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專題6.5 向量的數量積（重難點題型精講）
1．向量的數量積
(1)向量數量積的物理背景
在物理課中我們學過功的概念：如果一個物體在力的作用下產生位移，那么力所做的功W=||||，其中是與的夾角.
我們知道力和位移都是矢量，而功是一個標量(數量).這說明兩個矢量也可以進行運算，并且這個運算明顯不同于向量的數乘運算，因為數乘運算的結果是一個向量，而這個運算的結果是數量.
(2)向量的夾角
已知兩個非零向量,，如圖所示，O是平面上的任意一點，作=，=，則∠AOB= (0≤≤
π)叫做向量與的夾角，也常用表示.
(3)兩個向量數量積的定義
已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數量||||叫做向量與的數量積(或內積)，記作，即=||||.
規定：零向量與任一向量的數量積為0，即0=0.
(4)向量的投影
如圖，設，是兩個非零向量，=，=，我們考慮如下的變換：過的起點A和終點B，
分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
2．向量數量積的性質和運算律
(1)向量數量積的性質
設，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則
①==.
②=0.
③當與同向時，=；當與反向時，=-.
特別地，==或=.
④|a|，當且僅當向量，共線，即∥時，等號成立.
⑤=.
(2)向量數量積的運算律
由向量數量積的定義，可以發現下列運算律成立：
對于向量，，和實數，有
①交換律：=；
②數乘結合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
3．向量數量積的常用結論
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，當且僅當與同向共線時右邊等號成立，與反向共線時左邊等
號成立.
以上結論可作為公式使用.
【題型1 向量的投影】
【方法點撥】
根據向量的投影的定義，結合具體條件，進行求解即可.
【例1】（2022·安徽·校聯考二模）已知單位向量滿足，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022春·湖北·高二階段練習）已知，設的夾角為，則在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022春·遼寧沈陽·高三階段練習）已知平面向量滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2022·高一課時練習）如圖，在平面四邊形中，，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 向量數量積的計算】
【方法點撥】
解決向量數量積的計算問題，要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊
夾角或已知長度的向量.對于以圖形為背景的向量數量積的題目，解題時要充分把握圖形的特征.
【例2】（2022·四川·高三統考對口高考）已知向量與向量的夾角為60°，，，則（ ）
A．20 B．10 C． D．
【變式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【變式2-2】（2022·四川自貢·統考一模）在中，，，點M在邊AB上，且滿足，則（ ）
A． B．3 C．6 D．8
【變式2-3】（2022春·江蘇徐州·高三學業考試）如圖，在邊長為3的正中，D，E分別在AC，AB上，且，則（ ）
A． B． C． D．
【題型3 求向量的夾角（夾角的余弦值）】
【方法點撥】
求兩非零向量的夾角或其余弦值一般利用夾角公式=求解.
【例3】（2022·陜西寶雞·統考一模）已知向量，滿足，且，則，夾角為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022春·云南曲靖·高三階段練習）已知，則（ ）
A．0 B． C． D．
【變式3-2】（2022·全國·模擬預測）已知向量，滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022秋·山東聊城·高一期中）已知是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【題型4 已知向量的夾角求參數】
【方法點撥】
根據題目條件，借助向量的夾角公式=，進行轉化求解即可.
【例4】（2022秋·甘肅蘭州·高一期中）已知為互相垂直的單位向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2022·高一單元測試）已知是正三角形,若與向量的夾角大于,則實數的取值范圍是(　　)
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022春·北京順義·高三期中）已知和是兩個互相垂直的單位向量，，則是和夾角為的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式4-3】（2022秋·陜西渭南·高一期末）已知分別是與軸、軸方向相同的單位向量，，，且的夾角為銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 向量的模】
【方法點撥】
或是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據.這種通過求自身的數
量積從而求模的思想是解決向量的模的問題的主要方法.此外，根據平面圖形求向量的模時，注意利用圖形
的性質對向量的數量積或夾角等進行轉化.
【例5】（2023·廣西梧州·統考一模）已知向量，滿足，，，則（ ）
A．3 B． C． D．4
【變式5-1】（2022·浙江·模擬預測）已知平面向量，，兩兩之間的夾角均相等，且，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量，滿足 ，，的夾角為，若 ，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2022春·寧夏石嘴山·高三階段練習）在邊長為4的等邊△ABC中，已知，點P在線段CD上，且，則（ ）
A．1 B． C． D．
【題型6 向量數量積的最值問題】
【方法點撥】
先進行數量積的有關運算，將數量積的最值問題轉化為函數的最值問題或幾何量的最值問題，利用求函數
最值的基本方法求出相關的最大值或最小值，或利用圖形直觀求出相關的最值.
【例6】（2022·全國·高三專題練習）在四邊形中，為的重心，，點在線段 上， 則的最小值為（ ）
A． B． C． D．0
【變式6-1】（2022春·遼寧撫順·高三階段練習）窗花是貼在窗紙或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形的邊長為，是正八邊形邊上任意一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2022·全國·高一假期作業）已知向量、，，，若對任意單位向量，均有，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2022秋·浙江·高三階段練習）已知中，，，，是以為圓心的單位圓上的任意一條直徑，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．專題6.5 向量的數量積（重難點題型精講）
1．向量的數量積
(1)向量數量積的物理背景
在物理課中我們學過功的概念：如果一個物體在力的作用下產生位移，那么力所做的功W=||||，其中是與的夾角.
