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1.4充分條件與必要條件【第三練】
1.4充分條件與必要條件【第三練】
一、單選題
1．荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”這句來自先秦時期的名言闡述了做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標的哲理.由此可得，“積跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分條件 B．必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．點是第二象限的點的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
3．若不等式的一個充分條件為，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．已知，條件，條件，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．設實數、、、均不為，則“成立”是“關于的等式與的解集相同”的（ ）條件．
A．充分非必要 B．必要非必要 C．充要 D．既非充分又非必要
二、多選題
7．下列說法中正確的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分條件
B．“”的必要不充分條件是“”
C．“是實數”的充分不必要條件是“是有理數”
D．“”是“”的充分條件
8．在整數集中，被5除所得余數為的所有整數組成一個“類”，記為，即，，如下四個結論正確的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．整數、屬于同一“類”的充要條件是“”．
9．已知，，則“”是真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
10．已知，則“”是“”的 條件（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中選擇一個作答）．
11．已知表示不大于的最大整數，，，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是 .
四、解答題
12．求方程與有一個公共實數根的充要條件.
13．集合，.
(1)若，，求實數的值；
(2)若是的充分不必要條件，求的取值范圍.
【易錯題目復盤要點】
14．命題“”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知集合，．
(1)是否存在正實數a使集合A，B相等？若能，求出a的值，若不能，試說明理由；
(2)若命題p：，命題q：且p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
【復盤訓練】
16．已知 且 ，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
17．若a，b都是正整數，則成立的充要條件是（　 　）
A．a，b都大于1 B．a，b都不等于1
C．a，b至少有一個為1 D．a，b都等于1
18．是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
19．黃金三角形被稱為最美等腰三角形，因此它經常被應用于許多經典建筑中（例如圖中所示的建筑）．黃金三角形有兩種，一種是頂角為，底角為的等腰三角形，另一種是頂角為，底角為的等腰三角形，則“中有一個角是”是“為黃金三角形”的（ ）

A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
20．設四邊形的兩條對角線為，則“四邊形為菱形”是“”的 條件.
21．已知.
(1)若，則是的什么條件？
(2)若的必要不充分條件是，求實數的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．B
【分析】根據題意，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】根據“做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標”，即要達成目標必須一點一點積累，
所以 “積跬步”是“至千里”的必要條件.
故選：B
2．B
【分析】根據充要條件的定義和第二象限點的特點分析判斷
【詳解】因為第二象限的點橫坐標小于0，縱坐標大于0，
所以點是第二象限的點的充要條件是．
故選：B
3．C
【分析】先解，得到，再利用條件即可求出結果.
【詳解】由，得到，
又不等式的一個充分條件為，所以，
故選：C.
4．B
【分析】分別證明充分性和必要性，即可得到本題答案.
【詳解】①當時，滿足“”，但不滿足“”，所以“”不能推出“”，故充分性不成立；
②由，解得，因“”可以推出“”，故必要性成立.
綜上，可知“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
5．D
【分析】根據不等式性質，由的取值范圍，可得的取值范圍，結合充分不必要條件的定義，可得答案.
【詳解】由，則，由是的充分不必要條件，則，
所以.
故選：D.
6．B
【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】因為實數、、、均不為，
不妨令、、、，則，即成立，
此時關于的等式（）的解集為，
關于的等式（）的解集為，
顯然兩不等式的解集不相同，故充分性不成立，
若關于的等式與的解集相同，
則、同號且，所以成立，即必要性成立，
所以“成立”是“關于的等式與的解集相同”的必要非充分條件；
故選：B
7．ABC
【分析】由題意結合充分條件、必要條件的定義，逐項判斷即可得解.
【詳解】對于A，由得，所以“”可推出“”，反之不成立，故A正確；
對于B，解方程得或，所以“”的必要不充分條件是“”，故B正確；
對于C，“是有理數”可以推出“是實數”，反之不一定成立，所以“是實數”的充分不必要條件是“是有理數”，故C正確；
對于D，解方程得，則“”是“”必要不充分條件，故D錯誤.
故選：ABC.
【點睛】本題考查了充分條件、必要條件的判斷，關鍵是對概念的準確理解，屬于基礎題.
