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第三章 函數
第四節 二次函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次函數的相關概念 ☆ 二次函數作為初中三大函數考點最多，出題最多，難度最大的函數，一直都是各地中考數學中最重要的考點，年年都會考查，總分值為15-20分。而對于二次函數圖象和性質的考察，也主要集中在二次函數的圖象、圖象與系數的關系、與方程及不等式的關系、圖象上點的坐標特征等幾大方面。題型變化較多，考生復習時需要熟練掌握相關知識，熟悉相關題型，認真對待該考點的復習。
考點2 二次函數的圖象與性質 ☆☆
考點3 二次函數的圖象與a、b、c之間的關系 ☆☆
考點4 二次函數與方程、不等式之間的關系 ☆☆☆
■考點一　二次函數的相關概念
1、二次函數的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．
2、二次函數解析式的三種形式
（1）一般式： y=ax2+bx+c （a，b，c為常數，a≠0）．
（2）頂點式： y=a（x–h）2+k （a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）．
（3）交點式： y=a（x–x1）（x–x2） ，其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0．
■考點二　二次函數的圖象與性質
1、二次函數的圖象及性質
解析式 二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）
對稱軸 x=–
頂點 （–，）
a的符號 a>0 a<0
圖象
開口方向 開口向上 開口向下
最值 當x=–時，y最小值=。 當x=–時，y最大值=。
最點 拋物線有最低點 拋物線有最高點
增減性 當x<–時，y隨x的增大而減小；當x>–時，y隨x的增大而增大 當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減小
2、拋物線的圖象變換
1）二次函數圖象的翻折與旋轉
拋物線y=a(x-h) +k，繞頂點旋轉180°變為：y= -a(x-h) +k；繞原點旋轉180°變為：y= -a(x+h) -k；
沿x軸翻折變為：y= -a(x-h) -k；沿y軸翻折變為：y= a(x+h) +k；
2）二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．
■考點三　二次函數與各項系數之間的關系
1.拋物線開口的方向可確定a的符號：
拋物線開口向上，a＞0；拋物線開口向下，a＜0
2.對稱軸可確定b的符號（需結合a的符號）：
對稱軸在x軸負半軸，則＜0 ，即ab＞0；對稱軸在x軸正半軸，則＞0 ，即ab＜0
3.與y軸交點可確定c的符號：與y軸交點坐標為（0，c），
交于y軸負半軸，則c＜0；交于y軸正半軸，則c＞0
4.特殊函數值符號（以x=1的函數值為例）：
若當x=1時，若對應的函數值y在x軸的上方，則a+b+c＞0；若對應的函數值y在x軸上方，則a+b+c=0；若對應的函數值y在x軸的下方，則a+b+c＜0；
5.其他輔助判定條件：
1）頂點坐標；2）若與x軸交點，，則可確定對稱軸為：x=；
3）韋達定理： 具體要考慮哪些量，需要視圖形告知的條件而定。
■考點四　二次函數與方程、不等式
1、二次函數與一元二次方程的關系
1）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標。
3）（1）b2–4ac>0 方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；
（2）b2–4ac=0 方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有一個交點；
（3）b2–4ac<0 方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點。
2、二次函數與不等式的關系（以a>0為例）:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
圖象
與x軸交點 2個交點 1個交點 0個交點
ax2＋bx＋c>0的解集情況 xx2 取任意實數
ax2＋bx＋c<0的解集情況 x1■易錯提示
1. 二次函數的辨別中切記保證a≠0，而b，c可以為任意實數（即可為0）；
2. 拋物線的增減性問題，由a的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說，y隨x的增大而增大（或減小）是不對的，必須附加一定的自變量x取值范圍；
3. 拋物線在平移的過程中，a的值不發生變化，變化的只是頂點的位置，且與平移方向有關。
■考點一　二次函數的相關概念
◇典例1：（2023·山東濟寧·校聯考三模）以下函數式二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二次函數的定義：一般地，形如（a、b、c是常數，）的函數叫做二次函數，進行判斷．
【詳解】解：A、當時，不是二次函數，故本選項錯誤；
B、由得到，是一次函數，故本選項錯誤；
C、該等式的右邊是分式，不是整式，不符合二次函數的定義，故本選項錯誤；
D、由原函數解析式得到，符合二次函數的定義，故本選項正確．應選：D．
【點睛】此題考查了二次函數的定義，掌握定義，會根據定義進行判斷是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023上·山東臨沂·九年級校考階段練習）若 是二次函數，則 m 的值為（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
【答案】B
【分析】本題主要考查二次函數的定義以及直接開平方法解一元二次方程，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵．根據二次函數的定義求解即可．
【詳解】解：由于 是二次函數，
且，且，．故選B．
2．（2023·北京·統考二模）如圖，某小區有一塊三角形綠地，其中．計劃在綠地上建造一個矩形的休閑書吧，使點P，M，N分別在邊上．記，圖中陰影部分的面積為．當x在一定范圍內變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數關系分別是（ ）

A．一次函數關系，二次函數關系 B．一次函數關系，反比例函數關系
C．二次函數關系，一次函數關系 D．反比例函數關系，二次函數關系
【答案】A
【分析】先求出，再證明都是等腰直角三角形，從而推出，，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵，∴，
∵四邊形是矩形，∴，，
∴都是等腰直角三角形，∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴y與x，S與x滿足的函數關系分別是一次函數關系，二次函數關系，故選A．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，等腰直角三角形的性質與判定，列函數關系式，二次函數的定義等等，正確求出對應的函數關系式是解題的關鍵．
◇典例2：（2023上·浙江溫州·九年級校聯考階段練習）已知某種產品的成本價為30元/千克，經市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：．設這種產品每天的銷售利潤為w（元），則w與x之間的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用這種產品每天的銷售利潤等于每千克的銷售利潤乘以每天的銷售量，即可得出w與x之間的函數表達式．
【詳解】解：根據題意得，，即，故選：A．
【點睛】本題考查根據實際問題列二次函數關系式，根據各數量之間的關系，找出w與x之間的函數表達式是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年江蘇省泰州市中考數學真題）函數y與自變量x的部分對應值如表所示，則下列函數表達式中，符合表中對應關系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據反比例函數的坐標特征，一次函數的性質，二次函數的坐標特征即可判斷．
【詳解】解：A、若直線過點，則，解得，所以，
當時，，故不在直線上，故A不合題意；
B、由表格可知，y與x的每一組對應值的積是定值為4，所以y是x的反比例函數，，不合題意；
C、把表格中的函數y與自變量x的對應值代入得
，解得，符合題意；D、由C可知，不合題意．故選：C．
【點睛】主要考查反比例函數、一次函數以及二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．
2．（2023上·山西太原·九年級校考階段練習）相框邊的寬窄影響可放入相片的大小．如圖，相框長，寬，相框邊的寬為，相框內的面積是，則y與x之間的函數關系式為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查二次函數的實際應用，根據題意列出函數整理并求出的取值范圍即可．
【詳解】解：根據題意，得展開得：
整理得： 根據題意，得解得：．
∴y與x之間的函數關系式為，故答案為：
■考點二　二次函數的圖象與性質
◇典例3：（2023年四川省成都市數學中考真題）如圖，二次函數的圖象與x軸交于，兩點，下列說法正確的是（ ）

