資源簡(jiǎn)介

第09講 空間的平行關(guān)系-【寒假預(yù)科講義】（人教A版2019必修第二冊(cè)）
·模塊一 空間中的平行關(guān)系
·模塊二 平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化及綜合應(yīng)用
·模塊三 課后作業(yè)
1.直線(xiàn)與直線(xiàn)平行
（1）基本事實(shí)4
①自然語(yǔ)言：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行.
②符號(hào)語(yǔ)言：a，b，c是三條不同的直線(xiàn)，若a∥b，b∥c，則a∥c.
③作用：判斷或證明空間中兩條直線(xiàn)平行.
（2）空間等角定理
①自然語(yǔ)言：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
②符號(hào)語(yǔ)言：如圖（1）（2）所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.
2.直線(xiàn)與平面平行
（1）判定定理
①自然語(yǔ)言
如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面平行.
②圖形語(yǔ)言
③符號(hào)語(yǔ)言
.
該定理可簡(jiǎn)記為“若線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行”.
（2）性質(zhì)定理
①自然語(yǔ)言
一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線(xiàn)的平面與此平面相交，那么該直線(xiàn)與交線(xiàn)平行.
②圖形語(yǔ)言
③符號(hào)語(yǔ)言
.
該定理可簡(jiǎn)記為“若線(xiàn)面平行，則線(xiàn)線(xiàn)平行”.
（3）性質(zhì)定理的作用
①作為證明線(xiàn)線(xiàn)平行的依據(jù).當(dāng)證明線(xiàn)線(xiàn)平行時(shí)，可以證明其中一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面，另一條直線(xiàn)是過(guò)第一條直線(xiàn)的平面與已知平面的交線(xiàn)，從而得到兩條直線(xiàn)平行.
②作為畫(huà)一條與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的依據(jù).如果一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面，要在平面內(nèi)畫(huà)一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行，可以過(guò)已知直線(xiàn)作一個(gè)平面與已知平面相交，交線(xiàn)就是所要畫(huà)的直線(xiàn).
3.平面與平面平行
（1）判定定理
①自然語(yǔ)言
如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.
②圖形語(yǔ)言
③符號(hào)語(yǔ)售
.
該定理可簡(jiǎn)記為“若線(xiàn)面平行，則面面平行”.
（2）判定定理的推論
①自然語(yǔ)言
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面平行.
②圖形語(yǔ)言
③符號(hào)語(yǔ)言
.
（3）性質(zhì)定理
①自然語(yǔ)言
兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線(xiàn)平行.
②圖形語(yǔ)言
③符號(hào)語(yǔ)言
.
該定理可簡(jiǎn)記為“若面面平行，則線(xiàn)線(xiàn)平行”.
（4）兩個(gè)平面平行的其他性質(zhì)
①兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面.
②平行直線(xiàn)被兩個(gè)平行平面所截的線(xiàn)段長(zhǎng)度相等.
③經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.
④兩條直線(xiàn)同時(shí)被三個(gè)平行平面所截，截得的線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例.
⑤如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.
【考點(diǎn)1 證明線(xiàn)線(xiàn)平行】
【例1.1】（2023下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
1．下列結(jié)論中正確的是（ ）
①在空間中，若兩條直線(xiàn)不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行；③一條直線(xiàn)和兩條平行直線(xiàn)中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線(xiàn)a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
【例1.2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
2．如圖所示，在長(zhǎng)方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有（ ）
A．3條 B．4條
C．5條 D．6條
【變式1.1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
3．已知，，，則（ ）
A． B．或
C． D．或
【變式1.2】（2023·上海·高二專(zhuān)題練習(xí)）
4．若，且，與方向相同，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．且方向相同 B．，方向可能不同
C．OB與不平行 D．OB與不一定平行
【考點(diǎn)2 直線(xiàn)與平面平行的判定】
【例2.1】（2023下·湖北黃岡·高一校考階段練習(xí)）
5．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線(xiàn)AB不平行與平面MNQ的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2.2】（2023下·重慶沙坪壩·高一校考期末）
6．過(guò)四棱錐任意兩條棱的中點(diǎn)作直線(xiàn)，其中與平面平行的直線(xiàn)有（ ）
A．4條 B．5條 C．6條 D．7條
【變式2.1】（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）
7．在四棱錐中，，，則下列結(jié)論中不成立的是（ ）
A．平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)都不與平行
B．平面內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平面平行
C．平面和平面的交線(xiàn)不與底面平行
