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第02講 平面向量的運算-【寒假預科講義】（人教A版2019必修第一冊）
·模塊一 平面向量的線性運算
·模塊二 向量的數量積
·模塊三 課后作業
1．向量的加法運算
（1）向量加法的定義及兩個重要法則
定義 求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．
向量加法 的三 角形 法則 前提 已知非零向量，，在平面內任取一點Ａ．
作法 作，連接ＡＣ．
結論 向量叫做與的和，記作，即．
圖形
向量加法 的平 行四 邊形 法則 前提 已知兩個不共線的向量，，在平面內任取一點Ｏ．
作法 作，以ＯＡ，ＯＢ為鄰邊作四邊形ＯＡＣＢ．
結論 以Ｏ為起點的向量就是向量與的和，即．
圖形
規定 對于零向量與任一向量，我們規定．

（2）多個向量相加
為了得到有限個向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個向量的起點為起點，最后一個向量的終點為終點的向量，就是這些向量的和，如圖所示．
2．向量加法的運算律
（1）交換律：；
（2）結合律：．
3．向量的減法運算
（1）相反向量
我們規定，與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作．零向量的相反向量仍是零向量．
（2）向量減法的定義：
向量加上的相反向量，叫做與的差，即－＝＋（－）．求兩個向量差的運算叫做向量的減法．
（3）向量減法的三角形法則
如圖，已知向量，，在平面內任取一點Ｏ，作＝，＝，則＝－＝－．即－可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．　
4．向量的數乘運算
（1）向量的數乘的定義
一般地，我們規定實數與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作，它的長度與方向規定如下：
①；
②當＞0時，的方向與的方向相同；當＜0時，的方向與的方向相反．
（2）向量的數乘的運算律
設，為實數，那么①（）＝（）；②（＋）＝＋；③　（＋）＝＋．特別地，我們有（－）＝－（）＝（－），（－）＝－．
（3）向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算．對于任意向量，，以及任意實數，，，恒有（）＝．
5．向量共線定理
（1）向量共線定理
向量（≠0）與共線的充要條件是：存在唯一一個實數，使＝．
（2）向量共線定理的應用——求參
一般地，解決向量，共線求參問題，可用兩個不共線向量（如，）表示向量，，設＝（≠0），化成關于，的方程（）＝－（），由于，不共線，則解方程組即可．
【考點1　　向量的加減運算】
（2023下·廣西欽州·高一統考期末）
1．已知四邊形是平行四邊形，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·廣西南寧·高二校考開學考試）
2．下列各式中，化簡后不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·江蘇連云港·高三統考階段練習）
3．在中，點是邊上靠近點的三等分點，點是的中點，若，則（ ）
A．1 B． C． D．-1
（2022下·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）
4．如圖所示，在中，，則（ ）

