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專題7.5 復(fù)數(shù)的三角表示（重難點(diǎn)題型精講）
1．復(fù)數(shù)的三角表示式
(1)復(fù)數(shù)的三角表示式
如圖，我們可以用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角來表示復(fù)數(shù)z.
一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.
(2)輔角的主值
顯然，任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，且這些值相差2π的整數(shù)倍.例如，復(fù)數(shù)i的輻角是
+2kπ，其中k可以取任何整數(shù).對于復(fù)數(shù)0，因?yàn)樗鼘?yīng)著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的.我們規(guī)定在0<2π范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值.通常記作argz，即0argz<2π.
(3)三角形式下的復(fù)數(shù)相等
每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此，兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.
2．復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義
(1)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到
=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，
即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)].
這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.
(2)幾何意義
兩個(gè)復(fù)數(shù)，相乘時(shí)，可以像圖那樣，先分別畫出與，對應(yīng)的向量，，然后把向量
繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(如果<0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角||)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮玫较蛄浚硎镜膹?fù)數(shù)就是積.這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.
3．復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義
(1)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示
設(shè)=(+i)，=(+i)，且≠，因?yàn)?+i)[(-)+i
(-)]=(+i)，所以根據(jù)復(fù)數(shù)除法的定義，有=[(-)+i(-)].
這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻
角減去除數(shù)的輻角所得的差.
(2)幾何意義
如圖，兩個(gè)復(fù)數(shù)，相除時(shí)，先分別畫出與，對應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按
順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(如果<0，就要把繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角||)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮玫较蛄浚硎镜膹?fù)數(shù)就是商.這是復(fù)數(shù)除法的幾何意義.
【題型1 求輔角主值】
【方法點(diǎn)撥】
求輔角主值時(shí)，要考慮角的范圍，因此一定要用“模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連”來判斷是否為三角
形式，再進(jìn)行求解.
【例1】（2022秋·遼寧·高二開學(xué)考試）（i是虛數(shù)單位），則z的輻角主值（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】復(fù)數(shù)可以寫成 的形式，即可求得復(fù)數(shù)的輻角主值.
【解答過程】，所以復(fù)數(shù)的輻角主值.
故選：A.
【變式1-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）的輻角主值為（ ）．
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，對選項(xiàng)逐一分析判斷即可.
【解答過程】對于A，若輻角主值為，則，不可能為，故A錯(cuò)誤；
對于B，若輻角主值為，則，不可能為，故B錯(cuò)誤；
對于C，若輻角主值為，則，當(dāng)時(shí)，，故C正確；
對于D，由于輻角主值的范圍為，不可能為，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
【變式1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)的輻角主值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為三角形式，即可求出輻角的主值．
【解答過程】復(fù)數(shù)
，
所以復(fù)數(shù)的輻角主值是．
故選：D.
【變式1-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則復(fù)數(shù)的輻角主值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式下的乘除運(yùn)算及輻角的定義即可求解．
【解答過程】解：，
因?yàn)椋?br/>所以，所以，
所以該復(fù)數(shù)的輻角主值為．
故選：B.
【題型2 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化】
【方法點(diǎn)撥】
復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式的步驟：①求出模；②確定輻角的主值；③寫出三角形式.
將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式，只需要將其中蘊(yùn)含的三角函數(shù)值求出數(shù)值即可.
【例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式
(1)；
(2)．
【解題思路】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式，再結(jié)合復(fù)數(shù)表示的三角形式
即可求解；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式及誘導(dǎo)公式，再結(jié)合復(fù)數(shù)表示的三角形式即可求解；
【解答過程】(1)
，
，
.
(2)
.
∵當(dāng)時(shí)，，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，，
∴
.
【變式2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）化下列復(fù)數(shù)為三角形式．
(1)－1＋i；
(2)1－i；
(3)2i；
(4)－1．
【解題思路】對于（1）、（2）、（3）、（4）四個(gè)小題，分別求出模和輻角主值，即可寫出對應(yīng)的三角形式.
【解答過程】(1)
因?yàn)閦=－1＋i，所以a＝－1，b＝，
則r＝＝2，tanθ＝－.
而對應(yīng)點(diǎn)M(－1，)在第二象限，θ的主值為，
∴－1＋i＝2．
(2)
因?yàn)閦=1－i，所以a＝1，b＝-1，
則r＝，tanθ＝－1.
而對應(yīng)點(diǎn)M(1，-1)在第四象限，θ的主值為，
∴－1＋i＝．
(3)
因?yàn)閦=2i，所以a＝0，b＝2，
則r＝.
對應(yīng)點(diǎn)M(0，2)在y軸正半軸上，θ的主值為，
∴2i＝2．
(4)
因?yàn)閦=－1，所以a＝－1，b＝0，
則r＝1，對應(yīng)點(diǎn)M(-1，0)在x軸正半軸上，θ的主值為.
∴－1＝．
【變式2-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：
(1)；
(2)．
【解題思路】（1）利用誘導(dǎo)公式直接可得；
（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式直接轉(zhuǎn)化即可.
【解答過程】（1）
；
（2）
.
【變式2-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解題思路】求出各復(fù)數(shù)的模和輻角，化簡成的形式即可得解.
【解答過程】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【題型3 三角形式下的復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算】
【方法點(diǎn)撥】
復(fù)數(shù)三角形式下的乘法法則：模數(shù)相乘，輻角相加；
復(fù)數(shù)三角形式下的乘方法則：模數(shù)乘方，輻角n倍；
復(fù)數(shù)三角形式下的除法法則：模數(shù)相除，輻角相減.
