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專題8.9 空間直線、平面的平行（重難點題型精講）
1．直線與直線平行
(1)基本事實4
①自然語言：平行于同一條直線的兩條直線平行.
②符號語言：a,b,c是三條不同的直線，若a∥b，b∥c，則a∥c.
③作用：判斷或證明空間中兩條直線平行.
(2)空間等角定理
①自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.
②符號語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'
或∠AOB+∠A'O'B'=.
2．直線與平面平行
(1)判定定理
①自然語言
如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.
②圖形語言
③符號語言
.
該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.
(2)性質定理
①自然語言
一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.
②圖形語言
③符號語言
.
該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.
(3)性質定理的作用
①作為證明線線平行的依據.當證明線線平行時，可以證明其中一條直線平行于一個平面，另一條直線是過第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.
②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據.如果一條直線平行于一個平面，要在平面內畫一條直線與已知直線平行，可以過已知直線作一個平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.
3．平面與平面平行
(1)判定定理
①自然語言
如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.
②圖形語言
③符號語售
.
該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.
(2)判定定理的推論
①自然語言
如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面平行.
②圖形語言
③符號語言
.
(3)性質定理
①自然語言
兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.
②圖形語言
③符號語言
.
該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.
(4)兩個平面平行的其他性質
①兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線都平行于另一個平面.
②平行直線被兩個平行平面所截的線段長度相等.
③經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.
④兩條直線同時被三個平行平面所截，截得的線段對應成比例.
⑤如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.
4．平行關系的相互轉化及綜合應用
(1)證明線線平行的常用方法
①利用線線平行的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線是平行直線.
②利用基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.
③利用三角形的中位線定理：三角形的中位線平行且等于底邊的一半.
④利用平行線分線段成比例定理.
⑤利用線面平行的性質定理.
⑥利用面面平行的性質定理.
⑦利用反證法：假設兩條直線不平行，然后推出矛盾，進而得出兩條直線是平行的.
(2)證明線面平行的常用方法
①利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點.
②利用直線與平面平行的判定定理：a，a∥b，b，則a∥.使用定理時，一定要說明“平面外
一條直線與此平面內的一條直線平行”，若不注明，則證明過程不完整.因此，要證明a∥，則必須在平面內找一條直線b，使得a∥b，從而達到證明的目的，這三個條件缺一不可.
③利用面面平行的性質：若平面∥平面，直線a，則a∥.
④利用反證法.這時“平行”的否定有“在平面內”和“與平面相交”兩種，只有在排除“直線在平面內”和“直線與平面相交”這兩種位置關系后才能得到“直線與平面平行”的結論，在這一點上往往容易出錯，應引起重視.
(3)平面與平面平行的判定方法
①根據定義：證明兩個平面沒有公共點，但有時直接證明非常困難.
②根據判定定理：要證明兩個平面平行，只需在其中一個平面內找兩條相交直線，分別證明它們平行
于另一個平面，則這兩個平面平行.
③根據判定定理的推論：在一個平面內找到兩條相交的直線分別與另一個平面內兩條相交的直線平行，
則這兩個平面平行.
④根據平面平行的傳遞性：若兩個平面都平行于第三個平面，則這兩個平面平行.
⑤利用反證法.
(4)平行關系的相互轉化
常見的平行關系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種關系不是孤立的，而是相互聯系、相互轉
化的，如圖所示.
【題型1 證明線線平行】
【方法點撥】
掌握線線平行的判定方法，結合題目條件，進行求解，即可證明線線平行.
【例1】（2023·上海·高二專題練習）若，且，與方向相同，則下列結論正確的有（ ）
A．且方向相同 B．，方向可能不同
C．OB與不平行 D．OB與不一定平行
【變式1-1】（2022·全國·高一專題練習）如圖，在正方體中，直線平面，且直線與直線不平行，則下列一定不可能的是（ ）
A．l與AD平行 B．l與AD不平行 C．l與AC平行 D．l與BD平行
【變式1-2】（2022·全國·高一專題練習）如圖所示，在長方體AC1中，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（ ）
A．3條 B．4條
C．5條 D．6條
【變式1-3】（2022春·高一課時練習）如圖，在三棱錐中，分別為線段的中點，則下列說法正確的是
A． B． C． D．
【題型2 直線與平面平行的判定】
【方法點撥】
使用直線與平面平行的判定定理時，關鍵是在平面內找到一條與已知直線平行的直線，具體操作中，我們
可以利用幾何體的特征，合理利用中位線定理，或者構造平行四邊形等證明兩直線平行.
