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專題7.1 復數的概念（重難點題型精講）
1．數系的擴充與復數的相關概念
(1)復數的引入
為了解決+1=0這樣的方程在實數系中無解的問題，我們引入一個新數i，規定：
①=-1，即i是方程+1=0的根；
②實數可以和數i進行加法和乘法運算，且加法和乘法的運算律仍然成立.
在此規定下，實數a與i相加，結果記作a+i；實數b與i相乘，結果記作bi；實數a與bi相加，結果
記作a+bi.注意到所有實數以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數都在擴充后的新數集中.
(2)復數的概念
我們把形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位.全體復數構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做復數集.這樣，方程+1=0在復數集C中就有解x=i了.
(3)復數的表示
復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復數z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復數z的實部與虛部.
(4)復數的分類
對于復數a+bi，當且僅當b=0時，它是實數；當且僅當a=b=0時，它是實數0；當b≠0時，它叫做虛數；當a=0且b≠0時，它叫做純虛數.
顯然，實數集R是復數集C的真子集，即RC.
復數z=a+bi可以分類如下：
復數，
復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系，可用圖表示.
2．復數相等
在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規定：a+bi與c+di相等當且僅當
a=c且b=d，即當且僅當兩個復數的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復數才相等.
3．復數的幾何意義
(1)復平面
根據復數相等的定義，可得復數z=a+bi有序實數對(a,b)，而有序實數對(a,b)平面
直角坐標系中的點，所以復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系.
如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標系來
表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.
(2)復數的幾何意義——與點對應
由上可知，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一
的一個復數和它對應.復數集C中的數和復平面內的點是一一對應的，即復數z=a+bi復平面內的點Z(a,b)，這是復數的一種幾何意義.
(3) 復數的幾何意義——與向量對應
在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一
對應的.這樣就可以用平面向量來表示復數.
如圖所示，設復平面內的點Z表示復數z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.
因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量是一一對應的(實數0與零向量對應)，即復數z=a+bi平面向量，這是復數的另一種幾何意義.
4．復數的模
向量的模r叫做復數z=a+bi的模或絕對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數a，它
的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
5．共軛復數
(1)定義
一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0
的兩個共軛復數也復數z的共軛復數用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實數a的共軛復數仍是a本身.
(2)幾何意義
互為共軛復數的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱(如圖).特別地，實數和它的共軛復數在復
平面內所對應的點重合，且在實軸上.
(3)性質
①=z.
②實數的共軛復數是它本身，即z=z∈R，利用這個性質可證明一個復數為實數.
6．復數的模的幾何意義
(1)復數z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復數z=a+bi在復平面內對應的點Z(a,b)到坐標原點的距離，這是復數
的模的幾何意義.
(2)復數z在復平面內對應的點為Z，r表示一個大于0的常數，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以
原點為圓心，r為半徑的圓，|z|r表示圓的外部.
【題型1 復數的分類】
【方法點撥】
分清復數的分類，根據實部與虛部的取值情況進行判斷.
【例1】（2022·高一課時練習）下列關于復數的說法一定正確的是（ ）
A．是虛數 B．存在x使得是純虛數
C．不是實數 D．實部和虛部均為1
【變式1-1】（2022·高二課時練習）復數，，－1，，0，中虛數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-2】（2023·高一課時練習）下列說法正確的是（ ）
A．表示虛數單位，所以它不是一個虛數
B．的平方根是
C．是純虛數
D．若，則復數沒有虛部
【變式1-3】（2022春·高一課時練習）下列命題中，正確命題的序號是（ ）
①若，則是純虛數；
②若且，則；
③若是純虛數，則實數；
④兩個虛數不能比較大小.
A．①③ B．② C．③④ D．④
【題型2 復數相等的充要條件】
【方法點撥】
復數相等的充要條件是“化虛為實”的主要依據，多用來求解參數.解決復數相等問題的步驟：分別分離出兩
個復數的實部和虛部，利用實部與實部相等、虛部與虛部相等列方程組求解.
