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專題6.7 平面向量基本定理及坐標表示（重難點題型精講）
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)，
，使.若，不共線，我們把{，}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.
(2)定理的實質
由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進行分解——平面內的任一向量都可以用平面內任意不共線的兩個向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實質.
2．平面向量的正交分解及坐標表示
(1)正交分解
不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐標表示
如圖，在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為，，取{，}作為基
底.對于平面內的任意一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得=x+y.這樣，平面內的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)①.其中x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標，①叫做向量的坐標表示.
顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)點的坐標與向量的坐標的關系
3．平面向量線性運算的坐標表示
(1)兩個向量和（差）的坐標表示
由于向量=(,)，=(,)等價于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
這就是說，兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差).
(2)向量數(shù)乘的坐標表示
由=(x,y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x,y).
這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.
4．平面向量數(shù)量積的坐標表示
(1)平面向量數(shù)量積的坐標表示
由于向量=(,)，=(,)等價于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++.又=1，=1，==0，所以=+.
這就是說，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.
(2)平面向量長度（模）的坐標表示
若=(x,y)，則或.
其含義是：向量的長度(模)等于向量的橫、縱坐標平方和的算術平方根.
如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為(,)，(,)，那么=(-,-)，||=
.
5．平面向量位置關系的坐標表示
(1)共線的坐標表示
①兩向量共線的坐標表示
設=(,)，=(,)，其中≠0.我們知道，，共線的充要條件是存在實數(shù)，使=.如果用
坐標表示，可寫為(,)=(,)，即，消去，得-=0.這就是說，向量， (≠0)共線的充要條件是-=0.
②三點共線的坐標表示
若A(,)，B(,)，C(,)三點共線，則有=，
從而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，當這些條件中有一個成立時，A,B,C三點共線.
(2)夾角的坐標表示
設，都是非零向量，=(,)，=(,)，是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標表示可得==.
(3)垂直的坐標表示
設=(,)，=(,)，則+=0.
即兩個向量垂直的充要條件是它們相應坐標乘積的和為0.
【題型1 用基底表示向量】
【方法點撥】
用基底表示向量的基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算對待求向量不斷地進行轉化，直至用基底
表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基底表示向量的唯一性求解.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四邊形中，對角線與交于點為中點，與交于點，若 ，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022·浙江·模擬預測）在平行四邊形中，，，設，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2022春·四川綿陽·高一期末）在中，點D在BC邊上，且.設，，則可用基底，表示為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）在平行四邊形中，是邊的中點，與交于點．若，，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 平面向量基本定理的應用】
【方法點撥】
結合題目條件，利用平面向量基本定理進行轉化求解即可.
【例2】（2022春·山東·高一階段練習）已知G是的重心，點D滿足，若，則為（ ）
A． B． C． D．1
【變式2-1】（2022秋·河南·高三階段練習）在中，為邊的中點，在邊上，且，與交于點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2022春·內蒙古赤峰·高一期末）如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若，則等于（ ）
A．1 B． C． D．
【變式2-3】（2022秋 安徽期末）已知平行四邊形ABCD的對角線交于點O，E為AO的中點，若，則λ+μ＝（　　）
A． B． C． D．1
【題型3 平面向量的坐標運算】
【方法點撥】
(1)向量的線性運算的坐標表示主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的，若已知有向線段兩端點的坐標，
則應先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算，另外解題過程中要注意方程思想的運用.
(2)利用向量線性運算的坐標表示解題，主要根據(jù)相等向量的坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解.
【例3】（2022秋·新疆喀什·高一階段練習）若，則的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·高二課時練習）在平行四邊形中，為一條對角線.若，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022春·廣西南寧·高一期末）已知向量，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022春·河南平頂山·高一期末）已知向量，，，則可用與表示為（ ）
A． B． C． D．
【題型4 向量共線、垂直的坐標表示】
【方法點撥】
向量共線、垂直的坐標表示的應用有兩類：一是判斷向量的共線（平行）、垂直；二是根據(jù)向量共線、垂
直來求參數(shù)的值；根據(jù)題目條件，結合具體問題進行求解即可.