【例2】（2023·高一課時練習）已知A、B、C、D是不共面四點，M、N分別是、的重心．以下平面中與直線平行的是（ ）
①平面； ②平面； ③平面； ④平面．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【變式2-1】（2022秋·內蒙古呼和浩特·高二期中）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2022秋·廣東湛江·高三統考階段練習）如圖，在長方體中，M是棱的中點，則（ ）
A．平面 B．平面BDM
C．平面 D．平面
【變式2-3】（2022秋·四川·高二階段練習）如圖，正方體中，E為的中點，則下列直線中與平面AEC平行的是（ ）
A． B． C． D．EO
【題型3 平面與平面平行的判定】
【方法點撥】
第一步：在一個平面內找出兩條相交直線；
第二步：證明這兩條相交直線分別平行于另一個平面；
第三步：利用平面與平面平行的判定定理得出結論.
【例3】（2022·全國·高三專題練習）下列四個正方體中，、、為所在棱的中點，則能得出平面平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2022秋·北京海淀·高二期中）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有（ ）
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【變式3-2】（2022·浙江·高三專題練習）如圖所示，在正方體中，點，，，分別為棱，，，上的中點，下列判斷正確的是（ ）
A．直線平面 B．直線面
C．平面平面 D．平面平面
【變式3-3】（2022春·湖北·高二階段練習）如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 線面平行性質定理的應用】
【方法點撥】
應用線面平行的性質定理時，關鍵是過已知直線作輔助平面與已知平面相交，所得交線與已知直線平行.還
可以利用交線判斷已知平面內任意一條直線與已知直線的位置關系，即在已知平面內，所有與交線平行的
直線都與已知直線平行，所有與交線相交的直線都與已知直線異面.
【例4】（2022春·浙江·高一期中）下列命題中正確的是（ ）
A．如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內的任意一條直線平行
B．平面內有不共線的三個點A，B，C到平面的距離相等，則
C．，，則
D．，，，則
【變式4-1】（2022·全國·高三專題練習）已知直三棱柱 的側棱和底面邊長均為 分別是棱 上的點， 且 ， 當 平面 時， 的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習）若直線平面，，且直線與點位于的兩側，，，，分別交平面于點，，若，，，則的長為（ ）
A．3 B． C． D．
【變式4-3】（2022春·江西南昌·高二階段練習）如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱的中點，點G為的交點，若點F在線段上，且滿足平面，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【題型5 面面平行性質定理的應用】
【方法點撥】
應用面面平行的性質定理時，找出一個平面中的一條直線，則該直線與另一個平面平行，據此可解題.
【例5】（2022·高一課時練習）如圖，在四棱柱中，平面平面，且，則四邊形的形狀是（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知平面平面，點為，外一點，直線，分別與，相交于，和，，則與的位置關系為（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面
【變式5-2】（2022春·四川成都·高二期末）若平面平面，直線，則直線與平面的位置關系是（ ）
A．相交 B．平行 C．在內 D．無法判定
【變式5-3】（2022·高一課時練習）如圖，平面平面，，是內不同的兩點，，是內不同的兩點，，分別是線段，的中點，則下列所有正確判斷的編號是（ ）
①當，共面時，直線
②當時，，兩點不可能重合
③當，是異面直線時，直線一定與平行
④可能存在直線與垂直
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【題型6 平行問題的綜合應用】
【方法點撥】
在立體幾何中常見的平行關系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關系不是孤立的，而是相互
聯系，并且可以相互轉化的.所以要解決平行關系的綜合問題，必須要靈活運用三種平行關系的相互轉化.
