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專題8.11 空間直線、平面的垂直（一）（重難點題型精講）
1．異面直線所成的角
(1)兩條異面直線所成的角的定義
如圖，已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線a'，b'所成的
角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)異面直線所成的角的范圍
異面直線所成的角必須是銳角或直角，即的范圍是<.
(3)兩條異面直線垂直的定義
如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記
作a⊥b.
2．直線與平面垂直
(1)定義
如果直線l與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫
做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足.
(2)點到平面的距離
過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的
長度叫做這個點到該平面的距離.
3．直線與平面垂直的判定定理
(1)自然語言：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．
(2)圖形語言：如圖所示．
(3)符號語言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.
4．直線與平面所成的角
(1)定義
①斜線和斜足：如圖，一條直線l與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的
斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.
②斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點P向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的
直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.
③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所
成的角.
(2)直線與平面所成的角的范圍
①一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是.
②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是.
③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角的范圍是<.
④直線與平面所成的角的取值范圍是.
5．直線與平面垂直的性質定理
(1)直線與平面垂直的性質定理
①自然語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．
②圖形語言：如圖所示．
③符號語言：a⊥α，b⊥α a∥b.
(2)性質定理的作用
①由線面垂直證明線線平行.
②構造平行線.
6．點在平面內射影位置的確定
立體幾何中經常遇到由一個點向一個平面作垂線的問題，垂線的位置由這個點在平面內的射影位置來確定，因此確定這個點的射影位置是解題的關鍵.一般來說，可以直接過這個點作平面的垂線，然后通過證明或計算說明垂足的位置，也可以借助以下一些常見結論進行確定.
(1)如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面內的射影在這個角的平分線上.
(2)經過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線與這個角的兩邊的夾角相等，那么該斜線在平面內的射影是這個角的平分線所在直線.
【題型1 異面直線所成的角】
【方法點撥】
(1)構造：根據異面直線的定義，用平移法(常利用三角形中位線、平行四邊形的性質)作出異面直線所成的
角.
(2)證明：證明作出的角就是要求的角.
(3)計算：求角度(常利用三角形的有關知識).
(4)結論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就
是所求異面直線所成的角.
【例1】在三棱錐中，平面ABC，且，，E，F分別為BC，PA的中點，則異面直線EF與PC所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023春·安徽·高二開學考試）如圖，已知等腰直角三角形的斜邊的中點為，且，點為平面外一點，且，，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·貴州畢節·統考一模）圖（1）是由正方形和正三角形組合而成的平面圖形，將三角形沿折起，使得平面平面，如圖（2），則異面直線與所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·河南鄭州·統考一模）在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 線線垂直的判定】
【方法點撥】
通過異面直線所成的角為，來證明線線垂直；
通過基本的平面圖形的幾何性質來實現線線垂直的探索；
通過線面垂直的關系來證明線線垂直.
【例2】（2022·高一課時練習）在正方體中，與垂直的直線是（ ）
A．AB B．CD C． D．
【變式2-1】（2022·高一課時練習）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（ ）
A．2條 B．4條
C．6條 D．8條
【變式2-2】（2022·高一課時練習）如圖，為所在平面外一點，，，則形狀為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
【變式2-3】（2022·廣東·高三學業考試）如圖所示，在正方體中，下列直線與垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【題型3 線面垂直判定定理的應用】
【方法點撥】
利用直線與平面垂直的判定定理判定線面垂直的步驟：
(1)在這個平面內找兩條直線，使要證直線和這兩條直線垂直；
(2)確定這個平面內的兩條直線是相交的直線；
(3)根據判定定理得出結論.