【例4】（2022秋·河南南陽·高二開學考試）在平面直角坐標系中，已知．
(1)若，求實數(shù)k的值；
(2)若，求實數(shù)t的值．
【變式4-1】（2022春·廣東潮州·高一期中）已知
（1）當為何值時，與垂直
（2）若，且三點共線，求的值．
【變式4-2】（2023·高一單元測試）已知，．
(1)當k為何值時，與垂直？
(2)當k為何值時，與平行？
【變式4-3】（2022秋·河南開封·高三階段練習）已知向量，
(1)當，求的值；
(2)當，，求向量與的夾角
【題型5 向量坐標運算與平面幾何的交匯】
【方法點撥】
利用向量可以解決與長度、角度、垂直、平行等有關的幾何問題，其解題的關鍵在于把其他語言轉化為向
量語言，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題.常用方法是建立平面直角坐
標系，借助向量的坐標運算轉化為代數(shù)問題來解決.
【例5】（2022春·吉林長春·高一階段練習）如圖，已知是平面直角坐標系的原點，，．
(1)求坐標；
(2)若四邊形為平行四邊形，求點坐標．
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）已知平行四邊形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如圖建立直角坐標系，求和的坐標.
【變式5-2】（2022春·浙江杭州·高一期中）已知半圓圓心為O點，直徑，C為半圓弧上靠近點A的三等分點，若P為半徑OC上的動點，以O點為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示．
(1)求點A、B、C的坐標；
(2)若，求與夾角的大小；
(3)試求點P的坐標，使取得最小值，并求此最小值．
【變式5-3】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一期中）在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，，點M滿足，點P在線段BC上運動（包括端點），如圖所示．
(1)求與共線的單位向量的坐標；
(2)求∠OCM的余弦值；
(3)是否存在實數(shù)λ，使若存在，求出實數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【題型6 向量坐標運算與三角函數(shù)的交匯】
【方法點撥】
先運用平面向量數(shù)量積的坐標表示的相關知識(平面向量數(shù)量積的坐標表示、平面向量模與夾角的坐標表
示、平面向量平行與垂直的坐標表示等)將問題轉化為與三角函數(shù)有關的問題(如化簡、求值、證明等)，再
利用三角函數(shù)的相關知識求解即可.
【例6】（2022秋·江蘇鹽城·高三期中）已知O為坐標原點，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范圍．
【變式6-1】（2022秋·河南信陽·高三階段練習）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)求的最大值及取得最大值時角的余弦值.
【變式6-2】（2022秋·甘肅張掖·高三階段練習）已知，．
(1)若，且，時，與的夾角為鈍角，求的取值范圍；
(2)若，函數(shù)，求的最小值．
【變式6-3】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)記，求函數(shù)的圖象向右平移個單位，縱坐標不變橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的值域.專題6.7 平面向量基本定理及坐標表示（重難點題型精講）
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)，
，使.若，不共線，我們把{，}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.
(2)定理的實質
由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進行分解——平面內的任一向量都可以用平面內任意不共線的兩個向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實質.
2．平面向量的正交分解及坐標表示
(1)正交分解
不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐標表示
如圖，在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為，，取{，}作為基
底.對于平面內的任意一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得=x+y.這樣，平面內的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)①.其中x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標，①叫做向量的坐標表示.
顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)點的坐標與向量的坐標的關系
3．平面向量線性運算的坐標表示
(1)兩個向量和（差）的坐標表示
由于向量=(,)，=(,)等價于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
這就是說，兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差).
(2)向量數(shù)乘的坐標表示
由=(x,y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x,y).
這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.
4．平面向量數(shù)量積的坐標表示
(1)平面向量數(shù)量積的坐標表示
由于向量=(,)，=(,)等價于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++.又=1，=1，==0，所以=+.
這就是說，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.
(2)平面向量長度（模）的坐標表示
若=(x,y)，則或.
其含義是：向量的長度(模)等于向量的橫、縱坐標平方和的算術平方根.
如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為(,)，(,)，那么=(-,-)，||=
.
5．平面向量位置關系的坐標表示
(1)共線的坐標表示
①兩向量共線的坐標表示
設=(,)，=(,)，其中≠0.我們知道，，共線的充要條件是存在實數(shù)，使=.如果用
坐標表示，可寫為(,)=(,)，即，消去，得-=0.這就是說，向量， (≠0)共線的充要條件是-=0.
