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第三章 函 數
第五節(jié) 二次函數的應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 拋物線與圖形問題 ☆☆ 吉林中考中，有關二次函數的應用部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握拋物線與圖形問題、二次函數的實際應用等考點。
考點2 二次函數的實際應用 ☆☆
■考點一　拋物線與圖形問題
1.面積問題
（1）三角形面積：拋物線與坐標軸圍成的三角形面積：求出拋物線與x軸、y軸交點坐標，表示出三角形的底和高求面積；
（2）四邊形的面積：求四個點圍成的四邊形的面積：根據點的坐標得到線段的長度，通過分割法，把四邊形分成幾個三角形的面積之和，分別求出各個面積相加即可.
2.幾何最值問題
（1）線段之和最短：通過軸對稱，找出對稱點連結，求出該線段的長度即是最小值，主要利用兩點之間線段最短的性質.
（2）周長最短問題：通過軸對稱，找出對稱點連結，三角形周長最短問題就轉化成線段之和最短問題，求出該線段的長度，再得到周長最小值.
（3）面積的最大值問題:根據面積的分割，利用水平寬度×鉛直高度，求出面積的表達式是二次函數的形式，再利用配方法求出頂點坐標，頂點的縱坐標就是面積的最大值.
■考點二　二次函數的實際應用
1.利用二次函數的解題思想：利用二次函數解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函數問題，利用題中存在的公式、內含的規(guī)律等相等關系，建立函數關系式，再利用函數的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.
　2.利用二次函數解決實際問題的一般步驟是：
　　(1)建立適當的平面直角坐標系；
　　(2)把實際問題中的一些數據與點的坐標聯(lián)系起來；
　　(3)用待定系數法求出拋物線的關系式；
　　(4)利用二次函數的圖象及其性質去分析問題、解決問題.
【注意】二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．
利用二次函數解決利潤最值的方法：巧設未知數，根據利潤公式列出函數關系式，再利用二次函數的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。
利用二次函數解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當的平面直角坐標系，再根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據圖象信息解決實際問題。
利用二次函數解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關的圖形面積公式，列出函數關系式，最后利用函數的最值解決面積最值問題。
【注意】自變量的取決范圍。
利用二次函數解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．
利用二次函數解決存在性問題的方法：一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．
■易錯提示
1.根據實際問題確定二次函數關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數的數學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數圖象要根據自變量的取值范圍來確定．
①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數還是其他函數，再利用待定系數法求解相關的問題．
②函數與幾何知識的綜合問題，有些是以函數知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．
2.求解二次函數與利潤最大化的問題，主要是根據題意列出相關的二次函數解析式，再通過配方的方式求解最大值．這是一種實際應用的題型，需根據自變量的實際意義確定函數的定義域，在求解最大值時，也需注意自變量的取值范圍．
3.求解二次函數與面積結合的問題時，基本方法上與利潤最大化是相同的，也是通過配方的方式求解相關面積的最值，當然也需要注意自變量的取值范圍．而與利潤最大化問題不同的是，面積問題中可能會涉及到三角形、四邊形或者圓等圖形，也可能會出現(xiàn)動點與面積相結合的類型，變化較多．
■考點一　拋物線與圖形問題
◇典例1： （2023上·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，用一根的鐵絲制作一個“日”字型框架，鐵絲恰好全部用完，則該“日”字型框架面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，設，“日”字型框架的面積為，根據題意即可確定與的函數關系，據此即可求解．
【詳解】解：設，“日”字型框架的面積為，
則，
∵，
∴當，時，“日”字型框架面積最大，最大值為
故選：A
◆變式訓練
1．（2023上·山西臨汾·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在邊長為10的正方形中，E，F(xiàn)，C，H分別是邊，，，上的點，且．設A，E兩點間的距離為x，四邊形的面積為y，則y與x的函數圖象可能為（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數的綜合，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
本題需先設正方形的邊長為，然后得出與是二次函數關系，從而得出函數的圖象．
【詳解】解：設正方形的邊長為，則，
∴與的函數圖象是A．
故選：A．
2．（2023上·河北邢臺·九年級校考階段練習）如圖，四邊形是菱形，邊長為，．點從點出發(fā)，沿方向以每秒個單位長度的速度運動，同時點沿射線的方向以每秒1個單位長度的速度運動，當點運動到達點時，點也立刻停止運動，連接．的面積為，點運動的時間為秒，則能大致反映與之間的函數關系的圖像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查函數的圖象與解析之間的聯(lián)系，解決問題的關鍵在于弄清圖形的變化情況，結合勾股定理，給出面積的表達式，即可解題．
【詳解】解：①當在上時，作，如圖所示：
由題知，，
，
，
，則，解得，
故，
當時，解得，（取不到），即在對稱軸右邊有部分圖象不是二次函數圖象．
②當在上時，即時，，
③當在上不與重合時，作，如圖所示：
，，
，
，
則．
故選：B．
■考點二　二次函數的實際應用
◇典例2：（2023上·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期中）“直播帶貨”已經成為一種熱門的銷售方式，某直播代銷某一品牌的電子產品（這里代銷指廠家先免費提供貨源，待貨物銷售后再進行結算，未售出的由廠家負責處理）．經調查發(fā)現(xiàn)每件售價99元時，日銷售量為300件，當每件電子產品每下降1元時，日銷售量會增加3件．已知每售出1件電子產品，該主播需支付廠家和其他費用共50元，設每件電子產品售價為（元），主播每天的利潤為（元），則與之間的函數解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的應用，設每件電子產品售價為（元），主播每天的利潤為（元），則銷售量為件，由此即可得出答案，理解題意，找準變量之間的關系是解此題的關鍵．
【詳解】解：設每件電子產品售價為（元），主播每天的利潤為（元），
每件售價99元時，日銷售量為300件，當每件電子產品每下降1元時，日銷售量會增加3件，
每件電子產品售價為（元）時，銷售量為件，
與之間的函數解析式為，
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023上·山西大同·九年級校聯(lián)考期末）如圖，這是某運動員在單板滑雪大跳臺中的高度y（m）與運動時間x（min）的運動路線圖的一部分，它可以近似地看作拋物線的一部分，其中表示跳臺的高度，，為該運動員在空中到達的最大高度，若該運動員運動到空中點Q時，點Q的坐標為，則該運動員在空中到達的最大高度的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的應用，把點A的坐標確定，代入解析式，確定拋物線，求出頂點坐標即可．
【詳解】根據題意，得，
把，分別代入解析式，得，
解得，
故拋物線解析式為，
故
，
故頂點坐標為，
故最大高度為，
故選B．
2．（2023上·廣西賀州·九年級統(tǒng)考期中）為方便市民進行垃圾分類投放，某環(huán)保公司第一個月投放a個垃圾桶，計劃第三個月投放垃圾桶y個，設該公司第二、三兩個月投放垃圾桶數量的月平均增長率為x，那么y與x的函數關系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式，本題是增長率問題，一般用增長后的量增長前的量增長率），如果設該公司第二、三兩個月投放垃圾桶數量的月平均增長率為，然后根據已知條件可得出方程．關鍵是求平均變化率的方法：若設變化前的量為，變化后的量為，平均變化率為，則經過兩次變化后的數量關系為．
【詳解】解：設該公司第二、三兩個月投放垃圾桶數量的月平均增長率為，
依題意得第三個月投放垃圾桶輛，
則．
故選：．
1．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）年5月8日，商業(yè)首航完成——中國民商業(yè)運營國產大飛機正式起步．時分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”、是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為米時，兩條水柱在物線的頂點H處相遇，此時相遇點H距地面米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退米，兩條水柱的形狀及噴水口、到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點距地面的米數（ ）．

