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專題8.13 空間直線、平面的垂直（二）（重難點題型精講）
1．二面角
(1) 二面角的定義
①半平面：平面內的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.
②二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個
半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱為AB，面分別為，的二面角記作二面角-AB-，如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角
-l-，如圖(1).
②若在，內分別取不在棱上的點P，Q，這個二面角可記作二面角P-AB-Q，如果棱記作l，那么這
個二面角記作二面角P-l-Q，如圖(2).
(3)二面角的平面角
①自然語言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線 OA 和
OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②圖形語言
③符號語言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②當二面角的兩個半平面重合時，規定二面角的大小是；當二面角的兩個半平面合成一個平面時，
規定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范圍是.
2．面面垂直的定義及判定定理
(1)平面與平面垂直的定義
一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面與垂
直，記作⊥.
(2)兩個平面互相垂直的畫法
如圖，畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直.
(3)平面與平面垂直的判定定理
①自然語言
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.
②圖形語言
③符號語言
.
該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.
3．平面與平面垂直的性質定理
(1)平面與平面垂直的性質定理
①自然語言
兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.
②圖形語言
③符號語言
.
(2)性質定理的作用
①證明線面垂直、線線垂直；
②構造面的垂線.
4．直線、平面位置關系中的相關結論及其轉化
(1)判定直線與直線垂直的方法
①定義法：兩條直線所成的角為，則這兩條直線互相垂直.
②利用直線與平面垂直的性質來判定.
③若一條直線垂直于兩平行直線中的一條，則該直線也垂直于另一條.
(2)判定直線與平面垂直的方法
①定義法：一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則該直線與這個平面垂直.
②利用直線與平面垂直的判定定理來判定.
③利用平面與平面垂直的性質定理來判定.
④如果兩平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，即a∥b，a⊥b⊥.
⑤如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么該直線也垂直于另一個平面，即∥，a⊥
a⊥.
(3)平面與平面垂直的其他性質與結論
①如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內.
②如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.
③如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內.
④如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.
⑤三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.
(4)線、面垂直位置關系的相互轉化
(5)平行關系與垂直關系的相互轉化
【題型1 求二面角】
【方法點撥】
求二面角的關鍵是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂線法來作平面角，即
過二面角的一個半平面內不在棱上的一點作另一個半平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找
到二面角的平面角或其補角.
【例1】（2022秋·貴州遵義·高二期末）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點H為線段PB上一點（不含端點），平面AHC⊥平面PAB．
(1)證明：；
(2)若，四棱椎P－ABCD的體積為，求二面角P－BC－A的余弦值．
【解題思路】（1）利用面面垂直性質定理與線面垂直性質定理，結合公理2，可得線面垂直，可得答案；
（2）根據二面角的平面角定義作圖，利用等面積法以及棱錐體積公式，求得邊長，結合直角三角形的性質，可得答案.
【解答過程】（1）平面，且平面，過點所有垂直于的直線都在平面內，
平面平面，且平面，存在一條過的直線平面，且平面，
平面，，則平面，平面平面，與為同一條直線，
即平面，平面，.
（2）在平面內，過作，且，連接，作圖如下：
平面，且平面，，同理可得，
，，平面，平面，
平面，為二面角的平面角，
在中，，且，則，
在四棱錐中，底面的面積，則其體積，解得，
在中，，
故二面角的余弦值為.
【變式1-1】（2023·高一課時練習）已知平面ABCD，ABCD是正方形，異面直線PB與CD所成的角為．
(1)二面角的大小；
(2)直線與平面所成的角的大小．
【解題思路】（1）作于E，連接ED，由已知推導出就是二面角的平面角，由此根據余弦定理得出，即可得出答案；
（2）還原棱錐為正方體，作于F，連接，即可推導出就是直線與平面所成的角，即可求出答案.
【解答過程】（1）ABCD是正方形，
，
就是異面直線PB與CD所成的角，即，
平面ABCD，平面ABCD，
，
，
作于E，連接ED，
在與中，，，，
，
，
就是二面角的平面角，
設，則，，
則，
則，即，
二面角的大小為；
（2）還原棱錐為正方體，作于F，
平面平面，
，
平面，
連接，則就是直線與平面所成的角，
，，
，即，
直線與平面所成的角為.
【變式1-2】（2023春·江蘇常州·高三開學考試）如圖，在邊長為4的等邊三角形中，平行于的直線分別交線段于點.將沿著折起至，使得二面角是直二面角.
