資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第三章 函 數
第一節 函數初步
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 函數的概念及解析式 ☆☆ 吉林中考中，有關函數的部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握函數的解析式、自變量的取值范圍及三種表示方法等考點。
考點2 函數及自變量的取值范圍 ☆☆
考點3 函數圖象及其應用 ☆☆
考點4 函數的三種表示方法 ☆☆☆
■考點一　函數的概念及解析式
1.變量：在一個變化過程中， 的量稱為變量.
2.常量：在一個變化過程中， 的量稱為常量.
3.函數的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有 ，那么我們就把x稱為 ，把y稱為 ，y是x的函數.
4. 函數解析式： 叫做函數解析式或函數關系式.
■考點二　函數及自變量的取值范圍
1.函數的取值范圍：使函數有意義的自變量的全體取值，叫做 .
2.確定函數取值范圍的方法： 1）函數解析式為 時，字母 ；
2）函數解析式含有 時，分式的 ；
3）函數解析式含有 時，被 ；
4）函數解析式中含有 的式子時， ；
5）實際問題中函數取值范圍要和實際情況相符合，使之有意義.
3.函數值概念：如果在自變量取值范圍內給定一個值a，函數對應的值為b，那么 .
■考點三　函數圖象及其應用
如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的 ，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個 .
用坐標表示地理位置的方法
1）選擇一個適當的參照點為原點建立直角坐標系，并確定 ；
2）根據具體問題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出 ；
3）坐標平面內畫出這些點，并寫出各點的坐標和各個地點的 .
■考點四　函數的三種表示方法
1.函數的表示方法有三種： .
2.解析法：兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做 .
3.列表法：把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做 .
4.圖像法：用圖像表示函數關系的方法叫做 .
優點 缺點
解析法 準確反映整個變化過程中自變量與函數的關系 求對應值是要經過比較復雜的計算，而且實際問題中有的函數值不一定能用解析式表示
列表法 自變量和與它對應的函數值數據一目了然 所列對應數值個數有限，不容易看出自變量與函數值的對應關系，有局限性
圖像法 形象地把自變量和函數值的關系表示出來 圖像中只能得到近似的數量關系
■易錯提示
1. 有序數對（a，b）與（b，a）順序不同，含義也不同.
2. 坐標軸上的點不屬于任何象限.
3. 坐標平面內點的坐標是有序實數對，當a≠b時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標.
4. 坐標平面內的點可以用有序實數對來表示，反過來每一個有序實數對應著坐標平面內的一個點，即坐標平面內的點和有序實數對是一一對應的關系.
5.原點既是x軸上的點，又是y 軸上的點.
6.點的橫坐標或縱坐標為0，說明點在 y軸上或在x軸上.
7.已知點的坐標可以求出點到x 軸、y軸的距離，應注意取相應坐標的絕對值.
8.點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區別的，表現在兩方面：
①到x 軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；
②距離都是非負數，而坐標可以是負數.
9.因為橫軸向右為正，所以點向右平移時橫坐標變大，向左平移時橫坐標變小，同理向上平移時縱坐標變大，向下平移縱坐標變小.
10.常量和變量的區分：在某個變化過程中，該量的值是否發生變化。
11.函數概念的解讀：①有兩個變量。
②一個變量的數值隨另一個變量的數值變化而變化。
③對于自變量每一個確定的值，函數有且只有一個值與之對應。
12.當已知函數解析式及自變量的值，欲求函數值時，實質就是求代數式的值.
13.當已知函數解析式，且給出函數值,，欲求相應的自變量的值時，實質就是解方程.
14.當給定函數值的一個取值范圍，欲求相應的自變量的取值范圍時，實質就是解不等式.
■考點一　函數的概念及解析式
◇典例1： （2024下·全國·八年級假期作業）下列是關于變量x，y的關系式：①②；③；④.其中是的函數的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
◆變式訓練
1．（2023上·浙江杭州·八年級校聯考階段練習）甲、乙兩地相距，一貨車從甲地出發以的速度勻速向乙地行駛，則貨車距離乙地的路程與時間之間的函數表達式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山東淄博·七年級淄博市淄川實驗中學校考階段練習）若等腰三角形頂角x度，底角是y度，則y與x函數關系是（ ）
A． B． C． D．
■考點二　函數及自變量的取值范圍
◇典例2：（2023上·重慶沙坪壩·九年級校考階段練習）要使函數有意義，自變量x應滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2024下·全國·七年級假期作業）已知變量x，y之間的關系式為，當時，y的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2023上·廣西賀州·八年級統考期中）當時，函數的值是（　　）
A． B． C．0 D．1
■考點三　函數圖象及其應用
◇典例3：（2023上·浙江·八年級專題練習）下列圖形中，表示y是x的函數的是（　　）
A． B．
C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·廣西賀州·八年級統考期中）如圖，下列各曲線中能夠表示是的函數的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023下·新疆阿克蘇·八年級期末）在全民健身賽跑中，甲、乙兩名選手的行程隨時間變化的圖象如圖所示，給出下列四個結論：①起跑后1小時內，甲在乙的前面；②在第1小時，兩人都跑了10千米；③乙的行程y與時間x的關系式為；④甲在第小時跑了11千米．其中正確結論的個數有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
■考點四　函數的三種表示方法
◇典例4：（2023上·河南鄭州·八年級校考期中）某數學氣象小組為了較直觀地了解當地某一天24h的氣溫與時間的關系．可選擇的比較好的方法是（ ）
A．列表法 B．圖象法 C．關系式法 D．以上三種方法均可
◆變式訓練
1．（2023下·山東泰安·六年級統考期末）在關系式中，下列說法：①是自變量，是因變量；②是變量，它的值與無關；③用關系式表示的不能用圖象表示；④與的關系還可以用列表法和圖象法表示．其中說法正確的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
12．（2023下·四川達州·七年級統考期末）李強一家自駕車到離家的九寨溝旅游，出發前將油箱加滿油．下表記錄了轎車行駛的路程與油箱剩余油量之間的部分數據：
轎車行駛的路程 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列說法不正確的是（ ）
A．該車的油箱容量為
B．該車每行駛100km耗油8L
C．油箱剩余油量與行駛的路程之間的關系式為
D．當李強一家到達九寨溝時，油箱中剩余油
1.（2023·吉林·統考一模）在學習有序數對時，老師和同學們用如圖所示的密碼表玩聽聲音猜動物的游戲．當聽到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”時，分別對應的字母是“C，A，T”，表示的動物是貓．當聽到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”時，表示的動物是（ ）
A．牛 B．魚 C．狗 D．豬
2.（22-23八年級下吉林長春期末）下列圖形中,可以表示函數的是( )
3.（2023八年級下吉林長春期末）函數，y=的自變量、的取值范圍是( )
A.x≠3 B .x>3 C.x<3 D.x=3
4.（21-22八年級下吉林長春期末）小蘇和小林在如圖①所示的跑道上進行4 x 50米折返跑,在整個過程中跑步者距起跑線的距離y (單位:m)與跑步時間t (單位:s)的對應關系如圖②所示,則下列敘述正確的是( )
A .兩人從起跑線同時出發,同時到達終點
B .小蘇跑完全程的平均速度大于小林跑完全程的平均速度
C .小蘇前15s跑過的路程大于小林前15s跑過的路程
D .在折返跑過程中(不包括起跑和終點) , 小林與小蘇相遇了3次
5.(21-22八年級下吉林長春期末)在函數y= 2x2+1中，當自變量x=3時,因變量的值是 .