D．平面和平面的交線(xiàn)不與底面平行
【變式2.2】（2023下·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）
8．下列正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能滿(mǎn)足平面MNP的是（ ）
A． B．
C． D．
【考點(diǎn)3 平面與平面平行的判定】
【例3.1】（2023下·河南信陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）
9．設(shè)直線(xiàn)，平面，則下列條件能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【例3.2】（2023下·江西·高一校考期末）
10．在正方體中，下列四對(duì)截面中，彼此平行的一對(duì)截面是（ ）.
A．與 B．與
C．與 D．與
【變式3.1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
11．下列四個(gè)正方體中，、、為所在棱的中點(diǎn)，則能得出平面平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3.2】（2023下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
12．如圖是四棱錐的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論:
①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB.
其中正確的有（　　）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③
1.平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化及綜合應(yīng)用
（1）證明線(xiàn)線(xiàn)平行的常用方法
①利用線(xiàn)線(xiàn)平行的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線(xiàn)是平行直線(xiàn).
②利用基本事實(shí)4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行.
③利用三角形的中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行且等于底邊的一半.
④利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理.
⑤利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理.
⑥利用面面平行的性質(zhì)定理.
⑦利用反證法：假設(shè)兩條直線(xiàn)不平行，然后推出矛盾，進(jìn)而得出兩條直線(xiàn)是平行的.
（2）證明線(xiàn)面平行的常用方法
①利用線(xiàn)面平行的定義：直線(xiàn)與平面沒(méi)有公共點(diǎn).
②利用直線(xiàn)與平面平行的判定定理：a，a∥b，b，則a∥.使用定理時(shí)，一定要說(shuō)明“平面外
一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行”，若不注明，則證明過(guò)程不完整.因此，要證明a∥，則必須在平面內(nèi)找一條直線(xiàn)b，使得a∥b，從而達(dá)到證明的目的，這三個(gè)條件缺一不可.
③利用面面平行的性質(zhì)：若平面∥平面，直線(xiàn)a，則a∥.
④利用反證法.這時(shí)“平行”的否定有“在平面內(nèi)”和“與平面相交”兩種，只有在排除“直線(xiàn)在平面內(nèi)”和“直線(xiàn)與平面相交”這兩種位置關(guān)系后才能得到“直線(xiàn)與平面平行”的結(jié)論，在這一點(diǎn)上往往容易出錯(cuò)，應(yīng)引起重視.
（3）平面與平面平行的判定方法
①根據(jù)定義：證明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，但有時(shí)直接證明非常困難.
②根據(jù)判定定理：要證明兩個(gè)平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線(xiàn)，分別證明它們平行
于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.
③根據(jù)判定定理的推論：在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交的直線(xiàn)分別與另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交的直線(xiàn)平行，
則這兩個(gè)平面平行.
④根據(jù)平面平行的傳遞性：若兩個(gè)平面都平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.
⑤利用反證法.
（4）平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化
常見(jiàn)的平行關(guān)系有線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行和面面平行，這三種關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，如圖所示.
【考點(diǎn)1 線(xiàn)面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用】
【例1.1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
13．已知直三棱柱 的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)均為 分別是棱 上的點(diǎn)， 且 ， 當(dāng) 平面 時(shí)， 的值為（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
14．若直線(xiàn)平面，，且直線(xiàn)與點(diǎn)位于的兩側(cè)，，，，分別交平面于點(diǎn)，，若，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．3 B． C． D．
【變式1.1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
15．如圖，空間四邊形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的一點(diǎn)，下列條件不能證明EHFG的是（　　）
A．E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)
B．，
C．BD平面EFGH
D．，
【變式1.2】（2023下·湖北黃岡·高一校考階段練習(xí)）
16．如圖所示，棱柱的側(cè)面是矩形，D是上的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則的值為（ ）

