資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題6.9 平面向量的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）
1．平面幾何中的向量方法
(1)用向量研究平面幾何問(wèn)題的思想
向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此，用向量解決平面幾何問(wèn)題，就是將
幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算問(wèn)題，將“證”轉(zhuǎn)化為“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面幾何中常見(jiàn)的應(yīng)用
①證明線(xiàn)段平行或點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，以及相似問(wèn)題，常用向量共線(xiàn)定理：∥=-=0 (≠0).
②證明線(xiàn)段垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(xiàn)(或線(xiàn)段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：=0+=0.
③求夾角問(wèn)題，利用夾角公式：==.
④求線(xiàn)段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線(xiàn)段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=
.
(3)向量法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”
2．向量在物理中的應(yīng)用
(1)力學(xué)問(wèn)題的向量處理方法
向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點(diǎn)，也可以沒(méi)有共同的作用點(diǎn)，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點(diǎn)的量.用向量知識(shí)解決力的問(wèn)題，往往是把向量平移到同一作用點(diǎn)上.
(2)速度、位移問(wèn)題的向量處理方法
速度、加速度與位移的合成和分解，實(shí)質(zhì)就是向量的加減法運(yùn)算，而運(yùn)動(dòng)的疊加也用到向量的合成.
(3)向量與功、動(dòng)量
物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積.
①力的做功涉及兩個(gè)向量及這兩個(gè)向量的夾角，即W=||||.功是一個(gè)實(shí)數(shù),它可正,可負(fù),也可
為零.
②動(dòng)量涉及物體的質(zhì)量m，物體運(yùn)動(dòng)的速度，因此動(dòng)量的計(jì)算是向量的數(shù)乘運(yùn)算.
【題型1 用向量解決平面幾何中的平行問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
用向量法解決平面幾何中的平行問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)有兩種方法.
(1)普通向量法：利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算，將平行問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.
(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.
【例1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）在中，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，，.求證：.
【解題思路】設(shè)，，即可表示出，再由，，即可表示出，從而得到，即可得證；
【解答過(guò)程】證明：設(shè)，，則.
又，.所以，.
在中，，
所以，即與共線(xiàn)，故.
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四邊形中， ，是上的點(diǎn)，且.
求證： .
【解題思路】利用，可得四邊形是平行四邊形，結(jié)合，即可證明.
【解答過(guò)程】∵，∴且∥，
∴四邊形是平行四邊形，
∴ ,∵，∴，
又∵∥，
∴四邊形是平行四邊形，∴，
又與方向相同，
∴.
【變式1-2】（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知是的三條高，且交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．
【解題思路】先由題意，得到，設(shè)，根據(jù)三角形相似，推出，，再由向量的線(xiàn)性運(yùn)算，得到，即可得出結(jié)論成立．
【解答過(guò)程】證明：由題意，，，∴．
設(shè)，則．
同理．
于是．
∴，∴．
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，分別在平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)和反向延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)和點(diǎn)，使.試用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.
【解題思路】由題知，，進(jìn)而根據(jù)題意得，再根據(jù)向量共線(xiàn)即可證明.
【解答過(guò)程】證明：因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?br/>所以，，
因?yàn)椋?br/>所以，即，且，
所以四邊形是平行四邊形.
【題型2 用向量解決平面幾何中的垂直問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
用向量法解決平面幾何中的垂直問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)有兩種方法.
(1)普通向量法：利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算，有時(shí)可選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知模或夾角的
向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示.
(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.
【例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)（，）.設(shè)，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法證明：.
【解題思路】（1）利用平面向量基本定理表示出；
（2）利用數(shù)量積為0證明.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)椋?所以.
所以，.
（2）由（1）可得： ，.
因?yàn)椋?br/>所以，
所以.
【變式2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）用向量方法證明：菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對(duì)角線(xiàn)．求證：．
【解題思路】設(shè)， ，則且，即可求得，由此即可證明結(jié)果.
【解答過(guò)程】證明：設(shè)， ．
因?yàn)樗倪呅螢榱庑危裕?br/>又
則，故．
所以.
【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a， E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：DE⊥AF.
【解題思路】利用平面向量加法、數(shù)乘的幾何意義有·＝·，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，線(xiàn)段的位置、數(shù)量關(guān)系可得·＝0，即可證結(jié)論.
