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第06講 復(fù)數(shù)的四則運算-【寒假預(yù)科講義】（人教A版2019必修第一冊）
模塊一 復(fù)數(shù)的四則運算
模塊二 復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根
模塊三 課后作業(yè)
1．復(fù)數(shù)的加法運算及其幾何意義
（1）復(fù)數(shù)的加法法則
設(shè)=a+bi，=c+di（a，b，c，dR）是任意兩個復(fù)數(shù)，那么+=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i.
（2）復(fù)數(shù)的加法滿足的運算律
對任意，，∈C，有
①交換律：+=+；
②結(jié)合律：（+）+=+（+）.
（3）復(fù)數(shù)加法的幾何意義
在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)=a+bi，=c+di（a，b，c，d∈R）對應(yīng)的向量分別為，，則=（a，b），=（c，d）.以，對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形 （如圖所示），則由平面向量的坐標(biāo)運算，可得=+=（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d），即z=（a+c）+（b+d）i，即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)（a+c）+（b+d）i對應(yīng)的向量.
2．復(fù)數(shù)的減法運算及其幾何意義
（1）復(fù)數(shù)的減法法則類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足（c+di）+（x+yi）=a+bi的復(fù)數(shù)
x+yi（x，y∈R）叫做復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）減去復(fù)數(shù)c+di（c，d∈R）的差，記作（a+bi）-（c+di）.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=（a-c）+（b-d）i，即（a+bi） -（c+di）=（a-c）+（b-d）i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.
（2）復(fù)數(shù)減法的幾何意義
兩個復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di（a，b，c，d∈R）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個復(fù)數(shù)的差-對應(yīng)的向量是-，即向量.如果作=，那么點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是-（如圖所示）.這說明兩個向量與的差就是與復(fù)數(shù)（a-c）+（b-d）i對應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.

3．復(fù)數(shù)的乘法運算
（1）復(fù)數(shù)的乘法法則
設(shè)=a+bi，=c+di（a，b，c，d∈R）是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積（a+bi）（c+di）=ac+bci+adi+=（ac-bd）+（ad+bc）i.可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把換成-1，并且把實部與
虛部分別合并即可.
（2）復(fù)數(shù)乘法的運算律
對于任意，，∈C，有
①交換律：=；
②結(jié)合律：（）=（）；
③分配律：（+）=+.
在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運算律仍然成立.即對于任意復(fù)數(shù)z，，和正整數(shù)m，n，有=，
=，=.
4．復(fù)數(shù)的除法
（1）定義
我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算.即把滿足（c+di）（x+yi）=a+bi（c+di≠0）的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記作（a+bi）÷（c+di）或（a，b，c，d∈R，且c+di≠0）.
（1）復(fù)數(shù)的除法法則
（a+bi）÷（c+di）====+i（a，b，c，d∈R，且c+di≠0）.由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為0），所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).
5．復(fù)數(shù)運算的常用技巧
（1）復(fù)數(shù)常見運算小結(jié)論
①；
②；
③；
④；
⑤.
（2）常用公式
；
；
.
【考點1 復(fù)數(shù)的加、減運算】
【例1.1】（2023下·黑龍江綏化·高一校考期末）
1．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．0
【例1.2】（2023下·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）
2．若復(fù)數(shù)，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】（2023下·四川涼山·高一校聯(lián)考期末）
3．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則復(fù)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【變式1.2】（2022下·高一課時練習(xí)）
4．若（為虛數(shù)單位），則（ ）
A． B． C． D．
【考點2 復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用】
【例2.1】（2023·貴州六盤水·一模）
5．在復(fù)平面內(nèi)，O為原點，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若，則z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
【例2.2】（2023·高一課時練習(xí)）
6．在平行四邊形ABCD中，若A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為（ ）
A． B．5 C．2 D．10
【變式2.1】（2023下·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）
7．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2.2】（2023·高一課時練習(xí)）
8．如圖，設(shè)向量，，所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【考點3 復(fù)數(shù)的乘除運算】
【例3.1】（2023上·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
9．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【例3.2】（2023·青海·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
10．設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3.1】（2023上·湖南邵陽·高二校考階段練習(xí)）
11．若，則（ ）
A．-2-4i B．-2+4i C．6-2i D．6+2i
【變式3.2】（2023上·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
12．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C．3 D．2
【考點4 根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算結(jié)果求參數(shù)】
【例4.1】（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測）
13．設(shè)復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【例4.2】（2022·河南·寶豐縣校聯(lián)考模擬預(yù)測）
14．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實部是虛部的2倍，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4.1】（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
15．已知復(fù)數(shù)的實部與虛部的和為12，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式4.2】（2023上·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）
16．已知a，b為實數(shù)，復(fù)數(shù)，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【考點5 根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征】
【例5.1】（2023下·四川眉山·高一校考期中）
17．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例5.2】（2023下·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期末）
18．復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A． B． C．1 D．
【變式5.1】（2023下·江蘇無錫·高二統(tǒng)考期末）
19．已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5.2】（2023下·廣東東莞·高一校考階段練習(xí)）
20．如果一個復(fù)數(shù)的實部和虛部相等，則稱這個復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)（其中）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實數(shù)系一元二次方程的根
若一元二次方程+bx+c=0（a≠0，且a，b，c∈R），則當(dāng)>0時，方程有兩個不相等的實根，=當(dāng)=0時，方程有兩個相等的實根==-；當(dāng)<0時，方程有兩個虛根=，=，且兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù).