6.（21-22八年級下吉林四平期末）函數y=的圖像如圖所示,則這個函數的最小值是 .
7．（2023·吉林松原·校聯考二模）如圖，在中，，，．正方形的邊長為，邊和邊都在直線l上，點E和點A重合．正方形以速度沿直線l向右運動，當點G在邊上時，停止運動，設正方形的運動時間為，正方形與的重疊部分的面積為S．

(1)當時，______；
(2)當點G在邊上時，_______；
(3)求S與t之間的函數解析式．
8．（2020·吉林長春·統考模擬預測）如圖，長方形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=BC=20，AB=8，動點P從點B出發，先以每秒2cm的速度沿B→A的方向運動，到達點A后再以每秒4cm的速度沿A→D的方向向終點D運動；動點Q從點B出發以每秒2cm的速度沿B→C的方向向終點C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設點P、Q同時出發，運動時間為t秒．
(1)直接寫出BQ的長(用含t的代數式表示)
(2)求△BPQ的面積S(用含t的代數式表示)
(3)求當四邊形APCQ為平行四邊形t的值
(4)若點E為BC中點，直接寫出當△BEP為等腰三角形時t的值．
9．（2023·吉林松原·統考一模）如圖，在中，，為邊上一動點，，垂足為N．設A，M兩點間的距離為xcm（），B，N兩點間的距離為ycm（當M點和B點重合時，B，N兩點間的距離為0）．
小明根據學習函數的經驗，對因變量y隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究．
下面是小明的探究過程，請補充完整．
(1)列表：下表的已知數據是根據A，M兩點間的距離x進行取點、畫圖、測量，分別得到的y與x的幾組對應值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
請你通過計算，補全表格： ；
(2)描點、連線：在平面直角坐標系中，描出表中各組數值所對應的點（x，y），并畫出y關于x的函數圖象；
(3)探究性質：隨著自變量x的不斷增大，函數y的變化趨勢： ．
10．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考模擬預測）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發駛向乙地，如圖，線段表示貨車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數關系；線段表示轎車離甲地距離y（千米〉與時間x（（小時）之間的函數關系．點C在線段上，請根據圖象解答下列問題：
(1)轎車的速度是___________千米/小時．
(2)求轎車出發后，轎車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數關系式．
(3)在整個過程中，當轎車與貨車之間的距離為30千米時，直接寫出x的值．
11．（2022·吉林長春·統考模擬預測）有甲、乙兩個港口，一艘客船從甲港口出發，順流航行到乙港口，立刻逆流航行返回甲港口.已知客船在甲、乙兩個港口之間順流航行的速度是每小時32千米.客船距乙港口的距離y（千米）與客船行駛的時間x（小時）之間的函數關系如圖所示.
(1)甲、乙兩個港口的距離是_________千米.
(2)求y與x之間的函數關系式.
(3)甲、乙兩個港口之間有一個燈塔P，若客船這次航行時兩次經過燈塔P的時間間隔為6小時，直接寫出燈塔P與甲港口之間的距離.
1．（2024下·全國·七年級假期作業）聲音在空氣中傳播的速度v（簡稱聲速）與空氣溫度t的大致關系如下表所示，則下列說法錯誤的是（ ）
溫度t/℃ －20 －10 0 10 20 30
聲速v/（m/s） 318 324 330 336 342 348
A．溫度越高，聲速越快
B．在這個變化過程中，自變量是聲速v，因變量是溫度t
C．當空氣溫度為20℃時，聲速為342m/s
D．溫度t每升高10℃，聲速v提高6m/s
2．（2023上·浙江杭州·八年級杭州綠城育華學校校考階段練習）某商場為了增加銷售額，推出了“元旦期間大酬賓”活動，活動內容是：“凡元旦期間在該商場一次性購物超過100元者，超過100元的部分按八折優惠．”在酬賓活動中，小張到該商場為單位購買了單價為30元的辦公用品x件（），則應付款y與商品件數x的關系式為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024下·全國·八年級假期作業）已知A，B兩地相距，小黃從地到地，平均速度為.若用表示行走的時間（單位：h），表示余下的路程（單位：），則關于的函數解析式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023下·河南鶴壁·七年級校聯考期末）根據如圖所示的程序計算函數y的值，若輸入的x值是和2時，輸出的y值相等，則b等于（ ）
A．5 B． C．7 D．3和4
5．（2022上·上海黃浦·八年級上海市黃浦大同初級中學校考期末）已知函數，那么的值是 ．
6．（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級校考階段練習）函數，自變量的取值范圍是 ．
7．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校考期末）函數中，自變量x的取值范圍是 ．
8．（2024下·全國·八年級假期作業）已知彈簧的長度y cm與所掛物體的質量x kg之間有如下關系，則（　　）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8
A．y隨x的增大而增大 B．質量每增加1kg，彈簧的長度增加0.5cm
C．不掛物體時，彈簧的長度為6cm D．質量為6kg時，彈簧的長度為8.5cm
9．（2023上·安徽滁州·八年級校考階段練習）李壯從家騎車勻速到離家的夏令營，騎車的速度為．出發后，家中的媽媽發現李壯水杯沒帶，立即駕車以的速度沿李壯相同的路線追趕李壯．追上后，又以同樣速度原路返回家中．李壯離家到營地這段時間內，他與媽媽之間的距離與他騎行的時間之間的函數圖象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022下·河南信陽·八年級統考期末）如圖，正方形的邊長為4，為正方形邊上一動點，運動路線是，設點經過的路程為，以點為頂點的三角形的面積是，則下列圖像能大致反應與的函數關系的是（ ）
B．
C． D．
11．（2023上·遼寧錦州·八年級統考期中）小明和小張是鄰居，某天早晨，小明7：40先出發去學校，走了一段后，在途中停下吃早餐，后來發現上學時間快到了，就跑步到學校；小張比小明晚出發5分鐘，乘公共汽車到學校．如圖是他們從家到學校已走的路程y（米）和小明所用時間x（分鐘）的函數圖象．則下列說法中不正確的是（ ）
A．小張乘坐公共汽車后7：48與小明相遇
