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第三章 函數
第五節 二次函數的應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次函數的實際應用 ☆☆ 二次函數的應用在中考中較為常見，其中，二次函數在實際生活中的應用多為選填題，出題率不是特別高，一般需要根據題意自行建立二次函數模型；而利用二次函數圖象解決實際問題和最值問題則多為解答題，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數據較大，還需根據實際情況判斷所求結果是否合適，需要考生在做題過程中更為細心對待。
考點2 二次函數的幾何問題 ☆☆☆
■考點一　二次函數的實際應用
1.用二次函數解決實際問題的一般步驟：
1）審：仔細 審題 ，理清 題意 ；
2）設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的 未知數 ；
3）列：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的 解析式 ；
4）解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖象和性質等求解實際問題；
5）檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.
2.利用二次函數解決利潤最值的方法：巧設未知數，根據利潤公式列出函數關系式，再利用二次函數的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。
3.利用二次函數解決拱橋（門）/隧道/噴泉/球類運行軌跡類問題的方法：先建立適當的 平面直角坐標系 ，再根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線的解析式，最后根據圖象信息解決實際問題。
4.利用二次函數解決面積最值的方法：先找好自變量及范圍，再利用相關的圖形面積公式，列出函數關系式，最后利用函數的最值解決面積最值問題。
5.利用二次函數解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的 坐標 或表示出與動點有關的線段 長度 ，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．
■考點二　二次函數的幾何問題
二次函數與幾何知識聯系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關系為紐帶，把二次函數常與全相似、最大(小)面積、周長等結合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐標和線段長度的聯系，從圖形中建立 二次函數 的模型，從而使問題得到解決，解這類問題的關鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數的有關性質和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題目的。
1.二次函數與幾何圖形的長度（面積）問題
二次函數與幾何圖形的長度（面積）問題一般是利用距離或面積公式表示出圖形長度（面積）的函數關系式（一般是二次函數的表達式），再利用函數的解析式的特點求長度（面積）的最值問題；此外還會涉及到長度（面積）相等、給出長度（面積）的值等問題，其核心處理方法都是表示出長度（面積）的表達式，再去研究相關的性質。
2.二次函數與特殊三角形
1）在二次函數的圖象中研究等腰三角形的問題，需要注意分類討論思想的應用，找準頂角與底角分類討論的關鍵，借助等腰三角形的等邊對等角、等角對等邊、三線合一等性質來轉化已知條件是常用的處理手段；
2）在二次函數的圖象中研究直角三角形的問題，需要注意分類討論思想的應用，找準直角頂點是分類討論的關鍵，借助直角三角形的勾股定理，兩銳角互補等性質來轉化已知條件是常用的處理手段。
3.二次函數特殊平行四邊形
在二次函數的圖象中研究平行四邊形的問題常會用到平行四邊形的一些性質之間的轉化，同時此類問題也會涉及到矩形、菱形、正方形的確定，其分析思想是互通的。
4.二次函數與線段和、差的最值問題
在二次函數的圖象中研究線段的和、差最值問題,一般會用到將軍飲馬、胡不歸、阿氏圓、瓜豆原理等來解決相關最值問題。
5.利用二次函數解決存在性問題的方法：一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的 坐標 ；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段 長度 或其他點的 坐標 等；最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．
■易錯提示
1. 二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．
■考點一　二次函數的實際應用
◇典例1：（2023年浙江省湖州市中考數學真題）某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）存在一次函數關系，部分數據如下表所示：
銷售價格x（元/千克） 50 40
日銷售量y（千克） 100 200
(1)試求出y關于x的函數表達式．(2)設該經銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？
【答案】(1)
(2)銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元
【分析】（1）設y與x之間的函數關系式為，由表中數據即可得出結論；
（2）根據每日總利潤=每千克利潤×銷售量列出函數解析式，根據函數的性質求最值即可．
【詳解】（1）解：設y關于x的函數表達式為．
將和分別代入，得：，解得：，
∴y關于x的函數表達式是：；
（2）解：，
∵，∴當時，在的范圍內，
W取到最大值，最大值是2250．
答：銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元．
【點睛】本題考查一次函數、二次函數的應用，關鍵是根據等量關系寫出函數解析式．
◆變式訓練
1.（2023年湖南省益陽市中考數學真題）某企業準備對A，B兩個生產性項目進行投資，根據其生產成本、銷售情況等因素進行分析得知：投資A項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數表達式為：，投資B項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數表達式為：．(1)若將10萬元資金投入A項目，一年后獲得的收益是多少？(2)若對A，B兩個項目投入相同的資金m（）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，則m的值是多少？(3)2023年，我國對小微企業施行所得稅優惠政策．該企業將根據此政策獲得的減免稅款及其他結余資金共計32萬元，全部投入到A，B兩個項目中，當A，B兩個項目分別投入多少萬元時，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？
【答案】(1)4萬元(2)
(3)當A，B兩個項目分別投入28萬，4萬元時，一年后獲得的收益之和最大，最大值是16萬元．
【分析】（1）把代入可得答案；（2）當時，可得，再解方程可得答案；（3）設投入到B項目的資金為萬元，則投入到A項目的資金為萬元，設總收益為y萬元，，而，再利用二次函數的性質可得答案．
【詳解】（1）解：∵投資A項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數表達式為：，
當時，（萬元）；
（2）∵對A，B兩個項目投入相同的資金m（）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，
∴，整理得：，
解得：，（不符合題意），∴m的值為8．
（3）
設投入到B項目的資金為萬元，則投入到A項目的資金為萬元，設總收益為y萬元，
∴，
而，∴當時，（萬元）；
∴當A，B兩個項目分別投入28萬，4萬元時，一年后獲得的收益之和最大，最大值是16萬元．
【點睛】本題考查的是正比例函數的性質，一元二次方程的解法，列二次函數的解析式，二次函數的性質，理解題意，選擇合適的方法解題是關鍵．
2．（2023年江蘇省泰州市中考數學真題）某公司的化工產品成本為30元/千克．銷售部門規定：一次性銷售1000千克以內時，以50元/千克的價格銷售；一次性銷售不低于1000千克時，每增加1千克降價元．考慮到降價對利潤的影響，一次性銷售不低于1750千克時，均以某一固定價格銷售．一次性銷售利潤y（元）與一次性銷售量x（千克）的函數關系如圖所示．