A． B．
C． D．
【考點2　　平面向量的混合運算】
（2023上·北京·高二校考階段練習）
5．設是兩兩不共線的向量，且向量，，則（ ）
A． B． C． D．
（2022·高一課時練習）
6．在中，已知是邊上一點，若，則（ ）
A．2 B．１
C．-2 D．－1
（2023·全國·高一專題練習）
7．若，則化簡等于（　　）
A． B．
C． D．以上都不對
（2023上·江蘇蘇州·高三統考開學考試）
8．在平行四邊形ABCD中，點E在線段AC上，且，點F為線段AD的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
【考點3　　向量共線定理的應用】
（2023上·內蒙古通遼·高三校考階段練習）
9．已知向量不共線，，，，則（ ）
A．A，B，C三點共線 B．A，C，D三點共線
C．A，B，D三點共線 D．B，C，D三點共線
（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考期中）
10．已知為內一點，且，若三點共線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中學校聯考期中）
11．在中，，，與交于點，且，則（ ）
A． B． C． D．1
（2023·高一課時練習）
12．設D、E、F分別是的三邊BC、CA、AB上的點，且，，，則（ ）
A．與反向平行 B．與同向平行
C．與反向平行 D．與不共線
【考點4　　向量線性運算的幾何應用】
（2023上·遼寧沈陽·高二學業考試）
13．已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設，則等于（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·河北石家莊·高一校考期中）
14．已知是的重心，若，則（ ）
A．1 B． C． D．
（2023上·北京·高三校考期中）
15．在等腰梯形ABCD中，，M為BC的中點，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·湖北恩施·高二校聯考期中）
16．已知點G是的重心，過點G作直線分別與兩邊交于兩點（點與點不重合），設，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
1．向量的數量積
（1）向量數量積的物理背景
在物理課中我們學過功的概念：如果一個物體在力的作用下產生位移，那么力所做的功Ｗ＝｜｜｜｜，其中是與的夾角．
我們知道力和位移都是矢量，而功是一個標量（數量）．這說明兩個矢量也可以進行運算，并且這個運算明顯不同于向量的數乘運算，因為數乘運算的結果是一個向量，而這個運算的結果是數量．
（2）向量的夾角
已知兩個非零向量，，如圖所示，Ｏ是平面上的任意一點，作＝，＝，則∠ＡＯＢ＝　（0≤≤π）叫做向量與的夾角，也常用表示．
（3）兩個向量數量積的定義
已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數量｜｜｜｜叫做向量與的數量積（或內積），記作，即＝｜｜｜｜．規定：零向量與任一向量的數量積為0，即0＝0．
（4）向量的投影
如圖，設，是兩個非零向量，＝，＝，我們考慮如下的變換：過的起點Ａ和終點Ｂ，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．　
2．向量數量積的性質和運算律
（1）向量數量積的性質
設，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則
①＝＝．
②＝0．
③當與同向時，＝；當與反向時，＝－．
特別地，＝＝或＝．
④｜ａ｜，當且僅當向量，共線，即∥時，等號成立．
⑤＝．　
（2）向量數量積的運算律
由向量數量積的定義，可以發現下列運算律成立：
對于向量，，和實數，有
①交換律：＝；
②數乘結合律：（）＝　（）＝（）；
③分配律：（＋）＝＋．
3．向量數量積的常用結論
（1）＝；
（2）；
（3）　；
（4）　；
（5），當且僅當與同向共線時右邊等號成立，與反向共線時左邊等號成立．
以上結論可作為公式使用．
【考點1　　向量數量積的計算】
（2023上·山西·高二統考學業考試）
17．已知等邊三角形的邊長為1，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·河北保定·高三校聯考階段練習）
18．已知單位向量滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．
（2023上·北京海淀·高二校考階段練習）
19．已知向量滿足，，且與夾角為30°，那么等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
（2023上·江蘇徐州·高三統考學業考試）
20．在平行四邊形中，是線段的中點，則（ ）
A．1 B．4 C．6 D．7
【考點2　　向量夾角（夾角的余弦值）的計算】
（2023下·寧夏吳忠·高一吳忠中學校考期末）
21．若，是夾角為的兩個單位向量，且與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·校聯考模擬預測）
22．已知非零向量與滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·模擬預測）
23．已知單位向量，的夾角為，向量，，，向量，的夾角的余弦值為，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
（2022下·江蘇蘇州·高一江蘇省沙溪高級中學校考期中）
24．已知為互相垂直的單位向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【考點3已知數量積求模】
（2023上·湖北·高二校聯考階段練習）
25．已知，，，的夾角為，則（ ）
A．1 B． C．2 D．4
（2023上·陜西榆林·高三校聯考階段練習）
26．已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．1
（2023上·江蘇泰州·高三統考期中）
27．如圖，在平面圖形ABCD中，，.若，，則（ ）

A． B．3 C．9 D．13
（2023·浙江·模擬預測）
28．已知平面向量的夾角為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【考點4　　向量數量積的最值問題】
（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習）
29．中，，，，點C是線段上的動點，點D是的中點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．2
（2023下·北京海淀·高一清華附中校考期末）
30．已知，，，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．4
（2023下·湖北恩施·高一校聯考期末）
31．如圖所示， 邊長為 1的正 ， 以 的中點 為圓心， 為直徑在點 的另一側作半圓弧 ， 點 在圓弧上運動， 則 的取值范圍（ ）