A．拋物線的對稱軸為直線 B．拋物線的頂點坐標為
C．，兩點之間的距離為 D．當時，的值隨值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系數法求得二次函數解析式，進而逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：∵二次函數的圖象與x軸交于，兩點，∴∴
∴二次函數解析式為，對稱軸為直線，頂點坐標為，故A，B選項不正確，不符合題意；
∵，拋物線開口向上，當時，的值隨值的增大而減小，故D選項不正確，不符合題意；當時，即∴，
∴，故C選項正確，符合題意；故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，待定系數法求二次函數解析式，拋物線與坐標軸的交點，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023年山東省濰坊市中考數學真題）已知拋物線經過點，則下列結論正確的是（ ）（多選題）
A．拋物線的開口向下 B．拋物線的對稱軸是
C．拋物線與軸有兩個交點 D．當時，關于的一元二次方程有實根
【答案】BC
【分析】將點代入可求出二次函數的解析式，再根據二次函數的圖象與性質、二次函數與一元二次方程的聯系逐項判斷即可得．
【詳解】解：將點代入得：，解得，，
拋物線的開口向上，拋物線的對稱軸是，選項A錯誤，選項B正確；
方程的根的判別式，
∴方程有兩個不相等的實數根，拋物線與軸有兩個交點，選項C正確；
由二次函數的性質可知，這個拋物線的開口向上，且當時，取得最小值，
∴當時，與沒有交點，
∴當時，關于的一元二次方程沒有實根，選項D錯誤；故選：BC．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質、二次函數與一元二次方程的聯系，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．
2．（2023年四川省甘孜州中考數學真題）下列關于二次函數的說法正確的是( )
A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與軸沒有交點
C．當時，隨增大而增大 D．圖象的頂點坐標是
【答案】D
【分析】由二次函數解析式可得拋物線開口方向、對稱軸、頂點坐標，與軸的交點個數，由此解答即可．
【詳解】解：A、，圖象的開口向上，故此選項不符合題意；
B、，，
即圖象與軸有兩個交點，故此選項不符合題意；
C、拋物線開口向上，對稱軸為直線，當時，隨增大而減小，故此選項不符合題意；
D、，圖象的頂點坐標是，故此選項符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象性質，解題的關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系．
◇典例4：（2023年遼寧省沈陽市中考數學真題）二次函數圖象的頂點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【詳解】根據拋物線，可以寫出該拋物線的頂點坐標，從而可以得到頂點在第幾象限．
解：，頂點坐標為，頂點在第二象限．故選：．
【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023年上海市中考數學真題）一個二次函數的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側的部分是上升的，那么這個二次函數的解析式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據二次函數的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側的部分是上升的，可確定，對稱軸，，從而確定答案．
【詳解】解：∵二次函數的對稱軸左側的部分是上升的，∴拋物線開口向上，即，
∵二次函數的頂點在y軸正半軸上，∴，即，，
∴二次函數的解析式可以是（答案不唯一）故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查二次函數的性質，能根據增減性和二次函數圖象與y軸的交點確定系數的正負是解題的關鍵．
2.（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）拋物線的頂點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二次函數的頂點式可得頂點坐標為即可得到結果．
【詳解】∵二次函數解析式為 ，∴頂點坐標為；故選：B．
【點睛】本題主要考查了二次函數頂點式的頂點坐標的求解，準確理解是解題的關鍵．
3．（2024上·北京海淀·九年級校考階段練習）某同學在用描點法畫二次函數的圖象時，列出了下面的表格：
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 5 0 m ……
那么m的值為（ ）
A． B． C．0 D．5
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的圖象的性質．根據題目提供的滿足二次函數解析式的x、y的值，確定二次函數的對稱軸，利用對稱軸找到一個點的對稱點的縱坐標即可．
【詳解】解：由上表可知函數圖象經過點和點，∴對稱軸為，
∴當時的函數值等于當時的函數值，
∵當時，，∴當時，．故選：C．
◇典例5：（2022·山東泰安·中考真題）如圖,函數和(是常數,且)在同一平面直角坐標系的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】分析：可先根據一次函數的圖象判斷a的符號，再判斷二次函數圖象與實際是否相符，判斷正誤即可．
詳解：A．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向下．故選項錯誤；B．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x=﹣＞0．故選項正確；
C．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x=﹣＞0，和x軸的正半軸相交．故選項錯誤；D．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上．故選項錯誤． 故選B．
點睛：本題考查了二次函數以及一次函數的圖象，解題的關鍵是熟記一次函數y=ax﹣a在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．
◆變式訓練
1．（2022·廣西·中考真題）已知反比例函數的圖象如圖所示，則一次函數和二次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由反比例函數圖象得出b>0，再分當a>0，a<0時分別判定二次函數圖象符合的選項，在符合的選項中，再判定一次函數圖象符合的即可得出答案．
【詳解】解：∵反比例函數的圖象在第一和第三象限內，∴b>0，
若a<0，則->0，所以二次函數開口向下，對稱軸在y軸右側，故A、B、C、D選項全不符合；
當a>0，則-<0時，所以二次函數開口向上，對稱軸在y軸左側，故只有C、D兩選項可能符合題意，由C、D兩選圖象知，c<0，又∵a>0，則-a<0，當c<0,a>0時，一次函數y=cx-a圖象經過第二、第三、第四象限，故只有D選項符合題意．故選：D．
【點睛】本題考查函數圖象與系數的關系，熟練掌握反比例函數圖象、一次函數圖象、二次函數圖象與系數的關系是解題的關鍵．
2.（2021·山東青島·統考中考真題）已知反比例函數的圖象如圖所示，則一次函數和二次函數在同一直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據反比例函數的圖象得出b＜0，逐一分析四個選項，根據二次函數圖象的開口以及對稱軸與y軸的關系，拋物線與y軸的交點，即可得出a、b、c的正負，由此即可得出一次函數圖象經過的象限，再與函數圖象進行對比即可得出結論．
【詳解】解：∵反比例函數的圖象在二、四象限，∴b＜0，
A、∵二次函數圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，交y軸的負半軸，
∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函數圖象應該過第一、二、四象限，A錯誤；
B、∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸右側，
∴a＜0，b＞0，∴與b＜0矛盾，B錯誤；
C、∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸右側，∴a＜0，b＞0，∴與b＜0矛盾，C錯誤；
D、∵二次函數圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，交y軸的負半軸，
∴a＜0，b＜0，c＜0，∴一次函數圖象應該過第一、二、四象限，D正確．故選：D．
【點睛】本題主要考查了一次函數、反比例函數、二次函數的圖象與性質，根據函數圖象與系數的關系進行判斷是解題的關鍵，同時考查了數形結合的思想．
◇典例6：（2023年山東省日照市中考數學真題）在平面直角坐標系中，拋物線，滿足，已知點，，在該拋物線上，則m，n，t的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用解不等式組可得且，即可判斷二次函數的對稱軸位置，再利用函數的增減性判斷即可解題．
【詳解】解不等式組可得:，且所以對稱軸的取值范圍在，
由對稱軸位置可知到對稱軸的距離最近的是，其次是，最遠的是，
即根據增減性可得，故選C．
【點睛】本題考查二次函數的圖像和性質，求不等組的解集，掌握二次函數的圖像和性質是解題關鍵．
◆變式訓練
1.（2023年廣東廣州中考數學真題）已知點，在拋物線上，且，則 ．（填“<”或“>”或“=”）
【答案】
【分析】先求出拋物線的對稱軸，然后根據二次函數的性質解決問題．
【詳解】解：的對稱軸為y軸，
∵，∴開口向上，當時， y隨x的增大而增大，
∵，∴．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二次函數的增減性，解題的關鍵是根據拋物表達式得出函數的開口方向和對稱軸，從而分析函數的增減性．
2.（2023年福建省中考真題數學試題）已知拋物線經過兩點，若分別位于拋物線對稱軸的兩側，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據題意，可得拋物線對稱軸為直線，開口向上，根據已知條件得出點在對稱軸的右側，且，進而得出不等式，解不等式即可求解．
【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，開口向上，
∵分別位于拋物線對稱軸的兩側，
假設點在對稱軸的右側，則，解得，∴
∴點在點的右側，與假設矛盾，則點在對稱軸的右側，
∴解得： 又∵，∴
∴解得：∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
◇典例7：（2023年江蘇省徐州市中考數學真題）在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二次函數圖象的平移“左加右減，上加下減”可進行求解．
【詳解】解：由二次函數的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為；故選B．
【點睛】本題主要考查二次函數圖象的平移，熟練掌握二次函數圖象的平移是解題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023年黑龍江省牡丹江市中考數學真題）將拋物線向下平移1個單位長度，再向右平移 個單位長度后，得到的新拋物線經過原點．
