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第三章 函數
第三節 反比例函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 反比例函數的概念 ☆ 反比例函數也是非常重要的函數，年年都會考，總分值為12分左右，預計2024年各地中考一定還會考，反比例函數與一次函數結合出現在解答題中是各地中考必考的一個解答題，反比例函數的圖象與性質和平面幾何的知識結合、反比例函數中|k|的幾何意義等也會是小題考察的重點。
考點2 反比例函數的圖象和性質 ☆☆☆
考點3 反比例函數中|k|的幾何意義 ☆☆☆
考點4 反比例函數與一次函數的綜合 ☆☆☆
考點5 反比例函數的實際應用 ☆
■考點一　反比例函數的概念
反比例函數的概念：一般地，函數（k是常數，k≠0）叫做反比例函數．
自變量x和函數值y的取值范圍都是不等于0的任意實數．
■考點二　反比例函數的圖象和性質
1、反比例函數的圖象和性質
表達式 （k是常數，k≠0）
k k>0 k<0
大致圖象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增減性 在每個象限內，y隨x的增大而減小 在每個象限內，y隨x的增大而增大
對稱性 軸對稱圖形（對稱軸為直線y=x和y=-x），中心對稱圖形（對稱中心為原點）
2、待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟
1）設反比例函數解析式（k≠0）；2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關于待定系數k的方程；3）解這個方程求出待定系數k；4）將所求得的待定系數k的值代回所設的函數解析式．
■考點三　反比例函數中|k|的幾何意義
1）反比例函數圖象中有關圖形的面積
2）涉及三角形的面積型
當一次函數與反比例函數結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．
（1）正比例函數與一次函數所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如圖②，已知一次函數與反比例函數交于A、B兩點，且一次函數與x軸交于點C，
則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如圖③，已知反比例函數的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
■考點四　反比例函數與一次函數的綜合
1.涉及自變量取值范圍型
當一次函數與反比例函數相交時，聯立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐標。若求時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數的圖象高于反比例函數圖象的部分所對應的x的范圍；反之亦然。
2.求一次函數與反比例函數的交點坐標
（1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定：①k值同號，兩個函數必有兩個交點；②k值異號，兩個函數可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；
（2）從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況．
■考點五　反比例函數的實際應用
解決反比例函數的實際問題時，先確定函數解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．
■易錯提示
1.反比例函數的圖象不是連續的，因此在談到反比例函數的增減性時，都是在各自象限內的增減情況．當k>0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統地說當k>0時，y隨x的增大而減小．同樣，當k<0時，也不能籠統地說y隨x的增大而增大．
2.利用|k|的幾何意義求出的k帶有絕對值，需要結合圖象分布象限來確定具體的符號。
■考點一　反比例函數的定義
◇典例1：（2023·北京朝陽·統考一模）下面的三個問題中都有兩個變量：
①矩形的面積一定，一邊長與它的鄰邊；
②某村的耕地面積一定，該村人均耕地面積與全村總人口；
③汽車的行駛速度一定，行駛路程與行駛時間．
其中，兩個變量之間的函數關系可以用如圖所示的圖象表示的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】當兩個變量的積為定值時，兩個變量之間的函數關系可以用形如（k為常數，）的式子表示，由此逐項判斷即可．
【詳解】解：由函數圖象可知，這兩個變量之間成反比例函數關系，
①矩形的面積，因此矩形的面積一定時，一邊長y與它的鄰邊x可以用形如的式子表示，即滿足所給的函數圖象；
②耕地面積，因此耕地面積一定時，該村人均耕地面積S與全村總人口n可以用形如的式子表示，即滿足所給的函數圖象；
③汽車的行駛速度，因此汽車的行駛速度一定，行駛路程s與行駛時間t不可以用形如的式子表示，即不滿足所給的函數圖象；綜上可知：①②符合要求，故選A．
【點睛】本題考查反比例函數的應用，解題的關鍵是掌握反比例函數的定義．
◆變式訓練
1.（2023·湖北恩施·校考模擬預測）下列函數中，不是反比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據反比例函數解析式判斷求解．
【詳解】解：根據反比例函數解析式，知：A. ，符合定義，本選項不符合題意；
B. ，符合定義，本選項不符合題意；C. ，不符合定義，本選項符合題意；
D. ，得，符合定義，本選項不符合題意．故選：C．
【點睛】本題考查反比例函數的定義，理解解析式的特征是解題的關鍵．
2.（2023上·浙江九年級期中）已知函數是關于的反比例函數，則實數的值是 ．
【答案】
【分析】根據反比例函數的意義分別進行分析即可，形如： ()或或的函數是反比例函數．
【詳解】解：由題意得：，且，，故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數的定義，掌握反比例函數的幾種形式是解題的關鍵．()或或的函數是反比例函數．
◇典例2：（2023年重慶市中考數學真題）反比例函數的圖象一定經過的點是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意將各項的坐標代入反比例函數即可解答．
【詳解】解：將代入反比例函數得到，故項不符合題意；
項將代入反比例函數得到，故項不符合題意；
項將代入反比例函數得到，故項符合題意；
項將代入反比例函數得到，故項不符合題意；故選．
【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，只要點在函數圖象上則其坐標一定滿足函數解析式，掌握反比例函數圖象上點的坐標特征是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年廣東省中考數學真題）某蓄電池的電壓為，使用此蓄電池時，電流(單位：)與電阻(單位：)的函數表達式為，當時，的值為 ．
【答案】4
【分析】將代入中計算即可；
【詳解】解：∵，∴故答案為：4．
【點睛】本題考查已知自變量的值求函數值，掌握代入求值的方法是解題的關鍵．
2.（2023·陜西榆林·統考二模）若點在反比例函數的圖像上，則代數式 ．
【答案】
【分析】由點A在反比例函數圖像上，可以求出的值，然后再代入計算即可．
【詳解】解：∵點在反比例函數的圖像上，
∴，即，∴．故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數圖像上點的坐標特征，理解點在反比例函數圖像上可以得出點的橫縱坐標之積為定值是解答本題的關鍵．
■考點二　反比例函數的圖象與性質
◇典例3：（2023上·山東泰安·九年級統考期中）反比例函數的大致圖象是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數，當時，圖象位于第一象限和第三象限；當時，圖象位于第二象限和第四象限．根據反比例函數的圖象和性質即可進行解答．
【詳解】解：，，
反比例函數的圖象的兩個分支分別位于第二象限和第四象限，故選：B．
◆變式訓練
1．（2023·福建三明·統考一模）反比例函數的圖像如圖所示，則的值可以是下列中的（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根據反比例函圖像經過第二、四象限，此時，即可得出答案．
【詳解】解：由圖像可知，反比例函圖像經過第二、四象限，，，故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數的圖像，熟練掌握知反比例函數圖像所在的象限與k的關系是解題的關鍵．
2．（2023下·天津紅橋·九年級統考階段練習）已知一次函數（，為常數，）的圖象如圖所示，則正比例函數和反比例函數在同一坐標系中的圖象大致是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據一次函數（，為常數，）的圖象判定，確定圖象分布，判斷即可．
【詳解】解：根據一次函數（，為常數，）的圖象判定，
∴的圖象分布在二四象限，反比例函數的圖象分布在二四象限，故選：D．
【點睛】本題考查了一次函數圖象分布，反比例函數圖象的分布，熟練掌握圖象分布與k，m的關系是解題的關鍵．
◇典例4：（2023·廣東廣州·?？家荒＃┮阎幢壤瘮档膱D象在第二、第四象限，則a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查反比例函數圖象的性質．根據反比例函數的圖象位于二、四象限，則，解不等式即可得到a的取值范圍．
【詳解】解：∵反比例函數的圖象在第二、第四象限，，．故選：C．
◆變式訓練
1．（2023·福建莆田·?？既＃┤綦p曲線在第一、三象限，則k可以是 ．（寫出一個k的值即可）
【答案】2
【分析】根據反比例函數的圖象和性質，由即可解得答案．
【詳解】解∶∵反比例函數的圖象在第一、 三象限內．
∴．故答案為∶ 2 (答案不唯一，大于0即可) ．
【點睛】本題考查了反比例函數的圖象和性質∶當時，圖象分別位于第一、三象限；當時，圖象分別位于第二、四象限．
2.（2022·福建泉州·統考模擬預測）在反比例函數的圖像在某象限內，隨著的增大而減小，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用反比例函數增減性得出的取值范圍即可．
【詳解】解：根據題意，反比例函數的圖像在某象限內，隨著的增大而減小，
則有，解得．故選：D．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖像與性質，熟練掌握相關知識是解題關鍵．
◇典例5：（2023年湖北省武漢市數學真題）關于反比例函數，下列結論正確的是（ ）
A．圖像位于第二、四象限 B．圖像與坐標軸有公共點
C．圖像所在的每一個象限內，隨的增大而減小 D．圖像經過點，則
【答案】C
【分析】根據反比例函數的性質逐項排查即可解答．
【詳解】解：A．的圖像位于第一、三象限，故該選項不符合題意；
B． 的圖像與坐標軸沒有公共點，故該選項不符合題意；
C． 的圖像所在的每一個象限內，隨的增大而減小，故該選項符合題意；
D． 由的圖像經過點，則，計算得或，故不符合題意．故選C．
【點睛】本題主要考查反比例函數的性質，明確題意、正確利用反比例函數的性質是解答本題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·廣東深圳·深圳外國語學校?？寄M預測）關于函數，下列說法不正確的是（ ）
A．當時，y隨x的增大而增大
B．當時，y隨x的增大而增大
C．當時，若x越大，則對應的y值也越大
D．若、是其圖象上兩點，則不一定有
【答案】C
【分析】根據函數關系式畫出函數圖象，根據函數圖象，逐項判斷即可．
【詳解】解：函數的圖象如圖所示：

