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專題8.5 簡單幾何體的表面積與體積（重難點題型精講）
1．多面體的側面積、表面積和體積
2．旋轉體的側面積、表面積和體積
3．空間幾何體表面積與體積的常見求法
(1)常見的求幾何體體積的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.
③補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.
④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.
(2)求組合體的表面積與體積的方法
求組合體的表面積的問題，首先應弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側面，各個面的面積應該
怎樣求，然后根據公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.
4．球的截面
(1)球的截面形狀
①當截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；
②當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.
(2)球的截面的性質
①球心和截面圓心的連線垂直于截面；
②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關系式：.
圖形解釋如下：
在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關系如圖所示.若設球的半徑為R，以O'為圓心的截面的半徑
為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.
5．幾何體與球的切、接問題
常見的與球有關的組合體問題有兩種：一種是內切球，另一種是外接球.
常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：
【題型1 多面體的表面積與體積】
【方法點撥】
求解棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積時，要結合具體條件，找出其中的基本量，利用相應的表面積、體
積計算公式，進行求解即可.
【例1】（2023·全國·模擬預測）如圖1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國現存最早、規模最大的唐代四方樓閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一個正四棱錐，如圖2，已知正四棱錐的高為4.87m，其側棱與高的夾角為45°，則該正四棱錐的體積約為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·全國·模擬預測）如圖，已知四棱柱的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點E在上且，則三棱錐與三棱錐的公共部分的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·高一課時練習）已知斜三棱柱的一個側面的面積為10，該側面與其相對側棱的距離為3，則此斜三棱柱的體積為（ ）
A．30 B．15 C．10 D．60
【變式1-3】（2023秋·江西上饒·高二期末）“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術.商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”，即一個長方體沿對角線斜解（圖1）.得到一模一樣的兩個塹堵，再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若某長方體的長為4，寬為2，高為2，記該長方體的體積為，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為，，，則下列選項不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】
【方法點撥】
求解圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積時，要結合具體條件，找出其中的基本量，利用相應的表面積、體
積計算公式，進行求解即可.
【例2】已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為4，弧長為的扇形，則該圓錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·云南昆明·模擬預測）已知一個圓柱體積為，底面半徑為，則與此圓柱同底且體積相同的圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2022春·河南·高一期中）圓臺上 下底面半徑分別是，高為，這個圓臺的體積是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023春·河南·高三開學考試）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知，則該青銅器的表面積為（ ）（假設上、下底面圓是封閉的）
A． B．
C． D．
【題型3 球的表面積與體積】
【方法點撥】
計算球的表面積和體積的關鍵都是確定球的半徑，要注意把握球的表面積公式和體積公式中系數的特征和
半徑次數的區別.必要時需逆用表面積公式和體積公式得到球的半徑.
【例3】（2023·高一課時練習）若球的表面積擴大為原來的n倍，則它的半徑比原來增加的倍數為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022秋·上海徐匯·高二期末）如果兩個球的表面積之比為4：9，那么這兩個球的體積之比為（ ）
A．8：27 B．2：13 C．4：943 D．2：9
【變式3-2】（2022春·湖南株洲·高一期中）已知球 的表面積為 ， 則它的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023秋·河南安陽·高三期末）圓錐的母線長為2，側面積為，若球的表面積與該圓錐的表面積相等，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【題型4 球的截面問題】
【方法點撥】
利用球的半徑、截面的半徑、球心與截面圓心的連線構建直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的主要
途徑.
【例4】（2022春·安徽宣城·高一期中）用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為
A． B．
C．8π D．
【變式4-1】（2022秋·福建泉州·高二開學考試）已知為球的一條直徑，過的中點作垂直于的截面，則所得截面和點A構成的圓錐的表面積與球的表面積的比值為（　　）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022春·福建漳州·高一期中）過半徑為2的球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的體積的比為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，球心在此三棱錐內部，且，點為線段上一點，且，過點作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型5 幾何體與球的切、接問題】
【方法點撥】
1.球外接于幾何體，則幾何體的各頂點均在球面上.解題時要認真分析圖形，一般需依據球和幾何體的對稱
性，明確接點的位置，根據球心與幾何體特殊點間的關系，確定相關的數量關系，并作出合適的截面進行
求解.
2.解決幾何體的內切球問題，應先作出一個適當的截面(一般作出多面體的對角面所在的截面)，這個截面應
包括幾何體與球的主要元素，且能反映出幾何體與球的位置關系和數量關系.