(1)當一次性銷售800千克時利潤為多少元？(2)求一次性銷售量在之間時的最大利潤；
(3)當一次性銷售多少千克時利潤為22100元？
【答案】(1)當一次性銷售800千克時利潤為16000元；(2)一次性銷售量在之間時的最大利潤為22500元；(3)當一次性銷售為1300或1700千克時利潤為22100元．
【分析】（1）用銷售量×利潤計算即可；（2）根據一次性銷售不低于1000千克時，每增加1千克降價元求出銷售單價，再乘以銷售量即可列出函數解析式，再根據函數的性質求最值；
（3）根據（2）中解析式，令y=22100，解方程即可．
【詳解】（1）解：根據題意，當時，，
∴當一次性銷售800千克時利潤為16000元；
（2）解：設一次性銷售量在之間時，銷售價格為，
∴，
∵，，∴當時，y有最大值，最大值為22500，
∴一次性銷售量在之間時的最大利潤為22500元；
（3）解：由（2）知，當時，，
∴當一次性銷售量在之間時，利潤為22100元，
∴，解得，
∴當一次性銷售為1300或1700千克時利潤為22100元．
【點睛】本題考查二次函數的應用，根據等量關系列出函數解析式，掌握二次函數的性質是解答本題的關鍵．
◇典例2：（2023年河南省中考數學真題）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數學知識對羽毛球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網與y軸的水平距離，，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足一次函數關系；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足二次函數關系．