【例3】（2022·上海·高二專題練習）在正方形中，、分別是及的中點，是的中點．現在沿、及把這個正方形折成一個空間四邊形，使、、三點重合，重合后的點記為，那么，在空間四邊形中必有（ ）
A．所在平面 B．所在平面
C．所在平面 D．所在平面
【變式3-1】（2022春·遼寧·高一期末）已知是三個不同的平面，是三條不同的直線，且.在下列條件中，能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2022秋·寧夏石嘴山·高二階段練習）如圖，是圓柱的母線，是圓柱的底面直徑，是圓柱底面圓周上的任意一點（不與，重合），則下列說法錯誤的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．三棱錐的四個面都是直角三角形
【變式3-3】（2022春·天津河西·高一期末）如圖，圓柱中，是側面的母線，AB是底面的直徑，C是底面圓上一點，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【題型4 直線與平面所成的角】
【方法點撥】
求直線與平面所成的角的一般步驟：
(1)作：在斜線上選取恰當的點向平面引垂線，在這一步確定垂足的位置是關鍵.
(2)證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據為直線與平面所成的角的定義.
(3)求：一般借助三角形的相關知識求角.
【例4】（2023春·四川達州·高二開學考試）在長方體中，，，則與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022春·山東聊城·高一階段練習）在四棱錐中，平面，四邊形ABCD為矩形，，PC與平面所成的角為，則該四棱錐外接球的體積為（　　）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022秋·廣西玉林·高二階段練習）在長方體中，，，點在棱上，若直線與平面所成的角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【變式4-3】（2022春·廣西桂林·高二期中）如圖，在四棱錐中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【題型5 直線與平面垂直的性質定理的應用】
【方法點撥】
(1)線面垂直的性質定理、基本事實4及線面平行的性質定理都是證明線線平行的依據，至于線面平行、面
面平行，歸結到最后還是要先證明線線平行.
(2)要證線線垂直，只需證線面垂直，再利用線面垂直的性質即可得到線線垂直.
【例5】（2023春·甘肅天水·高三開學考試）如圖，四棱錐P—ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA=PC，PD=2，，
(1)證明：AC⊥PD；
(2)若，求四棱錐P—ABCD的體積．
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點E，滿足，，現將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：
【變式5-2】（2022秋·山東濰坊·高二階段練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.
【變式5-3】（2023·湖北·模擬預測）如圖，在正三棱柱中，點D為線段的中點，側面的面積為．
(1)若證明：；
(2)求三棱柱的體積與表面積之比的最大值．
【題型6 平面內的射影問題】
【方法點撥】
立體幾何中經常遇到由一個點向一個平面作垂線的問題，垂線的位置由這個點在平面內的射影位置來確定，
因此確定這個點的射影位置是解題的關鍵.
【例6】（2022秋·上海靜安·高二期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中AE、AF、EF把正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為P，點P在△AEF內的射影為O，則O為△AEF的（　　）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【變式6-1】（2022秋·山東濰坊·高二開學考試）若P是所在平面外一點，且，，則點P在所在平面內的射影O是的（ ）
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【變式6-2】（2022春 瑤海區月考）已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F、G分別是棱A'B'、AA'、A'D'上的點，則點A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（　　）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．內心
【變式6-3】（2022·高一課時練習）下列四個命題：
①所在平面外一點P到角的兩邊距離相等，若點P在平面上的射影H在的內部，則H在的平分線上；
②P是所在平面外一點，點P到三個頂點的距離相等，則點P在平面上的射影O是的外心；
③P是所在平面外一點，點P到三邊的距離相等，則點P在平面上的射影O是的內心；
④P是所在平面外一點，點，，兩兩垂直，且，則點P在平面上的射影O是的中心.
其中，正確命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4專題8.11 空間直線、平面的垂直（一）（重難點題型精講）
1．異面直線所成的角
(1)兩條異面直線所成的角的定義
如圖，已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線a'，b'所成的
角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)異面直線所成的角的范圍
異面直線所成的角必須是銳角或直角，即的范圍是<.
(3)兩條異面直線垂直的定義
如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記
作a⊥b.
2．直線與平面垂直
(1)定義
如果直線l與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫
做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足.
(2)點到平面的距離
過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的
長度叫做這個點到該平面的距離.
