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第01講 平面向量的基本概念-【寒假預(yù)科講義】（人教A版2019必修第一冊(cè)）
模塊一 向量的概念
模塊二 相等向量與共線向量
模塊三 課后作業(yè)
1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．
注：
①本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
②看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．
③向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．
2．向量的表示法
(1)有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）．如果用
一條有向線段表示向量，通常我們就說(shuō)向量.
3．向量的有關(guān)概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).
(2)零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.
(4)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.
(5)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.
【考點(diǎn)1 向量概念的理解】
（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）
1．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；
（2）零向量沒(méi)有方向；
（3）向量的模一定是正數(shù)；
（4）非零向量的單位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）
2．給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是( )
A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量
C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量
（2023下·新疆·高一校考期末）
3．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．身高是一個(gè)向量
B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量
C．有向線段由方向和長(zhǎng)度兩個(gè)要素確定
D．有向線段和有向線段的長(zhǎng)度相等
（2023下·山西陽(yáng)泉·高一校考期中）
4．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）溫度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量沒(méi)有方向
（3）向量的模一定是正數(shù)
（4）直角坐標(biāo)平面上的x軸 y軸都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【考點(diǎn)2 向量的幾何表示與向量的模】
（2023·高一課時(shí)練習(xí)）
5．如圖，某人從點(diǎn)A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方．
(1)作出、、（圖中1個(gè)單位長(zhǎng)度表示100m）；
(2)求的模．
（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）
6．一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達(dá)D島．
（1）試作出向量；
（2）求．
（2023·高一課時(shí)練習(xí)）
7．在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：
（1），使||＝4，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；
（2），使＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；
（3），使＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.
（2023下·安徽淮北·高一校考階段練習(xí)）
8．在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方向；
(2)，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向；
(3)求出的值．
1．向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定:與任一向量共線.
注：
①零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別.
②平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
③共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．
2．用共線（平行）向量或相等向量刻畫幾何關(guān)系
(1)利用向量的模相等可以證明線段相等，利用向量相等可以證明線段平行且相等.
(2)利用向量共線可以證明直線與直線平行，但需說(shuō)明向量所在的直線無(wú)公共點(diǎn).
(3)利用向量可以判斷圖形的形狀(如平行四邊形、等腰三角形等)、證明多點(diǎn)共線等.
【考點(diǎn)1 向量相等或共線的判斷】
（2022·高一課前預(yù)習(xí)）
9．在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則（ ）
A．與共線 B．與共線
C．與相等 D．與相等
（2023下·北京·高一東直門中學(xué)校考期中）
10．下列命題正確的是（ ）
A．單位向量都相等 B．任一向量與它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共線向量 D．模為的向量與任意非零向量共線
（2023·高一課時(shí)練習(xí)）
11．設(shè)是正方形ABCD的中心，則（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
（2023下·天津和平·高一校考階段練習(xí)）
12．如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結(jié)論中不一定成立的是（　　）
A． B．與共線
C．與共線 D．
【考點(diǎn)2 用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)】
（2023·高一課時(shí)練習(xí)）
13．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且，．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
（2022·高一課時(shí)練習(xí)）
14．已知點(diǎn)，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點(diǎn)，求證：．
（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）
15．在平行四邊形中，，分別為邊、的中點(diǎn)，如圖．
(1)寫出與向量共線的向量；
(2)求證：．
（2023下·安徽蕪湖·高一校考階段練習(xí)）
16．在矩形中，，，于，，為中點(diǎn).
(1)求；
(2)驗(yàn)證：、、是否三點(diǎn)共線.
（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）
17．給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強(qiáng)度；（9）體積.其中不是向量的有（ ）
A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)
（2023下·江蘇南京·高一校考期中）
18．下列命題中正確的有（ ）
A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合
B．若和是都是單位向量，則
C．若，則與的夾角為0°
D．零向量與任何向量共線
（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）
19．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①面積、壓強(qiáng)、速度、位移這些物理量都是向量
②零向量沒(méi)有方向
③向量的模一定是正數(shù)
④非零向量的單位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
（2022·高一課時(shí)練習(xí)）
20．如果一架飛機(jī)向東飛行200 km，再向南飛行300 km，記飛機(jī)飛行的路程為s，位移為，那么（　　 ）
A． B．
C． D．與不能比大小
（2023上·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）
21．下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒(méi)有方向 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
（2023上·福建廈門·高三校考開學(xué)考試）
22．下列命題不正確的是（ ）
A．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量
B．零向量的長(zhǎng)度等于0
C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線
D．若，，則
（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）
23．如圖是的格點(diǎn)圖(每個(gè)小方格都是單位正方形)，若起點(diǎn)和終點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)處，則與平行且模為的向量共有
A．12個(gè) B．18個(gè) C．24個(gè) D．36個(gè)
（2022·高一課前預(yù)習(xí)）
24．在四邊形ABCD中，若，且||=||，則四邊形ABCD為（ ）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不確定
（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）
25．如圖，在正六邊形中，點(diǎn)為其中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）

