資源簡介

1.1 集合的概念【第二練】
1.1 集合的概念【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.利用集合與元素的含義，培養數學抽象，如第5題；
2.判斷元素與集合的“從屬關系”，鍛煉數學建模能力，如第8題；
3.能夠靈活應用列舉法和描述法表示集合，培養數學抽象，如第10題；
4.能利用集合中元素的三個特性進行解題，鍛煉邏輯推理能力，如第9題.
（2023·湖南師大附中月考）
1．若a，b，c，d為集合A的四個元素，則以a，b，c，d為邊長構成的四邊形可能是(　　)
A．矩形 B．平行四邊形
C．菱形 D．梯形
（2023·河北省石家莊二中月考）
2．方程組的解集是（ ）
A． B．且 C． D．且
（2023·湖南省長沙市期末）
3．已知集合，下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南省洛陽市宜陽第一高級中學月考）
4．集合的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023·山西省名校聯考期末）
5．已知集合A中元素x滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·浙江省杭州外國語學校期中）
6．若，，，則M中元素的個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023·北京市大興區期中）
7．已知集合，其中.若1是集合中的一個元素，則集合（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西省實驗中學月考）
8．已知，，為非零實數，代數式的值所組成的集合是，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·陜西省安康中學月考）
9．已知集合，，則集合中所有的元素之和為（ ）
A．0 B．2 C． D．
（2023·河南省周口恒大中學期末）
10．下列說法中不正確的是（ ）
A．與表示同一個集合
B．集合＝與＝表示同一個集合
C．方程＝的所有解的集合可表示為
D．集合不能用列舉法表示
11．下列結論中，不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
12．已知，若，則實數的值為 ．
13．用適當的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全體；
(2)大于小于12.8的整數的全體；
(3)所有能被3整除的數的集合；
(4)方程的解集；
(5)不等式的解集；
(6)拋物線上的點組成的集合．
【易錯題目】第2題、第10題、第13題6
【復盤要點】區分數集和點集
用描述法表示集合時，注意區分是數集還是點集．區分的關鍵在于代表元素．
數集 集合與集合不同，表示使函數有意義的x的范圍，因此；表示的函數值y的范圍，因此．
這兩種表示方法為以后學習函數的定義域和值域提供了條件．
點集 表示滿足方程的解的集合，即的圖象上的點構成的集合．表示有序實數對，即m，n的位置不可互換，如，表示不同的集合．
典例 指出下列集合的含義：
（1）；（2）；
（3）；（4）；（5）．
解析
集合 集合的含義
數集 表示函數的自變量的所有取值組成的集合．
表示函數的所有函數值組成的集合．
表示方程的解集，即．
點集 表示函數圖象上所有的點組成的集合．
表示二元一次方程組的解集，即．
【復盤訓練】
14．下列說法錯誤的是　　
A．在直角坐標平面內，第一、三象限的點的集合為
B．方程的解集為
C．集合與是同一個集合
D．若，則
15．集合，集合A還可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
16．集合的意義是（ ）
A．第二象限內的點集
B．第四象限內的點集
C．第二、四象限內的點集
D．不在第一、三象限內的點的集合
（山西省運城市稷山縣稷山中學2023-2024學年高一上學期學科素養測試）
17．下面關于集合的表示正確的序號是 .
①；
②；
③；
④.
18．說明下列各集合表示的含義．
(1)；
(2) ；
(3)；
(4) ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【詳解】由于集合中的元素具有“互異性”，故a，b，c，d四個元素互不相同，即組成四邊形的四條邊互不相等.選D.
點睛：集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．
2．D
【分析】先解方程組，再逐一分析選項答案是否符合要求得解.
【詳解】方程組的解是.
選項A,不是解集，所以錯誤；
選項B,集合表示方法錯誤，“|”線前應該為，所以該選項錯誤；
選項C,集合的元素不是兩個元素，是一個元素，是一對有序實數，所以該選項錯誤.
只有選項D正確.
故選：D
3．B
【分析】解方程可求得集合，再根據元素和集合的關系即可求解.
【詳解】由得或，則集合，所以，，，.
故選：B.
4．C
【分析】利用，討論， 可得答案.
【詳解】因為，，，所以
時；時；時；時；時，
共有5個元素，
故選：C.
5．D
【分析】由已知條件列出不等式求解即可.
【詳解】∵，∴，解得，
又∵，∴，解得，
∴．
故選：D．
6．C
【分析】根據集合的定義，結合已知集合，即可求得結果.