(1)若平面平面，求證：；
(2)若三棱錐的體積為1，求二面角的正弦值.
【解題思路】（1）利用線線平行證明線面平行，再利用線面平行的性質證明線線平行.
（2）由已知求證得分別為中點，利用二面角的定義，作輔助線，利用幾何法求二面角的正弦值.
【解答過程】（1）證明：，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
；
（2）設，過作于點，如圖所示，
二面角為直二面角，平面，
，解得，分別為中點，
過作于點，因為，，平面，
平面， ，
過作于點，連接，因為，
所以平面，所以
即為二面角的平面角的補角，
且，，，，
.
二面角的正弦值為.
【變式1-3】（2022秋·湖南郴州·高二階段練習）已知三棱錐的底面是邊長為2的等邊三角形，平面，，點為線段上一動點.
(1)當點為中點時，證明：；
(2)當平面與平面所成二面角為時，試確定點的位置.
【解題思路】（1）設E為的中點，連接,證明平面，根據線面垂直的性質定理即可證明結論；
（2）作出平面與平面所成二面角的平面角，利用平面角的度數求得相關線段的長，計算，即可確定定點的位置.
【解答過程】（1）設E為的中點，連接,
由于點為中點，故,而平面，故平面，
平面，故;
又底面是等邊三角形，故 ,而平面，
所以平面，又平面，
故即 .
（2）如圖，過點M作,垂足為N,由于平面，平面，
故,且平面,故,則平面，
而平面，故,
作,垂足為F,連接,平面，
故平面，平面,所以,
又平面,平面,
即為平面與平面所成二面角的平面角，即，
設，則，因為，故,,
又底面是等邊三角形，，故，
而 ,故，
則，而,故,
即M點位于的處，即.
【題型2 面面垂直判定定理的應用】
【方法點撥】
利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從現有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通
過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過作輔助線來證明.
【例2】（2023·河南鄭州·統考一模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，⊥，，，，點E為棱PC的中點．
(1)證明：平面⊥平面PCD；
(2)求四棱錐的體積；
【解題思路】（1）作出輔助線，由線面垂直得到線線垂直，由勾股定理得到各邊長，得到和，從而得到線面垂直，證明面面垂直；
（2）求出四棱錐的體積，進而由E為棱PC的中點得到四棱錐的體積.
【解答過程】（1）∵在四棱錐中，底面，平面ABCD，
∴PA⊥AB，
∵，，
∴，
，且，
過點B作BM⊥CD于點M，連接AE，則，，
由勾股定理得：，
故PB=BC，
又點為棱的中點，，
由勾股定理得，
∵△PAC為直角三角形，E為PC的中點，
∴，
∵，
∴由得，
又，
故，又，
所以平面⊥平面；
（2）四邊形ABCD的面積為，
故，
∵點為棱的中點，
∴.
【變式2-1】如圖，四棱錐，平面平面，，，，，，E為PC中點．
(1)求證：直線 平面PAD；
(2)平面平面PDC．
【解題思路】(1)取中點證明平行四邊形，應用線面平行判定定理證明即可；
(2)先證明線面垂直，再應用面面垂直判斷定理證明.
【解答過程】（1）取PD中點F，連接EF，AF，由E為PC中點，
∴，又，∴，故四邊形ABEF為平行四邊形，
∴，
又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．
（2）由已知有，，，平面APD，平面APD，
∴平面APD，又平面APD，∴，
，，又，
∴，，平面PDC, 平面PDC
∴平面PDC，又，∴平面PDC，
又平面PBC，所以平面平面PDC．
【變式2-2】（2023春·河南·高三開學考試）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別是和的中點.
(1)求證：平面平面；
(2)求三棱錐的體積.
【解題思路】（1）由線線垂直證線面垂直，再證面面垂直；
（2）由等體積法求體積，.
【解答過程】（1）連接，因為，，
所以.
因為是的中點，所以.
因為，是的中點，所以.
因為，且平面，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
（2）因為，平面，平面，所以平面，
所以，
，
設G為BC的中點，
因為，所以，
由條件知，，所以，
所以，所以.