B．小張到達學校時，小明距離學校400米
C．小明家和學校距離1000米
D．小明吃完早餐后，跑步到學校的速度為80米/分
12．（2023上·全國·九年級專題練習）如圖1，點P從的頂點A出發，沿勻速運動到點C，圖2是點P運動時，線段AP的長度y隨時間x變化的關系圖象，其中M為曲線部分的最低點，則的面積為 ．
13．（2023下·河南開封·七年級統考期末）在彈簧限度內，彈簧掛上物體后彈簧的長度與所掛物體的質量之間的關系如表：
所掛物體的質量 …
彈簧的長度 …
則不掛物體時，彈笽的長度是 ．
14．（2023上·江蘇鹽城·八年級校聯考階段練習）某通訊公司手機話費收費有A套餐（月租費15元，通話費每分鐘元）和B套餐（月租費0元，通話費每分鐘元）兩種，設A套餐每月話費為（元），B套餐每月話費（元），月通話時間為x分鐘．
(1)直接寫出與x，與x的函數關系式；
(2)如果某用戶使用A套餐本月繳費50元，求他本月的通話時間？
(3)如果某用戶這個月的通話時間為280分鐘時，選擇哪種套餐更劃算？
15．（2024下·全國·八年級假期作業）父親告訴小明“在一定范圍內，距離地面越高，溫度越低”，并給小明出示了下面的表格：
距離地面的高度 0 1 2 3 4 5
溫度 20 14 8 2
根據表格回答下列問題：
(1)距離地面，的溫度分別是多少？
(2)在這個變化過程中變量是什么？
(3)如果用表示距離地面的高度，用表示溫度，那么在一定范圍內，隨著的變化，是怎么變化的？
16．（2024上·北京西城·九年級北京市回民學校校考階段練習）小朋在學習過程中遇到一個函數．下面是小朋對其探究的過程，請補充完整：
… 0 1 2 …
… 0 …

(1)觀察這個函數的解析式可知，的取值范圍是________，函數值的取值范圍是________；
(2)進一步研究，與的幾組對應值如表，請補充完整
(3)結合上表，畫出函數圖像：
(4)結合函數圖像，寫出兩條性質________．
17．（2023上·江蘇揚州·八年級校考階段練習）如圖1．在矩形中，點P從點A出發，勻速沿向點D運動，連接，設點P的運動距離為x，的長為y，y關于x的函數圖象如圖2所示，則當點P為中點時，的長為（ ）
A．5 B．8 C． D．
18．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統考期末）如圖①，動點從矩形的頂點出發，在邊、上沿的方向，以的速度勻速運動到點，的面積（單位：）隨運動時間（單位：）變化的函數圖象如圖②所示，則的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
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第三章 函 數
第一節 函數初步
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 函數的概念及解析式 ☆☆ 吉林中考中，有關函數的部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握函數的解析式、自變量的取值范圍及三種表示方法等考點。
考點2 函數及自變量的取值范圍 ☆☆
考點3 函數圖象及其應用 ☆☆
考點4 函數的三種表示方法 ☆☆☆
■考點一　函數的概念及解析式
1.變量：在一個變化過程中，數值發生變化的量稱為變量.
2.常量：在一個變化過程中，數值始終不變的量稱為常量.
3.函數的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數.
4. 函數解析式：用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式.
■考點二　函數及自變量的取值范圍
1.函數的取值范圍：使函數有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.
2.確定函數取值范圍的方法： 1）函數解析式為整式時，字母取值范圍為全體實數；
2）函數解析式含有分式時，分式的分母不能為零；
3）函數解析式含有二次根式時，被開方數大于等于零；
4）函數解析式中含有指數為零的式子時，底數不能為零；
5）實際問題中函數取值范圍要和實際情況相符合，使之有意義.
3.函數值概念：如果在自變量取值范圍內給定一個值a，函數對應的值為b，那么b叫做當自變量取值為a時的函數值.
■考點三　函數圖象及其應用
如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.
用坐標表示地理位置的方法
1）選擇一個適當的參照點為原點建立直角坐標系，并確定x軸、y軸的正方向；
2）根據具體問題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出長度單位；
3）坐標平面內畫出這些點，并寫出各點的坐標和各個地點的名稱.
■考點四　函數的三種表示方法
1.函數的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.
2.解析法：兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法.
3.列表法：把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法.
4.圖像法：用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法.
優點 缺點
解析法 準確反映整個變化過程中自變量與函數的關系 求對應值是要經過比較復雜的計算，而且實際問題中有的函數值不一定能用解析式表示
列表法 自變量和與它對應的函數值數據一目了然 所列對應數值個數有限，不容易看出自變量與函數值的對應關系，有局限性
圖像法 形象地把自變量和函數值的關系表示出來 圖像中只能得到近似的數量關系
■易錯提示
1. 有序數對（a，b）與（b，a）順序不同，含義也不同.
2. 坐標軸上的點不屬于任何象限.
3. 坐標平面內點的坐標是有序實數對，當a≠b時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標.
4. 坐標平面內的點可以用有序實數對來表示，反過來每一個有序實數對應著坐標平面內的一個點，即坐標平面內的點和有序實數對是一一對應的關系.
5.原點既是x軸上的點，又是y 軸上的點.
6.點的橫坐標或縱坐標為0，說明點在 y軸上或在x軸上.
7.已知點的坐標可以求出點到x 軸、y軸的距離，應注意取相應坐標的絕對值.
8.點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區別的，表現在兩方面：
①到x 軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；
②距離都是非負數，而坐標可以是負數.
9.因為橫軸向右為正，所以點向右平移時橫坐標變大，向左平移時橫坐標變小，同理向上平移時縱坐標變大，向下平移縱坐標變小.