【解答過(guò)程】∵·＝·＝ 2－ 2，而，
∴·＝0，
∴⊥，即DE⊥AF.
【變式2-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且，求證：.
【解題思路】以為基底，表示，，結(jié)合向量的運(yùn)算可知，進(jìn)而證得結(jié)論.
【解答過(guò)程】
，
因?yàn)椋?br/>所以，即，
故.
【題型3 利用向量求線(xiàn)段間的長(zhǎng)度關(guān)系】
【方法點(diǎn)撥】
利用向量知識(shí)，結(jié)合具體條件，將平面幾何中的長(zhǎng)度關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.
【例3】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點(diǎn)，BE，BF分別與AC交于R，T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？用向量方法證明你的結(jié)論.
【解題思路】由于是對(duì)角線(xiàn)上的兩點(diǎn)，要判斷之間的關(guān)系，只需分別判斷與之間的關(guān)系即可.
【解答過(guò)程】設(shè)，，，則.
由，可設(shè)，
又，，可設(shè)，
∵，
∴，
綜上，有，即，
由于與不共線(xiàn)，則，解得，
∴.同理，，.
∴.
【變式3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在梯形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求證：.
【解題思路】由題意可知，又，，且與同向，
則，即可求證
【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，
所以，.
所以.
因?yàn)椋?br/>所以 ，
所以.
因?yàn)椋遗c同向，
所以，
即.
【變式3-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)D，求證：.
【解題思路】以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用可得，由可得，繼而可證明，即得證
【解答過(guò)程】證明：如圖，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)
設(shè)，，，，則，，
所以，所以.
所以，.
因?yàn)镋，D，F(xiàn)共線(xiàn)，
所以，
所以
化簡(jiǎn)得.
因?yàn)?，
所以.
所以.
【變式3-3】（2022·高一單元測(cè)試）如圖，在中，點(diǎn)C分為，點(diǎn)D為中點(diǎn)，與交于P點(diǎn)，延長(zhǎng)交于E，求證：.
【解題思路】以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，依題意可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A，P，D共線(xiàn)可得，由點(diǎn)B，P，C共線(xiàn)，可得，由點(diǎn)O，P，E共線(xiàn)，可得，即可解出，從而證出．
【解答過(guò)程】以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)，，，，則.
因?yàn)辄c(diǎn)C分為，所以
因?yàn)辄c(diǎn)D為的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)辄c(diǎn)A，P，D共線(xiàn)，所以.
又，，所以.
同理由點(diǎn)B，P，C共線(xiàn)，可得，
由點(diǎn)O，P，E共線(xiàn)，可得.解得.所以.
【題型4 用向量解決夾角問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
利用向量知識(shí)，結(jié)合具體條件，利用向量的夾角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.
【例4】（2022春·山東菏澤·高一期末）如圖，在中，已知，，，且.求.
【解題思路】根據(jù)向量線(xiàn)性運(yùn)算結(jié)合已知可得故，，平方后利用數(shù)量積的運(yùn)算法則求得，再利用向量的夾角公式即可求得答案.
【解答過(guò)程】由題意得，的夾角為，
，則，
又，所以，
故，同理
于是
，
，
，
.
【變式4-1】（2022春·重慶·高一期末）如圖，在中，已知，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn).
(1)求線(xiàn)段，的長(zhǎng)；
(2)求的余弦值.
【解題思路】（1）由，，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求解；
（2）由與的夾角即為，利用向量的夾角公式即可求解.
【解答過(guò)程】(1)
解：由題意，，，
又，
所以 ，
，即，
=
，
，即；
(2)
解：，
==，
與的夾角即為，
.
【變式4-2】（2022春·廣東河源·高一階段練習(xí)）已知是等腰直角三角形，，是邊的中點(diǎn)，，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，求證：.
【解題思路】以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，證明的夾角與的夾角相等，從而證得結(jié)論。
【解答過(guò)程】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，.
設(shè)，則.
又因?yàn)椋裕?br/>所以，解得 ，所以.
所以.
又因?yàn)椋?br/>所以，.
又因?yàn)椋?
【變式4-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知梯形中，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求與所成角的余弦值．
【解題思路】（1）由向量的運(yùn)算得出，進(jìn)而得出和的值；
（2）由向量的運(yùn)算得出，，進(jìn)而得出，，，再由數(shù)量積公式求解即可.
