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第07講 空間幾何體初步-【寒假預科講義】（人教A版2019必修第一冊）
·模塊一 空間幾何體的結構特征
·模塊二 簡單幾何體的表面積與體積
·模塊三 課后作業
1．空間幾何體的有關概念
（1）空間幾何體的定義
對于空間中的物體，如果只考慮其形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.
例如，一個牛奶包裝箱可以抽象出長方體.
（2）定理的實質
多面體及其相關概念
①多面體：一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.
②多面體的面：圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，如圖中面BCC'B'等.
③多面體的棱：兩個面的公共邊叫做多面體的棱，如圖中棱AA'，棱BB'等.
④多面體的頂點：棱與棱的公共點叫做多面體的頂點，如圖中頂點A，B，A'等.
（3）旋轉體及其相關概念
①旋轉體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體.
圖為一個旋轉體，它可以看成由平面曲線OAA'O'繞OO'所在的直線旋轉而形成的.
②旋轉體的軸：平面曲線旋轉時所圍繞的定直線叫做旋轉體的軸.如圖中直線OO'是該旋轉體的軸.
2．棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
棱柱 棱錐 棱臺
定義 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱. 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐. 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.
相關概念 （1）底面(底)：兩個互相平行的面；（2）側面：其余各面； （3）側棱：相鄰側面的公共邊； （4）頂點：側面與底面的公共頂點. （1）底面(底)：多邊形面；（2）側面：有公共頂點的各個三角形面； （3）側棱：相鄰側面的公共邊； （4）頂點：各側面的公共頂點. （1）上底面：原棱錐的截面；（2）下底面：原棱錐的 底面 . （3）側面：其余各面. （4）側棱：相鄰側面的公共邊； (5)頂點：側面與底面的公共頂點.
圖形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱錐S-ABCD(或四棱錐 S - A C ) 棱臺ABCD-A'B'C'D'
結構特征 （1）底面互相平行且全等；（2）側面都是平行四邊形； （3）側棱都相等，且互相平行. （1）底面是多邊形；（2）側面都是三角形； （3）側面有一個公共頂點. （1）上、下底面互相平行，且是相似圖形；（2）各側棱的延長線交于一點； （3）各側面為梯形.
分類 棱柱的底面是幾邊形就叫幾棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱錐的底面是幾邊形就叫幾棱錐，例如，三棱錐、四棱錐…… 由幾棱錐截得的就叫幾棱臺，例如，由三棱錐截得的棱臺叫三棱臺.
3．圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征
圓柱 圓錐 圓臺 球
定 義 以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱. 以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體 叫做圓錐. 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺. 半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球.
相關概念 （1）軸：旋轉軸.（2）底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面. （3）側面：平行于軸的邊旋轉而成的曲面. （4）母線：無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側面的母線. （1）軸：旋轉軸.（2）底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面. （3）側面：直角三角形的斜邊繞軸旋轉形成的曲面. （4）母線：無論旋轉到什么位置，斜邊都叫做圓錐的母線 (5)頂點：母線的交點. （1）上底面：原圓錐的截面.（2）下底面：原圓錐的底面. （3）軸：上、下底面圓心的連線所在的直線. （4）側面：原圓錐的側面被平面截去后剩余的曲面. (5)母線：原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分. （1）球心：半圓的圓心.（2）半徑：連接球心和球面上任意一點 的線段. （3）直徑：連接球面上兩點并且經過球心的線段.
圖形及表示 圓柱OO' 圓錐SO 圓臺OO' 球O
結 構 特 征 （1）圓柱兩個底面是圓面而不是圓.（2）圓柱有無數條母線，圓柱的任意兩條母線互相平行(與軸平行)且相等. （3）平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的矩形. （1）底面是圓面.（2）有無數條母線，長度相等且交于頂點. （3）平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形. （1）上、下底面是互相平行且不相等的圓面.（2）有無數條母線，等長且延長線交于一點. （3）平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸 的截面(軸截面)是全等的等腰梯形. （1）球的表面叫做球面，所以球面是旋轉形成的曲面.另外，球面也可看成空間中，到定點(球心)的距離等于定長(半徑)的所有點的集合. （2）球的截面都是圓面.
棱柱與圓柱統稱為柱體，棱錐與圓錐統稱為錐體，棱臺與圓臺統稱為臺體.
4．簡單組合體的結構特征
（1）簡單組合體的定義
由柱體、錐體、臺體、球等簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.
（2）簡單組合體的構成形式
①由簡單幾何體拼接而成，如圖（1）所示.
②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，如圖（2）所示.
（3）常見的幾種組合體
①多面體與多面體的組合體：圖（1）中幾何體由一個四棱柱挖去一個三棱柱得到.
②多面體與旋轉體的組合體：圖（2）中幾何體由一個三棱柱挖去一個圓柱得到.
③旋轉體與旋轉體的組合體：圖（3）中幾何體由一個球和一個圓柱組合而成.
5．正方體的截面形狀的探究
通過嘗試、歸納，有如下結論.
（1）截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形.截面不可能是直角三角形、鈍角三角形.
（2）截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面為四邊形時，這個四邊形中至少有一組對邊平行.
（3）截面可以是五邊形，且此時五邊形必有兩組分別平行的邊，同時有兩個角相等.截面五邊形不可能是正五邊形.
（4）截面可以是六邊形，且此時六邊形必有三組分別平行的邊.截面六邊形可以是正六邊形.對應截面圖形如圖中各圖形所示
【考點1 棱柱、棱錐、棱臺的結構特征】
【例1.1】（2023·全國·高一隨堂練習）
1．下列命題正確的是（ ）
A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱
B．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐
C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱
D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺
【例1.2】（2023上·四川成都·高二校聯考階段練習）
2．下列說法正確的是（ ）
A．各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體
B．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺
C．多面體至少有5個面
D．六棱柱有6條側棱，6個側面，側面均為平行四邊形
【變式1.1】（2023下·山西朔州·高一校聯考階段練習）
3．下列幾何體中，棱數最多的是（ ）
A．五棱錐 B．三棱臺
C．三棱柱 D．四棱錐
【變式1.2】（2023下·遼寧鐵嶺·高一校考期末）
4．所有棱長均為6的正三棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2的正三棱錐，則所得棱臺的高為（ ）
A． B． C． D．
【考點2 旋轉體的結構特征】
【例2.1】（2023上·上海奉賢·高二校聯考期中）
5．下列命題正確的是（ ）
A．以直角三角形的一直角邊為軸旋轉所形成的旋轉體是圓錐
B．以直角梯形的一腰為軸旋轉所形成的旋轉體是圓臺
C．圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面
D．圓錐的側面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑
【例2.2】（2023下·河北張家口·高一校考階段練習）
6．下列說法中正確的是（ ）
A．圓柱是將矩形旋轉一周所得到的幾何體
B．圓錐的頂點 圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構成直角三角形
C．用一平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺
D．過球上任意兩點，有且僅有一個大圓
【變式2.1】（2023上·上海徐匯·高二位育中學校考期中）
7．把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比為1:4，母線（原圓錐母線在圓臺中的部分）長為12，則原圓錐的母線長為（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【變式2.2】（2022下·高一課時練習）
8．如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長SA為4，若小蟲P從點A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點C，則小蟲爬行的最短距離為（ ）
A． B． C． D．
【考點3 簡單組合體的結構特征】
【例3.1】（2023·高一課時練習）
9．如圖所示的簡單組合體的組成是（ ）
A．棱柱、棱臺 B．棱柱、棱錐
C．棱錐、棱臺 D．棱柱、棱柱
【例3.2】（2022上·北京·高二校考階段練習）
10．如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（ ）
A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）
【變式3.1】（2023上·四川·高二校聯考期中）
11．如圖，這是某同學繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱貫穿構成，正四棱柱的側棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側棱長為，底面邊長為6，正四棱柱的底面邊長為，A，B，C是正四棱錐的側棱和正四棱柱的側棱的交點，則（ ）

