資源簡介

第04講 正弦定理與余弦定理-【寒假預科講義】（人教A版2019必修第一冊）
·模塊一 余弦定理
·模塊二 正弦定理
·模塊三 三角形面積公式
·模塊四 課后作業
1．余弦定理
（1）余弦定理及其推論的表示
文字表述 三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.
公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.
推論
（2）對余弦定理的理解
①余弦定理對任意的三角形都成立.
②在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量.
③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題.用余弦
定理的推論還可以根據角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.
④余弦定理的另一種常見變式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.
【考點1 余弦定理邊角互化的應用】
【例1.1】（2023上·浙江金華·高二校考開學考試）
1．在中，角所對的邊分別為，若，則角（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023下·云南紅河·高一校考階段練習）
2．已知一個三角形的三邊分別是a、b、，則此三角形中的最大角為（　　）
A． B． C． D．
【變式1.1】（2023上·陜西商洛·高二校考期末）
3．在中，內角的對邊分別為.若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形
【變式1.2】（2023上·陜西商洛·高二校考期末）
4．在中，內角的對邊分別為.若，，且則（ ）
A． B． C． D．
【考點2 余弦定理解三角形】
【例2.1】（2023下·河南鄭州·高一校考期末）
5．在中，分別是，，的對邊.若，且，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
【例2.2】（2023·四川自貢·統考一模）
6．在中角A、B、C所對邊a、b、c滿足，，，則（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．6或
【變式2.1】（2023·全國·模擬預測）
7．如圖，在中，，，D是BC的中點，E是線段AC上的點，且，，則（ ）
A． B． C．2 D．
【變式2.2】（2023·安徽·池州市校聯考模擬預測）
8．如圖是一塊空曠的土地，準備在矩形區域內種菊花，區域內種桂花，區域內種茶花.若面積是面積的3倍，，，則當取最小值時，菊花的種植面積為（ ）
A． B． C． D．
1．正弦定理
（1）正弦定理的表示
在△ABC中，若角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.
（2）正弦定理的常見變形
在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=kA，b=kB，c=kC，由此可得
正弦定理的下列變形：
①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；
②======；
③a:b:c=A:B:C；
④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.
（3）三角形的邊角關系
由正弦定理可推導出，在任意三角形中，有“大角對大邊，小角對小邊”的邊角關系.
2．解三角形
（1）解三角形的概念
一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個
元素求其他元素的過程叫做解三角形.
（2）余弦定理在解三角形中的應用
利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：
①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；
③已知三邊，求三角形的三個角.
（3）正弦定理在解三角形中的應用
公式==反映了三角形的邊角關系.
由正弦定理的推導過程知，該公式實際表示為：=，=，=.上述的
每一個等式都表示了三角形的兩個角和它們的對邊的關系.從方程角度來看，正弦定理其實描述的是三組方程，對于每一個方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：
①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，
③已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角.
【考點1 正弦定理邊角互化的應用】
【例1.1】（2023·陜西商洛·統考一模）
9．在△中，角的對邊分別是，則=（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023上·廣東肇慶·高三統考階段練習）
10．記的內角的對邊分別為，，，已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】（2023上·全國·高三專題練習）
11．設在中,角所對的邊分別為, 若, 則的形狀為 （ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
【變式1.2】（2023·上海普陀·統考一模）
12．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，則該三角形外接圓的半徑為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考點2 正弦定理判定三角形解的個數】
【例2.1】（2022下·福建莆田·高一校考期末）
13．在中，內角，，所對的邊分別為，，，根據下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【例2.2】（2023上·全國·高三專題練習）
14．在中，角，，所對的邊分別為，，，，，，則此三角形的解的情況是（ ）
A．有一解 B．有兩解
C．無解 D．有解但解的個數不確定
【變式2.1】（2023上·北京大興·高三統考期中）
15．在中，，且滿足該條件的有兩個，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2.2】（2023下·安徽馬鞍山·高一校考期中）
16．的內角，，的對邊分別為，，，若，，則結合的值，下列解三角形有兩解的為（ ）
A． B． C． D．
【考點3 正弦定理解三角形】
【例3.1】（2023上·內蒙古通遼·高三校考階段練習）
17．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
【例3.2】（2023上·全國·高三專題練習）
18．在中，角，，所對的邊分別為，，． ，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3.1】（2023上·遼寧·高三校聯考期中）
19．已知的外接圓半徑為2，且內角滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3.2】（2023·全國·模擬預測）
20．在中，內角的對邊分別為，
，則的值為（ ）
A． B． C． D．
1．三角形的面積公式
（1）常用的三角形的面積計算公式
①=a=b=c (，，分別為邊a，b，c上的高).