【例2】（2022秋·河南·高三階段練習）設，其中為實數，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2022春·廣西·高二學業考試）若復數，為虛數單位，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【變式2-2】（2022·高一課時練習）已知x，y∈R，i為虛數單位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，則x，y的值為（ ）
A．3，0 B．2，1 C．1，2 D．1，-1
【變式2-3】（2022·全國·高一專題練習）復數與復數相等，則實數的值為（ ）
A． B．或 C． D．
【題型3 復數的幾何意義】
【方法點撥】
復數集與復平面內所有的點所組成的集合之間存在著一一對應的關系.每一個復數都對應唯一的一個有序實
數對，只要在復平面內找到這個有序實數對所表示的點，就可根據點的位置判斷復數實部、虛部的取值.
【例3】（2022春·湖南株洲·高一期中）在復平面內，復數 對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式3-1】在復平面內，與復數的共軛復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式3-2】（2022·高一課時練習）當時，復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式3-3】（2022秋·貴州貴陽·高三階段練習）如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部”復數，若復數（其中）為“等部復數”，則復數在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【題型4 共軛復數】
【方法點撥】
根據共軛復數的概念，進行求解即可.
【例4】（2022秋·浙江金華·高二階段練習）已知i為虛數單位，復數，則z的共軛復數為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022春·浙江寧波·高二學業考試）已知（虛數單位）， 則的共軛復數的虛部為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【變式4-2】（2022·高一單元測試）若復數為純虛數，則的共軛復數是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2022秋·北京·高三期中）下列命題中，正確的是（ ）
A．的虛部是2 B．
C．的共軛復數是 D．在復平面內對應的點在第二象限
【題型5 復數的模的計算】
【方法點撥】
根據復數的模的計算公式，進行計算即可.
【例5】（2023秋·吉林松原·高三期末）已知a，，若與互為共軛復數，則（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【變式5-1】（2022秋·北京·高三階段練習）已知復數滿足，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【變式5-2】（2022秋·安徽宿州·高二期末）設，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2022秋·廣東·高三學業考試）若復數滿足，則（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【題型6 復數的模的幾何意義】
【方法點撥】
復數的模的幾何意義是實數的絕對值概念的擴充，因此有|z|0，并且絕對值具有的某些性質可以推廣到復
數的模.根據復數的模的幾何意義，進行轉化求解即可.
【例6】（2022秋·廣西·高二階段練習）設，滿足，其在復平面對應的點為，求點構成的集合所表示的圖形面積（ ）
A．1 B．5 C． D．
【變式6-1】（2022·高一單元測試）滿足的復數在復平面上對應的點構成的圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2022秋·山東威海·高二階段練習）已知復數滿足，則在復平面上對應點的軌跡為（ ）
A．直線 B．線段 C．圓 D．等腰三角形
【變式6-3】（2022春·陜西渭南·高二期末）設復數z在復平面內對應的點為Z，原點為O，為虛數單位，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則或
B．若，則點Z的集合為以為圓心，1為半徑的圓
C．若，則點Z的集合所構成的圖形的面積為
D．若，則點Z的集合中有且只有兩個元素專題7.1 復數的概念（重難點題型精講）
1．數系的擴充與復數的相關概念
(1)復數的引入
為了解決+1=0這樣的方程在實數系中無解的問題，我們引入一個新數i，規定：
①=-1，即i是方程+1=0的根；
②實數可以和數i進行加法和乘法運算，且加法和乘法的運算律仍然成立.
在此規定下，實數a與i相加，結果記作a+i；實數b與i相乘，結果記作bi；實數a與bi相加，結果
記作a+bi.注意到所有實數以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數都在擴充后的新數集中.
(2)復數的概念
我們把形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位.全體復數構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做復數集.這樣，方程+1=0在復數集C中就有解x=i了.
(3)復數的表示
復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復數z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復數z的實部與虛部.
