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專題8.1 基本立體圖形（重難點題型精講）
1．空間幾何體的有關概念
(1)空間幾何體的定義
對于空間中的物體，如果只考慮其形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間
圖形就叫做空間幾何體.
例如，一個牛奶包裝箱可以抽象出長方體.
(2)定理的實質
多面體及其相關概念
①多面體：一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.
②多面體的面：圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，如圖中面BCC'B'等.
③多面體的棱：兩個面的公共邊叫做多面體的棱，如圖中棱AA'，棱BB'等.
④多面體的頂點：棱與棱的公共點叫做多面體的頂點，如圖中頂點A，B，A'等.
(3)旋轉體及其相關概念
①旋轉體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉
的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體.
圖為一個旋轉體，它可以看成由平面曲線OAA'O'繞OO'所在的直線旋轉而形成的.
②旋轉體的軸：平面曲線旋轉時所圍繞的定直線叫做旋轉體的軸.如圖中直線OO'是該旋轉體的軸.
2．棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
3．圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征
棱柱與圓柱統稱為柱體，棱錐與圓錐統稱為錐體，棱臺與圓臺統稱為臺體.
4．簡單組合體的結構特征
(1)簡單組合體的定義
由柱體、錐體、臺體、球等簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.
(2)簡單組合體的構成形式
①由簡單幾何體拼接而成，如圖(1)所示.
②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，如圖(2)所示.
(3)常見的幾種組合體
①多面體與多面體的組合體：圖(1)中幾何體由一個四棱柱挖去一個三棱柱得到.
②多面體與旋轉體的組合體：圖(2)中幾何體由一個三棱柱挖去一個圓柱得到.
③旋轉體與旋轉體的組合體：圖(3)中幾何體由一個球和一個圓柱組合而成.
5．正方體的截面形狀的探究
通過嘗試、歸納，有如下結論.
(1)截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形.截面不可能是直角三角形、鈍角三角形.
(2)截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面為四邊形時，這個四
邊形中至少有一組對邊平行.
(3)截面可以是五邊形，且此時五邊形必有兩組分別平行的邊，同時有兩個角相等.截面五邊形不可能是
正五邊形.
(4)截面可以是六邊形，且此時六邊形必有三組分別平行的邊.截面六邊形可以是正六邊形.
對應截面圖形如圖中各圖形所示
【題型1 簡單幾何體的識別】
【方法點撥】
(1)掌握簡單幾何體的結構特征；
(2)判斷是多面體還是旋轉體；
(3)得到幾何體的名稱.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）以下各幾何體中， 是棱柱的是 （ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022春·湖南株洲·高二開學考試）下列幾何體中為臺體的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022秋·青海海南·高二階段練習）觀察下圖中的四個幾何體，其中判斷正確的是（ ）
A．（1）是棱臺 B．（2）是圓臺
C．（3）是棱錐 D．（4）不是棱柱
【變式1-3】（2022春·內蒙古阿拉善盟·高一期末）下列幾何體中是棱錐的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【題型2 棱柱、棱錐、棱臺的結構特征】
【方法點撥】
結合具體條件，根據棱柱、棱錐、棱臺的結構特征，進行分析求解.
【例2】（2022秋·上海黃浦·高三階段練習）下列命題是真命題的是（ ）
A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
C．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐
D．有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共項點的三角形的幾何體叫棱錐
【變式2-1】（2022·吉林·高一期中）下列命題中，正確的是（ ）
A．底面是正方形的四棱柱是正方體
B．棱錐的高線可能在幾何體之外
C．有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱
D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
【變式2-2】（2022秋·陜西漢中·高一期末）下列說法正確的是（ ）
A．兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺
B．棱柱的側面可以是三角形
C．直棱柱的底面是正多邊形
D．正棱錐的側面是全等的等腰三角形
【變式2-3】（2022秋·湖南懷化·高二期中）以下四個命題中，真命題為（ ）
A．側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐
B．底面是矩形的四棱柱是長方體
C．正三棱錐是正四面體
D．棱臺的側棱延長后必交于一點
【題型3 旋轉體的結構特征】
【方法點撥】
通過旋轉體的結構特征，進行分析，即可得解.
