資源簡介

1.2 空間向量基本定理【第二練】
1.1.2 空間向量的數(shù)量積運算【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區(qū)的月考、期中、期末的優(yōu)質(zhì)試題．
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓(xùn)練，加強(qiáng)考點的理解和擴(kuò)展．
【目標(biāo)分析】
1．運用基底的概念判定三個向量組成的向量組能否作為基底，發(fā)展數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力，如第1題、第3題、第7題；
2．運用基底表示空間向量，鍛煉直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，如第2題、第6題、如第9題：
3．運用空間向量基本定理解決簡單立體幾何問題，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力，如第5題、如第8題、如第11題、如第12題：
（2023·河北省張家口市月考）
1．若向量，，是空間的一個基底，向量，，那么可以與，構(gòu)成空間的另一個基底的向量是
A． B． C． D．
（2023·福建莆田五中高二期中）
2．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為M，，，，則與相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江西九江高二期中）
3．在正方體中，，，分別是，，的中點，以為基底，，則，，的值是（ ）.
A． B．
C． D．
（2023·山東日照一中高二月考）
4．如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，，，，M是A1D1的中點，點N是CA1上的點，且CN∶NA1=1∶4，用 ， ， 表示向量的結(jié)果是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川南充高二期中）
5．在三棱柱中，平面ABC，，M是的中點，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽省合肥市第八中學(xué)期中）
6．《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，E為的重心，若，，，則（　　）
A． B．
C． D．
（2023·山東泰安一中高二期末）
7．給出下列命題，其中是真命題的是（ ）
A．若可以作為空間的一個基底，與共線，，則也可以作為空間的一個基底
B．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底
C．已知A，B，M，N是空間中的四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則A，B，M，N四點共面
D．已知是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底
（2023·天津北辰區(qū)高二期末）
8．在四面體中，下列說法正確的有（ ）
A．若，則
B．若Q為的重心，則
C．若，，則
D．若四面體的各棱長都為2，M，N分別為PA，BC的中點，則．
（2023·湖南岳陽高二期末）
9．如圖所示，空間四邊形中，G，H分別是，的重心，設(shè)＝，＝，＝，D為BC的中點，= (用，，表示)．

（2023·江西上饒高二期末）
10．在棱長為1的正方體中，P為正方體內(nèi)一動點(包括表面)，若，且，則點P所有可能的位置所構(gòu)成的幾何體的體積是 ．
（2023·河北邯鄲高二期末）
11．如圖，三棱柱中，M，N分別是上的點，且．設(shè)，，．
(1)試用，，表示向量；
(2)若，求MN的長．
（2023·湖南郴州高二期末）
12．如圖所示，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱底面ABCD，E為棱PC的中點，，連接DF、DE，其中Q為DE的中點，，，．
(1)請用，，，表示向量；
(2)，，求的值．
【易錯題目】第8題、第12題
【復(fù)盤要點】
13．如圖，正方體的棱長為1，分別為的中點．
(1)求證：;
(2)求與所成角的余弦值
【復(fù)盤訓(xùn)練】
（2023·安徽霍邱縣高二期末）
14．如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說法中不正確的是（ ）
A．
B．
C．向量與的夾角是
D．與AC所成角的余弦值為
（2023·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二期中）
15．如圖，在平行六面體中，，，，．則與所成角的余弦值為 ．

（2023·四川南充高二期末）
16．如圖，在三棱錐中，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC.求證：平面BCD.
（2023·山西師大附中高二期中）
17．如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為，BD的中點，點G在CD上，且．
（1）求證：；
（2）求EF與C1G所成角的余弦值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】向量，，是空間的一個基底的充要條件為，，不共面，逐一按此標(biāo)準(zhǔn)檢驗即可
【詳解】向量，，是空間的一個基底，則，，不共面，
對于選項A：，故，，共面，故A錯誤，
對于選項B：[（）﹣（）]，故，，共面，故B錯誤，
對于選項C：，，不共面，故可以構(gòu)成空間的另一個基底，故C正確，
對于選項D：由選項A得：2，故2，，共面，故D錯誤，
故選C．
【點睛】本題考查了空間向量基本定理、空間向量的基底，屬簡單題
2．A
【分析】根據(jù)空間向量線性運算的幾何表示對選項一一驗證即可.
【詳解】連接與交于點，連接，，，
，，，
對于選項A：
，故A正確；
對于選項B：
，故B錯誤；
對于選項C：
，故C錯誤；
對于選項D：
，故D錯誤；
故選：A.
3．A
【分析】根據(jù)空間向量的加法法則可得，結(jié)合已知，根據(jù)空間向量相等可得結(jié)果.
【詳解】，
對比，可得.
故選：A.
【點睛】本題考查了空間向量的加法法則，考查了空間向量相等可得結(jié)果.，屬于基礎(chǔ)題.
4．D
【分析】根據(jù)圖形，利用向量線性運算，即可求解.
【詳解】由題意可得，=-
=-(+).
∵，，
∴.
故選：D.
5．C
【分析】根據(jù)直三棱柱的幾何性質(zhì)，結(jié)合空間向量的基本定理，利用數(shù)量積的運算律，可得答案.
【詳解】如圖所示，