A． B． C．2 D．
【變式3.2】（2023下·河南商丘·高一校聯考階段練習）
12．某廣場設置了一些石凳供大家休息，如圖，每個石凳都是由正方體截去八個相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結論不正確的是（ ）

A．該幾何體的面是等邊三角形或正方形
B．該幾何體恰有12個面
C．該幾何體恰有24條棱
D．該幾何體恰有12個頂點
【考點4 平面圖形旋轉形成的幾何體】
【例4.1】（2022·高一課時練習）
13．下列敘述中，正確的個數是（ ）
①以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐；
②以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的幾何體是圓臺；
③用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；
④圓面繞它的任一直徑旋轉形成的幾何體是球．
A．0 B．1 C．2 D．3
【例4.2】（2022下·廣東珠海·高一校考階段練習）
14．銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體是（ ）
　　
A．一個球
B．一個球挖去一個圓柱
C．一個圓柱
D．一個球挖去一個正方體
【變式4.1】（2023下·湖北孝感·高一校聯考階段練習）
15．如圖，某工廠生產的一種機器零件原胚的直觀圖是一個中空的圓臺，中空部分呈圓柱形狀，且圓柱底面圓心與圓臺底面圓心重合，該零件原胚可由下面圖形繞對稱軸（直線）旋轉而成，這個圖形是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4.2】（2023·高一課時練習）
16．如圖所示，是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的平面軸對稱圖形，若將它繞軸l旋轉180°后形成一個組合體，下面說法不正確的是　(　　)