【例3】（2022秋·安徽合肥·高二階段練習）下列說法正確的是
A．通過圓臺側面上一點可以做出無數條母線
B．直角三角形繞其一邊所在直線旋轉一周得到的幾何體是圓錐
C．圓柱的上底面下底面互相平行
D．五棱錐只有五條棱
【變式3-1】（2023·高一課時練習）有下列命題，其中錯誤命題個數是（ ）
①圓柱是將矩形旋轉一周所得的幾何體；②過圓錐頂點的截面是等腰三角形；③以直角三角形一邊為旋轉軸，旋轉所得的旋轉體是圓錐；④平行于母線的平面截圓錐，截面是等腰三角形.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式3-2】（2022秋·上海奉賢·高二期中）下列說法正確的是（ ）
A．圓柱上下底面各取一點，它們的連線即為圓柱的母線
B．過球上任意兩點，有且僅有一個大圓
C．圓錐的軸截面是等腰三角形
D．用一個平面去截球，所得的圓即為大圓
【變式3-3】（2023·高一課時練習）有下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的直線距離是圓柱的母線長；②圓錐頂點與底面所圓周上任意一點的連線是圓錐的母線長；③圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行的.其中正確的命題是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【題型4 簡單組合體的結構特征】
【方法點撥】
掌握常見的幾種簡單組合體，結合具體問題，進行求解即可.
【例4】（2022·高一課時練習）如圖所示的螺母可以看成一個組合體，對其結構特征最接近的表述是（ ）
A．一個六棱柱中挖去一個棱柱 B．一個六棱柱中挖去一個棱錐
C．一個六棱柱中挖去一個圓柱 D．一個六棱柱中挖去一個圓臺
【變式4-1】（2022秋·河北滄州·高三階段練習）太陽能發電是我國大力提倡的一種新能源發電形式.如圖所示，某型號的矩形太陽能電池板用四根垂直于地面的立柱支撐，點，，，均在同一水平面內，且其中三根立柱，，的長度分別為100cm，200cm，300cm，則立柱的長度是（ ）
A．100cm B．150cm C．200cm D．250cm
【變式4-2】（2022春·上海·高二專題練習）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現了數學的對稱美．如圖是一個棱數為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體：①有12個頂點；②有14個面；③表面積為3；④體積為，正確的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）如圖所示是一位學生設計的獎杯模型，獎杯底托為空心的正四面體，且挖去的空心部分是恰好與四面體四個面都相切的球；頂部為球，其直徑與正四面體的棱長相等，若這樣設計獎杯，則球與球的半徑之比（ ）
A． B． C． D．
【題型5 幾何體的截面問題】
【方法點撥】
根據對幾何體的截面形狀的研究，結合具體問題，進行求解即可.
【例5】（2023·高一課時練習）圓柱內有一內接正三棱錐，過棱錐的一條側棱和高作截面，正確的截面圖是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2022·高一課時練習）圖中的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得，現用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習）已知在正方體中，，，分別是，，的中點，則過這三點的截面圖的形狀是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【變式5-3】（2022秋·安徽合肥·高三期末）已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點，過 、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 平面圖形旋轉形成的幾何體】
【方法點撥】
對于平面圖形繞軸旋轉問題，首先要對原平面圖形進行適當的分割，一般分割成矩形、三角形、梯形或圓(半
圓或四分之一圓周)等基本圖形，然后結合圓柱、圓錐、圓臺、球的形成過程進行分析.
【例6】（2022春·廣東珠海·高一階段練習）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體是（ ）
　　
A．一個球
B．一個球挖去一個圓柱
C．一個圓柱
D．一個球挖去一個正方體
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習）已知長方形ABCD中，，點E為CD的中點，現以AE所在直線為旋轉軸將該長方形旋轉一周，則所得幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2022·高一課時練習）能旋轉形成如圖所示的幾何體的平面圖形是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2022·高一課時練習）如圖所示，是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的平面軸對稱圖形，若將它繞軸l旋轉180°后形成一個組合體，下面說法不正確的是　(　　)
A．該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體
B．該組合體仍然關于軸l對稱
C．該組合體中的圓錐和球只有一個公共點
D．該組合體中的球和半球只有一個公共點專題8.1 基本立體圖形（重難點題型精講）
1．空間幾何體的有關概念
(1)空間幾何體的定義
對于空間中的物體，如果只考慮其形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間
圖形就叫做空間幾何體.