A． B．
C． D．
（2023·高二課時(shí)練習(xí)）
26．若向量等式成立，則，應(yīng)滿足（ ）
A．、都是零向量
B．、是平行向量
C．、中有一個(gè)零向量或、是平行向量
D．或是零向量或、是反向向量且滿足
（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
27．畫圖表示小船的下列位移（用的比例尺）：
(1)由A地向東北方向航行15km到達(dá)B地；
(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到達(dá)C地；
(3)由C地向正南方向航行20km到達(dá)D地．
（2023·高一課時(shí)練習(xí)）
28．如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，

(1)與模長(zhǎng)相等的向量有多少個(gè)？
(2)寫出與相等的向量有哪些？
(3)與共線的向量有哪些？
(4)請(qǐng)列出與相等的向量．
（2023下·四川涼山·高一校考階段練習(xí)）
29．如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問(wèn)：
（1）與相等的向量共有幾個(gè)；
（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；
（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）
30．如圖，已知在四邊形中，M，N分別是，的中點(diǎn)，又.求證：.
（2023·高一課時(shí)練習(xí)）
31．已知飛機(jī)從地按北偏東方向飛行到達(dá)地，再?gòu)牡匕茨掀珫|方向飛行到達(dá)地，再?gòu)牡匕次髂戏较蝻w行到達(dá)地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
試卷第2頁(yè)，共2頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共1頁(yè)
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)零向量與單位向量，向量的定義對(duì)各個(gè)項(xiàng)逐個(gè)判斷即可求解．
【詳解】對(duì)于（1），溫度與功沒(méi)有方向，不是向量，故（1）錯(cuò)誤，
對(duì)于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯(cuò)誤，
對(duì)于（3），零向量的模可能為0，不一點(diǎn)是正數(shù)，故（3）錯(cuò)誤，
對(duì)于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個(gè)，故（4）錯(cuò)誤，
故選：A．
2．D
【分析】根據(jù)向量的定義即可判斷.
【詳解】密度、溫度、質(zhì)量、功只有大小，沒(méi)有方向，是數(shù)量；
速度、位移既有大小又有方向，是向量．
故選：D．
3．D
【分析】根據(jù)向量的定義及性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.
【詳解】A：由向量即有大小（模長(zhǎng)）又有方向的量，顯然身高不是向量，故A錯(cuò)；
B：溫度有零上溫度和零下溫度，顯然溫度可以比較大小，但無(wú)方向，故B錯(cuò)；
C：有向線段有起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度三要素確定，故C錯(cuò)；
D：有向線段和有向線段的長(zhǎng)度相等，故D對(duì).
故選：D
4．A
【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.
【詳解】（1）錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒(méi)有方向，不是向量；
（2）錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）錯(cuò)誤，零向量的模為0，向量的模不一定為正數(shù)；
（4）錯(cuò)誤，直角坐標(biāo)平面上的軸、軸只有方向，但沒(méi)有長(zhǎng)度，故它們不是向量.
故選：A.
5．(1)作圖見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)行走方向和單位長(zhǎng)度即可確定各點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由題意可知，四邊形是平行四邊形，則可求得的模.
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，B點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，
又因?yàn)镈點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方，所以，
又，所以，即D、 C兩點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，；
即可作出、、如下圖所示.
（2）如圖，作出向量，
由題意可知，且，
所以四邊形是平行四邊形，
則，
所以的模為
6．（1）作圖見解析；（2）400（海里）．
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)以為正東方向，過(guò)A垂直于向上為正北方向，結(jié)合題設(shè)畫出向量即可.
（2）由題設(shè)知，易知為平行四邊形，即可求.
【詳解】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，向量即為所求．
（2）根據(jù)題意，向量與方向相反，故向量，又，
∴在中，，故為平行四邊形，
∴，則（海里）．
7．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析
【解析】（1）由點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處和||＝，可得出點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，可作出向量；
（2）由點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且＝4，得出在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，可作出向量；
（3）由點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且＝6，再由勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為≈5.2，作出向量．
【詳解】（1）由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝，小方格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量如下圖所示．
（2）由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量如下圖所示．
（3）由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量如下圖所示．
【點(diǎn)睛】本題考查方位角和向量的幾何表示，關(guān)鍵在于明確方位角的含義和向量的模，得出向量在橫向和縱向的小方格的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.
8．(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3)3
【分析】（1）根據(jù)向量的大小和方向，作向量，
（2）根據(jù)向量的大小和方向，作向量，
（3）根據(jù)向量的模的定義求.
【詳解】（1）因?yàn)椋c(diǎn)在點(diǎn)的正西方向，故向量的圖示如下：