【答案】2或4/4或2
【分析】先求出拋物線向下平移1個單位長度后與的交點坐標，然后再求出新拋物線經過原點時平移的長度．
【詳解】解：拋物線向下平移1個單位長度后的解析式為，
令，則，解得，，
∴拋物線與的交點坐標為和，
∴將拋物線向右平移2個單位或4個單位后，新拋物線經過原點．故答案為：2或4．
【點睛】此題考查了二次函數圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規律：左加右減，上加下減是解題關鍵．
2.（2023·四川南充·統考中考真題）若點在拋物線（）上，則下列各點在拋物線上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】觀察拋物線和拋物線可以發現，它們通過平移得到，故點通過相同的平移落在拋物線上，從而得到結論．
【詳解】∵拋物線是拋物線（）向左平移1個單位長度得到
∴拋物線上點向左平移1個單位長度后，會在拋物線上
∴點在拋物線上故選：D
【點睛】本題考查函數圖象與點的平移，通過函數解析式得到平移方式是解題的關鍵．
3．（2022·四川瀘州·統考中考真題）拋物線經平移后，不可能得到的拋物線是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通過了解平移過程，得到二次函數平移過程中不改變開口大小和開口方向，所以a不變，選出答案即可．
【詳解】解：拋物線經平移后，不改變開口大小和開口方向，所以a不變，而D選項中a=-1，不可能是經過平移得到，故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數平移的知識點，上加下減，左加右減，熟練掌握方法是解題關鍵，還要掌握通過平移不能改變開口大小和開口方向，即不改變a的大小．
◇典例8：（2021·四川眉山·統考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，則該拋物線關于點成中心對稱的拋物線的表達式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出C點坐標，再設新拋物線上的點的坐標為（x,y），求出它關于點C對稱的點的坐標，代入到原拋物線解析式中去，即可得到新拋物線的解析式．
【詳解】解:當x=0時，y=5，∴C（0,5）；設新拋物線上的點的坐標為（x,y），
∵原拋物線與新拋物線關于點C成中心對稱，由，；
∴對應的原拋物線上點的坐標為；代入原拋物線解析式可得：，
∴新拋物線的解析式為：；故選：A．
【點睛】本題綜合考查了求拋物線上點的坐標、中心對稱在平面直角坐標系中的運用以及求拋物線的解析式等內容，解決本題的關鍵是設出新拋物線上的點的坐標，求出其在原拋物線上的對應點坐標，再代入原拋物線解析式中求新拋物線解析式，本題屬于中等難度題目，蘊含了數形結合的思想方法等．
◆變式訓練
1. （2023上·山東臨沂·九年級統考期末）已知拋物線的解析式為，則下列說法中正確的是（ ）
A．將圖象沿y軸平移，則a，b的值不變 B．將圖象沿x軸平移，則a的值不變
C．將圖象沿y軸翻折，則a，c的值不變 D．將圖象沿x軸翻折，則b的值不變
【答案】D
【分析】根據二次函數圖像的平移規律分別判斷A，B，根據翻折前后的開口方向，對稱軸以及與y軸交點情況判斷C，D．
【詳解】解：A、若將圖象沿y軸平移m個單位，則，
∴a值不變，b值不變，故正確，不符合題意；
B、若將圖象沿x軸平移m個單位，則，
∴a值不變，b值變化；故不符合題意；
C、若將圖象沿y軸翻折，則開口方向不變，對稱軸變化，與y軸交點不變，
∴a值不變，b值變化，c值不變，故正確，不符合題意；
D、若將圖象沿x軸翻折，則開口方向變化，對稱軸不變，與y軸交點變化，
∴a值變化，b值變化，c值變化，故符合題意；故選D．
【點睛】本題考查了二次函數圖像與幾何變換，解題的關鍵是掌握二次函數的圖像與性質，平移規律，以及翻折前后各部分的變化情況．
2．（2023上·福建南平·九年級校考期中）將拋物線繞原點旋轉180°得到的拋物線的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查二次函數的圖象與幾何變換．先將原拋物線解析式化為頂點式，將其繞原點旋轉180°后，開口大小沒有變化，開口方向與原來的相反，頂點坐標的橫縱坐標與原頂點坐標的橫縱坐標互為相反數，可據此得出所求的結論．
【詳解】解：∵，
∴將拋物線繞原點旋轉180°得到的拋物線的解析式為；故選C．
3．（2023上·安徽淮南·九年級校聯考階段練習）如果將拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，然后繞其頂點旋轉，得到新的拋物線，那么（ ）
A． ，， B． ， C． ，， D． ，
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數圖象的平移及旋轉，將拋物線可化為：，再根據旋轉及平移得到原拋物線的解析式，進而可求解，解題的關鍵是掌握旋轉的性質及平移的性質．
【詳解】解：拋物線可化為：，繞其頂點旋轉得：，
把拋物線先向下平移1個單位，再向左平移2個單位，得：，
即：，，，故選B．
◇典例9：（2023年山東省泰安市中考數學真題）二次函數的最大值是 ．
【答案】
【分析】利用配方法把二次函數一般式化為頂點式，即可求解．
【詳解】解：利用配方法，將一般式化成頂點式：
二次函數開口向下，頂點處取最大值，即當時，最大值為．故答案為：．
【點睛】本題考查二次函數的相關知識．將一般式化為頂點式，頂點處取到最值．其中配方法是解決問題的關鍵，也是易錯點．
◆變式訓練
1. （2023年遼寧省大連市中考數學真題）已知拋物線，則當時，函數的最大值為（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】把拋物線化為頂點式，得到對稱軸為，當時，函數的最小值為，再分別求出和時的函數值，即可得到答案．
【詳解】解：∵，∴對稱軸為，當時，函數的最小值為，
當時，，當時，，
∴當時，函數的最大值為2，故選：D
【點睛】此題考查了二次函數的最值，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
2.（2023年陜西省中考數學試卷（A卷））在平面直角坐標系中，二次函數（為常數）的圖像經過點，其對稱軸在軸左側，則該二次函數有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【答案】D
【分析】將代入二次函數解析式，進而得出的值，再利用對稱軸在軸左側，得出，再利用二次函數的頂點式即可求出二次函數最值．
【詳解】解：將代入二次函數解析式得：，解得：，，
∵二次函數，對稱軸在軸左側，即，
∴，∴，∴，
∴當時，二次函數有最小值，最小值為，故選：．
【點睛】此題主要考查了二次函數的性質以及二次函數的最值，正確得出的值是解題關鍵．
◇典例10：（2023·浙江·校聯考統考一模）在平面直角坐標系中，二次函數（）的圖象交x軸于點A，B（點A在B的左側），當時，函數的最大值為8，則b的值為（ ）
A．－1 B． C．－2 D．
【答案】D
【分析】拋物線（）的對稱軸為直線，又拋物線開口向下，分和兩種情況討論二次函數在時的最大值，即可求得的值．
【詳解】解：拋物線（）的對稱軸為直線 ，
∵ ∴拋物線開口向下
當時，對稱軸在直線和直線之間，如圖1所示，
若，二次函數在頂點處取最大值8，
即當時，，解得，與不符，應該舍去；
當時，如圖2所示，若，二次函數的函數值隨著的增大而減小，
故二次函數在時取最大值8，
即當時，，解得，符合題意，綜上可知，，故選：D
【點睛】本題考查了二次函數的最值，當對稱軸不固定時，正確的分情況討論是解題的關鍵所在．
◆變式訓練
1. （2022上·浙江杭州·九年級統考期末）二次函數（為實數，且），對于滿足的任意一個的值，都有，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由該二次函數解析式可知，該函數圖像的開口方向向下，對稱軸為，該函數的最大值為，由題意可解得，根據函數圖像可知的值越小，其對稱軸越靠左，滿足的的值越小，故令即可求得的最大值．
【詳解】解：∵函數，且，
∴該函數圖像的開口方向向下，對稱軸為，該函數有最大值，其最大值為，
若要滿足的任意一個的值，都有，
則有，解得，對于該函數圖像的對稱軸，
的值越小，其對稱軸越靠左，如下圖，
結合圖像可知，的值越小，滿足的的值越小，
∴當取的最大值，即時，令，解得，，
∴滿足的的最大值為，即的最大值為．故選：D．
【點睛】本題主要考查了二次函數圖像與性質，解題關鍵是理解題意，借助函數圖像的變化分析求解．
2．（2023·浙江·校聯考二模）已知二次函數y＝﹣（x﹣1）2+10，當m≤x≤n，且mn＜0時，y的最小值為2m，y的最大值為2n，則的值為（　　）
A．3 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由題意可得m＜0，n＞0，則y的最小值為2m為負數，最大值為2n為正數．分兩種情況討論：①當n＜1時，x＝m時，y取最小值，求出m的值，當x＝n時，y取最大值，可求得n的值，即可得到m+n的值；②當n≥1時，當x＝m時，y取最小值，求出m的值，當x＝1時，y取最大值，求出n的值，或x＝n時，y取最小值，x＝1時，y取最大值，分別求出m，n的值，故可求解．
【詳解】解：二次函數y＝﹣（x﹣1）2+10的大致圖象如下：
∵mn＜0時，y的最小值為2m，y的最大值為2n，∴m＜0，n＞0，
①當n＜1時，x＝m時，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，解得：m＝﹣3．
當x＝n時，y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+10，解得：n＝3或n＝﹣3（均不合題意，舍去）；
②當n≥1時，當x＝m時，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，解得：m＝﹣3．
當x＝1時，y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+10，解得：n＝5，
或x＝n時，y取最小值，x＝1時，y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+10，n＝5，∴m＝﹣3，所以m+n＝﹣3+5＝2．故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數的最值問題，二次函數的增減性，數形結合是解題的關鍵．
■考點三　二次函數與各項系數之間的關系
◇典例11：（2022·四川遂寧·統考中考真題）拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數）的部分圖象如圖所示，設m=a-b+c，則m的取值范圍是______．
【答案】
【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點位置及拋物線經過（1，0）可得a，b，c的等量關系，然后將x=-1代入解析式求解．
【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，
∵拋物線對稱軸在y軸左側，∴-＜0，∴b＞0，∵拋物線經過（0，-2），∴c=-2，
∵拋物線經過（1，0），∴a+b+c=0，∴a+b=2，b=2-a，∴y=ax2+（2-a）x-2，
當x=-1時，y=a+a-2-2=2a-4，∵b=2-a＞0，∴0＜a＜2，∴-4＜2a-4＜0，故答案為：-4＜m＜0．
【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，解題關鍵是掌握二次函數的性質，掌握二次函數與方程的關系．
◆變式訓練
1.（2023湖南省株洲市中考數學真題）如圖所示，直線l為二次函數的圖像的對稱軸，則下列說法正確的是（ ）