【例6】（2022秋·陜西渭南·高一期末）如圖，在三棱柱中，分別為的中點，．求證：
(1)平面；
(2)平面平面．
【變式6-1】（2022秋·河北唐山·高二階段練習）如圖，在正方體中，是的中點，分別是的中點，求證：
(1)平面；
(2)平面平面.
【變式6-2】（2022春·山東聊城·高一期中）如圖：在正方體中，為的中點.
(1)求證： 平面；
(2)若為的中點，求證：平面 平面.
【變式6-3】（2022春·山東聊城·高一期中）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點．
(1)求證：∥平面；
(2)求證：平面∥平面；
(3)設平面與底面的交線為l，求證：．專題8.9 空間直線、平面的平行（重難點題型精講）
1．直線與直線平行
(1)基本事實4
①自然語言：平行于同一條直線的兩條直線平行.
②符號語言：a,b,c是三條不同的直線，若a∥b，b∥c，則a∥c.
③作用：判斷或證明空間中兩條直線平行.
(2)空間等角定理
①自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.
②符號語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'
或∠AOB+∠A'O'B'=.
2．直線與平面平行
(1)判定定理
①自然語言
如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.
②圖形語言
③符號語言
.
該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.
(2)性質定理
①自然語言
一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.
②圖形語言
③符號語言
.
該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.
(3)性質定理的作用
①作為證明線線平行的依據.當證明線線平行時，可以證明其中一條直線平行于一個平面，另一條直線是過第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.
②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據.如果一條直線平行于一個平面，要在平面內畫一條直線與已知直線平行，可以過已知直線作一個平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.
3．平面與平面平行
(1)判定定理
①自然語言
如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.
②圖形語言
③符號語售
.
該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.
(2)判定定理的推論
①自然語言
如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面平行.
②圖形語言
③符號語言
.
(3)性質定理
①自然語言
兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.
②圖形語言
③符號語言
.
該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.
(4)兩個平面平行的其他性質
①兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線都平行于另一個平面.
②平行直線被兩個平行平面所截的線段長度相等.
③經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.
④兩條直線同時被三個平行平面所截，截得的線段對應成比例.
⑤如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.
4．平行關系的相互轉化及綜合應用
(1)證明線線平行的常用方法
①利用線線平行的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線是平行直線.
②利用基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.
③利用三角形的中位線定理：三角形的中位線平行且等于底邊的一半.
④利用平行線分線段成比例定理.
⑤利用線面平行的性質定理.
⑥利用面面平行的性質定理.
⑦利用反證法：假設兩條直線不平行，然后推出矛盾，進而得出兩條直線是平行的.
(2)證明線面平行的常用方法
①利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點.
②利用直線與平面平行的判定定理：a，a∥b，b，則a∥.使用定理時，一定要說明“平面外
一條直線與此平面內的一條直線平行”，若不注明，則證明過程不完整.因此，要證明a∥，則必須在平面內找一條直線b，使得a∥b，從而達到證明的目的，這三個條件缺一不可.
③利用面面平行的性質：若平面∥平面，直線a，則a∥.
④利用反證法.這時“平行”的否定有“在平面內”和“與平面相交”兩種，只有在排除“直線在平面內”和“直線與平面相交”這兩種位置關系后才能得到“直線與平面平行”的結論，在這一點上往往容易出錯，應引起重視.
(3)平面與平面平行的判定方法
①根據定義：證明兩個平面沒有公共點，但有時直接證明非常困難.
②根據判定定理：要證明兩個平面平行，只需在其中一個平面內找兩條相交直線，分別證明它們平行
于另一個平面，則這兩個平面平行.
③根據判定定理的推論：在一個平面內找到兩條相交的直線分別與另一個平面內兩條相交的直線平行，
則這兩個平面平行.
④根據平面平行的傳遞性：若兩個平面都平行于第三個平面，則這兩個平面平行.
⑤利用反證法.
(4)平行關系的相互轉化
常見的平行關系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種關系不是孤立的，而是相互聯系、相互轉
化的，如圖所示.