10.常量和變量的區分：在某個變化過程中，該量的值是否發生變化。
11.函數概念的解讀：①有兩個變量。
②一個變量的數值隨另一個變量的數值變化而變化。
③對于自變量每一個確定的值，函數有且只有一個值與之對應。
12.當已知函數解析式及自變量的值，欲求函數值時，實質就是求代數式的值.
13.當已知函數解析式，且給出函數值,，欲求相應的自變量的值時，實質就是解方程.
14.當給定函數值的一個取值范圍，欲求相應的自變量的取值范圍時，實質就是解不等式.
■考點一　函數的概念及解析式
◇典例1： （2024下·全國·八年級假期作業）下列是關于變量x，y的關系式：①②；③；④.其中是的函數的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
【答案】B
【解析】略
◆變式訓練
1．（2023上·浙江杭州·八年級校聯考階段練習）甲、乙兩地相距，一貨車從甲地出發以的速度勻速向乙地行駛，則貨車距離乙地的路程與時間之間的函數表達式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了列函數關系式；根據剩余路程等于總距離減去行駛距離列函數關系式即可．
【詳解】解：由題意得：，
故選：C．
2．（2023上·山東淄博·七年級淄博市淄川實驗中學校考階段練習）若等腰三角形頂角x度，底角是y度，則y與x函數關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查等腰三角形的性質，函數關系式等知識，利用三角形內角和定理和外角的定義即可解決問題．解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
【詳解】解：∵等腰三角形頂角x度，底角是y度，
∴，
∴．
故選A．
■考點二　函數及自變量的取值范圍
◇典例2：（2023上·重慶沙坪壩·九年級校考階段練習）要使函數有意義，自變量x應滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查分式有意義的條件，求函數自變量的取值范圍．根據分式有意義的條件：分母不為零，直接列式求解即可得到答案．
【詳解】解：∵有意義，
∴，解得，
故選：A．
◆變式訓練
1．（2024下·全國·七年級假期作業）已知變量x，y之間的關系式為，當時，y的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】略
2．（2023上·廣西賀州·八年級統考期中）當時，函數的值是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】本題主要考查了函數值求解，把自變量的值代入函數解析式計算即可．
【詳解】解：當時，
．
故選：B．
■考點三　函數圖象及其應用
◇典例3：（2023上·浙江·八年級專題練習）下列圖形中，表示y是x的函數的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了函數的概念，函數的圖象，熟練掌握函數的概念是解題的關鍵．
根據函數的概念，對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應，結合函數圖象即可解答．
【詳解】解：A、對于自變量x的每一個值，因變量y不是都有唯一的值與它對應，所以不能表示y是x的函數，故A不符合題意；
B、對于自變量x的每一個值，因變量y不是都有唯一的值與它對應，所以不能表示y是x的函數，故B不符合題意；
C、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應，所以能表示y是x的函數，故C符合題意；
D、對于自變量x的每一個值，因變量y不是都有唯一的值與它對應，所以不能表示y是x的函數，故D不符合題意；
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023上·廣西賀州·八年級統考期中）如圖，下列各曲線中能夠表示是的函數的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了函數的定義；
根據函數的定義：在一個變化過程中，如果有兩個變量x、y，并且對于每一個確定的x值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說y是x的函數，逐項判斷即可．
【詳解】解：A.對于自變量x的任何取值，y都有唯一的值與之相對應，則y是x的函數；
B.對于自變量x的取值，y有2個值與之相對應，則y不是x的函數；
C.對于自變量x的取值，y有2個值與之相對應，則y不是x的函數；
D.對于自變量x的取值，y有2個值與之相對應，則y不是x的函數；
故選：A．
2．（2023下·新疆阿克蘇·八年級期末）在全民健身賽跑中，甲、乙兩名選手的行程隨時間變化的圖象如圖所示，給出下列四個結論：①起跑后1小時內，甲在乙的前面；②在第1小時，兩人都跑了10千米；③乙的行程y與時間x的關系式為；④甲在第小時跑了11千米．其中正確結論的個數有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】此題考查了函數圖象的意義．解題的關鍵是根據題意理解各段函數圖象的實際意義，正確理解函數圖象橫縱坐標表示的意義，理解問題的過程．根據函數圖象和圖象中的數據可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】解：由圖象可得，
起跑后1小時內，甲在乙的前面，故①正確；
第1小時兩人相遇，都跑了10千米，故②正確；
由圖象知，乙1小時跑了10千米，所以乙的行程y與時間t的關系式為，故③正確；
∵甲在的速度為，
∴甲在第小時，其行程為千米，故④錯誤；
綜上，①②③正確；
故選：B．
■考點四　函數的三種表示方法
◇典例4：（2023上·河南鄭州·八年級校考期中）某數學氣象小組為了較直觀地了解當地某一天24h的氣溫與時間的關系．可選擇的比較好的方法是（ ）
A．列表法 B．圖象法 C．關系式法 D．以上三種方法均可
【答案】B
【分析】本題主要考查了函數的表示方法，圖象法直觀地反映函數值隨自變量的變化而變化的規律．列表法能具體地反映自變量與函數的數值對應關系，在實際生活中應用非常廣泛；解析式法準確地反映了函數與自變量之間的對應規律，根據它可以由自變量的取值求出相應的函數值，反之亦然；圖象法直觀地反映函數值隨自變量的變化而變化的規律．從而可得答案．
【詳解】解：某數學氣象小組為了較直觀地了解當地某一天24h的氣溫與時間的關系，可選擇的比較好的方法是圖象法，有利于判斷體溫的變化情況，
故選B
◆變式訓練
1．（2023下·山東泰安·六年級統考期末）在關系式中，下列說法：①是自變量，是因變量；②是變量，它的值與無關；③用關系式表示的不能用圖象表示；④與的關系還可以用列表法和圖象法表示．其中說法正確的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】根據一次函數的定義可知，為自變量，為函數，也叫因變量；取全體實數，隨的變化而變化；可以用三種形式來表示函數：解析法、列表法和圖象法．
【詳解】解：①是自變量，是因變量，原題中說法正確；②是變量，的值隨值的變化而變化，故原題中說法錯誤；③用關系式表示的可以用圖象表示，故原題中說法錯誤；④與的關系還可以用列表法和圖象法表示，原題中說法正確，
綜上所述①④正確，
故選：．
【點睛】本題考查了函數的定義，函數的三種表示方法，熟知在一個變化的過程中，數值發生變化的量稱為變量，數值始終不變的量稱為常量，是解答本題的關鍵．
12．（2023下·四川達州·七年級統考期末）李強一家自駕車到離家的九寨溝旅游，出發前將油箱加滿油．下表記錄了轎車行駛的路程與油箱剩余油量之間的部分數據：
轎車行駛的路程 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列說法不正確的是（ ）
A．該車的油箱容量為
B．該車每行駛100km耗油8L
C．油箱剩余油量與行駛的路程之間的關系式為
D．當李強一家到達九寨溝時，油箱中剩余油
【答案】C
【分析】根據表格中信息逐一判斷即可．
【詳解】解：A、由表格知：行駛路程為0km時，油箱余油量為，故A正確，不符合題意；
B、時，耗油量為 ；100——200km時，耗油量為 ；故B正確，不符合題意；
C、有表格知：該車每行駛耗油，則，故C錯誤，符合題意；
D、當 時，，故D正確，不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了函數的表示方法，明確題意、正確從表格中獲取信息是解題的關鍵．
1.（2023·吉林·統考一模）在學習有序數對時，老師和同學們用如圖所示的密碼表玩聽聲音猜動物的游戲．當聽到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”時，分別對應的字母是“C，A，T”，表示的動物是貓．當聽到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”時，表示的動物是（ ）
A．牛 B．魚 C．狗 D．豬
【答案】C
【分析】根據題意，聲音的前一部分表示列數，后一部分表示行數，舉出即可求解．
【詳解】解：依題意，“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”，對應的字母分貝為D，O，G，故選：C．
【點睛】本題考查了用有序實數對表示位置，理解題意是解題的關鍵．
2.（22-23八年級下吉林長春期末）下列圖形中,可以表示函數的是( )
[知識點]函數的概念
[答案] C
[分析]根據函數的概念,對于自變量:的每一個值, 因變量v都有唯一的值與它對應，結合函數圖象即可解答.