A．b恒大于0 B．a，b同號 C．a，b異號 D．以上說法都不對
【答案】C
【分析】先寫出拋物線的對稱軸方程，再列不等式，再分，兩種情況討論即可．
【詳解】解：∵直線l為二次函數的圖像的對稱軸，∴對稱軸為直線，
當時，則，當時，則，∴a，b異號，故選C．
【點睛】本題考查的是二次函數的性質，熟練的利用對稱軸在y軸的右側列不等式是解本題的關鍵．
2.（2023年湖南省湘潭市中考數學真題）如圖，拋物線與x軸交于點，則下列結論中正確的是（ ）（多選題）

A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根據圖象的開口方向可判斷選項A；根據圖象與y軸的交點位置，可判斷選項B；根據拋物線和x軸的交點個數可判斷選項C；時函數值的情況，可判斷選項D．
【詳解】解：A、由函數圖象得，拋物線開口向下，故，故A錯誤；
B、圖象與y軸的交點在原點上方，故，故B正確；
C、因為拋物線和x軸有兩個交點，故，故C錯誤．
D、當時，，故D正確；故選：BD．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象和系數的關系，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的有關性質、以及二次函數的圖象的特點．
◇典例12：（2023年山東省聊城市中考數學真題）已知二次函數的部分圖象如圖所示，圖象經過點，其對稱軸為直線．下列結論：①；②若點，均在二次函數圖象上，則；③關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確結論的個數為（ ）．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據拋物線開口向下可得，根據拋物線的對稱軸可推得，根據時，，即可得到，推得，故①錯誤；根據點的坐標和對稱軸可得點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，根據拋物線的對稱性和增減性可得，故②正確；根據拋物線的圖象可知二次函數與直線有兩個不同的交點，推得關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，故③錯誤；根據拋物線的對稱性可得二次函數必然經過點，即可得到時，的取值范圍，故④正確．
【詳解】①∵拋物線開口向下，∴．∵拋物線的對稱軸為直線，∴，
由圖象可得時，，即，而，∴．故①錯誤；
②∵拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線．
故當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，
∵，，即點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，
故，故②正確；③由圖象可知：二次函數與直線有兩個不同的交點，
即關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，故③錯誤；
④∵函數圖象經過，對稱軸為直線，∴二次函數必然經過點，
∴時，的取值范圍，故④正確；綜上，②④正確，故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數與一元二次方程的關系，二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數，二次項系數決定拋物線的開口方向和大小，當時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數和二次項系數共同決定對稱軸的位置；常數項決定拋物線與軸交點；熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023年湖南省婁底市中考數學真題）已知二次函數的圖象如圖所示，給出下列結論：①；②；③（m為任意實數）；④若點和點在該圖象上，則．其中正確的結論是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】由拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸的左邊，可得，， ，故①不符合題意；當與時的函數值相等，可得，故②符合題意；當時函數值最大，可得，故③不符合題意；由點和點在該圖象上，而，且離拋物線的對稱軸越遠的點的函數值越小，可得④符合題意．
【詳解】解：∵拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸的左邊，
∴，，，∴，∴，故①不符合題意；
∵對稱軸為直線，∴當與時的函數值相等，∴，故②符合題意；
∵當時函數值最大，∴，∴；故③不符合題意；
∵點和點在該圖象上，而，且離拋物線的對稱軸越遠的點的函數值越小，∴．故④符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與性質，熟記二次函數的開口方向，與y軸的交點坐標，對稱軸方程，增減性的判定，函數的最值這些知識點是解本題的關鍵．
2．（2023年四川省雅安市中考數學真題）如圖，二次函數的圖象與x軸交于，B兩點，對稱軸是直線，下列結論中，①；②點B的坐標為；③；④對于任意實數m，都有，所有正確結論的序號為（ ）

A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
【分析】根據拋物線開口方向可得a的符號，可對①進行判斷；根據拋物線的對稱軸，由二次函數的對稱性可得B點坐標，由圖象即可對②進行判斷；根據點A，點B 代入解析式利用加減消元法可得，從而判定③，再由時函數取最大值判定④．
【詳解】解：∵拋物線開 向下，∴，故①錯誤，
∵拋物線與y軸交于正半軸，∴，∴， 設點B坐標為
∵拋物線對稱軸為直線，點A的坐標為，
∴，解得：，∴點B的坐標為，故②正確，
∵點A的坐標為，點B的坐標為，∴
∴由得，即，故③正確；
∵，拋物線對稱軸為直線，∴當時，時函數最大值，
當時，，∴，即，
綜上所述：正確的結論有②③④，故選：C．
【點睛】本題主要考查二次函數圖象與二次函數系數之間的關系，掌握數形結合思想的應用和二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數的對稱性是解題關鍵．
■考點四　二次函數與方程、不等式
◇典例13：（2023湖南省衡陽市中考數學真題）已知，若關于x的方程的解為．關于x的方程的解為．則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把看做是直線與拋物線交點的橫坐標，把看做是直線與拋物線交點的橫坐標，畫出對應的函數圖象即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，設直線與拋物線交于A、B兩點，
直線與拋物線交于C、D兩點，
∵，關于x的方程的解為，關于x的方程的解為，∴分別是A、B、C、D的橫坐標，∴，故選B．

【點睛】本題主要考查了拋物線與一元二次方程的關系，正確把一元二次方程的解轉換成直線與拋物線交點的橫坐標是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年江蘇省泰州市中考數學真題）二次函數的圖像與x軸有一個交點在y軸右側，則n的值可以是 （填一個值即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據根與系數的關系即可求解．
【詳解】解：設二次函數的圖象與軸交點的橫坐標為、，
即二元一次方程的根為、，由根與系數的關系得：，，
一次函數的圖象與軸有一個交點在軸右側，
，為異號，，故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，根與系數之間的關系，關鍵是根與系數之間的關系的應用．
2．（2023·湖南長沙·模擬預測）拋物線的對稱軸及部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程的兩根為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的性質，理解二次函數與x軸的交點的橫坐標就是對應的方程的解是解題關鍵．根據拋物線的對稱性求出拋物線與軸的另一個交點坐標即可求解．
【詳解】解：根據圖象可得：圖象與x軸的一個交點是，對稱軸為直線，
∴圖象與x軸的另一個交點是，∴關于x的一元二次方程的兩根為：．
故答案為：．
3.（2023年四川省南充市中考數學真題）拋物線與x軸的一個交點為，若，則實數的取值范圍是( )
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】根據拋物線有交點，則有實數根，得出或，分類討論，分別求得當和時的范圍，即可求解．
【詳解】解：∵拋物線與x軸有交點，
∴有實數根，∴
即解得：或，
當時，如圖所示，依題意，當時，，解得：，

當時，，解得，即，
當時，當時，，解得： ∴
綜上所述，或，故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
◇典例14：（2023·湖北武漢·校考一模）方程的根可視為函數的圖象與函數的圖象交點的橫坐標，那么用此方法可推斷出方程的實數根x所在的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意分析可得方程的實數根是函數和的圖象交點的橫坐標，畫圖草圖，結合圖像求值即可得出結論．
【詳解】解：∵方程，∴，
∴方程的實數根是函數和的圖象交點的橫坐標，
這兩個函數的圖象如圖所示，則它們的交點在第一象限，
當時，，，此時拋物線的圖象在反比例函數下方；
當時，，，此時拋物線的圖象在反比例函數下方；
當時，，，此時拋物線的圖象在反比例函數上方；
∴方程的實根x所在范圍為，故選：B．
【點睛】本題考查了運用圖象法求一元二次方程的近似根，難度中等．解決本題的關鍵是得到所求的方程為一個二次函數和一個反比例函數的解析式的交點的橫坐標．
◆變式訓練
1.（2023·湖北·校考模擬預測）如圖，拋物線與直線的兩個交點坐標分別為，，則關于x的方程的解為 ．

【答案】，
【分析】本題主要考查二次函數與一次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數與一次函數的交點問題是解題的關鍵．由關于x的方程可化為，根據二次函數與一次函數的交點坐標可直接求解方程的解．
【詳解】解：∵拋物線與直線的兩個交點坐標分別為，，，
∴聯立二次函數及一次函數解析式可得，即，
∴關于x的方程的解為，；故答案為，．
【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，根與系數之間的關系，關鍵是根與系數之間的關系的應用．
2.（2023·福建福州·校考模擬預測）方程的根可視為直線與雙曲線交點的橫坐標，根據此法可推斷方程的實根所在的范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依題意，的根可視為拋物線與雙曲線交點的橫坐標，分別求得當時的函數值，根據函數圖象即可求解．
【詳解】解：依題意，的根可視為拋物線與雙曲線交點的橫坐標，
當時，，， 當時，，，，
∴方程的實根所在的范圍是，故選：B．

