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專題7.3 復數的四則運算（重難點題型精講）
1．復數的加法運算及其幾何意義
(1)復數的加法法則
設=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個復數，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)復數的加法滿足的運算律
對任意,,∈C，有
①交換律：+=+；
②結合律：(+)+=+(+).
(3)復數加法的幾何意義
在復平面內，設=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對應的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應的線段為鄰邊作平行四邊形 (如圖所示)，則由平面向量的坐標運算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應的向量就是與復數(a+c)+(b+d)i對應的向量.
2．復數的減法運算及其幾何意義
(1)復數的減法法則
類比實數減法的意義，我們規定，復數的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復數
x+yi(x,y∈R)叫做復數a+bi(a,b∈R)減去復數c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).
根據復數相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.這就是復數的減法法則.
(2)復數減法的幾何意義
兩個復數=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內對應的向量分別是，，那么這兩個復數的差
-對應的向量是-，即向量.
如果作=，那么點Z對應的復數就是-(如圖所示).
這說明兩個向量與的差就是與復數(a-c)+(b-d)i對應的向量.因此，復數的減法可以按照向
量的減法來進行，這是復數減法的幾何意義.
3．復數的乘法運算
(1)復數的乘法法則
設=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結果中把換成-1，并且把實部與
虛部分別合并即可.
(2)復數乘法的運算律
對于任意,,∈C，有
①交換律：=；
②結合律：()=()；
③分配律：(+)=+.
在復數范圍內，正整數指數冪的運算律仍然成立.即對于任意復數z，,和正整數m,n，有=，
=，=.
4．復數的除法
(1)定義
我們規定復數的除法是乘法的逆運算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復數x+yi叫做復數a+bi除
以復數c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)復數的除法法則
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可見，兩個復數相除(除數不為0)，所得的商是一個確定的復數.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的幾何意義
設復數=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內對應的點分別是(a,b)，(c,d)，則| |=
，又復數-=(a-c)+(b-d)i，則|-|=.
故| |=|-|，即|-|表示復數，在復平面內對應的點之間的距離.
6．復數范圍內實數系一元二次方程的根
若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當>0時，方程有兩個不相等的實根
，=；
當=0時，方程有兩個相等的實根==-；
當<0時，方程有兩個虛根=，=，且兩個虛數根互為共軛復
數.
7．復數運算的常用技巧
(1)復數常見運算小結論
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
【題型1 復數的加、減運算】
【方法點撥】
兩個復數相加(減)，就是把兩個復數的實部相加(減)，虛部相加(減).復數的減法是加法的逆運算，兩個復數
相減，也可以看成是加上這個復數的相反數.當多個復數相加(減)時，可將這些復數的所有實部相加(減)，所
有虛部相加(減).
【例1】（2022秋·貴州畢節·高三階段練習）已知，，則（ ）
A．4 B． C． D．
【變式1-1】（2022秋·陜西延安·高三階段練習）若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022春·廣西桂林·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·山西大同·大同市模擬預測）若復數滿足，則=（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 復數加、減法的幾何意義的應用】
【方法點撥】
(1)向量加、減運算的平行四邊形法則和三角形法則是復數加、減法幾何意義的依據.
(2)利用向量的加法“首尾相接”和減法“指向被減向量”的特點，在三角形內可求得第三個向量及其對應的復
數.
【例2】（2022春·北京西城·高一階段練習）在復平面內，O為原點，四邊形OABC是復平面內的平行四邊形，且A，B，C三點對應的復數分別為z1，z2，z3，若，則z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
【變式2-1】（2022·高一課時練習）在平行四邊形ABCD中，若A，C對應的復數分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為（ ）
A． B．5 C．2 D．10
【變式2-2】（2022·全國·高一專題練習）如圖在復平面上，一個正方形的三個頂點對應的復數分別是，那么這個正方形的第四個頂點對應的復數為（ ）．
A． B． C． D．
【變式2-3】（2022春·高一課時練習）如圖，設向量，，所對應的復數為z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【題型3 復數的乘除運算】
【方法點撥】
(1)復數的乘法可以按照多項式的乘法計算，只是在結果中要將換成-1，并將實部、虛部分別合并.