A、由圖示知，當時，y隨x的增大而增大．故本選項結論正確，不符合題意；
B、由圖示知，當時，y隨x的增大而增大．故本選項結論正確，不符合題意；
C、由圖示知，在同一象限內，當時，若x越大，則對應的y值也越大．若不在同一象限內則時，，時，，故本選項結論錯誤，符合題意；
D、由圖示知，若，，則．故本選項結論正確，不符合題意．故選：C．
【點睛】本題考查反比例函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數的增減性，反比例函數，當時，在每個象限內y隨x的增大而減小，當時，在每個象限內y隨x的增大而增大．
2．（2023·山西晉城·統考一模）已知反比例函數，則下列描述正確的是（　?。?br/>A．圖象位于第一、三象限 B．y隨x的增大而增大
C．圖象不可能與坐標軸相交 D．圖象必經過點
【答案】C
【分析】根據反比例函數的圖象性質進行逐項分析即可作答．
【詳解】解：A、∵，∴，∴函數的圖象在第二、四象限，故選項A不符合題意；
B、∵，∴，在每個象限內，y隨x的增大而增大，故選項B不符合題意；
C、反比例函數的圖象不可能與坐標軸相交，選項C符合題意；
D、當時，則，∴函數圖象經過點，故選項D不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數的圖象性質，當，反比例函數經過第一、三象限；當，反比例函數經過第二、四象限；難度較?。?br/>◇典例6：（2023年山東省濟南市中考數學真題）已知點，，都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系為（　　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據函數解析式中的比例系數確定函數圖象所在的象限，再根據各象限內點的坐標特點及函數的增減性解答．
【詳解】解：在反比例函數中，，此函數圖象在二、四象限，
，點，在第二象限，，，
函數圖象在第二象限內為增函數，，．
，點在第四象限，，，，的大小關系為．故選：C．
【點睛】此題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點及平面直角坐標系中各象限內點的坐標特點，比較簡單．
◆變式訓練
1．（2023年天津市中考數學真題）若點都在反比例函數的圖象上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據反比例函數的性質，進行判斷即可．
【詳解】解：，，∴雙曲線在二，四象限，在每一象限，隨的增大而增大；
∵，∴，∴；故選D．
【點睛】本題考查反比例函數的圖象和性質．熟練掌握反比例函數的性質，是解題的關鍵．
2．（2023年湖北省中考數學真題）在反比例函數的圖象上有兩點，當時，有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】據題意可得反比例函數的圖象在一三象限，進而可得，解不等式即可求解．
【詳解】解：∵當時，有，
∴反比例函數的圖象在一三象限，∴解得：，故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數圖象的性質，根據題意得出反比例函數的圖象在一三象限是解題的關鍵．
◇典例7：（2023·江蘇鹽城·統考二模）畫出反比例函數的大致圖象，結合圖象回答：
(1)當時，y的值；(2)當時，y的取值范圍；(3)當且時，x的取值范圍．
【答案】(1)；(2)(3)或
【分析】作出反比例函數圖象，如圖所示，（1）把代入反比例解析式求出y的值即可；
（2）分別求出與時y的值，結合圖象確定出y的范圍即可；
（3）分別求出與時x的值，結合圖象確定出x的范圍即可．
【詳解】（1）解：作出反比例函數的圖象，把代入得：；

（2）解：當時，；當時，，根據圖象得：當時，y的取值范圍為；
（3）解：當時，；當時，，
根據題意得：當且時，x的取值范圍為或．
【點睛】此題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，畫反比例函數的圖象，熟練掌握反函數的圖象是解本題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2022·陜西·中考真題）已知點A( 2，m)在一個反比例函數的圖象上，點A′與點A關于y軸對稱．若點A′在正比例函數的圖象上，則這個反比例函數的表達式為_______．
【答案】y=
【分析】根據點A與點A′關于y軸對稱，得到A′(2，m)，由點A′在正比例函數的圖象上，求得m的值，再利用待定系數法求解即可．
【詳解】解：∵點A與點A′關于y軸對稱，且A( 2，m)，∴A′(2，m)，
∵點A′在正比例函數的圖象上，∴m=×2，解得：m=1，∴A( 2，1)，
設這個反比例函數的表達式為y=，∵A( 2，1) 在這個反比例函數的圖象上，∴k=-2×1=-2，
∴這個反比例函數的表達式為y=，故答案為：y=．
【點睛】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征、關于x軸、y軸對稱的點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，求出m的值．
■考點三　反比例函數系數k的幾何意義
◇典例8：（2023年湖南省湘西初中學業水平數學試題）如圖，點A在函數的圖象上，點B在函數的圖象上，且軸，軸于點C，則四邊形的面積為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】延長交軸于點，根據反比例函數值的幾何意義得到，，根據四邊形的面積等于，即可得解．
【詳解】解：延長交軸于點，

∵軸，∴軸，∵點A在函數的圖象上，∴，
∵軸于點C，軸，點B在函數的圖象上，
∴，∴四邊形的面積等于；故選B．
【點睛】本題考查反比例函數與幾何圖形的綜合應用．熟練掌握反比例函數中的幾何意義，是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年湖南省湘潭市中考數學真題）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數圖像上的一點，過點A分別作軸于點M，軸于直N，若四邊形的面積為2．則k的值是（ ）

A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】證明四邊形是矩形，根據反比例函數的值的幾何意義，即可解答．
【詳解】解：軸于點M，軸于直N，，四邊形是矩形，
四邊形的面積為2， ，
反比例函數在第一、三象限，，故選：A．
【點睛】本題考查了矩形的判定，反比例函數的值的幾何意義，熟知在一個反比例函數圖像上任取一點，過點分別作x軸，y軸的垂線段，與坐標軸圍成的矩形面積為是解題的關鍵．
2．（2023年福建省中考真題數學試題）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數和的圖象的四個分支上，則實數的值為（　?。?br/>
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】如圖所示，點在上，證明，根據的幾何意義即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接正方形的對角線，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，點在上，

∵，，∴．
∴．∴．∵點在第二象限，∴．故選：A．
【點睛】本題考查了正方形的性質，反比例函數的的幾何意義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
◇典例9：（2023年湖北省黃石市中考數學真題）如圖，點和在反比例函數的圖象上，其中．過點A作軸于點C，則的面積為 ；若的面積為，則 ．

【答案】 2
【分析】根據，得出，根據三角形面積公式，即可求出的面積；過點B作軸于點D，交于點E，根據，，得出，進而得出，根據梯形面積公式，列出方程，化簡得，令，則，求出x的值，根據，得出，即，即可解答．
【詳解】解：∵，∴，∴，
過點B作軸于點D，交于點E，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，
∴，整理得：，
令，則，解得：（舍），，
∵，∴，即，∴，故答案為：，2．

【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質，解題的關鍵是掌握反比例函數圖象上點的坐標特征，靈活運用面積關系建立方程．
◆變式訓練
1. （2023年山東省棗莊市中考數學真題）如圖，在反比例函數的圖象上有等點，它們的橫坐標依次為1，2，3，…，2024，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為，則 ．

【答案】
【分析】求出…的縱坐標，從而可計算出…的高，進而求出…，從而得出的值．
【詳解】當時，的縱坐標為8，當時，的縱坐標為4，當時，的縱坐標為，
當時，的縱坐標為，當時，的縱坐標為，…則；
；；；…；
，
∴．故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數與幾何的綜合應用，解題的關鍵是求出．
2.（2022·廣東深圳·模擬預測）如圖，已知反比例函數圖象上一點A，以原點為位似中心得到第四象限的點B，位似比為，過點B作軸于點C，連接，則的面積為（ ）

A．6 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】根據點A在反比例函數圖象上，設，根據位似比為1∶2得，設過點B的反比例函數解析式為：，計算得，可得過點B的反比例函數解析式為：，根據反比例函數中k的幾何意義，可得的面積，再算出的面積即可得．
【詳解】解：∵點A在反比例函數圖象上，∴設，
∵以原點為位似中心得到第四象限的點B，位似比為1∶2，∴，
設過點B的反比例函數解析式為：，則，
∴過點B的反比例函數解析式為：，∴，
∵，∴，故選：A．
【點睛】本題考查了位似比，待定系數法求反比例函數，反比例函數k的幾何意義，解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點．
■考點四　反比例函數與一次函數綜合
◇典例10：（2023年湖北省襄陽市中考數學真題）在同一平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分兩種情況討論：當時，可排除B；當時，排除C、D．
【詳解】解：當時，反比例函數過一三象限，一次函數與y軸正半軸有交點，過一二三象限，故A正確，排除B；
當時，反比例函數過二四象限，一次函數與y軸負半軸有交點，過二三四象限，排除C、D；故選：A．
【點睛】本題考查反比例函數、一次函數綜合問題，掌握數形結合的思想是關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·湖南邵陽·統考一模）在同一坐標系中，函數和的圖象大致是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據一次函數和反比例函數圖象的性質進行判斷即可．
【詳解】解：∵兩個函數的比例系數均為k，∴兩個函數圖象必有交點，
交y軸的正半軸，符合這兩個條件的選項只有選項C，故C正確．故選：C．
【點睛】本題主要考查了一次函數和反比例函數圖象的綜合判斷，解題的關鍵是熟練掌握一次函數和反比例函數的性質．
◇典例11：（2023年內蒙古中考數學真題）如圖，直線與雙曲線交于點和點，則不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用數形相結合，借助圖象求出不等式的解集即可．
【詳解】解：∵把 ，直線與雙曲線交于點和點，∴當時，直線在雙曲線的下方且直線在x軸的上方，
∴不等式的解集是：，故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，反比例函數圖象上點的坐標特征，利用數形相結合的思想是解此題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，正比例函數和反比例函數的圖象交于，兩點，若，則的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】先利用對稱性求出點B的坐標為，再利用函數圖象法進行求解即可．
【詳解】解：∵正比例函數和反比例函數的圖象交于，兩點，
∴由對稱性可知，點B的坐標為，
由函數圖象可知，當或時，正比例函數圖象在反比例函數圖象的下方，即此時，
∴若，則的取值范圍是或，故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了正比例函數與反比例函數綜合，正確找出正比例函數圖象在反比例函數圖象的下方時自變量的取值范圍是解題的關鍵．
2．（2023年山東省濰坊市中考數學真題）如圖，在直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于A，B兩點，下列結論正確的是（ ）