A．該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體
B．該組合體仍然關于軸l對稱
C．該組合體中的圓錐和球只有一個公共點
D．該組合體中的球和半球只有一個公共點
1．多面體的側面積、表面積和體積
多面體 圖形 側面積與表面積 體積
棱柱 直棱柱的側面展開圖是矩形，S直棱柱側=Ch(C為底面周長，h為高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積) V柱= S底h ( S底為底面面積，h為高)
棱錐 正棱錐的側面展開圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側=Ch' (C為底面周長，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側+S底(S底為底面面積) ( S底為底面面積，h為高)
棱臺 正棱臺的側面展開圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺側=(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長，h'為斜高)，S正棱臺表=S正棱臺側+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積) (S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺的高)
2．旋轉體的側面積、表面積和體積
旋轉體 圖形 側面積與表面積 體積
圓柱 圓柱的側面展開圖是矩形，S圓柱側=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 體積V= S底h ( S底為底面面積，h為高)
圓錐 圓錐的側面展開圖是扇形，S圓錐側=πrl，表面積S=πr2+πrl=πr(r+l) 體積V= S底h ( S底為底面面積，h為高)
圓臺 圓臺的側面展開圖是扇環，S圓臺側=π(r1+r2)l，表面積 體積(S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺的高)
球 半徑為R的球的表面積S=4πR2 半徑為R的球的體積
3．空間幾何體表面積與體積的常見求法
（1）常見的求幾何體體積的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.
③補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.
④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.
（2）求組合體的表面積與體積的方法
求組合體的表面積的問題，首先應弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側面，各個面的面積應該
怎樣求，然后根據公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.
4．球的截面
（1）球的截面形狀
①當截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；
②當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.
（2）球的截面的性質
①球心和截面圓心的連線垂直于截面；
②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關系式：.
圖形解釋如下：
在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關系如圖所示.若設球的半徑為R，以O'為圓心的截面的半徑
為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.
5．幾何體與球的切、接問題
常見的與球有關的組合體問題有兩種：一種是內切球，另一種是外接球.常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：
【考點1 多面體的表面積與體積】
【例1.1】（2023上·河北衡水·高三校考階段練習）
17．分別為正四棱臺的上、下底面的中心，且，則正四棱臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023·全國·模擬預測）
18．已知體積為的球與正四面體的四個面均相切，且與正四面體的六條棱均相切，則正四面體的表面積的比值為（ ）
A． B． C． D．3
【變式1.1】（2023上·陜西·高三校聯考階段練習）
19．已知正三棱柱的六個頂點均在同一個半徑為1的球面上，則正三棱柱側面積的最大值為（ ）
A． B． C．6 D．
【變式1.2】（2023上·上海黃浦·高二格致中學校考期中）
20．正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個棱長為的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數值之比為（ ）

A． B． C． D．
【考點2 旋轉體的表面積與體積】
【例2.1】（2023下·陜西西安·高一期中）
21．兩個球表面積的比為，則體積的比為（ ）
A． B．
C． D．不確定
【例2.2】（2023上·安徽·高三校聯考階段練習）
22．已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2.1】（2023上·遼寧·高三校聯考期中）
23．如圖，在圓錐PO中，用一個平行于底面的平面去截圓錐PO，可得一個圓錐和一個圓臺，若圓錐的體積是圓錐PO體積的，則圓錐與圓臺的側面積的比值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2.2】（2023上·河北石家莊·高三校聯考期末）
24．某圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中內接一個圓柱，則該圓柱的側面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【考點3 球的截面問題】
【例3.1】（2023上·天津河東·高三校考階段練習）
25．用與球心O距離為2的平面截球，所得截面與球心O構成的圓錐的體積為6π，則球的表面積為（ ）
A．13π B．52π
C．20π D．36π
【例3.2】（2023上·上海閔行·高二校考期末）
26．如圖，已知平面截球所得截面圓的半徑為，該球面的點到平面的最大距離為3，則球的體積為（ ）

A． B． C． D．
【變式3.1】（2023上·高二課時練習）
27．已知三棱錐滿足底面，在中，，，，是線段上一點，且，球為三棱錐的外接球，過點作球的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為，則球的表面積為（ ）
A．72π B．86π C．112π D．128π
【變式3.2】（2023·河南·校聯考模擬預測）
28．一個球體被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段長叫做球缺的高，球缺曲面部分的面積，其中R為球的半徑，H為球缺的高．如圖，若一個半徑為R的球體被平面所截獲得兩個球缺，其高之比為，則表面積（包括底面）之比（ ）
A． B． C． D．
【考點4 幾何體與球的切、接問題】
【例4.1】（2023下·山東德州·高一統考期末）
29．如圖：三棱臺的六個頂點都在球的球面上，球心位于上下底面所在的兩個平行平面之間，，和分別是邊長為和的正三角形．

(1)求三棱臺的表面積；
(2)計算球的體積．
【例4.2】（2022上·四川·高二校考階段練習）
30．如圖，三棱柱的側棱垂直于底面，其高為，底面三角形的邊長分別為，，.