(1)求點P的坐標和a的值．(2)小林分析發現，上面兩種擊球方式均能使球過網．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．
【答案】(1)，，(2)選擇吊球，使球的落地點到C點的距離更近
【分析】（1）在一次函數上，令，可求得，再代入即可求得的值；（2）由題意可知，令，分別求得，，即可求得落地點到點的距離，即可判斷誰更近．
【詳解】（1）解：在一次函數，令時，，∴，
將代入中，可得：，解得：；
（2）∵，，∴，
選擇扣球，則令，即：，解得：，
即：落地點距離點距離為，∴落地點到C點的距離為，
選擇吊球，則令，即：，解得：（負值舍去），
即：落地點距離點距離為，∴落地點到C點的距離為，
∵，∴選擇吊球，使球的落地點到C點的距離更近．
【點睛】本題考查二次函數與一次函數的應用，理解題意，求得函數解析式是解決問題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023年浙江省嘉興市中考數學真題）根據以下素材，探究完成任務．
如何把實心球擲得更遠？
素材1
小林在練習投擲實心球，其示意圖如圖，第一次練習時，球從點A處被拋出，其路線是拋物線．點A距離地面，當球到OA的水平距離為時，達到最大高度為．
素材2
根據體育老師建議，第二次練習時，小林在正前方處（如圖）架起距離地面高為的橫線．球從點A處被拋出，恰好越過橫線，測得投擲距離．
問題解決
任務1
計算投擲距離 建立合適的直角坐標系，求素材1中的投擲距離．
任務2
探求高度變化 求素材2和素材1中球的最大高度的變化量
任務3
提出訓練建議 為了把球擲得更遠，請給小林提出一條合理的訓練建議．
【答案】任務一：4m；任務二：；任務三：應該盡量提高擲出點的高度、盡量提高擲出點的速度、選擇適當的擲出仰角
【分析】任務一：建立直角坐標系，由題意得：拋物線的頂點坐標為，設拋物線的解析式為，過點，利用待定系數法求出解析式，當時求出x的值即可得到；
任務二：建立直角坐標系，求出任務二的拋物線解析式，得到頂點縱坐標，與任務一的縱坐標相減即可； 任務三：根據題意給出合理的建議即可．
【詳解】任務一：建立如圖所示的直角坐標系，

由題意得：拋物線的頂點坐標為，設拋物線的解析式為，過點，
∴，解得，∴，
當時，，得（舍去），∴素材1中的投擲距離為4m；
（2）建立直角坐標系，如圖，設素材2中拋物線的解析式為，
由題意得，過點，
∴，解得，∴
∴頂點縱坐標為，（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的變化量為；
任務三：應該盡量提高擲出點的高度、盡量提高擲出點的速度、選擇適當的擲出仰角．
【點睛】此題考查了二次函數的實際應用，求函數解析式，求拋物線與坐標軸的距離，正確理解題意建立恰當的直角坐標系是解題的關鍵．
◇典例3：（2023年山東省威海市中考數學真題）城建部門計劃修建一條噴泉步行通道．圖1是項目俯視示意圖．步行通道的一側是一排垂直于路面的柱形噴水裝置，另一側是方形水池．圖2是主視示意圖．噴水裝置的高度是2米，水流從噴頭A處噴出后呈拋物線路徑落入水池內，當水流在與噴頭水平距離為2米時達到最高點B，此時距路面的最大高度為3.6米．為避免濺起的水霧影響通道上的行人，計劃安裝一個透明的傾斜防水罩，防水罩的一端固定在噴水裝置上的點處，另一端與路面的垂直高度為1.8米，且與噴泉水流的水平距離為0.3米．點到水池外壁的水平距離米，求步行通道的寬．（結果精確到0.1米）參考數據：

【答案】3.2米
【分析】先以點O為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則，，設拋物線的解析式為，把代入，求得，即，再求出點D的坐標，即可求解．
【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標系，由題意知：，，

∵拋物線的最高點B，∴設拋物線的解析式為，
把代入，得，解得，∴拋物線的解析式為，
令，則，解得：，
∴，∴ (米)，
答：步行通道的寬的長約為3.2米．
【點睛】本題考查拋物線的實際應用．熟練掌握用待定系數法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質是解題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023年吉林省長春市中考數學真題）年5月8日，商業首航完成——中國民商業運營國產大飛機正式起飛．時分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”、是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為米時，兩條水柱在物線的頂點H處相遇，此時相遇點H距地面米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退米，兩條水柱的形狀及噴水口、到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點距地面 米．

【答案】
【分析】根據題意求出原來拋物線的解析式，從而求得平移后的拋物線解析式，再令求平移后的拋物線與軸的交點即可．
【詳解】解：由題意可知：、、，
設拋物線解析式為：，將代入解析式，
解得：，，
消防車同時后退米，即拋物線向左（右）平移米，
平移后的拋物線解析式為：，令，解得：，故答案為：．
【點睛】本題考查了待定系數法求拋物線解析式、函數圖像的平移及坐標軸的交點；解題的關鍵是求得移動前后拋物線的解析式．
◇典例4：（2023年甘肅省蘭州市中考數學真題）一名運動員在高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面的高度與離起跳點A的水平距離之間的函數關系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為時離水面的距離為．