[詳解]解:由函數的定義，可知C選項中,對于自變量x:的每一個值，因變量v都有唯一的值與它對應，符合函數定義,
故選: C.
[點睛]此題考查了函數的概念，熟記函數的定義是解題的關鍵.
3.（2023八年級下吉林長春期末）函數，y=的自變量、的取值范圍是( )
A.x≠3 B .x>3 C.x<3 D.x=3
[知識點]分式有意義的條件，求自變量的取值范圍
[答案] A
[分析]根據分式有意義的條件，即可求解.
[詳解]解:根據題意得: 3-x≠0,
解得: x≠3.
故選: A
[點睛]本題主要考查了求自變量的取值范圍，熟練掌握分式的分母不等于0是解題的關鍵.
4.（21-22八年級下吉林長春期末）小蘇和小林在如圖①所示的跑道上進行4 x 50米折返跑,在整個過程中跑步者距起跑線的距離y (單位:m)與跑步時間t (單位:s)的對應關系如圖②所示,則下列敘述正確的是( )
A .兩人從起跑線同時出發,同時到達終點
B .小蘇跑完全程的平均速度大于小林跑完全程的平均速度
C .小蘇前15s跑過的路程大于小林前15s跑過的路程
D .在折返跑過程中(不包括起跑和終點) , 小林與小蘇相遇了3次
[知識點]從函數的圖象獲取信息(
[答案] D
[分析]依據函數圖象中跑步者距起跑線的距離! (單位: m)與跑步時間t (單位: s)的對應關系,即可得到正確結論.
[詳解]解:兩人從起跑線同時出發，先后到達終點，小林先到達終點，故A選項不符合題意;
根據圖象兩人從起跑線同時出發，小林先到達終點,小蘇后到達終點，小蘇用的時間多，而路程相同，所以小蘇跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B選項不符合題意;
由函數圖象可知:小蘇前15s跑過的路程小于小林前15s跑過的路程，故C選項不符合題意;
在折返跑過程中(不包括起跑和終點)，小林與小蘇相遇3次，故D選項符合題意;
故選: D.
[點睛]本題主要考查了函數圖象的讀圖能力，要能根據函數圖象的性質和圖象上的數據分析得出函數的類型和所需要的條件,結合實際意義得到正確的結論.
5.(21-22八年級下吉林長春期末)在函數y= 2x2+1中，當自變量x=3時,因變量的值是 .
[知識點]求自變量的值或函數值
[答案] 19
[分析]把x= 3代入函數關系式進行求解即可.
[詳解]解:當x=時，y-2x2+1=2x32+1=19,
故答案為: 19.
[點睛]本題考查了求函數值，解決本題的關鍵是代入函數關系式求值.
6.（21-22八年級下吉林四平期末）函數y=的圖像如圖所示,則這個函數的最小值是 .
[知識點]從函數的圖象獲取信息
[答案] 1
[分析]根據函數圖像即可求得答案.
[詳解]解:函數的最低點(2, 1),
函數的最小值為1.
故答案為: 1.
[點睛]本題主要考查函數的圖像，從圖像中找到最低點是解題的關鍵.