3．直線與平面垂直的判定定理
(1)自然語言：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．
(2)圖形語言：如圖所示．
(3)符號語言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.
4．直線與平面所成的角
(1)定義
①斜線和斜足：如圖，一條直線l與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的
斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.
②斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點P向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的
直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.
③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所
成的角.
(2)直線與平面所成的角的范圍
①一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是.
②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是.
③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角的范圍是<.
④直線與平面所成的角的取值范圍是.
5．直線與平面垂直的性質定理
(1)直線與平面垂直的性質定理
①自然語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．
②圖形語言：如圖所示．
③符號語言：a⊥α，b⊥α a∥b.
(2)性質定理的作用
①由線面垂直證明線線平行.
②構造平行線.
6．點在平面內射影位置的確定
立體幾何中經常遇到由一個點向一個平面作垂線的問題，垂線的位置由這個點在平面內的射影位置來確定，因此確定這個點的射影位置是解題的關鍵.一般來說，可以直接過這個點作平面的垂線，然后通過證明或計算說明垂足的位置，也可以借助以下一些常見結論進行確定.
(1)如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面內的射影在這個角的平分線上.
(2)經過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線與這個角的兩邊的夾角相等，那么該斜線在平面內的射影是這個角的平分線所在直線.
【題型1 異面直線所成的角】
【方法點撥】
(1)構造：根據異面直線的定義，用平移法(常利用三角形中位線、平行四邊形的性質)作出異面直線所成的
角.
(2)證明：證明作出的角就是要求的角.
(3)計算：求角度(常利用三角形的有關知識).
(4)結論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就
是所求異面直線所成的角.
【例1】在三棱錐中，平面ABC，且，，E，F分別為BC，PA的中點，則異面直線EF與PC所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】要求異面直線的夾角，利用線線平行進行轉化，如圖分別取AB，PB的中點M，G，連接FM，ME，GE，FG，則，所以或其補角為異面直線EF與PC所成的角，解三角形即可得解.
【解答過程】如圖所示，分別取AB，PB的中點M，G，連接FM，ME，GE，FG，則，所以（或其補角）為異面直線EF與PC所成的角．
因為，，所以，．
因為平面ABC，平面ABC ，，
平面ABC，，平面ABC，
所以，且．
在中，．
在中，，，
由余弦定理得，
所以異面直線EF與PC所成角的余弦值為．
故選：B.
【變式1-1】（2023春·安徽·高二開學考試）如圖，已知等腰直角三角形的斜邊的中點為，且，點為平面外一點，且，，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】取中點，連接，，則即為所求角，再利用余弦定理求解即可.
【解答過程】如圖取中點，連接，，
因為是中點，所有，則即為所求角，
因為，，所以，
又因為是等腰直角三角形，所以，，
在中由余弦定理可得，
所以在中由余弦定理可得，
所以，
故選：D.
【變式1-2】（2023·貴州畢節·統考一模）圖（1）是由正方形和正三角形組合而成的平面圖形，將三角形沿折起，使得平面平面，如圖（2），則異面直線與所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由平面平面，可得平面，從而．由可知為異面直線與所成角，從而得解．
【解答過程】∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，又平面，∴．
∵，∴為異面直線與所成角，
∵，∴．
故選：C．
【變式1-3】（2023·河南鄭州·統考一模）在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可
【解答過程】如圖，連接，，，因為，
所以或其補角為直線與所成的角，
因為平面，平面，所以，又，
，平面，所以平面，
又平面，所以，
設正方體的棱長為2，則，，
在中，，所以，
故選：.
【題型2 線線垂直的判定】
【方法點撥】
通過異面直線所成的角為，來證明線線垂直；
通過基本的平面圖形的幾何性質來實現線線垂直的探索；
通過線面垂直的關系來證明線線垂直.
【例2】（2022·高一課時練習）在正方體中，與垂直的直線是（ ）
A．AB B．CD C． D．
【解題思路】證明平面,從而得到 ，可得答案.