(1)求y關于x的函數表達式；(2)求運動員從起跳點到入水點的水平距離的長．
【答案】(1)y關于x的函數表達式為；
(2)運動員從起跳點到入水點的水平距離的長為．
【分析】（1）由題意得拋物線的對稱軸為，經過點，，利用待定系數法即可求解；
（2）令，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得拋物線的對稱軸為，經過點，，
設拋物線的表達式為，
∴，解得，∴y關于x的函數表達式為；
（2）解：令，則，解得（負值舍去），
∴運動員從起跳點到入水點的水平距離的長為．
【點睛】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，數形結合并熟練掌握運用待定系數法求拋物線的解析式是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·廣東深圳·校考模擬預測）已知某運動員在自由式滑雪大跳臺比賽中取得優異成績，為研究他從起跳至落在雪坡過程中的運動狀態，如圖，以起跳點為原點O，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，我們研究發現他在空中飛行的高度y（米）與水平距離x（米）具有二次函數關系，記點A為該二次函數圖象與x軸的交點，點B為該運動員的成績達標點，軸于點C，相關數據如下：

水平距離x（米） 5 10 20 30
空中飛行的高度y（米） 4.5 6 0
(1)請求出第一次跳躍的高度y（米）與水平距離x（米）的二次函數解析式______；
(2)若該運動員第二次跳躍時高度y（米）與水平距離x（米）滿足，則他第二次跳躍落地點與起跳點平面的水平距離為_____米，d_____30，成績是否達標？_____．（填寫是或否）
【答案】(1)；(2)；＞；是．
【分析】 （1）設該二次函數的解析式為，根據點的坐標，利用待定系數法求解即可得；（2）求出當函數的函數值為時，的值，由此即可得．
【詳解】（1）解：由題意，設該二次函數的解析式為，米，，
將點代入得：，解得，
則該二次函數的解析式為，故答案為：．
（2）解：對于二次函數，當時，，
解得或（不符合題意，舍去），則，
，， 即，
故答案為：；＞；是．
【點睛】本題考查了二次函數的應用等知識點，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵．
◇典例5：（2023年貴州省中考數學真題）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學習二次函數后，受到該圖啟示設計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在處，對稱軸與水平線垂直，，點在拋物線上，且點到對稱軸的距離，點在拋物線上，點到對稱軸的距離是1．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖②，為更加穩固，小星想在上找一點，加裝拉桿，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點的位置并求出坐標；(3)為了造型更加美觀，小星重新設計拋物線，其表達式為，當時，函數的值總大于等于9．求的取值范圍．
【答案】(1)(2)點的坐標為(3)
【分析】（1）設拋物線的解析式為，將，代入即可求解；
（2）點B關于y軸的對稱點，則，求出直線與y軸的交點坐標即可；
（3）分和兩種情況，根據最小值大于等于9列不等式，即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸與y軸重合，設拋物線的解析式為，
，，，，
將，代入，得：，解得，拋物線的解析式為；
（2）解： 拋物線的解析式為，點到對稱軸的距離是1，
當時，，，

