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專題6.1 平面向量的概念（重難點題型精講）
1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)數量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質量等），稱為數量．
注：
①本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
②看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．
③向量與數量的區別：數量與數量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．
2．向量的表示法
(1)有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量.
注：
①用字母表示向量便于向量運算；
②用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有關概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).
注：
①向量的模．
②向量不能比較大小，但是實數，可以比較大小．
(2)零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量.
注：
①在畫單位向量時，長度1可以根據需要任意設定；
②將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．
4．相等向量:長度相等且方向相同的向量.
注：
在平面內，相等的向量有無數多個，它們的方向相同且長度相等．
4．向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規定:與任一向量共線.
注：
①零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區別.
②平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行，要區別于在同一直線上的線段的位置關系.
③共線向量與相等向量的關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．
5．用共線（平行）向量或相等向量刻畫幾何關系
(1)利用向量的模相等可以證明線段相等，利用向量相等可以證明線段平行且相等.
(2)利用向量共線可以證明直線與直線平行，但需說明向量所在的直線無公共點.
(3)利用向量可以判斷圖形的形狀(如平行四邊形、等腰三角形等)、證明多點共線等.
【題型1 向量的基本概念】
【方法點撥】
根據向量的基本概念，進行求解即可.
【例1】（2022秋·廣東珠海·高一期中）給出下列物理量：
①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間．
其中不是向量的有（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【解題思路】既有方向，又有大小的量為向量
【解答過程】①質量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨時間只有大小，沒有方向，故不是向量，其余均為向量，
故共有5個不是向量.
故選：C.
【變式1-1】（2022·全國·高一專題練習）以下選項中，都是向量的是（ ）
A．正弦線、海拔 B．質量、摩擦力
C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線、速度
【解題思路】根據向量的定義判斷．
【解答過程】表示三角函數值的正切線、余弦線、正弦線既有大小，又有方向，都是向量．
海拔、質量、△ABC的三邊和體積均只有大小，沒有方向，不是向量．
速度既有大小又有方向，是向量，
故選：D．
【變式1-2】（2022秋·福建·高一階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．長度為0的向量叫做零向量
B．零向量與任意向量都不平行
C．平行向量就是共線向量
D．長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量
【解題思路】由平面向量的相關概念判斷.
【解答過程】A. 規定長度為0的向量叫做零向量，故正確；
B.規定零向量與任意向量都平行，故錯誤；
C.平行向量就是共線向量，故正確；
D.長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量，故正確；
故選：B.
【變式1-3】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．向量與向量長度相等
B．單位向量都相等
C．向量的模可以比較大小
D．任一非零向量都可以平行移動
【解題思路】A.由相反向量判斷；B.由單位向量判斷；C.由向量的長度是數量判斷；D.由相等向量判斷.
【解答過程】A.和長度相等，方向相反，故正確；
B.單位向量長度都為1，但方向不確定，故錯誤；
C.向量的長度可以比較大小，即模長可以比較大小，故正確；
D.向量只與長度和方向有關，與位置無關，故任一非零向量都可以平行移動，故正確.
故選：B.
【題型2 向量的幾何表示與向量的模】
【方法點撥】
第一步：已給定向量的起點、方向和長度；
第二步：在坐標紙上找準方向、長度；
第三步：畫出對應的向量.
【例2】（2022秋·高一課時練習）一艘軍艦從基地A出發向東航行了200海里到達基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達D島．
（1）試作出向量；
（2）求．
【解題思路】（1）根據題設以為正東方向，過A垂直于向上為正北方向，結合題設畫出向量即可.
（2）由題設知，易知為平行四邊形，即可求.
【解答過程】（1）建立如圖所示的直角坐標系，向量即為所求．
（2）根據題意，向量與方向相反，故向量，又，
∴在中，，故為平行四邊形，
∴，則（海里）．
【變式2-1】（2022·高一課時練習）在如圖所示的坐標紙中(每個小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規畫出下列向量．
(1)，點A在點O北偏西45°方向；
(2)，點B在點O正南方向．
【解題思路】(1)根據描述找出終點A即可；
(2)根據描述找出終點B即可.
