資源簡介

專題8.7 空間點、直線、平面之間的位置關系（重難點題型精講）
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物體通常給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平
面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.
(2)平面的畫法
①與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.
②當平面水平放置時，如圖(1)所示，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當平面豎直放置時，如圖(2)所
示，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希臘字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂
點的大寫英文字母作為這個平面的名稱.如圖中的平面可以表示為：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．點、直線、平面的位置關系的符號表示
點、直線、平面的位置關系通常借助集合中的符號語言來表示，點為元素，直線、平面都是點構成的
集合.點與直線(平面)之間的位置關系用符號“”“”表示，直線與平面之間的位置關系用符號“”“”表示.點、直線、平面之間位置關系的符號表示舉例如下：
3．三個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論
(1)三個基本事實及其表示
(2)三個基本事實的作用
基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.
基本事實2：①判斷直線是否在平面內，點是否在平面內；②用直線檢驗平面.
基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.
(2)基本事實1和2的三個推論
4．空間中直線與直線的位置關系
(1)三種位置關系
我們把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關系有三種：
(2)異面直線的畫法
為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.
5．空間中直線與平面的位置關系
直線與平面的位置關系有且只有三種，具體如下：
6．空間中平面與平面的位置關系
(1)兩種位置關系
兩個平面之間的位置關系有且只有以下兩種，具體如下：
(2)兩種位置關系
平行平面的畫法技巧
畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行.
7．平面分空間問題
一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢 三個平面呢
(1)兩個平面有兩種情形：
①當兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；
②當兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).
(2)三個平面有五種情形：
①當三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；
②當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；
③當三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；
④當三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；
⑤當三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).
【題型1 平面的基本性質及推論】
【方法點撥】
根據平面的基本性質及其推論，結合題目條件，進行求解即可.
【例1】（2023·高一課時練習）下列命題中，正確命題的個數是（ ）
①四邊相等的四邊形為菱形；
②若四邊形有兩個對角都為直角，則這個四邊形是圓內接四邊形；
③“平面不經過直線”的等價說法是“直線上至多有一個點在平面內”；
④若兩個平面有一條公共直線，則這兩平面的所有公共點都在這條公共直線上．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1-1】（2022春·上海浦東新·高二期末）如圖，，，，且，直線，過三點的平面記作，則與的交線必通過（ ）
A．點A B．點 C．點但不過點 D．點和點
【變式1-2】（2022·高一課時練習）已知、為平面，、、、為點，為直線，下列推理中錯誤的是（ ）
A．，，，，則
B．，，，，則直線，直線
C．，，則
D．、、，、、，且、、不共線，則、重合
【變式1-3】（2022·上海·高二專題練習）下列命題中
①空間中三個點可以確定一個平面.
②直線和直線外的一點，可以確定一個平面.
③如果三條直線兩兩相交，那么這三條直線可以確定一個平面.
④如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線可以確定一個平面.
⑤如果兩個平面有無數個公共點，那么這兩個平面重合.
真命題的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【題型2 點共線、點線共面問題】
【方法點撥】
證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要依據是基本事實3.
證明點、線共面的主要依據是基本事實1、基本事實2及其推論，常用的方法有：
(1)輔助平面法，先證明有關點、線確定平面，再證明其余點、線確定平面，最后證明平面,重合；
(2)納入平面法，先由條件確定一個平面，再證明有關的點、線在此平面內.
【例2】（2022秋·上海虹口·高二階段練習）如圖，在長方體中，、分別是和的中點．
(1)證明：、、、四點共面；
(2)對角線與平面交于點，交于點，求證：點共線；
(3)證明：、、三線共點．
【變式2-1】（2022秋·吉林四平·高二階段練習）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.
