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1.3集合的基本運算【第三練】
1.3集合的基本運算【第三練】
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的.
【目標分析】
1.利用并集、交集、補集的定義求參數或參數的取值范圍，體現邏輯推理、直觀想象核心素養，如第3題.
2.利用并集、交集、補集求解實際問題，體現數據分析，數學建模、直觀想象核心素養，如第10題.
一、單選題
（2023·湖北武漢模擬）
1．已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北黃岡聯考）
2．已知集合，，，則（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
（2023·湖北龍泉中學校模擬）
3．已知集合，，若中恰有兩個元素，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南益陽模擬）
4．已知全集，，若，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建三明期中）
5．已知集合，，若，則（ ）
A． B． C． D．
6．設集合，其中t為實數．令，．若C的所有元素之和為6，則C的所有元素之積為（ ）
A．1 B． C．8 D．
二、多選題
（2023·湖南永州聯考）
7．圖中陰影部分用集合符號可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·湖北孝感聯考）
8．下列選項正確的有（ ）
A．已知全集，，，則實數p的值為3.
B．若，則或
C．已知集合中元素至多只有1個，則實數a的范圍是
D．若，，且，則.
（2023·廣東河源聯考）
9．已知全集，，，，，，則下列選項正確的為（ ）
A． B．A的不同子集的個數為8
C． D．
三、填空題
（2023·陜西咸陽期中）
10．某疫情防控志愿者小組有20名志愿者，由黨員和大學生組成，其中有15人是黨員，有9人是大學生，則既是黨員又是大學生的志愿者人數為 .
（2023·河南洛陽期中）
11．設集合，，且集合，則 ，
四、解答題
（2023·湖北十堰聯考）
12．已知集合，．
(1)當時，求；
(2)若，求實數a的取值范圍．
（2023·浙江溫州期中）
13．已知集合，或，.
（1）求，.
（2）若，且，求的取值范圍.
【易錯題目】第8題
【復盤要點】分類不全致錯
把所有研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思想，稱之為分類討論思想。
（2023·江蘇無錫期末）
14．設，其中，如果，求實數的取值范圍.
【復盤訓練】
（2023·河北廊坊期中）
15．設，均為有限集，中元素的個數為，中元素的個數為，中元素的個數為，下列各式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南平頂山期中）
16．已知集合，且，試求k的取值范圍．
（2023·山東菏澤聯考）
17．設集合且,則a的取值組成的集合是 .
（2023·河北邯鄲期中）
18．設集合，為正整數，記為同時滿足下列條件的集合的個數：①；②若，則；③若，則，那么 ．
19．已知集合，若，求實數m的取值范圍．
20．集合，集合，
(1)若，求實數的取值范圍.
(2)若，求實數的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據補集與交集的運算，可得答案.
【詳解】由題意，，.
故選：C.
2．B
【分析】由，，以及與的交集為，列出關于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【詳解】集合，，且，
或，
解得：或或，
由元素的互異性得不合題意，舍去，
則或．
故選：B
3．A
【分析】根據給定條件，確定集合A中的兩個元素即可求出a的范圍.
【詳解】集合，，因為中恰有兩個元素，
因此，則，
所以實數a的取值范圍為.
故選：A
4．D
【分析】先求得，再根據并集和交集的定義即可求解.
【詳解】因為，，，
所以．
故選：D
5．D
【分析】由可得，求得，再結合并集的定義求解即可.
【詳解】因為，所以，
則，即，
此時，
所以.
故選：D.
6．D
【分析】由條件知，1，2，4，，（允許有重復）為C的全部元素，根據集合C中的元素和為6可求得集合C中的元素，進而得到各元素的積.
【詳解】由條件知，1，2，4，，（允許有重復）為C的全部元素．
因為（恒成立），，
所以與其余幾個數重復，故只可能是，且，
于是（經檢驗符合題意），此時C的所有元素之積為．
故選：D.