【例5】（2022秋·江蘇淮安·高三階段練習）如圖，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，點D在上底面（包括邊界）上運動，則三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】如圖，在梯形中，，，，將沿邊翻折，使點翻折到點，且，則三棱錐外接球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】如圖，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括邊界）上運動，則三棱錐的外接球體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·廣東茂名·統考一模）已知菱形ABCD的各邊長為2，.將沿AC折起，折起后記點B為P，連接PD，得到三棱錐，如圖所示，當三棱錐的表面積最大時，三棱錐的外接球體積為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 實際應用問題】
【方法點撥】
對于實際應用問題，解題的關鍵是正確建立數學模型，然后利用表(側)面積或體積公式即可求解.另外，正
確作出截面圖，找出其中的等量關系也是常用的方法.
與球有關的實際應用問題一般涉及容積問題，解題的關健是正確作出截面圖，找出其中的等量關系.另外，
利用總體積不變，正確建立等量關系，也是常用的方法.
【例6】（2022秋·上海浦東新·高二期末）如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知球的直徑是6cm，圓柱筒長2cm．
(1)這種“浮球”的體積是多少？(結果精確到0.1)
(2)要在這樣2500個“浮球”表面涂一層膠質，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠約多少克？（精確到克）
【變式6-1】（2022秋·上海靜安·高二期中）如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒有帽的一端錘打出一個帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結構的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計損失）.
(1)若釘身長度是釘帽高度的3倍，求鉚釘的表面積；
(2)若每塊鋼板的厚度為mm，求釘身的長度（結果精確到mm）.
【變式6-2】（2022·高二課時練習）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高10cm，為了測得某個球的體積，小明將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為8cm，如果不計容器的厚度，求球的體積（精確到）.
【變式6-3】（2022·高一課時練習）如圖，是一圓柱形樹樁的底面直徑，是圓柱的母線，且，點是圓柱底面圓周上的點．
(1)求該樹樁的側面積和體積；
(2)若，是的中點，線有一只小蟲在點，先在線段上鉆一個小洞，記為點，若該小蟲要從點鉆過小洞點到達點，要使得小蟲爬過的路徑最短，請你確定小洞點的位置，并求出路徑的最小值．專題8.5 簡單幾何體的表面積與體積（重難點題型精講）
1．多面體的側面積、表面積和體積
2．旋轉體的側面積、表面積和體積
3．空間幾何體表面積與體積的常見求法
(1)常見的求幾何體體積的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.
③補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.
④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.
(2)求組合體的表面積與體積的方法
求組合體的表面積的問題，首先應弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側面，各個面的面積應該
怎樣求，然后根據公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.
4．球的截面
(1)球的截面形狀
①當截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；
②當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.
(2)球的截面的性質
①球心和截面圓心的連線垂直于截面；
②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關系式：.
圖形解釋如下：
在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關系如圖所示.若設球的半徑為R，以O'為圓心的截面的半徑
為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.
5．幾何體與球的切、接問題
常見的與球有關的組合體問題有兩種：一種是內切球，另一種是外接球.
常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：
【題型1 多面體的表面積與體積】
【方法點撥】
求解棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積時，要結合具體條件，找出其中的基本量，利用相應的表面積、體
積計算公式，進行求解即可.
【例1】（2023·全國·模擬預測）如圖1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國現存最早、規模最大的唐代四方樓閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一個正四棱錐，如圖2，已知正四棱錐的高為4.87m，其側棱與高的夾角為45°，則該正四棱錐的體積約為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設正四棱錐的底面邊長為a m，連接AC，BD交于點O，連接PO，易得平面ABCD，，再根據高為4.87m求解.
【解答過程】解：如圖所示：
設正四棱錐的底面邊長為a m，連接AC，BD交于點O，連接PO，
則平面ABCD，由題可得，
故，所以，
解得，
所以該正四棱錐的體積.
故選：D.
【變式1-1】（2023·全國·模擬預測）如圖，已知四棱柱的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點E在上且，則三棱錐與三棱錐的公共部分的體積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先找到三棱錐與三棱錐的公共部分，設DE，交于點F，AC，BD交于點G，連接FG，則三棱錐就是三棱錐與三棱錐的公共部分．再推出點F到平面ABCD的距離是點到平面ABCD距離的，然后根據棱錐的體積公式可得結果.
【解答過程】如圖，設DE，交于點F，AC，BD交于點G，連接FG，則三棱錐就是三棱錐與三棱錐的公共部分．
因為，所以，所以，
設點到平面ABCD距離為，則點F到平面ABCD的距離是，
又，所以三棱錐的體積為 .