A．當時， B．當時， C．當時， D．當時，
【答案】B
【分析】結合一次函數與反比例函數的圖象，逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、當時，，則此項錯誤，不符合題意；
B、當時，，則此項正確，符合題意；
C、當時，，則此項錯誤，不符合題意；
D、當時，，則此項錯誤，不符合題意；故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的圖象，熟練掌握函數圖象法是解題關鍵．
◇典例12：（2021·廣東江門·?？既＃┤鐖D，菱形的邊在x軸上，點A的坐標為，點在反比例函數的圖象上，直線經過點C，與y軸交于點E，與x軸交于點M，連接、．(1)求k、b的值；(2)求的面積；(3)在x軸上取點P，求出使取得最大值時點P的坐標．
【答案】(1)k的值為16，b的值為；(2)的面積為6(3)點P的坐標為
【分析】（1）將點代入反比例函數，利用待定系數法即可求出k的值；根據坐標兩點的公式，求得，再根據菱形的性質，得到，，進而得到，將代入，利用待定系數法即可求出b的值；
（2）先求出直線與坐標軸的交點坐標和，再求出 ，，即可得到的面積；
（3）作關于x軸的對稱點，連接，連接并延長交軸于，連接，根據坐標兩點的公式，求得，再根據軸對稱的性質，得到，進而得到，即當P、、C不構成三角形，即P、、C共線時，取最大值，此時P與重合，利用待定系數法求出直線的解析式為，令，即可求出點P的坐標．
【詳解】（1）解：點在反比例函數的圖象上，，解得：；
點A的坐標為，點D的坐標為，，
四邊形是菱形，，，軸，，
將代入，得：，解得：，的值為16，b的值為；
（2）解：由（1）知，直線解析式為，
令，則，令，則，解得：，，，，
點A的坐標為，，，
，，
；的面積為6；
（3）解：如圖，作關于x軸的對稱點，連接，連接并延長交軸于，連接， ，，，
、關于軸對稱，，，
當P、、C構成三角形時，，即，
當P、、C不構成三角形，即P、、C共線時，取最大值，此時P與重合，
設直線的解析式為，
，解得：，直線的解析式為，
令，則，解得：，，
取得最大值時，點P的坐標為．
【點睛】本題考查了坐標與圖形，代行系數法求函數解析式，坐標兩點的公式，菱形的性質，三角形面積問題，軸對稱的性質等知識，靈活運用相關知識點解決問題是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·廣東廣州·廣州市番禺區市橋星海中學?？家荒＃┮阎阂淮魏瘮担ǎ┑膱D像與反比例函數的圖像交于點和． (1)求一次函數的表達式；(2)將直線沿軸負方向平移個單位，平移后的直線與反比例函數圖像恰好只有一個交點，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）將點 和 代入反比例函數的解析式，求得的值，確定點坐標，然后利用待定系數法求一次函數解析式即可；（2）根據題意，寫出一次函數變化后的新的圖像的解析式，然后根據方程的根的判別式即可求得 值．
【詳解】（1）解：∵點和是反比例函數的圖像上的點，
∴，，解得，，∴，，
∵，在一次函數（）的圖像上，
∴，解得，所以，一次函數的表達式是；
（2）將直線沿軸負方向平移個單位，可得，
聯立，消去y可得，整理可得，
因為只有一個交點，所以，解得，
所以，將直線沿軸負方向平移個單位長度，平移后的直線與反比例函數圖像恰好只有一個交點．
【點睛】本題主要考查了反比例函數和一次函數的交點問題、用待定系數法求一次函數解析式，一次函數平移問題、一元二次方程的應用等知識，綜合運用相關知識是解此題的關鍵．
2．（2023·湖南婁底·九年級統考期末）如圖，四邊形為正方形．點A的坐標為，點B的坐標為，反比例函數的圖象經過點C，一次函數的圖象經過點C和點A．

(1)求反比例函數與一次函數的解析式；(2)寫出的解集；(3)點P是反比例函數圖象上的一點，若的面積恰好等于正方形的面積，求P點坐標．
【答案】(1)，(2)或(3)或
【分析】（1）根據正方形的性質求出點C坐標，然后利用待定系數法分別求出反比例函數與一次函數的解析式即可；（2）聯立兩函數解析式，求出交點坐標，然后根據函數圖象可得答案；（3）設P點的坐標為，根據的面積恰好等于正方形的面積列方程求出x，然后可得對應的P點坐標．
【詳解】（1）解：∵正方形，，，∴，∴，
把代入得：，∴，∴反比例函數解析式為；
把，代入一次函數得：，解得，
∴一次函數解析式為；
（2）聯立，解得：或，∴，，
由函數圖象可得，的解集是：或；
（3）設P點的坐標為，∵，∴，解得：，
當時，；當時，；∴P點的坐標為或．
【點睛】本題考查了正方形的性質，坐標與圖形性質，反比例函數與一次函數的交點問題，運用待定系數法求反比例函數以及一次函數的解析式，三角形的面積計算等知識．運用數形結合思想以及方程思想是解題的關鍵．
■考點五　反比例函數的實際應用
◇典例13：（2023下·江蘇蘇州·八年級?？计谥校榱隧憫熬G水青山就是金山銀山”的號召，建設生態文明，德州市某工廠自年月開始限產并進行治污改造，其月利潤萬元與月份之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數圖像的一部分，治污完成后是一次函數圖像的部分，下列選項錯誤的是（ ）
A．月份的利潤為萬元 B．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加萬元
C．月份該廠利潤達到萬元 D．治污改造完成前后共有個月的利潤低于萬元
【答案】D
【分析】利用已知點求出一次函數與反比例函數的解析式，然后逐項分析即可解答．
【詳解】解：A、設反比例函數的解析式為，把代入得，，
反比例函數的解析式為：，
∵當時，，月份的利潤為萬元，正確，不合題意；
B、治污改造完成后，從月到月，利潤從萬到萬，故每月利潤比前一個月增加萬元，正確，不合題意；C、設一次函數解析式為：，
則，解得：，故一次函數解析式為：，
當時，，解得：，
∴治污改造完成后的第個月，即月份該廠利潤達到萬元，正確，不合題意．
D、當時，，解得：，
∴只有月，月，月共個月的利潤低于萬元，不正確，符合題意．故選：D．
【點睛】本題主要考查了一次函數與反比函數的應用，正確求出函數解析是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·河北保定·統考一模）某種玻璃原材料需在環境保存，取出后勻速加熱至高溫，之后停止加熱，玻璃制品溫度會逐漸降低至室溫（），加熱和降溫過程中可以對玻璃進行加工，且玻璃加工的溫度要求不低于．玻璃溫度與時間的函數圖象如下，降溫階段y與x成反比例函數關系，根據圖象信息，以下判斷正確的是（ ）
A．玻璃加熱速度為 B．玻璃溫度下降時，y與x的函數關系式為
C．能夠對玻璃進行加工時長為 D．玻璃從降至室溫需要的時間為
【答案】C
【分析】根據圖象中的數據逐項分析求解即可．
【詳解】解：∵，∴玻璃加熱速度為，故A選項不合題意；
由題可得，在反比例函數圖象上，設反比例函數解析式為，
代入點可得，，∴玻璃溫度下降時，y與x的函數關系式是，
故B選項不合題意；∴設玻璃溫度上升時的函數表達式為，
由題可得，在正比例函數圖象上，代入點可得，，
∴玻璃溫度上升時，y與x的函數關系式是，
∴將代入，得，∴將代入，得，
∴，∴能夠對玻璃進行加工時長為，故C選項符合題意；
將代入得，，∴，
∴玻璃從降至室溫需要的時間為，故D選項不符合題意．故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數和一次函數的應用，讀懂函數圖像，獲取信息是解決本題的關鍵．
2．（2023·河南信陽·校考三模）濕度是指空氣的干濕程度，或含有的水蒸氣的多少，天氣預報中最常用的是相對濕度，相對濕度是空氣中實際水蒸氣含量與同溫度下的最大可容納水蒸氣含量的百分比值，符號為%RH．人體感覺舒適的濕度一般為40%RH~70%RH．如圖1所示為某實驗室的自動除濕機簡化后的電路圖，R為裝在除濕機內的濕敏電阻，其阻值隨相對濕度變化的圖象如圖2所示，當濕敏電阻R的阻值發生變化時，控制電路中線圈的電流I隨之發生變化，控制電路中總電阻（調控電阻和濕敏電阻R的阻值之和，其他忽略不計）與電流I的關系圖象如圖3所示，當電流大于或等于20mA時，L的兩個磁性彈片相互吸合，工作電路的壓縮機開始帶動系統進行除濕．下列說法不正確的是（ ）