【考點1 復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】
【例1.1】（2022·高一課時練習(xí)）
21．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：
(1)；
(2)．
【例1.2】（2022·高一課時練習(xí)）
22．利用公式，把下列各式分解為一次因式的乘積：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【變式1.1】（2023·高一課時練習(xí)）
23．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：
(1)；
(2)；
(3).
【變式1.2】（2023·高一課時練習(xí)）
24．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：
(1)；
(2).
【考點2 復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根】
【例2.1】（2023·全國·高一課堂例題）
25．在復(fù)數(shù)集C內(nèi)解下列方程：
(1)；
(2)．
【例2.2】（2023下·寧夏銀川·高二校考期中）
26．已知復(fù)數(shù)，.
(1)求；
(2)已知是關(guān)于的方程的一個根，求實數(shù)，的值.
【變式2.1】（2023上·江西新余·高二校考開學(xué)考試）
27．已知關(guān)于的方程，其中a，b為實數(shù)．
(1)設(shè)（是虛數(shù)單位）是方程的根，求a，b的值；
(2)證明：當(dāng)，且時，該方程無實數(shù)根．
【變式2.2】（2023下·上海閔行·高一校考階段練習(xí)）
28．已知關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程
(1)若，求方程的兩個根；
(2)若方程有兩虛根，，求的值；
(3)若方程的兩根為，其在復(fù)平面上所對應(yīng)的點分別為，點關(guān)于軸的對稱點為（不同于點），如果，求的取值范圍.
（2023下·西藏林芝·高二校考期末）
29．若復(fù)數(shù)，則 （ ）
A． B． C． D．
（2023下·河南鄭州·高一校考階段練習(xí)）
30．復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
（2023下·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）
31．實數(shù)時，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
32．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
（2022下·福建福州·高一統(tǒng)考期中）
33．多項式在復(fù)數(shù)集中因式分解的結(jié)果是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
34．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023上·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）
35．已知、為實數(shù)，是關(guān)于的方程的一個根，則（ ）
A． B． C． D．
（2022下·河南商丘·高二校聯(lián)考期中）
36．若復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）的實部和虛部相等，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·河北石家莊·高三校考開學(xué)考試）
37．已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個根，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
38．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023下·陜西西安·高一期中）
39．計算下列各題:
(1)；
(2).
（2023下·安徽蕪湖·高一校考期中）
40．已知復(fù)數(shù)，，i為虛數(shù)單位．
(1)若，求z的共軛復(fù)數(shù)；
(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．
（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習(xí)）
41．已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，且．
(1)求m的值；
(2)若是關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程的一個根，求該一元二次方程的另一復(fù)數(shù)根．
（2022上·上海楊浦·高二復(fù)旦附中校考期末）
42．已知關(guān)于x的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根分別為 .
(1)若該方程沒有實根，求實數(shù)a的取值范圍；并在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)對進(jìn)行因式分解；
(2)若，求實數(shù)a的值.
（2023·高一課時練習(xí)）
43．已知平行四邊形ABCD中，與對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3＋2i與1＋4i，兩對角線AC與BD相交于P點.
（1）求對應(yīng)的復(fù)數(shù)；
（2）求對應(yīng)的復(fù)數(shù)；
（3）求△APB的面積.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的減法計算即可.
【詳解】由題意，時，.
故選：C
2．A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運算，即可得答案.
【詳解】因為 ，，所以，
故選：A
3．D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則計算可得.
【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則，所以.
故選：D．
4．B
【分析】移項化簡可得．
【詳解】，，
故選：B
5．C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義及法則即可求解.
【詳解】因為O為原點，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，
又因為，
所以由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可得，
.
故選：C.
6．B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義求出向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式即可求出．
【詳解】依題意，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的長度為|－3－4i|＝5.