【解答過程】連結, 則為直線與所成角,
在直角三角形中，為銳角，所以與不垂直，選項D不正確.
為直線與所成角,
在直角三角形中，為銳角，所以與不垂直
由，所以與不垂直，故選項A,B不正確.
在正方體中,
平面，且平面,所以
由,所以平面’
平面,所以
故選: C.
【變式2-1】（2022·高一課時練習）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（ ）
A．2條 B．4條
C．6條 D．8條
【解題思路】根據線線之間的垂直關系判斷即可.
【解答過程】在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．
故選：D.
【變式2-2】（2022·高一課時練習）如圖，為所在平面外一點，，，則形狀為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
【解題思路】根據垂直關系，先證明平面，即可證明，可以判斷三角形形狀.
【解答過程】由題，，所以，又，
是平面內兩條相交直線，所以平面，平面，
所以，
所以形狀為直角三角形.
故選：B.
【變式2-3】（2022·廣東·高三學業考試）如圖所示，在正方體中，下列直線與垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由平行關系可確定的垂線即為的垂線，由此可確定結果.
【解答過程】四邊形為正方形，，
， ，
故選：.
【題型3 線面垂直判定定理的應用】
【方法點撥】
利用直線與平面垂直的判定定理判定線面垂直的步驟：
(1)在這個平面內找兩條直線，使要證直線和這兩條直線垂直；
(2)確定這個平面內的兩條直線是相交的直線；
(3)根據判定定理得出結論.
【例3】（2022·上海·高二專題練習）在正方形中，、分別是及的中點，是的中點．現在沿、及把這個正方形折成一個空間四邊形，使、、三點重合，重合后的點記為，那么，在空間四邊形中必有（ ）
A．所在平面 B．所在平面
C．所在平面 D．所在平面
【解題思路】注意翻折前后的角度的變與不變，根據線面垂直的判定定理得到平面，A正確；
假設平面，推出，矛盾，B錯誤；
由平面得到，結合證明出平面，假設平面，則平面平面，推出矛盾，C錯誤；
由面得到，假設平面，則，結合三線在同一平面可推出，矛盾，D錯誤.
【解答過程】對于A，在正方形中，，，
所以在四面體中，，，
又平面，，所以平面，故選項A正確；
對于B，若平面，結合選項A，則，顯然矛盾，故選項B錯誤；
對于C，因為面，面，所以，
又，平面，，所以平面，
假設平面，則平面平面，顯然矛盾，故選項C錯誤；
對于D，因為面，面，所以，
若平面，平面，則，
平面，故，顯然矛盾，故D錯誤；
故選：A.
【變式3-1】（2022春·遼寧·高一期末）已知是三個不同的平面，是三條不同的直線，且.在下列條件中，能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由線面垂直的判定定理結合圖象判斷即可求解
【解答過程】當時（如圖所示），由推不出，即錯誤；
同理可知，錯誤；
若，可知與交于一點，且，所以，即D正確.
故選：D.
【變式3-2】（2022秋·寧夏石嘴山·高二階段練習）如圖，是圓柱的母線，是圓柱的底面直徑，是圓柱底面圓周上的任意一點（不與，重合），則下列說法錯誤的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．三棱錐的四個面都是直角三角形
【解題思路】根據圓柱的結構特征，利用線面垂直的判定、性質推理即可判斷作答.
【解答過程】因是圓柱的母線，是圓柱的底面直徑，是圓柱底面圓周上的任意一點（不與，重合），
則平面，A正確；
而平面，則，又，，平面，則有平面，B正確；
由選項A知，都是直角三角形，由選項B知，都是直角三角形，D正確；
假定平面，平面，則，即，而中，矛盾，
所以平面不正確，C錯誤.
故選：C.