A． B． C． D．1
【考點(diǎn)2 面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用】
【例2.1】（2023下·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）
17．已知，，是三個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線(xiàn)，且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例2.2】（2023上·北京·高二校考階段練習(xí)）
18．已知為所在平面外一點(diǎn)，平面平面，且交線(xiàn)段，，于點(diǎn)，若，則（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25
【變式2.1】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）
19．如圖，四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線(xiàn)段DB，上，，G在上且平面平面，則（ ）

A． B． C． D．
【變式2.2】（2023下·江蘇無(wú)錫·高一錫東高中校考階段練習(xí)）
20．如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，、分別是，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，為正方形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界）.若平面，則的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為（ ）

A． B． C． D．
【考點(diǎn)3 平行問(wèn)題的綜合應(yīng)用】
【例3.1】（2023下·浙江金華·高一校考期中）
21．在正方體中，分別是和的中點(diǎn)，求證

(1)
(2)平面．
(3)平面平面．
【例3.2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
22．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形．設(shè)平面與平面的交線(xiàn)為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)求證：．
【變式3.1】（2023下·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期中）
23．如圖，正三棱柱中，E、F、G分別為棱、、的中點(diǎn)．

(1)證明：∥平面；
(2)在線(xiàn)段是否存在一點(diǎn)，使得平面∥平面？若存在，請(qǐng)指出并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式3.2】（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）
24．如圖，在正四面體中，，E，F(xiàn)，R分別是，，的中點(diǎn)，取，的中點(diǎn)M，N，Q為平面內(nèi)一點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)若平面，求線(xiàn)段的最小值．
（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
25．已知直線(xiàn)a∥直線(xiàn)b，直線(xiàn)b∥直線(xiàn)c，直線(xiàn)c∥直線(xiàn)d，則a與d的位置關(guān)系是（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．不確定
（2023·高一課前預(yù)習(xí)）
26．給出下列命題：
①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；
②如果兩條相交直線(xiàn)和另兩條直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成的銳角(或直角)相等；
③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
其中正確的命題有（ ）
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
（2023下·青海西寧·高一校考期中）
27．已知平面平面，過(guò)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)a的平面，與平面相交，交線(xiàn)為直線(xiàn)b，則a、b的位置關(guān)系是（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．不確定
（2023上·江蘇南京·高三校考階段練習(xí)）
28．在空間中，直線(xiàn)平面的一個(gè)充要條件是（ ）
A．內(nèi)有一條直線(xiàn)與平行 B．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行
C．任意一條與垂直的直線(xiàn)都垂直于 D．存在一個(gè)與平行的平面經(jīng)過(guò)
（2023下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
29．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn).若點(diǎn)F在線(xiàn)段AC上，且滿(mǎn)足平面PEF，則的值為（ ）