(1)求證：E，F，G，H四點共面；
(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，在正方體中，E，F分別是的中點．
(1)求證：三線交于點P；
(2)在（1）的結論中，G是上一點，若FG交平面ABCD于點H，求證：P，E，H三點共線．
【變式2-3】（2022·高一課時練習）如圖，在三棱錐中，作截面，，的延長線交于點M，，的延長線交于點N，，的延長線交于點K．判斷M，N，K三點是否共線，并說明理由．
【題型3 直線與直線的位置關系】
【方法點撥】
1.定義法：不同在任何一個平面內的兩條直線異面.
2.推論法：一條直線上兩點與另一條與它異面的直線上兩點所連成的兩條直線為異面直線.
3.證明立體幾何問題的一種重要方法(反證法)：第一步，提出與結論相反的假設；第二步，由此假設推出與
已知條件或某一基本事實、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結果；第三步，推翻假設，從而證
明原結論是正確的.
【例3】（2022秋·上海靜安·高二階段練習）設是某長方體四條棱的中點，則直線和直線的位置關系是（ ）.
A．相交 B．平行 C．異面 D．無法確定
【變式3-1】（2023秋·上海浦東新·高二期末）已知三條直線，，滿足且，則與（ ）
A．平行 B．垂直 C．共面 D．異面
【變式3-2】（2023·上海·統考模擬預測）如圖，P是正方體邊上的動點，下列哪條邊與邊始終異面（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022秋·湖南常德·高三期中）下圖是正方體的平面展開圖,在這個正方體中,下列判斷不正確的是（ ）
A． B．
C． D．直線與的夾角為
【題型4 直線與平面的位置關系】
【方法點撥】
判斷空間中直線與平面的位置關系，一般先作出幾何圖形，直觀判斷，然后依據基本事實給出證明.另外，
借助模型(如正方體、長方體)舉反例也是解決這類問題的有效方法.
【例4】（2022春·浙江寧波·高二學業考試）如圖， 在正方體中， 直線與平面的位置關系為（ ）
A．直線在平面內 B．直線與平面相交但不垂直
C．直線與平面相交且垂直 D．直線與平面平行
【變式4-1】（2023·陜西榆林·統考一模）若為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習）、是空間兩條直線，是平面，以下結論正確的是（ ）．
A．如果 ， ，則一定有 ．
B．如果，，則一定有．
C．如果，，則一定有 ．
D．如果， ，則一定有．
【變式4-3】（2022春·廣東廣州·高一期中）如圖， 在正方體中， 點分別為的中點， 設過點的平面為， 則下列說法正確的是（ ）
A．在正方體中， 存在某條棱與平面平行
B．在正方體 中， 存在某條面對角線與平面平行
C．在正方體 中， 存在某條體對角線與平面平行
D．平面截正方體所得的截面為五邊形
【題型5 平面與平面的位置關系】
【方法點撥】
兩個平面之間的位置關系有且只有兩種：平行和相交.判斷兩個平面之間的位置關系的主要依據是兩個平面
之間有沒有公共點.解題時要善于將自然語言或符號語言轉換成圖形語言，借助空間圖形進行判斷.
【例5】（2023·高一課時練面上有三個不共線點到平面距離相等，則平面與平面的位置關系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行
【變式5-1】（2022·全國·高一專題練習）在四棱臺中，平面與平面的位置關系是（ ）
A．相交 B．平行
C．不確定 D．異面
【變式5-2】（2022·黑龍江·高二學業考試）設l、m是不同的直線，、是不同的平面，下列命題中的真命題為（　　）
A．若l∥，m⊥，l⊥m，則⊥ B．若l∥，m⊥，l⊥m，則∥
C．若l∥，m⊥，l∥m，則⊥ D．若l∥，m⊥，l∥m，則∥
【變式5-3】（2022·高一課時練習）給出下列三個命題：
①若平面平面，平面，則；
②若平面平面，平面，則；
③若平面平面，平面，則．
其中真命題的個數是．
A．1 B．2 C．3 D．4
【題型6 平面分空間問題】
【方法點撥】
掌握平面分空間的幾種情況，根據題目條件，進行求解即可.