【變式3-3】（2022春·天津河西·高一期末）如圖，圓柱中，是側面的母線，AB是底面的直徑，C是底面圓上一點，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【解題思路】根據線面垂直的判定定理及定義判斷即可；
【解答過程】解：依題意平面，平面，所以，
又是底面圓的直徑，所以，
，平面，所以平面，故A正確；
對于B：顯然與不垂直，則不可能垂直平面，故B錯誤；
對于C：顯然與不垂直，則不可能垂直平面，故C錯誤；
對于D：顯然與不垂直，則不可能垂直平面，故D錯誤；
故選：A.
【題型4 直線與平面所成的角】
【方法點撥】
求直線與平面所成的角的一般步驟：
(1)作：在斜線上選取恰當的點向平面引垂線，在這一步確定垂足的位置是關鍵.
(2)證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據為直線與平面所成的角的定義.
(3)求：一般借助三角形的相關知識求角.
【例4】（2023春·四川達州·高二開學考試）在長方體中，，，則與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】連接交于F，由題意可知與平面所成角與與平面所成角相等，由題意可證平面平面，過作于，由面面垂直的性質定理可得是與平面所成角，即與平面所成角為，在中，計算即可.
【解答過程】解：連接交于F，
設與平面所成角為，因為∥,
所以與平面所成角為，
如圖：
因為在長方體中，，，
所以四邊形是正方形，是中點，，
，所以，
又，面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
過作于，
因為面面，面面，，面，
所以平面，
所以，即，
所以.
故選：A.
【變式4-1】（2022春·山東聊城·高一階段練習）在四棱錐中，平面，四邊形ABCD為矩形，，PC與平面所成的角為，則該四棱錐外接球的體積為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】判斷出是外接球的直徑，求得，從而計算出外接球的體積.
【解答過程】由于平面，平面，所以，
由于四邊形是矩形，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以；同理可證得，
所以是外接球的直徑.
由平面可知：是PC與平面所成的角，
所以，所以.
所以外接球的半徑為，
所以外接球的體積為.
故選：C.
【變式4-2】（2022秋·廣西玉林·高二階段練習）在長方體中，，，點在棱上，若直線與平面所成的角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【解題思路】由長方體性質確定線面角且求，進而求出長度.
【解答過程】根據長方體性質知面，故為直線與平面所成的角的平面角，
所以，則，可得，如下圖示，
所以在中，符合題設.
故選：B.
【變式4-3】（2022春·廣西桂林·高二期中）如圖，在四棱錐中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】連接BD，判斷G在BD上，判斷為PG與底面ABCD所成的角，解直角三角形求得所求正弦值.
【解答過程】連接BD交于，四邊形ABCD為正方形，則為中點，
∵G為△ABC的重心，則G在BD上，且，
∴，
∵PD⊥底面ABCD，∴為PG與底面ABCD所成的角，面ABCD，則，
∴，
∴.
故選：C.
【題型5 直線與平面垂直的性質定理的應用】
【方法點撥】
(1)線面垂直的性質定理、基本事實4及線面平行的性質定理都是證明線線平行的依據，至于線面平行、面
面平行，歸結到最后還是要先證明線線平行.
(2)要證線線垂直，只需證線面垂直，再利用線面垂直的性質即可得到線線垂直.
【例5】（2023春·甘肅天水·高三開學考試）如圖，四棱錐P—ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA=PC，PD=2，，
(1)證明：AC⊥PD；
(2)若，求四棱錐P—ABCD的體積．
【解題思路】（1）設，，再由，得平面，從而得證線線垂直；
（2）由（1）平面，因此可由計算出體積．
【解答過程】（1）設，連接，因為，所以，
又是菱形，所以，
，平面，
所以平面，又平面，所以；
（2）是菱形，，則，是等邊三角形，，
，
中，，，所以邊上高為，
，
由（1）平面，
．
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點E，滿足，，現將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：
【解題思路】在中，求得，結合勾股定理證得，，從而證得平面，再在和中，分別證得和，從而證得平面，即可證得.
【解答過程】證明：在中，，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因為，，平面，所以平面，
在中，，
在中，，則，
因為，平面，所以平面，
所以.
【變式5-2】（2022秋·山東濰坊·高二階段練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.