A．1 B．2 C． D．
（2023上·上海虹口·高三校考期中）
30．已知是兩條不同的直線(xiàn)，是三個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若是異面直線(xiàn)，，則
D．平面內(nèi)有不共線(xiàn)的三點(diǎn)到平面的距離相等，則.
（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
31．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是平面的中心，點(diǎn)是平面的對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，且平面，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）
32．在正四棱柱中，為底面的中心，是的中點(diǎn)，設(shè)是上的點(diǎn)，則點(diǎn)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，有平面∥平面．（ ）
A．Q為的三等分點(diǎn) B．Q為的中點(diǎn)
C．Q為的四等分點(diǎn) D．Q與C重合
（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
33．已知三棱柱中，D，E分別是AB，的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：
①直線(xiàn)平面； ②直線(xiàn)平面；
③直線(xiàn)平面； ④直線(xiàn)平面CDE.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）
34．在直四棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的點(diǎn)，且，過(guò)作平面，使得平面平面AEF，則平面截直四棱柱，所得截面圖形的面積為（ ）
A． B． C．3 D．
（2023·高一課時(shí)練習(xí)）
35．如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且，求證：直線(xiàn)EH與直線(xiàn)FG平行．
（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）
36．如圖，在直三棱柱中，，且，點(diǎn)在線(xiàn)段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，設(shè)．當(dāng)平面時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.
（2023上·江西南昌·高二校考期中）
37．已知四棱錐，底面是菱形，底面，且，點(diǎn)分別是棱和的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積.
（2023上·四川南充·高二校考階段練習(xí)）
38．如圖，已知點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面PAD；
(2)若PB中點(diǎn)為Q，求證：平面平面PAD．
（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）
39．幾何體是四棱錐，為正三角形，，，為線(xiàn)段的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得四點(diǎn)共面？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，并說(shuō)明理由.
試卷第2頁(yè)，共2頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共1頁(yè)
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)空間中直線(xiàn)間的位置關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】①錯(cuò)誤，兩條直線(xiàn)可以異面；
②正確，平行的傳遞性；
③錯(cuò)誤，和另一條直線(xiàn)可以相交也可以異面；
④正確，平行的傳遞性.
故選：B.
2．B
【分析】由E，F(xiàn)分別是B1O，C1O的中點(diǎn)，故EF∥B1C1，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，即可求解.
【詳解】由于E，F(xiàn)分別是B1O，C1O的中點(diǎn)，故EF∥B1C1，
因?yàn)榕c棱B1C1平行的棱還有3條：AD, BC，A1D1，所以共有4條.
故選：B.
3．B
【解析】根據(jù)等角定理，即可得到結(jié)論.
【詳解】的兩邊與的兩邊分別平行，
根據(jù)等角定理易知或.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查等角定理，屬基礎(chǔ)題.
4．D
【分析】畫(huà)出圖形，當(dāng)滿(mǎn)足題目中的條件時(shí)，出現(xiàn)的情況有哪些，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，
當(dāng)∠AOB=∠A1O1B1時(shí)，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，
OB與O1B1是不一定平行．
故選：D．
5．D
【分析】利用線(xiàn)面平行的判定方法逐個(gè)分析判斷即可．
【詳解】對(duì)于A(yíng)，如圖，連接，則，

因?yàn)椋謩e為棱的中點(diǎn)，所以由三角形中位線(xiàn)定理可得，
所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>對(duì)于B，如圖連接，

因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>對(duì)于C，如圖，連接，則，

因?yàn)椋謩e為棱的中點(diǎn)，所以由三角形中位線(xiàn)定理可得，
所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>對(duì)于D，如圖取底面中心，連接，

由于為棱的中點(diǎn)，所以由三角形中位線(xiàn)定理可得，
因?yàn)榕c平面相交，所以與平面相交，
故選：D．
6．C
【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理分析求解.
【詳解】如圖，設(shè)為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，
則//，且平面，平面，所以//平面，
同理可得：與平面平行，
由圖可知：其他的任意兩條棱的中點(diǎn)的連線(xiàn)與平面相交或在平面內(nèi)，
所以與平面平行的直線(xiàn)有6條.
故選：C.

7．D
【分析】利用反證法證明A、C，只需在平面內(nèi)，與平面和平面的交線(xiàn)平行的所有直線(xiàn)（交線(xiàn)除外）均與平面平行，即可判斷B，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理與性質(zhì)定理判斷D.
【詳解】因?yàn)椋运倪呅螢樘菪危摇⒉黄叫校?br/>對(duì)于A(yíng)：若平面內(nèi)存在直線(xiàn)與平行，又平面，
所以平面，又平面平面，平面，
所以，與、不平行矛盾，
所以平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)都不與平行，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)槠矫婧推矫娴囊粋€(gè)交點(diǎn)為，故二者存在過(guò)點(diǎn)的一條交線(xiàn)，
在平面內(nèi)，與平面和平面的交線(xiàn)平行的所有直線(xiàn)（交線(xiàn)除外）均與平面平行，故B正確；
對(duì)于C：若平面和平面的交線(xiàn)與底面平行，
設(shè)平面和平面的交線(xiàn)為，則平面，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妫裕砜傻茫?br/>所以，與、不平行矛盾，
所以平面和平面的交線(xiàn)不與底面平行，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋矫妫矫妫云矫?br/>設(shè)平面和平面的交線(xiàn)為，平面，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>故平面和平面的交線(xiàn)與底面平行，故D錯(cuò)誤；