A．相對濕度越高，濕敏電阻R的阻值越小
B．當相對濕度為35%RH時，濕敏電阻R的阻值為150Ω
C．當濕敏電阻R的阻值為50Ω時，實驗室內的相對濕度在人體感覺舒適的濕度范圍內
D．當相對濕度為45%RH時，若要壓縮機開始工作，則調控電阻的阻值不能低于500Ω
【答案】D
【分析】根據所給條件和函數圖象，逐條分析判斷即可．
【詳解】由題圖2，可知濕敏電阻R的阻值隨相對濕度的增大而減小，且當時，，故選項A，B說法正確，不符合題意．
當時，，在40%RH~70%RH范圍內，故選項C說法正確，不符合題意．
當時，濕敏電阻．若要壓縮機開始工作，則電流，．
∴調控電阻，故選項D說法錯誤，符合題意．故選D
【點睛】本題考查了函數及其圖象的意義，正確讀取圖象信息是解題的關鍵．還要明白在電壓一定時，電阻越大電流越?。?br/>1．（2023年浙江省嘉興市中考數學真題）已知點，，均在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據反比例函數的圖象與性質解答即可．
【詳解】解：∵，
∴圖象在一、三象限，且在每個象限內y隨x的增大而減小，
∵，∴．故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數的圖象與性質，反比例函數(k是常數，)的圖象是雙曲線，當，反比例函數圖象的兩個分支在第一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減?。划?，反比例函數圖象的兩個分支在第二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大．
2．（2023年廣東廣州中考數學真題）已知正比例函數的圖象經過點，反比例函數的圖象位于第一、第三象限，則一次函數的圖象一定不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根據正比例函數的圖象經過點，在第四象限，推出，根據反比例函數的圖象位于第一、第三象限，推出，則一次函數的圖象經過第一、二、四象限，即可解答．
【詳解】解：∵正比例函數的圖象經過點，在第四象限，
∴正比例函數經過二、四象限，∴，
∵反比例函數的圖象位于第一、第三象限，∴，
∴一次函數的圖象經過第一、二、四象限，
則一次函數的圖象一定不經過第三象限，故選：C．
【點睛】本題主要考查了一次函數的圖象和性質，反比例函數的圖象和性質，解題的關鍵是掌握一次函數和反比例函數的圖象和性質．
3．（2023年山東省泰安市中考數學真題）一次函數與反比例函數（a，b為常數且均不等于0）在同一坐標系內的圖象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據一次函數圖象確定a、b的符號，進而求出的符號，由此可以確定反比例函數圖象所在的象限，看是否一致即可．
【詳解】解：A、∵一次函數圖象經過第一、二、三象限，∴，∴，
∴反比例函數的圖象見過第一、三象限，這與圖形不符合，故A不符合題意；
B、∵一次函數圖象經過第一、二、四象限，∴，∴，
∴反比例函數的圖象見過第二、四象限，這與圖形不符合，故B不符合題意；
C、∵一次函數圖象經過第一、三、四象限，∴，∴，
∴反比例函數的圖象見過第二、四象限，這與圖形不符合，故C不符合題意；
D、∵一次函數圖象經過第一、二、四象限，∴，∴，
∴反比例函數的圖象見過第二、四象限，這與圖形符合，故D符合題意；故選D．
【點睛】本題主要考查了一次函數與反比例函數圖象和性質，熟練掌握相關性質與函數圖象的關系是解決本題的關鍵．
4．（2023年浙江省寧波市中考數學真題）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于兩點，點的橫坐標為1，點的橫坐標為，當時，的取值范圍是( )

A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】根據不等式與函數圖像的關系，當時，的取值范圍是指反比例函數在一次函數上方圖像對應的的取值范圍，數形結合即可得到答案．
【詳解】解：由圖可知，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于兩點，點的橫坐標為1，點的橫坐標為，
當或時，有反比例函數圖像在一次函數圖像上方，
即當時，的取值范圍是或，故選：B．
【點睛】本題考查由函數圖像解不等式，熟練掌握不等式與函數圖像的關系是解決問題的關鍵．
5．（2023年江蘇省淮安市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象分別與軸、軸交于兩點，且與反比例函數在第一象限內的圖象交于點．若點坐標為，則的值是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點作軸于點，則，可得，進而根據已知條件的，求得直線的解析式，將代入，得出點的坐標，代入反比例函數解析式，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作軸于點，則

∴∴ ∵,∴∴解得：
∵點在上，∴解得：
∴直線的解析式為當時，即
又反比例函數在第一象限內的圖象交于點∴,故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數的性質，待定系數法求一次函數解析式，相似三角形的性質與判定，求得點的坐標是解題的關鍵．
6．（2023年江蘇省宿遷市中考數學真題）如圖，直線、與雙曲線分別相交于點．若四邊形的面積為4，則的值是（ ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】連接四邊形的對角線，過作軸，過作軸，直線與軸交于點，如圖所示，根據函數圖像交點的對稱性判斷四邊形是平行四邊形，由平行四邊形性質及平面直角坐標系中三角形面積求法，確定，再求出直線與軸交于點，通過聯立求出縱坐標，代入方程求解即可得到答案．
【詳解】解：連接四邊形的對角線，過作軸，過作軸，直線與軸交于點，如圖所示：

根據直線、與雙曲線交點的對稱性可得四邊形是平行四邊形，
，
直線與軸交于點，當時，，即，
與雙曲線分別相交于點，
聯立，即，則，由，解得，
，即，解得，故選：A．
【點睛】本題考查一次函數與反比例函數綜合，涉及平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平面直角坐標系中三角形面積求法是解決問題的關鍵．
7．（2023年江蘇省南通市中考數學真題）某型號汽車行駛時功率一定，行駛速度（單位：m/s）與所受阻力（單位：N）是反比例函數關系，其圖象如圖所示．若該型號汽車在某段公路上行駛時速度為，則所受阻力為 ．

【答案】2500
【分析】根據題意得知函數成反比例函數，由圖中數據可以求出反比例函數的解析式，再將代入求的值．
【詳解】解：設功率為，由題可知，即，將，代入解得，
即反比例函數為：，將代入，得，故答案為：．
【點睛】本題考查反比例函數，熟練掌握將自變量代入解析式求得函數值是解題的關鍵．
8．（2023年山東省日照市中考數學真題）已知反比例函數（且）的圖象與一次函數的圖象共有兩個交點，且兩交點橫坐標的乘積，請寫出一個滿足條件的k值 ．
【答案】（滿足都可以）
【分析】先判斷出一次函數的圖象必定經過第二、四象限，再根據判斷出反比例函數圖象和一次函數圖象的兩個交點在同一象限，從而可以得到反比例函數的圖象經過第二、四象限，即，最終選取一個滿足條件的值即可．
【詳解】解：，一次函數的圖象必定經過第二、四象限，
，反比例函數圖象和一次函數圖象的兩個交點在同一象限，
反比例函數（且）的函數圖象經過第一、三象限，，∴，
∵，∴，∴滿足條件的k值可以為1.5，故答案為：1.5（滿足都可以）．
【點睛】本題考查一次函數和反比例函數的圖形性質，解題的關鍵是根據判斷出反比例函數圖象和一次函數圖象的兩個交點在同一象限．
9．（2023年河北省中考數學真題）如圖，已知點，反比例函數圖像的一支與線段有交點，寫出一個符合條件的k的數值： ．

【答案】4（答案不唯一，滿足均可）
【分析】先分別求得反比例函數圖像過A、B時k的值，從而確定k的取值范圍，然后確定符合條件k的值即可．
【詳解】解：當反比例函數圖像過時，；
當反比例函數圖像過時，；
∴k的取值范圍為∴k可以取4．故答案為4（答案不唯一，滿足均可）．
【點睛】本題主要考查了求反比例函數的解析式，確定邊界點的k的值是解答本題的關鍵．
10．（2023年浙江省杭州市中考數學真題）在直角坐標系中，已知，設函數與函數的圖象交于點和點．已知點的橫坐標是2，點的縱坐標是．
(1)求的值．(2)過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第二象限交于點；過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第四象限交于點．求證：直線經過原點．

【答案】(1)，(2)見解析
【分析】（1）首先將點的橫坐標代入求出點A的坐標，然后代入求出，然后將點的縱坐標代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根據題意畫出圖形，然后求出點C和點D的坐標，然后利用待定系數法求出所在直線的表達式，進而求解即可．
【詳解】（1）∵點的橫坐標是2，∴將代入
∴，∴將代入得，，∴，
∵點的縱坐標是，∴將代入得，，∴，
∴將代入得，，∴解得，∴；
（2）如圖所示，