【例6】（2022秋·上海浦東新·高二階段練習）三個平面不可能將空間分成（ ）個部分
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式6-1】（2022·高一課時練習）空間中兩個平面將空間分成的部分數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3或4
【變式6-2】（2022·高一課前預習）空間的4個平面最多能將空間分成（ ）個區域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【變式6-3】（2022春·江西·高一階段練習）三棱柱各面所在平面將空間分為（ ）
A．部分 B．部分 C．部分 D．部分專題8.7 空間點、直線、平面之間的位置關系（重難點題型精講）
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物體通常給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平
面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.
(2)平面的畫法
①與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.
②當平面水平放置時，如圖(1)所示，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當平面豎直放置時，如圖(2)所
示，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希臘字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂
點的大寫英文字母作為這個平面的名稱.如圖中的平面可以表示為：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．點、直線、平面的位置關系的符號表示
點、直線、平面的位置關系通常借助集合中的符號語言來表示，點為元素，直線、平面都是點構成的
集合.點與直線(平面)之間的位置關系用符號“”“”表示，直線與平面之間的位置關系用符號“”“”表示.點、直線、平面之間位置關系的符號表示舉例如下：
3．三個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論
(1)三個基本事實及其表示
(2)三個基本事實的作用
基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.
基本事實2：①判斷直線是否在平面內，點是否在平面內；②用直線檢驗平面.
基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.
(2)基本事實1和2的三個推論
4．空間中直線與直線的位置關系
(1)三種位置關系
我們把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關系有三種：
(2)異面直線的畫法
為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.
5．空間中直線與平面的位置關系
直線與平面的位置關系有且只有三種，具體如下：
6．空間中平面與平面的位置關系
(1)兩種位置關系
兩個平面之間的位置關系有且只有以下兩種，具體如下：
(2)兩種位置關系
平行平面的畫法技巧
畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行.
7．平面分空間問題
一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢 三個平面呢
(1)兩個平面有兩種情形：
①當兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；
②當兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).
(2)三個平面有五種情形：
①當三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；
②當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；
③當三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；
④當三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；
⑤當三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).
【題型1 平面的基本性質及推論】
【方法點撥】
根據平面的基本性質及其推論，結合題目條件，進行求解即可.
【例1】（2023·高一課時練習）下列命題中，正確命題的個數是（ ）
①四邊相等的四邊形為菱形；
②若四邊形有兩個對角都為直角，則這個四邊形是圓內接四邊形；
③“平面不經過直線”的等價說法是“直線上至多有一個點在平面內”；
④若兩個平面有一條公共直線，則這兩平面的所有公共點都在這條公共直線上．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解題思路】根據空間四邊形可判斷①②錯誤，有平面的基本性質可判斷③④正確.
【解答過程】由空間四邊形可判斷①②錯誤.
“平面不經過直線”即直線與平面相交或者平行，所以③正確.
由平面的基本性質，如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線,可判斷④正確.
故選：B.
【變式1-1】（2022春·上海浦東新·高二期末）如圖，，，，且，直線，過三點的平面記作，則與的交線必通過（ ）
A．點A B．點 C．點但不過點 D．點和點
【解題思路】利用點線面的位置關系證得與，從而得到，據此解答即可.
【解答過程】對于AB，易得，故必不在與的交線上，故AB錯誤；
對于CD，因為過三點的平面記作，所以面與是同一個面，
因為直線，所以面，則，
又面，則，所以；
因為，，所以，又，所以，
所以，
所以與的交線必通過點和點，故C錯誤，D正確.
故選：D．
【變式1-2】（2022·高一課時練習）已知、為平面，、、、為點，為直線，下列推理中錯誤的是（ ）
A．，，，，則
B．，，，，則直線，直線
C．，，則
D．、、，、、，且、、不共線，則、重合
【解題思路】利用基本事實2可判斷AB選項；利用基本事實3可判斷C選項；利用基本事實1可判斷D選項.