【詳解】根據題意，，故中元素的個數為.
故選：C.
7．C
【分析】根據1是集合中的一個元素，求得a，進而再解方程求解.
【詳解】解：，
集合中的方程為，
解得或，
，
故選：C．
8．A
【分析】分別對，，的符號進行討論，計算出集合的所有元素，再進行判斷.
【詳解】根據題意，分4種情況討論；
①、全部為負數時，則也為負數，則；
②、中有一個為負數時，則為負數，則；
③、中有兩個為負數時，則為正數，則；
④、全部為正數時，則也正數，則；
則；分析選項可得符合．
故選：A.
9．D
【分析】根據集合的定義求出集合后可得結論．
【詳解】，，
①當時，，
時，，；
時，，滿足條件；
②當時，，，滿足條件；
③當時，，，滿足條件；
④當時，，，滿足條件．
從而得到，
所以集合中所有元素之和為．
故選：D．
10．ABC
【分析】根據集合的概念，以及元素與集合的關系，以及元素的特征，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，是一個元素（數），而是一個集合，可得，所以A不正確；
對于B中，集合＝表示數構成的集合，集合＝表示點集，
所以B不正確；
對于C中，方程＝的所有解的集合可表示為，根據集合元素的互異性，可得方程＝的所有解的集合可表示為，所以C不正確；
對于D中，集合含有無窮個元素，不能用列舉法表示，所以D正確.
故選：ABC.
11．AB
【分析】根據元素與集合的關系一一判定即可.
【詳解】在A中，當時，顯然不成立．
對于B，當，其平方數仍為整數, 顯然不成立；
對于C,當，其絕對值仍為有理數, 正確；
對于D項,當，其立方仍為實數，正確.
故選：AB.
12．
【分析】根據題意知集合，利用分類討論及集合元素的互異性從而可求解.
【詳解】由題意知集合，
所以當時，得，所以，故滿足；
當時，得，所以，故不滿足；
當時，無解，故不滿足；
綜上，可得實數的值為.
故答案為：.
13．(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用列舉法表示集合；
（2）利用列舉法表示集合；
（3）利用描述法表示集合；
（4）利用列舉法表示集合；
（5）利用描述法表示集合；
（6）利用描述法表示點集合.
【詳解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月．
（2）．
（3）
（4）.
（5）.
（6）.
14．BCD
【分析】根據集合的定義與表示逐項分析判斷．
【詳解】對于：因為等價于或，
如果，則點在第一象限，如果，則點在第三象限，
所以在直角坐標平面內，第一、三象限的點的集合為，故正確；
對于：由于方程的解集等價于，解得，
故解集為，故錯誤；
對于C：集合表示的函數值的取值范圍，是數集，
集合表示拋物線的圖象，是點集，所以兩個集合不相同，故C錯誤；
對于：因為，則，故錯誤，
故選：BCD．
15．BCD
【分析】用列舉法表示集合及各選項的集合，對比即可得出答案.
【詳解】，
選項A，不符合；
選項B，，符合；
選項C，符合；
選項D，，符合，
故選：BCD.
16．D
【分析】意味著和異號或至少一個為零，結合象限的概念可得結果．
【詳解】因為意味著和異號或至少一個為零，
故為第二、四象限內的點或坐標軸上的點，即不在第一、三象限內的點，
所以的意義是不在第一、三象限內的點的集合.
故選：D．
17．③④
【分析】根據集合的表示方法與集合的性質，判斷正確的序號.
【詳解】∵集合中的元素具有無序性，∴，∴①不成立；
∵是點集，而不是點集，∴②不成立；
∵與都表示大于1的實數組成的集合，∴③成立；
∵與都表示奇數組成的集合，∴④成立.
故答案為：③④.
18．(1)
(2)B表示直線y＝x－3上所有點組成的集合
(3)C表示一個單元素集，是一個實數對，是以一個點的坐標為元素的集合
(4)D是一個單元素集
【分析】根據集合中元素的特點得出各集合表示的含義．
【詳解】（1）A表示y的取值集合，由反比例函數的圖象，知．
（2）B中的元素是點，B表示直線上所有點組成的集合．
（3）C表示一個單元素集，是一個實數對，是以一個點的坐標為元素的集合．
（4）D表示一個實數對集，即方程組的解，解方程組得其解為，D是一個單元素集．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁1.1 集合的概念【第二課】
1.1 集合的概念（第二課）
題型一 集合中元素特性的應用
例1 已知集合，若，則實數a的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【解析】因為集合，，所以或，得或．
當時，，符合題意；當時，，符合題意；當時，，不滿足元素的互異性，舍去．綜上，實數a的取值集合為．
【答案】C
【方法總結】由集合中元素的特性求解參數取值的步驟
【變式訓練1-1】
1．若集合中的元素是的三邊長，則一定不是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【變式訓練1-2】 [天津市實驗中學2023高一月考]
2．已知集合，且，則 .