7．AD
【分析】在陰影部分區域內任取一個元素，分析與集合、、的關系，利用集合的運算關系，逐個分析各個選項，即可得出結論.
【詳解】如圖，在陰影部分區域內任取一個元素，則或，所以陰影部分所表示的集合為 ，再根據集合的運算可知，陰影部分所表示的集合也可表示為，
所以選項AD正確，選項CD不正確，
故選：AD.
8．AD
【分析】求出集合，再求出p的值即可判斷A；由集合相等求出判斷B；利用已知分類討論求解判斷C；利用集合的包含關系分類討論求解判斷D作答.
【詳解】對于A，全集，由，得，
則是方程的兩實根，解得，A正確；
對于B，由，得，
因此，解得，則，B錯誤；
對于C，依題意，當時，由，得，此時集合中只有一個元素；
當時，集合中最多只有一個元素，即一元二次方程最多一個實根，
于是，解得，所以實數a的范圍是或，C錯誤；
對于D，因為，所以當時，，解得；
當時，，解得，
綜上，，D正確.
故選：AD
9．ABC
【分析】根據題意利用韋恩圖逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：，，
所以，故A正確；
集合A有3個元素，所以A的不同子集的個數為，故B正確；
，故C正確；
因為，所以，故D錯誤；
故選：ABC.

10．
【詳解】解：

因為志愿者小組有20名志愿者，由黨員和大學生組成，
其中有15人是黨員，有9人是大學生，所以，如上圖，
由Venn圖可得，既是黨員又是大學生的志愿者人數為
.
故答案為：.
11．
【分析】根據交集和并集的定義求得集合，進而可求得、的值.
【詳解】，，則，
，,
因此，，.
故答案為：；.
【點睛】本題考查利用交集與并集混合運算的結果求參數，考查計算能力，屬于基礎題.
12．(1)或
(2)
【分析】（1）解不等式，得到，從而求出，；
（2）解不等式，得到，根據，列出不等式組，求出實數a的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，解得：，
故，
因為，所以或，
故或或
（2），解得：，
故，
顯然，所以，
要想，則，解得：，
故實數a的取值范圍為
13．（1）或，；（2）.
【解析】（1）直接由交并補的求法可得答案；
（2）根據題意，若，可得，可解得的取值范圍.
【詳解】（1）∵集合，或，
∴或.
∵或，∴.
；
（2）依題意得：，即，.
【點睛】本題考查集合的交，并，補的混合運算以及集合間的相互包含關系，是基礎題.
14．或
【分析】由，然后利用集合的元素個數分別討論，求出的取值范圍即可.
【詳解】由，而，
對于集合有：
當，即時，，符合；
當，即時，，符合；
當，即時，中有兩個元素，而；
∴得；
綜上，或.
15．ABD
【分析】根據并集的定義結合條件即得．
【詳解】由并集的定義知，當集合與中沒有公共元素時，有，所以可能成立；
當集合與中有公共元素時，，所以可能成立；
當集合與集合為相等集合時，，所以可能成立；
根據集合的并集運算可知不能成立.
故選：ABD．
16．
【分析】根據題意可知，對集合是否為空集進行分類討論即可求得k的取值范圍.
【詳解】由可得，
若時，，解得；
若時，則，解得；
綜上所述，
17．
【分析】由,可得,即可得到或,分別求解可求出答案.
【詳解】由題意,,
①若,解得或,
當時,集合中,,不符合集合的互異性,舍去;
當時,,符合題意.
②若,解得,,符合題意.
綜上,的值是-2或0.
故答案為: .