【解答過程】對于A選項，，，，，由基本事實2可知，A對；
對于B選項，，，則直線，同理可知，直線，B對；
對于C選項，，，則為平面、的一個公共點，
但平面、相交于過點的一條直線，而不是點，C錯；
對于D選項，、、，且、、不共線，則、、可確定平面，
同理可知，、、可確定平面，故、重合，D對.
故選：C.
【變式1-3】（2022·上海·高二專題練習）下列命題中
①空間中三個點可以確定一個平面.
②直線和直線外的一點，可以確定一個平面.
③如果三條直線兩兩相交，那么這三條直線可以確定一個平面.
④如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線可以確定一個平面.
⑤如果兩個平面有無數個公共點，那么這兩個平面重合.
真命題的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解題思路】根據空間位置關系可直接判斷各命題.
【解答過程】命題①：空間中不共線三個點可以確定一個平面，錯誤；
命題②：直線和直線外的一點，可以確定一個平面，正確；
命題③：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點，則無法確定一個平面，所以命題③錯誤；
命題④：如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線不能確定一個平面，所以命題④錯誤；
命題⑤：兩個平面有無數個公共點，則兩平面可能相交，所以命題⑤錯誤；
故選：A.
【題型2 點共線、點線共面問題】
【方法點撥】
證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要依據是基本事實3.
證明點、線共面的主要依據是基本事實1、基本事實2及其推論，常用的方法有：
(1)輔助平面法，先證明有關點、線確定平面，再證明其余點、線確定平面，最后證明平面,重合；
(2)納入平面法，先由條件確定一個平面，再證明有關的點、線在此平面內.
【例2】（2022秋·上海虹口·高二階段練習）如圖，在長方體中，、分別是和的中點．
(1)證明：、、、四點共面；
(2)對角線與平面交于點，交于點，求證：點共線；
(3)證明：、、三線共點．
【解題思路】（1）證明，即可說明、、、四點共面.
（2）先證明點面和面，即點在面與面的交線上在證明面 面 ，即點 ，即可得到答案.
（3）延長交于,由于面 面 ，則在交線上.
【解答過程】（1）連接，
在長方體中，
，
、分別是和的中點，
，
，
、、、四點共面；
（2），
確定一個平面，
面，
面，
對角線與平面交于點，
面，
在面與面的交線上，
，
面且面，
面 面 ，
，
即點共線.
（3）延長交于，
面，
，
面，
面，
，
面，
面 面 ，
，
、、三線共點.
【變式2-1】（2022秋·吉林四平·高二階段練習）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.
(1)求證：E，F，G，H四點共面；
(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.
【解題思路】（1）根據已知條件，可得以及，所以，進而得出四點共面；
（2）因為是平面和平面的交線，只需證明點是平面和平面的交點，即可證得，進而得到三點共線.
【解答過程】（1）因為E，F分別為AB，AD的中點，所以.
在中，因為，所以，所以，
所以.
所以E，F，G，H四點共面.
（2）因為，所以.
由已知可得，，，平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，所以平面ABC.
同理，平面ADC，平面ADC.
所以為平面ABC與平面ADC的一個公共點.
又平面平面 ，所以，
所以P，A，C三點共線.