【解答過(guò)程】（1）根據(jù)題意，梯形中，，，E為的中點(diǎn)
則
又由可得，
（2）是與所成的角，設(shè)向量與所成的角為
，則
，則
則，
因?yàn)?br/>，
所以
所以與所成角的余弦值為.
【題型5 用向量解決物理中的相關(guān)問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
平面向量在物理的力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)中應(yīng)用廣泛，用向量處理這些問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)題意把物理中的相關(guān)量用有
向線(xiàn)段表示，再利用向量加法的平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來(lái)計(jì)算.
【例5】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，一滑輪組中有兩個(gè)定滑輪，，在從連接點(diǎn)出發(fā)的三根繩的端點(diǎn)處，掛著個(gè)重物，它們所受的重力分別為，和．此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)恰處于平衡狀態(tài)，求的大小．
【解題思路】根據(jù)題意，用向量的方法求解，作出對(duì)應(yīng)的受力分析圖，得到，推出，再由題中數(shù)據(jù)，以及向量的夾角公式，即可得出結(jié)果.
【解答過(guò)程】解：如圖，∵，
∴，
∴，
即，
∴．
∵，∴．
【變式5-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)力，，，作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)(其中，分別是軸正方向、軸正方向上的單位向量)．試求：
(1)，分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；
(2)，的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．
【解題思路】（1）由已知可得兩個(gè)力，和位移，再由公式計(jì)算即可求解；
（2）先計(jì)算，的合力，再由公式即可求得合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．
【解答過(guò)程】（1）依題意有，，，
則做的功為，
做的功為．
（2）由，
所以做的功為．
【變式5-2】（2022·高一單元測(cè)試）如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度，一艘船從點(diǎn)出發(fā)航行到河對(duì)岸，船航行速度的大小為，水流速度的大小為，設(shè)和的夾角為．
(1)當(dāng)多大時(shí)，船能垂直到達(dá)對(duì)岸？
(2)當(dāng)船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)，航行所需時(shí)間是否最短？為什么？
【解題思路】（1）由題意，且與垂直，即，根據(jù)數(shù)量積的定義即可求解；
（2）設(shè)船航行到對(duì)岸所需的時(shí)間為，則，比較和兩種情況即可求解.
【解答過(guò)程】（1）
解：船垂直到達(dá)對(duì)岸，即且與垂直，即，
所以，即，
所以，解得；
（2）
解：設(shè)船航行到對(duì)岸所需的時(shí)間為，則，
所以當(dāng)時(shí)，船的航行時(shí)間最短為，
而當(dāng)船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)，由（1）知，
所需時(shí)間，，
故當(dāng)船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)，航行所需時(shí)間不是最短．
【變式5-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）解決本節(jié)開(kāi)始時(shí)的問(wèn)題：在如圖的天平中，左、右兩個(gè)秤盤(pán)均被3根細(xì)繩均勻地固定在橫梁上.在其中一個(gè)秤盤(pán)中放入質(zhì)量為1kg的物品，在另一個(gè)秤盤(pán)中放入質(zhì)量為1kg的砝碼，天平平衡.3根細(xì)繩通過(guò)秤盤(pán)分擔(dān)對(duì)物品的拉力（拉力分別為，，），若3根細(xì)繩兩兩之間的夾角均為，不考慮秤盤(pán)和細(xì)繩本身的質(zhì)量，則，，的大小分別是多少？
【解題思路】由題可得，且，，兩兩之間的夾角均為，，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義即得.
【解答過(guò)程】由題可知，且，，兩兩之間的夾角均為，
又，（為重力加速度）
∴，
∴，
∴（牛），
即，，的大小都是牛.
【題型6 向量與幾何最值】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)具體條件，利用向量知識(shí)，將平面幾何中的最值問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例6】（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，過(guò)中心O的直線(xiàn)l與兩邊AB，CD分別交于點(diǎn)M，N．
(1)若Q是BC的中點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)若P是平面上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求的最小值．
【解題思路】（1）由向量的加法和數(shù)量積運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為，再由的值和的范圍可求得結(jié)果.