作點B關于y軸的對稱點，則，，，
當，，A共線時，拉桿長度之和最短，設直線的解析式為，
將，代入，得，解得，直線的解析式為，
當時，，點的坐標為，位置如下圖所示：
（3）解：中，拋物線開口向下，
當時，在范圍內，當時，y取最小值，最小值為：
則，解得，；
當時，在范圍內，當時，y取最小值，最小值為：
則，解得，；綜上可知，或，的取值范圍為．
【點睛】本題考查二次函數的實際應用，涉及求二次函數解析式，求一次函數解析式，根據對稱性求線段的最值，拋物線的增減性等知識點，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質，第3問注意分情況討論．
◆變式訓練
1. （2023·陜西·統考中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求給出了兩個設計方案．現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：
方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點N在x軸上，，．
方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點在x軸上，，．
要在拱門中設置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架的面積記為，點A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上．現知，小華已正確求出方案二中，當時，，請你根據以上提供的相關信息，解答下列問題：(1)求方案一中拋物線的函數表達式；(2)在方案一中，當時，求矩形框架的面積并比較，的大小．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）利用待定系數法則，求出拋物線的解析式即可；
（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比較大小即可．
【詳解】（1）解：由題意知，方案一中拋物線的頂點，
設拋物線的函數表達式為，把代入得：，解得：，
∴；∴方案一中拋物線的函數表達式為；
（2）解：在中，令得：，解得或，
∴，∴；∵，∴．
【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，求二次函數解析式，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法則，求出函數解析式．
◇典例6：（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）如圖1，在平行四邊形中，，已知點在邊上，以1m/s的速度從點向點運動，點在邊上，以的速度從點向點運動．若點，同時出發，當點到達點時，點恰好到達點處，此時兩點都停止運動．圖2是的面積與點的運動時間之間的函數關系圖象（點為圖象的最高點），則平行四邊形的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意可得：，，設，則，作交的延長線于點，作交的延長線于點，則可得，，從而得到，根據的最大值為3，求出的值，從而得到，最后由平行四邊形的面積公式進行計算即可得到答案．
【詳解】解：根據題意可得：，，
設，則，
作交的延長線于點，作交的延長線于點，
，
，，
，，
，
由圖象可得的最大值為3，，解得：或（舍去），，
，
平行四邊形的面積為：，故選：C．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、解直角三角形、二次函數的圖象與性質，熟練掌握平行四邊形的性質、二次函數的圖象與性質，添加適當的輔助線構造直角三角形，是解題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023年遼寧省錦州市中考數學真題）如圖，在中，，，，在中，，，與在同一條直線上，點C與點E重合．以每秒1個單位長度的速度沿線段所在直線向右勻速運動，當點B運動到點F時，停止運動．設運動時間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分，， 三種情況，分別求出函數解析即可判斷．
【詳解】解：過點D作于H，
，，
∵，，∴，∴
當時，如圖，重疊部分為，此時，，
∴，∴，即，∴∴；
當時，如圖，重疊部分為四邊形，此時，，

∴，，
∵，∴，∴，
又，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即，∴，
∴；
當 時,如圖，重疊部分為四邊形，此時，，
∴，∵，∴，
∴，即∴，
綜上，，∴符合題意的函數圖象是選項A．故選：A．
【點睛】此題結合圖像平移時面積的變化規律，考查二次函數相關知識，根據平移點的特點列出函數表達式是關鍵，有一定難度．
■考點二　二次函數綜合問題
◇典例7：（2023年青海省西寧市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經過點A，B，且對稱軸是直線．

(1)求直線l的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標．
【答案】(1)(2)(3)的最大值是，此時的P點坐標是
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）根據題意可設拋物線的解析式為，再利用待定系數法求解即可；（3）由題意易證為等腰直角三角形，即得出．設點P的坐標為，則，從而可求出．再結合二次函數的性質可知：當時，有最大值是，此時最大，進而即可求解．
【詳解】（1）解：設直線l的解析式為，
把A，B兩點的坐標代入解析式，得， 解得：，∴直線l的解析式為；
（2）解：設拋物線的解析式為，
∵拋物線的對稱軸為直線，∴．
把A，B兩點坐標代入解析式，得，解得：，
∴拋物線的解析式為；
（3）解：∵ ， ∴．
∵在中，∴．
∵軸，，∴．
在中，，，∴，∴．
在中，，，∴，∴．
設點P的坐標為，則，
∴．
∵，∴當時，有最大值是，此時最大，
∴，當時，，
∴，∴的最大值是，此時的P點坐標是．
【點睛】本題為二次函數綜合題，考查利用待定系數法求函數解析式，二次函數的圖象和性質等知識．掌握利用待定系數法求函數解析式和利用數形結合的思想是解題關鍵．
◆變式訓練
1.（2023年遼寧省撫順市、葫蘆島市中考數學真題）如圖，拋物線與x軸交于點A和點，與y軸交于點，點P為第一象限內拋物線上的動點過點P作軸于點E，交于點F．(1)求拋物線的解析式；(2)當的周長是線段長度的2倍時，求點P的坐標；
(3)當點P運動到拋物線頂點時，點Q是y軸上的動點，連接，過點B作直線，連接并延長交直線于點M．當時，請直接寫出點的坐標．

【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）利用待定系數法求解；（2）根據直角三角形三角函數值可得，，進而可得的周長，結合已知條件可得，設，則，，從而可得方程，解方程即可；（3）先求出，，設，過點M作軸于點N，通過證明，求出，再求出直線的解析式為，將點代入解析式求出n的值即可．
【詳解】（1）解：將，代入，
可得，解得，拋物線的解析式為；
（2）解：，，，，，
，，的周長，
的周長是線段長度的2倍，，設直線的解析式為，
將，代入可得，解得，直線的解析式為，
設，則，，
，，
，解得，（舍），
，；
（3）解：，當時，y取最大值，，
直線的解析式為，當時，，，
設，過點M作軸于點N，