【題型1 證明線線平行】
【方法點撥】
掌握線線平行的判定方法，結合題目條件，進行求解，即可證明線線平行.
【例1】（2023·上海·高二專題練習）若，且，與方向相同，則下列結論正確的有（ ）
A．且方向相同 B．，方向可能不同
C．OB與不平行 D．OB與不一定平行
【解題思路】畫出圖形，當滿足題目中的條件時，出現的情況有哪些，即可得出結論．
【解答過程】解：如圖，
；
當∠AOB=∠A1O1B1時，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，
OB與O1B1是不一定平行．
故選：D．
【變式1-1】（2022·全國·高一專題練習）如圖，在正方體中，直線平面，且直線與直線不平行，則下列一定不可能的是（ ）
A．l與AD平行 B．l與AD不平行 C．l與AC平行 D．l與BD平行
【解題思路】假設，通過平行線的傳遞性推出與題中條件相反的結論來說明直線與直線一定不平行；當與平行時，選項C正確；當與平行時，選項D正確.
【解答過程】假設，則由，知，
這與直線與直線不平行矛盾，
所以直線與直線不平行.
故選：A.
【變式1-2】（2022·全國·高一專題練習）如圖所示，在長方體AC1中，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（ ）
A．3條 B．4條
C．5條 D．6條
【解題思路】由E，F分別是B1O，C1O的中點，故EF∥B1C1，結合正方體的結構特征，即可求解.
【解答過程】由于E，F分別是B1O，C1O的中點，故EF∥B1C1，
因為與棱B1C1平行的棱還有3條：AD, BC，A1D1，所以共有4條.
故選：B.
【變式1-3】（2022春·高一課時練習）如圖，在三棱錐中，分別為線段的中點，則下列說法正確的是
A． B． C． D．
【解題思路】由平行公理即可得解.
【解答過程】由題意結合三角形中位線的性質可得：，
由平行公理可得：.
故選C.
【題型2 直線與平面平行的判定】
【方法點撥】
使用直線與平面平行的判定定理時，關鍵是在平面內找到一條與已知直線平行的直線，具體操作中，我們
可以利用幾何體的特征，合理利用中位線定理，或者構造平行四邊形等證明兩直線平行.
【例2】（2023·高一課時練習）已知A、B、C、D是不共面四點，M、N分別是、的重心．以下平面中與直線平行的是（ ）
①平面； ②平面； ③平面； ④平面．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【解題思路】由已知以及重心定理可推得，進而得到，根據線面平行的判定定理可得①②正確；進而可判斷直線與平面以及平面相交，即可得出③④錯誤.
【解答過程】
如圖，取中點為，連結、.
由已知以及重心定理可得，，，則，.
所以，所以.
因為平面，平面，所以平面，故①正確；
因為平面，平面，所以平面，故②正確；
因為平面，平面，所以與平面不平行，故③錯誤；
因為平面，平面，所以與平面不平行，故④錯誤.
故選：B.
【變式2-1】（2022秋·內蒙古呼和浩特·高二期中）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用線面平行判定定理可知B，C，D均不滿足題意，A選項可證明出直線AB與平面MNQ不平行，從而可得答案.
【解答過程】對于選項B，如圖1，連接CD，
因為M，N，Q為所在棱的中點，所以CDMQ，
由于ABCD，所以ABMQ，
因為平面，平面，所以AB平面MNQ，
B選項不滿足題意；
對于選項C，如圖2，連接CD，
因為M，N，Q為所在棱的中點，所以CDMQ，
由于ABCD，所以ABMQ，
因為平面，平面，所以AB平面MNQ，
C選項不滿足題意；
對于選項D，如圖3，連接CD，
因為M，N，Q為所在棱的中點，所以CDNQ，
由于ABCD，所以ABNQ，
因為平面，平面，所以AB平面MNQ，
可知D不滿足題意；
如圖4，取BC的中點D，連接QD，
因為Q是AC的中點，
所以QDAB，
由于QD與平面MNQ相交，故AB與平面MNQ不平行，
A正確.