A． B． C． D．
（2023上·湖北·高二校聯考階段練習）
32．八卦文化是中華文化的精髓，襄陽市古隆中景區建有一巨型八卦圖（圖1），其輪廓分別為正八邊形和圓（圖2），其中正八邊形的中心是點，魚眼（黑白兩點）是圓半徑的中點，且關于點對稱,若，圓的半徑為，當太極圖轉動（即圓面及其內部點繞點轉動）時，的最小值為（ ）

A． B．
C． D．
（2023下·天津紅橋·高一統考期末）
33．化簡：（ ）
A． B． C． D．
（2023上·北京海淀·高二校考階段練習）
34．已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習）
35．在平面四邊形中，下列表達式化簡結果與相等的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·江蘇·高一校聯考階段練習）
36．對于任意的平面向量，，，下列說法正確的是　　
A．若且，則 B．
C．若，且，則 D．
（2024·四川自貢·統考一模）
37．如圖所示的中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·安徽·校聯考一模）
38．在三角形中，，，，則（ ）
A．10 B．12 C． D．
（2023上·青海西寧·高三統考期中）
39．已知向量，，，且，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川甘孜·統考一模）
40．已知平面向量，且與的夾角為，則（ ）
A． B．4 C．2 D．0
（2023上·福建廈門·高二校考期中）
41．已知，是平面內兩個不共線的向量，，，，且A，C，D三點共線，則（ ）
A． B．2 C．4 D．
（2023上·福建莆田·高三校考期中）
42．如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，為線段上的動點（包含端點），為的中點．將線段繞著點旋轉得到線段，則的最小值為（　 ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高一假期作業）
43．化簡
(1)；
(2)．
（2023·全國·高一隨堂練習）
44．求下列未知向.
(1)；
(2)；
(3).
（2023上·內蒙古通遼·高三校考階段練習）
45．已知，，.
(1)求；
(2)求向量與的夾角的余弦值.
（2023下·河北石家莊·高一校考期中）
46．如圖，在中，是的中點，點在上，且與交于點，設.

(1)求的值；
(2)當時，求的值.
（2022·高一課時練習）
47．用向量運算刻畫三角形的重心．
(1)已知，求一點G滿足．
(2)求證：滿足條件的點G是的重心．
（提示：說明點G同時在的三條中線上．）
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】利用平面向量加法法則可化簡.
【詳解】.
故選：D.
2．B
【分析】根據向量的加法、減法運算化簡即可得解.
【詳解】因為，故A錯誤；
因為，故B正確；
因為，故C錯誤；
因為，故D錯誤.
故選：B
3．B
【分析】根據平面向量的基本定理和線性運算即可求解.
【詳解】點是邊上靠近點的三等分點，點是的中點，如圖所示，
所以.
故選：B.
4．A
【分析】根據向量的線性運算法則，準確化簡、運算，即可求解.
【詳解】根據向量的線性運算法則，可得：
.
故選：A.
5．C
【分析】根據向量基底運算法則直接計算即可.
【詳解】因為，，
所以.
故選：C
6．C
【分析】由可得為線段的三等分點中靠近的點，由向量的加(減)法及數乘運算可得，即可求得.
【詳解】解：如圖所示：
因為，
所以為線段的三等分點中靠近的點，
所以=,
所以，
所以.
故選：C.
7．C
【分析】先化簡，再將代入進一步化簡即可.
【詳解】因為，
所以
，
故選：C.
8．A
【分析】通過向量的線性運算化簡向量即可求解.
【詳解】，所以，，
所以.
故選：A.
9．C
【分析】根據向量共線定理進行判斷即可.
【詳解】因為不共線，，，，
易得互不共線，所以A，B，C三點不共線，B，C，D三點不共線，故AD錯誤；
又，易得不共線，則A，C，D三點不共線，故B錯誤；
而，所以A，B，D三點共線，故C正確.
故選：C.
10．C
【分析】把用表示，然后根據三點共線定理求解．
【詳解】取中點，連接，則，又，∴，
∴，
又三點共線，∴，．
故選：C．