(1)以上、下底面的內切圓為底面，挖去一個圓柱，求剩余部分幾何體的體積；
(2)求該三棱柱的外接球的表面積與內切球的體積.
【變式4.1】（2023上·上海浦東新·高二校考期中）
31．如圖，已知球的表面積為，是該球的內接長方體（即該長方體的八個頂點均在球面上）
(1)若， ，求球心到平面的距離：
(2)若是正四棱柱，當該正四棱柱的側面積最大時，求其體積.
【變式4.2】（2022下·廣東東莞·高一校聯考期中）
32．如圖，在長方體中，
(1)若該長方體被過頂點A，，的平面截去一個三棱錐，求剩余部分的體積；
(2)若該長方體的所有頂點都在球O的球面上，求球O的體積和表面積.
（2023上·新疆·高二八一中學校考階段練習）
33．下列幾何體中為圓柱的是（　　）
A． B． C． D．
（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考模擬預測）
34．下列關于空間幾何體的敘述，正確的是（ ）
A．圓柱是將矩形旋轉一周所得到的幾何體
B．有兩個相鄰側面是矩形的棱柱是直棱柱
C．一個棱錐的側面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐
D．用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺
（2023下·高一課時練習）
35．能旋轉形成如圖所示的幾何體的平面圖形是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）
36．已知圓錐的高為3，若該圓錐的內切球的半徑為1，則該圓錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
（2023下·廣東深圳·高一校考期中）
37．如圖所示的幾何體是數學奧林匹克能賽的獎杯，該幾何體由（ ）
A．一個球、一個四棱柱、一個圓臺構成
B．一個球、一個長方體、一個棱臺構成
C．一個球、一個四棱臺、一個圓臺構成
D．一個球、一個五棱柱、一個校臺構成
（2023下·遼寧·高一校聯考期末）
38．若正五邊形的中心為，以所在的直線為軸，其余五邊旋轉半周形成的面圍成一個幾何體，則（ ）
A．該幾何體為圓臺
B．該幾何體是由圓臺和圓錐組合而成的簡單組合體
C．該幾何體為圓柱
D．該幾何體是由圓柱和圓錐組合而成的簡單組合體
（2023上·湖南衡陽·高三校聯考階段練習）
39．如圖是一坐山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂的距離為，B是山坡的中點.為了發展當地旅游業，現要建設一條從A到B的環山觀光公路，當公路長度最短時，公路距山頂的最近距離為（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南·信陽高中校聯考模擬預測）
40．如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內裝有某種溶液，，圖1中液面高度恰好為棱臺高度的一半，圖2中液面高度為棱臺高度的，若圖1和圖2中溶液體積分別為，則（ ）
A． B． C．1 D．
（2023上·湖北荊州·高三沙市中學校考階段練習）
41．三棱錐的四個頂點都在表面積為的球O上，點A在平面的射影是線段的中點，，則平面被球O截得的截面面積為（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·山東青島·高三校考期中）
42．如圖，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，點在上底面（包括邊界）上運動，則三棱錐外接球表面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·高一課時練習）
43．如圖，將平面圖形ABCDEFG繞AG邊所在的直線旋轉一周，作出由此形成的空間圖形，并指出該空間圖形是由哪些簡單空間圖形構成的.
（2023·江蘇·高一專題練習）
44．如圖所示，長方體.