故選：A．
【變式1-2】（2023·高一課時練習）已知斜三棱柱的一個側面的面積為10，該側面與其相對側棱的距離為3，則此斜三棱柱的體積為（ ）
A．30 B．15 C．10 D．60
【解題思路】通過補體，兩個斜三棱柱組成一個四棱柱，求四棱柱的體積，斜三棱柱的體積是四棱柱的體積的一半.
【解答過程】如圖，兩個斜三棱柱組成一個四棱柱，以斜三棱柱的一個側面為四棱柱的底面，面積為，高，四棱柱的體積，
則此斜三棱柱的體積為.
故選：B.
【變式1-3】（2023秋·江西上饒·高二期末）“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術.商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”，即一個長方體沿對角線斜解（圖1）.得到一模一樣的兩個塹堵，再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若某長方體的長為4，寬為2，高為2，記該長方體的體積為，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為，，，則下列選項不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】結合長方體、錐體體積公式求得正確答案.
【解答過程】，A選項正確.
，B選項正確.
，C選項正確.
，D選項不正確.
故選：D.
【題型2 圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】
【方法點撥】
求解圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積時，要結合具體條件，找出其中的基本量，利用相應的表面積、體
積計算公式，進行求解即可.
【例2】已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為4，弧長為的扇形，則該圓錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】圓錐的側面展開圖是一個半徑為4，弧長為的扇形，可知底面圓的半徑，再求的底面圓的面積和圓錐的側面積，即可求得該圓錐的表面積.
【解答過程】由于圓錐的側面展開圖是一個半徑為4，弧長為的扇形，
則圓錐底面圓的半徑為，底面圓的面積為，
圓錐的表面積為.
故選：C.
【變式2-1】（2023·云南昆明·模擬預測）已知一個圓柱體積為，底面半徑為，則與此圓柱同底且體積相同的圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據圓柱圓錐體積公式求出圓錐的高，進而求圓錐的母線長，即可求側面積.
【解答過程】設圓錐的高為，
所以圓錐的體積為，所以，
所以圓錐的母線，
得圓錐的側面積為，
故選：B.
【變式2-2】（2022春·河南·高一期中）圓臺上 下底面半徑分別是，高為，這個圓臺的體積是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】運用圓臺體積公式直接計算.
【解答過程】由圓臺體積公式知： ；
故選：A.
【變式2-3】（2023春·河南·高三開學考試）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知，則該青銅器的表面積為（ ）（假設上、下底面圓是封閉的）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據圓柱和圓臺的側面積公式分別求解側面積，再加上底面積，即可得該青銅器的表面積
【解答過程】解：因為， ，
所以該青銅器的表面積.
故選：A.
【題型3 球的表面積與體積】
【方法點撥】
計算球的表面積和體積的關鍵都是確定球的半徑，要注意把握球的表面積公式和體積公式中系數的特征和
半徑次數的區別.必要時需逆用表面積公式和體積公式得到球的半徑.
【例3】（2023·高一課時練習）若球的表面積擴大為原來的n倍，則它的半徑比原來增加的倍數為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據球的表面積公式計算即可直接求解.
【解答過程】設原球的半徑為，擴大后為，
則原表面積為，擴大n倍后變為，
所以，得，
即半徑擴大到原來的倍，比原來增加了倍.
故選：A.
【變式3-1】（2022秋·上海徐匯·高二期末）如果兩個球的表面積之比為4：9，那么這兩個球的體積之比為（ ）
A．8：27 B．2：13 C．4：943 D．2：9
【解題思路】球的表面積之比是兩球的半徑的平方之比，體積之比是半徑的立方之比，據此即可計算.
【解答過程】設兩球的半徑分別為，則，∴，
所以兩球的體積比為；
故選：A.
【變式3-2】（2022春·湖南株洲·高一期中）已知球 的表面積為 ， 則它的體積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定條件，求出球O的半徑，再利用球的體積公式計算作答.
【解答過程】球的表面積為 ，設球O的半徑為R，則有，解得，
所以球的體積為.
故選：A.
【變式3-3】（2023秋·河南安陽·高三期末）圓錐的母線長為2，側面積為，若球的表面積與該圓錐的表面積相等，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先利用圓錐側面積公式與表面積公式求得其表面積，再利用球的表面積公式得到關于的方程，解之即可求得球的體積.
【解答過程】依題意，設圓錐的底面半徑為，母線，
則圓錐的側面積為，故，
所以圓錐的底面積為，則圓錐的表面積為，
設球的半徑為，則，得，
所以球的體積.
故選：C.
【題型4 球的截面問題】
【方法點撥】
利用球的半徑、截面的半徑、球心與截面圓心的連線構建直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的主要
途徑.