A.18 B. 19 C. 20 D.21
【答案】B
【分析】根據題意求出原來拋物線的解析式，從而求得平移后的拋物線解析式，再令求平移后的拋物線與軸的交點即可．
【詳解】解：由題意可知：
、、，
設拋物線解析式為：，
將代入解析式，
解得：，
，
消防車同時后退米，即拋物線向左（右）平移米，
平移后的拋物線解析式為：，
令，解得：，
故答案為：B．
【點睛】本題考查了待定系數法求拋物線解析式、函數圖像的平移及坐標軸的交點；解題的關鍵是求得移動前后拋物線的解析式．
2．（2023·吉林長春·吉林大學附屬中學校考模擬預測）小致創(chuàng)辦了一個微店商鋪，營銷一款成本是20元/盞的小型護眼臺燈．在“雙十一”前8天進行了網上銷售后發(fā)現(xiàn)，該臺燈的日銷售量（盞）與時間（天）之間滿足一次函數關系，且第1天銷售了78盞，第2天銷售了76盞，護眼臺燈的銷售價格（元/盞）與時間（天）之間符合函數關系式，且為整數）．這8天中最大日銷售利潤是（ ）．
A. 448元 B. 450元 C. 458元 D.460元
【答案】A
【分析】設日銷售量（盞）與時間（天）之間的函數關系式為，把代入即可求出；設日銷售利潤是w元，根據銷售利潤=售價-成本列出函數解析式， 再根據函數的性質求最值．
【詳解】解：設日銷售量（盞）與時間（天）之間的函數關系式為，
把代入得：，解得，
即日銷售量（盞）與時間（天）之間的函數關系式為；
設日銷售利潤是w元，
由題意得：，
∵，且為整數，
∴當時，w取得最大值，最大值為448，
∴在這8天中，最大日銷售利潤是448元，
故答案為：B．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，主要考查學生能否把實際問題轉化成數學問題，即用所學的數學知識來解決實際問題．
3．（2021·吉林長春·統(tǒng)考一模）某拋物線形隧道的最大高度為16米，跨度為40米，按如圖所示的方式建立平面直角坐標系，它對應的表達式為（ ）．

B. y=-(x-20)2+16
C. y=(x-20)2+16 D. y=(x-20)2-16
【答案】A
【分析】由題意知，拋物線的頂點坐標為，過，設拋物線對應的表達式為，將代入得，，解得，，進而可得結果．
【詳解】解：由題意知，拋物線的頂點坐標為，過，
設拋物線對應的表達式為，
將代入得，，
解得，，
∴，
故答案為：A．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，二次函數解析式．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
4．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，某活動板房由矩形和拋物線構成，矩形的邊長，，拋物線的最高點E到BC的距離為．在該拋物線與之間的區(qū)域內裝有一扇矩形窗戶，點G、H在邊上，點F、K在該拋物線上．按如圖所示建立平面直角坐標系．若，則矩形窗戶的寬的長為 m．

【答案】/
【分析】利用待定系數法求出拋物線解析式，設，求出，即可得到矩形窗戶的寬的長．
【詳解】解：由題意可知，、、，
設拋物線解析式為，
，解得：
拋物線解析式為，
點G、H在邊上，且，
、，
四邊形是矩形，
設，
點在拋物線上，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了坐標與圖形，待定系數法求函數解析式，矩形的性質，二次函數的性質等知識，求出二次函數解析式，掌握二次函數的性質是解題關鍵．
5．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖①是古代的一種遠程投石機，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分，且石塊在離發(fā)射點水平距離米處達到最大高度米．現(xiàn)將該投石機放置在水平地面上的點處，如圖②，石塊從投石機豎直方向上的點處被投出，投向遠處的防御墻，垂直于水平地面且與之間的距離超過米．已知高米，高米，若石塊正好能打中防御墻，設投石機離防御墻的水平距離為米，則的取值范圍是 ．

【答案】
【分析】根據題意得出石塊運動軌跡所在拋物線的頂點坐標是，，設石塊運動軌跡所在拋物線的解析式為，待定系數法求解析式，進而將分別代入解析式，求得的值，即可求解．
【詳解】解：依題意，石塊運動軌跡所在拋物線的頂點坐標是，，，
設石塊運動軌跡所在拋物線的解析式為，
將代入得，
∴，
令，即，
解得：（，舍去），，
令，即，
解得：（舍去） ， ，
∴的取值范圍是，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，根據題意求得二次函數的性質是解題的關鍵．
6．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）我校辦公樓前的花園是一道美麗的風景，現(xiàn)計劃在花園里再加上一噴水裝置，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是 米．