(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？
(2)用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由.
（2023下·高一課時練習）
45．已知過球面上三點，，的截面到球心的距離等于球半徑的，且，，，求球的表面積與球的體積．
（2023下·廣東東莞·高一校考階段練習）
46．已知圓錐的軸截面面積為，側面展開圖為半圓．
(1)求其母線長；
(2)在此圓錐內部挖去一個正四棱柱，形成幾何體，其中正四棱柱的底面邊長為，上底面的四個頂點在圓錐側面上，下底面落在圓錐底面內，求幾何體E的體積．
（2023上·上海黃浦·高二格致中學校考期中）
47．如圖，幾何體為一個圓柱和圓錐的組合體，圓錐的底面和圓柱的一個底面重合，圓錐的頂點為P，圓柱的上、下底面的圓心分別為、，且該幾何體有半徑為1的外接球（即圓錐的頂點與底面圓周在球面上，且圓柱的底面圓周也在球面上），外接球球心為O．
(1)若圓柱的底面圓半徑為，求幾何體的體積；
(2)若，求幾何體的表面積．
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．C
【分析】根據常見幾何體的基本特征判斷各選項即可.
【詳解】對于A，有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱，可能是棱臺或組合圖形，故A錯誤；
對于B，有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體才是棱錐，故B錯誤；
對于C，根據棱柱的定義，有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，故C正確；
對于D，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才是棱臺，故D錯誤.
故選：C.
2．D
【分析】根據多面體、棱柱和棱臺的定義判斷即可.
【詳解】A選項：各側面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故A錯；
B選項：有2個面平行，其余各面都是梯形，但若是各側棱的延長線不能交于一點，則該幾何體不是棱臺，故B錯；
C選項：多面體是指四個或四個以上多邊形所圍成的立體，故C錯；
D選項：根據棱柱的定義可知六棱柱有6條側棱，6個側面，側面均為平行四邊形，故D正確.
故選：D.
3．A
【分析】根據棱錐和棱柱的特征逐個求解其棱數進行判斷
【詳解】因為五棱錐有10條棱，三棱臺有9條棱，三棱柱有9條棱，四棱錐有8條棱，
所以這些幾何體中棱數最多的是五棱錐，
故選：A
4．A
【分析】利用小三棱錐和大三棱錐的比例求解即可.
【詳解】
如圖，根據題意可得所得棱臺為正三棱臺，
該棱臺的高等于大正三棱錐的高的.
設大正三棱錐的高為DH，則：
因為大正三棱錐的高為:，
所以該棱臺的高為.
故選：A
5．A
【分析】根據圓錐、圓柱、圓臺的特點判斷各選項即可.
【詳解】對于A，根據圓錐的特點，以直角三角形的一直角邊為軸旋轉所形成的旋轉體是圓錐，故A正確；
對于B，以直角梯形的直角腰為軸旋轉所得的旋轉體才是圓臺，故B錯誤；
對于C，圓柱、圓臺都有兩個底面，而圓錐只有一個底面，故C錯誤；
對于D，圓錐的側面展開圖為扇形，此扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長，故D錯誤.
故選：A.
6．B
【分析】由幾何體的結構特征逐項判斷即可.
【詳解】以矩形的一條對角線為軸，旋轉所得到的幾何體不是圓柱，故A錯誤；
因為圓錐的頂點與底面圓心連線垂直底面，所以圓錐的頂點 圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線可以構成直角三角形，故B正確；
用一平行底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺，故錯誤；
當球面上兩點是球的直徑的端點時，過這兩點的大圓有無數個，故D錯誤.
故選：B.
7．A
【分析】根據圓臺的幾何特征利用三角形相似即可求得結果.
【詳解】由題意可得，幾何體如下圖所示：
取軸截面可知，圓臺的上、下底面半徑的比為，且，
設圓錐的母線長為，根據相似比可得，解得，
即原圓錐的母線長為.
故選：A.
8．A
【分析】將錐體側面展開為扇形，先求出所得扇形圓心角，再根據兩點間線段距離最短，求最短路徑.
【詳解】由題意，底面圓的直徑AB＝2，故底面周長等于2π.
設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為n°，
根據底面周長等于展開后扇形的弧長得2π＝，解得n＝90，
所以展開圖中∠PSC＝90°，故PC＝2，
所以小蟲爬行的最短距離為2.
故選：A
9．B
【分析】直接觀察,即可出答案.
【詳解】由圖知，簡單組合體是由棱錐、棱柱組合而成.
故選：B.
10．D
【分析】應用空間想象，討論截面與軸截面的位置關系判斷截面圖形的形狀即可.
【詳解】當截面如下圖為軸截面時，截面圖形如（1）所示；
當截面如下圖不為軸截面時，截面圖形如（5）所示，下側為拋物線的形狀；