故選：D
8．C
【分析】由與平面MNP相交，判斷A；由，結(jié)合不在平面判斷B；由線(xiàn)面平行的判定判斷C；由中位線(xiàn)定理判斷D.
【詳解】對(duì)于A(yíng)：連接，由圖可知，與平面相交，故不滿(mǎn)足平面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：如圖所示，分別是所在棱的中點(diǎn)，連接
則平面MNP和平面為同一平面，因?yàn)椋?br/>因?yàn)榕c平面相交，所以不滿(mǎn)足平面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：連接，交與點(diǎn)，連接，因?yàn)椋謩e為中點(diǎn)，
所以，由線(xiàn)面平行的判定定理可知，平面，故C正確；

對(duì)于D：分別是所在棱的中點(diǎn)，連接，，
平面與平面為同一平面，
取的中點(diǎn)為，連接，由中位線(xiàn)定理可知，，
因?yàn)榕c平面相交，所以不滿(mǎn)足平面，故D錯(cuò)誤；

故選：C
9．B
【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A(yíng). ，且，由于無(wú)法得知是否相交，所以不能得到，
對(duì)于B. ，且，則，故B正確，
對(duì)于C. ，且，此時(shí)可能相交，
對(duì)于D. ，且，則可能相交，
故選：B
10．B
【分析】根據(jù)面面平行的判定并結(jié)合圖形判斷各選項(xiàng).
【詳解】如圖，選項(xiàng)A、B、C、D分別對(duì)應(yīng)圖1、圖2、圖3、圖4.
對(duì)于A(yíng)，與相交，截面與相交，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，截面與平行.
證明：因?yàn)?br/>所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
同理可證平面，，，
所以平面平面.故B正確；
對(duì)于C，截面與相交于D點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，與相交，截面與相交，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
11．B
【分析】利用反證法可判斷A選項(xiàng)；利用面面平行的判定定理可判斷B選項(xiàng)；利用反證法結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用面面平行的判定和性質(zhì)定理、結(jié)合反證法可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，若平面平面，平面，則平面，
由圖可知與平面相交，故平面與平面不平行，A不滿(mǎn)足條件；
對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示，連接，
因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，
在正方體中，且，
故四邊形為平行四邊形，所以，，，
平面，平面，平面，
同理可證平面，，因此，平面平面，B滿(mǎn)足條件；
對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示：
在正方體中，若平面平面，且平面平面，
則平面平面，但這與平面與平面相交矛盾，
因此，平面與平面不平行，C不滿(mǎn)足條件；
對(duì)于D選項(xiàng)，在正方體中，連接、、，如下圖所示：
因?yàn)榍遥瑒t四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，所以，平面，
同理可證平面，，所以，平面平面，
若平面平面，則平面平面，
這與平面與平面相交矛盾，故平面與平面不平行，D不滿(mǎn)足條件.
故選：B.
12．C
【分析】把圖形還原為一個(gè)四棱錐，然后根據(jù)線(xiàn)面、面面平行的判定定理逐一判斷即可.
【詳解】把平面展開(kāi)圖還原為四棱錐如圖所示，
對(duì)于①，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，
同理可證平面，
又因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面平面，故①正確；
對(duì)于②，因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面，故②正確；
對(duì)于③，因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面，故③正確；
對(duì)于④，平面平面，故④錯(cuò)誤;
所以正確的有①②③.
故選：C.
13．B
【分析】過(guò)作交于，利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得四邊形為平行四邊形，，即得.
【詳解】過(guò)作交于，連接，
因?yàn)椋啵使裁?
因?yàn)?平面 ，平面平面 ，平面，
所以，又,
∴四邊形為平行四邊形，
又，
∴，
所以.
故選：B．
14．B
【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行可得線(xiàn)線(xiàn)平行，從而可求.
【詳解】∵，平面，平面，
∴，∴，即，∴.
故選：B.
15．D
【分析】在每個(gè)選項(xiàng)中的條件下，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段定理，結(jié)合線(xiàn)面平行判定和性質(zhì)定理，即可得出答案．
【詳解】對(duì)于A(yíng)：若E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)，
則EHBD，EHBD且FGBD，F(xiàn)GBD，
所以EHFG，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)椋訣HBD，
因?yàn)椋訤GBD，所以EHFG，故B正確；
對(duì)于C：若BD平面EFGH，
因?yàn)锽D 平面ABD，且平面ABD∩平面EFGH＝EH，所以BDEH，
因?yàn)锽D 平面CBD，且平面CBD∩平面EFGH＝FG，所以BDFG，
所以EHFG，故C正確；
對(duì)于D：若，，則EFAC，HGAC，
所以EFHG，但EF不一定等于HG，所以四邊形EFGH不一定是平行四邊形，
所以EH不一定平行于FG，故D錯(cuò)誤．
故選：D．
16．B
【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)將平面轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行，然后集合位置關(guān)系求解即可；
【詳解】
連接交于，連接，
因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?
所以,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以D是上的中點(diǎn)，即
故選：B.
17．B
【分析】由面面平行的性質(zhì)及平面基本性質(zhì)判斷線(xiàn)線(xiàn)、面面關(guān)系，進(jìn)而確定條件間的充分、必要關(guān)系.
【詳解】由，，若，由面面平行的性質(zhì)知：，必要性成立；
由，，若，則或相交，充分性不成立.
相交情況如下：