題型二 元素與集合的關系
考向1 元素與集合關系的判斷
例2[多選題]（2023·山東省壽光一中月考）若集合，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
分析：
解析：由可得，解得或，所以，因此，．
答案 AD
【方法總結】判斷元素與集合關系的兩種方法
（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可．
（2）推理法：對于一些沒有直接給出元素的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．
【變式訓練2-1】[重慶一中2022高一月考]
3．有下列三個說法：
①若，則；
②集合有兩個元素；
③集合時有限集．
其中正確說法的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式訓練2-2】（多選）
4．已知集合，，且，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
考向2 已知元素與集合的關系求參數的值或取值范圍
例3 若，則實數a的取值范圍是______.
思維導圖：
解析：因為，所以2不滿足不等式，即2滿足不等式，所以，即．故實數a的取值范圍是．
答案
【方法總結】 已知元素與集合的關系求參數的思路
當時，若集合A是用描述法表示的，則a一定滿足集合中元素的共同特征，如滿足方程（組）、不等式（組）等；若集合A是用列舉法表示的，則a一定等于集合A中的某個元素．反之，當時，結論相反．利用上述結論建立方程（組）或不等式（組）求解參數即可，注意根據集合中元素的互異性對求得的參數值進行檢驗．
【變式訓練3-1】[多選題]（2023·湖南省長沙市雅禮中學月考）
5．若，則實數m的可能取值為（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
題型三 已知集合相等求參數
例4（2023·湖北省武漢十一中月考）設a，，若集合，則______.
思路分析： 第一步若，則無意義 ，此路不通．
第2步 由得，故，．
第3步 只有這一種情況成立．
第4步 ，，．
答案 0
【提醒】兩個集合相等，其元素完全相同，順序可以不同，解題過程中要注意，，．
【變式訓練4-1】
6．已知，且，則＝ ．
【變式訓練4-2】
7．設，且滿足且，則 .
【變式訓練4-3】【福建省三明市2022-2023學年高一上學期第一次調研】
8．已知集合，則 .
題型四 集合的表示方法
例5 用適當的方法表示下列集合：
（1）方程的解集；
（2）；
（3）平面直角坐標系中第二、四象限內的點的集合；
（4）不等式的解集．
【解】（1）由得，，解得，，所以集合為或．
（2）由，得x為，，0，1，2．當或時，；當或時，；當時，．所以集合為．
（3）．
（4）解不等式得，所以不等式的解集可表示為．
【方法總結】選用列舉法或描述法的原則
要根據集合元素所具有的屬性選擇適當的表示方法．何謂適當方法？這需要我們準確把握列舉法和描述法的優缺點，列舉法的特點是能清楚地展現集合的元素，通常用于表示元素較少的集合，當集合中元素較多或無限時，就不宜采用列舉法；描述法的特點是形式簡單、應用方便，通常用于表示元素具有明顯共同特征的集合，當元素共同特征不易尋找或元素的限制條件較多時，就不宜采用描述法．
【變式訓練4-1】
9．用適當的方法表示下列集合：
(1)方程組的解集；
(2)所有小于13的既是奇數又是素數的自然數組成的集合；
(3)方程的實數根組成的集合；
(4)平面直角坐標系內所有第二象限的點組成的集合；
(5)二次函數的圖象上所有的點組成的集合；
(6)二次函數的圖象上所有點的縱坐標組成的集合．
易錯點1 混淆集合的表示方法而致錯
例1 給出下列說法：
①集合用列舉法表示為；
②實數集可以表示為{為所有實數}或{R}；
③方程組的解組成的集合為．
其中不正確的有______.（把符合題意的序號都填上）
【解析】①由，即，得或或．因為，所以集合用列舉法表示應為．
②集合表示中的符號“{ }”已包含“所有”“全體”等含義，而符號“R”已表示所有的實數構成的集合，實數集正確的表示應為或R．
③方程組的解是有序實數對，而集合表示兩個等式組成的集合，方程組的解組成的集合正確的表示應為或．故①②③均不正確．
【答案】①②③
易錯警示 用描述法表示集合，注意區分數集和點集，以及集合中的代表元素及其范圍，對集合的認識是基于對集合中元素的認識．
針對訓練1-1
10．下列四組集合中表示同一集合的為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
針對訓練1-2
11．方程組的解集中元素的個數為 .