8．CD
【分析】根據新定義判斷A、B、C；結合充分、必要性定義判斷D.
【詳解】A，，錯誤；
B，，錯誤；
C，，正確；
D，因為每個整數除以5后的余數只有，沒有其他余數，故原命題成立.
所以整數、屬于同一“類”的充要條件是“”， 證明如下：
（充分性），不妨，則；
（必要性），令，即除以5后余數相同，屬于同一“類”.正確.
故選：CD
9．BCD
【分析】根據題意分和兩種情況討論求解即可.
【詳解】因為，，若“”是真命題，
當時，則，即，解得或，
當時，則由題意可得方程有兩個非負實數根，
所以，解得，
綜上，的取值范圍是，即是真命題的充要條件為，
故其充分不必要條件為它的真子集，故B、C、D均符合題意.
故選：BCD
10．充要
【分析】根據集合之間的關系及充分、必要性定義判斷條件間的關系.
【詳解】由，則，故，充分性成立；
由，則，故，必要性成立；
所以“”是“”的充要條件.
故答案為：充要
11．
【分析】先求出集合，再由充分不必要的定義以及集合之間的包含關系即可求解.
【詳解】對于集合，不失一般性我們不妨設，
此時由的定義可知，有，
所以，
若是的充分不必要條件，則 ，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
12．
【解析】先由兩方程有一個公共實數根求出參數的范圍，再證明充分性．
【詳解】若方程與有一個公共實數根，設為，
則
由②得，代入①得，，解得，因此.
反過來，當時，，解得；
，解得或，兩方程有公共實數根1.
所以兩方程有一個公共實數根的充要條件為.
【點睛】本題考查由充要條件求參數取值范圍，解題時先由結論求條件，這是必要性，然后還需要證明充分性．
13．(1)
(2)
【分析】（1）分析可得，求出實數的值，再結合題意檢驗即可得出實數的值；
（2）分析可知， ，可得出關于實數的不等式組，即可解得實數的取值范圍.
【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴或，
當時，則，則，不合乎題意；
當時，則，則，合乎題意.
綜上所述，.
（2）解：∵是的充分不必要條件，∴ ，
，解得.
經檢驗知，當或時符合題意，
∴的取值范圍為.
14．D
【分析】解絕對值不等式求的解，根據充分、必要性定義判斷的充分不必要條件.
【詳解】由，解得或，
、、均不是的充分不必要條件，
是的一個充分不必要條件.
故選：D
15．(1)存在；
(2)或
【分析】（1）化簡集合A，根據集合相等列方程即可求解，
（2）根據充分不必要條件轉化為真子集的關系，即可對分類討論求解.
【詳解】（1）∵，∴，
若使，則，
解得，故存在使集合A，B相等．
（2）依題意，有，，故是的真子集，
由得，
當時，，不滿足題意；
當時，，則或，解得，
當時，，則，解得，
所以實數a的取值范圍是或．
16．D
【分析】通過充分條件、必要條件的概念對判斷即可求解.
【詳解】一方面：若令，則，
則此時命題成立，但命題不成立，
所以不是的充分條件；
另一方面：若且，則，
則此時命題成立，但命題不成立，
所以不是的必要條件；
結合以上兩方面有是的既不充分也不必要條件.
故選：D.
17．C
【分析】將不等式變形為，然后結合已知討論即可.
【詳解】因為a，b都是正整數，
所以，
若a，b都大于1，則，不滿足題意，所以a，b至少有一個為1；
反之，若a，b至少有一個為1，則或.
綜上，a，b都是正整數，則成立的充要條件是a，b至少有一個為1.
故選：C
18．D
【分析】根據充分必要條件的概念舉例說明即可判斷結論.
【詳解】當時滿足，但是，
當時滿足，但是，
所以是的既不充分也不必要條件.
故選：D.
19．C
【分析】由充分必要條件的概念判斷．
【詳解】若中有一個角是，則其他兩個角不確定，故不能推出為黃金三角形，
若為黃金三角形，由題意知中至少有一個角是，
故“中有一個角是”是“為黃金三角形” 必要不充分條件，
故選：C
20．充分不必要
【分析】由充分、必要性定義判斷條件間的關系即可.
