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第03講 平面向量基本定理及坐標表示-【寒假預科講義】（人教A版2019必修第一冊）
·模塊一 平面向量基本定理
·模塊二 平面向量的坐標表示
·模塊三 課后作業
1．平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，
，使．若，不共線，我們把{，}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．
（2）定理的實質
由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進行分解——平面內的任一向量都可以用平面內任意不共線的兩個向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實質．
【考點1 用基底表示向量】
（2023上·北京·高三校考階段練習）
1．如圖，在中，是的中點．若，則（ ）

A． B． C． D．
（2023上·重慶·高三重慶八中校考階段練習）
2．在中，為邊上的中線，，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·山西朔州·高三校考開學考試）
3．如圖，在中，設，，，，則（ ）

A． B．
C． D．
（2023·全國·高三專題練習）
4．如圖為正六邊形ABCDEF，其中點O為正六邊形ABCDEF的中心，設，，若，，則（ ）

A． B．
C． D．
【考點2 利用平面向量基本定理求參數】
（2023上·山東·高三校聯考開學考試）
5．如圖，在平行四邊形中，為對角線的交點，為的中點，為的中點，若，則（ ）

A．1 B．2 C． D．
（2023上·北京順義·高三牛欄山一中校考期中）
6．在中，，是直線上的一點，若則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·遼寧大連·高三大連八中校考期中）
7．在三角形ABC中，點D是AB邊上的四等分點且，AC邊上存在點E滿足，直線CD和直線BE交于點F，若，則的值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
（2023上·河北滄州·高三校聯考期中）
8．如圖，與的面積之比為2，點P是區域內任意一點（含邊界），且，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【考點3 平面向量基本定理的應用】
（2023·四川成都·校聯考一模）
9．已知平行四邊形，若點是邊的三等分點（靠近點處），點是邊的中點，直線與相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
（2022·高一課時練習）
10．已知，，，則（ ）
A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線
C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線
（2023下·浙江·高一校聯考階段練習）
11．如圖所示，中，點是線段的中點，是線段上的動點，則，則的最小值（ ）