故選：B．
7．B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義運算求解.
【詳解】在復(fù)平面中，設(shè)分別與向量對應(yīng)，
由題意可得，，
因為，
即，解得，即.
故選：B.
8．D
【分析】由向量，結(jié)合向量減法運算得，再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.
【詳解】由題圖可知，，，
∴z1＋z2－z3＝0.
故選：D
【點睛】本題考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面的對應(yīng)關(guān)系，向量的線性運算，屬于中檔題
9．B
【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘方和乘法運算化簡，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求解.
【詳解】解：因為，
所以.
故選：B
10．B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求解出，然后可得共軛復(fù)數(shù).
【詳解】因為，
所以，
故選：B.
11．C
【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，所以.
故選：C.
12．B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡，即可利用模長公式求解.
【詳解】．
故選：B．
13．D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡復(fù)數(shù)z，根據(jù)實部與虛部互為相反數(shù)列式計算，即得答案.
【詳解】，
由已知得，解得，
故選：D
14．B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得復(fù)數(shù)的實部和虛部，由題意列式，求得答案.
【詳解】，所以，
解得，
故選：B.
15．B
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算化簡復(fù)數(shù)，然后根據(jù)實部和虛部的定義求解即可.
【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法運算可知，，
因為復(fù)數(shù)的實部與虛部的和為12，所以，解得，.
故選：B.
16．A
【分析】由已知利用復(fù)數(shù)相等列出方程組，求出即可得答案.
【詳解】因為，所以，
則，即，
從而，即，解得，故
故選：A.
17．B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得復(fù)數(shù)為，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.
故選：B.
18．D
【分析】化簡復(fù)數(shù)，即可得到答案.
【詳解】，故復(fù)數(shù)的虛部是.
故選：D.
19．C
【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運算，即可求出復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點坐標(biāo).
【詳解】，
所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為.
故選：C．
20．A
【分析】根據(jù)題意求得，得到，化簡，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】因為復(fù)數(shù)（其中）為“等部復(fù)數(shù)，可得，
即，可得，
則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為位于第一象限.
故選：A.
21．(1)
(2)
【分析】（1）（2）結(jié)合復(fù)數(shù)運算求得正確答案.
【詳解】（1）由于，
所以.
（2）由于，
所以.
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據(jù)所給等式，直接可得答案；
（2）利用平方差公式結(jié)合所給等式，可得答案；
（3）先用完全平公式化簡，再利用已知等式，可得答案；
（4）先配方變?yōu)槠椒胶托问?再利用已知等式分解可得答案.
【詳解】（1）;
（2）,
（3）
（4）
23．(1)
(2)
(3)
【分析】利用完全平方公式平方差公式將所給的表達(dá)式分解因式.
【詳解】（1）
（2）
（3）∵
∴
∴
24．(1)
(2)
【分析】（1）由利用平方差公式可得答案；
（2）由利用平方差公式可得答案.
【詳解】（1）；
（2）.
25．(1)或．
(2)或．
【分析】（1）移項開根號即可得到答案；
（2）配方即可計算得到答案.
【詳解】（1），則，則.
（2）配方，得．
或，
所以或．
26．(1)
(2)，
【分析】（1）由復(fù)數(shù)的乘、除法運算化簡復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的模長公式求解即可得出答案；
（2）將代入化簡，再利用復(fù)數(shù)相等的條件可求得實數(shù)，的值.
【詳解】（1），
.
（2），
因為是關(guān)于的方程的一個根，
所以，
所以，即
.
27．(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程復(fù)數(shù)根的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)一元二次方程的判別式即可判斷.
【詳解】（1）∵是方程的根，∴也是方程的根，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，
得，解得，；
（2）∵，∴，∴，即，
∴，∴原方程無實數(shù)根．
28．(1)、
(2)
(3)
【分析】（1）利用求根公式計算可得；
（2）由求出的取值范圍，依題意可得、互為共軛復(fù)數(shù)，則，即可求出的值；
（3）分和兩種情況討論，結(jié)合求根公式及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到不等式，解得即可.
【詳解】（1）當(dāng)時方程為，則，
所以方程的根為、
（2）因為方程有兩虛根，所以，
解得，
此時方程有兩個共軛復(fù)根、，故，又，所以，
所以，解得或（舍去）.
（3）若，即或時，
此時，，
則，，，
顯然，
所以，
則
，
即，解得或，
所以或；
若，即時，
設(shè)，（），
則，，，
所以，，
所以，即，又，，
所以，解得或，所以；
綜上可得的取值范圍為.