【例4】（2022春·安徽宣城·高一期中）用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為
A． B．
C．8π D．
【解題思路】求出截面圓的半徑為 ，利用截面圓的面積為π，可得R2=2，即可求出球的表面積．
【解答過程】設球的半徑為R，則截面圓的半徑為，
∴截面圓的面積為S＝π＝（R2－1）π＝π，∴R2＝2，
∴球的表面積S＝4πR2＝8π．
故選C.
【變式4-1】（2022秋·福建泉州·高二開學考試）已知為球的一條直徑，過的中點作垂直于的截面，則所得截面和點A構成的圓錐的表面積與球的表面積的比值為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】設球的半徑為，截面圓的半徑，由球截面性質求得，然后計算球表面積、圓錐表面積，再計算比值．
【解答過程】設球的半徑為，截面圓的半徑，則，
，∴球，圓錐的表面積為，
則所得圓錐的表面積與球的表面積的比值為，
故選：B.
【變式4-2】（2022春·福建漳州·高一期中）過半徑為2的球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的體積的比為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據垂徑定理可得所得截面的半徑，進而根據圓面積與球體積公式求得比值即可.
【解答過程】球的半徑 ，設截面圓半徑為r，則，
所得截面的面積與球的體積的比為.
故選：A.
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，球心在此三棱錐內部，且，點為線段上一點，且，過點作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設，則，設正三棱錐的高為由題意求出先求出與，再求出，即可求出所得截面圓面積的取值范圍.
【解答過程】設，則，設正三棱錐的高為
因為體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，
所以，所以，
因為，所以，
所以，所以，
因為點為線段上一點，且，
所以中，，，
所以，
當截面時，截面外接圓的半徑為，其最小面積為；
以所在的直線為直徑時，截面圓的半徑為，截面圓的面積為.
所以所得的截面圓面積的取值范圍是.
故選：B．
【題型5 幾何體與球的切、接問題】
【方法點撥】
1.球外接于幾何體，則幾何體的各頂點均在球面上.解題時要認真分析圖形，一般需依據球和幾何體的對稱
性，明確接點的位置，根據球心與幾何體特殊點間的關系，確定相關的數量關系，并作出合適的截面進行
求解.
2.解決幾何體的內切球問題，應先作出一個適當的截面(一般作出多面體的對角面所在的截面)，這個截面應
包括幾何體與球的主要元素，且能反映出幾何體與球的位置關系和數量關系.
【例5】（2022秋·江蘇淮安·高三階段練習）如圖，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，點D在上底面（包括邊界）上運動，則三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由條件確定球心位置，建立關于球的半徑的表達式，從而求出半徑的取值范圍即可.
【解答過程】如下圖所示：
因為為等腰直角三角形，，所以的外接球的截面圓心為的中點，且，連接與的中點，則，所以面.設球心為，由球的截面性質可知，在上，設，，半徑為，因為，所以，
所以，又，所以解得.因為，所以，所以當時，外接球表面積最小為，當時，外接球表面積最大為.所以三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為.
故選：A.
【變式5-1】如圖，在梯形中，，，，將沿邊翻折，使點翻折到點，且，則三棱錐外接球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】在梯形中，利用已知條件求出三角形和三角形的邊長，分別取的中點，連接，可證出面，由知，三棱錐外接球的球心在平面的下方，設三棱錐外接球的球心為，連接，作，垂足為H，由，解出外接球半徑，進而得出表面積．
【解答過程】在梯形中，，，，則，，，即
分別取的中點，連接，，且， ，
又，，面，面
由題意可知為直角三角形斜邊的中點，因為，
所以三棱錐外接球的球心在平面的下方．
設三棱錐外接球的球心為，連接，作，垂足為H，
由題中數據可得，，，，
設三棱錐外接球的半徑為，則，
即，解得，，
故三棱錐外接球的表面積是.
故選：D.
【變式5-2】如圖，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括邊界）上運動，則三棱錐的外接球體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先確定球心的大致位置，結合勾股定理，得出半徑的最大值，進而可求外接球的體積的最大值.
【解答過程】因為，，所以的外接圓的圓心為的中點,且，
取的中點，連接，則，所以平面；
設三棱錐的外接球的球心為，則在上，
設，，球半徑為，
因為，所以，所以，
因為，所以，因為，所以，
即外接球半徑的最大值為，
所以三棱錐的外接球的體積的最大值為.
故選：C.
【變式5-3】（2023·廣東茂名·統考一模）已知菱形ABCD的各邊長為2，.將沿AC折起，折起后記點B為P，連接PD，得到三棱錐，如圖所示，當三棱錐的表面積最大時，三棱錐的外接球體積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意結合三角形面積公式分析可得當時，三棱錐的表面積取最大值，再根據直角三角形的性質分析三棱錐的外接球的球心和半徑，即可得結果.