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，在正方體中，E，F分別是的中點．
(1)求證：三線交于點P；
(2)在（1）的結論中，G是上一點，若FG交平面ABCD于點H，求證：P，E，H三點共線．
【解題思路】（1）連接，，可得到且，則EC與相交，設交點為P，則能得到P平面ABCD，平面，結合平面平面，即可得證；
（2）可證明P，E，H都在平面與平面ABCD的交線上，即可得證
【解答過程】（1）
證明：連接，，
正方體中，E，F分別是的中點，
∴且，
∵且，
∴且，
∴EC與相交，設交點為P，
∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；
又∵，平面，∴平面，
∴P為兩平面的公共點，
∵平面平面，∴，
∴三線交于點P；
（2）
在（1）的結論中，G是上一點，FG交平面ABCD于點H，
則FH平面，∴平面，又平面ABCD，
∴平面平面ABCD，
同理，平面平面ABCD，
平面平面ABCD，
∴P，E，H都在平面與平面ABCD的交線上，
∴P，E，H三點共線．
【變式2-3】（2022·高一課時練習）如圖，在三棱錐中，作截面，，的延長線交于點M，，的延長線交于點N，，的延長線交于點K．判斷M，N，K三點是否共線，并說明理由．
【解題思路】由點共面、面共線可得答案.
【解答過程】M，N，K三點共線．理由如下：
因為即在平面內又在平面內，
所以在平面與平面的交線上，
所以是平面與平面的交線，
即在平面內又在平面內，
所以在平面與平面的交線上，
所以是平面與平面的交線，
又平面與平面是同一平面，
所以與是同一條直線，即M，N，K三點共線．
【題型3 直線與直線的位置關系】
【方法點撥】
1.定義法：不同在任何一個平面內的兩條直線異面.
2.推論法：一條直線上兩點與另一條與它異面的直線上兩點所連成的兩條直線為異面直線.
3.證明立體幾何問題的一種重要方法(反證法)：第一步，提出與結論相反的假設；第二步，由此假設推出與
已知條件或某一基本事實、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結果；第三步，推翻假設，從而證
明原結論是正確的.
【例3】（2022秋·上海靜安·高二階段練習）設是某長方體四條棱的中點，則直線和直線的位置關系是（ ）.
A．相交 B．平行 C．異面 D．無法確定
【解題思路】在長方體中，延長，，，即會得到直線和直線的位置關系.
【解答過程】
如圖，延長使，
因為，，，為棱的中點，
所以延長，都會交中點處，所以直線和直線的位置關系為相交.
故選：A.
【變式3-1】（2023秋·上海浦東新·高二期末）已知三條直線，，滿足且，則與（ ）
A．平行 B．垂直 C．共面 D．異面
【解題思路】根據空間直線平行垂直的定義，結合等角定理進行判定.
【解答過程】若且，
根據空間直線垂直的定義，
可得，不平行，有可能共面，也有可能異面.
故選：B.
【變式3-2】（2023·上海·統考模擬預測）如圖，P是正方體邊上的動點，下列哪條邊與邊始終異面（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據異面直線的知識確定正確答案.
【解答過程】在邊上運動，則平面，
當運動到的中點時，與相交，A選項錯誤.
，四點共面，
平面，，所以與是異面直線，B選項正確.
當運動到點時，與相交，所以CD選項錯誤.
故選：B.
【變式3-3】（2022秋·湖南常德·高三期中）下圖是正方體的平面展開圖,在這個正方體中,下列判斷不正確的是（ ）
A． B．
C． D．直線與的夾角為
【解題思路】將正方體進行還原,再根據正方體中的平行垂直之間關系即可判斷選項的正誤.
【解答過程】解:由題知將正方體還原如圖所示,
由圖可知,,
故選項A錯誤,選項B正確;
,,
故選項C正確;
連接,,且為等邊三角形,
,即直線與的夾角為,
故選項D正確.
故選:A.
【題型4 直線與平面的位置關系】
【方法點撥】
判斷空間中直線與平面的位置關系，一般先作出幾何圖形，直觀判斷，然后依據基本事實給出證明.另外，
借助模型(如正方體、長方體)舉反例也是解決這類問題的有效方法.
【例4】（2022春·浙江寧波·高二學業考試）如圖， 在正方體中， 直線與平面的位置關系為（ ）
A．直線在平面內 B．直線與平面相交但不垂直
C．直線與平面相交且垂直 D．直線與平面平行
【解題思路】根據正方體性質判斷直線與面的位置關系即可.