，
故，
在直三棱柱，易知，，
在中，由，則，
由，則，
則.
答案：C.
6．B
【分析】連接AE并延長交CD于點F，則F為CD的中點，利用向量的加減運算得答案
【詳解】連接AE并延長交CD于點F，
因為E為的重心，則F為CD的中點，且
.
故選：B．
7．ABCD
【分析】直接利用向量的基底的定義，向量的共線，共面向量的充要條件判定、、、的結(jié)果．
【詳解】對于選項：，，可以作為空間的一個基底，，，不共面，與共線，，，，不共面，故正確．
對于選項：向量，，與任何向量都共面，，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，故正確．
對于選項：，，不能構(gòu)成空間的一個基底，，，共面，，，，共面，故正確．
對于選項：，，是空間的一個基底，，，不共面，，，，不共面，，，也是空間的一個基底，故正確．
故選：．
8．ABC
【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量運算逐項計算判斷即得.
【詳解】對于A，由，得，A正確；
對于B，由Q為的重心，得，
則，
于是，即，B正確；
對于C，若，，則
，C正確；
對于D，由四面體的各棱長都為2，得，
，
則，D錯誤．
故選：ABC
9．
【分析】利用三角形重心定理推導(dǎo)得，再用向量表示即得.
【詳解】在空間四邊形中，是的重心，且D為BC的中點，則，
又是的重心，則，
因此.
故答案為：
10．
【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義和空間向量基本定理得到點P在三棱錐內(nèi)，進(jìn)而利用錐體體積公式求出答案.
【詳解】根據(jù)向量加法的幾何意義和空間向量基本定理知，
滿足的點P在三棱柱內(nèi)，
滿足的點P在三棱柱內(nèi)，
故同時滿足和的點P在這兩個三棱柱的公共部分(如圖)，

即三棱錐內(nèi)，其中，
故其體積是．
故答案為：
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用空間向量的線性運算即可求解.
（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.
【詳解】（1）解：
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
即MN的長為.
12．(1)
(2)
【分析】(1)根據(jù)圖象，結(jié)合空間向量的線性運算法則用，，表示向量；(2) 用，，表示向量，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)及定義運算即可.
【詳解】（1）因為，，，所以由題知向量，，兩兩互相垂直，
因為，所以．
因為，所以，所以
又因為為PC的中點，為DE的中點，所以，
所以．
（2）
又因為，
所以．
13．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)向量的加減法證明即可；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的定義求即可.
【詳解】（1）證明：令，
分別是的中點，
，
而，
所以有，且不過同一點，
所以，即.
（2）分別是的中點，
，
正方體的棱長為1，，
，，
，
，
，
設(shè)的夾角為，
則有 ，
即與所成角的余弦值為.
14．ACD
【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運算和數(shù)量積運算，對選項中的命題分析，判斷正誤即可．
【詳解】解：對于A，
，
所以，選項A錯誤；
對于B：
，
所以，即，選項B正確；
對于C：向量 與 的夾角是，所以向量 與的夾角也是，選項C錯誤；
對于D：，
得，
，
同理，可得
，
所以，所以選項D錯誤．
故選：ACD．
15．0
【分析】取空間向量的一個基底，并表示出與，再利用空間向量數(shù)量積求解即得.
【詳解】在平行六面體中，設(shè)，
則，，
于是
，
因此，，
所以與所成角的余弦值為0．
故答案為：0
16．證明見解析.
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合空間向量線性運算用表示向量，即可推理作答.
【詳解】證明：在三棱錐中，M是AD的中點，P是BM的中點，且點Q在線段AC上，AQ=3QC，
則
，
而，因此平行于平面，而平面，
所以平面.
17．（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，直接利用向量法證明；
（2）直接利用向量法求EF與CG所成角的余弦值
【詳解】（1）建立以D點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，
則，，
所以，即，
所以.
（2）由（1）知，，，
則，
因為EF與CG所成角的范圍為，所以其夾角余弦值為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁1.2 空間向量基本定理【第二課】
1.1.2 空間向量的數(shù)量積運算
題型一 基底的判斷
1．給出下列命題：
①若可以作為空間的一個基底，與共線，，則也可作為空間的一個基底；
②已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底；
③A，B，M，N是空間四點，如果，，不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面；
④已知是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底．其中真命題的個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．O、A、B、C為空間四點，且向量、、不能構(gòu)成空間的一個基底，則下列說法正確的是（ ）
A．、、共線 B．、共線
C．、共線 D．O、A、B、C四點共面
3．若構(gòu)成空間的一個基底，則空間的另一個基底可能是（ ）
A． B．
C． D．
題型二 運用基底表示空間向量
4．如圖，三棱錐中，M，N分別是，的中點，G為線段上一點，且，記，，，則（ ）
A． B． C． D．
5．在四面體中，點在上，且，為中點，則=（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如圖，在正方體中，和相交于點O，若，則 ．
7．在平行六面體中，為的中點，過的平面分別與棱交于點，且，則 （用表示）．
題型三 運用空間向量基本定理解決立體幾何問題
8．在棱長為2的正方體中，分別是的中點，點G在棱上，且.