【詳解】若“四邊形為菱形”，則“對角線”成立；
若“對角線”成立，則“四邊形不一定為菱形”，
所以“四邊形為菱形”是“”的充分條件但不是必要條件.
故答案為：充分不必要
21．(1)p是q的必要不充分條件
(2)
【分析】（1）先求出命題，顯然 ，即可得出結論. （2）由題意得p是q的充分不必要條件，代入求解不等式組即可.
【詳解】（1）因為，
當時，，
顯然 ，
所以p是q的必要不充分條件．
（2）由（1）知，
若的必要不充分條件是，則是的必要不充分條件，
則p是的充分不必要條件，
所以 ，
所以，且兩處不能同時取等號，解得，
即．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁1.4充分條件與必要條件【第三課】
1.4充分條件與必要條件【第三課】
擴展1:與充分條件、必要條件、充要條件有關的新定義問題
例1.
（2023秋·湖北襄陽·高一襄陽四中校考階段練習）
1．甲乙丙丁四位同學在玩一個猜數字游戲，甲乙丙共同寫出三個集合：，，然后他們三人各用一句話來正確的描述“”中的數字，讓丁同學找出該數字，以下是甲 乙 丙三位同學的描述，甲：此數為小于5的正整數；乙：B是A成立的必要不充分條件；丙：C是A成立的充分不必要條件.則“”中的數字可以是（ ）
A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3
【方法總結】
（1）對新定義進行信息提取，明確新定義的名稱和符號。
（2）細細品味新定義的概念、法則，對新定義所提取的信息進行加工，探求解決方法，有時可以尋求相近知識點，明確它們的共同點和不同點。
（3）對定義中提取的知識進行轉換，有效的輸出，其中對定義信息的提取和化歸是解題的關鍵，也是解題的難點。如果是新定義的運算、法則，直接按照運算法則計算即可;若是新定義的性質，一般就要判斷性質的適用性，能否利用定義的外延，可用特值排除等方法。
【舉一反三1-1】
（2023秋·遼寧·高一遼寧實驗中學校考階段練習）
2．王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇偉、瑰怪，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數學邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A．充分條件 B．既不充分也不必要條件
C．充要條件 D．必要條件
【舉一反三1-2】
（2023秋·河北衡水·高一校考階段練習）
3．當時，定義運算：當時，；當時，；當或時，；當時，；當時，．
(1)計算；
(2)證明，“或”是“”的充要條件．
擴展2: 充分條件、必要條件、充要條件綜合應用
例2.
（2023·江蘇無錫期中）
4．在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，這三個條件中任選一個條件補充到下面問題中，若問題中的實數存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.問題：已知集合，非空集合.是否存在實數，使得是的__________條件？
【舉一反三2-1】
（2023秋·江蘇連云港·高一校考階段練習）
5．已知命題p：，命題q：
(1)若命題p為假命題，求實數x的取值范圍．
(2)若p是q的充分條件，求實數m的取值范圍.
【舉一反三2-2】
6．設a，b，c分別是△ABC的三條邊，且．則△ABC為直角三角形的充要條件是．試用邊長a，b，c探究△ABC為銳角三角形的一個充要條件，并證明．
（2007·湖南高考真題）
7．設是兩個集合，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2020·山東高考真題）
8．已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2022·天津高考真題）
9．“為整數”是“為整數”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
（1986·全國高考真題）
10．設甲是乙的充分條件，乙是丙的充要條件，丙是丁的必要條件，那么丁是甲的（ ）
A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件
（2023·天津高考真題）
11．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
（2006·湖北高考真題）
12．有限集合S中元素的個數記作，設A，B都為有限集合，給出下列命題：
①的充要條件是；
②的必要條件是；
③ 的充分條件是；
④的充要條件是．
其中真命題的序號是（ ）
A．③④ B．①② C．①④ D．②③
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．C
【分析】根據此數為小于5的正整數得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，從而得到不等式，求出，得到答案.
【詳解】因為此數為小于5的正整數，
故，
因為B是A成立的必要不充分條件，C是A成立的充分不必要條件，
所以C是A的真子集，A是B的真子集，
故且，解得，
故“”中的數字可以是1或2.