7．（2023·吉林松原·校聯考二模）如圖，在中，，，．正方形的邊長為，邊和邊都在直線l上，點E和點A重合．正方形以速度沿直線l向右運動，當點G在邊上時，停止運動，設正方形的運動時間為，正方形與的重疊部分的面積為S．

(1)當時，______；
(2)當點G在邊上時，_______；
(3)求S與t之間的函數解析式．
【答案】(1)2
(2)3
(3)
【分析】（1）先求出，如圖1所示，當時，則，，證明得到，再根據重疊部分面積即為的面積進行求解即可；
（2）當點G在邊上時，同理可得，則，由此即可求出時間t的值；
（3）分當時，如圖1所示，當時，如圖2所示，當時，如圖3所示，三種情況根據圖形之間面積的關系進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
如圖1所示，當時，則，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2；

（2）解：當點G在邊上時，同理可得，
∴，
∴，
故答案為：3；

（3）解：當時，如圖1所示，
同理可得，
∴；

當時，如圖2所示，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴；

當時，如圖3所示，
同理可得，，
∴．

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，列函數關系式等等，正確理解題意利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．
8．（2020·吉林長春·統考模擬預測）如圖，長方形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=BC=20，AB=8，動點P從點B出發，先以每秒2cm的速度沿B→A的方向運動，到達點A后再以每秒4cm的速度沿A→D的方向向終點D運動；動點Q從點B出發以每秒2cm的速度沿B→C的方向向終點C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設點P、Q同時出發，運動時間為t秒．
(1)直接寫出BQ的長(用含t的代數式表示)
(2)求△BPQ的面積S(用含t的代數式表示)
(3)求當四邊形APCQ為平行四邊形t的值
(4)若點E為BC中點，直接寫出當△BEP為等腰三角形時t的值．
【答案】(1) BQ=2t(0≤t≤9) ；(2) S=2t2(0＜t≤4)， S=8t(4＜t≤9)； (3) t=6；(4) t=5或或或8
【分析】(1)先計算得出點P和點Q走完全程所需時間，即可直接寫出BQ的長；
(2)分點P在AB上時和點P在AD上時，兩種情況討論，由三角形面積公式可求S與t的函數關系式；
(3)當點P在AD上，且AP=CQ時，四邊形APCQ是平行四邊形．由此構建方程即可解決問題．
(4)分三種情況討論，利用等腰三角形的性質可求解，
【詳解】(1) 點P走完全程所需時間：(秒)，
點Q走完全程所需時間：(秒)，
∴點P和點Q運動時間最多為秒，
由題意，得：BQ()；
(2)當點P在AB上時，S=BQ×BP=×2t×2t=2t2(0＜t≤4)，
當點P在AD上時，S=BQ×8=8t(4＜t≤9)；
(3)當點P在AD上，且AP=CQ時，四邊形APCQ是平行四邊形，
依題意得：4(t-4)=20-2t，
解得：t=6．
∴t=6時，四邊形APCQ是平行四邊形；
(4)∵點E為BC中點，
∴BE=EC=10，
如圖，若BE=PE=10，過點E作EH⊥AD于H，

∵∠ABC=∠BAD=90°，EH⊥AD，
∴四邊形ABEH是矩形，
∴HE=AB=8，AH=BE=10=HD，
∴PH==6，
當點P在點H左邊時，
∴AP=4，
∴5(秒)，
當點P在點H右邊時，
∴AP=16
∴8(秒)，
如圖，若BP=PE，過點P作PM⊥BC于M

∴BM=ME=5，
∵∠ABC=∠BAD=90°，PM⊥BC，
∴四邊形ABMP是矩形，
∴AP=BM=5，
∴(秒)，
若BP=BE=10，

∴AP==6
∴ (秒)，
綜上所述：當t=5或或或8時，△BEP為等腰三角形．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質，平行四邊形的判定，三角形的面積，函數的應用，等腰三角形的性質，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵，屬于中考常考題型．
9．（2023·吉林松原·統考一模）如圖，在中，，為邊上一動點，，垂足為N．設A，M兩點間的距離為xcm（），B，N兩點間的距離為ycm（當M點和B點重合時，B，N兩點間的距離為0）．
小明根據學習函數的經驗，對因變量y隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究．
下面是小明的探究過程，請補充完整．
(1)列表：下表的已知數據是根據A，M兩點間的距離x進行取點、畫圖、測量，分別得到的y與x的幾組對應值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
請你通過計算，補全表格： ；
(2)描點、連線：在平面直角坐標系中，描出表中各組數值所對應的點（x，y），并畫出y關于x的函數圖象；
(3)探究性質：隨著自變量x的不斷增大，函數y的變化趨勢： ．
【答案】(1)3.2
(2)見解析
(3)y隨x的增大而減小
【分析】（1）先求出邊上的高，進而求出，判斷出點M與重合，即可得出答案；
（2）先描點，再連線，即可畫出圖象；
（3）根據圖象直接得出結論．
【詳解】（1）解：如圖，
在中，，根據勾股定理得，，
過點C作于，
∴，
∴，
在中，根據勾股定理得，，
∴當時，點M與點重合，
∴，
∵，
∴點M，N重合，
∴，
故答案為：3.2；
（2）如圖所示，
（3）由圖象知，y隨x的增大而減小，
故答案為：y隨x的增大而減小；
【點睛】此題主要考查了勾股定理，三角形的面積，函數圖象的畫法，畫出函數圖象是解本題的關鍵．
10．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考模擬預測）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發駛向乙地，如圖，線段表示貨車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數關系；線段表示轎車離甲地距離y（千米〉與時間x（（小時）之間的函數關系．點C在線段上，請根據圖象解答下列問題：
(1)轎車的速度是___________千米/小時．
(2)求轎車出發后，轎車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數關系式．
(3)在整個過程中，當轎車與貨車之間的距離為30千米時，直接寫出x的值．
【答案】(1)100
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根據函數圖象結合速度路程時間進行求解即可；
（2）根據路程速度時間進行求解即可；
（3）先求出貨車的速度，再分當轎車未出發前，轎車與貨車之間的距為30千米時，當轎車出發后且未追上貨車前，轎車與貨車之間的距為30千米時，當轎車追上貨車后，且轎車未到終點前，轎車與貨車之間的距為30千米時，當轎車到達終點后，轎車與貨車之間的距離為30千米時，列出對應的方程求解即可．
【詳解】（1）解：由函數圖象可知轎車在小時行駛了千米，
∴轎車的速度為千米/小時，
故答案為：100；
（2）解：由題意得，；
（3）解：由函數圖象可知貨車在5小時行駛為300千米，
∴貨車的速度為千米/小時，
∴；
當轎車未出發前，轎車與貨車之間的距離為30千米時，則，
解得；
當轎車出發后且未追上貨車前，轎車與貨車之間的距離為30千米時，則，
解得；
當轎車追上貨車后，且轎車未到終點前，轎車與貨車之間的距離為30千米時，則，
解得；
當轎車到達終點后，轎車與貨車之間的距離為30千米時，則，
解得；
綜上所述，當轎車與貨車之間的距離為30千米時，x的值為或或或．
【點睛】本題主要考查了從函數圖象獲取信息，列函數關系式，一元一次方程的應用，正確讀懂函數圖象是解題的關鍵．
11．（2022·吉林長春·統考模擬預測）有甲、乙兩個港口，一艘客船從甲港口出發，順流航行到乙港口，立刻逆流航行返回甲港口.已知客船在甲、乙兩個港口之間順流航行的速度是每小時32千米.客船距乙港口的距離y（千米）與客船行駛的時間x（小時）之間的函數關系如圖所示.
(1)甲、乙兩個港口的距離是_________千米.
(2)求y與x之間的函數關系式.
(3)甲、乙兩個港口之間有一個燈塔P，若客船這次航行時兩次經過燈塔P的時間間隔為6小時，直接寫出燈塔P與甲港口之間的距離.