【答案】
【分析】將拋物線解析式配方為頂點式，得到頂點坐標解題即可．
【詳解】解：，
∴拋物線的頂點坐標為，
即水噴出的最大高度是米，
故答案為：．
【點睛】本題考查二次函數的最值，將二次函數由一般式變形為頂點式，是解題的關鍵．
7．（2022·吉林長春·統(tǒng)考一模）圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立平面直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C、D為水柱的落水點．已知雕塑OA高米，與OA水平距離5米處為水柱最高點，落水點C、D之間的距離為22米，則噴出水柱的最大高度為 米．
【答案】6
【分析】設水柱所在拋物線的函數表達式為 (x≥0)，根據題意得到A（0，），D（11，0），對稱軸x=5，用待定系數法求出函數表達式，把x＝5代入，即可得到噴出水柱的最大高度．
【詳解】解：設水柱所在拋物線的函數表達式為 (x≥0)，
∵雕塑OA高米，
∴點A的坐標是（0，），
∵落水點C、D之間的距離為22米，
∴點D的坐標為（11，0），
∵與OA水平距離5米處為水柱最高點，
∴拋物線的對稱軸為x=5，
得到
解得
∴水柱所在拋物線的函數表達式為 (x≥0)
當x=5時，，
∴ 噴出水柱的最大高度為6米，
故答案為：6
【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，待定系數法求出函數表達式是基礎，求出函數的最大值是關鍵．
8．（2021·吉林長春·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，A點坐標為（﹣1，4），B點坐標為（5，4）．已知拋物線y＝x2﹣2x+c與線段AB有公共點，則c的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】將拋物線解析式化為頂點式，根據拋物線運動規(guī)律找出拋物線與線段AB有交點的兩個臨界值．
【詳解】解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴拋物線開口向上，頂點坐標為（1，c﹣1），對稱軸為直線x＝1，
如圖，當c﹣1＝4時，c＝5，拋物線頂點落在線段AB上，拋物線與線段AB剛好有一個交點，滿足題意，
c減小，圖象向下移動，當拋物線經過點B時，拋物線和線段又只有一個交點，如圖，

把（5，4）代入y＝x2﹣2x+c得：
4＝25﹣10+c，
解得c＝﹣11，
∴﹣11≤c≤5滿足題意．
故答案為：﹣11≤c≤5．
【點睛】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是通過數形結合方法求解．
9．（2021·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，雜技團進行雜技表演，一名演員從蹺蹺板右端A處恰好彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點）的路線是拋物線的一部分，跳起的演員距點A所在y軸的水平距離為2.5米時身體離地面最高．若人梯到起跳點A的水平距離為4米，則人梯BC的高為 米．
【答案】3.4
【分析】根據題意可得拋物線的對稱軸為x＝2.5，可求得b的值，點B的橫坐標為4，代入后可得出點B的縱坐標，繼而得出人梯高BC的長度．
【詳解】解：∵跳起的演員距點A所在y軸的水平距離為2.5米時身體離地面最高．
∴拋物線的對稱軸為x＝2.5，
∴x＝﹣＝2.5，解得：b＝3，
∴拋物線為y＝，
∵人梯到起跳點A的水平距離是4，
∴點B的橫坐標為4，
則yB＝﹣×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．
故答案為：3.4．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，解答本題關鍵是根據題意求出二次函數解析式，屬于基礎題．
10．（2021·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線（m為常數）的頂點為A．
（1）當時，點A的坐標是 ，拋物線與y軸交點的坐標是 ．
（2）若點A在第一象限，且，求此拋物線所對應的二次函數的表達式，并寫出函數值y隨x的增大而減小時x的取值范圍．
（3）當時，若函數的最小值為3，求m的值．
（4）分別過點、作y軸的垂線，交拋物線的對稱軸于點M、N．當拋物線與四邊形PQNM的邊有兩個交點時，將這兩個交點分別記為點B、點C，且點B的縱坐標大于點C的縱坐標．若點B到y(tǒng)軸的距離與點C到x軸的距離相等，直接寫出m的值．
【答案】(1)，拋物線與y軸交點的坐標為(0，)；(2)，；(3) m的值為或；(4) ，或
【分析】(1)將時代入直接可以求出頂點A的坐標，令中求出與y軸交點坐標；
(2)頂點，由點A在第一象限，且即可求出的值，進而求出解析式，再由開口向上可知在對稱軸左側y隨x的增大而減小，由此即可求解；
(3)分m≥0和m＜0時討論：當m≥0且時，函數的最小值為時取得；當，且時，時，函數的最小值為時取得；
(4)先算出P、Q、M、N四個點的坐標，然后再分情況討論二次函數與矩形PQMN的兩邊交點，求出B、C坐標，由“B到y(tǒng)軸的距離與點C到x軸的距離相等”即可求解．
【詳解】解：(1)由題意可知，二次函數頂點坐標，
當時，頂點坐標為，
此時拋物線解析式為：，令，
∴，
∴拋物線與y軸交點的坐標為(0，)；
(2)頂點坐標，
∴，
又已知，
∴，且A點在第一象限，
∴，此時拋物線的解析式為：，
拋物線的對稱軸為，
由開口向上可知在對稱軸左側y隨x的增大而減小，
∴y隨x的增大而減小時的取值范圍為：，
故答案為：，；
(3)函數的對稱軸為，且開口向上，
當，且時，時，函數有最小值為，
由已知：函數的最小值為3，
∴，解得，
當，且時，時，函數有最小值為，
由已知：函數的最小值為3，
∴，解得或(正值舍去)，
故m的值為或；
(4)由題意可知，、、、，
①如圖所示，當m>0時，當拋物線與四邊形PQNM的邊有兩個交點，若點B在PM邊上、點C在MN邊上，
∴令y=2，則，
∴或（舍去），
∴，C（m，2m），
∵點B到y(tǒng)軸的距離與點C到x軸的距離相等，
∴，
解得：，
如圖所示，若點B在PM邊上、點C在NQ邊上，
∵點B到y(tǒng)軸的距離與點C到x軸的距離相等，
∴，
解得：，
∵點B的縱坐標大于點C的縱坐標，
∴不符合題意，舍去，
∴，
如圖所示，若點B在PQ邊上、點C在NQ邊上，
∵點B到y(tǒng)軸的距離與點C到x軸的距離相等，
∴4=2-2m，
解得：m=-1<0，不符合題意，舍去，
②如圖所示，當m<0時，若點B在NQ邊上，點C在PM邊上，
∵點B到y(tǒng)軸的距離與點C到x軸的距離相等，
∴，
解得：，
或，
解得：，
綜上，m的值為或或．
【點睛】本題考查了二次函數解析式的求法，二次函數的圖像及性質，涉及到分類討論思想，情況不定時需要分類討論，難度較大，熟練掌握二次函數的圖像及性質是解決本題的關鍵．
11．（2023·吉林長春·校考模擬預測）如圖在中，，，．動點從點出發(fā)，以的速度沿邊向終點運動．過點作交直線于點，以為邊向左側作矩形，使．設矩形與重疊部分圖形的面積是，點的運動時間為．