我們知道力和位移都是矢量，而功是一個標量(數量).這說明兩個矢量也可以進行運算，并且這個運算明顯不同于向量的數乘運算，因為數乘運算的結果是一個向量，而這個運算的結果是數量.
(2)向量的夾角
已知兩個非零向量,，如圖所示，O是平面上的任意一點，作=，=，則∠AOB= (0≤≤
π)叫做向量與的夾角，也常用表示.
(3)兩個向量數量積的定義
已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數量||||叫做向量與的數量積(或內積)，記作，即=||||.
規定：零向量與任一向量的數量積為0，即0=0.
(4)向量的投影
如圖，設，是兩個非零向量，=，=，我們考慮如下的變換：過的起點A和終點B，
分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
2．向量數量積的性質和運算律
(1)向量數量積的性質
設，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則
①==.
②=0.
③當與同向時，=；當與反向時，=-.
特別地，==或=.
④|a|，當且僅當向量，共線，即∥時，等號成立.
⑤=.
(2)向量數量積的運算律
由向量數量積的定義，可以發現下列運算律成立：
對于向量，，和實數，有
①交換律：=；
②數乘結合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
3．向量數量積的常用結論
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，當且僅當與同向共線時右邊等號成立，與反向共線時左邊等
號成立.
以上結論可作為公式使用.
【題型1 向量的投影】
【方法點撥】
根據向量的投影的定義，結合具體條件，進行求解即可.
【例1】（2022·安徽·校聯考二模）已知單位向量滿足，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用向量數量積的運算律可求得，首先求得在上的投影數量，進而得到結果.
【解答過程】由題意知：，
，，
，在上的投影向量為.
故選：C.
【變式1-1】（2022春·湖北·高二階段練習）已知，設的夾角為，則在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】列出投影向量公式，即可計算求解.
【解答過程】在上的投影向量
故選：C.
【變式1-2】（2022春·遼寧沈陽·高三階段練習）已知平面向量滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據投影向量的定義結合向量的夾角公式運算求解.
【解答過程】在方向上的投影向量為
故選：C.
【變式1-3】（2022·高一課時練習）如圖，在平面四邊形中，，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據圖形求出向量與的夾角，再根據投影向量的公式進行求解即可.
【解答過程】延長，交于點，如圖所示，
，
，
，
又，
向量在向量上的投影向量為，
故選：B.
【題型2 向量數量積的計算】
【方法點撥】
解決向量數量積的計算問題，要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊
夾角或已知長度的向量.對于以圖形為背景的向量數量積的題目，解題時要充分把握圖形的特征.
【例2】（2022·四川·高三統考對口高考）已知向量與向量的夾角為60°，，，則（ ）
A．20 B．10 C． D．
【解題思路】根據給定條件，利用向量數量積的定義直接計算作答.
【解答過程】因為向量與向量的夾角為60°，，，
所以，B正確.
故選：B.
【變式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【解題思路】應用平面向量數量積的運算律展開所求的式子，根據已知向量的模和夾角求值即可.
【解答過程】`
由，且與的夾角為，
所以
.
故選：B.
【變式2-2】（2022·四川自貢·統考一模）在中，，，點M在邊AB上，且滿足，則（ ）
A． B．3 C．6 D．8
【解題思路】結合向量的數量積運算以及線性運算求得正確答案.
【解答過程】依題意，，，
所以
.
故選：B.
【變式2-3】（2022春·江蘇徐州·高三學業考試）如圖，在邊長為3的正中，D，E分別在AC，AB上，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】結合平面向量的線性運算得到，進而根據平面向量的數量積的定義即可求出結果.
【解答過程】因為，所以
，
又因為正邊長為3，所以，，
故
，
故選：C.
【題型3 求向量的夾角（夾角的余弦值）】
【方法點撥】
求兩非零向量的夾角或其余弦值一般利用夾角公式=求解.
【例3】（2022·陜西寶雞·統考一模）已知向量，滿足，且，則，夾角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據向量的點乘關系，求出，即可求出，夾角.
【解答過程】解：由題意，
在向量，中，，
，
解得：
∴
故選：C.
【變式3-1】（2022春·云南曲靖·高三階段練習）已知，則（ ）
A．0 B． C． D．
【解題思路】根據數量積的性質求解，再根據向量夾角余弦值公式可得的值.
【解答過程】解：，則
所以.
故選：D.
【變式3-2】（2022·全國·模擬預測）已知向量，滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據，，，可求得，，最后利用數量積的公式求即可.
【解答過程】解：由題可得①，
②，
①②兩式聯立得，，
∴，而，
∴．
故選：D.
【變式3-3】（2022秋·山東聊城·高一期中）已知是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據投影向量的定義結合題意可得，即得，再利用數量積的定義即可求得答案.