故選：A.
【變式2-2】（2022秋·廣東湛江·高三統考階段練習）如圖，在長方體中，M是棱的中點，則（ ）
A．平面 B．平面BDM
C．平面 D．平面
【解題思路】作出過點的正方體的截面判斷A；作出過點的正方體的截面判斷B；作出過點的正方體的截面判斷C；作出過點的正方體的截面判斷D作答.
【解答過程】在長方體中，M是棱的中點，
對于A，取中點N，連接，如圖，
正方體的對角面是矩形，，即平面，
而與BN相交，則與平面有公共點，A不正確；
對于B，取中點P，連接，如圖，
正方體的對角面是矩形，，而，
又都在平面內，則與MP相交，因此與平面有公共點，B不正確；
對于C，取中點Q，連接，如圖，
，則，四邊形是平行四邊形，
因此，又平面，則BM與平面相交，C不正確；
對于D，取中點Q，中點O，連接，如圖，
正方形中，，則四邊形是平行四邊形，有，
正方形中，，即四邊形是平行四邊形，有，
又，四邊形是平行四邊形，則，
因平面，平面，平面，D正確.
故選：D.
【變式2-3】（2022秋·四川·高二階段練習）如圖，正方體中，E為的中點，則下列直線中與平面AEC平行的是（ ）
A． B． C． D．EO
【解題思路】根據線面平行的判定定理即可得出答案.
【解答過程】解：對于A，因為直線與平面AEC交于點，故不平行；
對于B，因為直線與平面AEC交于點，故不平行；
對于C，在正方體中，
因為E為的中點，為的中點，
所以，
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC；
對于D，因為平面AEC，故不平行.
故選：C.
【題型3 平面與平面平行的判定】
【方法點撥】
第一步：在一個平面內找出兩條相交直線；
第二步：證明這兩條相交直線分別平行于另一個平面；
第三步：利用平面與平面平行的判定定理得出結論.
【例3】（2022·全國·高三專題練習）下列四個正方體中，、、為所在棱的中點，則能得出平面平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用反證法可判斷A選項；利用面面平行的判定定理可判斷B選項；利用反證法結合面面平行的性質可判斷C選項；利用面面平行的判定和性質定理、結合反證法可判斷D選項.
【解答過程】對于A選項，若平面平面，平面，則平面，
由圖可知與平面相交，故平面與平面不平行，A不滿足條件；
對于B選項，如下圖所示，連接，
因為、分別為、的中點，則，
在正方體中，且，
故四邊形為平行四邊形，所以，，，
平面，平面，平面，
同理可證平面，，因此，平面平面，B滿足條件；
對于C選項，如下圖所示：
在正方體中，若平面平面，且平面平面，
則平面平面，但這與平面與平面相交矛盾，
因此，平面與平面不平行，C不滿足條件；
對于D選項，在正方體中，連接、、，如下圖所示：
因為且，則四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，所以，平面，
同理可證平面，，所以，平面平面，
若平面平面，則平面平面，
這與平面與平面相交矛盾，故平面與平面不平行，D不滿足條件.
故選：B.
【變式3-1】（2022秋·北京海淀·高二期中）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有（ ）
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【解題思路】根據題意，結合圖形，分別判斷選項中的命題是否正確即可．
【解答過程】易知GH∥D1C，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故選項A錯誤；
易知EF∥A1B，與選項A同理，可判斷選項B錯誤；
因為EF∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，所以平面EFGH與平面ABCD相交，選項C錯誤；
對于，平面平面，理由是：
由，，，分別是棱，，，的中點，
得出，，
所以平面，平面，
又，所以平面平面．
故選：．
【變式3-2】（2022·浙江·高三專題練習）如圖所示，在正方體中，點，，，分別為棱，，，上的中點，下列判斷正確的是（ ）
A．直線平面 B．直線面
C．平面平面 D．平面平面
【解題思路】根據平面的基本性質做出截面，如圖所示，然后根據線面平行的定義否定AB,根據面面平行的定義否定C,利用面面平行的判定定理證得D.