由題意知，，，，
又，， ，，，
，設直線的解析式為，則，解得，
直線的解析式為，將點代入，得，
解得或，或．
【點睛】本題考查一次函數的圖象和性質，二次函數的圖象和性質，全等三角形的判定與性質，解直角三角形等，綜合性較強，難度較大，熟練運用數形結合思想，正確作出輔助線是解題的關鍵．
◇典例8：（2023年浙江省湖州市中考數學真題）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與y軸的交點坐標為，圖象的頂點為M．矩形的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B的坐標為．

(1)求c的值及頂點M的坐標，(2)如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個單位得到對應的矩形．已知邊，分別與函數的圖象交于點P，Q，連接，過點P作于點G．①當時，求的長；②當點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，頂點M的坐標是 (2)①1；②存在，或
【分析】（1）把代入拋物線的解析式即可求出c，把拋物線轉化為頂點式即可求出頂點坐標；
（2）①先判斷當時，，的坐標分別是，，再求出，時點Q的縱坐標與點P的縱坐標，進而求解；
②先求出，易得P，Q的坐標分別是，，然后分點G在點Q的上方與點G在點Q的下方兩種情況，結合函數圖象求解即可．
【詳解】（1）∵二次函數的圖象與y軸的交點坐標為，
∴， ∴，∴頂點M的坐標是．
（2）①∵A在x軸上，B的坐標為，∴點A的坐標是．
當時，，的坐標分別是，．
當時，，即點Q的縱坐標是2，
當時，，即點P的縱坐標是1．
∵，∴點G的縱坐標是1， ∴．
②存在．理由如下：∵的面積為1，，∴．
根據題意，得P，Q的坐標分別是，．
如圖1，當點G在點Q的上方時，，
此時（在的范圍內），

如圖2，當點G在點Q的下方時，，
此時（在的范圍內）． ∴或．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特點、矩形的性質以及三角形的面積等知識，熟練掌握二次函數的圖象與性質、靈活應用數形結合思想是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023年山東省青島市中考數學真題）許多數學問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發現數學研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨，的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，，關于y軸對稱．分米，點A到x軸的距離是分米，A，B兩點之間的距離是4分米．(1)求拋物線的表達式；(2)分別延長，交拋物線于點F，E，求E，F兩點之間的距離；(3)以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為，將拋物線向右平移個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為．若，求m的值．

【答案】(1)；(2)(3)2或4；
【分析】（1）根據題意得到，，，設拋物線的解析式為代入求解即可得到答案；（2）分別求出，所在直線的解析式，求出與拋物線的交點F，E即可得到答案；（3）求出拋物線與坐標軸的交點得到，表示出新拋物線找到交點得到，根據面積公式列方程求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，由題意可得，
，，，∴，，
把點A坐標代入所設解析式中得：，解得：，∴；
（2）解：設的解析式為：，的解析式為：，
分別將，代入得，，，解得：，，
∴的解析式為：，的解析式為：，
聯立直線解析式與拋物線得：，解得（舍去），
同理，解，得（舍去），
∴，，∴E，F兩點之間的距離為：；
（3）解：當時，，解得：，∴，
∵拋物線向右平移個單位，∴，
當時，，當時，，解得：，
∴，
∵，∴，解得：，（不符合題意舍去），，（不符合題意舍去），綜上所述：m等于2或4；
【點睛】本題考查二次函數綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握函數與坐標軸的交點求法及平移的規律：左加右減，上加下減．
◇典例9：（2023年湖北省十堰市中考數學真題）已知拋物線過點和點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點在線段上（與點不重合），點是的中點，連接，過點作交于點，連接，當面積是面積的3倍時，求點的坐標；(3)如圖2，點是拋物線上對稱軸右側的點，是軸正半軸上的動點，若線段上存在點（與點不重合），使得，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）待定系數法求得直線的解析式為，設，過點作交的延長線于點，則，則的坐標為，得出是等腰直角三角形，設，則，證明，相似三角形的性質得出，則，可得，當面積是面積的3倍時，即，即，在中，，解方程即可求解；（3）根據三角形外角的性質，結合已知條件得出，證明，則，設交軸于點，過點作軸于點，求得直線的解析式為，聯立，得出，勾股定理求得的長，根據相似三角形的性質得出關于的二次函數關系式，進而根據二次函數的性質求得最值，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點和點，
∴解得：∴拋物線解析式為；
（2）∵拋物線與軸交于點，
當時，，∴，則，∵，∴，，
∵點是的中點，則，∴，設直線的解析式為，
∵點和點，∴解得：
∴直線的解析式為，設，
如圖所示，過點作交的延長線于點，則，則的坐標為，

