn)線生產(chǎn)的優(yōu)等品和生產(chǎn)線生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量相同
B．樣本中生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的平均值相同
C．樣本中生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的極差相同
D．樣本中生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)相同
【題型5 方差、標準差的求解及應(yīng)用】
【方法點撥】
根據(jù)方差、標準差的概念和計算公式，進行求解即可.
【例5】（2023春·山西·高三階段練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2022·高一單元測試）期末考試后，高二某班50名學(xué)生物理成績的平均分為85，方差為8.2，則下列四個數(shù)中不可能是該班物理成績的是（ ）
A．60 B．78 C．85 D．100
【變式5-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)有n個樣本，，…，，其標準差是，另有n個樣本，，…，，且，其標準差為，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某校舉行校園歌手大賽，5名參賽選手的得分分別是9，8.7，9.3，x，y.已知這5名參賽選手的得分的平均數(shù)為9，方差為0.1，則（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【題型6 頻率分布直方圖中集中趨勢參數(shù)的計算】
【方法點撥】
(1)平均數(shù)：用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積(即該小組的頻率)的乘積之和近似代替平均數(shù).
(2)中位數(shù)：根據(jù)中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等列式求中位數(shù).
(3)眾數(shù)：可以用最高小矩形底邊中點的橫坐標來近似代替眾數(shù).
【例6】（2022秋·遼寧遼陽·高一期末）“天宮課堂”是為發(fā)揮中國空間站的綜合效益，推出的首個太空科普教育品牌．”天宮課堂”是結(jié)合載人飛行任務(wù)，貫穿中國空間站建造和在軌運營系列化推出的，將由中國航天員擔任“太空教師”，以青少年為主要對象，采取天地協(xié)同互動方式開展．2022年10月12日15時40分，“天宮課堂”第三課在中國空間站開講．學(xué)校針對這次直播課，舉辦了”天宮課堂”知識競賽，有100名學(xué)生代表參加了競賽，競賽后對這100名學(xué)生的成績（滿分100分）進行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)分為［60，70），［70，80），［80，90），［90，100]這4組，畫出如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中m的值；
(2)估計這100名學(xué)生競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）；
(3)若該校準備對本次知識競賽成績較好的40%的學(xué)生進行嘉獎，試問被嘉獎的學(xué)生的分數(shù)不低于多少？
【變式6-1】（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末）某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，準備舉辦讀書活動，并購買一定數(shù)量的書籍豐富小區(qū)圖書站.由于不同年齡段的人看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)看書人員進行年齡調(diào)查，隨機抽取了40名讀書者進行調(diào)查，將他們的年齡（單位：歲）分成6段：,,后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求在這40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)；
(2)求這40名讀書者的年齡的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表）.
【變式6-2】（2022秋·寧夏銀川·高一期末）2021年根據(jù)移動通信協(xié)會監(jiān)測，某校全體教師通訊費用（單位：元）如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
(1)估計該校教師話費的80%分位數(shù)和中位數(shù)；
(2)估計該校教師通訊費用的眾數(shù)和平均數(shù)．
【變式6-3】（2022秋·云南楚雄·高二階段練習(xí)）某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)， [260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖：
(1)求直方圖中的的值
(2)估計月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)，第80百分位數(shù)．
(3)從月平均用電量在[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]內(nèi)的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，求從月平均用電量在[220，240)內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？

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