(1)當點在邊上時，求的長（用含的代數式表示）；
(2)當點在邊上時，求的值；
(3)求S與t之間的函數關系式．
(4)連接，沿直線將矩形剪開的兩部分可以拼成一個無縫隙也不重疊的三角形時，直接寫出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或或．
【分析】（1）由題意可知：，再根據特殊角的銳角三角函數即可求出，結合題意即得出；
（2）畫出圖形，由矩形的性質得出，．再根據特殊角的銳角三角函數可求出，由，列出關于的等式，解出即可；
（3）分類討論：①當時，此時，矩形與重疊部分圖形的面積矩形的面積，利用矩形的面積公式解答即可；②當時，此時，矩形與重疊部分圖形的面積五邊形的面積，利用直角三角形的邊角關系定理求得，的長度，利用解答即可；③當 時，此時，矩形與重疊部分圖形的面積為的面積，利用直角三角形的邊角關系定理求得的長度，利用三角形的面積公式解答即可；
（4）分類討論：①當點在點左側時，根據題意可判斷，即易證，得出，最后列出關于的等式，解出即可；②當點和點重合時，即得出，列出關于的等式，解出即可；③當點在點右側時，根據題意可判斷，從而可求出，最后根據，列出關于的等式，解出即可．
【詳解】（1）解：由題意可知，
，，
，
，
；
（2）解：如圖，

四邊形為矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得：；
（3）解：①當時，此時，矩形與重疊部分圖形的面積矩形的面積，
；
②當 時，如圖，

設矩形與交于點，，此時，矩形與重疊部分圖形的面積五邊形的面積，
由題意：，，，，
，，
，
∵，
，
，
．
，
，
，
；
③當 時，如圖，設交于點，此時，矩形與重疊部分圖形的面積為的面積，