例如，一個牛奶包裝箱可以抽象出長方體.
(2)定理的實質
多面體及其相關概念
①多面體：一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.
②多面體的面：圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，如圖中面BCC'B'等.
③多面體的棱：兩個面的公共邊叫做多面體的棱，如圖中棱AA'，棱BB'等.
④多面體的頂點：棱與棱的公共點叫做多面體的頂點，如圖中頂點A，B，A'等.
(3)旋轉體及其相關概念
①旋轉體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉
的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體.
圖為一個旋轉體，它可以看成由平面曲線OAA'O'繞OO'所在的直線旋轉而形成的.
②旋轉體的軸：平面曲線旋轉時所圍繞的定直線叫做旋轉體的軸.如圖中直線OO'是該旋轉體的軸.
2．棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
3．圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征
棱柱與圓柱統稱為柱體，棱錐與圓錐統稱為錐體，棱臺與圓臺統稱為臺體.
4．簡單組合體的結構特征
(1)簡單組合體的定義
由柱體、錐體、臺體、球等簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.
(2)簡單組合體的構成形式
①由簡單幾何體拼接而成，如圖(1)所示.
②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，如圖(2)所示.
(3)常見的幾種組合體
①多面體與多面體的組合體：圖(1)中幾何體由一個四棱柱挖去一個三棱柱得到.
②多面體與旋轉體的組合體：圖(2)中幾何體由一個三棱柱挖去一個圓柱得到.
③旋轉體與旋轉體的組合體：圖(3)中幾何體由一個球和一個圓柱組合而成.
5．正方體的截面形狀的探究
通過嘗試、歸納，有如下結論.
(1)截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形.截面不可能是直角三角形、鈍角三角形.
(2)截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面為四邊形時，這個四
邊形中至少有一組對邊平行.
(3)截面可以是五邊形，且此時五邊形必有兩組分別平行的邊，同時有兩個角相等.截面五邊形不可能是
正五邊形.
(4)截面可以是六邊形，且此時六邊形必有三組分別平行的邊.截面六邊形可以是正六邊形.
對應截面圖形如圖中各圖形所示
【題型1 簡單幾何體的識別】
【方法點撥】
(1)掌握簡單幾何體的結構特征；
(2)判斷是多面體還是旋轉體；
(3)得到幾何體的名稱.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）以下各幾何體中， 是棱柱的是 （ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定的條件，利用棱柱的定義直接判斷作答.
【解答過程】對于A，幾何體是三棱錐，不是棱柱，A不是；
對于B，幾何體有兩個平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；
對于C，幾何體有兩個平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；
對于D，幾何體有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，是棱柱，D是.
故選：D.
【變式1-1】（2022春·湖南株洲·高二開學考試）下列幾何體中為臺體的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直接判斷出各選項中幾何體的形狀，由此確定出臺體.
【解答過程】A：圓錐，B：圓柱，C：棱臺，D：球，
所以屬于臺體的只有棱臺，
故選：C.
【變式1-2】（2022秋·青海海南·高二階段練習）觀察下圖中的四個幾何體，其中判斷正確的是（ ）
A．（1）是棱臺 B．（2）是圓臺
C．（3）是棱錐 D．（4）不是棱柱
【解題思路】利用幾何體的結構特征進行分析判斷，能夠求出結果.
【解答過程】圖（1）不是由棱錐截來的，所以（1）不是棱臺；
圖（2）上、下兩個面不平行，所以（2）不是圓臺；
圖（3）是棱錐．
圖（4）前、后兩個面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行，所以（4）是棱柱．
故選：C．
【變式1-3】（2022春·內蒙古阿拉善盟·高一期末）下列幾何體中是棱錐的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【解題思路】由棱錐的定義逐個判斷即可得解.
【解答過程】由棱錐的定義可得，只有幾何體⑤、⑥為棱錐.
故選：C.
【題型2 棱柱、棱錐、棱臺的結構特征】
【方法點撥】
結合具體條件，根據棱柱、棱錐、棱臺的結構特征，進行分析求解.