【解答過程】由正方體的性質知：面即為面，而直線與面交于，但不垂直.
故選：B.
【變式4-1】（2023·陜西榆林·統考一模）若為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【解題思路】根據空間中直線與平面的位置關鍵逐項判斷即可
【解答過程】解：對于A，若，則或，故A不正確；
對于B，若，則或，故B不正確；
對于C，若，則或，故C不正確；
對于D，若，則，故D正確.
故選：D.
【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習）、是空間兩條直線，是平面，以下結論正確的是（ ）．
A．如果 ， ，則一定有 ．
B．如果，，則一定有．
C．如果，，則一定有 ．
D．如果， ，則一定有．
【解題思路】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的關系逐一核對四個選項得答案．
【解答過程】對于A，若 ， ，則有 或與相交或與異面，故錯誤；
對于B、C，如果⊥，⊥，則有 或 ，故B、C錯誤；
對于D，如果⊥，則垂直內的所有直線，又 ，則過與相交的平面交于，則 ，
∴⊥，故D正確．
故選：D ．
【變式4-3】（2022春·廣東廣州·高一期中）如圖， 在正方體中， 點分別為的中點， 設過點的平面為， 則下列說法正確的是（ ）
A．在正方體中， 存在某條棱與平面平行
B．在正方體 中， 存在某條面對角線與平面平行
C．在正方體 中， 存在某條體對角線與平面平行
D．平面截正方體所得的截面為五邊形
【解題思路】根據題意可得 交平面于點， 交平面于點， 交平面于點，
故不存在某條棱與平面平行，即可以判斷選項A錯誤；
由六個面的12條面對角線與平面都相交，即可判斷選項B錯誤；
體對角線全部與面相交，即可判斷選項C錯誤；
補全圖形可得平面截正方體所得的截面為五邊形，即可以判斷選項D正確.
【解答過程】對于選項A，交平面于點，平面，
都不與平面平行，
交平面于點，平面，
都不與平面平行，
交平面于點，平面，
都不與平面平行，
故A錯誤；
觀察幾何體可知六個面的12條面對角線與平面都相交，
故B錯誤；
四條體對角線全部與面都相交，
故C錯誤.
如下圖，取中點為，易得，
取中點為，連接，易得，
再取中點為，連接，則，
，
是平面與正方體底面的交線，
延長，與的延長線交于，連接，交于，
則可得五邊形即為平面交正方體的截面，
故D正確；
故選：D.
【題型5 平面與平面的位置關系】
【方法點撥】
兩個平面之間的位置關系有且只有兩種：平行和相交.判斷兩個平面之間的位置關系的主要依據是兩個平面
之間有沒有公共點.解題時要善于將自然語言或符號語言轉換成圖形語言，借助空間圖形進行判斷.
【例5】（2023·高一課時練面上有三個不共線點到平面距離相等，則平面與平面的位置關系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行
【解題思路】根據面面關系結合圖形來分析判斷.
【解答過程】如圖1，若 ，則平面上任一點到平面距離相等，故平面上一定存在三個不共線點到平面距離相等；
如圖2，若與相交，則平面上一定存在位于異側的三個不共線點到平面距離相等；
故平面與平面的位置關系是相交或平行.
故選：D.
【變式5-1】（2022·全國·高一專題練習）在四棱臺中，平面與平面的位置關系是（ ）
A．相交 B．平行
C．不確定 D．異面
【解題思路】根據棱臺的定義即可得出結果.
【解答過程】解：如圖所示，由棱臺的定義可知，平面與平面一定相交.
故選：A.