【答案】(1)96
(2)y=
(3)千米
【分析】（1）由路程等于速度乘以時間求解即可；
（2）分兩種情況：當0≤x≤3時，當3（3）設燈塔P與甲港口之間的距離為S千米，根據兩次經過燈塔P的時間間隔為6小時，列出方程，求解即可．
【詳解】（1）解：由圖象知：從甲港口到甲港口行駛的時間為3小時，
∴甲乙兩個港口的距離為：32×3=96（千米），
故答案為：96；
（2）解：當0≤x≤3時，
y=96-3x，
當3把(3,0)，(7,96)代入，得
，解得：，
∴y=24x-72，
綜上，y與x之間的函數關系式為：y=.
（3）解：甲、乙兩個港口之間逆流航行的速度是:96÷(7-3)=24（千米/時），
設燈塔P與甲港口之間的距離為S千米，根據題意，得
,解得：S=，
∴燈塔P與甲港口之間的距離為千米．
【點睛】本題考查分段函數圖象，待定系數法求函數解析式，一元一次方程的應用，從函數圖象獲取到有用信息是解題的關鍵．
1．（2024下·全國·七年級假期作業）聲音在空氣中傳播的速度v（簡稱聲速）與空氣溫度t的大致關系如下表所示，則下列說法錯誤的是（ ）
溫度t/℃ －20 －10 0 10 20 30
聲速v/（m/s） 318 324 330 336 342 348
A．溫度越高，聲速越快
B．在這個變化過程中，自變量是聲速v，因變量是溫度t
C．當空氣溫度為20℃時，聲速為342m/s
D．溫度t每升高10℃，聲速v提高6m/s
【答案】B
【解析】略
2．（2023上·浙江杭州·八年級杭州綠城育華學校校考階段練習）某商場為了增加銷售額，推出了“元旦期間大酬賓”活動，活動內容是：“凡元旦期間在該商場一次性購物超過100元者，超過100元的部分按八折優惠．”在酬賓活動中，小張到該商場為單位購買了單價為30元的辦公用品x件（），則應付款y與商品件數x的關系式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查根據實際問題列出函數關系式．根據活動方案，應付款等于超出元的部分的費用之和，列出函數關系式即可．找準等量關系，正確地列出表達式，是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意，得：；
故選C．
3．（2024下·全國·八年級假期作業）已知A，B兩地相距，小黃從地到地，平均速度為.若用表示行走的時間（單位：h），表示余下的路程（單位：），則關于的函數解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
4．（2023下·河南鶴壁·七年級校聯考期末）根據如圖所示的程序計算函數y的值，若輸入的x值是和2時，輸出的y值相等，則b等于（ ）
A．5 B． C．7 D．3和4
【答案】A
【分析】本題考查了函數值，解題的關鍵是先求出時y的值，再將、代入計算即可．
【詳解】解：當時，，
當時，，即，
解得：，
故選：A．
5．（2022上·上海黃浦·八年級上海市黃浦大同初級中學校考期末）已知函數，那么的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查求函數值，直接代入求出值即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
6．（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級校考階段練習）函數，自變量的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了函數自變量的取值范圍，分式有意義的條件．根據分式有意義的條件分母不為零，分析原式，即可得出答案．
【詳解】解：∵有意義，
∴
∴，
故答案為：．
7．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校考期末）函數中，自變量x的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了函數自變量的取值范圍，分式有意義的條件．根據分式有意義的條件列出不等式并解答即可．
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
8．（2024下·全國·八年級假期作業）已知彈簧的長度y cm與所掛物體的質量x kg之間有如下關系，則（　　）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8
A．y隨x的增大而增大 B．質量每增加1kg，彈簧的長度增加0.5cm
C．不掛物體時，彈簧的長度為6cm D．質量為6kg時，彈簧的長度為8.5cm
【答案】C
【解析】略
9．（2023上·安徽滁州·八年級校考階段練習）李壯從家騎車勻速到離家的夏令營，騎車的速度為．出發后，家中的媽媽發現李壯水杯沒帶，立即駕車以的速度沿李壯相同的路線追趕李壯．追上后，又以同樣速度原路返回家中．李壯離家到營地這段時間內，他與媽媽之間的距離與他騎行的時間之間的函數圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查函數的圖象，解題的關鍵是理解函數圖象的實際意義，本題屬于基礎題型．本圖象是路程與時間的關系，只要根據描述即可求出答案．
【詳解】解：李壯從家騎車勻速到離家的夏令營，騎車的速度為．出發前，圖象是上升，
家中的媽媽發現李壯水杯沒帶，立即駕車以的速度沿李壯相同的路線追趕李壯．經過0.5小時追上，
追上后，媽媽又以同樣速度原路返回，0.5小時后回到家中．此時李壯離家10km，再過1小時，李壯到達夏令營，
故選：C．
10．（2022下·河南信陽·八年級統考期末）如圖，正方形的邊長為4，為正方形邊上一動點，運動路線是，設點經過的路程為，以點為頂點的三角形的面積是，則下列圖像能大致反應與的函數關系的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查函數圖像，讀懂題意，數形結合，根據動點運動過程，得到與的函數關系，再結合選項中的圖像即可得到答案，數形結合，準確得到各段函數關系式是解決問題的關鍵．
【詳解】解：正方形的邊長為4，為正方形邊上一動點，設點經過的路程為，則：
當為正方形邊上，則；
當為正方形邊上，則；
當為正方形邊上，則；
當為正方形邊上，則；
圖像能大致反映與的函數關系的是
，
故選：B．
11．（2023上·遼寧錦州·八年級統考期中）小明和小張是鄰居，某天早晨，小明7：40先出發去學校，走了一段后，在途中停下吃早餐，后來發現上學時間快到了，就跑步到學校；小張比小明晚出發5分鐘，乘公共汽車到學校．如圖是他們從家到學校已走的路程y（米）和小明所用時間x（分鐘）的函數圖象．則下列說法中不正確的是（ ）