易錯點2 不理解集合中元素的性質而致錯
例2 （多選）已知x，y，z為非零實數，代數式的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】當x，y，z同為正數時，代數式的值為4；當x，y，z中只有一個負數或有兩個負數時，代數式的值為0；當x，y，z同為負數時，代數式的值為，故選CD．
【答案】CD
易錯警示 注意理解集合中元素的性質，明確集合中元素的確定性，以及元素與集合的關系，可進行適當變形，或者寫出一些集合中的元素進行比較（注意盡可能多寫且要注意特殊元素）．
針對訓練2-1
12．集合中a的取值范圍是（ ）
A．或 B．
C．且 D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據集合中元素的互異性可得答案.
【詳解】根據集合元素的互異性，在集合中，必有，
故一定不是等腰三角形；
故選：D.
2．
【分析】根據題意，列出方程，求得的值，結合集合元素的互異性，即可求解.
【詳解】因為，所以或，解得或，
當時，，，集合不滿足元素的互異性，所以舍去；
當時，經檢驗，符合題意，所以．
故答案為：．
3．B
【分析】①特殊值判斷；②由方程根判斷；③列舉出集合中元素，結合有限集定義判斷.
【詳解】①當時不成立，不正確；
②有兩個相等的實數根，因此集合只有一個元素，不正確；
③集合是有限集，正確．
故選：B
4．ABC
【分析】利用元素的特征及元素與集合的關系一一判定選項即可.
【詳解】由題知：集合A為奇數集，集合B為偶數集，
所以為奇數，為偶數．
所以是奇數，是偶數，是偶數，是偶數．
即，，，.
故選：ABC．
5．ABD
【分析】根據元素和集合的關系、集合元素的互異性求得正確答案.
【詳解】三個元素中有且只有一個是3，要分三類討論．
當時，，此時，，故符合題意；
當時，，此時（注意檢驗），不滿足集合中元素的互異性，故舍去；
當時，，經檢驗符合題意．
綜上可知，或．
故選：ABD
6．或1
【分析】根據集合相等得到方程組，求出，舍去不合要求的根，得到答案.
【詳解】因為，所以①或②，
解①得或，其中不符合集合元素的互異性，舍去；
解②得或，其中不符合集合元素的互異性，舍去；
所以或.
故答案為：或1
7．3
【分析】根據集合相等得到，即可得到答案.
【詳解】因為且
，
所以，
所以
，即.
故答案為：3
8．2或4或1
【分析】根據，，，，，利用集合元素的互異性，分別求出與即可．
【詳解】，，，，，
，，，
若或，則或．
當時，，2，，，，
即，解得或，
此時或，
當時，，，，1，，
即，解得，，
所以或4或1，
故答案為：2或4或1.
9．(1)或
(2)
(3)或
(4)且
(5)
(6)
【分析】（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）根據列舉法和描述法求得正確答案.
【詳解】（1）解方程組得，
故解集可用描述法表示為，也可用列舉法表示為．
（2）小于13的既是奇數又是素數的自然數有4個，分別為3，5，7，11，
可用列舉法表示為．
（3）方程的實數根為1，因此可用列舉法表示為，
也可用描述法表示為．
（4）集合的代表元素是點，可用描述法表示為且．
（5）二次函數的圖象上所有的點組成的集合中，代表元素為點，
其中x，y滿足，由于點有無數個，
則用描述法表示為．
（6）二次函數的圖象上所有點的縱坐標組成的集合中，
代表元素y，是實數，故可用描述法表示為．
10．B
【分析】根據集合元素的性質逐一判斷即可.
【詳解】選項A：兩個集合中元素對應的坐標不同，A錯誤；
選項B：集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，B正確；
選項C：兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數集，C錯誤；
選項D：是以0為元素的集合，是數字0，D錯誤.
故選：B
11．2
【解析】先求出，再代入求即可求解
【詳解】解方程得，，當時，不成立；
當時，，所以，；
所以方程組的解為或，有2組解
故答案為：2
12．C
【分析】由集合中元素的互異性可知，即可選出答案.
【詳解】由集合中元素的互異性，需要滿足，解得且，
故選：C.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