（2）因?yàn)椋c(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向，故向量的圖示如下：

（3）
.
9．B
【分析】根據(jù)向量共線概念即可求解結(jié)果．
【詳解】因?yàn)榕c不平行，所以與不共線，A錯(cuò)
因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則與平行，故與共線，B正確；
因?yàn)榕c不平行，所以與不相等，C錯(cuò)；
因?yàn)椋瑒tD錯(cuò)．
故選：B
10．D
【分析】根據(jù)單位向量、零向量、共線向量的定義判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：?jiǎn)挝幌蛄看笮∠嗟榷际牵较虿灰欢ㄏ嗤蕟挝幌蛄坎灰欢ㄏ嗟龋蔄錯(cuò)誤；
對(duì)于B：零向量與它的相反向量相等，故B錯(cuò)誤．
對(duì)于C：平行向量一定是共線向量，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：模為的向量為零向量，零向量與任非零意向量共線，故D正確；
故選：D．
11．D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及向量的概念，即可得出答案.
【詳解】
對(duì)于A項(xiàng)，，不共線，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，顯然不平行，且三點(diǎn)不共線，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知，，，的長(zhǎng)度相等，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，方向相同，方向相同.
又，，，的長(zhǎng)度相等，所以，，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
12．C
【分析】利用菱形的性質(zhì)及向量的定義逐一判斷即可.
【詳解】四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，
，即三點(diǎn)共線，
，，
即，，與共線，ABD正確；
對(duì)于C：若與共線，則必有，即，該條件不一定成立，
如時(shí)，，故與共線不一定成立，
故選：C.
13．答案見解析
【分析】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四邊形的判定定理即可證明.
【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且，．
所以四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相平分，
所以四邊形ABCD是平行四邊形．
即證.
14．證明見解析
【分析】連接AC，易得，分別為和的中位線，進(jìn)而可得，且，又向量與方向相同，從而得證.
【詳解】證明：如圖，連接AC，