A．1 B．3 C．5 D．8
（2023下·江蘇南京·高一校聯考階段練習）
12．在中，點是上一點，點滿足，與的交點為．有下列四個命題：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一個是假命題，則該命題為（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
1．平面向量的正交分解及坐標表示
（1）正交分解
不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
（2）向量的坐標表示
如圖，在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為，，取{，}作為基
底．對于平面內的任意一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得=x+y．這樣，平面內的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數對(x，y)叫做向量的坐標，記作=(x，y)①．其中x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標，①叫做向量的坐標表示．
顯然，=(1，0)，=(0，1)，=(0，0)．
（3）點的坐標與向量的坐標的關系
區 別 表示形式不同 向量=(x，y)中間用等號連接，而點A(x，y)中間沒有等號．
意義不同 點A(x，y)的坐標(x，y)表示點A在平面直角坐標系中的位置，=(x，y)的坐標(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外，(x，y)既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應指明點(x，y)或向量(x，y)．
聯系 向量的坐標與其終點的坐標不一定相同．當平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標與向量終點的坐標相同．
2．平面向量線性運算的坐標表示
（1）兩個向量和（差）的坐標表示
由于向量=(，)，=(，)等價于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+，+)．同理可得-=(-，-)．
這就是說，兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差)．
（2）向量數乘的坐標表示
由=(x，y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x，y)．
這就是說，實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標．
3．平面向量數量積的坐標表示
（1）平面向量數量積的坐標表示
由于向量=(，)，=(，)等價于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++．又=1，=1，==0，所以=+．
這就是說，兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和．
（2）平面向量長度（模）的坐標表示
若=(x，y)，則或．
其含義是：向量的長度(模)等于向量的橫、縱坐標平方和的算術平方根．
如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為(，)，(，)，那么=(-，-)，||=
．
4．平面向量位置關系的坐標表示
（1）共線的坐標表示
①兩向量共線的坐標表示
設=(，)，=(，)，其中≠0．我們知道，，共線的充要條件是存在實數，使=．如果用
坐標表示，可寫為(，)=(，)，即，消去，得-=0．這就是說，向量， (≠0)共線的充要條件是-=0．
②三點共線的坐標表示
若A(，)，B(，)，C(，)三點共線，則有=，
從而(-，-)=(-，-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)．
由此可知，當這些條件中有一個成立時，A，B，C三點共線．
（2）夾角的坐標表示
設，都是非零向量，=(，)，=(，)，是與的夾角，根據向量數量積的定義及坐標表示可得==．
（3）垂直的坐標表示
設=(，)，=(，)，則+=0．
即兩個向量垂直的充要條件是它們相應坐標乘積的和為0．
【考點1 平面向量線性運算的坐標表示】
（2022下·云南·高一統考期末）
13．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高三專題練習）
14．已知向量，若，則=（ ）
A． B．
C． D．
（2023·河北·統考模擬預測）
15．在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點M滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．
（2023下·四川眉山·高一校考期中）
16．已知向量滿足，，，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【考點2 平面向量數量積的坐標表示】
（2023·四川成都·統考一模）
17．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·模擬預測）
18．已知平面向量，滿足，且，則（ ）
A．4 B．5 C． D．2
（2023·全國·模擬預測）
19．已知平面向量，，若實數m，n滿足，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·江蘇南京·高三校聯考期中）
20．在△ABC中，．P為△ABC所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【考點3 向量共線、垂直的坐標表示】
（2023下·江蘇連云港·高一校考階段練習）
21．已知向量，，，且，
(1)求x的值；
(2)若，求實數的值.
（2023上·遼寧·高二校聯考階段練習）
22．已知向量與向量共線，且，，
(1)求向量的坐標；
(2)求實數的值.
（2023上·江西·高三校聯考階段練習）
23．已知為平面向量，且.
(1)若，且與垂直，求實數的值；
(2)若，且，求向量的坐標.
（2023下·江蘇南通·高一校考階段練習）
24．已知向量，.
(1)當時，求的值；
(2)當，，求向量與的夾角.
【考點4 向量坐標運算與平面幾何的交匯】
（2023下·云南曲靖·高一校考階段練習）
25．已知點，，及.
(1)若點P在第一象限，求t的取值范圍；
(2)四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由.
（2023下·四川成都·高一成都七中校考期中）
26．已知，向量，.
(1)如圖，若四邊形OACB為平行四邊形，求點C的坐標；
(2)若點P為線段AB的靠近點B的三等分點，求點P的坐標.
（2023下·安徽宿州·高一統考期中）
27．平面內給定三個向量，且.
(1)求實數關于的表達式；
(2)如圖，在中，為中線的中點，過點的直線與邊分別交于點（不與重合）.設向量，求的最小值.
（2023·全國·高一課堂例題）
28．如圖，已知點O為平面直角坐標系的原點，點A的坐標為，點B的坐標為，作，垂足為點D．

(1)求，，；
(2)求；
(3)將繞點逆時針旋轉到，求點的坐標；
(4)求；
(5)求．
（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）
29．若，點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一校考期中）
30．設是平面內所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
（2023上·西藏林芝·高三校考階段練習）
31．已知向量，，則等于（ ）
A． B． C． D．
（2023上·河北保定·高三統考階段練習）
32．如圖，在平行四邊形中，是的中點，和相交于點． 記 ，，則（ ）

A． B．
C． D．
（2023下·河北石家莊·高一校考期中）
33．已知平行四邊形中，，若，則（ ）
A． B． C．2 D．
（2023上·北京順義·高三校考期中）
34．已知平面向量，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山東日照·高三校考階段練習）
35．如圖，，點P在由射線、線段及的延長線圍成的陰影區域內（不含邊界），且，則實數對可以是（ ）

A． B． C． D．
（2023·全國·模擬預測）
36．已知向量，，.若，且，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·寧夏銀川·高三校聯考階段練習）
37．已知向量，，，若，（ ）
A． B． C． D．
（2023上·湖南邵陽·高三校考階段練習）
38．如圖，在中，點在線段上，且，是的中點，延長交于點，點為直線上一動點（不含點），且（）,若，且，則的面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·河南焦作·高三校考階段練習）
39．如圖，平行四邊形的對角線AC和BD交于點M，E在BC上，且，直線DE與AB的延長線交于點F，記，．