【例3】（2022春·江蘇無錫·高二江蘇省天一中學(xué)校考期中）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解題思路】根據(jù)棣莫弗公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算即可．
【解答過程】由棣莫弗公式知，
，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限．
故選：C．
【變式3-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算的值是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算公式運(yùn)算即可.
【解答過程】因?yàn)?br/>所以，
所以，
故選：B.
【變式3-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1＝，z2＝，則z1z2的代數(shù)形式是（ ）
A． B．
C．－i D．＋i
【解題思路】利用復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則，計(jì)算即可得解.
【解答過程】
，
故選:D.
【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)向量為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)，以射線為始邊，為終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先將表示為三角形式，然后結(jié)合棣莫弗定理求得正確答案.
【解答過程】由題意，得當(dāng)時(shí)，，，
∴
．
∵，
∴，
故選：D.
【題型4 復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義，進(jìn)行求解即可.
【例4】把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得到的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題意用復(fù)數(shù)乘以，化簡可得結(jié)果.
【解答過程】復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得到的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為
，
故選：B.
【變式4-1】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)向量，將按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，令對應(yīng)的復(fù)數(shù)為的輻角主值為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將給定的復(fù)數(shù)化成三角形式，再利用復(fù)數(shù)乘法的三角形式求出的輻角主值，即可計(jì)算作答.
【解答過程】復(fù)數(shù)，因按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，
依題意，，
因此復(fù)數(shù)的輻角主值，所以.
故選：C.
【變式4-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）將復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的向量為，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)是
A．2i B． C． D．
【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算求解即可.
【解答過程】復(fù)數(shù)的三角形式是,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)
故選：B.
【變式4-3】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)向量，將向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，對應(yīng)復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先把復(fù)數(shù)化為三角形式，再根據(jù)題中的條件求出復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)相等的條件得到和的值，求出.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>所以，
設(shè)，，，
則，
，
即，，，
故
.
故選：A.專題7.5 復(fù)數(shù)的三角表示（重難點(diǎn)題型精講）
1．復(fù)數(shù)的三角表示式
(1)復(fù)數(shù)的三角表示式
如圖，我們可以用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角來表示復(fù)數(shù)z.
一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.
(2)輔角的主值
顯然，任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，且這些值相差2π的整數(shù)倍.例如，復(fù)數(shù)i的輻角是
+2kπ，其中k可以取任何整數(shù).對于復(fù)數(shù)0，因?yàn)樗鼘?yīng)著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的.我們規(guī)定在0<2π范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值.通常記作argz，即0argz<2π.
(3)三角形式下的復(fù)數(shù)相等
每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此，兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.
2．復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義
(1)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到
=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，
即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)].
這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.
(2)幾何意義
兩個(gè)復(fù)數(shù)，相乘時(shí)，可以像圖那樣，先分別畫出與，對應(yīng)的向量，，然后把向量
繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(如果<0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角||)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮玫较蛄浚硎镜膹?fù)數(shù)就是積.這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.
3．復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義
(1)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示
設(shè)=(+i)，=(+i)，且≠，因?yàn)?+i)[(-)+i
(-)]=(+i)，所以根據(jù)復(fù)數(shù)除法的定義，有=[(-)+i(-)].
這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻
角減去除數(shù)的輻角所得的差.
(2)幾何意義
如圖，兩個(gè)復(fù)數(shù)，相除時(shí)，先分別畫出與，對應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按
順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(如果<0，就要把繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角||)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮玫较蛄浚硎镜膹?fù)數(shù)就是商.這是復(fù)數(shù)除法的幾何意義.
【題型1 求輔角主值】
【方法點(diǎn)撥】
求輔角主值時(shí)，要考慮角的范圍，因此一定要用“模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連”來判斷是否為三角
形式，再進(jìn)行求解.
【例1】（2022秋·遼寧·高二開學(xué)考試）（i是虛數(shù)單位），則z的輻角主值（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）的輻角主值為（ ）．
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)的輻角主值是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則復(fù)數(shù)的輻角主值為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化】
【方法點(diǎn)撥】
復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式的步驟：①求出模；②確定輻角的主值；③寫出三角形式.
將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式，只需要將其中蘊(yùn)含的三角函數(shù)值求出數(shù)值即可.
【例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式
(1)；
(2)．
【變式2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）化下列復(fù)數(shù)為三角形式．
(1)－1＋i；
(2)1－i；
(3)2i；
(4)－1．
【變式2-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：
(1)；
(2)．
【變式2-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【題型3 三角形式下的復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算】
【方法點(diǎn)撥】
復(fù)數(shù)三角形式下的乘法法則：模數(shù)相乘，輻角相加；
復(fù)數(shù)三角形式下的乘方法則：模數(shù)乘方，輻角n倍；
復(fù)數(shù)三角形式下的除法法則：模數(shù)相除，輻角相減.
【例3】（2022春·江蘇無錫·高二江蘇省天一中學(xué)校考期中）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式3-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算的值是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1＝，z2＝，則z1z2的代數(shù)形式是（ ）
A． B．
C．－i D．＋i
【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)向量為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)，以射線為始邊，為終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：，則（ ）
A． B． C． D．
【題型4 復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義，進(jìn)行求解即可.
【例4】把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得到的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)向量，將按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，令對應(yīng)的復(fù)數(shù)為的輻角主值為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）將復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的向量為，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)是
A．2i B． C． D．
【變式4-3】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)向量，將向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，對應(yīng)復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．

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