資源簡介

1.1.2 空間向量的數量積運算【第二練】
1.1.2 空間向量的數量積運算【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.運用向量數量積的定義求數量積，培養數學運算和直觀想象素養，如第1題、第3題、第4題；
2.運用數量積的幾何意義求投影向量，發展直觀想象和數學運算素養，如第6題、如第10題：
3.運用空間向量數量積的運算律及運算性質，鍛煉邏輯推理和數學運算能力，如第1題、如第12題：
4.運用空間向向量數量積的性質解決距離、夾角、垂直問題，提升邏輯推理和數學運算素養，如第2題、第5題、第7題、第8題、第11題.
（2023·江西九江高二期中）
1．設、為空間中的任意兩個非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.
其中正確的個數為（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建莆田五中高二期中）
2．空間四邊形中，，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·海南師大附中高二月考）
3．設正四面體的棱長為，，分別是，的中點，則的值為（ ）

A． B．
C． D．
（2023·四川綿陽高二期末）
4．空間四邊形ABCD的各邊和對角線均相等，E是BC的中點，那么（ ）
A． B．
C． D．與的大小不能比較
（2023·山東棗莊八中高二期末）
5．在平行六面體中，其中，，，則（ ）
A．100 B． C．56 D．10
（2023·河北保定高二期末）
6．如圖，，分別是圓臺上、下底面的兩條直徑，且，，是弧靠近點的三等分點，則在上的投影向量是（ ）.

A． B． C． D．
（2023·山東泰安一中高二期末）
7．（多選）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，平面，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數量積為零的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
（2023·遼寧省大連育明高級中學期中）
8．如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（ ）

A． B．向量與的夾角是60°
C．AC1⊥DB D．BD1與AC所成角的余弦值為
（2023·湖南岳陽高二期末）
9．如圖，P為△ABC所在平面外一點，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G為△ABC的重心，則|PG|長為 ，異面直線PA與BC所成角的余弦值為 ．
（2023·廣東佛山高二期末）
10．已知向量在向量上的投影向量的模為，向量在向量上的投影向量的模為，且，則 ．
（2023·河南南陽高二期末）
11．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中點，O是底面ABCD的中心．求證：平面PAC.
（2023·山西師大附中高二期末）
12．如圖，三棱錐各棱的棱長都是1，點D是棱AB的中點，點E在棱OC上，且，記，，．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求的最小值．
【易錯題目】第8題、第9題
【復盤要點】
兩異面直線所成角的范圍是θ∈，兩向量的夾角α的范圍是，所以要注意二者的區別與聯系，應有．
典例
在四面體OABC中，各棱長都相等，E、F分別為AB、OC的中點，則異面直線OE與BF所夾角的余弦值為 ．
【錯解】取＝，＝，＝，且，則．
又因為＝ ，＝，，．
所以.
所以，所以異面直線OE與BF所成角的余弦值為．
【正解】取＝，＝，＝，且，則．
又因為＝ ，＝，，．
所以.
所以．
因為異面直線夾角范圍，
所以異面直線OE與BF所成角的余弦值為．
【點睛】錯解的原因是對兩向量的夾角理解不透徹，事實上，兩向量夾角的取值范圍是，異面直線所成的角的范圍是，異面直線l1、l2所成的角為θ，方向向量為
，當時，，即；
當時，，即．
【復盤訓練】
（2023·安徽銅陵高二期末）
13．在正四面體中，、分別為棱、中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·江蘇張家港高二期中）
14．（多選）在正方體中，若M是線段上的動點，則下列結論正確的有（ ）
A．異面直線所成的角為 B．異面直線所成的角可為
C．異面直線所成的角為 D．異面直線所成的角可為
（2023·福建三明一中高二期末）
15．平行六面體的各棱長均相等，，直線平面，則異面直線與所成角的余弦值為 .
（2023·廣東佛山高二月考）
16．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱的長度為2，且．
(1)求的長；
(2)直線與所成角的余弦值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】利用空間向量數量積的定義可判斷①、②、③；利用空間向量數量積的運算律可判斷④.
【詳解】對于①，，①正確；
對于②，向量不能作比值，即錯誤，②錯誤；
對于③，設、的夾角為，則，③錯誤；
對于④，由空間向量數量積的運算性質可得，④正確.
故選：B.
【點睛】本題考查利用空間向量數量積的定義與運算性質判斷等式的正誤，屬于基礎題.
2．D
【分析】利用，以及的數量積的定義化簡的值，
【詳解】解：，
所以
所以，
故選：D．
3．A
【分析】根據向量的線性運算以及數量積的定義即可求解.
【詳解】依題意，由
，，
故,
所以
．
故選:A．
4．C
【分析】利用空間向量加減運算的幾何表示及數量積運算進行求解判斷.
【詳解】
因為，
，
所以．
故選：C．
5．D
【分析】由題意可得，結合已知條件及模長公式即可求解.
【詳解】
，
所以
，
所以，
故選：D．
6．C
【分析】作出在上的投影向量，從而求得正確答案.
【詳解】如圖，取在下底面的投影C，作，垂足為D.
連接，，，則，在上的投影向量是.
設上底面的半徑為r，則，.
故在上的投影向量是.
故選：C