(1)試用，表示、；
(2)試用，表示．
（2023下·新疆喀什·高一校考期末）
40．已知，，，分別求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
（2023下·江西·高一校聯考期中）
41．如圖，在中，為重心，，延長交于點，設，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
（2023下·湖北黃岡·高一校考階段練習）
42．已知，，設，
(1)若，求實數k的值；
(2)當時，求與的夾角的余弦值；
(3)是否存在實數k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，說明理由．
（2023·高一課時練習）
43．如圖，平面上A，B，C三點的坐標分別為、、．
(1)寫出向量，的坐標；
(2)如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據向量的線性運算即可求解.
【詳解】,
所以，
故選：D
2．A
【分析】根據圖形的幾何性質，以及向量加減法、數乘運算的幾何意義，即可得出答案.
【詳解】
因為，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故選：A.
3．D
【分析】根據向量的線性運算法則求解.
【詳解】由題意,
故選：D．
4．B
【分析】根據平面向量的線性運算求得正確答案.
【詳解】由正六邊形的性質可知，，
因為，，
所以，，
所以
．
故選：B

5．B
【分析】利用平面向量的線性運算法則，求得,進而求得的值，進一步計算即可.
【詳解】如圖：

因為
,
所以
故選：
6．B
【分析】依題意可得，根據平面向量共線定理的推論及平面向量基本定理計算可得.
【詳解】因為，所以，
又是直線上的一點，所以，
又，
所以，所以.
故選：B
7．C
【分析】直線CD和直線BE交于點F，根據向量加，減法的法則，共線定理求出，再利用三點共線，設，根據系數對應相等可得的值.
【詳解】由已知，
則
同理可得，
因為直線CD和直線BE交于點F，
所以設
即
解得.
故選：C.

8．C
【分析】根據題意，將圖形特殊化，設垂直平分于點，的，當點與點重合和點與點重合時，分別求得的最值，即可求解.
【詳解】根據題意，將圖形特殊化，設垂直平分于點，
因為與的面積之比為2，則，
當點與點重合時，可得，此時，即的最小值為；
當點與點重合時，可得，
此時，即，此時為最大值為，
所以的取值范圍為.
故選：C.