由題意：，，，
，，
，
．
綜上，與之間的函數關系式為：．
（4）解：①如圖，當點在點左側時，如圖，

沿直線將矩形剪開的兩部分可以拼成一個無縫隙也不重疊的三角形，
，
又，，
，
，
，
，
解得：；
②如圖，當點和點重合時，此時，點與點重合，

，
，
，
解得：；
③如圖，當點在點右側時，此時，點在的延長線上，

沿直線將矩形剪開的兩部分可以拼成一個無縫隙也不重疊的三角形，
，
，
，
，
，
，
解得：．
綜上可知，的值為或或．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，直角三角形的性質，特殊角的三角函數值，直角三角形的邊角關系定理，分類討論的思想方法，此題是動點問題，利用含的代數式表示出相應線段的長度是解題的關鍵．
1．（2023上·吉林·九年級校考期末）如圖①，某建筑物的屋頂設計成橫截面為拋物線形(曲線)的薄殼屋頂．已知它的拱寬為4米，拱高為0.8米．為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的平面直角坐標系求解析式．圖②是以所在的直線為x軸，所在的直線為y軸建立的平面直角坐標系，則圖②中的拋物線的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據圖形，設解析式為，根據，，構建方程組求解即得．
本題主要考查了二次函數的實際應用．熟練掌握待定系數法確定二次函數解析式，結合拋物線在坐標系的位置，將二次函數解析式設為適當的形式，是解題的關鍵．
【詳解】∵拋物線關于y軸對稱，
∴設解析式為，
由題知，，
得，
解得，
∴．
故選：A．
2．（2023上·安徽亳州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在噴水池的中心A處豎直安裝一個水管，水管的頂端B處有一個噴水孔，噴出的拋物線形水柱在與池中心A的水平距離為1m處達到最高點C，高度為3m，水柱落地點D離池中心A處4m，則水管的頂端B距水面的高度為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的實際應用，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角坐標系，得到，設拋物線的解析式為，將代入求出函數解析式，進而求出時的函數值即為的長．
【詳解】解：以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角坐標系，如圖所示：
則：，
設拋物線的解析式為，將代入，得：，
∴，
當時，，
∴高度為；
故選D．
3．（2023上·吉林長春·九年級校考期中）在拋擲實心球時，實心球運動的高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的函數關系式是，下列結論正確的是（）
A．當時，實心球離地面的高度最小
B．實心球在空中飛行的最大高度是
C．投擲實心球的距離是
D．如果實心球在空中飛行速度是，則實心球從飛出到落地的時間為
【答案】C
【分析】本題考查二次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．
根據二次函數的性質以及題意，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】解：∵，
∴當時，取得最大值，此時，故選項A、B錯誤，
當時，，
解得(舍去)，故選項C正確，
當時，，如果實心球在空中飛行速度是，則實心球從飛出到落地的時間為，故選項D錯誤，
故選：C．
6．（2023上·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）隨著地鐵和共享單車的發(fā)展，“地鐵＋單車”已成為很多市民出行的選擇，小敏從奧體中心站出發(fā)，先乘坐地鐵，準備在離家較近的A，B，C，D，E中的某一站出地鐵，再騎共享單車回家，設他出地鐵的站點與文化宮距離為x（單位：km），乘坐地鐵的時間（單位：s）是關于x的一次函數，若小敏騎單車的時間（單位：s）也受x的影響，其關系可以用來描述，則小敏從文化宮回到家里所需的時間最短為（ ）
A．34分鐘 B．39分鐘 C．34.5分鐘 D．39.5分鐘
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數和二次函數的綜合應用，二次函數的最值問題，設小敏從文化宮回到家里所需的時間為，則，根據題意，確定二次函數的解析式，根據二次函數的性質，即可得出最短時間．
【詳解】解：設小敏從文化宮回到家里所需的時間為，
則，
當時，，
故選：B．
5．（2023上·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期中）一飛機著陸后滑行的距離（單位：m）與滑行的時間（單位：s）的函數解析式是，那么該飛機著陸后滑行的距離為450m時，滑行的時間為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】此題主要考查了二次函數的應用，根據飛機滑行的路程結合函數關系式列方程并解方程，進而得出答案．
【詳解】解：根據題意得，，
解得，，
∵（秒）時，飛機滑行停止，
∴秒，
故選：A．
6．（2024上·天津南開·九年級統(tǒng)考期末）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位，m）與小球運動時間t（單位：s）之間的函數關系為，其中．有下列結論：
①當時，小球運動到最大高度；
②當小球的運動高度為時，運動時間為或；
③小球運動中的最大高度為；
④小球從拋出到落地需要；
其中正確的結論有（）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】該題主要考查了二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，掌握二次函數的性質；
根據二次函數的圖像和性質解答即可；
【詳解】
當時，小球運動到最大高度，最大高度為，故①③錯誤；
當小球的運動高度為時，有，解得或，故②正確；
小球從拋出到落地需要，故④正確．
故選：B．
7．（2023上·全國·九年級期末）如圖，以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數關系，下列對方程的兩根與的解釋正確的是（ ）
A．小球的飛行高度為15m時，小球飛行的時間是1s
B．小球飛行時飛行高度為15m，并將繼續(xù)上升
C．小球從飛出到落地要用4s
D．小球的飛行高度可以達到25m
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的應用，主要考查了二次函數的最值問題，以及利用二次函數圖象求不等式，利用以及結合配方法求出二次函數最值分別分析得出答案．熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：的兩根與，即時所用的時間，
∴小球的飛行高度是時，小球的飛行時間是或，故A錯誤；
，
∴對稱軸直線為：，最大值為20，故D錯誤；
∴時，，此時小球繼續(xù)下降，故B錯誤；
∵當時，即，解得，，
∴，
∴小球從飛出到落地要用，故C正確．
故選：C．
8．（2023上·遼寧大連·九年級校考階段練習）如圖1，在中，，，，動點從點開始沿邊AB向點勻速移動（點的速度小于），同時動點從點開始沿邊BC向點勻速移動，點到達時，點恰好到達C．的面積關于出發(fā)時間的函數圖象如圖2所示，則點的運動速度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查動點問題的函數圖象，解題的關鍵是明確題意，列出相應的函數關系式，可以根據函數關系式判斷隨著自變量的變化相應的函數圖象如何變化；
根據題意可以分別得到和的長，從而可表示出三角形的面積，結合函數圖象，從而可以確定點的運動速度．
【詳解】解：∵．
且點P到達點B時，點Q到達點C．
設點P的速度為，則點Q的速度，
∴，
∵
，
因為函數圖象過點，
∴，
，
，
解得：，
點P的速度小于，
∴點P的運動速度為，
故選：C．
9．（2023上·浙江·九年級專題練習）如圖，點、、、分別是正方形邊、、、上的點，且．設、兩點間的距離為，四邊形的面積為，則與的函數圖象可能為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數的綜合，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．本題需先設正方形的邊長為，然后得出與、是二次函數關系，從而得出函數的圖象．
【詳解】解：設正方形的邊長為，則，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
與的函數圖象是A．
故選：A．
10．（2023上·山東日照·九年級校考階段練習）如圖，一個邊長為2的菱形，，過點A作直線，將直線沿線段向右平移，直至經過點C時停止，在平移的過程中，若菱形在直線左邊的部分面積為y，則y與直線平移的距離x之間的函數圖像大致為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，函數的解析式與圖像，利用面積公式，分別計算出三個距離段的面積對應的解析式，根據相應圖像即可解答．
【詳解】∵邊長為2的菱形，，過點A作直線，
當時，如圖所示，

則 ，，，，
此時，
此時函數圖像為開口向上的一段拋物線；
②∵邊長為2的菱形，，過點A作直線，
當時，如圖所示，

則 ，，，，
此時，
此時，函數圖像是線段的一部分；
③當時，如圖， ，

∵邊長為2的菱形，，過點A作直線，
則， ，，
則 ，，，，
此時，
此時函數圖像為開口向下的一段拋物線；
故選：A．
11．（2023上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖1，在正方形中，動點以的速度自點出發(fā)沿方向運動至A點停止，動點以的速度自A點出發(fā)沿折線運動至點停止，若點P、Q同時出發(fā)運動了秒，記的面積為，且與之間的函數關系的圖像如圖2所示，則圖像中的值為（ ）．
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本題考查了動點問題的函數圖象，分類討論，正確求出函數解析式是解答本題的關鍵．設正方形的邊長為，當點Q在上時，求得．當時，有最大值，配合圖象可得方程，即可求得；當點Q在上時，可求得，把代入即可得到答案．
【詳解】設正方形的邊長為，則，，，
，
當時，有最大值，
即 ，
解得，
，
當點Q在上時，
如圖，，
當時，，
故選：B．
12．（2023上·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，有長為的籬笆，一邊利用墻（墻長不限），則圍成的花圃的面積最大為 ．
【答案】48
【分析】本題考查了一元二次方程的實際問題及二次函數的綜合運用，設籬笆的寬為x米，長為米，列出面積S與x的函數關系式，利用二次函數的性質求出最值即可．
【詳解】解：設籬笆的寬為x米，長為米，
，
∵墻長不限，
當時，，S值最大，此時．
故答案為：48．
13．（2017上·九年級課時練習）如圖，在中，，點P從點A開始沿向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿向點C以的速度移動．如果P，Q分別同時出發(fā)，當的面積最大時，運動時間t為 s．
【答案】2
【分析】求二次函數的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次系數的絕對值是較小的整數時，用配方法較好．
本題考查二次函數最大(小)值的求法．先用含的代數式表示出、再根據三角形的面積公式計算．
【詳解】解：根據題意得，
三角形面積為：
∴當時，的面積最大為，
故答案為：2．
14．（2023上·吉林長春·九年級長春市解放大路學校校考期中）如圖，已知一拋物線形大門，其地面寬度米，一位同學站在門內，在離門腳B點1米遠的D處，垂直地面立起一根米長的木桿，其頂端恰好頂在拋物線形門上C處．則該大門的高h為 米．