【解答過程】(1)∵，點A在點O北偏西45°方向，∴以O為圓心，3為半徑作圓與圖中正方形對角線OP的交點即為A點：
(2)∵，點B在點O正南方向，∴以O為圓心，圖中OQ為半徑化圓，圓弧與OR的交點即為B點：
【變式2-2】（2022·高一課時練習）已知飛機從地按北偏東方向飛行到達地，再從地按南偏東方向飛行到達地，再從地按西南方向飛行到達地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
【解題思路】根據方向角及飛行距離可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【解答過程】以為原點，正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立直角坐標系．
由題意知點在第一象限，點在x軸正半軸上，點在第四象限，
向量如圖所示，
由已知可得，
為正三角形，所以．
又，，
所以為等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模為，方向為東南方向．
【變式2-3】（2022·高一課時練習）在直角坐標系中畫出下列向量，使它們的起點都是原點，并求終點的坐標
（1），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；
（2），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；
（3），的方向與軸、軸正方向的夾角都是.
【解題思路】利用向量的定義直接求解即可
【解答過程】如圖所示.
（1）終點坐標為
（2）終點坐標為
（3）終點坐標為
【題型3 向量相等或共線】
【方法點撥】
判斷兩向量是否共線的關鍵是看兩向量所在的直線是否平行或重合；判斷兩向量是否相等不僅要看兩向量
所在的直線是否平行或重合，還要看兩向量的模是否相等、方向是否相同.
【例3】（2022·高一課時練習）下列命題中正確的是（ ）
A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同
B．兩個有公共終點的向量，一定是共線向量
C．兩個有共同起點且共線的向量，其終點必相同
D．若與是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上
【解題思路】根據向量相等與共線的概念即可解決.
【解答過程】兩個相等的向量方向相同且長度相等，因此起點相同時終點必相同，故A正確；
兩個有公共終點的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯誤；
兩個有共同起點且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點未必相同，故C錯誤；
與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯誤.
故選：A.
【變式3-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，等腰梯形中，對角線與交于點，點、分別在兩腰、上，過點，且，則下列等式中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】由梯形的幾何性質可判斷AB選項；推導出為的中點，可判斷CD選項.
【解答過程】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均錯；
因為，則，則，則，
即，即，
，則，，即為的中點，
所以，，C錯，D對.
故選：D.
【變式3-2】（2022秋·全國·高一期末）如圖，在正中，均為所在邊的中點，則以下向量和相等的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據相等向量的定義直接判斷即可.
【解答過程】與方向不同，與均不相等；
與方向相同，長度相等，.
故選：D.
【變式3-3】（2022秋·湖北十堰·高一期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點，則（ ）
A．與共線 B．與共線
C．與相等 D．與相等
【解題思路】根據向量共線概念即可求解結果．
【解答過程】因為與不平行，所以與不共線，A錯
因為D，E分別是AB，AC的中點，則與平行，故與共線，B正確；
因為與不平行，所以與不相等，C錯；
因為，則D錯．
故選：B.
【題型4 用向量關系研究幾何圖形的性質】
【方法點撥】
(1)證明或判斷線段相等，只需證明或判斷相應向量的長度(模)相等.
(2)證明線段平行，先證明相應的向量共線，再說明線段不重合.
【例4】（2022·高一課時練習）如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.
(1)寫出與向量共線的向量；
(2)求證：.
【解題思路】根據條件，可得四邊形為平行四邊形，即可寫出與向量共線的向量；
根據題意可得出四邊形是平行四邊形，從而得出，，進而得出結論.
【解答過程】（1）
解：因為在平行四邊形中，，分別是，的中點，，，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
所以與向量共線的向量為：，，.
（2）
證明：在平行四邊形中，，.
因為，分別是，的中點，
所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，，
故.
【變式4-1】（2022·高一課時練習）已知點，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點，求證：．
【解題思路】連接AC，易得，分別為和的中位線，進而可得，且，又向量與方向相同，從而得證.
【解答過程】證明：如圖，連接AC，
因為，分別是，的中點，所以為的中位線，
所以，且，
同理，因為，分別是，的中點，所以，且，
所以，且，
因為向量與方向相同，所以.
【變式4-2】（2022·江蘇·高一專題練習）如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.
【解題思路】根據平行四邊形及向量相等的定理即可證明；
【解答過程】解：因為，所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以且.
又與的方向相同，所以.
同理可證，四邊形是平行四邊形，所以.
因為，，所以，
又與的方向相同，所以.
【變式4-3】（2022·高一課時練習）如圖，已知在四邊形中，M，N分別是，的中點，又.求證：.
【解題思路】根據相等向量的定義、中點的定義、平行四邊形的判定定理和性質定理，可以證明出.