【解答過程】過點，，的截面如圖所示(，，均為中點)，
所以直線與其相交于點，
故A項錯誤；
直線與直線在平面必定相交，故B項錯誤；
直線與直線相交，
故平面與平面不平行，C項錯誤；
易得直線直線，直線直線，
又∵,所以平面平面.
故選:D.
【變式3-3】（2022春·湖北·高二階段練習）如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】延拓過點三點的平面，再根據平面與平面的判定定理，即可容易判斷選擇.
【解答過程】由題意可知經過P、Q、R三點的平面即為平面，如下圖所示：
對選項：可知N在經過P、Q、R三點的平面上，所以B、C錯誤；
對：MC1與是相交直線，所以A不正確；
對：因為//，，//，
又容易知也相交，
平面；平面，
故平面//平面
故選：.
【題型4 線面平行性質定理的應用】
【方法點撥】
應用線面平行的性質定理時，關鍵是過已知直線作輔助平面與已知平面相交，所得交線與已知直線平行.還
可以利用交線判斷已知平面內任意一條直線與已知直線的位置關系，即在已知平面內，所有與交線平行的
直線都與已知直線平行，所有與交線相交的直線都與已知直線異面.
【例4】（2022春·浙江·高一期中）下列命題中正確的是（ ）
A．如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內的任意一條直線平行
B．平面內有不共線的三個點A，B，C到平面的距離相等，則
C．，，則
D．，，，則
【解題思路】根據線面平行的判斷和性質理解辨析.
【解答過程】對于A：若一條直線與一個平面平行，這條直線與平面內的無數條直線平行，但不是任意一條，A錯誤；
對于B：由題意可得：或與相交，B錯誤；
對于C：根據題意可得：或，C錯誤；
對于D：∵，則，使得，則，
∴，
，
∴，D正確；
故選：D.
【變式4-1】（2022·全國·高三專題練習）已知直三棱柱 的側棱和底面邊長均為 分別是棱 上的點， 且 ， 當 平面 時， 的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】過作交于，利用線面平行的性質可得 ，進而可得四邊形為平行四邊形，，即得.
【解答過程】過作交于，連接，
因為，∴，故共面,
因為 平面 ，平面平面 ，平面，
所以 ，又,
∴四邊形為平行四邊形，
又，
∴，
所以.
故選：B．
【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習）若直線平面，，且直線與點位于的兩側，，，，分別交平面于點，，若，，，則的長為（ ）
A．3 B． C． D．
【解題思路】根據線面平行可得線線平行，從而可求.
【解答過程】∵，平面，平面，
∴，∴，即，∴.
故選：B.
【變式4-3】（2022春·江西南昌·高二階段練習）如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱的中點，點G為的交點，若點F在線段上，且滿足平面，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解題思路】結合線面平行的性質定理證得，結合三角形的重心求得.
【解答過程】由于平面，平面，平面平面，
根據線面平行的性質定理可知.
由于點D，E分別為棱的中點，點G為的交點，
所以是三角形的重心，
所以.
故選：C.
【題型5 面面平行性質定理的應用】
【方法點撥】
應用面面平行的性質定理時，找出一個平面中的一條直線，則該直線與另一個平面平行，據此可解題.
【例5】（2022·高一課時練習）如圖，在四棱柱中，平面平面，且，則四邊形的形狀是（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【解題思路】根據平行關系可知四點共面，由面面平行的性質可證得，由此可得結論.
【解答過程】，四點共面；
平面平面，平面平面，平面平面，，
四邊形為平行四邊形.
故選：A.
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知平面平面，點為，外一點，直線，分別與，相交于，和，，則與的位置關系為（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面
【解題思路】由題設知，，，，共面，根據面面平行的性質，可證與的位置關系.
【解答過程】解：由題意知，，，，在同一平面內，且平面平面，平面平面，且，∴，
故選：A．
【變式5-2】（2022春·四川成都·高二期末）若平面平面，直線，則直線與平面的位置關系是（ ）
A．相交 B．平行 C．在內 D．無法判定
【解題思路】由面面平行可直接得到結果.