【答案】
【分析】本題考查了二次函數的應用，建立適當的直角坐標系，根據題目所給數據求出點的坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式，即可得出最后結果．
【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標系，

設拋物線的解析式為，
由題意可知B，C兩點的坐標分別為，，
把B，C兩點的坐標分別代入拋物線的解析式得
，
解得：，
拋物線的解析式為，
則該大門的高h為米，
故答案為：．
15．（2023上·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）某服裝店購進一批單價為50元的襯衫，如果按90元銷售，那么每天可銷售20件．經調查發(fā)現(xiàn)，這種襯衫的銷售價每降低1元，其銷售量相應增加2件．當降價 元時，該服裝店的銷售利潤最大．
【答案】15
【分析】本題考查二次函數的實際應用，設降價元，總利潤為元，利用總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數，利用二次函數的性質求最值即可．
【詳解】解：設降價元，總利潤為元，由題意，得：
，
整理，得：，
∴當時，的值最大；
故答案為：15．
16．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度（單位：）與水平距離（單位：）之間的關系是：，則鉛球推出的距離 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數與一元二次方程的應用，令，得到方程，解方程即可求解，掌握二次函數與軸交點坐標的含義解題的關鍵．
【詳解】解：令，則，
解得，，
∴，
故答案為：．
17．（2024上·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點P在斜邊上移動，，M，N分別為垂足，，則何時矩形的面積最大？最大面積是多少？
【答案】點是的中點時，矩形的面積最大，最大面積是
【分析】本題考查了二次函數的實際應用，設矩形的面積為，找到與的函數關系式，根據二次函數的性質即可求解．
【詳解】解：∵在中，，
∴,
設矩形的面積為，則，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴當，即，點是的中點時，矩形的面積最大，最大面積是
18．（2022上·陜西商洛·九年級統(tǒng)考期末）如圖，隧道的截面由拋物線和矩形構成，矩形的長為，寬為，以所在的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直坐標系，y軸也是拋物線的對稱軸，頂點E到坐標原點O的距離為．

(1)求拋物線的解析式．
(2)現(xiàn)有一輛貨運卡車，高為，寬為，它能從正中間通過該隧道嗎？
【答案】(1)
(2)這輛貨運卡車不能從正中間通過該隧道．
【分析】本題考查了二次函數的應用，運用待定系數法求二次函數的解析式的運用，由函數值求自變量的值的運用，解答時求出二次函數的解析式是關鍵．
（1）根據拋物線在坐標系中的特殊位置，可以設拋物線的頂點式，進而可求拋物線的解析式；
（2）根據題意，把代入解析式，得到，由于，于是得到貨運卡車不能通過．
【詳解】（1）解：根據題意可得拋物線頂點E的坐標為，設拋物線的解析式為．由已知可得，點B的坐標為，且在此拋物線上，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為，
（2）解：當時，．
∵，
∴這輛貨運卡車不能從正中間通過該隧道．
19．（2023上·河北廊坊·九年級新世紀中學校考階段練習）某工廠的前年生產總值為10萬元，去年比前年的年增長率為，預計今年比去年的年增長率為，設今年的總產值為萬元．
(1)求與的關系式；
(2)當時，求今年的總產值為多少萬元？
【答案】(1)
(2)當時，今年的總產值為萬元．
【分析】（1）利用增長率公式即可找出y關于x的函數關系式；
（2）代入，求出y值即可得出結論．
【詳解】（1）依題意得：；
（2）當時，，
答：當時，今年的總產值為萬元．
【點睛】本題考查一元二次方程的應用—增長率問題，掌握增長率問題的公式是解題的關鍵，若起始值為a，經過n年后值為b，設增長率為x，則有．
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第三章 函 數
第五節(jié) 二次函數的應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 拋物線與圖形問題 ☆☆ 吉林中考中，有關二次函數的應用部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握拋物線與圖形問題、二次函數的實際應用等考點。
考點2 二次函數的實際應用 ☆☆
■考點一　拋物線與圖形問題
1.面積問題
（1）三角形面積：拋物線與坐標軸圍成的三角形面積：求出拋物線與x軸、y軸 ，表示出三角形的 求面積；
（2）四邊形的面積：求四個點圍成的四邊形的面積：根據點的坐標得到線段的長度，通過 ，把四邊形分成 ，分別求出各個面積 即可.
2.幾何最值問題
（1）線段之和最短：通過 ，找出 連結，求出該線段的長度即是 ，主要利用 的性質.
（2）周長最短問題：通過 ，找出 連結，三角形周長最短問題就轉化成 問題，求出該線段的長度，再得到周長 .
（3）面積的最大值問題:根據 ，利用 ，求出面積的表達式是二次函數的形式，再利用配方法求出 ，頂點的縱坐標就是 .
■考點二　二次函數的實際應用
1.利用二次函數的解題思想：利用二次函數解決實際問題，要建立 ，即把實際問題轉化為 問題，利用題中存在的公式、內含的規(guī)律等相等關系，建立 ，再利用函數的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有 .
　2.利用二次函數解決實際問題的一般步驟是：
　　(1)建立適當的 ；
　　(2)把實際問題中的一些 聯(lián)系起來；
　　(3)用 求出拋物線的關系式；
　　(4)利用二次函數的 去分析問題、解決問題.
【注意】二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．
利用二次函數解決利潤最值的方法：巧設未知數，根據利潤公式列出函數關系式，再利用二次函數的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。
利用二次函數解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當的平面直角坐標系，再根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據圖象信息解決實際問題。
利用二次函數解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關的圖形面積公式，列出函數關系式，最后利用函數的最值解決面積最值問題。
【注意】自變量的取決范圍。
利用二次函數解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．
利用二次函數解決存在性問題的方法：一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．
■易錯提示
1.根據實際問題確定二次函數關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數的數學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數圖象要根據自變量的取值范圍來確定．
①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數還是其他函數，再利用待定系數法求解相關的問題．
②函數與幾何知識的綜合問題，有些是以函數知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．
2.求解二次函數與利潤最大化的問題，主要是根據題意列出相關的二次函數解析式，再通過配方的方式求解最大值．這是一種實際應用的題型，需根據自變量的實際意義確定函數的定義域，在求解最大值時，也需注意自變量的取值范圍．
3.求解二次函數與面積結合的問題時，基本方法上與利潤最大化是相同的，也是通過配方的方式求解相關面積的最值，當然也需要注意自變量的取值范圍．而與利潤最大化問題不同的是，面積問題中可能會涉及到三角形、四邊形或者圓等圖形，也可能會出現(xiàn)動點與面積相結合的類型，變化較多．
■考點一　拋物線與圖形問題
◇典例1： （2023上·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，用一根的鐵絲制作一個“日”字型框架，鐵絲恰好全部用完，則該“日”字型框架面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·山西臨汾·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在邊長為10的正方形中，E，F(xiàn)，C，H分別是邊，，，上的點，且．設A，E兩點間的距離為x，四邊形的面積為y，則y與x的函數圖象可能為（）
A． B．
C． D．
2．（2023上·河北邢臺·九年級校考階段練習）如圖，四邊形是菱形，邊長為，．點從點出發(fā)，沿方向以每秒個單位長度的速度運動，同時點沿射線的方向以每秒1個單位長度的速度運動，當點運動到達點時，點也立刻停止運動，連接．的面積為，點運動的時間為秒，則能大致反映與之間的函數關系的圖像是（ ）
A． B．
C． D．
■考點二　二次函數的實際應用
◇典例2：（2023上·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期中）“直播帶貨”已經成為一種熱門的銷售方式，某直播代銷某一品牌的電子產品（這里代銷指廠家先免費提供貨源，待貨物銷售后再進行結算，未售出的由廠家負責處理）．經調查發(fā)現(xiàn)每件售價99元時，日銷售量為300件，當每件電子產品每下降1元時，日銷售量會增加3件．已知每售出1件電子產品，該主播需支付廠家和其他費用共50元，設每件電子產品售價為（元），主播每天的利潤為（元），則與之間的函數解析式為（ ）
A． B．
C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·山西大同·九年級校聯(lián)考期末）如圖，這是某運動員在單板滑雪大跳臺中的高度y（m）與運動時間x（min）的運動路線圖的一部分，它可以近似地看作拋物線的一部分，其中表示跳臺的高度，，為該運動員在空中到達的最大高度，若該運動員運動到空中點Q時，點Q的坐標為，則該運動員在空中到達的最大高度的長為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023上·廣西賀州·九年級統(tǒng)考期中）為方便市民進行垃圾分類投放，某環(huán)保公司第一個月投放a個垃圾桶，計劃第三個月投放垃圾桶y個，設該公司第二、三兩個月投放垃圾桶數量的月平均增長率為x，那么y與x的函數關系是（　　）
A． B．
C． D．
1．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）年5月8日，商業(yè)首航完成——中國民商業(yè)運營國產大飛機正式起步．時分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”、是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為米時，兩條水柱在物線的頂點H處相遇，此時相遇點H距地面米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退米，兩條水柱的形狀及噴水口、到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點距地面的米數（ ）．