(1)證明：；
(2)求與所成角的余弦值.
9．如圖，在三棱柱中，D是棱的中點，，，，則 .

10．如圖，在平行六面體中，與交于點，且，，.則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．
C． D．
11．如圖，正四面體的高的中點為，的中點為.

(1)求證：，，兩兩垂直；
(2)求.
易錯點1 基底概念不清判斷失誤
12．已知向量是空間的一個基底，從，，中選哪一個向量，一定可以與向量，構(gòu)成空間的另一個基底？
13．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（　　）
A． B．
C． D．
14．若是空間的一個基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個基底，則（ ）
A． B． C． D．
易錯點2 用基底表示空間向量運算不暢
15．如圖，四棱錐的底面為矩形，平面OABC，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點．設(shè)，，，試用，，表示，，，.

16．如圖，空間四邊形OABC中，M，N分別是邊OA，CB上的點，且，，點G是線段MN的中點，則以下向量表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
17．在四面體OABC中，E為OA中點，，若，，，，則（ ）
A． B． C．2 D．3
18．如圖，在四面體中，，，，，．

(1)求證：、、、四點共面．
(2)若，設(shè)是和的交點，是空間任意一點，用、、、表示．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)基底的定義和性質(zhì)，結(jié)合向量的性質(zhì)、共面定理及反證思想判斷各項的正誤即可.
【詳解】①可作為空間的一個基底，與共線且，
則不共面，故也可作為空間的一個基底，對；
②向量，則與任何向量都共面，故不能構(gòu)成空間的一個基底，對；
③，，不能構(gòu)成空間的一個基底，即，，必共面，故A，B，M，N共面，對；
④若共面，則，使，
即，故也共面，與題設(shè)矛盾，
所以不共面，也是空間的一個基底，對.
綜上，①②③④均為真命題．
故選：D
2．D
【解析】根據(jù)向量、、不能構(gòu)成空間的一個基底知向量共面，即可得出結(jié)論.
【詳解】因為O、A、B、C為空間四點，且向量、、不能構(gòu)成空間的一個基底，
所以、、共面，
所以O(shè)、A、B、C四點共面，
故選：D
3．AC
【分析】根據(jù)不共面的三個向量可構(gòu)成空間的一個基底，結(jié)合共面向量定理對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】不存在，使得，所以不共面，
是空間的另一個基底，A正確．
因為，所以共面，
不是空間的另一個基底，B錯誤．
不存在，使得，所以不共面，
是空間的另一個基底，C正確．
因為，所以共面，
不是空間的另一個基底，D錯誤．
故選：AC.
4．C
【分析】利用給定的空間向量的基底，結(jié)合空間向量的線性運算求解作答.
【詳解】因為M，N分別是，的中點，則，
又G為線段上一點，且，即，于是，
所以.
故選：C
5．B
【分析】由條件，結(jié)合空間向量的線性運算利用表示即可.
【詳解】如圖，因為點在上，且，所以，
因為為中點，所以，
所以
，
即.
故選：B.