【解答過程】由面面平行的性質可知：當平面平面，直線時，.
故選：B.
【變式5-3】（2022·高一課時練習）如圖，平面平面，，是內不同的兩點，，是內不同的兩點，，分別是線段，的中點，則下列所有正確判斷的編號是（ ）
①當，共面時，直線
②當時，，兩點不可能重合
③當，是異面直線時，直線一定與平行
④可能存在直線與垂直
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【解題思路】對于①，由面面平行的性質定理判斷即可，對于②，如圖判斷，對于③④，連接，取的中點，連接，則可得平面與平面都平行，從而可進行判斷
【解答過程】解：對于①，當，共面時，則平面平面，平面平面，因為平面平面，所以，所以①正確；
對于②，如圖，當時，成立，而此時，兩點重合，所以②錯誤；
對于③，如圖，連接，取的中點，連接，因為，分別是線段，的中點，所以∥，∥，因為，，所以∥，∥，因為平面平面，所以∥，因為，所以平面∥，平面∥，因為平面，所以直線一定與平行，所以③正確，
對于④，由①可知，當，共面時，∥，因為，所以∥，由③可知，當，是異面直線時，直線一定與平行，綜上，∥，所以④錯誤，
故選：A.
【題型6 平行問題的綜合應用】
【方法點撥】
在立體幾何中常見的平行關系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關系不是孤立的，而是相互
聯系，并且可以相互轉化的.所以要解決平行關系的綜合問題，必須要靈活運用三種平行關系的相互轉化.
【例6】（2022秋·陜西渭南·高一期末）如圖，在三棱柱中，分別為的中點，．求證：
(1)平面；
(2)平面平面．
【解題思路】（1）根據線面平行的判定定理證得平面；
（2）根據面面平行的判定定理證得平面平面．
【解答過程】（1）在三棱柱中，分別為的中點，
，
平面平面，
平面．
（2）平面，平面，
平面．
分別為的中點，，
，且．
四邊形是平行四邊形．
．
又平面平面，
平面．
又平面，
平面平面．
【變式6-1】（2022秋·河北唐山·高二階段練習）如圖，在正方體中，是的中點，分別是的中點，求證：
(1)平面；
(2)平面平面.
【解題思路】(1)利用線面平行的判定定理即可證明；(2)利用面面平行的判定定理證明.
【解答過程】（1）
如圖，連接，∵分別是的中點，∴ .
又∵平面，平面，∴直線平面.
（2）連接SD，∵分別是 的中點，
∴.又∵平面，平面，
∴平面，由(1)知，平面，
且平面，平面，，
∴平面∥平面.
【變式6-2】（2022春·山東聊城·高一期中）如圖：在正方體中，為的中點.
(1)求證： 平面；
(2)若為的中點，求證：平面 平面.
【解題思路】（1）設，接，證明，再根據線面平行的判定定理即可得證；
（2）證明四邊形為平行四邊形，從而可得，即可證得 平面，再根據面面平行的判定定理即可得證.
【解答過程】（1）證明：設，接，
在正方體中，四邊形是正方形，是中點，
是的中點，，
平面平面
平面；
（2）證明：為的中點，為的中點，
，
四邊形為平行四邊形，，
又平面平面 平面，
由（1）知 平面平面平面，
平面 平面.
【變式6-3】（2022春·山東聊城·高一期中）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點．
(1)求證：∥平面；
(2)求證：平面∥平面；
(3)設平面與底面的交線為l，求證：．
【解題思路】（1）取的中點，連接，結合四棱柱的幾何性質，由線線平行證明即可；
（2）由線線平行證平面，結合平面即可證平面平面；
（3）由線面平行證線線平行即可.
【解答過程】（1）取的中點，連接，
∵是四棱柱，∴，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
又平面平面，∴平面．
（2）∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，
∵平面平面，∴平面，
由（1）得平面且，平面，
∴平面平面．
（3）由（2）得：平面，
又平面，平面平面，∴．

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