∴，∴，∴是等腰直角三角形，
設，則，∵，∴，
∵，∴，
∴∴∴即
∵∴即，∴，∴∴，
又，∴是等腰直角三角形，∴的面積為，
∵的面積為當面積是面積的3倍時
即即
在中，∴
∴解得：或（舍去）∴；
（3）∵，又，
∴，∴，∴，設交軸于點，過點作軸于點，
∵，∴，∵，∴，
設，則，在中，，
∴，解得：，∴，設直線的解析式為，
∴，∴，∴直線的解析式為，
聯立，解得：或，∴，
∴，∵，
設，則，∴，
整理得：，
∵在線段上（與點不重合），∴,∴，
∴當時，取得的最大值為，∴．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合運用，面積問題，相似三角形的性質與判定，二次函數的性質，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023年遼寧省鞍山市中考數學真題）如圖1，拋物線經過點，與y軸交于點，點E為第一象限內拋物線上一動點．
(1)求拋物線的解析式．(2)直線與x軸交于點A，與y軸交于點D，過點E作直線軸，交于點F，連接．當時，求點E的橫坐標．(3)如圖2，點N為x軸正半軸上一點，與交于點M．若，，求點E的坐標．
　　
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）利用待定系數法，把已知點坐標代入解析式即可求解函數的解析式；
（2）分別過，向軸作垂線，垂足為，，根據證得 ，從而，設點坐標，分別表示出，坐標，再列方程求解即可；
（3）將平移到，連接，則；過作于，過作軸于，過作交延長線于，延長交軸于，設，則，，，由可得，從而，設由 可得，， ，再求出點坐標為，代入拋物線解析式中即可求得或，從而可得點坐標 ．
【詳解】（1）解：把和代入到解析式中可得
，解得，拋物線的解析式為：；
（2）直線中，令，則，所以，
直線中，令，則，所以，
分別過，向軸作垂線，垂足為，，
根據題意可得，軸，軸，和為直角三角形，
在和中，，，，
設，則，，，
從而，，
則有，解得（舍去），或，故點的橫坐標為：；

（3）將平移到，連接，則四邊形為平行四邊形，，過作于，過作軸于，過作交延長線于，延長交軸于，
，可設，則，
∴，則，
設，軸，，，
，，，
，，，，
，，，
，，，則，
，，
，代入拋物線解析式中有：，
解得：或，當時，，當時，．
【點睛】本題是二次函數與相似三角形綜合題，考查了待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正切的定義等知識，解題關鍵是在坐標系中利用等線段構造全等進行計算，構造相似三角形解決問題．
◇典例10：（2023年青海省中考數學真題）如圖，二次函數的圖象與軸相交于點和點，交軸于點．(1)求此二次函數的解析式；(2)設二次函數圖象的頂點為，對稱軸與軸交于點，求四邊形的面積（請在圖1中探索）；(3)二次函數圖象的對稱軸上是否存在點，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖中探索）．

【答案】(1)；(2)；(3)，
【分析】（1）將，兩點坐標代入拋物線的解析式，進一步求解得出結果；
（2）連接，將二次函數的解析式配方求得頂點的坐標，鄰求得的坐標，從而求得，，的長，再根據求得結果；
（3）設，，表示出和，根據列出方程求得的值，進而求得結果．
【詳解】（1）解：由題意得，，∴，∴；
（2）解：如圖，連接，

∵，∴，∴，，
由得，，∴，
∴；
（3）解：設，，∵，∴，
由得，∴，∴．
【點睛】本題考查了二次函數及其圖象的性質，等腰三角形的判定，勾股定理等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．
◆變式訓練
1.（2023年江蘇省常州市中考數學真題）如圖，二次函數的圖像與x軸相交于點，其頂點是C．(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經過點D，過點作x軸的垂線l．已知在l的左側，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點P的坐標．