【解答過程】由題意可得：均為邊長為2的等邊三角形，為全等的等腰三角形，
則三棱錐的表面積，
當且僅當，即時，三棱錐的表面積取最大值，
此時為直角三角形，，
取的中點，連接，由直角三角形的性質可得：，
即三棱錐的外接球的球心為，半徑為，故外接球體積為.
故選：D.
【題型6 實際應用問題】
【方法點撥】
對于實際應用問題，解題的關鍵是正確建立數學模型，然后利用表(側)面積或體積公式即可求解.另外，正
確作出截面圖，找出其中的等量關系也是常用的方法.
與球有關的實際應用問題一般涉及容積問題，解題的關健是正確作出截面圖，找出其中的等量關系.另外，
利用總體積不變，正確建立等量關系，也是常用的方法.
【例6】（2022秋·上海浦東新·高二期末）如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知球的直徑是6cm，圓柱筒長2cm．
(1)這種“浮球”的體積是多少？(結果精確到0.1)
(2)要在這樣2500個“浮球”表面涂一層膠質，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠約多少克？（精確到克）
【解題思路】（1）分別求出兩個半球的體積，和圓柱體的體積，即可求出“浮球”的體積；
（2）先求出一個“浮球”的表面積，再求出2500個的面積，即可求解.
【解答過程】（1）該半球的直徑，
所以“浮球”的圓柱筒直徑也是，得半徑，
所以兩個半球的體積之和為，
而，
該“浮球”的體積是；
（2）上下兩個半球的表面積是，
而“浮球”的圓柱筒側面積為，
所以1個“浮球”的表面積為，
因此，2500個“浮球”的表面積的和為，
因為每平方米需要涂膠100克，
所以總共需要膠的質量為：（克）．
【變式6-1】（2022秋·上海靜安·高二期中）如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒有帽的一端錘打出一個帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結構的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計損失）.
(1)若釘身長度是釘帽高度的3倍，求鉚釘的表面積；
(2)若每塊鋼板的厚度為mm，求釘身的長度（結果精確到mm）.
【解題思路】（1）由圖可知，鉚釘的表面積等于半球的表面積加上圓柱的側面積加上以為半徑的圓的面積.根據已知條件，分別求出各部分的面積即可得出答案；
（2）設釘身的長度為，表示出釘身的體積.根據已知求出釘身加工后的體積，列出方程，求解即可得出答案.
【解答過程】（1）解：由已知可得，鉚釘為以為半徑的半球與圓柱的組合體.
由釘身長度是釘帽高度的3倍，可知圓柱的高為，圓柱底面半徑為.
由圖可知，鉚釘的表面積等于半球的表面積加上圓柱的側面積加上以為半徑的圓的面積.
半球的表面積為，圓柱的側面積為，圓的面積.
所以，鉚釘的表面積.
（2）解：設釘身的長度為，，則釘身的體積.
由已知加工前后體積不變，加工后體積為釘身與釘帽體積之和，其中釘身長度為20，底面圓半徑為，釘帽是以半徑的半球.
所以.
所以，解得，滿足條件.
所以釘身的長度為.
【變式6-2】（2022·高二課時練習）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高10cm，為了測得某個球的體積，小明將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為8cm，如果不計容器的厚度，求球的體積（精確到）.
【解題思路】先求出球的半徑，即可求出球的體積.
【解答過程】如圖所示：
設球的半徑為R,由勾股定理知, ,解得.
所以該球的體積為.
【變式6-3】（2022·高一課時練習）如圖，是一圓柱形樹樁的底面直徑，是圓柱的母線，且，點是圓柱底面圓周上的點．
(1)求該樹樁的側面積和體積；
(2)若，是的中點，線有一只小蟲在點，先在線段上鉆一個小洞，記為點，若該小蟲要從點鉆過小洞點到達點，要使得小蟲爬過的路徑最短，請你確定小洞點的位置，并求出路徑的最小值．
【解題思路】（1）根據圓柱的側面展開圖即可求解側面積，根據體積公式即可求解體積，
（2）根據兩點之間距離最小，結合翻折轉為共面即可求解.
【解答過程】（1）
由題意得，圓柱的底面半徑為1，高為2，所以樹樁的側面積為，樹樁的體積為．
（2）
路徑為，
如圖，將繞所在直線旋轉到的位置，使其與平面共面，且在的反向延長線上．
此時與的交點即為使取得最小值的點的位置，即小洞的位置．
∵，∴，．
又，
∴在中，由余弦定理得，
∴的最小值為，即路徑的最小值為．

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