【解答過程】由題意可知向量在向量上的投影向量為，
則，即，
而，故，
故選：D.
【題型4 已知向量的夾角求參數】
【方法點撥】
根據題目條件，借助向量的夾角公式=，進行轉化求解即可.
【例4】（2022秋·甘肅蘭州·高一期中）已知為互相垂直的單位向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據與的夾角為銳角，由且與不共線求解.
【解答過程】解：因為，
所以，
因為與的夾角為銳角，
所以，且與不共線，
解得，
當時，則，
即，解得，
當時，與共線且同向，
所以的取值范圍為，
故選：B.
【變式4-1】（2022·高一單元測試）已知是正三角形,若與向量的夾角大于,則實數的取值范圍是(　　)
A． B． C． D．
【解題思路】由平面向量數量積的定義與運算律求解，
【解答過程】由題意得，設邊長為，
則，解得，
故選：D.
【變式4-2】（2022春·北京順義·高三期中）已知和是兩個互相垂直的單位向量，，則是和夾角為的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據向量公式表示出和夾角的余弦值，再討論夾角為時的取值，最后根據充分條件和必要條件定義選出答案.
【解答過程】，，
，當時，，即和夾角為,
故是和夾角為的充分不必要條件
故選：A.
【變式4-3】（2022秋·陜西渭南·高一期末）已知分別是與軸、軸方向相同的單位向量，，，且的夾角為銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由向量夾角為銳角可知且不同向，由此可構造不等式組求得結果.
【解答過程】的夾角為銳角，且不同向，
，解得：且，
實數的取值范圍為.
故選：B.
【題型5 向量的模】
【方法點撥】
或是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據.這種通過求自身的數
量積從而求模的思想是解決向量的模的問題的主要方法.此外，根據平面圖形求向量的模時，注意利用圖形
的性質對向量的數量積或夾角等進行轉化.
【例5】（2023·廣西梧州·統考一模）已知向量，滿足，，，則（ ）
A．3 B． C． D．4
【解題思路】根據平面向量模的運算性質，結合平面向量數量積的運算性質進行求解即可.
【解答過程】∵向量滿足，，，
，，
，
，
故選：D.
【變式5-1】（2022·浙江·模擬預測）已知平面向量，，兩兩之間的夾角均相等，且，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意確定向量兩兩間夾角為，利用條件求出， 再求的平方即可得解.
【解答過程】因為平面向量，，兩兩之間的夾角均相等，且兩兩之間的數量積為負數，
所以兩兩之間的夾角均為，
，
且，
則解得，
所以，故.
故選：B.
【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量，滿足 ，，的夾角為，若 ，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據向量的數量積運算即可.
【解答過程】，，的夾角為，得 ，
， .
故選：D.
【變式5-3】（2022春·寧夏石嘴山·高三階段練習）在邊長為4的等邊△ABC中，已知，點P在線段CD上，且，則（ ）
A．1 B． C． D．
【解題思路】將用和表示，再根據三點共線，求出的值，再根據即可得出答案.
【解答過程】解：，
因為三點共線，所以，所以，
所以，
則.
故選：C.
【題型6 向量數量積的最值問題】
【方法點撥】
先進行數量積的有關運算，將數量積的最值問題轉化為函數的最值問題或幾何量的最值問題，利用求函數
最值的基本方法求出相關的最大值或最小值，或利用圖形直觀求出相關的最值.
【例6】（2022·全國·高三專題練習）在四邊形中，為的重心，，點在線段 上， 則的最小值為（ ）
A． B． C． D．0
【解題思路】首先根據平面向量的加法幾何意義，三角形重心的性質和平面數量積的概念得到，再利用基本不等式性質即可得到答案.
【解答過程】如圖所示：
因為，
所以，
于是有，
又，當且僅當時取等號，
所以.
故選：A.
【變式6-1】（2022春·遼寧撫順·高三階段練習）窗花是貼在窗紙或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形的邊長為，是正八邊形邊上任意一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據已知條件作出圖形，利用向量的加法法則及相反向量的定義，結合向量的數量積的運算律及勾股定理即可求解.
【解答過程】由題意可知，取的中點，如圖所示
所以．
，
當點與點或點重合時，取的最大值，取得最大值，且最大值為，故的最大值為.
故選：D.
【變式6-2】（2022·全國·高一假期作業）已知向量、，，，若對任意單位向量，均有，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由，得恒成立，從而可得，再結合，即可求解
【解答過程】因為，
所以，
所以恒成立，
所以恒成立，
所以，
所以，
所以，
所以的最大值為，
故選：A.
【變式6-3】（2022秋·浙江·高三階段練習）已知中，，，，是以為圓心的單位圓上的任意一條直徑，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】計算出的值，利用平面向量的線性運算可得出，，利用平面向量數量積的運算性質可求得的最大值.
【解答過程】因為，，，則，
所以，，
由題意可知，點為線段的中點，且，，
，，
所以，
.
當且僅當、同向時，等號成立，故的最大值為.
故選：B.

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