②三點共線的坐標表示
若A(,)，B(,)，C(,)三點共線，則有=，
從而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，當這些條件中有一個成立時，A,B,C三點共線.
(2)夾角的坐標表示
設，都是非零向量，=(,)，=(,)，是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標表示可得==.
(3)垂直的坐標表示
設=(,)，=(,)，則+=0.
即兩個向量垂直的充要條件是它們相應坐標乘積的和為0.
【題型1 用基底表示向量】
【方法點撥】
用基底表示向量的基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算對待求向量不斷地進行轉化，直至用基底
表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基底表示向量的唯一性求解.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四邊形中，對角線與交于點為中點，與交于點，若 ，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，結合平行四邊形性質，用表示出即可求解作答.
【解答過程】平行四邊形的對角線與交于點，如圖，
則，而點為的中點，
有，由得：，
則有，
所以.
故選：C.
【變式1-1】（2022·浙江·模擬預測）在平行四邊形中，，，設，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】結合平行四邊形的性質及平面向量的基本定理即可求解.
【解答過程】因為四邊形為平行四邊形，所以，，，
因為，，
所以，
所以，
,
因為，，
所以，解得 ，
所以，
故選：B.
【變式1-2】（2022春·四川綿陽·高一期末）在中，點D在BC邊上，且.設，，則可用基底，表示為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)向量的加減運算法則、數(shù)乘運算即可求解.
【解答過程】因為，所以.
所以
，
故選：C.
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）在平行四邊形中，是邊的中點，與交于點．若，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設 ，根據(jù)三點共線，即共線，可設，用表示出關系，即可解出結果.
【解答過程】.
設 ，
則,
又，且三點共線，則共線，
即，使得，即，
又不共線，則有，解得，
所以，.
故選：D.
【題型2 平面向量基本定理的應用】
【方法點撥】
結合題目條件，利用平面向量基本定理進行轉化求解即可.
【例2】（2022春·山東·高一階段練習）已知G是的重心，點D滿足，若，則為（ ）
A． B． C． D．1
【解題思路】由，可得為中點，，又由G是的重心，可得，代入，求得，即可得答案.
【解答過程】解：因為，
所以為中點，
又因為G是的重心，
所以，
又因為為中點，
所以，
所以，
所以，
所以.
故選：A.
【變式2-1】（2022秋·河南·高三階段練習）在中，為邊的中點，在邊上，且，與交于點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)三點共線的結論：三點共線，則，結合平面向量基本定理、向量的線性運算求解.
【解答過程】以為基底向量，則有：
∵三點共線，則，
又∵三點共線，且為邊的中點，則，
∴，解得，
即.
∵，
∴，則.
故選：A.
【變式2-2】（2022春·內蒙古赤峰·高一期末）如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若，則等于（ ）
A．1 B． C． D．
【解題思路】根據(jù)向量的加減法運算及平面向量基本定理求解即可.
【解答過程】由題意知，
因為，所以，，.
故選：B.
【變式2-3】（2022秋 安徽期末）已知平行四邊形ABCD的對角線交于點O，E為AO的中點，若，則λ+μ＝（　　）
A． B． C． D．1
【解題思路】在平行四邊形ABCD中，點O為AC的中點，又E為AO的中點，則，然后利用平面向量基本定理即可求解．
【解答過程】解：在平行四邊形ABCD中，點O為AC的中點，
又E為AO的中點，則，
所以，則，
故選：A．
【題型3 平面向量的坐標運算】
【方法點撥】
(1)向量的線性運算的坐標表示主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的，若已知有向線段兩端點的坐標，
則應先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算，另外解題過程中要注意方程思想的運用.
(2)利用向量線性運算的坐標表示解題，主要根據(jù)相等向量的坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解.
【例3】（2022秋·新疆喀什·高一階段練習）若，則的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意和平面向量運算的坐標表示直接得出結果.
【解答過程】因為，
所以.
故選：C.
【變式3-1】（2022·高二課時練習）在平行四邊形中，為一條對角線.若，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】在平行四邊形中，由，，利用減法得到，然后利用減法求.
【解答過程】在平行四邊形中， ，，
所以，
所以.
故選：C.