故選：B
18．D
【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，，且，，進(jìn)而根據(jù)等角定理可得，，，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，平面平面，平面，平面平面，
根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，，且.
同理可得，，.
根據(jù)等角定理可得，，，，
所以，.
所以，.
故選：D.
19．B
【分析】連接，F(xiàn)G，利用面面平行、線(xiàn)面平行的性質(zhì)證明線(xiàn)線(xiàn)平行，再結(jié)合平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理求解作答.
【詳解】在四棱柱中，連接，F(xiàn)G，如圖，

因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>平面平面，則，于是，
平面平面，而平面，則平面，
在平面內(nèi)存在與不重合的直線(xiàn)，又平面平面，平面，
則平面AEF，在平面AEF內(nèi)存在與不重合直線(xiàn)，從而，平面AEF，
平面AEF，則平面AEF，又平面，平面平面，
因此，BG，AF可確定平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>平面平面，平面平面，于是，即有，
所以.
故選：B
20．C
【分析】分別取、的中點(diǎn)、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)定理可知，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面，可得出點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段，求出即可得解.
【詳解】如圖，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、，
設(shè)分別交、于點(diǎn)、，連接、、，設(shè)，

、分別為、的中點(diǎn)，則，且為的中點(diǎn)，
同理可知，且為的中點(diǎn)，，
平面，平面，平面，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕瑸榈闹悬c(diǎn)，
所以，，，同理可得，，
，所以，，則，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
所以當(dāng)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于平面，始終有平面，
即的運(yùn)動(dòng)軌跡為線(xiàn)段，易知，
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見(jiàn)的線(xiàn)面平行的證明方法有：
（1）通過(guò)面面平行得到線(xiàn)面平行；
（2）通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)平行得到線(xiàn)面平行，在證明線(xiàn)線(xiàn)平行中，經(jīng)常用到中位線(xiàn)定理或平行四邊形的性質(zhì).
21．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析
(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析
(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】（1）利用三角形中位線(xiàn)定理進(jìn)行證明即可；
（2）利用線(xiàn)面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；
（3）利用平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合面面平行的判定定理進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1）連接，
因?yàn)榈酌媸钦叫危尹c(diǎn)是中點(diǎn)，
所以，即點(diǎn)也是中點(diǎn)，
又因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，
所以由三角形中位線(xiàn)定理可得；
（2）由（1），因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面；
（3）連接，
因?yàn)榉謩e是和的中點(diǎn)，
所以由正方體的性質(zhì)可知：，
所以四邊形是平行四邊形，所以有，而，
所以，因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，而平面，
所以平面平面.