6．##
【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件將用表示出來即可求出的值，從而可求得答案.
【詳解】因為在正方體中，和相交于點O，
所以
,
因為，
所以，
所以，
故答案為：
7．
【分析】由題意設(shè)分別為的中點，容易證明四邊形是平行四邊形，即平面為符合題意的平面，進(jìn)而分解向量即可求解.
【詳解】如圖所示：

由題意不妨設(shè)分別為的中點，容易證明四邊形是平行四邊形，
即平面為符合題意的平面，因此，
又因為，，，且，，
所以.
故答案為：.
8．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）設(shè)，則構(gòu)成空間的一個正交基底，分別表示出、，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求，即可證結(jié)論；
（2）由（1）基底表示出，應(yīng)用數(shù)量積的運算律求得、，再由向量夾角公式求與所成角的余弦值.
【詳解】（1）設(shè)，則構(gòu)成空間的一個正交基底.
所以，，
所以，故.
（2）由，則，；
由，則，，
∴，
即與所成角的余弦值為.
9．
【分析】應(yīng)用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義用表示出，再由數(shù)量積的運算律求的模.
【詳解】
，
所以，
所以.
故答案為：
10．AB
【分析】由向量的分解和向量數(shù)量積公式、向量的求模公式即可判斷.
【詳解】如圖，
由題意得，，
，
，
，
對于選項A，
所以，即.
故選項A正確.
對于選項B，
故選項B正確.
對于選項C，
所以即
故選項C錯誤.
對于選項D，
故選項D錯誤.
故選：AB
11．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）首先以為基底表示向量，再表示向量，再利用數(shù)量積公式證明垂直關(guān)系；
（2）首先利用基底表示向量，再代入向量夾角的余弦公式，即可求解.
【詳解】（1）設(shè)，，，正四面體的棱長為1，
因為
，
，
，
，
所以
，所以，即.
同理，，，所以，，兩兩垂直.
（2），
所以，
又，
，
所以，
又，所以.
12．
【分析】易得，再根據(jù)是否與共面判斷.
【詳解】因為，，
所以，
所以與共面，與共面，
所以與不可以構(gòu)成空間的一個基底，與不可以構(gòu)成空間的一個基底，
而與不共面，
所以與可以構(gòu)成空間的一個基底.
故答案為：.
13．ABD
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共面向量的充要條件即可求解．
【詳解】由共面向量的充要條件可得：
對于A選項， ，所以三個向量共面；
對于B選項，，所以三個向量共面；
對于C選項，假設(shè)三個向量共面，
則存在，使得，
則，即三個向量共面，
這與已知構(gòu)成空間的一個基底矛盾，故假設(shè)錯誤，
即三個向量不共面，故C不正確；
對于D選項，＝，所以三個向量共面；
故選：ABD．
14．D
【分析】由題意可知，向量、、共面，則存在實數(shù)、使得，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的方程組，即可解得的值.
【詳解】因為向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，
所以、、共面，故存在實數(shù)、使得，
即，
因為是空間的一個基底，則，解得.
故選：D.
15．答案見詳解
【分析】結(jié)合已知通過圖形尋找待求向量與，，的關(guān)系，然后利用向量運算求解即可.
【詳解】如圖，

連接BO，則，
，
，
.
16．BD
【分析】利用空間向量的基底表示向量，再結(jié)合空間向量線性運算，逐項計算判斷作答.
【詳解】空間四邊形OABC中，，，點G是線段MN的中點，
，
，D正確；
對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，，C錯誤.
故選：BD
17．B
【分析】利用空間向量線性運算的幾何表示及空間向量基本定理求出，利用對數(shù)的運算即可得出結(jié)論．
【詳解】
由題意，，
又，不共面，
則，
所以.
故選：B.
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）證明出，即可證得結(jié)論成立；
（2）由（1）可得出，可得出，則，由此可得出，再結(jié)合空間向量的線性運算可得出關(guān)于、、、的表達(dá)式.
【詳解】（1）證明：因為，
，
所以，則，因此、、、四點共面．
（2）解：當(dāng)時，，即，可得，
因為，即，可得，
由（1）知，，，因此，
又因為、不在同一條直線上，所以，，
則，則，即，
所以，
.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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