【變式3-2】（2022春·廣西南寧·高一期末）已知向量，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由向量坐標運算直接求解即可.
【解答過程】.
故選：A.
【變式3-3】（2022春·河南平頂山·高一期末）已知向量，，，則可用與表示為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設，根據(jù)坐標關系建立方程可求出.
【解答過程】設，x，，
則，
即，解得，∴.
故選：A.
【題型4 向量共線、垂直的坐標表示】
【方法點撥】
向量共線、垂直的坐標表示的應用有兩類：一是判斷向量的共線（平行）、垂直；二是根據(jù)向量共線、垂
直來求參數(shù)的值；根據(jù)題目條件，結合具體問題進行求解即可.
【例4】（2022秋·河南南陽·高二開學考試）在平面直角坐標系中，已知．
(1)若，求實數(shù)k的值；
(2)若，求實數(shù)t的值．
【解題思路】（1）由共線向量的坐標公式，可得答案；
（2）由垂直向量的數(shù)量積為零，根據(jù)坐標公式，可得答案.
【解答過程】（1）
因為．所以，，因為
所以，解得．
（2）
，因為，
所以 ，解得．
【變式4-1】（2022春·廣東潮州·高一期中）已知
（1）當為何值時，與垂直
（2）若，且三點共線，求的值．
【解題思路】（1）與垂直，即與的數(shù)量積為，利用坐標計算可得值；
（2）因為三點共線，所以，利用平面向量共線的坐標公式計算可得的值．
【解答過程】解：（1），
，
因為垂直，所以，
即，得.
（2）
，
因為三點共線，所以．
所以，即，所以.
【變式4-2】（2023·高一單元測試）已知，．
(1)當k為何值時，與垂直？
(2)當k為何值時，與平行？
【解題思路】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示可得，即可求出k的值；（2）根據(jù)平行向量的定義可知需滿足即可得出k的值.
【解答過程】（1），．
若可得，
即，得，
即時，與垂直；
（2）因為，不平行，由平行向量的定義可知，
需滿足時，
即 時，與平行.
【變式4-3】（2022秋·河南開封·高三階段練習）已知向量，
(1)當，求的值；
(2)當，，求向量與的夾角
【解題思路】（1）根據(jù)向量的坐標運算，以及向量垂直的坐標表示即可求解，
（2）根據(jù)向量平行的坐標關系可求，進而根據(jù)向量夾角公式即可求解．
【解答過程】（1）
因為向量，，所以，
由得，即，即，
整理得，解得或，
所以或.
（2）
因為，，所以，
由，可得，解得，
所以，，
所以，
又，所以．
【題型5 向量坐標運算與平面幾何的交匯】
【方法點撥】
利用向量可以解決與長度、角度、垂直、平行等有關的幾何問題，其解題的關鍵在于把其他語言轉化為向
量語言，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題.常用方法是建立平面直角坐
標系，借助向量的坐標運算轉化為代數(shù)問題來解決.
【例5】（2022春·吉林長春·高一階段練習）如圖，已知是平面直角坐標系的原點，，．
(1)求坐標；
(2)若四邊形為平行四邊形，求點坐標．
【解題思路】（1）過點作垂直軸于點，在中，即可求出的值，進而求得點坐標，再根據(jù)，求出點坐標，由此即可求出坐標.
（2）如下圖作出輔助線，根據(jù)直角三角形的特點，可求出點的坐標，再設點，根據(jù)題意可知，由此即可求出點坐標．
【解答過程】（1）
解：過點作垂直軸于點，如下圖所示：
因為，所以，
又，所以在中，，
又，所以，
所以
（2）
解：過點作垂直軸于點，過點作垂直軸于點，過點作垂直軸于點，如下圖所示：
在中，，，所以，
在中，，，
所以，即
所以，即，
設點，
因為四邊形為平行四邊形，所以，
又
所以，解得，所以點坐標為.
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）已知平行四邊形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如圖建立直角坐標系，求和的坐標.
【解題思路】（1）根據(jù)向量的加法及數(shù)乘運算求解；
（2）建立平面直角坐標系，利用坐標運算求解即可.