22．(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用面面平行的判定定理證明即可；
（2）利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理證明即可
【詳解】（1）因?yàn)椤ⅰ⒎謩e為、、的中點(diǎn)，底面為平行四邊形，
所以，，
又平面，平面，
則平面，
同理平面，平面，
可得平面，
又，平面，
所以平面平面.
（2）因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面，
又平面，平面平面，
所以.
23．(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在；N為的中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明后證得線(xiàn)面平行；
（2）N為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面．由線(xiàn)面平行的判定定理證明與平面平行后可得證面面平行．
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，
在中，因?yàn)镋、M分別為、的中點(diǎn)
所以且．
又為的中點(diǎn)，，所以且，
即且，
故四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面．

（2）當(dāng)N為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面．
證明：連接，．
因?yàn)镹，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>又因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面平面．

24．(1)證明見(jiàn)解析
(2)．
【分析】（1）因?yàn)椋謩e是，，的中點(diǎn)，所以，可證平面，同理平面，進(jìn)而即得；
（2）由題意可知點(diǎn)Q在線(xiàn)段上移動(dòng)，因?yàn)槭堑妊切危适歉邥r(shí)最小.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋謩e是，，的中點(diǎn)，
所以，平面，平面，
所以平面．
同理，平面，又因?yàn)椋?br/>所以平面平面．

（2）解：由（1）可得平面平面，若平面，則點(diǎn)Q在線(xiàn)段上移動(dòng)，
在中，，，，的最小值為R到線(xiàn)段的距離，
因?yàn)槭堑妊切危实淖钚≈禐椋?br/>
25．A
【分析】由平行直線(xiàn)的傳遞性可得答案.
【詳解】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.
故選：A.
26．B
【分析】對(duì)于①，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，據(jù)此判斷；對(duì)于②，根據(jù)等角定理判斷；對(duì)于③，空間兩條直線(xiàn)的垂直包括異面垂直，此時(shí)兩個(gè)角有可能不相等且不互補(bǔ)，據(jù)此判斷.
【詳解】對(duì)于①，這兩個(gè)角也可能互補(bǔ)，故①錯(cuò)誤；根據(jù)等角定理，②顯然正確；
對(duì)于③，如圖所示，
BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個(gè)角不一定相等，也不一定互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤．所以正確的命題有1個(gè)．
故選：B
27．A
【分析】由已知可得出直線(xiàn)與直線(xiàn)在同一平面內(nèi)，且無(wú)公共點(diǎn)，即可判斷出位置關(guān)系.
【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫媾c平面無(wú)公共點(diǎn)，
直線(xiàn)平面，直線(xiàn)平面，
直線(xiàn)平面，直線(xiàn)平面，
所以直線(xiàn)與直線(xiàn)在同一平面內(nèi)，且無(wú)公共點(diǎn)，故直線(xiàn).
故選：A.

28．D
【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)求解.
【詳解】對(duì)于A(yíng)，B，C，直線(xiàn)都可能在內(nèi)，
故選:D．
29．C
【分析】連接CD，交PE于點(diǎn)G，連接FG，由線(xiàn)面平行性質(zhì)證明，再利用重心性質(zhì)求解即可.
【詳解】如圖，連接CD，交PE于點(diǎn)G，連接FG，

因?yàn)槠矫鍼EF，平面ADC，平面平面，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn)，所以G是的重心，所以.
故選：C.
30．C
【分析】利用直觀(guān)想象判斷直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系可判斷ABD；利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理與面面平行的判定定理可判斷C，從而得解.
【詳解】因?yàn)椤⑹莾蓷l不同的直線(xiàn)，、、是三個(gè)不同的平面，
對(duì)于A(yíng)，若，，則與可能相交，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則與可能相交，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋裕郑?br/>所以由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可知在內(nèi)存在，則，進(jìn)而可得，
因?yàn)槭钱惷嬷本€(xiàn)，，所以與相交，
又，所以由面面平行的判定定理得，故C正確；
對(duì)于D，平面內(nèi)有不共線(xiàn)的三點(diǎn)到平面的距離相等，則與可能相交，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
31．B
【分析】利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理及三角形的中位線(xiàn)定理，結(jié)合勾股定理即可求解.
【詳解】連接，，則過(guò)點(diǎn).如圖所示
∵平面，平面平面，平面，
∴，∵，
∴.
故選：B.
32．B
【分析】根據(jù)面面平行的判定定理易證Q為的中點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足題意．
【詳解】如圖所示，設(shè)為的中點(diǎn)，連接PQ，
∵為的中點(diǎn)，易知PQ∥CD∥AB，且PQ＝CD＝AB，
故四邊形BAPQ是平行四邊形，∴QB∥PA，
又QB面，PA面，∴PA∥面．
連接，則DB過(guò)O，且O是DB中點(diǎn)，
又∵是中點(diǎn)，∴∥PO，
又面，PO面，∴PO∥面．
又，PA，PO面，
∴平面∥平面，
故為的中點(diǎn)時(shí)，有平面∥平面．
故選：B