故選：C
2．D
【分析】根據充分、必要條件的定義及題意即可判斷.
【詳解】由題意，“有志”不一定“能至”，但是“能至”一定“有志”，
所以“有志”是“能至”的必要條件.
故選：D.
3．(1)1；
(2)證明見解析
【分析】（1）先理解的運算，然后求解即可；
（2）先證充分性，再證必要性即可．
【詳解】（1）.
（2）先證充分性：當或時，則，
即或是的充分條件；
再證必要性：當時，
顯然當時，，當時，，
即與均不合題意，
當時，由，則，
當時，由，則，
即“或”是“”的必要條件，
綜上，命題得證．
4．答案見解析
【分析】選擇條件①，根據是的真子集列不等式求解；選擇條件②：根據是的真子集列不等式求解；選擇條件③：根據列方程組求解.
【詳解】因為集合非空，所以，
選擇條件①：
因為是的充分而不必要條件，所以是的真子集，
所以（兩個等號不同時取到），
解得，
故實數的取值范圍是.
選擇條件②：
因為是的必要而不充分條件，所以是的真子集，
所以有且（兩個等號不同時取到），
解得.
綜上，實數的取值范圍是.
選擇條件③：
因為是的充要條件，所以有且，
即，此方程組無解，
則不存在實數，使得是的充要條件.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，求得，結合命題p為假命題，即可求解；
（2）由是的充分條件，得到，列出不等式組，即可求解.
【詳解】（1）解：由不等式，可得，解得，即命題，
若命題p為假命題，可得或，即，
求實數x的取值范圍為.
（2）解：由命題，，
因為是的充分條件，則滿足，解得，
即實數的取值范圍是.
6．△ABC為銳角三角形的充要條件為．證明見解析
【分析】根據勾股定理易得△ABC為銳角三角形的充要條件是．再分別證明充分與必要性即可．
【詳解】設a，b，c分別是△ABC的三條邊，且，△ABC為銳角三角形的充要條件是．
充分性：在△ABC中，若，則不是直角，
假設為鈍角，如圖①，作，交BC延長線于點D，
則由勾股定理得，
，
即，與“”矛盾，
故為銳角，即△ABC為銳角三角形，故充分性成立；
必要性：在△ABC，是銳角，作，D為垂足，如圖②，
則由勾股定理得，
，
即，故必要性成立．
故△ABC為銳角三角形的充要條件為．
7．B
【解析】根據集合的并集、交集的概念及充分條件、必要條件即可求解.
【詳解】因為推不出，例如,
而推出，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：B
8．A
【分析】根據充分條件和必要條件的定義即可求解.
【詳解】當時，集合，，可得，滿足充分性，
若，則或，不滿足必要性，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
9．A
【分析】用充分條件、必要條件的定義判斷.
【詳解】由為整數能推出為整數，故“為整數”是“為整數”的充分條件，
由,為整數不能推出為整數，故“為整數”是“為整數”的不必要條件，
綜上所述，“為整數”是“為整數”的充分不必要條件，
故選：A.
10．D
【分析】若，則是的充分條件，是的必要條件.根據已知條件即可分析出甲與丁能不能相互推導.
【詳解】甲是乙的充分條件，則甲乙；
乙是丙的充要條件，則乙丙；
丙是丁的必要條件，則丙丁.
所以甲乙丙丁，則甲不能推出丁，丁也不能推出甲，即丁是甲的既不充分也不必要的條件.
故選：D.
11．B
【分析】根據充分、必要性定義判斷條件的推出關系，即可得答案.
【詳解】由，則，當時不成立，充分性不成立；
由，則，即，顯然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分條件.
故選：B
12．B
【分析】對于①，利用推導即可；
對于②，根據包含關系的意義可分析得解；
對于③④，舉例子排除即可.
【詳解】對于①，因為等價于，又，
所以等價于，
故的充要條件是，故①正確；
對于②，因為，所以集合中的元素都是集合中的元素，故，所以，故②正確；
對于③，令，顯然，但集合沒有任何關系，所以推不了 ，故③錯誤；
對于④，令，顯然，但，所以的充要條件不是，故④錯誤；
綜上：①②正確.
故選：B.
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