②將=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.
（2）三角形的其他面積公式
①=r(a+b+c)=rl，其中r，l分別為△ABC的內切圓半徑及△ABC的周長.
②=，=，=.
【考點1 三角形面積公式的應用】
【例1.1】（2023上·江蘇鎮江·高三統考期中）
21．在中，若，則的面積為（ ）
A． B． C．或 D．
【例1.2】（2023·湖南·校聯考模擬預測）
22．在中，，，且的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】（2023上·安徽蕪湖·高二校考階段練習）
23．已知鈍角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．若邊上中線長為，，求的面積（ ）
A． B．
C．或 D．
【變式1.2】（2023上·陜西西安·高三交大附中校考階段練習）
24．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且的外接圓的半徑為，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【考點2 正、余弦定理在幾何圖形中的應用】
【例2.1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三校考期末）
25．在中，，，分別為角，，的對邊，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，且，求的面積.
【例2.2】（2023上·廣東汕頭·高二校考階段練習）
26．在中，.
(1)求；
(2)再從條件①條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求邊上中線的長．
條件①：的周長為；條件②：的面積為 .
（若選擇多個做答，按第一作答給分）
【變式2.1】（2023上·廣西河池·高三校聯考階段練習）
27．已知的內角的對邊分別為，若．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求周長的取值范圍．
【變式2.2】（2023·全國·模擬預測）
28．已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)若，求c的值以及的面積；
(2)若，求的值以及的取值范圍．
【考點3 距離、高度、角度測量問題】
【例3.1】（2023上·全國·高三專題練習）
29．如圖，A、B兩點都在河的對岸(不可到達)，若在河岸選取相距20米的C、D兩點，測得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此時A，B兩點間的距離是多少？
【例3.2】（2023上·廣東湛江·高三校聯考階段練習）
30．山東省濱州市的黃河樓位于蒲湖水面內東南方向的東關島上，渤海五路以西，南環路以北.整個黃河樓顏色質感為灰紅，意味黃河樓氣勢恢宏，更在氣勢上體現黃河的宏壯.如圖，小張為了測量黃河樓的實際高度，選取了與樓底在同一水平面內的兩個測量基點，現測得，在點處測得黃河樓頂的仰角為，求黃河樓的實際高度（結果精確到，取）.
【變式3.1】（2023·全國·高一隨堂練習）
31．如圖，某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發時，輪船位于港口北偏西方向且與該港口相距的處，并以的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以的航行速度勻速行駛，經過與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
(2)假設小艇的最高航行速度只能達到，試設計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．
【變式3.2】（2023上·遼寧·高二校聯考開學考試）
32．某景區為打造景區風景亮點，欲在一不規則湖面區域（陰影部分）上兩點之間建一條觀光通道，如圖所示．在湖面所在的平面（不考慮湖面離地平面的距離，視湖面與地平面為同一平面）內距離點米的點處建一涼亭，距離點米的點處再建一涼亭，測得，．

(1)求的值；
(2)測得，觀光通道每米的造價為2000元，若景區準備預算資金8萬元建觀光通道，問：預算資金夠用嗎？
（2023下·江蘇揚州·高一校考階段練習）
33．在中，a，b，c是角A，B，C分別所對的邊，若，則（ ）
A． B． C． D．
（2023下·江蘇蘇州·高一校考階段練習）
34．在中，已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·四川自貢·統考一模）
35．在中角所對邊滿足，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6或
（2023上·重慶·高三重慶八中校考階段練習）
36．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為 a， b，c，已知， 則cosB=（ ）
A． B． C． D．
（2023下·河北石家莊·高一校聯考階段練習）
37．在中，，，，則（ ）
A． B．1 C． D．2
（2024上·北京·高三清華附中校考開學考試）
38．在中，，，，若滿足條件的有兩個，則的可能取值為（　　）
A． B． C． D．
（2023上·全國·高三專題練習）
39．一艘游輪航行到處時看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續航行到處時再看燈塔在其南偏東方向，則此時燈塔位于游輪的（　　）
A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向
（2023·四川內江·統考一模）
40．在中，、、分別為角、、的對邊，若，則的形狀為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
（2023下·江西贛州·高一統考期末）
41．已知的內角的對邊分別為，下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則符合條件的三角形有2個
C．若，則
D．若△ABC的面積，則
（2022上·福建泉州·高二校考開學考試）
42．在銳角中，角的對邊分別為，為的面積，，且，則的周長的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·高一課時練習）
43．在中，，．分別根據下列條件，求邊長a的取值范圍．
(1)有一解；
(2)有兩解；
(3)無解．
（2023上·山西臨汾·高三校聯考期中）
44．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)若，求A；
(2)若，求證：.