A.18 B. 19 C. 20 D.21
2．（2023·吉林長春·吉林大學附屬中學校考模擬預測）小致創(chuàng)辦了一個微店商鋪，營銷一款成本是20元/盞的小型護眼臺燈．在“雙十一”前8天進行了網上銷售后發(fā)現(xiàn)，該臺燈的日銷售量（盞）與時間（天）之間滿足一次函數關系，且第1天銷售了78盞，第2天銷售了76盞，護眼臺燈的銷售價格（元/盞）與時間（天）之間符合函數關系式，且為整數）．這8天中最大日銷售利潤是（ ）．
A. 448元 B. 450元 C. 458元 D.460元
3．（2021·吉林長春·統(tǒng)考一模）某拋物線形隧道的最大高度為16米，跨度為40米，按如圖所示的方式建立平面直角坐標系，它對應的表達式為（ ）．

B. y=-(x-20)2+16
C.y=(x-20)2+16 D. y=(x-20)2-16
4．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，某活動板房由矩形和拋物線構成，矩形的邊長，，拋物線的最高點E到BC的距離為．在該拋物線與之間的區(qū)域內裝有一扇矩形窗戶，點G、H在邊上，點F、K在該拋物線上．按如圖所示建立平面直角坐標系．若，則矩形窗戶的寬的長為 m．

5．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖①是古代的一種遠程投石機，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分，且石塊在離發(fā)射點水平距離米處達到最大高度米．現(xiàn)將該投石機放置在水平地面上的點處，如圖②，石塊從投石機豎直方向上的點處被投出，投向遠處的防御墻，垂直于水平地面且與之間的距離超過米．已知高米，高米，若石塊正好能打中防御墻，設投石機離防御墻的水平距離為米，則的取值范圍是 ．

6．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）我校辦公樓前的花園是一道美麗的風景，現(xiàn)計劃在花園里再加上一噴水裝置，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是 米．

7．（2022·吉林長春·統(tǒng)考一模）圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立平面直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C、D為水柱的落水點．已知雕塑OA高米，與OA水平距離5米處為水柱最高點，落水點C、D之間的距離為22米，則噴出水柱的最大高度為 米．
8．（2021·吉林長春·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，A點坐標為（﹣1，4），B點坐標為（5，4）．已知拋物線y＝x2﹣2x+c與線段AB有公共點，則c的取值范圍是 ．
9．（2021·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，雜技團進行雜技表演，一名演員從蹺蹺板右端A處恰好彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點）的路線是拋物線的一部分，跳起的演員距點A所在y軸的水平距離為2.5米時身體離地面最高．若人梯到起跳點A的水平距離為4米，則人梯BC的高為 米．
10．（2021·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線（m為常數）的頂點為A．
（1）當時，點A的坐標是 ，拋物線與y軸交點的坐標是 ．
（2）若點A在第一象限，且，求此拋物線所對應的二次函數的表達式，并寫出函數值y隨x的增大而減小時x的取值范圍．
（3）當時，若函數的最小值為3，求m的值．
（4）分別過點、作y軸的垂線，交拋物線的對稱軸于點M、N．當拋物線與四邊形PQNM的邊有兩個交點時，將這兩個交點分別記為點B、點C，且點B的縱坐標大于點C的縱坐標．若點B到y(tǒng)軸的距離與點C到x軸的距離相等，直接寫出m的值．
11．（2023·吉林長春·校考模擬預測）如圖在中，，，．動點從點出發(fā)，以的速度沿邊向終點運動．過點作交直線于點，以為邊向左側作矩形，使．設矩形與重疊部分圖形的面積是，點的運動時間為．