由題意可得，，，∴設所在直線的表達式為，
∴，解得，∴，∴當時，，∴直線經過原點．
【點睛】此題考查了反比例函數和一次函數綜合，待定系數法求函數表達式等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
11．（2023年山東省棗莊市中考數學真題）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點．(1)求一次函數的表達式，并在所給的平面直角坐標系中畫出這個一次函數的圖象；(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集；(3)設直線與x軸交于點C，若為y軸上的一動點，連接，當的面積為時，求點P的坐標．

【答案】(1)，圖見解析(2)或(3)或
【分析】（1）先根據反比例函數的解析式，求出的坐標，待定系數法，求出一次函數的解析式即可，連接，畫出一次函數的圖象即可；（2）圖象法求出不等式的解集即可；（3）分點在軸的正半軸和負半軸，兩種情況進行討論求解．
【詳解】（1）解：∵一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點，∴，∴，∴，
∴，解得：，∴，圖象如圖所示：

（2）解：由圖象可知：不等式的解集為或；
（3）解：當點在軸正半軸上時：設直線與軸交于點，
∵，當時，，當時，，∴，
∴，∴，解得：；∴；
當點在軸負半軸上時：，

∴解得：或（不合題意，舍去）；
∴．綜上：或．
【點睛】本題考查一次函數與反比例函數的綜合應用．正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．
1．（2023·山西忻州·校聯考模擬預測）杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件”，要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等，即．如圖，鐵架臺左側鉤碼的個數與位置都不變，在保證杠桿水平平衡的條件下，右側力F與力臂L滿足的函數關系是（ ）

A．正比例函數關系 B．一次函數關系 C．反比例函數關系 D．二次函數關系
【答案】C
【分析】根據杠桿平衡條件：，并結合題意可得左側是定值，從而進行判斷．
【詳解】由杠桿平衡條件：，
∵鐵架臺左側鉤碼的個數與位置都不變，在保證杠桿水平平衡的條件下，右側采取變動鉤碼數量即改變力F，或調整鉤碼位置即改變力臂L，確保杠桿水平平衡，
∴右側力F與力臂L的乘積是定值，即右側力F與力臂L滿足反比例函數關系．故選：C
【點睛】本題考查反比例函數的性質，掌握反比例函數中，自變量x與函數值y的積是定值是解題的關鍵．
2．（2023·河南信陽·統考一模）下列圖象中，函數與在同一坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分別根據一次函數和反比例函數的圖象與性質逐項判斷即可．
【詳解】解：當時，函數的圖象在第一、二、三象限，反比例函數的圖象在第一、三象限；當時，函數的圖象在第二、三、四象限，反比例函數的圖象在第二、四象限，選項B正確，符合題意. 故選：B．
【點睛】本題考查一次函數和反比例函數的圖象與性質，熟練掌握一次函數和反比例函數的圖象與性質是解答的關鍵．
3．（2023·河南南陽·統考二模）已知雙曲線經過點，則下面說法錯誤的是（ ）
A．該雙曲線的解析式為 B．點在該雙曲線上
C．該雙曲線在第二、四象限 D．當時，y隨x增大而減小
【答案】D
【分析】根據反比例函數的性質，對選項逐個判斷即可．
【詳解】解：雙曲線經過點，可得，即，A選項正確，不符合題意；
將代入得，，B選項正確，不符合題意；
∵∴該雙曲線在第二、四象限，C選項正確，不符合題意；
當時，y隨x增大而增大，D選項錯誤，符合題意；故選：D
【點睛】此題考查了反比例函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數的有關性質．
4．（2023·湖北武漢·統考二模）已知，，，為雙曲線上的三個點，且，則以下判斷正確的是( )
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】根據反比例函數的性質，當時，圖象過二四象限，再根據 ，可判斷各選項內的取值范圍，進而求解．
【詳解】解：∵，∴雙曲線圖象在第二，四象限，
A、當時，不能判斷符號，選項錯誤，不符合題意；
B、當時，則，∴在第二象限，在第四象限，
∴，選項正確，符合題意．
C、當時，不能判斷符號，選項錯誤，不符合題意；
D、當 時，不能判斷符號，選項錯誤，不符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查反比例函數的圖象和性質．熟練掌握反比例函數的圖象和性質是解題的關鍵．
5．（2023·湖北武漢·?？寄M預測）若點，在反比例函數的圖象上，且，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據反比例函數的性質，進行判斷即可．
【詳解】解：∵，，∴雙曲線過一、三象限，在每一象限內，隨的增大而減小，
∵，∴在第三象限，在第一象限，∴，解得：；故選D．
【點睛】本題考查反比例函數的圖象和性質，熟練掌握反比例函數的性質，是解題的關鍵．
6．（2023上·山東德州·九年級統考期末）如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點．過點A作軸，垂足為M，連結BM．若，則k的值是（ ）
A．2 B． C．m D．4
【答案】A
【分析】設A坐標為，根據直線與雙曲線的對稱性得到點B坐標為，即可得到，根據點A在點第一象限，即可得到．
【詳解】解：設點A坐標為，由直線與雙曲線的對稱性得點A和點B關于原點對稱，
∴點B坐標為，∴，
∵點A在點第一象限，∴．故選：A
【點睛】本題主要考查了反比例函數的幾何意義和中心對稱性，熟知反比例函數的中心對稱性根據點A坐標確定點B的坐標是解題關鍵．
7．（2023·北京豐臺·二模）在平面直角坐標系中，反比例函數和的圖象如圖所示，k的值可以是 ．（寫出一個即可）．

【答案】2（答案不唯一）
【分析】先確定的取值范圍，然后在范圍內去一個值即可．
【詳解】如圖，在上任取一點，作軸，交與點，作軸，過點作軸，設，則，∴，．

∵，∴．∵，∴．∴k的值可以是2．故答案為：2．（答案不唯一）
【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
8．（2023·湖北隨州·統考模擬預測）如圖，C，D兩點在雙曲線（）上，A、B兩點在雙曲線（，）上，若軸，且，則三角形的面積 ．

【答案】
【分析】如圖，過點C作軸于點F，作軸于點G，過點D作軸于點E，則四邊形是矩形，設點C和點D的坐標，得到點A和點B的坐標，得到和的長，然后由列出方程，化簡得到a與b的關系，然后用切割法求得五邊形的面積，由反比例系數k的幾何意義求得、、矩形的面積，從而得到梯形的面積和的面積相等，最后求得的面積．
【詳解】解：如圖，過點C作軸于點F，過點D作軸于點E，

設，，∴點，，
∴，，，，，
∵，∴，化簡得，，
∴，
∵點C和點D在反比例函數上，∴，，
∴，∴，
∵，
∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，切割法求多邊形的面積，解題的關鍵是熟知反比例函數圖象上點的坐標特征．
9．（2023·山西陽泉·校聯考模擬預測）閱讀與思考
下面是小宇同學的一篇數學日記，請仔細閱讀并完成相應的任務．
今天是2023年5月8日（星期一），在下午數學活動課上，我們“騰飛”小組的同學，參加了一次“探索輸出功率與電阻函數關系的數學活動”．
第一步，我們根據物理知識，（表示電壓為定值6V，表示電流），通過測量電路中的電流計算電功率．
第二步，通過換用不同定值電阻，使電路中的總電阻成整數倍的變化．
第三步，計算收集數據如下：
... 5 10 15 20 25 ...
... 7.2 3.6 2.4 1.8 1.6 ...
第四步，數據分析，以的數值為橫坐標，的數值為縱坐標建立平面直角坐標系，在該坐標系中描出以表中數對為坐標的各點，并用光滑的曲線順次連接這些點．
數據分析中，我發現一組數據可能有明顯錯誤，重新實驗，證明了我的猜想正確，并對數據進行了修改.實驗結束后，大家有很多收獲，每人都撰寫了數學日記．
任務：(1)上面日記中，數據分析過程，主要運用的數學思想是______；
A．數形結合 B．類比思想 C．分類討論 D．方程思想
(2)你認為表中哪組數據是明顯錯誤的；并直接寫出關于的函數表達式；
(3)在下面平面直角坐標系中，畫出此函數的圖象；
(4)請直接寫出：若想大于30W，的取值范圍．
【答案】(1)A(2)，第五組數據是錯誤的(3)詳見解析(4)
【分析】（1）根據上面日記中，數據分析過程即可得到答案；（2）由和可得關于的函數表達式為，在代入數據即可判斷第幾組數據是錯誤的；（3）先描點，再用平滑的曲線連起來即可；（4）若想大于30W，則，解不等式即可得到答案．
【詳解】（1）解：上面日記中，數據分析過程，利用函數圖象來觀察功率與電阻的關系，主要運用的數學思想是數形結合；故答案為：A；
（2）解：由和可得關于的函數表達式為，
，，當時，不在函數表達式上，
時，是明顯錯誤的；P關于R的函數表達式是：；
（3）解：在該坐標系中描出表中前4組數據對為坐標的各點，并用光滑的曲線順次連接這些點，作出此函數的圖象如圖所示：
（4）解：若想大于30W，即，則，且，
則的取值范圍．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的實際應用，根據題意求出反比例函數的圖象，熟練掌握反比例函數的性質，采用數形結合的思想，是解題的關鍵．
10．（2023·湖南婁底·統考一模）如圖，函數的圖象過點和兩點．