(2)復數的除法法則在實際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用分母“實數化”的方法，即
將分子、分母同乘分母的共軛復數，使分母成為實數，再計算.
【例3】（2023·遼寧·遼寧模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·湖北·校聯考模擬預測）在復平面內，復數對應的點為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022春·陜西榆林·高二期中）已知復數（i為虛數單位）的共軛復數為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022秋·河北唐山·高三階段練習）已知復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【題型4 虛數單位i的冪運算的周期性】
【方法點撥】
根據虛數單位i的冪運算的周期性，進行求解即可.
【例4】（2022·云南紅河·校考模擬預測）已知i為虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022春·湖北十堰·高一階段練習）（ ）
A． B．1 C． D．
【變式4-2】（2022·全國·高一假期作業）設是虛數單位，則的值為（ ）
A． B． C． D．0
【變式4-3】（ ）
A． B． C． D．
【題型5 解復數方程】
【方法點撥】
實系數一元二次方程的虛根是成對出現的，即若復數a+bi(a,b∈R，b≠0)是實系數一元二次方程的根，則
其共軛復數a-bi是該方程的另一根，據此進行求解即可.
【例5】（2022·重慶江北·校考一模）已知復數是關于的方程的一個根，則實數的值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【變式5-1】（2022秋·寧夏石嘴山·高三期中）已知復數（為虛數單位）為實系數方程的一根，則（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【變式5-2】（2022·全國·高三專題練習）已知是方程的虛數根，則（ ）
A．0 B． C． D．
【變式5-3】（2022秋·上海寶山·高二階段練習）若是關于的實系數方程的一個復數根，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【題型6 四則運算下的復數概念】
【方法點撥】
先根據復數的四則運算法則進行化簡復數，再結合復數的有關概念，進行求解即可.
【例6】（2022·江蘇常州·校考模擬預測）已知復數是純虛數，是實數，則（ ）
A．－ B． C．－2 D．2
【變式6-1】（2023秋·江西撫州·高三期末）已知復數滿足，則復數（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023秋·江蘇揚州·高三期末）若i為虛數單位，復數z滿足，則z的實部為（ ）．
A． B．3 C． D．2
【變式6-3】在復平面內，復數（ ）
A．位于第一象限
B．對應的點為
C．
D．是純虛數專題7.3 復數的四則運算（重難點題型精講）
1．復數的加法運算及其幾何意義
(1)復數的加法法則
設=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個復數，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)復數的加法滿足的運算律
對任意,,∈C，有
①交換律：+=+；
②結合律：(+)+=+(+).
(3)復數加法的幾何意義
在復平面內，設=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對應的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應的線段為鄰邊作平行四邊形 (如圖所示)，則由平面向量的坐標運算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應的向量就是與復數(a+c)+(b+d)i對應的向量.
2．復數的減法運算及其幾何意義
(1)復數的減法法則
類比實數減法的意義，我們規定，復數的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復數
x+yi(x,y∈R)叫做復數a+bi(a,b∈R)減去復數c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).
根據復數相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.這就是復數的減法法則.
(2)復數減法的幾何意義
兩個復數=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內對應的向量分別是，，那么這兩個復數的差
-對應的向量是-，即向量.
如果作=，那么點Z對應的復數就是-(如圖所示).
這說明兩個向量與的差就是與復數(a-c)+(b-d)i對應的向量.因此，復數的減法可以按照向
量的減法來進行，這是復數減法的幾何意義.
3．復數的乘法運算
(1)復數的乘法法則
設=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結果中把換成-1，并且把實部與
虛部分別合并即可.
(2)復數乘法的運算律
對于任意,,∈C，有
①交換律：=；
②結合律：()=()；
③分配律：(+)=+.
在復數范圍內，正整數指數冪的運算律仍然成立.即對于任意復數z，,和正整數m,n，有=，
=，=.
4．復數的除法
(1)定義
我們規定復數的除法是乘法的逆運算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復數x+yi叫做復數a+bi除
以復數c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)復數的除法法則
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可見，兩個復數相除(除數不為0)，所得的商是一個確定的復數.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的幾何意義
設復數=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內對應的點分別是(a,b)，(c,d)，則| |=
，又復數-=(a-c)+(b-d)i，則|-|=.