(1)當點在邊上時，求的長（用含的代數式表示）；
(2)當點在邊上時，求的值；
(3)求S與t之間的函數關系式．
(4)連接，沿直線將矩形剪開的兩部分可以拼成一個無縫隙也不重疊的三角形時，直接寫出的值．
1．（2023上·吉林·九年級校考期末）如圖①，某建筑物的屋頂設計成橫截面為拋物線形(曲線)的薄殼屋頂．已知它的拱寬為4米，拱高為0.8米．為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的平面直角坐標系求解析式．圖②是以所在的直線為x軸，所在的直線為y軸建立的平面直角坐標系，則圖②中的拋物線的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·安徽亳州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在噴水池的中心A處豎直安裝一個水管，水管的頂端B處有一個噴水孔，噴出的拋物線形水柱在與池中心A的水平距離為1m處達到最高點C，高度為3m，水柱落地點D離池中心A處4m，則水管的頂端B距水面的高度為（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2023上·吉林長春·九年級校考期中）在拋擲實心球時，實心球運動的高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的函數關系式是，下列結論正確的是（）
A．當時，實心球離地面的高度最小
B．實心球在空中飛行的最大高度是
C．投擲實心球的距離是
D．如果實心球在空中飛行速度是，則實心球從飛出到落地的時間為
6．（2023上·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）隨著地鐵和共享單車的發(fā)展，“地鐵＋單車”已成為很多市民出行的選擇，小敏從奧體中心站出發(fā)，先乘坐地鐵，準備在離家較近的A，B，C，D，E中的某一站出地鐵，再騎共享單車回家，設他出地鐵的站點與文化宮距離為x（單位：km），乘坐地鐵的時間（單位：s）是關于x的一次函數，若小敏騎單車的時間（單位：s）也受x的影響，其關系可以用來描述，則小敏從文化宮回到家里所需的時間最短為（ ）
A．34分鐘 B．39分鐘 C．34.5分鐘 D．39.5分鐘
5．（2023上·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期中）一飛機著陸后滑行的距離（單位：m）與滑行的時間（單位：s）的函數解析式是，那么該飛機著陸后滑行的距離為450m時，滑行的時間為（ ）
A． B． C． D．或
6．（2024上·天津南開·九年級統(tǒng)考期末）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位，m）與小球運動時間t（單位：s）之間的函數關系為，其中．有下列結論：
①當時，小球運動到最大高度；
②當小球的運動高度為時，運動時間為或；
③小球運動中的最大高度為；
④小球從拋出到落地需要；
其中正確的結論有（）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．（2023上·全國·九年級期末）如圖，以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數關系，下列對方程的兩根與的解釋正確的是（ ）
A．小球的飛行高度為15m時，小球飛行的時間是1s
B．小球飛行時飛行高度為15m，并將繼續(xù)上升
C．小球從飛出到落地要用4s
D．小球的飛行高度可以達到25m
8．（2023上·遼寧大連·九年級校考階段練習）如圖1，在中，，，，動點從點開始沿邊AB向點勻速移動（點的速度小于），同時動點從點開始沿邊BC向點勻速移動，點到達時，點恰好到達C．的面積關于出發(fā)時間的函數圖象如圖2所示，則點的運動速度為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·浙江·九年級專題練習）如圖，點、、、分別是正方形邊、、、上的點，且．設、兩點間的距離為，四邊形的面積為，則與的函數圖象可能為（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023上·山東日照·九年級校考階段練習）如圖，一個邊長為2的菱形，，過點A作直線，將直線沿線段向右平移，直至經過點C時停止，在平移的過程中，若菱形在直線左邊的部分面積為y，則y與直線平移的距離x之間的函數圖像大致為（ ）

A． B．
C． D．
11．（2023上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖1，在正方形中，動點以的速度自點出發(fā)沿方向運動至A點停止，動點以的速度自A點出發(fā)沿折線運動至點停止，若點P、Q同時出發(fā)運動了秒，記的面積為，且與之間的函數關系的圖像如圖2所示，則圖像中的值為（ ）．
A．1 B． C． D．2
12．（2023上·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，有長為的籬笆，一邊利用墻（墻長不限），則圍成的花圃的面積最大為 ．
13．（2017上·九年級課時練習）如圖，在中，，點P從點A開始沿向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿向點C以的速度移動．如果P，Q分別同時出發(fā)，當的面積最大時，運動時間t為 s．
14．（2023上·吉林長春·九年級長春市解放大路學校校考期中）如圖，已知一拋物線形大門，其地面寬度米，一位同學站在門內，在離門腳B點1米遠的D處，垂直地面立起一根米長的木桿，其頂端恰好頂在拋物線形門上C處．則該大門的高h為 米．

15．（2023上·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）某服裝店購進一批單價為50元的襯衫，如果按90元銷售，那么每天可銷售20件．經調查發(fā)現(xiàn)，這種襯衫的銷售價每降低1元，其銷售量相應增加2件．當降價 元時，該服裝店的銷售利潤最大．
16．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度（單位：）與水平距離（單位：）之間的關系是：，則鉛球推出的距離 ．
17．（2024上·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點P在斜邊上移動，，M，N分別為垂足，，則何時矩形的面積最大？最大面積是多少？
18．（2022上·陜西商洛·九年級統(tǒng)考期末）如圖，隧道的截面由拋物線和矩形構成，矩形的長為，寬為，以所在的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直坐標系，y軸也是拋物線的對稱軸，頂點E到坐標原點O的距離為．

(1)求拋物線的解析式．
(2)現(xiàn)有一輛貨運卡車，高為，寬為，它能從正中間通過該隧道嗎？
19．（2023上·河北廊坊·九年級新世紀中學校考階段練習）某工廠的前年生產總值為10萬元，去年比前年的年增長率為，預計今年比去年的年增長率為，設今年的總產值為萬元．
(1)求與的關系式；
(2)當時，求今年的總產值為多少萬元？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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