【解答過程】證明：由可知且，
所以四邊形為平行四邊形，
從而.
又M，N分別是，的中點，于是.
所以且.
所以四邊形是平行四邊形.
從而.專題6.1 平面向量的概念（重難點題型精講）
1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)數量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質量等），稱為數量．
注：
①本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
②看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．
③向量與數量的區別：數量與數量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．
2．向量的表示法
(1)有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量.
注：
①用字母表示向量便于向量運算；
②用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有關概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).
注：
①向量的模．
②向量不能比較大小，但是實數，可以比較大小．
(2)零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量.
注：
①在畫單位向量時，長度1可以根據需要任意設定；
②將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．
4．相等向量:長度相等且方向相同的向量.
注：
在平面內，相等的向量有無數多個，它們的方向相同且長度相等．
4．向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規定:與任一向量共線.
注：
①零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區別.
②平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行，要區別于在同一直線上的線段的位置關系.
③共線向量與相等向量的關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．
5．用共線（平行）向量或相等向量刻畫幾何關系
(1)利用向量的模相等可以證明線段相等，利用向量相等可以證明線段平行且相等.
(2)利用向量共線可以證明直線與直線平行，但需說明向量所在的直線無公共點.
(3)利用向量可以判斷圖形的形狀(如平行四邊形、等腰三角形等)、證明多點共線等.
【題型1 向量的基本概念】
【方法點撥】
根據向量的基本概念，進行求解即可.
【例1】（2022秋·廣東珠海·高一期中）給出下列物理量：
①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間．
其中不是向量的有（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【變式1-1】（2022·全國·高一專題練習）以下選項中，都是向量的是（ ）
A．正弦線、海拔 B．質量、摩擦力
C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線、速度
【變式1-2】（2022秋·福建·高一階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．長度為0的向量叫做零向量
B．零向量與任意向量都不平行
C．平行向量就是共線向量
D．長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量
【變式1-3】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．向量與向量長度相等
B．單位向量都相等
C．向量的模可以比較大小
D．任一非零向量都可以平行移動
【題型2 向量的幾何表示與向量的模】
【方法點撥】
第一步：已給定向量的起點、方向和長度；
第二步：在坐標紙上找準方向、長度；
第三步：畫出對應的向量.
【例2】（2022秋·高一課時練習）一艘軍艦從基地A出發向東航行了200海里到達基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達D島．
（1）試作出向量；
（2）求．
【變式2-1】（2022·高一課時練習）在如圖所示的坐標紙中(每個小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規畫出下列向量．
(1)，點A在點O北偏西45°方向；
(2)，點B在點O正南方向．
【變式2-2】（2022·高一課時練習）已知飛機從地按北偏東方向飛行到達地，再從地按南偏東方向飛行到達地，再從地按西南方向飛行到達地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
【變式2-3】（2022·高一課時練習）在直角坐標系中畫出下列向量，使它們的起點都是原點，并求終點的坐標
（1），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；
（2），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；
（3），的方向與軸、軸正方向的夾角都是.
【題型3 向量相等或共線】
【方法點撥】
判斷兩向量是否共線的關鍵是看兩向量所在的直線是否平行或重合；判斷兩向量是否相等不僅要看兩向量
所在的直線是否平行或重合，還要看兩向量的模是否相等、方向是否相同.
【例3】（2022·高一課時練習）下列命題中正確的是（ ）
A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同
B．兩個有公共終點的向量，一定是共線向量
C．兩個有共同起點且共線的向量，其終點必相同
D．若與是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上
【變式3-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，等腰梯形中，對角線與交于點，點、分別在兩腰、上，過點，且，則下列等式中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2022秋·全國·高一期末）如圖，在正中，均為所在邊的中點，則以下向量和相等的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022秋·湖北十堰·高一期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點，則（ ）
A．與共線 B．與共線
C．與相等 D．與相等
【題型4 用向量關系研究幾何圖形的性質】
【方法點撥】
(1)證明或判斷線段相等，只需證明或判斷相應向量的長度(模)相等.
(2)證明線段平行，先證明相應的向量共線，再說明線段不重合.
【例4】（2022·高一課時練習）如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.
(1)寫出與向量共線的向量；
(2)求證：.
【變式4-1】（2022·高一課時練習）已知點，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點，求證：．
【變式4-2】（2022·江蘇·高一專題練習）如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.
【變式4-3】（2022·高一課時練習）如圖，已知在四邊形中，M，N分別是，的中點，又.求證：.

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