故選：D
11．C
【分析】過點B，C作垂直于正四棱錐底面的截面，根據題意，結合勾股定理和三角形相似，求解即可.
【詳解】過點B，C作垂直于正四棱錐底面的截面，如圖所示，
由題意可得，
因為正四棱錐的底面邊長為6，所以，，
的長度為正四棱柱底面正方形對角線的長度，即，，
因為，所以，，
因為，所以，.
故選：C
12．B
【分析】根據幾何體的形狀逐個選項判斷即可.
【詳解】據圖可得該幾何體的面是等邊三角形或正方形，A正確；該幾何體恰有14個面，B不正確；該幾何體恰有24條棱，C正確；該幾何體恰有12個頂點，D正確．
故選：B
13．B
【分析】根據旋轉體的知識逐一判斷即可.
【詳解】①應以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸旋轉才可得到圓錐，故①錯；
②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為旋轉軸旋轉可得到圓臺，故②錯；
③用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，可得到一個圓錐和一個圓臺，用不平行于圓錐底面的平面不能得到，故③錯；
④圓面繞它的任一直徑旋轉形成的幾何體是球，故④正確．
故選：B.
14．B
【分析】根據旋轉體的定義可得正確的選項.
【詳解】圓及其內部旋轉一周后所得幾何體為球，
而矩形及其內部繞一邊旋轉后所得幾何體為圓柱，
故題設中的平面圖形繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱，
故選：B.
15．B
【分析】根據旋轉體的形成過程即可得出選項.
【詳解】根據零件原胚的直觀圖可知，中空部分呈圓柱形狀，
而圓柱形狀由矩形旋轉形成，圓臺由梯形旋轉形成，
分析四個選項，A項，旋轉后圓臺；
C項，旋轉后圓臺；D項，球體中挖去一個小球；
故選：B
【點睛】本題考查了旋轉體的形成過程，掌握旋轉體的結構特征是解題的關鍵，屬于基礎題.
16．A
【詳解】將該幾何體繞軸l旋轉180°后形成一個組合體，該組合體是由圓臺、圓柱、圓錐和球，半球
組成的，由此A選項錯誤
故選A
17．C
【分析】分別算出上下底面面積，結合高以及棱臺體積公式運算即可.
【詳解】由題意可知上、下底面的面積、高分別為，
所以正四棱臺的體積為.
故選：C.
18．D
【分析】設球的半徑為，根據球的體積為，求得半徑R，設正四面體的棱長為，易得正四面體的高，利用等體積法求得棱長，將正四面體放到正方體中，得到正方體的內切球即與正四面體的六條棱均相切的球，由球的半徑，得到正方體的棱長為6，從而正四面體的棱長為求解.
【詳解】解：設球的半徑為，因為球的體積為，所以，解得．
設正四面體的棱長為，則該正四面體的高，
所以該正四面體的體積，
又，
所以，得，即正四面體的棱長為．
如圖所示，
易知正方體的內切球即與正四面體的六條棱均相切的球,
因為球的半徑，所以正方體的棱長為6，則正四面體的棱長為，
所以，
故選：D．
19．B
【分析】利用正三棱柱外接球的性質得到的關系式，從而利用二次函數的性質或基本不等式即可得解.
【詳解】解法一：
設正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為，
則，故，所以，即，
又三棱柱的側面積，
所以，
當時，等號成立，則三棱柱的側面積最大值為．
解法二：
設正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為，
則，故，所以，
因為，所以，
當且僅當，時，等號成立，則三棱柱的側面積最大值為.
故選：B.
20．B
【分析】利用四棱錐體積公式，可得正八面體的體積，再根據正三角形面積公式可得正八面體的表面積.
【詳解】
如圖所示，連接，，
則四邊形為正方形，且平面，
由正八面體可知，
，
則，，
所以，
表面積，
所以，
故選：B.
21．C
【分析】由表面積的比得到半徑之比，再得到體積之比.
【詳解】設兩球的半徑分別為，，
表面積之比，，
體積之比.
故選：C.
22．D
【分析】利用圓臺的表面積公式求得母線長，進而求得圓臺的高，從而利用圓臺的體積公式即可得解.
【詳解】設圓臺的母線長為．高為．
所以，解得，
所以．
所以該圓臺的體積．
故選：D．
23．D
【分析】根據體積之比可得半徑之比，即可根據圓錐和圓臺的側面積的公式即可求解.
【詳解】設圓錐的底面圓半徑分別為，它們的母線長分別為.
因為，所以.從而，
即，.所以·
故選：D
24．C
【分析】由題意作圖，根據圓錐與圓柱的幾何性質，可得到答案.
【詳解】由題意作圖如下：
由題設可知該圓錐的高．設在該圓錐中內接一個高為的圓柱，
該圓柱的底面半徑為，由，則，即，所以，
故該圓柱的側面積，
當時，側面積取得最大值．
故選：C.
25．B
【分析】根據球中截面圓的性質，結合錐體體積公式即可求解半徑，進而由球表面積公式求解.
【詳解】設平面截得截面圓的半徑為，球半徑為,
所以，
所以外接球的表面積為，
故選：B
26．D
【分析】根據條件求出球的半徑即可.
【詳解】依題意得：截面圓半徑，設球的半徑為，則球心到截面圓的距離.
如圖，由勾股定理得：，解得，所以球的體積為.
故選：D.