【解題思路】根據線面垂直的判定定理可證AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，則可得AE∥MN．
【解答過程】因為AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因為AD＝AP，E是PD的中點，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因為MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因為MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，
所以AE∥MN.
【變式5-3】（2023·湖北·模擬預測）如圖，在正三棱柱中，點D為線段的中點，側面的面積為．
(1)若證明：；
(2)求三棱柱的體積與表面積之比的最大值．
【解題思路】（1）取中點H，連接，證明得到平面，得到證明.
（2）計算，，再利用均值不等式計算得到答案.
【解答過程】（1）取中點H，連接，，，
則．
平面，平面，故，
，，平面，故平面，
平面，故．
又，平面，故平面．
而平面，故．
（2）設，表面積，
體積．
，當且僅當等號成立．
【題型6 平面內的射影問題】
【方法點撥】
立體幾何中經常遇到由一個點向一個平面作垂線的問題，垂線的位置由這個點在平面內的射影位置來確定，
因此確定這個點的射影位置是解題的關鍵.
【例6】（2022秋·上海靜安·高二期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中AE、AF、EF把正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為P，點P在△AEF內的射影為O，則O為△AEF的（　　）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【解題思路】利用線面垂直的判定、性質證明、、，即可得結果.
【解答過程】由題意知：，，四面體如下圖示：
因為，，面，
所以面，同理證：面，面，
由面，則，同理證：，，
由P在△AEF內的射影，故面，而面，
所以，
由，面，則面，面，
所以，同理可證：，，
所以為△的垂心.
故選：D.
【變式6-1】（2022秋·山東濰坊·高二開學考試）若P是所在平面外一點，且，，則點P在所在平面內的射影O是的（ ）
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【解題思路】根據且，，利用線面垂直的判定定理得到，即可.
【解答過程】解：如圖所示：
因為，且，
所以平面，則，
同理得，
所以O是的垂心．
故選：D.
【變式6-2】（2022春 瑤海區月考）已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F、G分別是棱A'B'、AA'、A'D'上的點，則點A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（　　）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．內心
【解題思路】由線面垂直的判定和性質，結合三角形的垂心的定義，可得結論．
【解答過程】解：設點A′在平面EFG上的射影為H，連接HE，HF，HG，
由A'E⊥A'F，A'E⊥A'G，且A'F∩A'G＝A'，可得A'E⊥平面A'FG，
則A'E⊥FG，
而EH為A'E在面EFG內的射影，可得FG⊥EH，
同理可得EF⊥GH，EG⊥FH，
所以點A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的垂心．
故選：A．
【變式6-3】（2022·高一課時練習）下列四個命題：
①所在平面外一點P到角的兩邊距離相等，若點P在平面上的射影H在的內部，則H在的平分線上；
②P是所在平面外一點，點P到三個頂點的距離相等，則點P在平面上的射影O是的外心；
③P是所在平面外一點，點P到三邊的距離相等，則點P在平面上的射影O是的內心；
④P是所在平面外一點，點，，兩兩垂直，且，則點P在平面上的射影O是的中心.
其中，正確命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】①,如圖所示，證明，,,即得結論正確；
②,如圖所示，證明,即得結論正確；
③,如圖所示，證明在的平分線上，所以點是的內心,即得結論正確；
④,如圖所示，證明,點是的垂心,即得結論正確.
【解答過程】①,如圖，由題得，因為平面,所以,
因為平面,所以平面,所以,同理,所以H在的平分線上，所以該結論正確；
②，如圖所示，平面, O是的外心,所以該結論正確；
③,如圖所示，由題得，同①方法可證在的平分線上，同理可證在的平分線上，所以點是的內心,所以該結論正確；
④，如圖所示，點，，兩兩垂直，且，所以,
因為平面,所以平面,所以, 設是中點，所以,又，平面,所以平面,所以,同理,所以點是的垂心.又，所以點是的中心.所以該結論正確.
故選：D.

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