7．ABD
【分析】逐項判斷各選項中向量對應的直線是否垂直即可解答.
【詳解】對于A，由于平面，平面，則，
又，平面，則有平面，
而平面，則有，即向量 一定垂直，則向量 的數量積一定為0，故A正確；
對于B，由于平面，平面，則，
又，平面，則有平面，
而平面，則有，即向量 一定垂直，則向量 的數量積一定為0，故B正確；
因為，所以直線與所成的角為，顯然，
則與的數量積不為0，故C錯誤.
對于D，由于平面，平面，則，即向量 一定垂直，則向量 的數量積一定為0，故D正確；
故選：ABD.
8．AC
【分析】選擇{、、}作為一組基底，分別表示各選項中的向量，運用向量的模、向量夾角、數量積、異面直線所成角公式計算即可判斷.
【詳解】對于A選項，由題意可知，
則
，
∴，所以選項A正確；
對于B選項，，
所以，
，
則，
∴向量與的夾角是，所以選項B不正確；
對于C選項，，
又因為，
所以
，
∴，所以選項C正確；
對于D選項，設與所成角的平面角為，
因為，，
所以
，
，
，
∴，所以選項D不正確.
故選：AC.
9．
【分析】根據題意做出線段的中點，連接、，利用即可得解；利用即可得解.
【詳解】由題意得，是正三角形，連接點和線段的中點，連接，如圖：
得，則，
又 為的重心，，
；
,
，∴. 異面直線PA與BC所成角的余弦值為，
故答案為：，.
【點睛】本題考查了構造圖形求線段的長以及空間向量的應用，屬于中檔題.
10．或
【分析】根據向量投影的定義求出、的值，利用平面向量數量積的運算性質可求得結果.
【詳解】設向量與向量的夾角為，由題意可得，可得.
當時，則，所以，；
當時，則，所以，.
故答案為：或.
【點睛】方法點睛：求向量模的常見思路與方法：
（1）求模問題一般轉化為求模的平方，與向量數量積聯系，并靈活應用，勿忘記開方；
（2）或，此性質可用來求向量的模，可實現實數運算與向量運算的相互轉化；
（3）一些常見的等式應熟記：如，等.
11．見解析
【分析】以點D為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量垂直與數量積得關系即可證明，，進而得到平面．
【詳解】證明：如圖所示，以點D為坐標原點建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為2．
則，0，，，0，，，2，，，1，，，2，．
，，．
，，
，，
所以，，
又，平面，平面，
平面．
12．(1)；(2).
【分析】(1)根據題意，連接，，利用空間向量的線性運算即可求解；(2)由三棱錐的各個面是邊長為1的正三角形可得、，再利用余弦定理求出，由空間向量的運算法則可得||2＝||2，再結合空間向量的數量積公式和二次函數性質即可求解.
【詳解】(1)根據題意，連接OD，CD，點D是棱AB的中點，點E在棱OC上，如下圖：
由題意可得，，記，，，
∴()＝.