(1)求和的值；(2)點是雙曲線上介于點和點之間的一個動點，若，求點的坐標；
(3)過點作，交軸于點，交軸于點，第二象限內是否存在點，使得是以為腰的等腰直角三角形 若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)和的值分別為，；(2)，(3)點或。
【分析】（1）將、兩點的坐標分別代入反比例函數解析式，解方程組得、的值；
（2）設點，過點做軸于點，交于點，以為底，由的面積解出點坐標；（3）先用待定系數法求得進而求出直線的解析式，再分兩種情況進行討論：①以為直角邊，為直角頂點；②以為直角邊，為直角頂點．再觀察圖形并利用點的移動特點寫出答案．
【詳解】（1）解：函數的圖像過點和兩點，
，解得，故和的值分別為，；
（2）解：，，設直線的解析式為：，
把代入，得，解得，∴直線的解析式為：，
過點作軸于點，交直線于點，

設，，，
，或（不符合題意舍去），
（3）解：，直線的解析式為：，設直線的解析式為：，
點在直線上，，，即，直線的解析式為：；
當時，，∴，當時，，∴，
根據題意，分兩種情況進行討論：①以為直角邊，為直角頂點；
如圖，過做軸于點，可知：，
，，
又，，又，
，，
故點到點的平移規律是：向左移個單位，向上移個單位得點坐標，
，且在第二象限，即；
②以為直角邊，為直角頂點；同①理得，將點向左移個單位，向上移個單位得點坐標，得．綜上所述：點或
【點睛】此題考查關于一次函數、反比例函數與動態三角形的綜合題，熟練運用待定系數法求函數解析式，準確完整地討論等腰直角三角形的各種可能的情況是解此題的關鍵．
11．（2023·四川成都·成都七中校考三模）直線：與y軸交于點C，反比例函數的圖象交于點、B．(1)求a的值及B的坐標；(2)在x軸上存在點D，使，求點D的坐標；(3)如圖2，將反比例函數的圖象沿直線：翻折得到一個封閉圖形（圖中陰影部分），若直線：與此封閉圖形有交點，求出滿足條件的k的取值范圍．

【答案】(1)；(2)點的坐標為或(3)
【分析】（1）先將點A坐標代入一次函數，求點A的坐標，將點A坐標代入反比例函數，求得的值，再列方程求得點B的坐標即可解答；（2）求出和的長，再利用三角函數求得點到的距離，利用三角形面積公式即可列方程，解答；（3）求出直線：與反比例函數，只有一個交點時的值和交點坐標，利用軸對稱的性質，求得該交點坐標在翻折后的對應點坐標，則直線：經過該對應點坐標時，與反比例函數翻折后的解析式也只有一個交點，求出此時的值，即可得到k的取值范圍．
【詳解】（1）解：代入，可得，解得，，
將代入，可得，解得，反比例函數的解析式為，
列方程，解得，，經檢驗，，是方程的解，
當時，，；
（2）解：如圖，畫出圖形，過點作的垂線段交于點E，當時，得，解得，

當時，得，，，，
設，故，，，
，可得方程，解得，，
點的坐標為或；
（3）解：列方程，整理得，
當和，只有一個交點時，只有一個解，
此時，即，解得，
當時，方程為，解得，和的交點為，
如圖，設和的交點為，設與反比例函數的圖象沿直線：翻折后的函數的交點為F，連接交于點，過點作軸的平行線交于點，連接，故，，，

當時，可得，解得，，，，
，，，
，點M的橫坐標為，
當時，可得，，，
將代入，可得，解得，
滿足條件的k的取值范圍為．
【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數綜合，根據一元二次方程根的情況求系數，軸對稱，解直角三角形，正確求出反比例函數，充分利用數形結合的思想是解題的關鍵．
1．（2023·浙江臺州·統考一模）若反比例函數的圖象經過點，則的取值范圍為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將點代入，求出的值，再根據，即可求出的取值范圍．
【詳解】反比例函數的圖象經過點，
故選D．
【點睛】本題考查了反比例函數，熟知將點坐標代入解析式左右相等是解題的關鍵．
2．（2023年湖南省張家界市中考數學真題）如圖，矩形的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點D在上，且，反比例函數的圖象經過點D及矩形的對稱中心M，連接．若的面積為3，則k的值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】設點的坐標為，根據矩形對稱中心的性質得出延長恰好經過點B，，確定，后結合圖形及反比例函數的意義，得出，代入求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，設點的坐標為，
∵矩形的對稱中心M，∴延長恰好經過點B，，

∵點D在上，且，∴，∴，
∴ ∵在反比例函數的圖象上，∴，
∵，∴，
解得：，∴，故選C．
【點睛】本題考查了矩形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．
3．（2023·江蘇南通·校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別落在雙曲線第一和第三象限的兩支上，連接，線段恰好經過原點O，以為腰作等腰三角形，，點C落在第四象限中，且軸，過點C作交x軸于E點，交雙曲線第一象限一支于D點，若的面積為，則k的值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】設，，則，根據已知條件，求出，，，根據，即可求出，連接，設與軸交于點，根據已知條件證明，得出，根據已知條件證明，過點A作軸于點M，求出，即可求出k的值．
【詳解】解：設，，，
∵，軸，，
設AB的函數關系式為：，把代入得：，解得：，
∵，，
設的關系式為：，把代入得：，解得：，
∴的關系式為：，聯立，解得：或，
∵點D在第一象限，∴，，
連接，設與軸交于點，，
∵，，
為的中點，，，，∴，
∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵，∴，∵，，
∵，∴，∴，
過點A作軸于點M，∵，，，
∴，，，，∴．故選：A．

【點睛】本題主要考查了反比例函數k值的意義，平行線的性質，平行四邊形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，作出輔助線，求出，是解題的關鍵．
4．（2022·福建三明·統考模擬預測）反比例函數（，為常數）和在第一象限內的圖象如圖所示，點在的圖象上，軸于點，交的圖象于點；軸于點，交的圖象于點，當點在的圖象上運動時，以下結論：
；四邊形的面積為；當時，點是的中點；
若，則四邊形為正方形．
其中正確的是 ．（把所有正確結論的序號都填在橫線上）

【答案】
【分析】由反比例函數的幾何意義可得答案；，進行計算即可得到答案；連接，根據已知條件得到，根據三角形的面積公式即可得到結論；由知，，解得：，得到不一定等于，從而得出結論．
【詳解】解：軸于點，交的圖象于點；軸于點，交的圖象于點，軸，軸，
點在反比例函數上，，故正確，符合題意；
點在的圖象上，軸于點，軸于點，，
，故正確，符合題意；
連接，，，
，
在函數的圖象上，點在的圖象上，
，，，，，
點是的中點，故正確，符合題意；
，由知，，解得：，
點在的圖象上運動，不一定等于，
四邊形不一定為正方形，與的取值無關，故錯誤；
綜上所述，正確的是：，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了反比例函數中的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引軸、軸垂線，所得矩形面積為，所得三角形的面積為，熟練掌握此知識點是解題的關鍵．
5．（2023·廣東深圳·?？寄M預測）閱讀材料：“三等分角”是數學史上一個著名問題．今天人們已經知道，僅用圓規和直尺是不可能作出的．在研究這個問題的過程中，數學家帕普斯借助函數給出了一種“三等分銳角”的方法，如圖1，步驟如下：
①建立直角坐標系，將已知銳角的頂點與原點O重合，角的一邊與x軸正方向重合；
②在直角坐標系中，繪制函數的圖象，圖象與已知角的另一邊交于點P；
③以P為圓心、以為半徑作弧，交函數的圖象于點R；
④分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，分別交于點M，點Q；
⑤連接，得到．則．
思考問題：(1)設，，求直線的函數解析式（用含a，b的代數式表示），并說明Q點在直線上；(2)證明：．(3)如圖2，若直線與反比例函數交于點C，D為反比例函數第一象限上的一個動點，使得．求用材料中的方法求出滿足條件D點坐標．
【答案】(1)，證明見解析(2)見解析(3)或
【分析】（1）由軸，軸，，，即可得出M點的坐標，即可，再將點Q的坐標代入解析式即可判斷點Q是否在直線上；（2）連接，交于點S，由矩形的性質和平行線的性質即可得到結論；（3）先求出點，可得，然后分兩種情況討論：當D點在下方時，當D點在上方時，即可求解．
【詳解】（1）解：設直線的函數表達式為，由題意得：，
∴四邊形為矩形，∵，，∴，，
把點代入得：，∴直線的函數表達式為，
∵的坐標滿足，∴點Q在直線上；
（2）解：連接，交于點S，

