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第05講 復數的概念-【寒假預科講義】（人教A版2019必修第一冊）
·模塊一 數系的擴充和復數的概念
·模塊二 復數的幾何意義
·模塊三 課后作業
1.數系的擴充與復數的相關概念
（1）復數的引入
為了解決+1=0這樣的方程在實數系中無解的問題，我們引入一個新數i，規定：
①=-1，即i是方程+1=0的根；
②實數可以和數i進行加法和乘法運算，且加法和乘法的運算律仍然成立.
在此規定下，實數a與i相加，結果記作a+i；實數b與i相乘，結果記作bi；實數a與bi相加，結果
記作a+bi.注意到所有實數以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數都在擴充后的新數集中.
（2）復數的概念
我們把形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位.全體復數構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做復數集.這樣，方程+1=0在復數集C中就有解x=i了.
（3）復數的表示
復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復數z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復數z的實部與虛部.
（4）復數的分類
對于復數a+bi，當且僅當b=0時，它是實數；當且僅當a=b=0時，它是實數0；當b≠0時，它叫做虛數；當a=0且b≠0時，它叫做純虛數.
顯然，實數集R是復數集C的真子集，即R C.
復數z=a+bi可以分類如下：
復數，
復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系，可用圖表示.
2.復數相等
在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規定：a+bi與c+di相等當且僅當
a=c且b=d，即當且僅當兩個復數的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復數才相等.
【考點1 復數的分類及辨析】
【例1.1】（2022·高一課時練習）
1．在，，，，0.618這五個數中，純虛數的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例1.2】（2023下·高一課前預習）
2．下列關于復數的說法一定正確的是（ ）
A．是虛數 B．存在x使得是純虛數
C．不是實數 D．實部和虛部均為1
【變式1.1】（2023上·四川遂寧·高二?？茧A段練習）
3．如果復數是純虛數,則實數= ( )
A． B． C． D．
【變式1.2】（2023·高一課時練習）
4．對于復數，下列結論中正確的是（ ）
A．若，則為純虛數
B．若，則，
C．若，則為實數
D．若，則z不是復數
【考點2 復數的相等】
【例2.1】（2023·內蒙古包頭·一模）
5．設，其中a，b是實數，則（ ）
A． B． C． D．
【例2.2】（2022·高一課時練習）
6．若，，則復數等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2.1】（2023下·山西陽泉·高一統考期末）
7．已知復數，且，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2.2】（2022·全國·高一專題練習）
8．下列命題：①若，則；②；③若，且，則.其中正確命題的個數為（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
1.復數的幾何意義
（1）復平面
根據復數相等的定義，可得復數z=a+bi有序實數對(a,b)，而有序實數對(a,b)平面
直角坐標系中的點，所以復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系.
如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標系來
表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.
（2）復數的幾何意義——與點對應
由上可知，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一
的一個復數和它對應.復數集C中的數和復平面內的點是一一對應的，即復數z=a+bi復平面內的點Z(a,b)，這是復數的一種幾何意義.
（3）復數的幾何意義——與向量對應
在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一
對應的.這樣就可以用平面向量來表示復數.
如圖所示，設復平面內的點Z表示復數z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.
因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量是一一對應的(實數0與零向量對應)，即復數z=a+bi平面向量，這是復數的另一種幾何意義.
2.復數的模
向量的模r叫做復數z=a+bi的模或絕對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數a，它
的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3.共軛復數
（1）定義
一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0
的兩個共軛復數也復數z的共軛復數用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實數a的共軛復數仍是a本身.
（2）幾何意義
互為共軛復數的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱(如圖).特別地，實數和它的共軛復數在復
平面內所對應的點重合，且在實軸上.
（3）性質
①.
②實數的共軛復數是它本身，即z=z∈R，利用這個性質可證明一個復數為實數.
4.復數的模的幾何意義
（1）復數z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復數z=a+bi在復平面內對應的點Z(a,b)到坐標原點的距離，這是復數
的模的幾何意義.
（2）復數z在復平面內對應的點為Z，r表示一個大于0的常數，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以
原點為圓心，r為半徑的圓，|z|r表示圓的外部.