(2)根據題意，點D是棱AB的中點，三棱錐的各個面是邊長為1，
易得，，
在中，由余弦定理可得，，
，
當時，取得最小值，
則的最小值為．
13．C
【分析】設，，，設異面直線與所成角為，設，利用、、表示向量、，利用空間向量的數量積可求得的值.
【詳解】設，，，設異面直線與所成角為，設，
則
，，
由空間向量數量積的定義可得，
則，
，
，
故，
故選：C.
14．ABC
【分析】利用空間向量的數量積逐一判斷即可.
【詳解】
設正方體的棱長為1，且，
則，∴A正確；
∵，
∴，
∴異面直線所成角的余弦值為，
又有解，∴B正確；
，∴C正確；
∵，∴與所成的角等于與所成的角，
該角小于，∴D不正確．
故選：ABC．
【點睛】本題考查了空間向量的數量積的應用，利用空間向量的數量積求異面直線所成的角，考查了基本運算能力，屬于基礎題.
15．
【分析】設、、，若棱長為，由題設知△與△相似得相似比為即有，結合已知求， 應用向量加法的幾何應用得即可求，在△中，結合余弦定理求異面直線與所成角的余弦值即可.
【詳解】
設、、，若棱長為，則，
連接、，，連，則一定在上，又△與△相似，
∴，
∴，又，有，
∴，，又，
∴，則，
∴，又，
異面直線與所成角與與所成角相同，設為，則.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：根據相似三角形的相似比確定相關線段的比例，結合向量加減法的幾何應用求模長，求出、，最后應用余弦定理求異面直線夾角余弦值.
16．(1)
(2)
【分析】（1）用表示出，然后平方轉化為數量積的運算；
（2）用空間向量法求異面直線所成的角．
【詳解】（1）由題意，，
，
，
．
（2），，
，
所以，
所以直線與所成角的余弦值為．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁1.1.2 空間向量的數量積運算【第二課】
1.1.2 空間向量的數量積運算
題型一：利用空間向量數量積的計算問題
（2023·山西師大附中高二期中）
1．如圖，三棱錐的各棱長都是，點 分別是 的中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
【方法總結】空間向量的數量積運算方法
1. 已知的模及的夾角，直接代入數量積的公式計算. 如果求的是關于的多項式形式的數量積，可以先利用數量積的運算律將多項式展開，再利用及數量積公式進行計算.
2. 在幾何體中求空間向量的數量積的步驟：（1）首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；（2）利用向量的運算律將數量積展開，轉化成已知模和夾角的向量的數量積；（3）根據向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模；（4）代入公式求解.
2．如圖，在四面體中，，，，.則（ ）