【例2】（2022秋·上海黃浦·高三階段練習）下列命題是真命題的是（ ）
A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
C．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐
D．有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共項點的三角形的幾何體叫棱錐
【解題思路】根據棱柱的幾何特征，可判斷A、B的真假；根據棱錐的幾何特征可判斷CD的真假.
【解答過程】解：因為有兩個面平行，其余各面是相鄰的公共邊都相互平行的平行四邊形的幾何體叫棱柱，所以A、B錯誤；
因為有一個面是多邊形，其余各面都是有公共頂點的三角形的幾何體叫棱錐，所以C選項錯誤，D選項正確.
故選：D.
【變式2-1】（2022·吉林·高一期中）下列命題中，正確的是（ ）
A．底面是正方形的四棱柱是正方體
B．棱錐的高線可能在幾何體之外
C．有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱
D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
【解題思路】舉反例否定選項A；舉例驗證判斷選項B；依據棱柱定義判斷選項C；依據棱錐定義判斷選項D
【解答過程】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方體，故A錯誤；
斜棱錐的高線有可能在幾何體之外，故B正確；
根據棱柱的定義可得，有兩個面互相平行，
有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱.而滿足選項C條件的幾何體可能是組合體.故C錯誤；
有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體是棱錐，故D錯誤．
故選：B．
【變式2-2】（2022秋·陜西漢中·高一期末）下列說法正確的是（ ）
A．兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺
B．棱柱的側面可以是三角形
C．直棱柱的底面是正多邊形
D．正棱錐的側面是全等的等腰三角形
【解題思路】根據各類簡單幾何體結構特征作出判斷即可.
【解答過程】A.兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體，當側棱延長后不交于同一點時，就不是棱臺，A錯誤；
B.棱柱的側面是平行四邊形，B錯誤；
C. 側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱，所以底面不一定是正多邊形，比如直四棱柱底面可以是長方形，C錯誤；
D.正棱錐定義：正棱錐是指底面是正多邊形，且從頂點到底面的垂線足是這個正多邊形的中心的棱錐，因此正棱錐側棱都相等，D正確.
故選：D.
【變式2-3】（2022秋·湖南懷化·高二期中）以下四個命題中，真命題為（ ）
A．側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐
B．底面是矩形的四棱柱是長方體
C．正三棱錐是正四面體
D．棱臺的側棱延長后必交于一點
【解題思路】根據柱體、錐體、臺體的定義和結構特征即可判斷正誤.
【解答過程】對于A，等腰三角形的腰不一定是側棱，A是假命題；
對于B，側棱與底面矩形不一定垂直，B是假命題；
對于C，正三棱錐的棱長與底面邊長不一定相等，故不一定是正四面體；
對于D，由棱臺的定義知D是真命題.
故選：D.
【題型3 旋轉體的結構特征】
【方法點撥】
通過旋轉體的結構特征，進行分析，即可得解.
【例3】（2022秋·安徽合肥·高二階段練習）下列說法正確的是
A．通過圓臺側面上一點可以做出無數條母線
B．直角三角形繞其一邊所在直線旋轉一周得到的幾何體是圓錐
C．圓柱的上底面下底面互相平行
D．五棱錐只有五條棱
【解題思路】根據圓柱、圓錐和圓臺的幾何結構特征，逐項判定，即可求解.
【解答過程】A中，根據圓臺的結構特征，通過圓臺側面上一點有且只有一條母線，所以不正確；
B中，根據圓錐的定義，直角三角形繞其一直角邊所在直線旋轉一周得到的幾何體是圓錐，所以不正確；
C中，根據圓柱的結構特征，可知圓柱的上底面下底面互相平行，所以是正確的；
D中，根據棱錐的結構特征，可得五棱錐只有五條側棱，所以不正確.
故選：C.