【變式2-3】（2023·貴州畢節·統考一模）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別為，的中點，與交于點，，，為上一點，．
(1)證明：，，，四點共面；
(2)求證：平面平面．
【解題思路】（1）根據三角形中等比例性質證明，再證明，從而，所以，，，四點共面；
（2）先通過線面垂直性質定理證明，再由勾股定理證明，最后由線面垂直證明面面垂直
【解答過程】（1）證明：連接
四邊形是矩形，為的中點，
且，
，
，
，
，
，
，分別是，的中點，
，
，
，，，四點共面．
（2）證明：底面且平面，
，
，，為中點，
，，，
，，
，
，，
，平面，平面，平面，
平面，
平面.
【題型3 面面垂直性質定理的應用】
【方法點撥】
在運用面面垂直的性質定理時，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平
面內一點作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直.
【例3】（2022春·云南文山·高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面底面分別為的中點..
(1)求證：直線平面；
(2)求三棱錐的體積.
【解題思路】（1）在梯形中證明是矩形，得，然后由面面垂直的性質定理得與平面垂直，從而有，由此得證線面垂直．
（2）由棱錐的體積公式轉化計算：．
【解答過程】（1）因為為的中點，，所以，
又因為，所以四邊形為平行四邊形，
因為，所以平行四邊形是矩形，所以，
因為，所以，
又因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，因為平面，所以，
又因為平面，所以平面.
（2）因為，
所以，
由平面為中點，所以點到平面的距離等于，
所以.
【變式3-1】（2023春·青海西寧·高三開學考試）如圖，在三棱柱中，為邊長為的正三角形，為的中點，，且，平面平面.
(1)證明：；
(2)求三棱錐的體積.
【解題思路】（1）在中，利用余弦定理可求得，根據勾股定理可證得，由面面垂直和線面垂直的性質可證得結論；
（2）由面面平行性質可知點到平面的距離即為點到平面的距離，利用體積橋，結合棱錐體積公式可求得結果.
【解答過程】（1）為中點，，，又，，
，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
（2）由三棱柱結構特征可知：平面平面，
點到平面的距離即為點到平面的距離，
又，
.
【變式3-2】（2023·四川南充·四川模擬預測）如圖， 在平行六面體 中，分別是的中點， 側面平面．
(1)求證：平面;
(2)試求三棱錐 體積．
【解題思路】（1）根據線面平行的判定定理證明即可；
（2）根面面垂直的性質定理結合等體積計算即可.
【解答過程】（1）取的中點為，連接．
在和中， 因為分別是的中點，
所以 ，且，
又在平行六面體中，，所以，
因此四邊形為平行四邊形，所以，
又因平面平面， 所以平面．
（2）由（1）知 平面知， 點到平面的距離相等，
所以 ，
在三角形 中，，
，
過點作于，因側面平面，
側面平面，平面，
所以 平面， 因， 平面，
平面，所以平面，
因此點到平面的距離相等， 則的長為點到平面的距離，，
所以.
【變式3-3】（2023·陜西寶雞·模擬預測）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，四邊形是邊長為2的菱形，為等邊三角形，，E為BC的中點，D為的中點，P為線段AC上的動點．
(1)若平面，請確定點在線段上的位置；
(2)若點為的中點，求三棱錐的體積．
【解題思路】（1）連接與DE相交于，連接，連接交于點，由線面平行的性質得到，再根據三角形相似得到，，從而得到，即可得到，從而得解；
（2）取的中點，連接，，即可得到，再由面面垂直的性質得到平面，求出的長度，即可得到點到平面的距離，從而得到點到平面的距離，最后根據錐體的體積公式計算可得.
【解答過程】（1）解：如圖，連接與相交于，連接，連接交于點，
∵平面，平面平面，平面，
∴，
∵，，
∴，，又，所以，
∵，，
∴，
∴點是線段上靠近點的四等分點；
（2）解：如圖，取的中點，連接，，
∵四邊形為邊長為2的菱形，，
∴，為等邊三角形，
∵，為等邊三角形，∴，
∵平面平面，平面平面，，
平面，
∴平面，
又由，為的中點，為的中點，可得，
∵四邊形為邊長為2的菱形，為等邊三角形，，
∴，
∵D為的中點，平面平面，
∴點到平面的距離與點到平面的距離相等，
∴，
∵為的中點，∴點到平面的距離為，
∴三棱錐的體積為．
【題型4 垂直關系的相互轉化】
【方法點撥】
在有關垂直問題的證明過程中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化.因此，判定定理與性質定
理的合理應用是證明垂直問題的關鍵.