A． B． C． D．
3．已知向量和的夾角為120°，且，則等于（ ）
A．12 B． C．4 D．13
題型二：利用向量數量積求夾角
4．如圖，在正方體中，求向量與的夾角的大小．
【方法總結】利用向量數量積求夾角問題的思路
（1）求兩個向量的夾角有兩種方法：①結合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍；②先求，再利用公式求，最后確定.
（2）我們也可以用這種方法求兩條異面直線所成的角，步驟如下：
①根據題設條件在所求的兩條異面直線上分別取兩個向量(即直線的方向向量)；
②異面直線所成角的問題轉化為向量夾角問題；
③利用數量積求向量夾角的余弦值或角的大小；
④異面直線所成的角為銳角或直角，將求得的向量夾角的余弦值加上絕對值，進而求出異面直線所成的角的余弦值和角的大小.
5．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，設AD=AA1=1，AB=2，P是C1D1的中點，則 ，與所成角的大小為 .
6．已知是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角是 .
7．如圖所示，在直三棱柱中，，，，求異面直線與所成角的余弦值.
題型三：利用向量數量積求距離
8．如圖，在四面體中，，，.

(1)求的值；
(2)已知是線段中點，點滿足，求線段的長.
【方法總結】 解決空間向量的共線問題的基本思路
求兩點間的距離或線段長的方法
（1）將相應線段用向量表示，通過向量運算來求對應向量的模.
（2）因為，所以，這是利用向量解決距離問題的基本公式. 另外，該公式還可以推廣為.
（3）可用(為單位向量，θ為的夾角)來求一個向量在另一個向量所在直線上的投影向量的模.
（2023·內蒙古包頭高二期末）
9．如圖，平行六面體所有棱長都為1，底面為正方形，．則對角線的長度為（ ）

A． B． C．2 D．
（2023·云南臨滄高二期末）
10．已知向量兩兩夾角為，且，則 ．
題型四 利用向量數量積證垂直
11．如圖，正方體的棱長是，和相交于點．
(1)求；
(2)判斷與是否垂直．
【方法總結】運用空間向量的數量積證垂直
用向量法證明線面垂直，離不開線面垂直的判定定理，需將線面垂直轉化為線線垂直，然后利用向量法證明線線垂直即可，其一般步驟：
（1）把幾何問題轉化為向量問題；
（2）用已知向量表示所證向量；
（3）結合數量積公式和運算律證明數量積；
（4）將向量問題回歸到幾何問題.
12．已知向量、是平面內的兩個不相等的非零向量，非零向量在直線上，則“且”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
13．已知空間四邊形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC．
易錯點1 對向量投影定義認識模糊
例1 已知平面向量與滿足，已知方向上的單位向量為，向量在向量方向上的投影向量的模長為1.
（1）若與垂直，求的大小；
（2）若，求向量與夾角的余弦值.
錯解：(1)由題意得即，
因為與垂直，所以，化簡為，
即，則.
(2) 因，而，故，
，
，
設向量與的夾角為，
所以.
【錯因分析】投影向量的模長確定后，投影向量有兩個方向，因此必須分類討論才能得到正確的結果.
正解：(1) 若投影向量與反向，則，即，
因為與垂直，所以，化簡為，
即，則.
若投影向量與同向，則即，
因為與垂直，所以，化簡為，
即，則.
(2) 若投影向量與反向，則，，
，
，
設向量與夾角為，
所以.
若投影向量與同向，則，
，
，
設向量與的夾角為，
所以.
易錯警示 向量數量積的幾何意義是一個向量在另一個向量方向上的投影數量與另一個向量的模的乘積，注意在方向上的投影向量為，其實質為投影數量與單位向量的數乘，在考查中我們常常搞混兩者，解題是要注意誰在誰上的投影，而不能顛倒順序.
14．如圖，在棱長為1的正方體中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．