【點睛】本題考查了拋物線與反比例函數的性質，根據交點求方程的解，熟練掌握拋物線與反比例函數的性質是解題的關鍵．
3.（2023·廣東梅州·統考一模）已知拋物線與一次函數交于兩點，則線段的長度為（ ）
A． B． C． D．20
【答案】A
【分析】根據題意，聯立方程組求解，消元得到，利用根與系數的關系，再運用兩點距離公式變形求出長度即可得到答案．
【詳解】解：拋物線與一次函數交于兩點，
聯立，消元得，，
故選：A
【點睛】本題考查平面直角坐標系中求線段長問題，涉及函數圖像交點問題、一元二次方程根與系數的關系、兩點之間距離公式及完全平方公式等知識，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系及兩點之間距離公式是解決問題的關鍵．
◇典例15：（2023年浙江省衢州市中考數學真題）已知二次函數（a是常數，）的圖象上有和兩點．若點，都在直線的上方，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據已知條件列出不等式，利用二次函數與軸的交點和二次函數的性質，即可解答．
【詳解】解：，，
點，都在直線的上方，且，可列不等式：，
，可得，設拋物線，直線，
可看作拋物線在直線下方的取值范圍，
當時，可得，解得，
，的開口向上，的解為，
根據題意還可列不等式：，
，可得，整理得，
設拋物線，直線，
可看作拋物線在直線下方的取值范圍，
當時，可得，解得，
，拋物線開口向下，的解為或，
綜上所述，可得，故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上的點的坐標特征，一次函數圖象上點的坐標特征，正確列出不等式是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023年四川省瀘州市中考數學真題）已知二次函數（其中是自變量），當時對應的函數值均為正數，則的取值范圍為（　　）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】首先根據題意求出對稱軸，然后分兩種情況：和，分別根據二次函數的性質求解即可．
【詳解】∵二次函數，∴對稱軸，
當時，∵當時對應的函數值均為正數，∴此時拋物線與x軸沒有交點，
∴，∴解得；當時，∵當時對應的函數值均為正數，
∴當時，，∴解得，∴，
∴綜上所述，當時對應的函數值均為正數，則的取值范圍為或．
故選：D．
【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是分兩種情況討論．
2.（2023·河北廊坊·統考模擬預測）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，下列是關于x的不等式或方程，結論正確的是（ ）
A．的解集是 B．的解集是
C．的解集是 D．的解是或
【答案】D
【分析】根據函數圖象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集為：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解為或．據此即可求解．
【詳解】解：由函數圖象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集為：x<2或>4；故A、B、C不符合題意；
方程ax2+bx+c=x+h，即的解為或，故D符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查二次函數與不等式，方程的聯系，利用圖象法求解，掌握數形結合思想是解題關鍵．
1．（2023年江蘇省南通市中考數學真題）若實數，，滿足，，則代數式的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】聯立方程組，解得，設，然后根據二次函數的性質，即可求解．
【詳解】解：依題意，，解得：
設∴
∵∴有最大值，最大值為故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
2．（2023年浙江省寧波市中考數學真題）已知二次函數，下列說法正確的是( )
A．點在該函數的圖象上 B．當且時，
C．該函數的圖象與x軸一定有交點 D．當時，該函數圖象的對稱軸一定在直線的左側
【答案】C
【分析】根據二次函數的圖象和性質，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：∵，當時：，
∵，∴，即：點不在該函數的圖象上，故A選項錯誤；
當時，，∴拋物線的開口向上，對稱軸為，
∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越大，
∵，，∴當時，有最大值為，
當時，有最小值為，∴，故B選項錯誤；
∵，
∴該函數的圖象與x軸一定有交點，故選項C正確；
當時，拋物線的對稱軸為：，
∴該函數圖象的對稱軸一定在直線的右側，故選項D錯誤；故選C．
【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質．熟練掌握二次函數的性質，是解題的關鍵．
3．（2023·四川自貢·中考真題）經過兩點的拋物線（為自變量）與軸有交點，則線段長為（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】根據題意，求得對稱軸，進而得出，求得拋物線解析式，根據拋物線與軸有交點得出，進而得出，則，求得的橫坐標，即可求解．
【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線
∵拋物線經過兩點∴，即，
∴，
∵拋物線與軸有交點，∴，即，
即，即，∴，，
∴，∴，故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的對稱性，與軸交點問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
4．（2023·四川綿陽·統考中考真題）將二次函數的圖象先向下平移1個單位，再向右平移3個單位，得到的圖象與一次函數y=2x+b的圖象有公共點，則實數b的取值范圍是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
【答案】D
【分析】先根據平移原則：上加下減，左加右減寫出解析式，再列方程組，有公共點則△≥0，則可求出b的取值．
【詳解】解：由題意得：平移后得到的二次函數的解析式為：，
則，，，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，b≥﹣8，故選：D．
【點睛】主要考查的是二次函數圖象的平移和兩函數的交點問題，二次函數與一次函數圖象有公共點．
5．（2023年甘肅省蘭州市中考數學真題）已知二次函數，下列說法正確的是（ ）
A．對稱軸為 B．頂點坐標為 C．函數的最大值是－3 D．函數的最小值是－3
【答案】C
【分析】根據二次函數的圖象及性質進行判斷即可．
【詳解】二次函數的對稱軸為，頂點坐標為
∵∴二次函數圖象開口向下，函數有最大值，為
∴A、B、D選項錯誤，C選項正確故選：C
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數圖象和性質是解題的關鍵．
6．（2023年湖北省中考數學真題）拋物線與軸相交于點．下列結論：①；②；③；④若點在拋物線上，且，則．其中正確的結論有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】二次函數整理得，推出，可判斷①錯誤；根據二次函數的的圖象與x軸的交點個數可判斷②正確；由，代入可判斷③正確；根據二次函數的性質及數形結合思想可判斷④錯誤．
【詳解】解：①由題意得：，∴，
∵，∴，∴，故①錯誤；
②∵拋物線與x軸相交于點．
∴有兩個不相等的實數根，∴，故②正確；
③∵，∴，故③正確；
④∵拋物線與x軸相交于點．∴拋物線的對稱軸為：，
當點在拋物線上，且，
∴或，解得：，故④錯誤，綜上，②③正確，共2個，故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數與系數的關系，掌握二次函數的性質及數形結合思想是解題的關鍵．
7．（2023年青海省西寧市中考數學真題）直線和拋物線（a，b是常數，且）在同一平面直角坐標系中，直線經過點．下列結論：
①拋物線的對稱軸是直線；②拋物線與x軸一定有兩個交點
③關于x的方程有兩個根，；④若，當或時，
其中正確的結論是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】①可得，從而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判斷拋物線也過，從而可得方程的一個根為，可求拋物線的對稱軸為直線，從而可得拋物線與軸的另一個交點為，即可求解；④當，當時，，即可求解．
【詳解】解：①直線經過點，，，
拋物線的對稱軸為直線，故①正確；
②，由①得，，，，
拋物線與x軸一定有兩個交點，故②正確；
③當時，，拋物線也過，
由得方程，方程的一個根為，
拋物線，，
拋物線的對稱軸為直線，
與軸的一個交點為，，解得：，
拋物線與軸的另一個交點為，
關于x的方程有兩個根，，故③正確；
④當，當時，，故④錯誤；故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的基本性質，二次函數與一次函數交點，二次函數與不等式等，理解性質，掌握解法是解題的關鍵．
8．（2022·湖南岳陽·中考真題）已知二次函數（為常數，），點是該函數圖象上一點，當時，，則的取值范圍是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】先求出拋物線的對稱軸及拋物線與軸的交點坐標，再分兩種情況：或，根據二次函數的性質求得的不同取值范圍便可．
【詳解】解：∵二次函數，
∴對稱軸為，拋物線與軸的交點為，
∵點是該函數圖象上一點，當時，，
∴①當時，對稱軸，
此時，當時，，即，解得；
②當時，對稱軸，
當時，隨增大而減小，則當時，恒成立；
綜上，的取值范圍是：或．故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，關鍵是分情況討論．
9．（2022·廣西玉林·中考真題）小嘉說：將二次函數的圖象平移或翻折后經過點有4種方法：①向右平移2個單位長度 ②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度
③向下平移4個單位長度 ④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度
你認為小嘉說的方法中正確的個數有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】根據二次函數圖象的平移可依此進行求解問題．
【詳解】解：①將二次函數向右平移2個單位長度得到：，把點代入得：，所以該平移方式符合題意；
②將二次函數向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到：，把點代入得：，所以該平移方式符合題意；
③將二次函數向下平移4個單位長度得到：，把點代入得：，所以該平移方式符合題意；
④將二次函數沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度得到：，把點代入得：，所以該平移方式符合題意；
綜上所述：正確的個數為4個；故選D．
【點睛】本題主要考查二次函數圖象的平移，熟練掌握二次函數圖象的平移是解題的關鍵．
10．（2023年湖南省婁底市中考數學真題）如圖，拋物線與x軸相交于點、點，與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當軸時， ．

【答案】4
【分析】與拋物線與x軸相交于點、點，可得拋物線的對稱軸為直線，由軸，可得，關于直線對稱，可得，從而可得答案．
【詳解】解：∵拋物線與x軸相交于點、點，
∴拋物線的對稱軸為直線，∵當時，，即，
∵軸，∴，關于直線對稱，∴，∴；故答案為：4
【點睛】本題考查的是利用拋物線上兩點的坐標求解對稱軸方程，熟練的利用拋物線的對稱性解題是關鍵．
11．（2023·四川·統考中考真題）規定：如果兩個函數的圖象關于y軸對稱，那么稱這兩個函數互為“Y函數”．例如：函數與互為“Y函數”．若函數的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為___________．
【答案】或
【分析】根據題意與x軸的交點坐標和它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標關于y軸對稱，再進行分類討論，即和兩種情況，求出與x軸的交點坐標，即可解答．
【詳解】解：①當時，函數的解析式為，此時函數的圖象與x軸只有一個交點成立，
當時，可得，解得，與x軸的交點坐標為，
根據題意可得，它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為；
①當時，函數的圖象與x軸只有一個交點，
，即，解得，
函數的解析式為，當時，可得，解得，
根據題意可得，它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為，
綜上所述，它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為或，故答案為：或．
【點睛】本題考查了軸對稱，一次函數與坐標軸的交點，拋物線與x軸的交點問題，理解題意，進行分類討論是解題的關鍵．
12．（2023·江蘇·統考中考真題）已知二次函數（為常數）．
(1)該函數圖像與軸交于兩點，若點坐標為，
①則的值是_______，點的坐標是_______；②當時，借助圖像，求自變量的取值范圍；
(2)對于一切實數，若函數值總成立，求的取值范圍（用含的式子表示）；(3)當時（其中為實數，），自變量的取值范圍是，求和的值以及的取值范圍．
【答案】(1)①②或(2)(3)
【分析】（1）①待定系數法求出函數解析式，令，求出點的坐標即可；②畫出函數圖像，圖像法求出的取值范圍即可；（2）求出二次函數的最小值，即可得解；
（3）根據當時（其中為實數，），自變量的取值范圍是，得到和關于對稱軸對稱，進而求出的值，得到為的函數值，求出，推出直線過拋物線頂點或在拋物線的下方，即可得出結論．
【詳解】（1）解：①∵函數圖像與軸交于兩點，點坐標為，
∴，∴，∴，
∴當時，，∴，
∴點的坐標是；故答案為：；
②，列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
畫出函數圖像如下：