由題意得四邊形是矩形，∴，，，
∴，∴，∴
∵，∴．∴，
∵軸，∴，∴，即．
（3）解：∵直線與反比例函數交于點C，
∴，解得：或（舍去），∴，∴，
當D點在下方時，如圖，以C為圓心，為半徑畫弧，交反比例函數于點E，作軸，作軸，連接并延長交反比例與點F，作，連接，與交于點H，，，，
作于I，則，，，，
則，，即，
同理，當D點在上方時，有．
【點睛】此題在考查三等分角的作法時，綜合考查了待定系數法求函數解析式的方法、矩形的性質以及三角形外角的性質等，綜合性較強．
備考指南
知識導圖
知識清單
考點梳理
真題在線
專項練習
培優拓展
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第三章 函數
第三節 反比例函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 反比例函數的概念 ☆ 反比例函數也是非常重要的函數，年年都會考，總分值為12分左右，預計2024年各地中考一定還會考，反比例函數與一次函數結合出現在解答題中是各地中考必考的一個解答題，反比例函數的圖象與性質和平面幾何的知識結合、反比例函數中|k|的幾何意義等也會是小題考察的重點。
考點2 反比例函數的圖象和性質 ☆☆☆
考點3 反比例函數中|k|的幾何意義 ☆☆☆
考點4 反比例函數與一次函數的綜合 ☆☆☆
考點5 反比例函數的實際應用 ☆
■考點一　反比例函數的概念
反比例函數的概念：一般地，函數（k是常數，k≠0）叫做 ．
自變量x和函數值y的取值范圍都是 的任意實數．
■考點二　反比例函數的圖象和性質
1、反比例函數的圖象和性質
表達式 （k是常數，k≠0）
k k>0 k<0
大致圖象
所在象限 第 象限 第 象限
增減性 在每個象限內，y隨x的增大而 。 在每個象限內，y隨x的增大而 。
對稱性 軸對稱圖形（對稱軸為直線y=x和y=-x），中心對稱圖形（對稱中心為原點）
2、待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟
1）設反比例函數解析式（k≠0）；2）把已知一對x，y的值代入 ，得到一個關于待定系數k的方程；3）解這個方程求出待定系數k；4）將所求得的待定系數k的值代回所設的函數解析式．
■考點三　反比例函數中|k|的幾何意義
1）反比例函數圖象中有關圖形的面積
2）涉及三角形的面積型
當一次函數與反比例函數結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．
（1）正比例函數與一次函數所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如圖②，已知一次函數與反比例函數交于A、B兩點，且一次函數與x軸交于點C，
則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如圖③，已知反比例函數的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
■考點四　反比例函數與一次函數的綜合
1.涉及自變量取值范圍型
當一次函數與反比例函數相交時，聯立兩個解析式，構造方程組，然后求出 。若求時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數的圖象 反比例函數圖象的部分所對應的x的范圍；反之亦然。
2.求一次函數與反比例函數的交點坐標
（1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定：①k值同號，兩個函數必有 ；②k值異號，兩個函數可 交點，可有 交點，可有 交點；
（2）從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的 的情況．
■考點五　反比例函數的實際應用
解決反比例函數的實際問題時，先確定 ，再 找出解決問題的方案，特別注意 取值范圍．
■易錯提示
1.反比例函數的圖象不是連續的，因此在談到反比例函數的增減性時，都是在各自象限內的增減情況．當k>0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統地說當k>0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當k<0時，也不能籠統地說y隨x的增大而增大．
2.利用|k|的幾何意義求出的k帶有絕對值，需要結合圖象分布象限來確定具體的符號。
■考點一　反比例函數的定義
◇典例1：（2023·北京朝陽·統考一模）下面的三個問題中都有兩個變量：
①矩形的面積一定，一邊長與它的鄰邊；
②某村的耕地面積一定，該村人均耕地面積與全村總人口；
③汽車的行駛速度一定，行駛路程與行駛時間．
其中，兩個變量之間的函數關系可以用如圖所示的圖象表示的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
◆變式訓練
1.（2023·湖北恩施·?？寄M預測）下列函數中，不是反比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023上·浙江九年級期中）已知函數是關于的反比例函數，則實數的值是 ．
◇典例2：（2023年重慶市中考數學真題）反比例函數的圖象一定經過的點是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023年廣東省中考數學真題）某蓄電池的電壓為，使用此蓄電池時，電流(單位：)與電阻(單位：)的函數表達式為，當時，的值為 ．
2.（2023·陜西榆林·統考二模）若點在反比例函數的圖像上，則代數式 ．
■考點二　反比例函數的圖象與性質
◇典例3：（2023上·山東泰安·九年級統考期中）反比例函數的大致圖象是（　?。?br/>A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·福建三明·統考一模）反比例函數的圖像如圖所示，則的值可以是下列中的（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（2023下·天津紅橋·九年級統考階段練習）已知一次函數（，為常數，）的圖象如圖所示，則正比例函數和反比例函數在同一坐標系中的圖象大致是（　?。?br/>A． B． C． D．
◇典例4：（2023·廣東廣州·?？家荒＃┮阎幢壤瘮档膱D象在第二、第四象限，則a的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·福建莆田·校考三模）若雙曲線在第一、三象限，則k可以是 ．（寫出一個k的值即可）
2.（2022·福建泉州·統考模擬預測）在反比例函數的圖像在某象限內，隨著的增大而減小，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
◇典例5：（2023年湖北省武漢市數學真題）關于反比例函數，下列結論正確的是（ ）
A．圖像位于第二、四象限 B．圖像與坐標軸有公共點
C．圖像所在的每一個象限內，隨的增大而減小 D．圖像經過點，則
◆變式訓練
1.（2023·廣東深圳·深圳外國語學校校考模擬預測）關于函數，下列說法不正確的是（ ）
A．當時，y隨x的增大而增大
B．當時，y隨x的增大而增大
C．當時，若x越大，則對應的y值也越大
D．若、是其圖象上兩點，則不一定有
2．（2023·山西晉城·統考一模）已知反比例函數，則下列描述正確的是（　?。?br/>A．圖象位于第一、三象限 B．y隨x的增大而增大
C．圖象不可能與坐標軸相交 D．圖象必經過點
◇典例6：（2023年山東省濟南市中考數學真題）已知點，，都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系為（　　?。?br/>A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023年天津市中考數學真題）若點都在反比例函數的圖象上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年湖北省中考數學真題）在反比例函數的圖象上有兩點，當時，有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
◇典例7：（2023·江蘇鹽城·統考二模）畫出反比例函數的大致圖象，結合圖象回答：
(1)當時，y的值；(2)當時，y的取值范圍；(3)當且時，x的取值范圍．
◆變式訓練
1. （2022·陜西·中考真題）已知點A( 2，m)在一個反比例函數的圖象上，點A′與點A關于y軸對稱．若點A′在正比例函數的圖象上，則這個反比例函數的表達式為_______．
■考點三　反比例函數系數k的幾何意義
◇典例8：（2023年湖南省湘西初中學業水平數學試題）如圖，點A在函數的圖象上，點B在函數的圖象上，且軸，軸于點C，則四邊形的面積為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
◆變式訓練
1．（2023年湖南省湘潭市中考數學真題）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數圖像上的一點，過點A分別作軸于點M，軸于直N，若四邊形的面積為2．則k的值是（ ）

A．2 B． C．1 D．
2．（2023年福建省中考真題數學試題）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數和的圖象的四個分支上，則實數的值為（　　）

A． B． C． D．3
◇典例9：（2023年湖北省黃石市中考數學真題）如圖，點和在反比例函數的圖象上，其中．過點A作軸于點C，則的面積為 ；若的面積為，則 ．

◆變式訓練
1. （2023年山東省棗莊市中考數學真題）如圖，在反比例函數的圖象上有等點，它們的橫坐標依次為1，2，3，…，2024，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為，則 ．

2.（2022·廣東深圳·模擬預測）如圖，已知反比例函數圖象上一點A，以原點為位似中心得到第四象限的點B，位似比為，過點B作軸于點C，連接，則的面積為（ ）

A．6 B．8 C． D．
■考點四　反比例函數與一次函數綜合
◇典例10：（2023年湖北省襄陽市中考數學真題）在同一平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
◆變式訓練
1.（2023·湖南邵陽·統考一模）在同一坐標系中，函數和的圖象大致是（　?。?br/>A． B． C． D．
◇典例11：（2023年內蒙古中考數學真題）如圖，直線與雙曲線交于點和點，則不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
◆變式訓練
1．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，正比例函數和反比例函數的圖象交于，兩點，若，則的取值范圍是 ．
2．（2023年山東省濰坊市中考數學真題）如圖，在直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于A，B兩點，下列結論正確的是（ ）

A．當時， B．當時， C．當時， D．當時，
◇典例12：（2021·廣東江門·?？既＃┤鐖D，菱形的邊在x軸上，點A的坐標為，點在反比例函數的圖象上，直線經過點C，與y軸交于點E，與x軸交于點M，連接、．(1)求k、b的值；(2)求的面積；(3)在x軸上取點P，求出使取得最大值時點P的坐標．
◆變式訓練
1．（2023·廣東廣州·廣州市番禺區市橋星海中學校考一模）已知：一次函數（）的圖像與反比例函數的圖像交于點和． (1)求一次函數的表達式；(2)將直線沿軸負方向平移個單位，平移后的直線與反比例函數圖像恰好只有一個交點，求的值．
2．（2023·湖南婁底·九年級統考期末）如圖，四邊形為正方形．點A的坐標為，點B的坐標為，反比例函數的圖象經過點C，一次函數的圖象經過點C和點A．
(1)求反比例函數與一次函數的解析式；(2)寫出的解集；(3)點P是反比例函數圖象上的一點，若的面積恰好等于正方形的面積，求P點坐標．