（2023·山東·山東省校聯考模擬預測）
45．記的內角的對邊分別為，已知.
(1)求：
(2)若，求面積.
（2023上·河北秦皇島·高二校考開學考試）
46．為了應對日益嚴重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進行氣候觀測，B，C，D三地位于同一水平面上，這種儀器在B地進行彈射實驗，兩地相距，，在C地聽到彈射聲音的時間比D地晚秒，在C地測得該儀器至最高點A處的仰角為．（已知聲音的傳播速度為），求：

(1)B，C兩地間的距離；
(2)這種儀器的垂直彈射高度AB．
（2023上·黑龍江大興安嶺地·高三校考階段練習）
47．已知的內角的對邊分別為，且.
(1)求邊長和角A；
(2)求的周長的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據余弦定理求得正確答案.
【詳解】依題意，，即，
所以，所以為銳角，所以.
故選：B
2．B
【分析】由題意得，為最大邊，利用余弦定理求得最大角的余弦值，從而求得最大角．
【詳解】一個三角形的三邊分別是、、，為最大邊．
設最大角為，由余弦定理可得
，，
因為，故此三角形中的最大角為，
故選：B．
3．B
【分析】根據余弦定理把題中條件化為邊的關系式，即可判定.
【詳解】根據余弦定理知，
，
所以，則,
故三角形為直角三角形，
故選：
4．A
【分析】利用余弦定理表示出，利用條件變換求解即可.
【詳解】因為，，且
由余弦定理知，
，
解得，
故選：
5．A
【分析】由，且，得到，利用余弦定理求解.
【詳解】因為，且，
所以，
所以 ，
因為 ，所以 ，
故選：A
6．C
【分析】根據余弦定理化簡可得，再結合條件即可求得答案.
【詳解】由得，即，
又，，故，（舍），
故選：C
7．A
【分析】解法一：設出，由余弦定理得到，得到方程，求出，作出輔助線，由余弦定理表達出，得到方程，求出，從而得到方程，求出，得到答案；
解法二：作出輔助線，由題目條件得到，，設，由勾股定理表達出，得到方程，求出答案.
【詳解】解法一：設，則，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
則，得．
如圖，過點A作交CB的延長線于點M，則，
又，，所以，，
則，．
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
則，整理得，
所以，得，即；
解法二：如圖，過點A作交CB的延長線于點M，
過點A作交CB的延長線于點H，易得，
又，，所以，，
則，，所以，，設，
所以，，
因為，所以，得，
所以，

故選：A
8．D
【分析】由面積是面積的3倍得，因此設，得，用余弦定理確定，求出比值后利用基本不等式得最小值，從而可得結論．
【詳解】設，∵面積是面積的3倍，∴，則，
在中，，
在中，，
故，
，當時，即取“=”，
，
當取最小值時，菊花的種植面積，
故選：D.
9．B
【分析】利用正弦定理、二倍角公式等知識求得正確答案.
【詳解】因為，所以．
因為，所以，所以．
因為，所以，則．
故選：B
10．C
【分析】利用正弦定理變形等式，可得三角形為等邊三角形，即得答案.