由圖可知：當時，或；
（2）∵，∴當時，有最小值為；
∵對于一切實數，若函數值總成立，∴；
（3）∵，∴拋物線的開口向上，對稱軸為，
又當時（其中為實數，），自變量的取值范圍是，
∴直線與拋物線的兩個交點為，直線在拋物線的下方，
∴關于對稱軸對稱，∴，∴，
∴，∴，
當時，有最小值，∴．
【點睛】本題考查二次函數的圖像和性質，熟練掌握二次函數的圖像和性質，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．本題的綜合性較強，屬于中考壓軸題．
1．（2023·廣東云浮·校考一模）關于x的函數是二次函數的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據二次函數的定義，直接求解即可得到答案；
【詳解】解：∵是二次函數，∴，解得：，故選A．
【點睛】本題考查二次函數的條件，二次函數二次項系數不為0．
2．（2023·江蘇南京·九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，將函數y＝x2－2x的圖像先沿x軸翻折，再向上平移5個單位長度，得到的拋物線所對應的函數表達式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由折疊的性質，得到翻折后的解析式，然后再向上平移即可．
【詳解】解：將函數y＝x2－2x的圖像先沿x軸翻折，∴翻折后的解析式為，
∵函數圖像再向上平移5個單位長度，∴解析式為：；故選：A．
【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知二次函數的圖象旋轉及平移的法則是解答此題的關鍵．
3．（2023·四川德陽·九年級校考階段練習）若拋物線C1與拋物線C2關于原點成中心對稱，其中C1的解析式為，則C2的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】關于原點對稱的兩個函數的函數圖象上的對應點也關于原點對稱，再結合關于原點對稱的兩個點的坐標關系可得答案.
【詳解】解：∵拋物線C1與拋物線C2關于原點成中心對稱，C1的解析式為，
∴C2解析式為： 整理得： 故選：A.
【點睛】本題考查的是二次函數的性質，掌握“關于原點對稱的兩個函數的函數圖象上的對應點也關于原點對稱”是解本題的關鍵.
4．（2023·山東德州·九年級校考階段練習）已知，，是拋物線上的點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了拋物線的增減性的應用，計算對稱軸，比較點與對稱軸的距離大小，結合性質判斷即可．
【詳解】∵拋物線，
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，距離對稱軸越遠的點的函數值越小，
∵，∴，故選：B．
5．（2023上·河北廊坊·九年級校考階段練習）已知二次函數，當自變量取兩個不同的值，時，函數值相等，則當自變量取時函數值與（ ）
A．時的函數值相等 B．時的函數值相等
C．時的函數值相等 D．時的函數值相等
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的軸對稱性質，根據解析式找到對稱軸，結合對稱性求解即可得到答案；
【詳解】解：二次函數的對稱軸為：，
∵自變量取兩個不同的值，時，函數值相等，
∴，∴的對稱點為：，
∴當自變量取時函數值與時的函數值相等，故選：D．
6．（2023·浙江·統考一模）二次函數，當時，若圖象上的點到x軸距離的最大值為4，則m的值為（ ）
A．-1或1 B．-1或1或3 C．1或3 D．-1或3
【答案】D
【分析】按對稱軸所在位置情況進行分別作圖，由二次函數圖像性質可知取到軸距離的最大值的點是圖像頂點或兩端點，分類討論即可．
【詳解】解：由題意得，拋物線開口向上，對稱軸為直線．
當時，，記作頂點M）；
當時，；記作點P（1，）；當時，，記作點Q（0，-3）；
當時，圖象上的點到軸距離的最大值為4，
I．若圖像位于拋物線對稱軸右側，即對稱軸，如圖1：
則點Q為滿足圖象上的點到軸距離的最大值為4的點，此時有 ，解得：，
II．若對稱軸在PQ兩點之間（包含PQ兩點）時，即：對稱軸滿足，如圖2，
①若P為滿足圖象上的點到軸距離的最大值為4的點，則 ，此時無解，
②若M為滿足圖象上的點到軸距離的最大值為4的點，則，，解得：，
III．若圖像位于拋物線對稱軸左側，即對稱軸，如圖3：
此時P為滿足圖象上的點到軸距離的最大值為4的點，則，
，此時沒有符合的解，綜上，或3，故選D．
【點睛】本題考查二次函數的性質，根據二次函數圖像的性質找到到軸距離的最大值是解題關鍵．
7．（2023·山東濟南·校考模擬預測）已知拋物線，現將其圖象向上平移個單位得到拋物線，當時，若拋物線與直線有兩個交點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】二次函數圖象平移中，將和時代入直線和拋物線解析式，當點重合時求出的值，從而獲得的取值范圍．
【詳解】拋物線的解析式為，時，，
將代入得，，
將代入和中得，，
，解得，（舍，
當直線與拋物線相切時，，則，
，則，解得，
的取值范圍為．故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，一次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質及方程思想是解題的關鍵．
8．（2023·四川南充·統考二模）如圖，平移拋物線，使頂點在線段上運動，與x軸交于，D兩點．若，，四邊形的面積為，則 ．
【答案】
【分析】根據梯形面積求出，結合一元二次方程根與系數的關系及完全平方公式之間關系化簡即可得到答案；
【詳解】四邊形是梯形，下底，高為3，
由，得，設，，則，，
∵，∴．∴．∴①，
又頂點縱坐標②，①÷②，得，∴，故答案為；
【點睛】本題考查二次函數性質與幾何圖形應用，解題的關鍵是熟練掌握二次函數與一元二次方程之間的關系及二次函數的性質．
9．（2023·四川成都·統考二模）在平面直角坐標系中，點和點在拋物線上，若，則 ；若，則m的取值范圍是 ．
【答案】 或
【分析】若，先求二次函數的對稱軸，再利用二次函數的對稱性對稱兩點的橫坐標之和的一半等于對稱軸橫坐標即可解答；若，分兩種情況：當對稱軸在y軸右側時，當對稱軸在y軸左側時，結合二次函數圖象的特性分別進行解答即可．
【詳解】解：二次函數圖象開口向上，對稱軸是直線，
①∵，∴點P、Q關于對稱軸對稱，∴，解得；
②∵拋物線與y軸的交點為，當時，或，
∴與關于對稱軸對稱，當對稱軸在y軸右側時，，
∵，∴，且，解得；
當對稱軸在y軸左側時，，此時，
P、Q兩點都在對稱軸的右側，y的值隨x值增大而增大，
∵，∴，解得；
∴綜上，m的取值范圍是或．故答案為：；或．
【點睛】本題考查了二次函數圖象與性質，掌握二次函數圖象與性質，并能夠熟練運用數形結合是解題的關鍵．
10．（2023·山東·統考一模）若不等式對恒成立則x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】將不等式整理得，當x=0時，-6＜0，不等式不成立，得出x≠0，令y=，y是關于a的一次函數，即，根據一次函數的性質得出x2＞0，關于a的函數y隨a的增大而增大，當a=-1時，當時y＞0恒成立，解不等式即可
【詳解】解：不等式整理得
當x=0時，-6＜0，不等式不成立，∴x≠0，令y=,
∴y是關于a的一次函數，即，
∵x2＞0，關于a的函數y隨a的增大而增大，
當a=1時，，
當a=-1時，，
當時y＞0恒成立，∴＞0，
解得，故答案為：．
【點睛】本題考查一次函數的性質，二次不等式，掌握一次函數的性質，二次不等式解法是解題關鍵，
1.（2023年浙江省杭州市中考數學真題）設二次函數是實數，則（ ）
A．當時，函數的最小值為 B．當時，函數的最小值為
C．當時，函數的最小值為 D．當時，函數的最小值為
【答案】A
【分析】令，則，解得：，，從而求得拋物線對稱軸為直線，再分別求出當或時函數y的最小值即可求解．
【詳解】解：令，則，解得：，，
∴拋物線對稱軸為直線
當時， 拋物線對稱軸為直線，把代入，得，
∵∴當，時，y有最小值，最小值為．故A正確，B錯誤；
當時， 拋物線對稱軸為直線，把代入，得，
∵∴當，時，y有最小值，最小值為，故C、D錯誤，故選：A．
【點睛】本題考查拋物線的最值，拋物線對稱軸．利用拋物線的對稱性求出拋物線對稱軸是解題關鍵．
2．（2023年四川省巴中市中考數學真題）在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于、兩點，設，則下列結論正確的個數為（ ）

①；②；③當線段長取最小值時，則的面積為；
④若點，則
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二次函數與一次函數的圖象和性質，根與系數的關系，進行解答，即可．
【詳解】直線與拋物線交于、兩點，
∴，整理得：，∴，∴正確；
∵，解得：，，
∴，，∴；∴正確；
∵，當時，即軸時，有最小值，
∴，∴；∴正確；
當點時，假設，則：是直角三角形，
取的中點為點，連接，∴，
∵，∴，，
∴點，∴點，∵點，∴，
∴時，，即與不一定垂直；∴錯誤；∴正確的為：．故選：C．