故| |=|-|，即|-|表示復數，在復平面內對應的點之間的距離.
6．復數范圍內實數系一元二次方程的根
若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當>0時，方程有兩個不相等的實根
，=；
當=0時，方程有兩個相等的實根==-；
當<0時，方程有兩個虛根=，=，且兩個虛數根互為共軛復
數.
7．復數運算的常用技巧
(1)復數常見運算小結論
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
【題型1 復數的加、減運算】
【方法點撥】
兩個復數相加(減)，就是把兩個復數的實部相加(減)，虛部相加(減).復數的減法是加法的逆運算，兩個復數
相減，也可以看成是加上這個復數的相反數.當多個復數相加(減)時，可將這些復數的所有實部相加(減)，所
有虛部相加(減).
【例1】（2022秋·貴州畢節·高三階段練習）已知，，則（ ）
A．4 B． C． D．
【解題思路】根據復數加法法則，實部和虛部分別相加即可得出結果.
【解答過程】由，得，
，
故選：D.
【變式1-1】（2022秋·陜西延安·高三階段練習）若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設復數 ，利用復數的加減運算法則，解出a，b，即可得z.
【解答過程】設 ，
則，
所以，
得，
所以.
故選：B.
【變式1-2】（2022春·廣西桂林·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用復數的加法運算直接計算作答.
【解答過程】.
故選：A.
【變式1-3】（2023·山西大同·大同市模擬預測）若復數滿足，則=（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由復數的運算法則與復數相等的概念求解即可
【解答過程】設，則，
所以，
，
所以，
所以.
故選：A.
【題型2 復數加、減法的幾何意義的應用】
【方法點撥】
(1)向量加、減運算的平行四邊形法則和三角形法則是復數加、減法幾何意義的依據.
(2)利用向量的加法“首尾相接”和減法“指向被減向量”的特點，在三角形內可求得第三個向量及其對應的復
數.
【例2】（2022春·北京西城·高一階段練習）在復平面內，O為原點，四邊形OABC是復平面內的平行四邊形，且A，B，C三點對應的復數分別為z1，z2，z3，若，則z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
【解題思路】根據復數加法的幾何意義及法則即可求解.
【解答過程】因為O為原點，四邊形OABC是復平面內的平行四邊形，
又因為，
所以由復數加法的幾何意義可得，
.
故選：C.
【變式2-1】（2022·高一課時練習）在平行四邊形ABCD中，若A，C對應的復數分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為（ ）
A． B．5 C．2 D．10
【解題思路】根據復數減法的幾何意義求出向量對應的復數，再根據復數的模的計算公式即可求出．
【解答過程】依題意，對應的復數為(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的長度為|－3－4i|＝5.
故選：B．
【變式2-2】（2022·全國·高一專題練習）如圖在復平面上，一個正方形的三個頂點對應的復數分別是，那么這個正方形的第四個頂點對應的復數為（ ）．
A． B． C． D．
【解題思路】利用復數的幾何意義、向量的平行四邊形法則即可得出．
【解答過程】∵ ，
∴ 對應的復數為：，
∴點對應的復數為．
故選D．
【變式2-3】（2022春·高一課時練習）如圖，設向量，，所對應的復數為z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【解題思路】由向量，結合向量減法運算得，再由復數的幾何意義即可求解.
【解答過程】由題圖可知，，，
∴z1＋z2－z3＝0.
故選：D.
【題型3 復數的乘除運算】
【方法點撥】
(1)復數的乘法可以按照多項式的乘法計算，只是在結果中要將換成-1，并將實部、虛部分別合并.
(2)復數的除法法則在實際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用分母“實數化”的方法，即
將分子、分母同乘分母的共軛復數，使分母成為實數，再計算.
【例3】（2023·遼寧·遼寧模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據復數的四則運算和共軛復數的概念即可求解.
【解答過程】因為，
所以.
故選：B.
【變式3-1】（2023·湖北·校聯考模擬預測）在復平面內，復數對應的點為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由復數對應的點的坐標得到，利用復數除法法則計算出答案.
【解答過程】由題意可知，所以.
故選：C.