【變式5-2】（2022·黑龍江·高二學業考試）設l、m是不同的直線，、是不同的平面，下列命題中的真命題為（　　）
A．若l∥，m⊥，l⊥m，則⊥ B．若l∥，m⊥，l⊥m，則∥
C．若l∥，m⊥，l∥m，則⊥ D．若l∥，m⊥，l∥m，則∥
【解題思路】在A中，與相交或平行；在B中，與β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得⊥；在D中，由面面垂直的判定定理得⊥．
【解答過程】解：由l、m是不同的直線，、是不同的平面，知：
在A中，若l∥，m⊥，l⊥m，則與相交或平行，故A錯誤；
在B中，若l∥，m⊥，l⊥m，則與相交或平行，故B錯誤；
在C中，若l∥，m⊥，l∥m，則由面面垂直的判定定理得⊥，故C正確；
在D中，若l∥，m⊥，l∥m，則由面面垂直的判定定理得⊥，故D錯誤．
故選：C．
【變式5-3】（2022·高一課時練習）給出下列三個命題：
①若平面平面，平面，則；
②若平面平面，平面，則；
③若平面平面，平面，則．
其中真命題的個數是．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】由面面平行及面面垂直的性質進行判斷即可
【解答過程】兩平行平面中的一個平面和一平面垂直，則另一平面也和這個平面垂直，①正確；
由平行平面的遞推性可知②正確；
若平面平面，平面，則或，故③錯誤；
故選B.
【題型6 平面分空間問題】
【方法點撥】
掌握平面分空間的幾種情況，根據題目條件，進行求解即可.
【例6】（2022秋·上海浦東新·高二階段練習）三個平面不可能將空間分成（ ）個部分
A．5 B．6 C．7 D．8
【解題思路】分三個平面互相平行，三個平面有兩個平行，第三個平面與其它兩個平面相交，三個平面交于一條直線，三個平面兩兩相交且三條交線平行，三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，六種情況討論即可.
【解答過程】若三個平面互相平行，則可將空間分為4個部分；
若三個平面有兩個平行，第三個平面與其它兩個平面相交，則可將空間分為6個部分；
若三個平面交于一條直線，則可將空間分為6個部分；
若三個平面兩兩相交且三條交線平行，則可將空間分為7部分；
若三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，則可將空間分為8部分
故n的取值為4，6，7，8，所以n不可能是5.
故選：A.
【變式6-1】（2022·高一課時練習）空間中兩個平面將空間分成的部分數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3或4
【解題思路】兩個平面相交時，可以將空間分成4個部分；兩個平面不相交時將空間分成3個部分．
【解答過程】當兩個平面平行時，將空間分成3部分；
當兩個平面相交時，將空間分成4部分.
故選：D.
【變式6-2】（2022·高一課前預習）空間的4個平面最多能將空間分成（ ）個區域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【解題思路】根據平面的性質進行歸納推理．前三個平面與第4個平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四個平面與前三個平面所分空間部分的截面，這個截面把所在空間部分一分為二，由此可得4個平面最多能將空間分成的區域數．
【解答過程】一個平面把空間分成2部分，兩個平面最多把空間分面4部分，3個平面最多把空間分布8個部分，前三個平面與第4個平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個平面，最多分成7部分，這里平面的每一部分就是第四個平面與前三個平面分空間部分的截面，這個截面把所在空間部分一分為二，這樣所有空間部分的個數為．
故選：C．
【變式6-3】（2022春·江西·高一階段練習）三棱柱各面所在平面將空間分為（ ）
A．部分 B．部分 C．部分 D．部分
【解題思路】把一個三棱柱的俯視圖，延長三邊，可把平面分成7部分，還原為三棱柱，空間被兩個底面分成上下3層，每層都有7部分，即可求解.
【解答過程】想象一個沒有上下底的三棱柱（上下兩邊無限延伸），將三棱柱的側面延伸出來，
俯視圖如圖所示，
分成個區域.
拿兩個水平的平面去截（其實就是三棱柱上下底面所在平面），
分成上中下三個大塊，每個大塊個區域，共個區域.
故選：C.

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