9．C
【分析】設，設，，利用向量的基本定理可得，求得，從而問題可解.
【詳解】
設，則，，
設，，
則，，
因為，
所以，解得，
所以，即.
故選：C.
10．A
【分析】利用向量共線定理即可判斷各選項.
【詳解】對于A，，
又，所以，則與共線，
又與有公共點B，所以A、B、D三點共線，A正確；
對于B，令，即，所以，不存在，
所以與不共線，即A，B，C三點不共線，B錯誤；
對于C，令，即，所以，不存在，
所以與不共線，即B，C，D三點不共線，C錯誤；
對于D，，
令，即，所以，不存在，
所以與不共線，即A，C，D三點不共線，D錯誤.
故選：A．
11．D
【分析】利用平面向量共線定理與線性運算即可得，且，再結合基本不等式“1”的代換即可求得最值.
【詳解】因為點是線段的中點，所以，
又是線段上的動點，則可設，且
所以
則，所以，則，且
所以，當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為.
故選：D.
12．D
【分析】首先由甲命題為真命題開始，由點是的中點，結合平面向量基本定理的推論，結合三點共線的向量表示，即可判斷.
【詳解】若甲為真命題，，則點為的中點，
由可得，，
因為三點共線，故可得，
即，
由三點共線，可得，
所以，得，即，
所以，故乙為真命題；故，可知命題丙為真命題；
由共線，故可設，
即,
因為三點共線，故可設，
所以，得，
即，故命題丁為假命題.
綜上，甲乙丙為真命題，丁為假命題.
故選：D
13．D
【分析】根據平面向量的坐標運算可得.
【詳解】因為，，所以.
故選：D
14．A
【分析】根據平面向量的坐標運算求解.
【詳解】由題意可得,
所以解得,
所以.
故選:A.
15．B
【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標法列關于的方程，解之即可求得的值.
【詳解】在正六邊形ABCDEF中，以A為原點，
分別以所在直線為軸建立平面直角坐標系，
不妨令，則，
,
由，可得，解之得
故選：B
16．B
【分析】設出向量，的坐標，根據條件列出坐標方程，即可解出，的坐標，即可進一步列出含參數的坐標方程，從而解出參數，.
【詳解】設，，又，，
所以，且，
解得，，即，.所以，則，解得，故.
故選：B.
17．C
【分析】利用向量的夾角公式即可求解.
【詳解】因為，
所以.
故選：C.
18．B
【分析】設，根據向量的模、向量垂直列方程，求得的坐標，進而求得.
【詳解】設，因為，，
所以，即①．
又因為，所以，
即，即②．
聯立①②可得或，
所以或，所以.
故選：B
19．B
【分析】先求出兩向量的坐標，利用平面向量的坐標運算計算兩向量的數量積，由兩向量的數量積為0得結果.
【詳解】因為，，所以，，
又，所以，
即，所以與的夾角為,
故選：B.
20．B
【分析】根據題意，建立平面直角坐標系，設，求得，再設，轉化為三角函數的最值問題，即可求解.
【詳解】在△ABC中，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標系，
如圖所示，則，設，
因為，所以，又由，
所以，
設，，則，
其中，當時，取得最小值；
當時，取得最大值，所以的取值范圍為.
故選：B.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意可得，結合向量平行的坐標表示運算求解；
（2）根據題意可得，結合向量垂直的坐標表示運算求解.
【詳解】（1）由題意可得：，
因為，則，解得.
（2）由題意可得：，
因為，則，解得.
22．(1)
(2)
【分析】（1）設，由數量積的坐標表示求得后得結論；
（2）由向量垂直的坐標表示計算可得．
【詳解】（1）共線， 可設，
，解得：， ，
（2）∵，∴，
即，解得：
23．(1)
(2)或
【分析】（1）利用向量運算的坐標表示，利用向量垂直的坐標表示，列出方程，求解作答.
（2）利用向量共線設出的坐標，利用坐標求模，列式計算作答.
【詳解】（1）因為，
所以，
又因為與垂直，所以，
即，得，
所以.
（2）因為得，
又因為，所以，
即，所以，
故或.
24．(1)或
(2)
【分析】（1）根據平面向量的坐標運算，以及向量垂直的坐標表示即可求解；
（2）根據向量平行的坐標關系可求，進而根據向量夾角公式即可求解.
【詳解】（1）向量，，則，
由，可得，
即，即，解得或.
（2）由，，則，
由，可得，解得，
所以，，，
又，所以.
25．(1)
(2)不能，理由見解析
【分析】（1）由平面向量的坐標運算，求出，利用點P在第一象限，列不等式求得的取值范圍；
（2）利用四邊形是平行四邊形時，只需要，列方程求出的值，即可判斷四邊形能否為平行四邊形.
【詳解】（1），
由題意得，解得：，即的取值范圍為.
（2）若四邊形是平行四邊形，只需要，即，
由（1）知，，而，
，方程組無解，故四邊形不能成為平行四邊形.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意可得，結合向量的坐標運算求解；
（2）根據題意可得，結合向量的坐標運算求解.
【詳解】（1）設點C的坐標為，
因為，，，可得，
則，
若四邊形OACB為平行四邊形，可得，
則，解得，
故點C的坐標為.
（2）設點P的坐標為，
由（1）可知：，則，
若點P為線段AB的靠近點B的三等分點，則，
則，解得，
故點P的坐標為.
27．(1)
(2)
【分析】（1）根據向量的坐標運算分別表示出和，利用平行的坐標表示可得答案；
（2）利用向量運算得到，結合三點共線得到，再結合基本不等式可求答案.
【詳解】（1）因為,
所以，即.
（2）由（1）可知，，由題意可知.
因為，
所以；
因為三點共線，所以..
所以，
當且僅當時，取等號，
即時，取最小值.
28．(1)，，
(2)
(3)的坐標為
(4)
(5)
【分析】（1）根據題意，求得，，所以，結合向量模的坐標運算，即可求解；
（2）結合向量的夾角公式，即可求解；
（3）記，與軸正方向的夾角為，得到，結合點的坐標，即可求解；
（4）根據題意，結合投影的計算公式，即可求解；
（5）結合三角形的面積公式，向量的數量積的運算公式，即可求解.
【詳解】（1）解：由題意，可得，，
所以，
可得，，．
（2）解：因為，
所以．
（3）解：記，與軸正方向的夾角為，則，
，
由于點的坐標為，那么，．
因此，即點的坐標為．
（4）解：將向量投影到上，得到投影向量，則，
而就是在方向上的投影的絕對值，
則．
（5）解：因為，
法1：．
法2：