（2）令可得點(diǎn)T 在BC上，再將轉(zhuǎn)化為，由、的范圍可求得結(jié)果.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)中心O且與兩邊AB、CD分別交于點(diǎn)M、N．
所以O(shè)為MN的中點(diǎn)，所以，
所以 ．
因?yàn)镼是BC的中點(diǎn)，所以，，
所以，
即的取值范圍為；
（2）令，則 ，
∴，即：
∴
∴點(diǎn)T 在BC上，
又因?yàn)镺為MN的中點(diǎn)，
所以，從而， ，
因?yàn)椋?br/>所以，
即的最小值為．
【變式6-1】（2022春·廣西柳州·高一階段練習(xí)）在中，，，，為邊中點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，求的最小值；
【解題思路】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊所在的直線(xiàn)為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系求出、的坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案；
（2）根據(jù)點(diǎn)在上，設(shè)，求出、的坐標(biāo)，則，利用二次函數(shù)配方求最值可得答案.
【解答過(guò)程】（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊所在的直線(xiàn)為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
所以，，，
為邊中點(diǎn)，所以，，，
則；
（2）若點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)在上，
由（1），設(shè)，則，，
則，
所以當(dāng)時(shí)的最小值為.
【變式6-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）梯形中，，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，求；
(2)求的最大值.
【解題思路】（1）根據(jù)題意求得，將目標(biāo)向量表達(dá)為，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求得結(jié)果；
（2）選定，為基底，表達(dá)目標(biāo)向量，再根據(jù)平面向量共線(xiàn)定理，設(shè)，將數(shù)量積表達(dá)為的函數(shù)，再求函數(shù)最大值即可.
【解答過(guò)程】(1)
根據(jù)題意，作圖如下：
由題意，，
.
(2)
設(shè)，
，
所以時(shí)，的最大值是．
【變式6-3】（2022春·廣東佛山·高一期中）如圖，分別是矩形的邊和上的動(dòng)點(diǎn)，且.
（1）若都是中點(diǎn)，求.
（2）若都是中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的任意一點(diǎn)，求的最大值.
（3）若，求的最小值.
【解題思路】（1）構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求.
（2）設(shè)，由求關(guān)于的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)求的最大值.
（3）設(shè)，則，可得，再應(yīng)用輔助角公式、三角恒等變換及余弦函數(shù)的性質(zhì)求的最小值.
【解答過(guò)程】
（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建系，得,,，
∴.
（2）由（1）知，設(shè)，
∴，，
∴
當(dāng)時(shí)，最大值.
（3）設(shè)，則，
∴ ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故最小值是.專(zhuān)題6.9 平面向量的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）
1．平面幾何中的向量方法
(1)用向量研究平面幾何問(wèn)題的思想
向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此，用向量解決平面幾何問(wèn)題，就是將
幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算問(wèn)題，將“證”轉(zhuǎn)化為“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面幾何中常見(jiàn)的應(yīng)用
①證明線(xiàn)段平行或點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，以及相似問(wèn)題，常用向量共線(xiàn)定理：∥=-=0 (≠0).
②證明線(xiàn)段垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(xiàn)(或線(xiàn)段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：=0+=0.
③求夾角問(wèn)題，利用夾角公式：==.
④求線(xiàn)段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線(xiàn)段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=
.
(3)向量法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”
2．向量在物理中的應(yīng)用
(1)力學(xué)問(wèn)題的向量處理方法
向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點(diǎn)，也可以沒(méi)有共同的作用點(diǎn)，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點(diǎn)的量.用向量知識(shí)解決力的問(wèn)題，往往是把向量平移到同一作用點(diǎn)上.
(2)速度、位移問(wèn)題的向量處理方法
速度、加速度與位移的合成和分解，實(shí)質(zhì)就是向量的加減法運(yùn)算，而運(yùn)動(dòng)的疊加也用到向量的合成.
(3)向量與功、動(dòng)量
物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積.
①力的做功涉及兩個(gè)向量及這兩個(gè)向量的夾角，即W=||||.功是一個(gè)實(shí)數(shù),它可正,可負(fù),也可
為零.
②動(dòng)量涉及物體的質(zhì)量m，物體運(yùn)動(dòng)的速度，因此動(dòng)量的計(jì)算是向量的數(shù)乘運(yùn)算.
【題型1 用向量解決平面幾何中的平行問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
用向量法解決平面幾何中的平行問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)有兩種方法.
(1)普通向量法：利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算，將平行問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.
(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.
【例1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）在中，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，，.求證：.
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四邊形中， ，是上的點(diǎn)，且.
求證： .
【變式1-2】（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知是的三條高，且交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，分別在平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)和反向延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)和點(diǎn)，使.試用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.