15．已知外接圓圓心為，半徑為，，且，則向量在向量上的投影向量為 .
易錯點2 對向量夾角定義理解不清
例2 【典例】在邊長為1正三角形中，則的值為 .
【錯解】=
.
【錯因分析】向量的夾角通過向量平移后發現不是，而是，這是由于對兩向量夾角的定義理解不透造成的.
【正解】=
.
易錯警示 在平面向量中，在求解兩個向量的夾角時，一定要明確兩向量夾角的定義的前提是兩向量的起點要重合.
16．在如圖所示的正方體中，下列各對向量的夾角為45°的是（ ）．
A．與
B．與
C．與
D．與
17．如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量分別與向量，，，，的夾角．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據向量的數量積運算逐個分析判斷即可
【詳解】由題意，三棱錐為正四面體，
點 分別是 的中點，，且，
對于A，；
對于B，；
對于C，；
對于D，.
等于.
故選：B.
2．C
【分析】根據圖形，轉化向量，利用向量數量積公式，即可求解.
【詳解】
故選：C
3．D
【分析】利用數量積的運算律和定義可求的值.
【詳解】,
故選：D.
4．
【分析】方法1：結合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍；
方法2：先求，再利用公式求，最后確定即可．
【詳解】解：方法1：因為，所以的大小就等于
因為△為等邊三角形，所以，所以與的夾角的大小為．
方法2．設正方體的棱長為1，
又因為，所以，
因為，所以與的夾角的大小為．
5． 1 60°##
【分析】建立空間直角坐標系，利用坐標法計算出以及與所成角的大小.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，
，
，
所以，
設與所成角為，
則，
由于，所以.
故答案為：；
6．
【分析】首先求出，再根據向量夾角公式計算可得.
【詳解】,
，
，
，
∴，
又，∴.
故答案為：.
7．
【分析】由，用向量的數量積求向量夾角的余弦值．
【詳解】因為，，
且，
所以
.
又，，
所以，
則異面直線與所成角的余弦值為.
8．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意得到，再求解即可.
（2）根據，再平方求解即可.
【詳解】（1）在四面體中，，，
.
（2）如圖所示：

因為，則，
因為F是CD中點，則，
于是.
，
所以.
9．B
【分析】利用基底法求解即可.
【詳解】由題知，
所以，
所以，即.
故選：B.
10．
【分析】利用空間向量數量積公式計算出，從而求出答案.
【詳解】
，
故.
故答案為：
11．(1)
(2)垂直
【分析】（1）根據數量積的定義直接計算即可；
（2）計算與的數量積，根據結果可得答案.
【詳解】（1）正方體中，，
故.
（2）由題意， ，
，
故與垂直.
12．B
【分析】根據充分條件，必要條件的概念，及線面垂直的判定定理及性質，以及兩非零向量垂直的充要條件即可判斷．
【詳解】解：①由，得，；
、所在直線不一定相交，所在直線為，
得不到，
即且不是的充分條件；
②若，向量、所在直線在平面內，在直線上，
，，
且，
即且是的必要條件；
綜上得且是的必要不充分條件．
故選：B．
13．證明見解析
【分析】取定基底向量，并分別記為，再用基底表示出和，然后借助數量積即可計算作答.
【詳解】在空間四邊形OABC中，令，則，
令，G是MN的中點，如圖，
則，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
14． ； .
【分析】空（1），法一：應用向量投影的定義求投影向量；法二：根據投影向量的幾何求法，結合正方體性質確定投影向量；空（2），連接AC，交BD于點O，應用線面垂直的判定證平面，再由投影向量的幾何法確定投影向量.
【詳解】空（1）法一：在正方體中，易知，，
向量與向量夾角為45°，，，
所以向量在向量上的投影向量是．
法二：設，如圖，由正方體的性質得，，，
向量在向量上的投影向量是．
空（2）如圖，連接AC，交BD于點O，易知，線面垂直性質有，
由，平面，則平面，
所以在平面上的投影向量就是，易知．

故答案為：；
15．
【分析】根據條件作圖可得為直角三角形，結合條件，并根據投影向量的概念求解即可.
【詳解】由知為中點，又為外接圓圓心，，，，
，，，
∴在向量上的投影為：，
向量在向量上的投影向量為：．
故答案為：.
16．A
【分析】根據轉化以及正方體的性質求出各組向量的夾角可得答案.
【詳解】對于A，因為，結合正方體的性質可得與的夾角為，
所以與的夾角為，故A正確；
對于B，由與方向相反，結合A可知與的夾角為，故B不正確；
對于C，因為，結合正方體的性質與垂直，
所以與的夾角為，故C不正確；
對于D，因為，而與方向相反，
所以與的夾角為，故D不正確.
故選：A
17．45°；135°；60°；120°；90°
【分析】由圖形特征求向量夾角.
【詳解】連接BD，則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以，
，
，
，
.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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