29．A
【分析】利用向量的坐標計算公式可求點的坐標.
【詳解】設，故，而，
故，故，故，
故選：A.
30．C
【分析】只要兩個向量不共線，便可作為平面內的一組基底，從而判斷哪組向量共線即可.
【詳解】對于A，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，A錯誤；
對于B，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，B錯誤；
對于C，，
和共線，不能作為一組基底，C正確；
對于D，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，D錯誤.
故選：C.
31．C
【分析】直接利用平面向量的加法法則，直接計算可得答案.
【詳解】向量，，則.
故選:C
32．A
【分析】依題意可得，即可得到，再根據平面向量線性運算法則計算可得.
【詳解】在平行四邊形中，和相交于點，
所以，又是的中點，
所以，所以，
所以.
故選：A
33．D
【分析】利用給定的平行四邊形，結合向量的線性運算及平面向量基本定理計算即得.
【詳解】在中，，即是的中點，則，
又，即，
因此，
而，不共線，
所以，.
故選：D
34．B
【分析】先計算，然后根據向量共線的坐標表示求參數即可.
【詳解】因為，，，
所以，
又，
所以，
解得，
故選：B.
35．D
【分析】根據向量加法的幾何意義，結合已知，即可得出答案.
【詳解】
根據向量加法的幾何意義可知，
當時，由可知，點應落在區域1，不符合題意；
當時，由可知，點應落在區域2，不符合題意；
當時，由可知，點應落在區域3，不符合題意；
當時，由可知，點應落在區域4，符合題意.
又當時，根據向量加法的幾何意義可知，此時點應落在陰影區域之外，所以.
故選：D.
36．C
【分析】利用向量的數量積運算將向量垂直的條件轉化為，然后利用向量的模的坐標運算公式和向量共線的坐標關系得到方程組，求解即得的值，進而計算向量的模.
【詳解】因為，，
由可得，，
即，整理得.
又因為，所以，
聯立，解得或，
故，
故選C.
37．C
【分析】利用平面向量垂直的坐標表示及模長公式計算即可.
【詳解】由題意可知，，
所以，
則.
故選：C
38．C
【分析】根據題意，得到，設，得到，根據三點共線，求得，得到，延長于點，使得，延長于點，使得，結合相似，得到，得出，進而求得的面積的最大值.
【詳解】因為是的中點，可得，
設，所以，
又因為三點共線，可得，解得，所以，
因為點為直線上一動點，設，可得,
又因為，可得，所以，
因為，所以，所以，
所以，所以，
如圖所示，延長于點，使得，延長于點，使得，
即與均為等腰三角形，
則，且相似比為，所以，
所以，所以，可得，
所以，因為，所以，可得
所以為等腰三角形，且，
所以，因為，
所以，所以，
即的面積的最大值為.
故選：C.
39．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用向量加法的平行四邊形法則求出，再利用向量減法法則求出作答.
（2）利用平行線的性質探求出，再利用向量減法法則求解作答.
【詳解】（1）平行四邊形的對角線AC和BD交于點M，
，
.
（2）點E在BC上，且，，則，
于是，即，，
所以.
40．(1)
(2)
(3)
【分析】根據平面向量的坐標運算求解即可.
【詳解】（1）原式
（2）原式
（3），∴.
41．(1)；
(2).
【分析】（1）連接并延長交于，利用三角形重心定理，結合向量的線性運算及平面向量基本定理求解作答.
（2）由已知表示出向量，結合（1）中信息，利用平面向量基本定理列式計算作答.
【詳解】（1）在中，連接并延長交于，因為是重心，則是的中點，
，由知，，
即，因此，
而不共線，且，于是，
所以.
（2）依題意，，，
而，且，因此存在，使得，
即，則，解得，
所以的值是.
42．(1)1
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由向量的坐標，可求向量的模和數量積，若，則，利用向量的模和數量積求實數k的值；
（2）由向量的夾角公式，利用向量的模和數量積求與的夾角的余弦值；
（3）由向量的平行條件，求實數k的值.
【詳解】（1）由題意，向量 ， ，可得 ，
由，
得，
解得；
（2）時，，
，
．
∴，
∴與的夾角的余弦值為；
（3）由，則成立，得，
因為不共線，故，解得．
∴存在實數，使得．
43．(1)，
(2)
【分析】（1）根據向量的坐標表示求解；（2）根據平行四邊形中對邊平行且相等的關系轉化為向量的相等關系，利用坐標表示即可求解.
【詳解】（1），
.
（2）設，所以
四邊形ABCD是平行四邊形，
所以，所以解得，
所以.
答案第1頁，共2頁
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