【變式3-2】（2022春·陜西榆林·高二期中）已知復數（i為虛數單位）的共軛復數為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先得到，從而利用復數乘法法則計算出答案.
【解答過程】由題意得：，故.
故選：C.
【變式3-3】（2022秋·河北唐山·高三階段練習）已知復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據復數的運算法則，以及共軛復數的定義進行求解即可.
【解答過程】因為，
所以，
則.
故選：A.
【題型4 虛數單位i的冪運算的周期性】
【方法點撥】
根據虛數單位i的冪運算的周期性，進行求解即可.
【例4】（2022·云南紅河·校考模擬預測）已知i為虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用復數的除法運算和乘方運算，進行化簡、整理，即可得答案．
【解答過程】．
故選：B．
【變式4-1】（2022春·湖北十堰·高一階段練習）（ ）
A． B．1 C． D．
【解題思路】根據的周期性，計算即可得到結果.
【解答過程】因為
則
故選:A.
【變式4-2】（2022·全國·高一假期作業）設是虛數單位，則的值為（ ）
A． B． C． D．0
【解題思路】利用的周期性求解，連續4項的和為0.
【解答過程】，的取值周期為4，連續4項的和為0，所以，
故選:B.
【變式4-3】（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先利用復數除法化簡，再結合的乘方的周期性，可得解.
【解答過程】.
故選：A.
【題型5 解復數方程】
【方法點撥】
實系數一元二次方程的虛根是成對出現的，即若復數a+bi(a,b∈R，b≠0)是實系數一元二次方程的根，則
其共軛復數a-bi是該方程的另一根，據此進行求解即可.
【例5】（2022·重慶江北·校考一模）已知復數是關于的方程的一個根，則實數的值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【解題思路】根據是關于的方程的一個根，代入計算即可求解.
【解答過程】因為是關于的方程的一個根，
所以，即，所以，
解得：，
故選：.
【變式5-1】（2022秋·寧夏石嘴山·高三期中）已知復數（為虛數單位）為實系數方程的一根，則（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【解題思路】將代入方程中，根據復數相等的充要條件即可求解.
【解答過程】因為是方程的根，所以，
，且，
故選：C.
【變式5-2】（2022·全國·高三專題練習）已知是方程的虛數根，則（ ）
A．0 B． C． D．
【解題思路】由題設有且，將目標式化簡為，即可得結果.
【解答過程】由題設，且，
而 ，
所以原式等于.
故選：C.
【變式5-3】（2022秋·上海寶山·高二階段練習）若是關于的實系數方程的一個復數根，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】由一元二次方程求根公式即可建立方程組求解
【解答過程】方程的根為，
為其中一個復數根，
則有，
解得.
故選：D.
【題型6 四則運算下的復數概念】
【方法點撥】
先根據復數的四則運算法則進行化簡復數，再結合復數的有關概念，進行求解即可.
【例6】（2022·江蘇常州·校考模擬預測）已知復數是純虛數，是實數，則（ ）
A．－ B． C．－2 D．2
【解題思路】由題意設，代入中化簡，使其虛部為零，可求出的值，從而可求出復數，進而可求得其共軛復數.
【解答過程】由題意設，
則，
因為是實數，所以，得，
所以，
所以，
故選：A.
【變式6-1】（2023秋·江西撫州·高三期末）已知復數滿足，則復數（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，由復數的運算即可得到，再由共軛復數的定義即可得到結果.
【解答過程】因為復數滿足，則，
所以，
故選:B.
【變式6-2】（2023秋·江蘇揚州·高三期末）若i為虛數單位，復數z滿足，則z的實部為（ ）．
A． B．3 C． D．2
【解題思路】通過條件計算出復數z的代數形式，即可得實部.
【解答過程】，
則，
則z的實部為.
故選：D.
【變式6-3】在復平面內，復數（ ）
A．位于第一象限
B．對應的點為
C．
D．是純虛數
【解題思路】根據復數的除法運算化簡，根據復數的相關概念一一判斷各選項，即得答案.
【解答過程】由題意可得，
故復數對應的點為，位于y軸正半軸上，故錯誤；
，C錯誤；
為純虛數，D正確，故選：D.

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