27．D
【分析】先找到外接球球心，過的中點作，則平面，取，則為外接球球心，過點作球的截面，最大的截面過球心，最小的截面是過且與垂直的截面，由此可用表示出兩截面圓半徑．
【詳解】如圖，是邊中點，是邊中點，∵，∴是的外心，

作，∵平面，∴平面，平面，
∴，取，易得，
∴是三棱錐的外接球的球心.
是中點，則，，∴，
∵，∴，∴，
設，則，，又，
∴，
過且與垂直的截面圓半徑為，則，
這是最小的截面圓半徑，最大的截面圓半徑等于球半徑，
∴，，
，.
故選：D.
28．B
【分析】由球的性質可求出截面圓的半徑，從而求出表面積，可解此題.
【詳解】∵，，∴，，
∴．
故選：B
29．(1)
(2).
【分析】（1）點分別是正和的中心，球的半徑為，且三點共線，正三棱臺的高為，在梯形中，由的長度求出的長度，即可求出側面積從而求出表面積；
（2）在中，，在中，，解出半徑，根據球的體積公式即可求解.
【詳解】（1）如圖

設點分別是正和的中心，球的半徑為，且三點共線，正三棱臺的高為，
在等邊中，由，得，
同理，得，
如下圖，過點作，則在中，，，
所以正三棱臺的高為3，在直角梯形中，
，
所以，所以正三棱臺的斜高為，

正三棱臺側面積為，
又因為正三棱臺上下兩底的面積之和為
,
所以正三棱臺表面積為.
（2）在中，，
即，在中，，
即，兩式聯立解得：，
所以球的體積為：．
30．(1)
(2)外接球的表面積為，內切球的體積為
【分析】（1）求出三棱柱的體積，得到三角形ABC的內切圓的半徑，進而去除圓柱的體積，相減即可答案；
（2）結合第一問得到內切球半徑，求出內切球體積，再根據將三棱柱補形為長方體得到外接球半徑，求出外接球的表面積.
【詳解】（1）因為底面三角形的邊長分別為，，，
由勾股定理逆定理可知：底面三角形為直角三角形，兩直角邊分別為，，
又因為三棱柱的側棱垂直于底面，其高為，
所以

設圓柱底面圓的半徑為，
則，
圓柱體積
所以剩下的幾何體的體積
（2）由（1）可知該直三棱柱的內切球半徑為，
則內切球球的體積
直三棱柱可補形為棱長分別為的長方體，
它的外接球的球半徑滿足，即
所以，該直三棱柱的外接球的表面積為.
31．(1);
(2).
【分析】（1）由球的表面積可得半徑，又球為長方體的外接球，則直徑等于體對角線，進而可側棱長，即可求解；
（2）根據外接球得，結合基本不等式即可求解.
【詳解】（1）由球的表面積為，則，
即，則，
因為球位長方體的外接球，則球心即為長方體的中心；
則球心到平面的距離為.
（2）是正四棱柱,設底面邊長為，側棱長為，
則，則，
，
當且僅當，且，
即，時，側面積最大，
則.
32．(1)
(2)球O的體積：，球O的表面積：
【分析】（1）利用柱體和錐體的體積公式即可求解；
（2）根據長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線長度，即可求出外接圓半徑，再結合球的表面積和體積公式即可求解.
【詳解】（1）因為長方體的體積為，
三棱錐的體積為，
所以剩余部分的體積為
（2）由題可知球O為長方體的外接球，則球O的半徑，
故球O的體積為，
球O的表面積：.
33．B
【分析】結合幾何體的特征逐個判斷即可.
【詳解】易得A為圓錐，B為圓柱，C為棱臺，D為球．
故選：B．
34．B
【分析】根據圓柱，棱柱，棱臺，棱錐的定義進行判斷.
【詳解】對于A，以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱，而以矩形的一條對角線為軸，旋轉所得到的幾何體不是圓柱，故A錯誤；
對于B，若棱柱有兩個相鄰側面是矩形，則側棱與底面兩條相交的邊垂直，則側棱與底面垂直，此時棱柱一定是直棱柱，故B正確；
對于C，如圖所示，若，，滿足側面均為全等的等腰三角形，但此時底面不是正三角形，故C錯誤；
對于D，用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺.若截面與底面不平行，則不是梭臺，故D錯誤.
故選：B.
35．A
【分析】將A、B、C、D選項圖形繞對稱軸旋轉可知A選項符合題意.
【詳解】此幾何體自上向下是由一個圓錐和一個圓臺構成，是由A中的平面圖形旋轉形成的.
故選：A.
36．C
【分析】利用圓錐與其內切球的軸截面，由已知數據計算出圓錐底面半徑和母線長，可求圓錐的表面積.
【詳解】圓錐與其內切球的軸截面如下圖所示，
由已知，可知，所以圓錐的軸截面為正三角形，
因為，所以圓錐底面圓半徑，母線，
則圓錐的表面積為．
故選：C．
37．B
【分析】根據組合體基本構成即可得答案.
【詳解】由圖可知，該幾何體是由一個球、一個長方體、一個棱臺構成.
故選：B.
38．B
【分析】根據圓柱、圓錐、圓臺的概念判斷即可.
【詳解】由題意可知形成如圖的幾何體，