33．B
【分析】根據(jù)題意，由線(xiàn)面平行的判定定理，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】
對(duì)于①：如圖1，連接，交于點(diǎn)F，連接DF，則點(diǎn)F是的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫灾本€(xiàn)平面，所以①正確.
對(duì)于②：如圖2，取BC的中點(diǎn)F，連接DF，，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以，且，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以直線(xiàn)平面，故②正確.
對(duì)于③：如圖3，取BC的中點(diǎn)F，連接DF，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以，且，又，，所以，，連接EF，所以四邊形是平行四邊形，所以，顯然EF與平面相交，則與平面相交，故③錯(cuò)誤.
對(duì)于④：如圖4，連接，交EC于點(diǎn)F，連接DF，則平面平面，若直線(xiàn)平面CDE，則，由于D是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是的中點(diǎn)，而顯然點(diǎn)F不是的中點(diǎn)，矛盾，故④錯(cuò)誤.
故選：B.
34．A
【分析】根據(jù)四棱柱的幾何性質(zhì)以及面面平行的判定定理求解.
【詳解】
如圖，取的中點(diǎn)M，在上取一點(diǎn)H，使得，連接，如上圖，
則，平面，
平面AEF，平面平面；
即過(guò)點(diǎn)平行于平面AEF的平面截四棱柱的圖形是三角形，
其中，
，
故選：A.
35．證明見(jiàn)詳解
【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)、平行線(xiàn)等分性質(zhì)結(jié)合平行線(xiàn)的傳遞性分析證明,
【詳解】∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，則，
又∵F、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且，則，
∴，
故直線(xiàn)EH與直線(xiàn)FG平行．
36．
【分析】連接，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)，從而得解.
【詳解】如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，
為的中點(diǎn)，且平面平面，
平面，平面，
，
為的中點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的值為．
37．(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）取的中點(diǎn)，借助平行四邊形的性質(zhì)，利用線(xiàn)面平行的判定推理得解.
（2）利用三棱錐的體積公式，結(jié)合割補(bǔ)法計(jì)算即可.
【詳解】（1）在四棱錐中，底面是菱形，取的中點(diǎn)，連接.
由分別為的中點(diǎn)，得，
又是的中點(diǎn)，則，于是，
因此四邊形為平行四邊形，即有，而平面平面，
所以平面.
（2）由底面，且，為中點(diǎn)，得點(diǎn)到底面的距離為1，
菱形中，，則，
因此，
所以，即三棱錐的體積為.
38．(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，證明四邊形AMNE為平行四邊形，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即得；
（2）證明平面PAD，平面PAD，進(jìn)而即得.
【詳解】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，

因?yàn)镹是PC的中點(diǎn)，所以且，
又M是AB的中點(diǎn)，ABCD是正方形，所以且，
所以且，所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以，
又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD．
（2）因?yàn)镼為PB的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，
所以，又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD，
又平面PAD，，MQ，平面MNQ，
所以平面平面PAD．
39．(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在，
【分析】（1）先由線(xiàn)面平行的判定理證得平面，再證得平面，由此利用面面平行的判定定理證得面面，從而得到平面；
（2）先由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理求得點(diǎn)位置，再由平面幾何知識(shí)求得，從而利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得到的值.
【詳解】（1）記為的中點(diǎn)，連接，如圖1，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故，
因?yàn)槠矫嫫矫?br/>所以平面，
又因?yàn)闉檎切危?，，
又為等腰三角形，，所以,
所以，即，
所以，又平面平面
所以平面，又，平面，
故平面平面，
又因?yàn)槠矫妫势矫?
（2）延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖2，
因?yàn)槠矫妫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以，此時(shí)四點(diǎn)共面，
由（1）可知，，得，
故，又因?yàn)椋裕?br/>則有，故.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

展開(kāi)更多......

收起↑