(4)復數的分類
對于復數a+bi，當且僅當b=0時，它是實數；當且僅當a=b=0時，它是實數0；當b≠0時，它叫做虛數；當a=0且b≠0時，它叫做純虛數.
顯然，實數集R是復數集C的真子集，即RC.
復數z=a+bi可以分類如下：
復數，
復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系，可用圖表示.
2．復數相等
在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規定：a+bi與c+di相等當且僅當
a=c且b=d，即當且僅當兩個復數的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復數才相等.
3．復數的幾何意義
(1)復平面
根據復數相等的定義，可得復數z=a+bi有序實數對(a,b)，而有序實數對(a,b)平面
直角坐標系中的點，所以復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系.
如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標系來
表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.
(2)復數的幾何意義——與點對應
由上可知，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一
的一個復數和它對應.復數集C中的數和復平面內的點是一一對應的，即復數z=a+bi復平面內的點Z(a,b)，這是復數的一種幾何意義.
(3) 復數的幾何意義——與向量對應
在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一
對應的.這樣就可以用平面向量來表示復數.
如圖所示，設復平面內的點Z表示復數z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.
因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量是一一對應的(實數0與零向量對應)，即復數z=a+bi平面向量，這是復數的另一種幾何意義.
4．復數的模
向量的模r叫做復數z=a+bi的模或絕對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數a，它
的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
5．共軛復數
(1)定義
一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0
的兩個共軛復數也復數z的共軛復數用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實數a的共軛復數仍是a本身.
(2)幾何意義
互為共軛復數的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱(如圖).特別地，實數和它的共軛復數在復
平面內所對應的點重合，且在實軸上.
(3)性質
①=z.
②實數的共軛復數是它本身，即z=z∈R，利用這個性質可證明一個復數為實數.
6．復數的模的幾何意義
(1)復數z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復數z=a+bi在復平面內對應的點Z(a,b)到坐標原點的距離，這是復數
的模的幾何意義.
(2)復數z在復平面內對應的點為Z，r表示一個大于0的常數，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以
原點為圓心，r為半徑的圓，|z|r表示圓的外部.
【題型1 復數的分類】
【方法點撥】
分清復數的分類，根據實部與虛部的取值情況進行判斷.
【例1】（2022·高一課時練習）下列關于復數的說法一定正確的是（ ）
A．是虛數 B．存在x使得是純虛數
C．不是實數 D．實部和虛部均為1
【解題思路】根據復數的概念即可得解.
【解答過程】由復數，
當時，為實數，故A、C不正確；
當時，，故B正確；
由于的取值未知，故D錯誤；
故選：B.
【變式1-1】（2022·高二課時練習）復數，，－1，，0，中虛數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】利用復數的概念逐一判斷即可.
【解答過程】由復數的概念可知
，為虛數.
故選：B.
【變式1-2】（2023·高一課時練習）下列說法正確的是（ ）
A．表示虛數單位，所以它不是一個虛數
B．的平方根是
C．是純虛數
D．若，則復數沒有虛部
【解題思路】用復數的相關概念判斷即可
【解答過程】A： 表示虛數單位，也是一個虛數，故A錯誤；
B： 由，可知的平方根是，故B正確；
C： 當是實數，故C錯誤；
D： 若，則復數虛部為0，故D錯誤；
故選：B.
【變式1-3】（2022春·高一課時練習）下列命題中，正確命題的序號是（ ）
①若，則是純虛數；
②若且，則；
③若是純虛數，則實數；
④兩個虛數不能比較大小.
A．①③ B．② C．③④ D．④
【解題思路】根據復數的基本概念及復數的分類，逐項判定，即可求解.
【解答過程】①中，當時，為實數，所以不正確；
②中，由，因為虛數不能比較大小，所以不正確；
③中，由是純虛數，可得，解得，
所以不正確；
④中，由虛數不能比較大小，所以兩個虛數不能比較大小是正確的.