【例4】（2023秋·四川內江·高二期末）如圖，正方形和直角梯形所在的平面互相垂直，，，．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的大小．
【解題思路】（1）設正方形的對角線與交于，連接、，利用勾股定理逆定理推導出，，再利用線面垂直的判定定理可證得結論成立；
（2）分析可知直線與平面所成角為，求出的正弦值，即可求得的大小.
【解答過程】（1）證明：設正方形的對角線與交于，連接、，
因為平面平面，平面平面，，平面，
平面，
因為四邊形是邊長為的正方形，則，
在直角梯形中，，為的中點，則且，
又因為，，故四邊形是邊長為的正方形，所以，，
所以，平面，且，
平面，，則，
所以，，，
平面，平面，，
，，，
，、平面，平面.
（2）解：由（1）可知，平面，所以，直線與平面所成角為，
，，
又因為，故，因此，直線與平面所成角為.
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，為圓的直徑，是圓上不同于、的動點，四邊形為矩形，平面平面，是的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面．
【解題思路】（1）取的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；
（2）利用面面垂直的性質定理可得出平面，可得出，由圓的幾何性質可得，利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結論成立.
【解答過程】（1）證明：取的中點，連接、，
、分別為、的中點，則且，
因為四邊形為矩形，則且，
為的中點，則且，所以，且，
所以，四邊形為平行四邊形，所以，，
平面，平面，平面.
（2）解：四邊形為矩形，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
因為為圓的直徑，是圓上不同于、的動點，則，
，、平面，平面，
平面，所以，平面平面.
【變式4-2】（2022秋·河南·高三階段練習）如圖，在平行四邊形中，，．以為折痕將折起，使點到達點的位置，分別為的中點．
(1)證明：；
(2)設，求．
【解題思路】（1）取的中點，由平行關系可得，由線面垂直判定可得平面，由線面垂直性質可得結論；
（2）利用余弦定理可求得，得到；由線面垂直的判定可知平面，由此得到平面平面；作，由面面垂直性質可得平面，從而得到，利用勾股定理可求得結果.
【解答過程】（1）取的中點，連接，
，，；
，，；
又，平面，平面，
又平面，.
（2）在中，，；
由余弦定理得：，則，
，，；
，，，平面，
平面，又平面，平面平面；
作，垂足為，連接，
平面，平面平面，平面，
又平面，，
，，
，，
，，，，，，
由余弦定理得：；
在中，．
【變式4-3】（2022秋·江蘇南通·高二期中）在正四棱柱中，已知，，E為棱的中點．
(1)求證：；
(2)求與平面所成角的余弦值．
【解題思路】（1）要證明線線垂直，轉化為證明線面垂直，即證明面；
（2）首先證明平面平面，說明為所求角，再根據余弦定理求解.
【解答過程】（1）連結AC交BD于點O，連結．
在正四棱柱中，面ABCD，
又∵ABCD，∴
∵四邊形ABCD為正方形，∴
又∵，，面，∴面，又∵面
∴
（2）由（1）知：面，又平面，∴平面平面，
又面面，
∴為直線與平面所成的平面角，
∵正四棱柱中，，，
分別在，，中，
解得，，
所以，
故與平面所成角的余弦值為．
【題型5 點、線、面的距離問題】
【方法點撥】
結合具體條件，根據點到平面的距離、線面距、面面距的定義，進行轉化求解即可.
【例5】（2023·陜西咸陽·校考一模）如圖，直三棱柱中，，為上的中點.
(1)證明：平面平面;
(2)若，求點到平面的距離.
【解題思路】（1）分別取的中點，連接，進而證明，再證明平面即可證明結論；
（2）由題知平面，進而根據等體積法計算即可得答案.
【解答過程】（1）證明：分別取的中點，連接
所以，，
因為為上的中點，
所以，
所以，，
所以，四邊形是平行四邊形，即
因為，是的中點，
所以，
因為在直三棱柱中,平面，平面，
所以，
因為平面
所以平面
又
所以平面，而平面
所以平面平面；
（2）解：因為在直三棱柱中,平面，平面，
所以，
因為，所以，即,
因為平面
所以平面，即平面，
設點到面的距離為
所以，在三棱錐中，因為，即
因為，
所以
在中，，得
所以，，得
所以，點到平面的距離為.