【考點1 復數的幾何意義】
【例1.1】（2023上·河北滄州·高三校聯考階段練習）
9．若復數，其中，則復數在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例1.2】（2023上·寧夏銀川·高三校考階段練習）
10．復平面上，以原點為起點，平行于虛軸的非零向量所對應的復數一定是（ ）
A．正數 B．負數 C．實部不為零的虛數 D．純虛數
【變式1.1】（2023·河南鄭州·統考模擬預測）
11．已知在復平面內對應的點位于第四象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1.2】（2023上·江蘇南通·高三校考階段練習）
12．已知復數，（為虛數單位），在復平面上對應的點分別為A，B，C.若四邊形為平行四邊形（O為復平面的坐標原點），則復數為（ ）
A． B． C． D．
【考點2 共軛復數】
【例2.1】（2023上·云南紅河·高二?？茧A段練習）
13．已知復數在復平面內對應的點的坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
【例2.2】（2022下·浙江寧波·高二?？紝W業考試）
14．已知（虛數單位）， 則的共軛復數的虛部為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【變式2.1】（2023上·北京東城·高三?？计谀?br/>15．復數，在復平面內的共軛復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式2.2】（2023上·河北衡水·高三?？茧A段練習）
16．已知復數，則下列說法正確的是（ ）
A．z的共軛復數在復平面內對應的點在第四象限 B．z的虛部為
C．z的共軛復數 D．z的模為
【考點3 復數的模的計算】
【例3.1】（2023·全國·模擬預測）
17．若，z為純虛數，且，則（ ）
A． B．5 C． D．3
【例3.2】（2023下·廣東河源·高二校考期中）
18．已知復數為純虛數（，是虛數單位），且，則（ ）
A．且 B．且 C．或 D．或
【變式3.1】（2022·陜西·統考二模）
19．設復數z滿足，且z的實部小于虛部，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3.2】（2023·江蘇南通·統考一模）
20．在復平面內，復數對應的點關于直線對稱，若，則（ ）
A． B．2 C． D．4
【考點4 復數的模的幾何意義】
【例4.1】（2023·全國·高一課堂例題）
21．設：，點對應復數，在復平面內滿足下列條件的點的集合是什么圖形？
(1)；
(2)．
【例4.2】（2023下·高一課時練習）
22．已知復平面內的動點所對應的復數為，且滿足，求點與復數所對應的點的距離的最大值．
【變式4.1】（2023上·上海奉賢·高二?？茧A段練習）
23．已知復數滿足.
（1）若是實數，求復數；
（2）求的取值范圍.
【變式4.2】（2022·高一單元測試）
24．已知復數滿足，且復數在復平面內的對應點為．
(1)確定點的集合構成圖形的形狀；
(2)求的最大值和最小值．
25．下列四種說法正確的是（ ）
A．如果實數，那么是純虛數．
B．實數是復數．
C．如果，那么是純虛數．
D．任何數的偶數次冪都不小于零．
（2023上·云南昆明·高二校考階段練習）
26．若，則“”是復數“為純虛數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023上·北京·高三?？茧A段練習）
27．在復平面內，復數對應的點的坐標是，則的共軛復數（　　）
A． B．
C． D．
（2023下·內蒙古興安盟·高二校考期中）
28．若復數在復平面內對應的點在第一象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·云南·高二校聯考期中）
29．已知，，若，則z的虛部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
（2023下·浙江臺州·高一校聯考期中）
30．若a，，i是虛數單位，且，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023下·廣東肇慶·高一統考期末）
31．設為復數，若，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023上·安徽阜陽·高三?？计谀?br/>32．已知為虛數單位，復數z滿足，則的虛部為（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
（2023上·安徽·高三校聯考階段練習）
33．若，其中a，，是虛數單位，則（ ）
A．2 B． C．3 D．5
（2023·全國·高一隨堂練習）
34．設，則滿足的復數在復平面上的對應點構成圖形的面積是（ ）
A． B． C． D．
（2023下·陜西寶雞·高一統考期中）
35．當實數取什么值時，復數是下列數？
(1)實數；
(2)虛數；
(3)純虛數.
（2023下·河北·高一校聯考期末）
36．已知復數，，其中是虛數單位，．
(1)若為純虛數，求的值；
(2)若，求的取值范圍．
（2022下·山東青島·高一統考期末）
37．已知復數，為虛數單位，．
(1)若為純虛數，求的值；
(2)若在復平面上表示復數的點位于第二象限，求的取值范圍；
(3)若在復平面上表示復數的點位于直線上，求的值．
（2023下·高一課時練習）
38．（1）求復數的模的最小值；
（2）復數，若，，，求復數對應的點的集合形成的圖形的面積．
（2023下·重慶·高二校聯考期末）
39．已知復數滿足，的實部與虛部的積為.
（1）求；
（2）設， ，求的值.
從①；②為純虛數；③在復平面上對應點的坐標為.這三個條件中選一個，將問題（2）補充完整，并作答.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）
試卷第2頁，共2頁
試卷第1頁，共1頁
參考答案：
1．C
【分析】根據復數的定義、復數的分類判斷．
【詳解】，是純虛數，，0.618是實數，是虛數．故純虛數的個數為2．
故選：C．
2．B
【詳解】由復數，
當時，為實數，故A、C不正確；
當時，，故B正確；
由于的取值未知，故D錯誤；
故選：B
3．C
【分析】由純虛數概念建立關系式求解即可.
【詳解】由復數是純虛數，
得，解得.
故選：C.