【變式3-1】（2023·高一課時練習）有下列命題，其中錯誤命題個數是（ ）
①圓柱是將矩形旋轉一周所得的幾何體；②過圓錐頂點的截面是等腰三角形；③以直角三角形一邊為旋轉軸，旋轉所得的旋轉體是圓錐；④平行于母線的平面截圓錐，截面是等腰三角形.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解題思路】由圓柱、圓錐的結構特征逐一分析四個命題得結論．
【解答過程】解：①圓柱是將矩形以一邊為軸旋轉一周所得的幾何體，故①錯誤；
②過圓錐頂點的截面是等腰三角形，故②正確；
③以直角三角形一直角邊為旋轉軸，旋轉所得的旋轉體是圓錐，故③錯誤；
④平行于母線的平面截圓錐，截面不是等腰三角形，是拋物線，故④錯誤．
其中錯誤命題個數為3．
故選：C．
【變式3-2】（2022秋·上海奉賢·高二期中）下列說法正確的是（ ）
A．圓柱上下底面各取一點，它們的連線即為圓柱的母線
B．過球上任意兩點，有且僅有一個大圓
C．圓錐的軸截面是等腰三角形
D．用一個平面去截球，所得的圓即為大圓
【解題思路】根據圓柱的定義、球的性質以及圓錐的性質，逐一判定，即可求解，得到答案
【解答過程】解：對于A，若上下頂面兩點連線不垂直于底面，則兩點連線長度不是母線的長度，故A錯誤；
對于B，當這兩點是直徑的兩個端點時，可作無數個大圓，故B錯誤；
對于C，根據圓錐的定義可知圓錐所有的軸截面是全等的等腰三角形，故C正確；
對于D，用一個平面去截球，該平面需過球心的時候，所得的圓才是大圓，故D錯誤；
故選：C.
【變式3-3】（2023·高一課時練習）有下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的直線距離是圓柱的母線長；②圓錐頂點與底面所圓周上任意一點的連線是圓錐的母線長；③圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行的.其中正確的命題是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解題思路】根據圓柱，圓錐幾何體的特征依次判斷即可得答案.
【解答過程】解：對于①，在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點所得直線與旋轉軸不一定平行，故錯誤；
對于②，圓錐頂點與底面所圓周上任意一點的連線是圓錐的母線長，故正確；
對于③，圓柱的母線均與旋轉軸平行，故圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行，正確.
所以，正確的命題是②③
故選：B.
【題型4 簡單組合體的結構特征】
【方法點撥】
掌握常見的幾種簡單組合體，結合具體問題，進行求解即可.
【例4】（2022·高一課時練習）如圖所示的螺母可以看成一個組合體，對其結構特征最接近的表述是（ ）
A．一個六棱柱中挖去一個棱柱 B．一個六棱柱中挖去一個棱錐
C．一個六棱柱中挖去一個圓柱 D．一個六棱柱中挖去一個圓臺
【解題思路】根據組合體外部輪廓圖的結構特征和挖掉的幾何體的結構特征即可得解.
【解答過程】螺母這個組合體的外部輪廓圖是六棱柱，由于螺母是旋擰在螺桿上的，則挖去的部分是圓柱，選項C表述準確.
故選：C.
【變式4-1】（2022秋·河北滄州·高三階段練習）太陽能發電是我國大力提倡的一種新能源發電形式.如圖所示，某型號的矩形太陽能電池板用四根垂直于地面的立柱支撐，點，，，均在同一水平面內，且其中三根立柱，，的長度分別為100cm，200cm，300cm，則立柱的長度是（ ）
A．100cm B．150cm C．200cm D．250cm
【解題思路】根據題意知四邊形是平行四邊形，故、、、在同一平面內，則和的差額與和的差額相等，代入數據求出值．
【解答過程】由題意知四邊形是平行四邊形，，
則和的差額 與和的差額相等，
設立柱的長度是．
故選：C．
【變式4-2】（2022春·上海·高二專題練習）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現了數學的對稱美．如圖是一個棱數為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體：①有12個頂點；②有14個面；③表面積為3；④體積為，正確的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【解題思路】該半正多面體的所有頂點恰為正方體各棱的中點,即為正方體截去8個三棱錐所剩部分，結合正方體的性質即可求得.
【解答過程】該半正多面體的所有頂點恰為正方體各棱的中點，其棱長為，有12個頂點，14個面（6個正方形，8個正三角形），它可由正方體去掉8個三棱錐所剩部分，它的表面積為
，體積為，
∴①②④正確，
故選C．
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）如圖所示是一位學生設計的獎杯模型，獎杯底托為空心的正四面體，且挖去的空心部分是恰好與四面體四個面都相切的球；頂部為球，其直徑與正四面體的棱長相等，若這樣設計獎杯，則球與球的半徑之比（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設內切球的半徑，正四面體的高為，利用等體積得，可得，由即可求出，進而求出比值.