【變式5-1】（2023秋·重慶巫山·高二期末）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中點為F.
(1)求證：平面；
(2)求直線到面的距離.
【解題思路】（1）連接BD交AC于O，連接FO，得，根據線面平行的判定可得平面；
（2）根據線面平行，將線到面的距離化為點到面的距離，再根據等體積法可求出結果.
【解答過程】（1）連接BD交AC于O，連接FO，
∵F為AD的中點，O為BD的中點，則，
∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF.
（2）因為平面平面ABCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD.
由于平面ACF，則PB到平面ACF的距離，即P到平面ACF的距離.
又因為F為PD的中點，點P到平面ACF的距離與點D到平面ACF的距離相等.
取AD的中點E，連接EF，CE，
則，因為平面ABCD，所以平面ABCD，
因為平面，所以，
因為菱形且，，
所以，，
則，，，，
設點D到平面ACF的距離為，由得
，
即直線PB到平面ACF的距離為.
【變式5-2】（2023·河南·高三階段練習）如圖，在四棱錐P—ABCD中， ，，．
(1)證明：；
(2)若，， ，且點到平面的距離為，求的長．
【解題思路】（1）連接，利用線面垂直的判定定理證明平面，再結合線面垂直的性質得異面直線垂直即可；
（2）取的中點，連接，，過作于，利用且點到平面的距離為以及三角形等面積法求得的值，在利用直線與平面，平面與平面位置關系，證明四邊形為矩形，即可得的長.
【解答過程】（1）證明：如圖，連接，
∵，，，∴，
∴，即．
∵，，平面
∴平面，又平面，
∴．
（2）解：取的中點，連接PE，CE，過作于.
∵，為中點
∴，
由（1）知，為中點，∴，
∵，平面，
∴平面，又平面，
∴平面平面，又平面平面，，平面
∴平面，
由條件知．由（1）有平面，平面，∴，設，又，則，
∵，∴，得，∴．
∵，，，平面，
∴平面，又平面
∴，
∵，∴，∴四邊形為矩形，∴．
【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習）如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求點到平面的距離.
【解題思路】(1)利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明；(2) 利用，求得點B到平面的距離.
【解答過程】（1）證明：取的中點，連接交于，連接，，
因為是菱形，所以，且是的中點，
所以且，又，，
所以且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
又平面，平面，所以，
又因為，平面，
所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）設到平面的距離為，
因為平面，平面,所以,
因為,平面，所以平面，
且平面,所以,
因為，，所以，
所以,,
,
所以且,
所以,
取中點為，連接,因為是菱形，，
所以為等邊三角形，所以,且,
又因為平面，平面,所以,
且平面,
所以平面,
又因為,
因為，即,
所以.
【題型6 平行關系與垂直關系的綜合應用】
【方法點撥】
根據線、面平行的判定和性質、線、面垂直的判定和性質等知識，結合具體問題，進行求解即可.
【例6】（2023·河北·高三學業考試）如圖，已知矩形ABCD所在平面，BD與AC相交于O點，M，N分別是AB，PC的中點.
(1)求證：平面PAD；
(2)若，求證：平面PCD.
【解題思路】（1）利用線面平行判定定理即可證明平面PAD；
（2）先利用，求得，再利用線面垂直判定定理即可證明平面PCD.
【解答過程】（1）∵M，O分別是AB，BD的中點，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD.
（2）如圖，連接PM，MC，NO，
∵，∴.
由矩形ABCD所在平面，可得，
易證，得.
∵N為PC的中點，∴.
∵N，O分別是PC，AC的中點，∴.
∵平面ABCD，∴平面ABCD，又平面ABCD，
∴，∵，，∴.
又∵，平面MNO，平面MNO.
∴平面MNO,又∵平面MNO，∴.
又，，平面PCD，平面PCD
∴平面PCD.
【變式6-1】（2023秋·四川遂寧·高二期末）如圖，在四棱錐中，底面，且底面為正方形，，分別是的中點．
(1)求證：；
(2)求證：平面平面.
【解題思路】（1）利用線面垂直的判定定理證明出平面，進而可得，又，則結論成立；
（2）利用線面平行的判定定理證明出面，由（1）可得面，再由面面平行的判定定理得出結論成立．
【解答過程】（1）平面，平面，；
四邊形為正方形，；
平面，，平面，又平面，；
分別為的中點，，.