4．C
【分析】結合復數概念逐一判斷即可.
【詳解】對A，當時，為實數，故A錯；對B，根據對應關系，，，故B錯；
對C，若，則為實數，C正確；對D，若，，也是復數，故D錯.
故選：C
5．B
【分析】利用復數相等即可求出結果.
【詳解】因為，即，
則，即，
故選：B.
6．B
【分析】利用復數相等的條件即可得解.
【詳解】由，得，則，
根據復數相等的充要條件得，解得，
故．
故選：B．
7．B
【分析】利用復數相等可得和三角函數的平方關系可得，再根據正弦函數的取值范圍與二次函數的性質可得的取值范圍.
【詳解】復數，且，
所以，則
因為，所以，當時，，當時，
所以的取值范圍是.
故選：B.
8．B
【分析】通過反例可知①②錯誤；由且可構造方程組求得，知③正確.
【詳解】對于①，若，，則，①錯誤；
對于②，若，，則，②錯誤；
對于③，由，得：，解得：，③正確.
故選：B.
9．D
【分析】寫出復數的實部與虛部，再判斷其正負，再結合復數的幾何意義判斷即可.
【詳解】因為，實部為，虛部為，
因為，所以，，
所以復數在復平面內對應的點為位于第四象限.
故選：D
10．D
【分析】根據向量的坐標寫出對應復數，然后判斷即可.
【詳解】由題意可設，
所以對應復數為，此復數為純虛數，
故選：D.
11．A
【分析】根據已知條件，結合復數的幾何意義得出對應點的坐標，即可求出實數的取值范圍.
【詳解】將整理化簡可得，
所以復數在復平面內對應的點坐標為，
由點位于第四象限可得，解得，
所以實數的取值范圍是.
故選：A
12．A
【分析】根據四邊形為平行四邊形列方程，由此求得.
【詳解】設，則，
依題意，
由于四邊形是平行四邊形，
所以，
所以.
故選：A

13．D
【分析】由復數的坐標表示及共軛復數概念可得答案.
【詳解】由題，，故，
故選：D
14．C
【分析】根據共軛復數定義得，即可確定虛部.
【詳解】由題設，故其虛部為3.
故選：C
15．D
【分析】根據復數的除法運算得到，再由共軛復數的概念及復數的幾何意義即可求解.
【詳解】，
，
復數的共軛復數在復平面內所對應的點位于第四象限，
故選：D.
16．D
【分析】根據復數的除法運算化簡求出，即可依次判斷每個選項.
【詳解】，
的共軛復數為，故C錯誤，共軛復數對應的點在第一象限，故A錯誤；
的虛部為，故B錯誤；z的模為，故D正確.
故選：D.
17．A
【分析】根據復數相等及復數的模求解即可.
【詳解】因為z為純虛數，
所以設，
由得，
所以，解得，
所以，則，
故選：A．
18．D
【分析】根據已知條件，結合純虛數的定義，以及復數模公式，即可求解．
【詳解】復數為純虛數，則，即，故，
由，則或．
故選：D．
19．D
【分析】設，根據已知條件列方程，從而求得，也即求得.
【詳解】設，
則，
所以.
故選：D
20．C
【分析】根據對稱性得到，從而計算出，求出模長.
【詳解】對應的點為，其中關于的對稱點為，
故，
故.
故選：C
21．(1)滿足條件點的集合是以原點為圓心，以2為半徑的圓
(2)以原點為圓心，以2和3為半徑的兩圓所夾的圓環，并包括圓環的邊界
【分析】（1）根據復數模長的幾何意義求解即可.
（2）根據復數模長的幾何意義求解即可.
【詳解】（1）復數的模等于2，這表明，復數對應的向量之的長度等于2，
即點到原點的距離等于2，
因此滿足條件點的集合是以原點為圓心，以2為半徑的圓．
（2）不等式可以化為不等式組
不等式的解集是圓和該圓內部所有的點構成的集合，
不等式的解集是圓和該圓外部所有的點構成的集合，
這兩個集合的交集，即上述不等式組的解集，也就是滿足條件的點的集合．
所求的集合是以原點為圓心，以2和3為半徑的兩圓所夾的圓環，并包括圓環的邊界.

22．
【分析】首先求出點的軌跡，再根據數形結合求距離的最大值.
【詳解】∵滿足的點Z的軌跡是以，對應的點B，C為端點的線段．
由平面幾何知識知點與復數所對應的點的距離的最大值．

23．（1）復數或；（2）.
【分析】（1）利用實數概念及模長，即可得到復數；
（2）利用點與圓的位置關系，即可得到取值范圍.
【詳解】（1）設i ，、，則，
又是實數，
∴，又，
∴或，
∴復數或；
（2）
表示復數對應的點與對應的點間的距離，
而復數在以原點為圓心，半徑為5的圓上，
如圖所示，
，
∴.