29．A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加法的運算法則，準(zhǔn)確計算，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)，則.
故選：A.
30．D
【分析】根據(jù)及向量的復(fù)數(shù)表示，運算得到答案.
【詳解】復(fù)數(shù)與分別表示向量與，
因為，所以表示向量的復(fù)數(shù)為.
故選：D.
31．A
【分析】先將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合的范圍判斷出實部和虛部的符號，從而得到答案.
【詳解】
又，故
故該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限.
故選：
32．B
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算，求出復(fù)數(shù)z，可求.
【詳解】由題意得，所以，所以，
故，所以.
故選：B.
33．A
【分析】首先求出方程的復(fù)數(shù)根，即可得解；
【詳解】解：對于方程，因為，
所以有兩個虛根，即，，
所以；
故選：A
34．D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算求得z，然后根據(jù)復(fù)數(shù)與對應(yīng)點的關(guān)系，可得結(jié)果.
【詳解】因為，
所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.
故選：D.
35．B
【分析】分析可知關(guān)于的方程的兩個虛根分別為、，利用韋達(dá)定理可求得、的值，即可得解.
【詳解】因為、為實數(shù)，是關(guān)于的方程的一個根，
所以，關(guān)于的方程的兩個虛根分別為、，
由韋達(dá)定理可得，可得，
，解得，故.
故選：B.
36．C
【分析】根據(jù)的周期性及復(fù)數(shù)的除法運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)實部與虛部相等即可求解.
【詳解】由題意可知，，
因為復(fù)數(shù)的實部和虛部相等，
所以，解得，
所以．
故選：C．
37．A
【分析】利用實系數(shù)一元二次方程虛根成對，應(yīng)用韋達(dá)定理，求得的值
【詳解】因為是關(guān)于的方程的一個根,所以也是方程的根.
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得
即得,
所以
故選:A.
38．A
【分析】由已知得出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡得出，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，，
則，
所以，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，該點位于第一象限.
故選：A.
39．(1)
(2)
【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的四則運算求解即可；
（2）利用復(fù)數(shù)的四則運算求解即可.
【詳解】（1）
.
；
（2）
.
.
40．(1)；
(2)．
【分析】（1）由復(fù)數(shù)除法運算求得，再由共軛復(fù)數(shù)定義得結(jié)論；
（2）求出，再根據(jù)第四象限點的特征列不等式組求解．
【詳解】（1），所以；
（2），對應(yīng)點坐標(biāo)為，
由題意，解得．
41．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合復(fù)數(shù)的加法運算即可求解參數(shù)的值；
（2）首先將代入一元二次方程中求出參數(shù)，的值，然后再根據(jù)求根公式求解另外一個復(fù)數(shù)根即可.
【詳解】（1）已知，則，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，將代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
帶入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一個復(fù)數(shù)根為
42．(1)，
(2)或
【分析】（1）若該方程沒有實根，則，解之即可，由，可得，即可在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)對進(jìn)行因式分解；
（2）分和兩種情況討論，結(jié)合韋達(dá)定理從而可得出答案.
【詳解】（1）解：若該方程沒有實根，
則，解得，
由，得，
所以，即，
所以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)對；
（2）解：當(dāng)，即時，
則都是實數(shù)，
由韋達(dá)定理可知，
故都是非負(fù)數(shù)，
所以，所以；
當(dāng)，即時，方程有兩個共軛虛根，設(shè)為，
則，
故，解得或（舍去），
綜上所述，或.
43．（1）－2＋2i；（2）5；（3）.
【分析】(1)平行四邊形ABCD中，有且與對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3＋2i與1＋4i，即對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋2i
(2)同(1)，由于，而與對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3＋2i與－2＋2i，即對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5
(3) 平行四邊形ABCD中，根據(jù)向量的關(guān)系得到、，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和幾何意義有，解得cos∠APB＝進(jìn)而得到sin∠APB＝，再由三角形面積公式求得面積為5
【詳解】由題意，畫出平行四邊形如下圖示

（1）在平行四邊形ABCD中，有
∴有 = (1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i
即對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－2＋2i
（2）∵= (3＋2i)－(－2＋2i)＝5
即對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5
（3）∵
∴，而，
即
∴cos∠APB＝，故sin∠APB＝
故
即的面積為
【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)加減運算并結(jié)合向量在幾何中的應(yīng)用，向量數(shù)量積的幾何意義和坐標(biāo)公式，三角形的面積公式；綜合運用復(fù)數(shù)和向量的關(guān)系及在幾何中的應(yīng)用，應(yīng)用向量的數(shù)量積及三角形面積公式求值
答案第1頁，共2頁
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