（2）四邊形為正方形，且分別為，邊的中點，，面，面，面，
由（1）知，面，面，面，又，平面平面．
【變式6-2】（2022·上海·模擬預測）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，點在平面內的射影為A，且，為中點.
(1)證明：平面
(2)證明：平面平面.
【解題思路】（1）由線線平行證線面平行；
（2）由線面垂直證，再證平面、平面平面.
【解答過程】（1）連接交于點，連接.
因為為中點，為中點，所以，
因為平面，平面，所以平面；
（2）因為點在平面內的射影為A，所以平面，
因為平面，所以.
又在正方形中，且，所以平面，
又平面，所以平面平面.
【變式6-3】（2023秋·廣東汕尾·高二期末）如圖，在正方體中，分別是的中點.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面.
【解題思路】（1）連接，證明E是中點，再利用三角形中位線定理及線面平行的判定推理作答.
（2）利用線面垂直的性質及判定證明平面，再利用面面垂直的判定作答.
【解答過程】（1）在正方體中, 連接，如圖，
因為為的中點，則是的中點，而是的中點，
則有，又平面平面，
所以平面.
（2）在正方體中，平面，四邊形是正方形，
因此，又，
于是平面，
而 平面，
所以平面平面.專題8.13 空間直線、平面的垂直（二）（重難點題型精講）
1．二面角
(1) 二面角的定義
①半平面：平面內的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.
②二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個
半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱為AB，面分別為，的二面角記作二面角-AB-，如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角
-l-，如圖(1).
②若在，內分別取不在棱上的點P，Q，這個二面角可記作二面角P-AB-Q，如果棱記作l，那么這
個二面角記作二面角P-l-Q，如圖(2).
(3)二面角的平面角
①自然語言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線 OA 和
OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②圖形語言
③符號語言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②當二面角的兩個半平面重合時，規定二面角的大小是；當二面角的兩個半平面合成一個平面時，
規定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范圍是.
2．面面垂直的定義及判定定理
(1)平面與平面垂直的定義
一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面與垂
直，記作⊥.
(2)兩個平面互相垂直的畫法
如圖，畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直.
(3)平面與平面垂直的判定定理
①自然語言
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.
②圖形語言
③符號語言
.
該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.
3．平面與平面垂直的性質定理
(1)平面與平面垂直的性質定理
①自然語言
兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.
②圖形語言
③符號語言
.
(2)性質定理的作用
①證明線面垂直、線線垂直；
②構造面的垂線.
4．直線、平面位置關系中的相關結論及其轉化
(1)判定直線與直線垂直的方法
①定義法：兩條直線所成的角為，則這兩條直線互相垂直.
②利用直線與平面垂直的性質來判定.
③若一條直線垂直于兩平行直線中的一條，則該直線也垂直于另一條.
(2)判定直線與平面垂直的方法
①定義法：一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則該直線與這個平面垂直.
②利用直線與平面垂直的判定定理來判定.
③利用平面與平面垂直的性質定理來判定.
④如果兩平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，即a∥b，a⊥b⊥.
⑤如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么該直線也垂直于另一個平面，即∥，a⊥
a⊥.
(3)平面與平面垂直的其他性質與結論
①如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內.
②如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.
③如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內.
④如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.
⑤三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.
(4)線、面垂直位置關系的相互轉化
(5)平行關系與垂直關系的相互轉化
【題型1 求二面角】
【方法點撥】
求二面角的關鍵是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂線法來作平面角，即
過二面角的一個半平面內不在棱上的一點作另一個半平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找
到二面角的平面角或其補角.
【例1】（2022秋·貴州遵義·高二期末）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點H為線段PB上一點（不含端點），平面AHC⊥平面PAB．
(1)證明：；
(2)若，四棱椎P－ABCD的體積為，求二面角P－BC－A的余弦值．
【變式1-1】（2023·高一課時練習）已知平面ABCD，ABCD是正方形，異面直線PB與CD所成的角為．
(1)二面角的大小；
(2)直線與平面所成的角的大小．
【變式1-2】（2023春·江蘇常州·高三開學考試）如圖，在邊長為4的等邊三角形中，平行于的直線分別交線段于點.將沿著折起至，使得二面角是直二面角.
(1)若平面平面，求證：；
(2)若三棱錐的體積為1，求二面角的正弦值.