【詳解】因為，
有正弦定理得，
則，
所以，故，即，
代入上邊等式可得，，
則三角形為等邊三角形，
故
故選：
11．B
【分析】利用正弦定理可得，結合三角形內角和定理與誘導公式可得，從而可得結果.
【詳解】因為，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
【點睛】本題主要考查正弦定理的應用，屬于基礎題. 弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.
12．A
【分析】先應用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡求出角A,再根據正弦定理求出外接圓半徑即可.
【詳解】.
,
設該三角形外接圓的半徑為
由正弦定理得
故選：A.
13．C
【分析】由三角形內角和可判斷A項，由三角形中大邊對大角可判斷B項，由正弦定理解三角形可判斷C項，由余弦定理解三角形可判斷D項.
【詳解】對于A項，由，，可得，所以三角形只有一解；
對于B項，由，，，可得，所以，此時三角形有唯一的解；
對于C項，由正弦定理，可得，
可得B有兩解，所以三角形有兩解；
對于D項，由余弦定理得，
可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．
故選：C．
14．A
【分析】運用正弦定理計算出，結合有，計算出即可得.
【詳解】由，得，
又 ，，故只能為銳角，即，
故該三角形只有一解．
故選：A.
15．C
【分析】由題意可知，畫出和邊長，以為圓心，為半徑作圓與邊有兩個交點時即可求出的取值范圍.
【詳解】根據題意如下圖所示：

易知當時，，若滿足條件的三角形只有一個；
由題可知以為圓心，為半徑的圓與邊有兩個交點時，即圖中兩點滿足題意；
所以可得，即；
即的取值范圍是.
故選：C
16．B
【分析】根據題意，由正弦定理代入計算，即可得到結果.
【詳解】由正弦定理可得，，所以，
因為三角形有兩解，所以，且，因此由選項知，只有符合.
故選：B
17．B
【分析】根據同角三角函數的基本關系求出，結合正弦定理即可得解.
【詳解】在中，，
因為，所以，
則由正弦定理得.
故選：B．
18．C
【分析】運用正弦定理結合題目條件計算即可得.
【詳解】由正弦定理，得，
因為，所以，
又，所以．
故選：C.
19．D
【分析】相加即可求出，結合同角三角函數關系可求的，應用正弦定理即可求解.
【詳解】由，，得，
即，則，
由，解得，
由正弦定理知.
故選：D
20．B
【分析】先利用正弦定理、三角恒等變換等求出角的大小，然后利用正弦定理即可求出的值，進而求出的值．
【詳解】由可得，
由正弦定理得，
故，
又，所以，
因為，所以．
在中，由正弦定理得，，
所以，
因為，所以為銳角，
所以．
故選B．
21．D
【分析】利用余弦定理求，進而利用面積公式求面積.
【詳解】由題意可得：，即，
整理得，解得或（舍去），
所以的面積為.
故選：D.
22．D
【分析】先利用正弦定理角化邊可得，再由三角形面積公式可得，最后根據余弦定理求解即可.
【詳解】設中角所對的邊分別為，
因為，所以由正弦定理可得，
又解得，
所以由余弦定理可得，
因為，所以，
故選：D
23．B
【分析】先結合正弦定理化簡求出，進而求出角,再結合向量的實數化求出，則三角形的面積可求.
【詳解】因為，
所以由正弦定理可得，
因為在三角形中，
所以，
又因為，
所以，
所以或，
因為邊上中線長為，，
設中點為，
則可得，
所以，
又因為邊上中線長為，，
所以，
當時，代入可得，解之可得，
則
所以，即為直角三角形，與題意矛盾，故舍去.
當時，代入可得，解之可得，
則的面積.
故選：B.
24．B
【分析】在中，由正弦定理邊角關系得，由余弦定理求出角，由余弦定理結合基本不等式可得，進而可求出三角形面積的最大值.
【詳解】在中，，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
因為為的內角，則，
所以，
因為的外接圓的半徑為，
由正弦定理得：，所以，
由余弦定理得，即，
因為，所以，當且僅當時取等號，
故的面積，
所以面積的最大值為.
故選：B.