故選：D.
【題型2 復數相等的充要條件】
【方法點撥】
復數相等的充要條件是“化虛為實”的主要依據，多用來求解參數.解決復數相等問題的步驟：分別分離出兩
個復數的實部和虛部，利用實部與實部相等、虛部與虛部相等列方程組求解.
【例2】（2022秋·河南·高三階段練習）設，其中為實數，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據復數相等可得答案.
【解答過程】，
解得.
故選：D.
【變式2-1】（2022春·廣西·高二學業考試）若復數，為虛數單位，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【解題思路】根據復數相等求解即可.
【解答過程】因為，所以.
故選：C.
【變式2-2】（2022·高一課時練習）已知x，y∈R，i為虛數單位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，則x，y的值為（ ）
A．3，0 B．2，1 C．1，2 D．1，-1
【解題思路】根據復數相等的定義即可求解.
【解答過程】解：因為（x-1）+（y+1）i=2+i，
所以，解得，
故選：A.
【變式2-3】（2022·全國·高一專題練習）復數與復數相等，則實數的值為（ ）
A． B．或 C． D．
【解題思路】利用復數相等的定義求解.
【解答過程】因為復數與復數相等，
所以，
解得．
故選：C.
【題型3 復數的幾何意義】
【方法點撥】
復數集與復平面內所有的點所組成的集合之間存在著一一對應的關系.每一個復數都對應唯一的一個有序實
數對，只要在復平面內找到這個有序實數對所表示的點，就可根據點的位置判斷復數實部、虛部的取值.
【例3】（2022春·湖南株洲·高一期中）在復平面內，復數 對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解題思路】根據給定條件，利用虛數單位i的意義求出復數z即可判斷作答.
【解答過程】依題意，復數，所以復數對應的點在第三象限.
故選：C.
【變式3-1】在復平面內，與復數的共軛復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解題思路】由共軛復數定義，及復數與點的對應關系可得
【解答過程】復數的共軛復數為，對應得點為，位于第二項限.
故選：B.
【變式3-2】（2022·高一課時練習）當時，復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解題思路】由復數的坐標即可判斷.
【解答過程】,
若，則，，
所以復數在復平面內對應的點位于第二象限.
故選：B.
【變式3-3】（2022秋·貴州貴陽·高三階段練習）如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部”復數，若復數（其中）為“等部復數”，則復數在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解題思路】由實部和虛部相等求得，再判斷復平面內對應的點所在的象限即可.
【解答過程】復數的實部為2，因為它實部和虛部相等，故，所以，復數在復平面內對應的點在第一象限.
故選：A.
【題型4 共軛復數】
【方法點撥】
根據共軛復數的概念，進行求解即可.
【例4】（2022秋·浙江金華·高二階段練習）已知i為虛數單位，復數，則z的共軛復數為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求出復數z，再根據定義可求其共軛復數.
【解答過程】，故其共軛復數為，
故選：B.
【變式4-1】（2022春·浙江寧波·高二學業考試）已知（虛數單位）， 則的共軛復數的虛部為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解題思路】根據共軛復數定義得，即可確定虛部.
【解答過程】由題設，故其虛部為3.
故選：C.
【變式4-2】（2022·高一單元測試）若復數為純虛數，則的共軛復數是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由復數的類型有且，求參數m，進而寫出的共軛復數.
【解答過程】由題意知：且，
∴，即，故的共軛復數是.
故選：A.
【變式4-3】（2022秋·北京·高三期中）下列命題中，正確的是（ ）
A．的虛部是2 B．
C．的共軛復數是 D．在復平面內對應的點在第二象限
【解題思路】根據復數的概念，共軛復數的定義，復數在直角坐標系的表示方法即可求解.
【解答過程】解：
A選項：的虛部是，故A錯誤；
B選項：，故B正確；
C選項：的共軛復數是，故C錯誤；
D選項：在復平面內對應的點在第四象限，故D錯誤.