【點睛】本題考查二次函數的知識，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象和性質，直角三角形的性質，兩點間的距離公式．
3．（2023·湖南岳陽·校考一模）已知二次函數，當時，y隨x的增大而減小，則的最大值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【答案】C
【分析】由二次函數解析式求出對稱軸，分類討論拋物線開口向下及開口向上的的取值范圍，將轉化為二次函數求最值即可．
【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線：，
①當時，拋物線開口向上，∵時，y隨x的增大而減小，
∴，即．解得，∴，
∵，∴．
②當時，拋物線開口向下，∵時，y隨x的增大而減小，
∴，即，解得， ∴，
∵，當時，有最大值，
∵，∴此情況不存在．綜上所述，最大值為8．故選C．
【點睛】本題考查二次函數的性質．解題的關鍵是將的最大值轉化為二次函數求最值．
4．（2023·廣東·校聯考模擬預測）二次函數與軸的兩個交點橫坐標，滿足．當時，該函數有最大值，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據已知條件求出，與關系，再根據根與系數的關系以及分類討論即可．
【詳解】解：∵當時，該函數有最大值，
∴，解得：，∴，，
∵，∴，至少有一個負數，
當，都小于時，，不符合題意，
當，時，，∴，∴，解得：，
當，時，，∴，
∴，解得：，綜上所述，的值為．故選：A．
【點睛】本題考查拋物線與軸的交點一元二次方程根與系數的關系，二次函數的性質，運用了分類討論的思想．解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數的關系．
5．（2023·浙江杭州·校考二模）在平面直角坐標系中，當和時，二次函數（a，b是常數，a≠0）的函數值相等．(1)若該函數的最大值為1，求函數的表達式，并寫出函數圖象的頂點坐標．(2)若該函數的圖象與x軸有且只有一個交點，求a，b的值．(3)記（2）中的拋物線為y1，將拋物線y1向上平移2個單位得到拋物線，當時，拋物線的最大值與最小值之差為8，求m的值．
【答案】(1)函數表達式為：，頂點坐標為(2)，(3)
【分析】（1）根據當和時，二次函數的函數值相等，求出拋物線對稱軸，再根據該函數的最大值為1，可寫出拋物線的頂點式和頂點坐標，即可解答；
（2）根據該函數的圖象與x軸有且只有一個交點，得出的判別式，以及，可求出a，b的值；（3）根據（2）中拋物線的解析式，再根據二次函數的平移規律求出平移后的解析式，利用二次函數的性質即可解答．
【詳解】（1）解：∵當和時，二次函數（a，b是常數，）的函數值相等，∴二次函數的對稱軸為直線，∵該函數的最大值為1，∴該函數的頂點坐標為，
設函數的解析式為，即，∴，解得，
∴函數表達式為：，∴該函數的頂點坐標為；
（2）∵該函數的圖象與x軸有且只有一個交點，
∴一元二次方程，該函數的頂點坐標為，∴，
∵對稱軸為，∴，將代入中，解得（舍去），，
∴，∴，；
（3）由（2）可得的解析式為：，
∵將拋物線向上平移2個單位得到拋物線，∴，即
∴當時，，
∵的頂點坐標為，且當時，拋物線的最大值與最小值之差為8，
且，∴，隨x的增大而增大，
∴當時，，，
∴，∴，∴，∵，∴．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數的頂點坐標，二次函數的最值，二次函數與x軸的交點坐標，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
備考指南
知識導圖
知識清單
考點梳理
真題在線
專項練習
培優拓展
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第三章 函數
第四節 二次函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次函數的相關概念 ☆ 二次函數作為初中三大函數考點最多，出題最多，難度最大的函數，一直都是各地中考數學中最重要的考點，年年都會考查，總分值為15-20分。而對于二次函數圖象和性質的考察，也主要集中在二次函數的圖象、圖象與系數的關系、與方程及不等式的關系、圖象上點的坐標特征等幾大方面。題型變化較多，考生復習時需要熟練掌握相關知識，熟悉相關題型，認真對待該考點的復習。
考點2 二次函數的圖象與性質 ☆☆
考點3 二次函數的圖象與a、b、c之間的關系 ☆☆
考點4 二次函數與方程、不等式之間的關系 ☆☆☆
■考點一　二次函數的相關概念
1、二次函數的概念：一般地，形如 （a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．
2、二次函數解析式的三種形式
（1）一般式： （a，b，c為常數，a≠0）．
（2）頂點式： （a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）．
（3）交點式： ，其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0．
■考點二　二次函數的圖象與性質
1、二次函數的圖象及性質
解析式 二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）
對稱軸 .
頂點 .
a的符號 a>0 a<0
圖象
開口方向 開口向上 開口向下
最值 當x=–時，y最小值= . 當x=–時，y最大值= .
最點 拋物線有最低點 拋物線有最高點
增減性 當x<–時，y隨x的增大而 ；當x>–時，y隨x的增大而 . 當x<–時，y隨x的增大而 ；當x>–時，y隨x的增大而 .
2、拋物線的圖象變換
1）二次函數圖象的翻折與旋轉
拋物線y=a(x-h) +k，繞頂點旋轉180°變為： ；繞原點旋轉180°變為： ；
沿x軸翻折變為： ；沿y軸翻折變為： ；
2）二次函數平移遵循“ ”的原則；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．
■考點三　二次函數與各項系數之間的關系
1.拋物線開口的方向可確定a的符號：
拋物線開口向上， ；拋物線開口向下， .
2.對稱軸可確定b的符號（需結合a的符號）：
對稱軸在x軸負半軸，則 ，即ab＞0；對稱軸在x軸正半軸，則 ，即ab＜0
3.與y軸交點可確定c的符號：與y軸交點坐標為（0，c），
交于y軸負半軸，則 ；交于y軸正半軸，則 .
4.特殊函數值符號（以x=1的函數值為例）：
若當x=1時，若對應的函數值y在x軸的上方，則 ；若對應的函數值y在x軸上方，則 ；若對應的函數值y在x軸的下方，則 ；
5.其他輔助判定條件：
1）頂點坐標；2）若與x軸交點，，則可確定對稱軸為：x=；
3）韋達定理： 具體要考慮哪些量，需要視圖形告知的條件而定。
■考點四　二次函數與方程、不等式
1、二次函數與一元二次方程的關系
1）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標。
3）（1）b2–4ac>0 方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；
（2）b2–4ac=0 方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有一個交點；
（3）b2–4ac<0 方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點。
2、二次函數與不等式的關系（以a>0為例）:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
圖象
與x軸交點 個交點 個交點 個交點
ax2＋bx＋c>0的解集情況 xx2 取任意實數
ax2＋bx＋c<0的解集情況 x1■易錯提示
1. 二次函數的辨別中切記保證a≠0，而b，c可以為任意實數（即可為0）；
2. 拋物線的增減性問題，由a的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說，y隨x的增大而增大（或減小）是不對的，必須附加一定的自變量x取值范圍；
3. 拋物線在平移的過程中，a的值不發生變化，變化的只是頂點的位置，且與平移方向有關。
■考點一　二次函數的相關概念
◇典例1：（2023·山東濟寧·校聯考三模）以下函數式二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023上·山東臨沂·九年級校考階段練習）若 是二次函數，則 m 的值為（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
2．（2023·北京·統考二模）如圖，某小區有一塊三角形綠地，其中．計劃在綠地上建造一個矩形的休閑書吧，使點P，M，N分別在邊上．記，圖中陰影部分的面積為．當x在一定范圍內變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數關系分別是（ ）

A．一次函數關系，二次函數關系 B．一次函數關系，反比例函數關系
C．二次函數關系，一次函數關系 D．反比例函數關系，二次函數關系
◇典例2：（2023上·浙江溫州·九年級校聯考階段練習）已知某種產品的成本價為30元/千克，經市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：．設這種產品每天的銷售利潤為w（元），則w與x之間的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023年江蘇省泰州市中考數學真題）函數y與自變量x的部分對應值如表所示，則下列函數表達式中，符合表中對應關系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B． C． D．
2．（2023上·山西太原·九年級校考階段練習）相框邊的寬窄影響可放入相片的大小．如圖，相框長，寬，相框邊的寬為，相框內的面積是，則y與x之間的函數關系式為 ．
■考點二　二次函數的圖象與性質
◇典例3：（2023年四川省成都市數學中考真題）如圖，二次函數的圖象與x軸交于，兩點，下列說法正確的是（ ）

A．拋物線的對稱軸為直線 B．拋物線的頂點坐標為
C．，兩點之間的距離為 D．當時，的值隨值的增大而增大
◆變式訓練
1.（2023年山東省濰坊市中考數學真題）已知拋物線經過點，則下列結論正確的是（ ）（多選題）
A．拋物線的開口向下 B．拋物線的對稱軸是
C．拋物線與軸有兩個交點 D．當時，關于的一元二次方程有實根
2．（2023年四川省甘孜州中考數學真題）下列關于二次函數的說法正確的是( )
A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與軸沒有交點
C．當時，隨增大而增大 D．圖象的頂點坐標是
◇典例4：（2023年遼寧省沈陽市中考數學真題）二次函數圖象的頂點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆變式訓練
1. （2023年上海市中考數學真題）一個二次函數的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側的部分是上升的，那么這個二次函數的解析式可以是 ．
2.（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）拋物線的頂點坐標是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·北京海淀·九年級校考階段練習）某同學在用描點法畫二次函數的圖象時，列出了下面的表格：
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 5 0 m ……
那么m的值為（ ）
A． B． C．0 D．5
◇典例5：（2022·山東泰安·中考真題）如圖,函數和(是常數,且)在同一平面直角坐標系的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2022·廣西·中考真題）已知反比例函數的圖象如圖所示，則一次函數和二次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·山東青島·統考中考真題）已知反比例函數的圖象如圖所示，則一次函數和二次函數在同一直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2023年山東省日照市中考數學真題）在平面直角坐標系中，拋物線，滿足，已知點，，在該拋物線上，則m，n，t的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023年廣東廣州中考數學真題）已知點，在拋物線上，且，則 ．（填“<”或“>”或“=”）
2.（2023年福建省中考真題數學試題）已知拋物線經過兩點，若分別位于拋物線對稱軸的兩側，且，則的取值范圍是 ．
◇典例7：（2023年江蘇省徐州市中考數學真題）在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1. （2023年黑龍江省牡丹江市中考數學真題）將拋物線向下平移1個單位長度，再向右平移 個單位長度后，得到的新拋物線經過原點．
2.（2023·四川南充·統考中考真題）若點在拋物線（）上，則下列各點在拋物線上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川瀘州·統考中考真題）拋物線經平移后，不可能得到的拋物線是（ ）
A． B． C． D．
◇典例8：（2021·四川眉山·統考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，則該拋物線關于點成中心對稱的拋物線的表達式為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1. （2023上·山東臨沂·九年級統考期末）已知拋物線的解析式為，則下列說法中正確的是（ ）
A．將圖象沿y軸平移，則a，b的值不變 B．將圖象沿x軸平移，則a的值不變
C．將圖象沿y軸翻折，則a，c的值不變 D．將圖象沿x軸翻折，則b的值不變
2．（2023上·福建南平·九年級校考期中）將拋物線繞原點旋轉180°得到的拋物線的解析式為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·安徽淮南·九年級校聯考階段練習）如果將拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，然后繞其頂點旋轉，得到新的拋物線，那么（ ）
A． ，， B． ， C． ，， D． ，
◇典例9：（2023年山東省泰安市中考數學真題）二次函數的最大值是 ．
◆變式訓練
1. （2023年遼寧省大連市中考數學真題）已知拋物線，則當時，函數的最大值為（ ）
A． B． C．0 D．2
2.（2023年陜西省中考數學試卷（A卷））在平面直角坐標系中，二次函數（為常數）的圖像經過點，其對稱軸在軸左側，則該二次函數有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
◇典例10：（2023·浙江·校聯考統考一模）在平面直角坐標系中，二次函數（）的圖象交x軸于點A，B（點A在B的左側），當時，函數的最大值為8，則b的值為（ ）
A．－1 B． C．－2 D．
◆變式訓練
1. （2022上·浙江杭州·九年級統考期末）二次函數（為實數，且），對于滿足的任意一個的值，都有，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023·浙江·校聯考二模）已知二次函數y＝﹣（x﹣1）2+10，當m≤x≤n，且mn＜0時，y的最小值為2m，y的最大值為2n，則的值為（　　）
A．3 B． C．2 D．
■考點三　二次函數與各項系數之間的關系
◇典例11：（2022·四川遂寧·統考中考真題）拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數）的部分圖象如圖所示，設m=a-b+c，則m的取值范圍是______．
◆變式訓練
1.（2023湖南省株洲市中考數學真題）如圖所示，直線l為二次函數的圖像的對稱軸，則下列說法正確的是（ ）