【解答過程】(1)
，
，又，所以，
所以；
(2)
過點D作AB的垂線交AB于點，如圖，
于是在中，由可知，，
根據(jù)題意得各點坐標：，，，，，， ，
所以，
所以，，,
.
【變式5-2】（2022春·浙江杭州·高一期中）已知半圓圓心為O點，直徑，C為半圓弧上靠近點A的三等分點，若P為半徑OC上的動點，以O點為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示．
(1)求點A、B、C的坐標；
(2)若，求與夾角的大小；
(3)試求點P的坐標，使取得最小值，并求此最小值．
【解題思路】（1）利用任意角三角函數(shù)的定義易求、、的坐標；
（2）利用平面向量的夾角公式求解即可；
（3）設，用表示點坐標，代數(shù)量積的坐標計算公式即可求解
【解答過程】（1）
因為半圓的直徑，由題易知：又，.
又，，則，，即.
（2）
由（1）知，，，
所以.
設與夾角為，則，
又因為，所以，即與的夾角為.
（3）
設，由（1）知，，，，
所以，
又因為，所以當時，有最小值為，
此時點的坐標為.
【變式5-3】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一期中）在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，，點M滿足，點P在線段BC上運動（包括端點），如圖所示．
(1)求與共線的單位向量的坐標；
(2)求∠OCM的余弦值；
(3)是否存在實數(shù)λ，使若存在，求出實數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【解題思路】（1）根據(jù)向量的坐標運算和單位向量的定義可求得答案；
（2）根據(jù)向量的夾角運算公式可求得答案；
（3）設，根據(jù)向量垂直的坐標表示可求得．分，討論可求得的范圍.
【解答過程】（1）
解：因為點，所以，
所以或；
（2）
解：由題意可得，
故．
（3）
解：設，其中．
若，則，即，可得．
若，則不存在，
若，則，
故．
【題型6 向量坐標運算與三角函數(shù)的交匯】
【方法點撥】
先運用平面向量數(shù)量積的坐標表示的相關知識(平面向量數(shù)量積的坐標表示、平面向量模與夾角的坐標表
示、平面向量平行與垂直的坐標表示等)將問題轉化為與三角函數(shù)有關的問題(如化簡、求值、證明等)，再
利用三角函數(shù)的相關知識求解即可.
【例6】（2022秋·江蘇鹽城·高三期中）已知O為坐標原點，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范圍．
【解題思路】（1）利用，求出，利用向量的模長公式，即可求解.
（2）利用，再根據(jù)，即可求出的取值范圍.
【解答過程】（1）時，，∴
∴
（2）
∵，∴，∴
∴的取值范圍為．
【變式6-1】（2022秋·河南信陽·高三階段練習）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)求的最大值及取得最大值時角的余弦值.
【解題思路】（1）利用向量得到，對所求的式子進行弦化切代入可得答案；
（2）由數(shù)量積的坐標運算和輔助角公式化簡可得，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性可得最大值及.
【解答過程】（1）
因為向量，
所以，所以，
；
（2）
，其中，
當時，取得最大值，
此時，
即時，取得最大值.
【變式6-2】（2022秋·甘肅張掖·高三階段練習）已知，．
(1)若，且，時，與的夾角為鈍角，求的取值范圍；
(2)若，函數(shù)，求的最小值．
【解題思路】(1)又與的夾角為鈍角，可得且與不能共線，列不等式求的范圍；
(2) 化簡得，利用將轉化為關于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質求值域.
【解答過程】（1）當時， ，若與的夾角為鈍角，
則且與不能共線，
，所以，
又，所以，所以，
當與共線時，，故，所以與不共線時，.
綜上：.
（2）
，
令，則，
，
而函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時有最小值.
故的最小值為.
【變式6-3】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)記，求函數(shù)的圖象向右平移個單位，縱坐標不變橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的值域.
【解題思路】（1）利用向量坐標的線性運算得的坐標，根據(jù)的坐標關系可得，從而可得，，即可求解的值；
（2）求解化成余弦型函數(shù)，再由三角函數(shù)圖象變化得，根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質求函數(shù)的值域即可.
【解答過程】（1）解：，，
，，
，即，
，.
（2）解：，
由圖象向右平移，橫坐標變?yōu)?倍得，
，，
在單調遞增，單調遞減，
，
，即值域為.

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