因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以為的中位線，
所以，且，
同理，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，且，
所以，且，
因?yàn)橄蛄颗c方向相同，所以.
15．(1),
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意直接寫出與向量共線的向量即可；
（2）證明四邊形是平行四邊形即可證明.
【詳解】（1）據(jù)題意，與向量共線的向量為：, ；
（2）證明：是平行四邊形，且，分別為邊，的中點(diǎn)，
，且，
四邊形是平行四邊形，
，且，
．
16．(1)
(2)向量法可證： 、、三點(diǎn)共線
【分析】（1）利用已知條件，結(jié)合三角函數(shù)和勾股定理，可求；
（2）利用向量共線，證明三點(diǎn)共線.
【詳解】（1）矩形中，，，則，
和中，，，，
，，
（2），
，則有，有公共點(diǎn)，所以、、三點(diǎn)共線.
17．A
【分析】根據(jù)向量的概念，即可得出答案.
【詳解】看一個(gè)量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向.
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，
（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒(méi)有方向，不是向量.
故選：A.
18．D
【分析】根據(jù)平面向量的概念依次判斷即可得出.
【詳解】對(duì)A，兩個(gè)向量相等，則它們的大小和方向相同，與位置無(wú)關(guān)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，若和是都是單位向量，則，方向不一定相同，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若，則與的夾角為或，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，根據(jù)共線向量的定義規(guī)定，零向量與任何向量共線，故D正確.
故選：D.
19．A
【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.
【詳解】①錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量．
②錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的．
③錯(cuò)誤，
④錯(cuò)誤，非零向量的單位向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)與反向．
故選：A.
20．A
【分析】直接利用向量的摸和路程的定義的應(yīng)用即可求解.
【詳解】如果一架飛機(jī)向東飛行，再向南飛行，
記飛機(jī)飛行的路程為,
，所以.
故選: A.
21．C
【分析】A選項(xiàng)，由零向量的定義進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)，根據(jù)向量的模及相等向量判斷；
C選項(xiàng)，根據(jù)向量的性質(zhì)判斷，D選項(xiàng)，根據(jù)共線向量的定義判斷；
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：零向量的方向是任意的并不是沒(méi)有方向，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)橄蛄康哪Ｏ嗟龋蛄坎灰欢ㄏ嗟龋蔅項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)椋钥傻茫海蔆項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)：若，則不共線的，也有，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
22．A
【分析】AB選項(xiàng)，由零向量的定義進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)共線向量，單位向量和零向量的定義得到C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)向量的性質(zhì)得到D正確.
【詳解】A選項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0，故B正確；
C選項(xiàng)，因?yàn)榕c都是單位向量，所以只有當(dāng)與是相反向量，即與是反向共線時(shí)才成立，故C正確；
D選項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.
故選：A
23．C
【解析】利用共線向量、模的計(jì)算公式、正方形的對(duì)角線即可得出.
【詳解】由題意知，每個(gè)小正方形的對(duì)角線與平行且模為的所在的向量，的格點(diǎn)圖中包含12個(gè)小正方形，
所以有12條對(duì)角線，與平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24個(gè)向量滿足.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了共線向量、模的計(jì)算公式、正方形的對(duì)角線，考查了理解能力，屬于基礎(chǔ)題．
24．B
【分析】由向量相等的定義得出四邊形邊的關(guān)系，再由向量的模相等得四邊形對(duì)角線相等，從而可得四邊形形狀．
【詳解】若，則AB=DC，且AB∥DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形.
又因?yàn)閨|=||，即AC=BD，所以四邊形ABCD為矩形.
故選：B．
25．D
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.
對(duì)于B，因?yàn)椋剩蔅正確.
對(duì)于C，由正六邊形的性質(zhì)可得，故，故C正確.
對(duì)于D，因?yàn)榻挥冢什怀闪ⅲ蔇錯(cuò)誤，
故選：D.
26．D
【分析】將向量等式兩邊平方,變?yōu)榍铱傻?
【詳解】由知,
將兩邊平方得且,
所以且,
因?yàn)?,
所以且,
所以且,
所以且,
所以或或且,
所以或或且,
所以或或,是反向向量且滿足,
故選.
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的有關(guān)概念,零向量,反向向量,向量數(shù)量積,屬于中檔題.
27．(1)答案見詳解
(2)答案見詳解
(3)答案見詳解
【分析】先畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，北偏東45°的角，并取出相應(yīng)的長(zhǎng)度確定B點(diǎn)； 接下來(lái)再以點(diǎn)A為頂點(diǎn)畫出北偏西30°的角，并取出相應(yīng)的長(zhǎng)度確定C點(diǎn)，再以點(diǎn)C為頂點(diǎn)正南方向，并取出相應(yīng)的長(zhǎng)度確定D點(diǎn)即可.
【詳解】（1）根據(jù)的比例尺，即圖上，作圖如下，

（2）根據(jù)的比例尺，即圖上，作圖如下，

（3）根據(jù)的比例尺，即圖上，作圖如下，

28．(1)有9個(gè)
(2)，
(3)，，，，，，
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)平面幾何的性質(zhì)及相等向量、共線向量的定義判斷即可.
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑸槠叫兴倪呅危?br/>所以，
所以與模長(zhǎng)相等的向量有、、、、、、、、共個(gè).
（2）與相等的向量有、.
（3）與共線的向量有，，，，，，.
（4）因?yàn)闉槠叫兴倪呅危郧遥?br/>所以與相等的向量為.
29．（1）5；（2）2.
【分析】根據(jù)共線向量和相等向量的定義、以及模的計(jì)算和對(duì)正方形的對(duì)角線即可.
【詳解】解：由題可知，每個(gè)小方格都是單位正方形，
每個(gè)小正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度為且都與平行，
則，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個(gè)向量，
則與相等的向量共有5個(gè)，如圖1；
（2）與方向相同且模為的向量共有2個(gè)，如圖2.
【點(diǎn)睛】本題考查共線向量和相等向量的定義，以及向量的模的計(jì)算，考查理解能力和數(shù)形結(jié)合思想.
30．證明見解析
【解析】根據(jù)相等向量的定義、中點(diǎn)的定義、平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，可以證明出.
【詳解】證明：由可知且，
所以四邊形為平行四邊形，
從而.
又M，N分別是，的中點(diǎn)，于是.
所以且.
所以四邊形是平行四邊形.
從而.
【點(diǎn)睛】本題考查了相等向量的定義，考查了平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查了推理論證能力.
31．答案見解析.
【分析】根據(jù)方向角及飛行距離可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【詳解】以為原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立直角坐標(biāo)系．
由題意知點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在x軸正半軸上，點(diǎn)在第四象限，
向量如圖所示，
由已知可得，

為正三角形，所以．
又，，
所以為等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模為，方向?yàn)闁|南方向．
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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