【變式1-3】（2022秋·湖南郴州·高二階段練習）已知三棱錐的底面是邊長為2的等邊三角形，平面，，點為線段上一動點.
(1)當點為中點時，證明：；
(2)當平面與平面所成二面角為時，試確定點的位置.
【題型2 面面垂直判定定理的應用】
【方法點撥】
利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從現有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通
過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過作輔助線來證明.
【例2】（2023·河南鄭州·統考一模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，⊥，，，，點E為棱PC的中點．
(1)證明：平面⊥平面PCD；
(2)求四棱錐的體積；
【變式2-1】如圖，四棱錐，平面平面，，，，，，E為PC中點．
(1)求證：直線 平面PAD；
(2)平面平面PDC．
【變式2-2】（2023春·河南·高三開學考試）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別是和的中點.
(1)求證：平面平面；
(2)求三棱錐的體積.
【變式2-3】（2023·貴州畢節·統考一模）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別為，的中點，與交于點，，，為上一點，．
(1)證明：，，，四點共面；
(2)求證：平面平面．
【題型3 面面垂直性質定理的應用】
【方法點撥】
在運用面面垂直的性質定理時，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平
面內一點作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直.
【例3】（2022春·云南文山·高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面底面分別為的中點..
(1)求證：直線平面；
(2)求三棱錐的體積.
【變式3-1】（2023春·青海西寧·高三開學考試）如圖，在三棱柱中，為邊長為的正三角形，為的中點，，且，平面平面.
(1)證明：；
(2)求三棱錐的體積.
【變式3-2】（2023·四川南充·四川模擬預測）如圖， 在平行六面體 中，分別是的中點， 側面平面．
(1)求證：平面;
(2)試求三棱錐 體積．
【變式3-3】（2023·陜西寶雞·模擬預測）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，四邊形是邊長為2的菱形，為等邊三角形，，E為BC的中點，D為的中點，P為線段AC上的動點．
(1)若平面，請確定點在線段上的位置；
(2)若點為的中點，求三棱錐的體積．
【題型4 垂直關系的相互轉化】
【方法點撥】
在有關垂直問題的證明過程中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化.因此，判定定理與性質定
理的合理應用是證明垂直問題的關鍵.
【例4】（2023秋·四川內江·高二期末）如圖，正方形和直角梯形所在的平面互相垂直，，，．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的大小．
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，為圓的直徑，是圓上不同于、的動點，四邊形為矩形，平面平面，是的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面．
【變式4-2】（2022秋·河南·高三階段練習）如圖，在平行四邊形中，，．以為折痕將折起，使點到達點的位置，分別為的中點．
(1)證明：；
(2)設，求．
【變式4-3】（2022秋·江蘇南通·高二期中）在正四棱柱中，已知，，E為棱的中點．
(1)求證：；
(2)求與平面所成角的余弦值．
【題型5 點、線、面的距離問題】
【方法點撥】
結合具體條件，根據點到平面的距離、線面距、面面距的定義，進行轉化求解即可.
【例5】（2023·陜西咸陽·校考一模）如圖，直三棱柱中，，為上的中點.
(1)證明：平面平面;
(2)若，求點到平面的距離.
【變式5-1】（2023秋·重慶巫山·高二期末）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中點為F.
(1)求證：平面；
(2)求直線到面的距離.
【變式5-2】（2023·河南·高三階段練習）如圖，在四棱錐P—ABCD中， ，，．
(1)證明：；
(2)若，， ，且點到平面的距離為，求的長．
【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習）如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求點到平面的距離.
【題型6 平行關系與垂直關系的綜合應用】
【方法點撥】
根據線、面平行的判定和性質、線、面垂直的判定和性質等知識，結合具體問題，進行求解即可.
【例6】（2023·河北·高三學業考試）如圖，已知矩形ABCD所在平面，BD與AC相交于O點，M，N分別是AB，PC的中點.
(1)求證：平面PAD；
(2)若，求證：平面PCD.
【變式6-1】（2023秋·四川遂寧·高二期末）如圖，在四棱錐中，底面，且底面為正方形，，分別是的中點．
(1)求證：；
(2)求證：平面平面.
【變式6-2】（2022·上海·模擬預測）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，點在平面內的射影為A，且，為中點.
(1)證明：平面
(2)證明：平面平面.
【變式6-3】（2023秋·廣東汕尾·高二期末）如圖，在正方體中，分別是的中點.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面.

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