25．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理和正弦定理，結合正弦和角公式得到，從而得到，求出角A的大小；
（2）在（1）基礎上得到，結合正切和角公式得到，得到方程組，求出，得到為等邊三角形，求出三角形面積.
【詳解】（1），
由余弦定理得，
由正弦定理得，
，
即，
故，
因為，所以，
所以，化簡得，
因為，所以；
（2）由（1）知，
故，
∵，故，
聯立，解得，
∵，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴.
26．(1)
(2)若選擇①：；若選擇②：
【分析】（1）根據正弦定理化簡已知條件，再求出.
（2）若選擇①，則結合正弦定理、余弦定理求得中線長；若選擇②，則根據三角形的面積公式、余弦定理求得中線長.
【詳解】（1）∵，∴由正弦定理可得，
∴，∵，∴，
∴，解得.
（2）若選擇①：
由（1）可得.
設的外接圓半徑為，
則由正弦定理可得，
則周長，
解得，則，
由余弦定理可得邊上的中線的長為
.
若選擇②：
由（1）可得，即，
則，解得，
則由余弦定理可得BC邊上的中線的長為
.
27．(1)
(2)
【分析】（1）利用兩角和差正弦公式、正弦定理和余弦定理角化邊可整理得到關于的方程，解方程可求得結果；
（2）由三角形面積公式，結合余弦定理可求得，由此可得；利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換知識可將整理為關于的三角函數的形式，根據正弦型函數值域求法可求得結果.
【詳解】（1），
，
，解得：（舍）或，
.
（2），，
，又，，
，則，，
，
，，，，
又，周長的取值范圍為.
28．(1)，
(2)，
【分析】（1）根據題意，化簡得到，再由余弦定理求得，結合三角形的面積公式，即可求解；
（2）由，求得，由正弦定理，求得，進而求得的取值范圍.
【詳解】（1）解：由，可得，
因為，所以，所以，可得，
由余弦定理得，
所以的面積．
（2）解：因為，所以，
解得，
在中，由正弦定理得，則，
因為，故，所以，
即的取值范圍為.
29．米
【分析】根據正弦定理，分別在和中求出AC，BC，然后在中，由余弦定理求得AB.
【詳解】根據正弦定理，
在中，有(米)，
在中，有(米)．
在中，由余弦定理得AB＝＝(米)．
所以A，B兩點間的距離為米．
30．
【分析】利用正弦定理即可求解.
【詳解】由題知，
，
在中，由正弦定理得，
則.
在中，，
所以，
故黃河樓的實際高度約為.
31．(1)航行速度為
(2)航行方向為北偏東30°，航行速度為30,理由見解析
【分析】（1）利用余弦定理和二次函數的最值求解；
（2）要用時最小，則首先速度最高，然后是距離最短，則由(1)利用余弦定理得到方程解得對應的時間，再解得相應角，即可求解.
【詳解】（1）
如圖設小艇的速度為，時間為相遇，
則由余弦定理得:,
叩:,
當時，取得最小值，此時速度，
此時小艇的航行方向為正北方向，航行速度為.
（2）要用時最小，則首先速度最高，即為:30 ，
則由(1)可得:
,
即:,解得:，
此時,
此時，在中，，
故可設計航行方案如下:
航行方向為北偏東30°，航行速度為30，小艇能以最短時間與輪船相遇.
32．(1)
(2)預算資金夠用
【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解；
（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.
【詳解】（1）解：由，
得，
則，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
（2）在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于觀光通道每米的造價為2000元，所以總造價低于元，故預算資金夠用．
33．C
【分析】先求出角，再利用正弦定理求解
【詳解】由題且
由正弦定理得
故選：C
34．A
【分析】由余弦定理直接求解即可.
【詳解】在中，已知，，，
由余弦定理得：，
故選：A
35．A
【分析】根據余弦定理求得正確答案.
【詳解】依題意，，
由余弦定理得
，解得.
故選：A
36．D
【分析】利用正弦定理和二倍角公式計算即可.
【詳解】結合題意：利用正弦定理得：,即,
解得：.
故選：D.
37．B
【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式求解作答.
【詳解】在中，，，，由余弦定理得，
即，整理得，
所以.