24．(1)點的集合是以點為圓心，2為半徑的圓
(2)最大值為7，最小值為3
【分析】（1）根據復數模的幾何意義確定點的集合構成圖形的形狀.
（2）根據復數模的幾何意義，結合圓的幾何性質求得正確答案.
【詳解】（1）設復數在復平面內的對應點為，
則，
故點的集合是以點為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示．
（2）設復數在復平面內的對應點為，則,如下圖所示，
，
則的最大值即的最大值是；
的最小值即的最小值是．
25．B
【分析】根據復數的概念及分類，逐項判定，即可看求解.
【詳解】對于A中，若，那么，所以A錯誤；
對于B中，由復數的概念，可得實數是復數，所以B正確；
對于C中，若且時，復數，所以C不正確；
對于D中，由虛數單位，可得D錯誤.
故選：B.
26．C
【分析】由復數為純虛數求出參數的值，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由“”為純虛數，得，解得，
故“”是復數“為純虛數”的充要條件.
故選：C.
27．B
【分析】根據復數對應的點的坐標寫出復數的代數形式，結合共軛復數的定義進行求解即可.
【詳解】因為復數對應的點的坐標是，
所以，因此，
故選：B
28．C
【分析】根據復數對應的點在各個象限的特征即可求解.
【詳解】由在復平面內對應的點在第一象限,所以，
故選：C
29．A
【分析】根據復數相等求得，然后利用共軛復數的概念求虛部，即可求解．
【詳解】由，可得，所以，所以的虛部是．
故選：A．
30．D
【分析】根據復數相等的充要條件列出方程，求解即可得出答案.
【詳解】根據復數相等的充要條件可得，解得，
所以，.
故選：D.
31．D
【分析】結合復數的概念結合條件可得a，b范圍，進而即可判斷復數位于第幾象限.
【詳解】設z，則，
∴，，∴，，
∴，，即z位于第四象限，
故選：D.
32．A
【分析】設，根據模長公式列出方程，求出，得到答案.
【詳解】設，則，解得：，
故的虛部為-1.
故選：A．
33．B
【分析】利用復數相等的條件，求出，由復數模的公式計算.
【詳解】若，即，
得，解得，
所以．
故選：B
34．C
【分析】設，，依題意可得，即可得到復數在復平面內的點所在的區域，從而求出其面積.
【詳解】設，，則，
因為，所以，則，
所以復數在復平面內的點位于以坐標原點為圓心，半徑為到半徑為之間的圓環部分（包括圓上的點），
所以復數在復平面上的對應點構成圖形的面積.
故選：C
35．(1)或
(2)且
(3)
【分析】（1）令復數虛部等于0，即可求得答案；
（2）令復數的虛部不等于0，即可求得答案；
（3）根據純虛數的概念，令實部等于0，虛部不為0，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意復數，
當，即或時，所給復數是實數.
（2）當，即且時，所給復數是虛數.
（3）當，即時，所給復數是純虛數.
36．(1)
(2)
【分析】（1）z1為純虛數，則其實部為0，虛部不為0，解得參數值；
（2）由z1＝z2，實部、虛部分別相等，求得關于的函數表達式，根據的范圍求得參數取值范圍.
【詳解】（1）由z1為純虛數，
則，解得m＝－2.
（2）由，得
∴
∵，
∴當時，，當時，，
∴實數的取值范圍是.
37．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據為純虛數得出關于的方程組，從而得出答案.
（2）根據復數的點位于第二象限則，從而得出答案.
（3）將復數對應的點坐標代入直線方程，從而可得出答案.
【詳解】（1）為純虛數,則，解得
（2）復數的點位于第二象限則，解得
（3）復數的點位于直線上，則
解得或
38．（1）；（2）
【分析】（1）根據復數的模的定義求的解析式，再由二次函數性質和根式性質求其最小值即可；
（2）由條件確定復數對應的點的集合形成的圖形，再求其面積.
【詳解】（1）∵
所以，
當且僅當時，等號成立，
∴當時，取得最小值．
（2）復數在復平面上的對應點的坐標為，
因為，，，
所以，，，
所以復數對應的點的集合形成的圖形如下圖中的陰影部分（不包括軸上的點）：

所以復數對應的點形成的圖形的面積.
39．（1）；（2）答案見解析.
【分析】（1）由已知，利用復數的模的計算公式和實部虛部的概念列出方程組，求得m,n的值，進而得解；
（2）根據各個條件，選擇其中之一，或者根據復數相等的條件，或者根據復數為純虛數的條件，或者根據復數的幾何意義對應的點的坐標的意義，列出方程組求解即得.
【詳解】（1）解：由，
，解得，
所以.
（2）
若選①，由，則，解得
若選②，由題意，解得
若選③，由題意，解得.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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