【解答過程】設內切球的半徑，正四面體的高為，利用等體積得，，
所以，又，
則，球的半徑，所以.
故選：B.
【題型5 幾何體的截面問題】
【方法點撥】
根據對幾何體的截面形狀的研究，結合具體問題，進行求解即可.
【例5】（2023·高一課時練習）圓柱內有一內接正三棱錐，過棱錐的一條側棱和高作截面，正確的截面圖是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據截面在圓柱底面所形成的截痕直接判斷即可.
【解答過程】圓柱底面為正三棱錐底面三角形的外接圓，如下圖所示，
則過棱錐的一條側棱和高作截面，棱錐頂點為圓柱上底面的中心，可得截面圖如下圖，
故選：D.
【變式5-1】（2022·高一課時練習）圖中的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得，現用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【解題思路】分截面經過圓柱上下底面的圓心和截面不經過圓柱上下底面的圓心兩種情況，分別討論，進而可得出答案.
【解答過程】當截面經過圓柱上下底面的圓心時，圓錐的截面為三角形除去一條邊，所以①正確；
當截面不經過圓柱上下底面的圓心時，圓錐的截面為一條曲線，所以⑤正確；
故選:D.
【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習）已知在正方體中，，，分別是，，的中點，則過這三點的截面圖的形狀是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【解題思路】利用平行畫出截面，進而判斷出正確答案.
【解答過程】分別取、、的中點、、，連接、、，
在正方體中，，，分別是，，的中點，
，，，
六邊形是過，，這三點的截面圖，
過這三點的截面圖的形狀是六邊形．
故選：D.
【變式5-3】（2022秋·安徽合肥·高三期末）已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點，過 、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】畫出圖形，可得最大面積的截面四邊形為等腰梯形，根據梯形的面積公式求解即可.
【解答過程】如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形，
其中，高為，
故面積為.
故選:D．
【題型6 平面圖形旋轉形成的幾何體】
【方法點撥】
對于平面圖形繞軸旋轉問題，首先要對原平面圖形進行適當的分割，一般分割成矩形、三角形、梯形或圓(半
圓或四分之一圓周)等基本圖形，然后結合圓柱、圓錐、圓臺、球的形成過程進行分析.
【例6】（2022春·廣東珠海·高一階段練習）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體是（ ）
　　
A．一個球
B．一個球挖去一個圓柱
C．一個圓柱
D．一個球挖去一個正方體
【解題思路】根據旋轉體的定義可得正確的選項.
【解答過程】圓及其內部旋轉一周后所得幾何體為球，
而矩形及其內部繞一邊旋轉后所得幾何體為圓柱，
故題設中的平面圖形繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱，
故選：B.
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習）已知長方形ABCD中，，點E為CD的中點，現以AE所在直線為旋轉軸將該長方形旋轉一周，則所得幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意旋轉可得：一個圓錐和一個去掉圓錐的圓臺構成的組合體，利用錐體的體積公式進行計算．
【解答過程】因為長方形ABCD中，，點E為CD的中點，所以以AE所在直線為旋轉軸將該長方形旋轉一周，如圖：
則所得幾何體的體積為
故選：B．
【變式6-2】（2022·高一課時練習）能旋轉形成如圖所示的幾何體的平面圖形是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將A、B、C、D選項圖形繞對稱軸旋轉可知A選項符合題意.
【解答過程】此幾何體自上向下是由一個圓錐、兩個圓臺和一個圓柱構成，
是由A中的平面圖形旋轉形成的.
故選：A.
【變式6-3】（2022·高一課時練習）如圖所示，是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的平面軸對稱圖形，若將它繞軸l旋轉180°后形成一個組合體，下面說法不正確的是　(　　)
A．該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體
B．該組合體仍然關于軸l對稱
C．該組合體中的圓錐和球只有一個公共點
D．該組合體中的球和半球只有一個公共點
【解題思路】將該幾何體繞軸l旋轉180°后形成一個組合體，即可得解.
【解答過程】將該幾何體繞軸l旋轉180°后形成一個組合體，該組合體是由圓臺、圓柱、圓錐和球，半球
組成的，由此A選項錯誤
故選A.

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