故選：B
38．B
【分析】根據滿足條件的有兩個，可得出，求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】因為，，，且滿足條件的有兩個，
則，即，解得.
故選：B.
39．C
【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正確答案.
【詳解】如圖，在中，，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因為，所以解得，
由正弦定理得，故或，
因為，故為銳角，所以，
此時燈塔位于游輪的南偏西方向.
故選：C
40．B
【分析】根據條件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角轉邊即可得出結果.
【詳解】因為，所以，整理得到，
又由正弦定理，得到，
所以，得到，
又，所以，得到，又，所以，
故選：B.
41．C
【分析】對于A,利用正弦定理即可求解；
對于B，利用正弦定理及大邊對大角即可求解；
對于C，利用已知條件及誘導公式即可求解；
對于D，利用余弦定理及三角形的面積公式,結合同角三角函數的商數關系即可求解.
【詳解】對于A，由及正弦定理，得,所以，故A 正確；
對于B，由題意及正弦定理得,所以,因為，所以,所以或，即符合條件的三角形有2個，故B正確；
對于C，由，得或，所以或，所以或，故C錯誤；
對于D，由，得，所以，由于，所以，故D正確.
故選：C.
42．C
【分析】利用面積公式和余弦定理可得，然后根據正弦定理及三角變換可得，再根據三角形是銳角三角形，得到的范圍，轉化為三角函數求值域的問題.
【詳解】，
，
∴，即，為銳角，
∴，又，
由正弦定理可得，
所以
，其中，，
因為為銳角三角形，
所以，則，
即：，
所以，又，
∴，即，
故的周長的取值范圍是.
故選：C.
43．(1)或；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據正弦定理，得到.分、、討論，即可得出；
（2）由已知可得，求解不等式即可得出結果；
（3）由已知可得，求解不等式即可得出結果.
【詳解】（1）由正弦定理可得，.
（ⅰ）當，即時，.
①若，即，則不存在，無解，此時；
②若，即， ，有一解，此時；
③若，即，因為，此時可能是銳角或鈍角，即此時有兩解，此時，即.
綜上所述，當時，有一解；
（ⅱ）當，即時，，有一解；
（ⅲ）當，即時，，此時只能是銳角，有一解.
綜上所述，有一解時，邊長a的取值范圍是或.
（2）由（1）知，有兩解，應滿足，由，即，解得.
（3）由（1）知，無解，應滿足，即，解得.
44．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用余弦定理將已知等式統一成邊的形式，再結合余弦定理和，可求出角；
（2）由結合余弦的二倍角公式可求出，再利用余弦定理得，由結合余弦定理得，兩式結合化簡可證得結論.
【詳解】（1）解：因為，
所以由余弦定理得，
所以，得，
因為，所以，得，
所以由余弦定理得，
因為，所以；
（2）證明：因為，所以，
化簡整理得，
，解得或（舍去），
所以由余弦定理得，所以，
因為，
所以由余弦定理得，
整理得，
所以，
所以，得，
所以.
45．(1)2
(2)
【分析】（1）由余弦定理化簡已知等式，可求；
（2）由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡等式，求出角，面積公式求面積.
【詳解】（1）由余弦定理，得，
所以.
（2）若，由正弦定理，
，
，
所以，
因為，故，所以，
又，所以，
故的面積為.
46．(1)420米
(2)米
【分析】（1）設，利用在C地聽到彈射聲音的時間比D地晚秒，表示出BD，再由余弦定理，即可得解；
（2）解即可得解．
【詳解】（1）設，
∵在C地聽到彈射聲音的時間比D地晚秒，
∴，
在中，由余弦定理，
∴，解得，
故B，C兩地間的距離為420米；
（2）在中，，
∴米，
故該儀器的垂直彈射高度為米．
47．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得到，從而得到，由求出；
（2）根據余弦定理和基本不等式求出，結合三角形三邊關系得到周長的取值范圍.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理得，
，
，
，
可得，
因為，所以，
由得，
得，
故或，故或0 (舍去).
（2）因為，
由余弦定理得，即，
所以，
又，即，
解得，
根據三角形三邊關系得到，
故，
的周長的取值范圍是.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