故選：B.
【題型5 復數的模的計算】
【方法點撥】
根據復數的模的計算公式，進行計算即可.
【例5】（2023秋·吉林松原·高三期末）已知a，，若與互為共軛復數，則（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【解題思路】由與互為共軛復數，求出a,b的值，可解出.
【解答過程】與互為共軛復數，∴，則有.
故選：D.
【變式5-1】（2022秋·北京·高三階段練習）已知復數滿足，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【解題思路】根據復數模的定義即可得到答案.
【解答過程】，
故選：C.
【變式5-2】（2022秋·安徽宿州·高二期末）設，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據運算之前的模等于運算之后的模可以很快求出答案.
【解答過程】
故選：B.
【變式5-3】（2022秋·廣東·高三學業考試）若復數滿足，則（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【解題思路】根據復數模的計算公式，可直接求得答案.
【解答過程】因為復數滿足，故，
故選：B.
【題型6 復數的模的幾何意義】
【方法點撥】
復數的模的幾何意義是實數的絕對值概念的擴充，因此有|z|0，并且絕對值具有的某些性質可以推廣到復
數的模.根據復數的模的幾何意義，進行轉化求解即可.
【例6】（2022秋·廣西·高二階段練習）設，滿足，其在復平面對應的點為，求點構成的集合所表示的圖形面積（ ）
A．1 B．5 C． D．
【解題思路】復數 ，根據復數的幾何意義可知，滿足的點為兩個圓所夾的圓環（包括邊界），根據兩圓面積之差即可求出.
【解答過程】設復數 ，則，.
則等價于，即有.
所以復平面對應的點為表示復平面上以為圓心，以2，3為半徑的兩個圓所夾的圓環（包括邊界），故其面積為．
故選：D.
【變式6-1】（2022·高一單元測試）滿足的復數在復平面上對應的點構成的圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據復數的幾何意義可得構成圖形為圓環，即可求出面積.
【解答過程】滿足的復數在復平面上對應的點構成的圖形為以原點為圓心，半徑分別為1和3構成的圓環，所以面積為.
故選：C.
【變式6-2】（2022秋·山東威海·高二階段練習）已知復數滿足，則在復平面上對應點的軌跡為（ ）
A．直線 B．線段 C．圓 D．等腰三角形
【解題思路】根據復數的幾何意義，結合，得到點在線段的垂直平分線上，即可求解.
【解答過程】設復數，
根據復數的幾何意義知：表示復平面內點與點的距離，
表示復平面內點與點的距離，
因為，即點到兩點間的距離相等，
所以點在線段的垂直平分線上，所以在復平面上對應點的軌跡為直線.
故選：A.
【變式6-3】（2022春·陜西渭南·高二期末）設復數z在復平面內對應的點為Z，原點為O，為虛數單位，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則或
B．若，則點Z的集合為以為圓心，1為半徑的圓
C．若，則點Z的集合所構成的圖形的面積為
D．若，則點Z的集合中有且只有兩個元素
【解題思路】根據的幾何意義可知Z的集合為以原點為圓心，1為半徑的圓，由此可判斷A;由得幾何意義是表示以為圓心，1為半徑的圓，可判斷B; 由的幾何意義是表示以原點為圓心，分別以1和為半徑的兩圓所夾的圓環,求出圓環的面積，可判斷C；由的幾何意義是表示以點，為端點的線段的垂直平分線，可判斷D.
【解答過程】若，則點Z的集合為以原點為圓心，1為半徑的圓，有無數個圓上的點與復數z對應，故A錯誤；
若，則點Z的集合為以為圓心，1為半徑的圓，故B錯誤；
若，則點Z的集合為以原點為圓心，分別以1和為半徑的兩圓所夾的圓環，所以點Z的集合所構成的圖形的面積為 ，故C正確;
若，則點Z的集合是以點，為端點的線段的垂直平分線，集合中有無數個元素，故D錯誤,故選:C．

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