A．b恒大于0 B．a，b同號 C．a，b異號 D．以上說法都不對
2.（2023年湖南省湘潭市中考數學真題）如圖，拋物線與x軸交于點，則下列結論中正確的是（ ）（多選題）

A． B． C． D．
◇典例12：（2023年山東省聊城市中考數學真題）已知二次函數的部分圖象如圖所示，圖象經過點，其對稱軸為直線．下列結論：①；②若點，均在二次函數圖象上，則；③關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確結論的個數為（ ）．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
◆變式訓練
1. （2023年湖南省婁底市中考數學真題）已知二次函數的圖象如圖所示，給出下列結論：①；②；③（m為任意實數）；④若點和點在該圖象上，則．其中正確的結論是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
2．（2023年四川省雅安市中考數學真題）如圖，二次函數的圖象與x軸交于，B兩點，對稱軸是直線，下列結論中，①；②點B的坐標為；③；④對于任意實數m，都有，所有正確結論的序號為（ ）

A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
■考點四　二次函數與方程、不等式
◇典例13：（2023湖南省衡陽市中考數學真題）已知，若關于x的方程的解為．關于x的方程的解為．則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023年江蘇省泰州市中考數學真題）二次函數的圖像與x軸有一個交點在y軸右側，則n的值可以是 （填一個值即可）
2．（2023·湖南長沙·模擬預測）拋物線的對稱軸及部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程的兩根為 ．
3.（2023年四川省南充市中考數學真題）拋物線與x軸的一個交點為，若，則實數的取值范圍是( )
A． B．或 C． D．或
◇典例14：（2023·湖北武漢·校考一模）方程的根可視為函數的圖象與函數的圖象交點的橫坐標，那么用此方法可推斷出方程的實數根x所在的范圍是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·湖北·校考模擬預測）如圖，拋物線與直線的兩個交點坐標分別為，，則關于x的方程的解為 ．

2.（2023·福建福州·校考模擬預測）方程的根可視為直線與雙曲線交點的橫坐標，根據此法可推斷方程的實根所在的范圍是（　　）
A． B． C． D．
3.（2023·廣東梅州·統考一模）已知拋物線與一次函數交于兩點，則線段的長度為（ ）
A． B． C． D．20
◇典例15：（2023年浙江省衢州市中考數學真題）已知二次函數（a是常數，）的圖象上有和兩點．若點，都在直線的上方，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023年四川省瀘州市中考數學真題）已知二次函數（其中是自變量），當時對應的函數值均為正數，則的取值范圍為（　　）
A． B．或 C．或 D．或
2.（2023·河北廊坊·統考模擬預測）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，下列是關于x的不等式或方程，結論正確的是（ ）
A．的解集是 B．的解集是
C．的解集是 D．的解是或
1．（2023年江蘇省南通市中考數學真題）若實數，，滿足，，則代數式的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年浙江省寧波市中考數學真題）已知二次函數，下列說法正確的是( )
A．點在該函數的圖象上 B．當且時，
C．該函數的圖象與x軸一定有交點 D．當時，該函數圖象的對稱軸一定在直線的左側
3．（2023·四川自貢·中考真題）經過兩點的拋物線（為自變量）與軸有交點，則線段長為（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
4．（2023·四川綿陽·統考中考真題）將二次函數的圖象先向下平移1個單位，再向右平移3個單位，得到的圖象與一次函數y=2x+b的圖象有公共點，則實數b的取值范圍是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
5．（2023年甘肅省蘭州市中考數學真題）已知二次函數，下列說法正確的是（ ）
A．對稱軸為 B．頂點坐標為 C．函數的最大值是－3 D．函數的最小值是－3
6．（2023年湖北省中考數學真題）拋物線與軸相交于點．下列結論：①；②；③；④若點在拋物線上，且，則．其中正確的結論有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．（2023年青海省西寧市中考數學真題）直線和拋物線（a，b是常數，且）在同一平面直角坐標系中，直線經過點．下列結論：
①拋物線的對稱軸是直線；②拋物線與x軸一定有兩個交點
③關于x的方程有兩個根，；④若，當或時，
其中正確的結論是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
8．（2022·湖南岳陽·中考真題）已知二次函數（為常數，），點是該函數圖象上一點，當時，，則的取值范圍是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
9．（2022·廣西玉林·中考真題）小嘉說：將二次函數的圖象平移或翻折后經過點有4種方法：①向右平移2個單位長度 ②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度
③向下平移4個單位長度 ④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度
你認為小嘉說的方法中正確的個數有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
10．（2023年湖南省婁底市中考數學真題）如圖，拋物線與x軸相交于點、點，與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當軸時， ．

11．（2023·四川·統考中考真題）規定：如果兩個函數的圖象關于y軸對稱，那么稱這兩個函數互為“Y函數”．例如：函數與互為“Y函數”．若函數的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為___________．
12．（2023·江蘇·統考中考真題）已知二次函數（為常數）．
(1)該函數圖像與軸交于兩點，若點坐標為，
①則的值是_______，點的坐標是_______；②當時，借助圖像，求自變量的取值范圍；
(2)對于一切實數，若函數值總成立，求的取值范圍（用含的式子表示）；(3)當時（其中為實數，），自變量的取值范圍是，求和的值以及的取值范圍．
1．（2023·廣東云浮·校考一模）關于x的函數是二次函數的條件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇南京·九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，將函數y＝x2－2x的圖像先沿x軸翻折，再向上平移5個單位長度，得到的拋物線所對應的函數表達式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川德陽·九年級校考階段練習）若拋物線C1與拋物線C2關于原點成中心對稱，其中C1的解析式為，則C2的解析式為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山東德州·九年級校考階段練習）已知，，是拋物線上的點，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·河北廊坊·九年級校考階段練習）已知二次函數，當自變量取兩個不同的值，時，函數值相等，則當自變量取時函數值與（ ）
A．時的函數值相等 B．時的函數值相等
C．時的函數值相等 D．時的函數值相等
6．（2023·浙江·統考一模）二次函數，當時，若圖象上的點到x軸距離的最大值為4，則m的值為（ ）
A．-1或1 B．-1或1或3 C．1或3 D．-1或3
7．（2023·山東濟南·校考模擬預測）已知拋物線，現將其圖象向上平移個單位得到拋物線，當時，若拋物線與直線有兩個交點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川南充·統考二模）如圖，平移拋物線，使頂點在線段上運動，與x軸交于，D兩點．若，，四邊形的面積為，則 ．
9．（2023·四川成都·統考二模）在平面直角坐標系中，點和點在拋物線上，若，則 ；若，則m的取值范圍是 ．
10．（2023·山東·統考一模）若不等式對恒成立則x的取值范圍是 ．
1.（2023年浙江省杭州市中考數學真題）設二次函數是實數，則（ ）
A．當時，函數的最小值為 B．當時，函數的最小值為
C．當時，函數的最小值為 D．當時，函數的最小值為
2．（2023年四川省巴中市中考數學真題）在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于、兩點，設，則下列結論正確的個數為（ ）

①；②；③當線段長取最小值時，則的面積為；
④若點，則
A． B． C． D．
3．（2023·湖南岳陽·校考一模）已知二次函數，當時，y隨x的增大而減小，則的最大值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
4．（2023·廣東·校聯考模擬預測）二次函數與軸的兩個交點橫坐標，滿足．當時，該函數有最大值，則的值為（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江杭州·校考二模）在平面直角坐標系中，當和時，二次函數（a，b是常數，a≠0）的函數值相等．(1)若該函數的最大值為1，求函數的表達式，并寫出函數圖象的頂點坐標．(2)若該函數的圖象與x軸有且只有一個交點，求a，b的值．(3)記（2）中的拋物線為y1，將拋物線y1向上平移2個單位得到拋物線，當時，拋物線的最大值與最小值之差為8，求m的值．
備考指南
知識導圖
知識清單
考點梳理
真題在線
專項練習
培優拓展
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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