11．B
【分析】根據題意結合三點共線的判定定理和結論分析可得和，運算求解即可.
【詳解】因為，則為的中點，可得，
注意到三點共線，可得，
又因為三點共線，則∥，
則存在實數，使得，即，
則，可得，
綜上所述：，解得，可得.
故選：B.
12．A
【分析】將、、用和表示，再根據平面向量的線性運算以及平行的概念判斷可得答案.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
因為，所以，
，
，
，
所以，
所以與反向平行，故A正確，B錯誤；
，
所以與同向平行，故CD錯誤.
故選：A
13．B
【分析】根據向量的運算法則可得結果.
【詳解】,
故選：B.
14．B
【分析】利用三角形重心的性質與向量的線性運算即可得解.
【詳解】連接并延長交于，如圖，

因為是的重心，則是的中點，
所以
，
又，所以，，
所以.
故選：B.
15．B
【分析】利用平面向量的線性運算求解.
【詳解】
因為在等腰梯形ABCD中，，所以,
因為M為BC的中點，所以
,
故選:B.
16．A
【分析】令是的中點，連接，易得，根據三點共線的推論有，應用基本不等式求目標式最小值，注意取值條件.
【詳解】若是的中點，連接，點G是的重心，則必過，且，
由題設，又共線，
所以，即，注意，

由
，當且僅當，即時等號成立，
故目標式最小值為1.
故選：A
17．C
【分析】直接利用向量的數量積公式計算得到答案.
【詳解】因為，且向量與的夾角為，所以，
故選：C．
18．C
【分析】利用向量的數量積與模長關系計算即可.
【詳解】易知，．
故選：C
19．C
【分析】直接利用平面向量的數量積公式，即可求得本題答案.
【詳解】，
故選：C
20．A
【分析】根據平面向量數量積運算求得正確答案.
【詳解】
.
故選：A
21．B
【分析】先求得的值，根據數量積的運算法則求得以及的模，再根據向量的夾角公式，即可求得答案.
【詳解】因為，是夾角為的兩個單位向量，
所以，
故，
，
，
故 ，
由于 ，故.
故選：B.
22．B
【分析】利用向量數量積的運算律可得，結合已知及數量積定義求夾角余弦值.
【詳解】因為，所以，
所以，而，所以，
所以.
故選：B
23．C
【詳解】根據題意，由平面向量的夾角公式代入計算，列出方程，即可得到結果.
【分析】由題意，得，
所以，
．
而，
所以．
整理，得，解得或（舍去）．
故選：C．
24．B
【分析】根據與的夾角為銳角，由且與不共線求解.
【詳解】解：因為，
所以，
因為與的夾角為銳角，
所以，且與不共線，
解得，
當時，則，
即，解得，
當時，與共線且同向，
所以的取值范圍為，
故選：B
25．C
【分析】首先由數量積公式求得，又，代入求解即可.
【詳解】因為，，，的夾角為，
所以，
解得，
，
故選：C.
26．B
【分析】利用向量數量積與模長關系結合二次函數的性質計算即可.
【詳解】因為，
所以，當且僅當時，等號成立.
故選：B
27．C
【分析】利用平面向量數量積的幾何意義及三角形相似計算即可.
【詳解】
由題意易知，則，
過作于，
所以，
，
所以，不妨設，則
，故.
故選：C
28．A
【分析】由，利用向量數量積運算可得，即求，又，代入條件運算可得解.
【詳解】，
，即，
，
.
故選：A.
29．B
【分析】因為，，，可以選定為基向量，因為點C是線段上的動點，所以,讓后將其都轉化為為基向量的運算，即可求出的最小值.
【詳解】因為點C是線段上的動點，
所以,
所以
因為點D是的中點,所以,
所以,
又，，，即
所以，
，
又，
所以當時，的最小值.
故選：B.
30．B
【分析】根據數量積的運算律得到，則，結合余弦函數的性質計算可得.
【詳解】因為，即，
即，即，
所以，
所以
，
因為，
所以當時取最大值，最大值為.
故選：B
31．A
【分析】根據給定條件，可得，求出的夾角范圍，再利用向量數量積的定義、運算律求解作答.
【詳解】過點作交半圓弧于點，連接，如圖，
而是正三角形，則，令夾角為，
當點P在弧上時，，當點P在弧上時，，于是，
顯然，，
所以
.
故選：A
32．C
【分析】根據題意，利用向量的線性運算，化簡得到，結合，進而求得取得最小值，得到答案.
【詳解】由題意，點是圓半徑的中點，且關于點對稱，設的位置，如圖所示，
在八卦圖中，知,
又由，
則由
，
當八卦圖轉動（即圓面及其內部點繞轉動）時，，
當時，取得最小值，最小值為.
故選：C.