A．小張乘坐公共汽車后7：48與小明相遇
B．小張到達學校時，小明距離學校400米
C．小明家和學校距離1000米
D．小明吃完早餐后，跑步到學校的速度為80米/分
【答案】A
【分析】本題考查了函數圖象，根據函數圖象中各拐點的實際意義求解可得．
【詳解】解：A、小張乘公共汽車的速度為：（米/分），
（分），
故小張乘坐公共汽車后7點48分36秒與小明相遇，故此選項符合題意；
B、小張到達學校時，小明距離學校（米），故此選項不符合題意．
C、由圖象可知，小明家和學校距離1000米，故此選項不符合題意；
D、小明吃完早餐后，跑步到學校的速度為：（米/分），故此選項不符合題意；
故選：A．
12．（2023上·全國·九年級專題練習）如圖1，點P從的頂點A出發，沿勻速運動到點C，圖2是點P運動時，線段AP的長度y隨時間x變化的關系圖象，其中M為曲線部分的最低點，則的面積為 ．
【答案】48
【分析】本題主要考查時間與路程的圖像識別，涉及等腰三角形的判定和性質以及勾股定理，當點P運動到點B和點D時距離均為10，則有，再結合等腰三角形性質可得點M為的中點，利用勾股定理求得高即可求得面積．
【詳解】解：根據圖2中的曲線可知：當點P從的頂點A處，運動到點B處和運動到點C時的y值，則，
∵點P運動到中點時，
∴，
根據圖2點M為曲線部分的最低點，此時，
則，
那么．
則．
故答案為：48．
13．（2023下·河南開封·七年級統考期末）在彈簧限度內，彈簧掛上物體后彈簧的長度與所掛物體的質量之間的關系如表：
所掛物體的質量 …
彈簧的長度 …
則不掛物體時，彈笽的長度是 ．
【答案】
【分析】根據表格數據可直接得出答案．
【詳解】解：由表格可知，當所掛物體的質量為，即不掛物體時，
彈簧的長度是，
故答案為：．
【點睛】此題考查了函數的表示方法—列表法，學會從表格數據中觀察出函數的關系是解決本題的關鍵．
14．（2023上·江蘇鹽城·八年級校聯考階段練習）某通訊公司手機話費收費有A套餐（月租費15元，通話費每分鐘元）和B套餐（月租費0元，通話費每分鐘元）兩種，設A套餐每月話費為（元），B套餐每月話費（元），月通話時間為x分鐘．
(1)直接寫出與x，與x的函數關系式；
(2)如果某用戶使用A套餐本月繳費50元，求他本月的通話時間？
(3)如果某用戶這個月的通話時間為280分鐘時，選擇哪種套餐更劃算？
【答案】(1)，
(2)他本月的通話時間為分鐘
(3)通話時間為280分鐘時，選擇套餐更劃算
【分析】本題主要考查了列函數關系和求函數值和自變量的值，根據題意正確列出關系式是解題關鍵．
（1）根據題意列函數關系式即可；
（2）根據題意可知，，求出的值即可；
（3）分別求出時，和的值，比較大小即可．
【詳解】（1）解：A套餐：月租費15元，通話費每分鐘元，
，
B套餐：月租費0元，通話費每分鐘元，
；
（2）解：該手機用戶使用A套餐且本月繳費50元，
，
解得：，
他本月的通話時間為分鐘；
（3）解：當時，，，
，
∴通話時間為280分鐘時，選擇套餐更劃算．
15．（2024下·全國·八年級假期作業）父親告訴小明“在一定范圍內，距離地面越高，溫度越低”，并給小明出示了下面的表格：
距離地面的高度 0 1 2 3 4 5
溫度 20 14 8 2
根據表格回答下列問題：
(1)距離地面，的溫度分別是多少？
(2)在這個變化過程中變量是什么？
(3)如果用表示距離地面的高度，用表示溫度，那么在一定范圍內，隨著的變化，是怎么變化的？
【答案】(1)距離地面的溫度是，距離地面的溫度是
(2)在這個變化過程中，變量是距離地面的高度與溫度
(3)隨著的增大，在逐漸減小
【解析】略
16．（2024上·北京西城·九年級北京市回民學校校考階段練習）小朋在學習過程中遇到一個函數．下面是小朋對其探究的過程，請補充完整：
… 0 1 2 …
… 0 …

(1)觀察這個函數的解析式可知，的取值范圍是________，函數值的取值范圍是________；
(2)進一步研究，與的幾組對應值如表，請補充完整
(3)結合上表，畫出函數圖像：
(4)結合函數圖像，寫出兩條性質________．
【答案】(1)為任意實數，為任意實數
(2)見詳解
(3)見詳解
(4)函數關于原點成中心對稱；隨的增大而增大 (答案不唯一)．
【分析】本題主要考查通過描點畫出函數圖像，從圖像得出相關性質．
（1）由函數表達式即可求解．
（2）將表格的值代入函數表達式，分別求解即可．
（3）結合上表，通過描點然后畫出函數圖像即可．
（4）觀察函數圖像可求解．
【詳解】（1）解：從函數表達式看，的取值范圍為∶ 為任意實數，的取值范圍為∶ 為任意實數．
（2）∵函數為：
∴當，，
當，，
當，，
當，，
當，，
當，，
補充表格如下：
… 0 1 2 …
… 0 4 …
（3）結合上表，畫出函數圖像如下∶

（4）從函數圖像看，函數關于原點成中心對稱；隨的增大而增大 (答案不唯一) ．
17．（2023上·江蘇揚州·八年級校考階段練習）如圖1．在矩形中，點P從點A出發，勻速沿向點D運動，連接，設點P的運動距離為x，的長為y，y關于x的函數圖象如圖2所示，則當點P為中點時，的長為（ ）
A．5 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了動點問題的函數圖象，從函數圖象中獲取信息是解題的關鍵．
通過觀察圖2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，從而得出，當P為的中點時，由股定理求出長度．
【詳解】解:因為P點是從A點出發的，A為初始點，
觀察圖象時，則，P從A向B移動的過程中，是不斷增加的
而P從B向D移動的過程中，是不斷減少的，
因此轉折點為B點，P運動到B點時，即時，，此時,
即，，
由勾股定理得：
解得：
當點P為BC中點時，，
故選：D．
18．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統考期末）如圖①，動點從矩形的頂點出發，在邊、上沿的方向，以的速度勻速運動到點，的面積（單位：）隨運動時間（單位：）變化的函數圖象如圖②所示，則的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由圖可知，，當點到達點時,的面積為6cm，可得出等式求出的值，即可求得答案．
本題主要考查動點問題中三角形的面積，函數圖象與點的運動相結合，注意轉折點，即表示面積發生改變的點的含義是解題的關鍵.
【詳解】解：由題圖②可知,
,
當點到達點時,的面積為6cm，
,
即,
解得,
即的長為3cm
故選：B．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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