18．32
【分析】利用元素與集合的關系及子集相關知識，求出，再代入計算可得．
【詳解】任取偶數，將除以2，
若商仍為偶數，再除以2， ，經過k次后，商必為奇數，此時商為，
從而，其中為奇數，，
由條件知：
若，則等價于為偶數，
若，則等價于為奇數，
所以是否屬于由是否屬于確定，
設是中所有奇數的集合，
所以是的子集個數，
當為偶數（或奇數）時，中奇數的個數為（或），
所以當為偶數時，，
當為奇數時，，
所以．
故答案為：32．
19．或或
【分析】由得，分類討論的情況即可.
【詳解】由，得
，且中至多一個元素，
或或
（1）當時，由，得；
（2）當時，由得；
（3）當時，由無解，得.
或或.
20．(1)
(2)
【分析】（1）分類討論是否為空集，當時，根據子集關系列式，解不等式可得結果；
（2）先求時，實數的取值范圍，再求其補集即可得解.
【詳解】（1）①當時，，
此時,解得，
②當時，為使，需滿足，解得，
綜上所述：實數的取值范圍為.
（2）先求時，實數的取值范圍，再求其補集，
當時，由（1）知，
當時，為使，需滿足或，
解得，
綜上知，當或時，，
所以若，則實數的取值范圍是.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁1.3集合的基本運算【第三課】
1.3集合的基本運算【第三課】
擴展1: 集合知識的綜合應用
典例：
1．已知全集．
(1)求；
(2)若且，求的取值范圍．
【方法總結】集合運算問題的四種常見類型及解題策略
（1）離散型數集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解．
（2）連續型數集的運算，常借助數軸求解．
（3）已知集合的運算結果求集合，借助數軸、Venn圖求解．
（4）根據集合運算求參數，先化簡集合，然后把符號語言譯成文字語言，最后應用數形結合求解．
【舉一反三1-1】（2023·河北邯鄲期中）
2．已知集合，或.若，則實數的取值范圍是 ．
【舉一反三1-2】 （2023·河北石家莊期中）
3．已知集合
（1）若則實數的值為 .
（2）若則實數的值為 .
【舉一反三1-3】（2023·廣東中山期中）
4．設集合，集合.
(1)求使的實數a的取值范圍；
(2)是否存在實數a，使成立？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由.
擴展2: 集合知識的實際應用
例2.
5．某班有36名同學參加數學、物理、化學競賽小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26，15，13，同時參加數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則只參加物理小組的有 人，同時參加數學和化學小組的有 人.
【方法總結】用集合知識求解實際問題Venn圖，用好數形結合思想方法.
【舉一反三2-1】
6．某班45名學生參加“3·12”植樹節活動，每位學生都參加除草 植樹兩項勞動.依據勞動表現，評定為“優秀” “合格”2個等級，結果如下表：
等級 項目 優秀 合格 合計
除草 30 15 45
植樹 20 25 45
若在兩個項目中都“合格”的學生最多有10人，則在兩個項目中都“優秀”的人數最多為（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【舉一反三2-2】（2023·廣東茂名期中）
7．“生命在于運動”，某學校教師在普及程度比較高的三個體育項目——乒乓球、羽毛球、籃球中，會打乒乓球的教師人數為30，會打羽毛球的教師人數為60，會打籃球的教師人數為20，若會至少其中一個體育項目的教師人數為80，且三個體育項目都會的教師人數為5，則會且僅會其中兩個體育項目的教師人數為 ．
（2022·全國甲卷）
8．設集合，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·新高考Ⅰ卷）
9．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．2
（2023·全國甲卷）
10．設全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全國乙卷）
11．設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津卷）
12．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
（2022·全國甲卷）
13．設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)或
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求即可，
（2）先求出，然后由，對和兩種情況討論求解即可.
【詳解】（1）因為，
所以或，
因為，
所以或
（2）因為
所以或，
當時，成立，此時，解得，
當時，因為，
所以，或，解得，
綜上，的取值范圍為
2．或
【分析】根據題意，若，則，分情況討論，進而求解，得出答案．
【詳解】已知集合，或.