■考點五　反比例函數的實際應用
◇典例13：（2023下·江蘇蘇州·八年級?？计谥校榱隧憫熬G水青山就是金山銀山”的號召，建設生態文明，德州市某工廠自年月開始限產并進行治污改造，其月利潤萬元與月份之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數圖像的一部分，治污完成后是一次函數圖像的部分，下列選項錯誤的是（ ）
A．月份的利潤為萬元 B．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加萬元
C．月份該廠利潤達到萬元 D．治污改造完成前后共有個月的利潤低于萬元
◆變式訓練
1．（2023·河北保定·統考一模）某種玻璃原材料需在環境保存，取出后勻速加熱至高溫，之后停止加熱，玻璃制品溫度會逐漸降低至室溫（），加熱和降溫過程中可以對玻璃進行加工，且玻璃加工的溫度要求不低于．玻璃溫度與時間的函數圖象如下，降溫階段y與x成反比例函數關系，根據圖象信息，以下判斷正確的是（ ）
A．玻璃加熱速度為 B．玻璃溫度下降時，y與x的函數關系式為
C．能夠對玻璃進行加工時長為 D．玻璃從降至室溫需要的時間為
2．（2023·河南信陽·?？既＃穸仁侵缚諝獾母蓾癯潭?，或含有的水蒸氣的多少，天氣預報中最常用的是相對濕度，相對濕度是空氣中實際水蒸氣含量與同溫度下的最大可容納水蒸氣含量的百分比值，符號為%RH．人體感覺舒適的濕度一般為40%RH~70%RH．如圖1所示為某實驗室的自動除濕機簡化后的電路圖，R為裝在除濕機內的濕敏電阻，其阻值隨相對濕度變化的圖象如圖2所示，當濕敏電阻R的阻值發生變化時，控制電路中線圈的電流I隨之發生變化，控制電路中總電阻（調控電阻和濕敏電阻R的阻值之和，其他忽略不計）與電流I的關系圖象如圖3所示，當電流大于或等于20mA時，L的兩個磁性彈片相互吸合，工作電路的壓縮機開始帶動系統進行除濕．下列說法不正確的是（ ）

A．相對濕度越高，濕敏電阻R的阻值越小
B．當相對濕度為35%RH時，濕敏電阻R的阻值為150Ω
C．當濕敏電阻R的阻值為50Ω時，實驗室內的相對濕度在人體感覺舒適的濕度范圍內
D．當相對濕度為45%RH時，若要壓縮機開始工作，則調控電阻的阻值不能低于500Ω
1．（2023年浙江省嘉興市中考數學真題）已知點，，均在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2023年廣東廣州中考數學真題）已知正比例函數的圖象經過點，反比例函數的圖象位于第一、第三象限，則一次函數的圖象一定不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023年山東省泰安市中考數學真題）一次函數與反比例函數（a，b為常數且均不等于0）在同一坐標系內的圖象可能是（ ）
A．B． C． D．
4．（2023年浙江省寧波市中考數學真題）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于兩點，點的橫坐標為1，點的橫坐標為，當時，的取值范圍是( )

A．或 B．或 C．或 D．或
5．（2023年江蘇省淮安市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象分別與軸、軸交于兩點，且與反比例函數在第一象限內的圖象交于點．若點坐標為，則的值是（ ）．

A． B． C． D．
6．（2023年江蘇省宿遷市中考數學真題）如圖，直線、與雙曲線分別相交于點．若四邊形的面積為4，則的值是（ ）

A． B． C． D．1
7．（2023年江蘇省南通市中考數學真題）某型號汽車行駛時功率一定，行駛速度（單位：m/s）與所受阻力（單位：N）是反比例函數關系，其圖象如圖所示．若該型號汽車在某段公路上行駛時速度為，則所受阻力為 ．

8．（2023年山東省日照市中考數學真題）已知反比例函數（且）的圖象與一次函數的圖象共有兩個交點，且兩交點橫坐標的乘積，請寫出一個滿足條件的k值 ．
9．（2023年河北省中考數學真題）如圖，已知點，反比例函數圖像的一支與線段有交點，寫出一個符合條件的k的數值： ．

10．（2023年浙江省杭州市中考數學真題）在直角坐標系中，已知，設函數與函數的圖象交于點和點．已知點的橫坐標是2，點的縱坐標是．
(1)求的值．(2)過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第二象限交于點；過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第四象限交于點．求證：直線經過原點．

11．（2023年山東省棗莊市中考數學真題）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點．(1)求一次函數的表達式，并在所給的平面直角坐標系中畫出這個一次函數的圖象；(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集；(3)設直線與x軸交于點C，若為y軸上的一動點，連接，當的面積為時，求點P的坐標．

1．（2023·山西忻州·校聯考模擬預測）杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件”，要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等，即．如圖，鐵架臺左側鉤碼的個數與位置都不變，在保證杠桿水平平衡的條件下，右側力F與力臂L滿足的函數關系是（ ）

A．正比例函數關系 B．一次函數關系 C．反比例函數關系 D．二次函數關系
2．（2023·河南信陽·統考一模）下列圖象中，函數與在同一坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南南陽·統考二模）已知雙曲線經過點，則下面說法錯誤的是（ ）
A．該雙曲線的解析式為 B．點在該雙曲線上
C．該雙曲線在第二、四象限 D．當時，y隨x增大而減小
4．（2023·湖北武漢·統考二模）已知，，，為雙曲線上的三個點，且，則以下判斷正確的是( )
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
5．（2023·湖北武漢·?？寄M預測）若點，在反比例函數的圖象上，且，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·山東德州·九年級統考期末）如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點．過點A作軸，垂足為M，連結BM．若，則k的值是（ ）
A．2 B． C．m D．4
7．（2023·北京豐臺·二模）在平面直角坐標系中，反比例函數和的圖象如圖所示，k的值可以是 ．（寫出一個即可）．

8．（2023·湖北隨州·統考模擬預測）如圖，C，D兩點在雙曲線（）上，A、B兩點在雙曲線（，）上，若軸，且，則三角形的面積 ．

9．（2023·山西陽泉·校聯考模擬預測）閱讀與思考
下面是小宇同學的一篇數學日記，請仔細閱讀并完成相應的任務．
今天是2023年5月8日（星期一），在下午數學活動課上，我們“騰飛”小組的同學，參加了一次“探索輸出功率與電阻函數關系的數學活動”．
第一步，我們根據物理知識，（表示電壓為定值6V，表示電流），通過測量電路中的電流計算電功率．
第二步，通過換用不同定值電阻，使電路中的總電阻成整數倍的變化．
第三步，計算收集數據如下：
... 5 10 15 20 25 ...
... 7.2 3.6 2.4 1.8 1.6 ...
第四步，數據分析，以的數值為橫坐標，的數值為縱坐標建立平面直角坐標系，在該坐標系中描出以表中數對為坐標的各點，并用光滑的曲線順次連接這些點．
數據分析中，我發現一組數據可能有明顯錯誤，重新實驗，證明了我的猜想正確，并對數據進行了修改.實驗結束后，大家有很多收獲，每人都撰寫了數學日記．
任務：(1)上面日記中，數據分析過程，主要運用的數學思想是______；
A．數形結合 B．類比思想 C．分類討論 D．方程思想
(2)你認為表中哪組數據是明顯錯誤的；并直接寫出關于的函數表達式；
(3)在下面平面直角坐標系中，畫出此函數的圖象；
(4)請直接寫出：若想大于30W，的取值范圍．
10．（2023·湖南婁底·統考一模）如圖，函數的圖象過點和兩點．
(1)求和的值；(2)點是雙曲線上介于點和點之間的一個動點，若，求點的坐標；
(3)過點作，交軸于點，交軸于點，第二象限內是否存在點，使得是以為腰的等腰直角三角形 若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

11．（2023·四川成都·成都七中?？既＃┲本€：與y軸交于點C，反比例函數的圖象交于點、B．(1)求a的值及B的坐標；(2)在x軸上存在點D，使，求點D的坐標；(3)如圖2，將反比例函數的圖象沿直線：翻折得到一個封閉圖形（圖中陰影部分），若直線：與此封閉圖形有交點，求出滿足條件的k的取值范圍．

1．（2023·浙江臺州·統考一模）若反比例函數的圖象經過點，則的取值范圍為（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023年湖南省張家界市中考數學真題）如圖，矩形的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點D在上，且，反比例函數的圖象經過點D及矩形的對稱中心M，連接．若的面積為3，則k的值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023·江蘇南通·校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別落在雙曲線第一和第三象限的兩支上，連接，線段恰好經過原點O，以為腰作等腰三角形，，點C落在第四象限中，且軸，過點C作交x軸于E點，交雙曲線第一象限一支于D點，若的面積為，則k的值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．
4．（2022·福建三明·統考模擬預測）反比例函數（，為常數）和在第一象限內的圖象如圖所示，點在的圖象上，軸于點，交的圖象于點；軸于點，交的圖象于點，當點在的圖象上運動時，以下結論：
；四邊形的面積為；當時，點是的中點；
若，則四邊形為正方形．
其中正確的是 ．（把所有正確結論的序號都填在橫線上）

5．（2023·廣東深圳·?？寄M預測）閱讀材料：“三等分角”是數學史上一個著名問題．今天人們已經知道，僅用圓規和直尺是不可能作出的．在研究這個問題的過程中，數學家帕普斯借助函數給出了一種“三等分銳角”的方法，如圖1，步驟如下：
①建立直角坐標系，將已知銳角的頂點與原點O重合，角的一邊與x軸正方向重合；
②在直角坐標系中，繪制函數的圖象，圖象與已知角的另一邊交于點P；
③以P為圓心、以為半徑作弧，交函數的圖象于點R；
④分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，分別交于點M，點Q；
⑤連接，得到．則．
思考問題：(1)設，，求直線的函數解析式（用含a，b的代數式表示），并說明Q點在直線上；(2)證明：．(3)如圖2，若直線與反比例函數交于點C，D為反比例函數第一象限上的一個動點，使得．求用材料中的方法求出滿足條件D點坐標．
備考指南
知識導圖
知識清單
考點梳理
真題在線
專項練習
培優拓展
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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