【題型2 用向量解決平面幾何中的垂直問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
用向量法解決平面幾何中的垂直問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)有兩種方法.
(1)普通向量法：利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算，有時(shí)可選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知模或夾角的
向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示.
(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.
【例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)（，）.設(shè)，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法證明：.
【變式2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）用向量方法證明：菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對(duì)角線(xiàn)．求證：．
【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a， E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：DE⊥AF.
【變式2-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且，求證：.
【題型3 利用向量求線(xiàn)段間的長(zhǎng)度關(guān)系】
【方法點(diǎn)撥】
利用向量知識(shí)，結(jié)合具體條件，將平面幾何中的長(zhǎng)度關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.
【例3】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點(diǎn)，BE，BF分別與AC交于R，T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？用向量方法證明你的結(jié)論.
【變式3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在梯形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求證：.
【變式3-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)D，求證：.
【變式3-3】（2022·高一單元測(cè)試）如圖，在中，點(diǎn)C分為，點(diǎn)D為中點(diǎn)，與交于P點(diǎn)，延長(zhǎng)交于E，求證：.
【題型4 用向量解決夾角問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
利用向量知識(shí)，結(jié)合具體條件，利用向量的夾角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.
【例4】（2022春·山東菏澤·高一期末）如圖，在中，已知，，，且.求.
【變式4-1】（2022春·重慶·高一期末）如圖，在中，已知，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn).
(1)求線(xiàn)段，的長(zhǎng)；
(2)求的余弦值.
【變式4-2】（2022春·廣東河源·高一階段練習(xí)）已知是等腰直角三角形，，是邊的中點(diǎn)，，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，求證：.
【變式4-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知梯形中，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求與所成角的余弦值．
【題型5 用向量解決物理中的相關(guān)問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
平面向量在物理的力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)中應(yīng)用廣泛，用向量處理這些問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)題意把物理中的相關(guān)量用有
向線(xiàn)段表示，再利用向量加法的平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來(lái)計(jì)算.
【例5】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，一滑輪組中有兩個(gè)定滑輪，，在從連接點(diǎn)出發(fā)的三根繩的端點(diǎn)處，掛著個(gè)重物，它們所受的重力分別為，和．此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)恰處于平衡狀態(tài)，求的大小．
【變式5-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)力，，，作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)(其中，分別是軸正方向、軸正方向上的單位向量)．試求：
(1)，分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；
(2)，的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．
【變式5-2】（2022·高一單元測(cè)試）如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度，一艘船從點(diǎn)出發(fā)航行到河對(duì)岸，船航行速度的大小為，水流速度的大小為，設(shè)和的夾角為．
(1)當(dāng)多大時(shí)，船能垂直到達(dá)對(duì)岸？
(2)當(dāng)船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)，航行所需時(shí)間是否最短？為什么？
【變式5-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）解決本節(jié)開(kāi)始時(shí)的問(wèn)題：在如圖的天平中，左、右兩個(gè)秤盤(pán)均被3根細(xì)繩均勻地固定在橫梁上.在其中一個(gè)秤盤(pán)中放入質(zhì)量為1kg的物品，在另一個(gè)秤盤(pán)中放入質(zhì)量為1kg的砝碼，天平平衡.3根細(xì)繩通過(guò)秤盤(pán)分擔(dān)對(duì)物品的拉力（拉力分別為，，），若3根細(xì)繩兩兩之間的夾角均為，不考慮秤盤(pán)和細(xì)繩本身的質(zhì)量，則，，的大小分別是多少？
【題型6 向量與幾何最值】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)具體條件，利用向量知識(shí)，將平面幾何中的最值問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例6】（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，過(guò)中心O的直線(xiàn)l與兩邊AB，CD分別交于點(diǎn)M，N．
(1)若Q是BC的中點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)若P是平面上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求的最小值．
【變式6-1】（2022春·廣西柳州·高一階段練習(xí)）在中，，，，為邊中點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，求的最小值；
【變式6-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）梯形中，，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，求；
(2)求的最大值.
【變式6-3】（2022春·廣東佛山·高一期中）如圖，分別是矩形的邊和上的動(dòng)點(diǎn)，且.
（1）若都是中點(diǎn)，求.
（2）若都是中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的任意一點(diǎn)，求的最大值.
（3）若，求的最小值.

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