若，則，
當，即時，滿足條件；
當時，即當時，若，則或，
解得（舍）或，
綜上，實數的取值范圍是或.
故答案為：或.
3． 5或－3 －3
【分析】根據元素的互異性求得 或然后分類討論；
【詳解】空（1）
且
或解得； 或
當時，符合題意；
當時， 集合B不滿足集合中元素的互異性，故；
當時，符合題意；
綜上可得實數的值為5或－3.
空（2）
或解得； 或
當時，由于不符合題意，故；
當時， 集合B不滿足集合中元素的互異性，故；
當時，且符合題意， 綜上可得.
故答案為：（1）5或－3 （2）－3.
4．(1)
(2)存在，
【分析】(1)分a的取值情況求出集合B，再根據給定結果列式求解即得.
(2)分類討論求出的實數a的取值集合，再求時a的范圍即可.
【詳解】（1）因為，則，而，
解方程得：或，
當時，，則，
當時，，于是得，解得且，
綜上得：，
所以實數的取值范圍是.
（2）當時，由(1)知，，，
若，則，由得：，若，則，由得：，
因此，當時，或，于是得當時，，
所以存在實數，使成立，實數的取值范圍是.
5． 5 8
【分析】根據題意畫出維恩圖，把復雜問題簡單化，把人數對號入座，兩圓相交部分代表同時參加兩科小組的人數，列出方程進行求解即可
【詳解】由條件知，每名同學至多參加兩個小組，故不可能出現一名同學同時參加數學、物理、化學三個小組.因為同時參加數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，
所以只參加物理小組的有（人）.
設同時參加數學和化學小組的人數為，
則只參加數學小組的人數為，
只參加化學小組的人數為.
又總人數為36，
即，
所以，解得，
即同時參加數學和化學小組的有8人.
【點睛】本題考查復雜問題中根據集合的交集求解集合中元素個數問題，由于涉及三個集合，解題時輔以維恩圖大大降低了難度，也使得復雜問題可視化，簡單化，考生在遇到此類問題時可考慮此法
6．C
【分析】用集合表示除草優秀的學生，表示植樹優秀的學生，全班學生用全集表示，則表示除草合格的學生，則表示植樹合格的學生，作出Venn圖，易得它們的關系，從而得出結論．
【詳解】用集合表示除草優秀的學生，表示植樹優秀的學生，全班學生用全集表示，則表示除草合格的學生，則表示植樹合格的學生，作出Venn圖，如圖，
設兩個項目都優秀的人數為，兩個項目都是合格的人數為，由圖可得，，因為，所以．
故選：C．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查集合的應用，解題關鍵是用集合表示優秀學生，全體學生用全集表示，用Venn圖表示集合的關系后，易知全部優秀的人數與全部合格的人數之間的關系，從而得出最大值．
7．20
【分析】由三元容斥原理求解即可.
【詳解】首先設是會打乒乓球的教師，是會打羽毛球球的教師，
是會打藍球的教師，
根據題意得，，，，，
再使用三元容斥原理得：
，
有，
而中把的區域計算了3次，
于是要減掉這3次，才能得到會且僅會其中兩個體育項目的教師人數.
因此會且僅會其中兩個體育項目的教師人數為.
故答案為：20.
8．A
【分析】根據集合的交集運算即可解出．
【詳解】因為，，所以．
故選：A.
9．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據交集的運算解出．
方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．
【詳解】方法一：因為，而，
所以．
故選：C．
方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故選：C．
10．A
【分析】根據整數集的分類，以及補集的運算即可解出．
【詳解】因為整數集，，所以，．
故選：A．
11．A
【分析】利用集合的交并補運算即可得解.
【詳解】因為全集，集合，所以，
又，所以，
故選：A.
12．A
【分析】對集合B求補集，應用集合的并運算求結果；
【詳解】由，而，
所以.
故選：A
13．D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.
【詳解】由題意，，所以,
所以.
故選：D.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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