該幾何體是由圓臺和圓錐組合而成的簡單組合體.
故選：B
39．D
【分析】根據圓錐的側面展開圖，即可根據弧長公式可得，進而根據等面積法即可求解.
【詳解】以為分界線，將圓錐的側面展開，可得其展開圖如圖.
則從點A到點B的最短路徑為線段，，所以.
過S作，則公路距山頂的最近距離為，
因為，所以，
故選:D.
40．D
【分析】根據棱臺的體積公式，求出，即可解出.
【詳解】設四棱臺的高度為，在圖1中，中間液面四邊形的邊長為4，在圖2中，中間液面四邊形的邊長為5，
則，
所以.
故選：D.
41．C
【分析】分別找出和的外接圓圓心和，通過過作平面的垂線，過作平面的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐外接球球心，再通過幾何關系求出外接圓半徑，即可求其被球截得的圓的面積．
【詳解】
設中點為，點在平面的射影是線段的中點，
平面，，，
又，是等邊三角形．
取中點為，連接交于，則是外心．
連接，在上取，使得，則為外心．
過作平面的垂線，過作平面的垂線，
兩垂線的交點即為三棱錐外接球球心，
則四邊形是矩形，．
連接，，設外接圓半徑，設球半徑為．
球的表面積為，．
在中，，
平面被球截得的截面面積．
故選：C
42．B
【分析】由條件確定球心位置，引入變量表示球的半徑，由此確定球的表面積及其最大值.
【詳解】因為為等腰直角三角形，，
所以的外接圓的圓心為的中點，且，
設的中點為，連接，則，則平面，
設三棱錐外接球的球心為，由球的性質可得在上，
設，，外接球的半徑為，
因為，所以，
即，又，則，
因為，所以
所以三棱錐外接球表面積的最大值為.
故選：B.
【點睛】方法點睛：常見幾何體的外接球半徑求法：
（1）棱長為的正方體的外接球半徑為；
（2）長方體的長，寬，高分別為，則其外接球的半徑為；
（3）直棱柱的高為，底面多邊形的外接圓半徑為，則其外接球的半徑為.
43．詳見解析.
【分析】結合條件及旋轉體的概念即得.
【詳解】形成的空間圖形如圖所示，該空間圖形自上而下依次由圓柱、圓臺、圓柱、圓臺構成.
44．(1)是棱柱，并且是四棱柱，理由見解析；
(2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱，左下方部分是四棱柱.
【分析】（1）根據棱柱的定義判斷即可；
（2）根據棱柱的定義以及棱柱的表示方法求解即可.
【詳解】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因為長方體相對的兩個面是互相平行的四邊形(作底面)，其余各面都是矩形(作側面)，且相鄰側面的公共邊互相平行，符合棱柱的定義．因為底面是四邊形，所以長方體是四棱柱；
（2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面.
截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱，
其中四邊形和是底面.
45．球的表面積，球的體積．
【分析】設球的半徑為，根據與球體截面半徑，球心、截面的距離間的幾何關系求，進而求球體的表面積、體積.
【詳解】如圖，設球的半徑為，球心為，截面圓心為，則．
在△中，由，即，
∴是的中點，即，又，
∴，可得．
∴球的表面積，
球的體積．
46．(1)6
(2)
【分析】（1）由圓錐的側面展開圖扇形的弧長即底面圓的周長，得，從而高為，由軸截面面積可建立的方程求解即可.
（2）由軸截面圖形中的對應比例關系求解正四棱柱的高，由此可求其體積，再由間接法可得所求幾何體體積.
【詳解】（1）設圓錐底面圓的半徑為r，母線長為l， 高為h，
由題意知，側面展開圖的弧長，
∴圓錐高，
由其軸截面的面積為.
解得，則.
即其母線長為.

（2）
設正四棱柱的高為，
所以圓錐體積為.
由，則正四棱柱的底面對角線的長為2，一半長為，
由圖可得，所以，
故正四棱柱的體積為=
所以該幾何體的體積為=.
47．(1)
(2)
【分析】（1）分別計算圓錐的體積與圓柱的體積，體積和即為所求；
（2）根據比例關系，可分別求出圓錐與圓柱的高及底面半徑，再利用表面積公式即可求解.
【詳解】（1）如圖可知，過P、、的截面為五邊形，其中四邊形為矩形，三角形為等腰三角形，
在直角中，，，則
故圓錐的底面半徑為，高為，其體積為
圓柱的底面半徑為，高為，其體積為
所以幾何體的體積為
（2）若，設，則，故，
在直角中，，，則
故圓錐的底面半徑為，高為，其母線長為，
圓錐的側面積為
圓柱的底面半徑為，高為，其側面積為
所以幾何體的表面積為
答案第1頁，共2頁
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