33．C
【分析】由向量加法的三角形法則可知.
【詳解】.
故選：C.
34．C
【分析】根據向量混合運算即可.
【詳解】，
故選：C.
35．B
【分析】根據平面的線性運算求得正確答案.
【詳解】，不符合題意.
，符合題意.
，不符合題意.
，不符合題意.
故選：B

36．B
【分析】平面向量共線的傳遞性可得錯誤，由向量乘法的分配律可得正確，由向量垂直的運算可得，錯誤，得解．
【詳解】解：且，當為零向量時，則與不一定共線，即錯誤，
由向量數量積的分配律可得：，即正確，
因為，則，又，，即與在方向上的投影相等，即錯誤，
取為非零向量，且與垂直，與不垂直，則，，即錯誤，
故選：．
37．B
【分析】根據平面向量的線性運算求得正確答案.
【詳解】
.
故選：B
38．A
【分析】根據向量的數量積公式求得結果.
【詳解】記，則，，
，
．
故選：A.
39．D
【分析】根據模長公式，結合數量積的運算律，即可由夾角公式求解.
【詳解】由可得，所以，
同理由和可得
所以，
故，
故選：D
40．C
【分析】平方展開后，利用向量的數量積定義進行運算即可.
【詳解】因為
，
所以，
故選：C.
41．D
【分析】根據已知求出.根據已知可得共線，進而得出，代入向量整理得出方程組，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，.
因為A，C，D三點共線，所以共線，
則，使得，
即，
整理可得.
因為，不共線，
所以有，解得.
故選：D.
42．C
【分析】利用轉化法，將轉化為,進而求得的最小值即可.
【詳解】連接,
則
,
當時，最小，可求得，
結合，得的最小值為，
故選：
43．(1)
(2)
【分析】（1）根據向量減法運算法則計算即可；
（2）根據向量加法運算法則計算即可.
【詳解】（1） .
（2） .
44．(1)
(2)
(3)
【分析】根據向量數乘運算求解.
【詳解】（1）由得，
所以.
（2）由得，
所以.
（3）由得，
所以.
45．(1)
(2)
【分析】（1）利用兩個向量的數量積的運算法則，以及求向量的模的方法，求出；
（2）設向量與的夾角的夾角為，根據兩個向量的夾角公式，求出的值.
【詳解】（1）已知，，
，
，
；
（2）設向量與的夾角的夾角為，
則，
向量與的夾角的余弦值為.
46．(1)
(2)
【分析】（1）根據三點共線的知識求得.
（2）根據向量數量積的運算求得.
【詳解】（1）依題意，
由于三點共線，所以.
（2）由（1）得，
所以
.
47．(1)詳解見解析；
(2)證明見解析.
【分析】(1)如圖，根據向量加法的平行四邊形法則和重心的定義可得，進而得出；
(2)如圖，根據向量加法的平行四邊形法則和可得，結合平行四邊形的性質可得G在中線CD上且CG=2GD，同理可證G也在其它兩邊的中線上，即可證明G為的重心.
【詳解】（1）設點D、F分別是AB、BC的中點，連接CD、AF交于點G，則G為的重心，
延長CD到點E，使得DE=GD，連接AE、BE、BG，如圖，
由向量加法的平行四邊形法則，得，
因為G為的重心，所以，
故，所以，
所以的重心G滿足題意；
（2）因為，所以，
以GA、GB為鄰邊作，連接GE，由向量加法的平行四邊形法則，
，所以，
設AB與GE交于點D，由平行四邊形的性質可知點D為AB和GE的中點，
所以，即G在中線CD上，且CG=2GD，
同理可證G也在其它兩邊的中線上，即G是三角形三條中線的交點，
所以G為的重心.
答案第1頁，共2頁
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