【答案】(1)；(2)；(3)或．
【分析】（1）把代入即可求解；（2）過點D作DM⊥OA于點M，設，由，解得，進而求得平移后得拋物線，平移后得拋物線為，根據二次函數得性質即可得解；（3）先設出平移后頂點為，根據原拋物線，求得原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，進而得，再根據勾股定理構造方程即可得解．
【詳解】（1）解：把代入得，
，解得，故答案為；
（2）解：過點D作DM⊥OA于點M，

∵，∴二次函數的解析式為設，
∵D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，，
∴，解得m=或m=8（舍去），
當m=時，，∴，
∵，∴設將原拋物線向左平移后的拋物線為，
把代入得，解得a=3或a=（舍去），
∴平移后得拋物線為
∵過點作x軸的垂線l．已知在l的左側，平移前后的兩條拋物線都下降，
在的對稱軸x=的左側，y隨x的增大而減小，此時原拋物線也是y隨x的增大而減小，∴；
（3）解：由，設平移后的拋物線為，則頂點為，
∵頂點為在上，∴，
∴平移后的拋物線為，頂點為，
∵原拋物線，∴原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，
∵平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，∴，
∵點Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點P在原拋物線頂點C的上方，兩拋物線的交點Q在頂點P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，
∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，
∴化簡得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，
當p=3時，，當p=時，，
∴點P坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數的圖像及性質，勾股定理，解直角三角形以及待定系數法求二次函數的解析式，熟練掌握二次函數的圖像及性質是解題的關鍵．
2.（2023年湖南省婁底市中考數學真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．(1)求b，c的值．(2)點是拋物線上的動點①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)，(2)①當時，的面積由最大值，最大值為；
②當點的坐標為或時，為等腰直角三角形
【分析】（1）將、代入拋物線即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過點P作軸，交于點E，交軸于點，易得，根據的面積，可得的面積，即可求解；
②由題意可知拋物線的對稱軸為，則，分兩種情況：當點在對稱軸左側時，即時，當點在對稱軸右側時，即時，分別進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，
可得：，解得：，即：，；
（2）①由（1）可知：，當時，，即，
設的解析式為：，將，代入中，
可得，解得：，∴的解析式為：，
過點P作軸，交于點E，交軸于點，

∵，則，∴點E的橫坐標也為，則縱坐標為，
∴，
的面積
，
∵，∴當時，的面積有最大值，最大值為；
②存在，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，由題意可知拋物線的對稱軸為直線，
∵軸，∴，，則，
當點在對稱軸左側時，即時，
，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時，即點；
當點在對稱軸右側時，即時，
，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）
此時：，即點；
綜上所述，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
【點睛】本題二次函數綜合題，考查了利用待定系數法求函數解析式，二次函數的性質及圖象上的點的特點，等腰直角三角形的性質，解本題的關鍵是表示出點的坐標，進行分類討論．
◇典例11：（2023年西藏自治區中考數學真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點D，使為等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；(3)如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、Q兩點使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【分析】（1）將，代入，求出,即可得出答案；
（2）分別以點為頂點、以點為頂點、當以點為頂點，計算即可；
（3）拋物線的對稱軸為直線，設，，求出，，，分三種情況：以為對角線或以為對角線或以為對角線．
【詳解】（1）解：（1）∵，兩點在拋物線上，
∴解得，，∴拋物線的解析式為：；
（2）令，∴，由為等腰三角形，如圖甲，

當以點為頂點時，，點與原點重合，∴；
當以點為頂點時，，是等腰中線，∴，∴；
當以點為頂點時，∴點D的縱坐標為或，
∴綜上所述，點D的坐標為或或或．
（3）存在，理由如下：拋物線的對稱軸為：直線，
設，，∵，則，
，，
∵以為頂點的四邊形是菱形，
∴分三種情況：以為對角線或以為對角線或以為對角線，
當以為對角線時，則，如圖1，
∴，解得：，∴或
∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與的中點重合，
當時，∴，
解得：，∴
當時，∴，解得：，∴
以為對角線時，則，如圖2，
∴，解得：，∴，∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與中點重合，
∴，解得：，∴；
當以為對角線時，則，如圖3，∴，解得：，∴，
∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與的中點重合，
∴，解得：∴，
綜上所述，符合條件的點P、Q的坐標為： ，或，或，或或
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性質、坐標與圖形的性質、分類討論等知識，熟練掌握菱形的性質和坐標與圖形的性質是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023年山東省淄博市中考數學真題）如圖，一條拋物線經過的三個頂點，其中為坐標原點，點，點在第一象限內，對稱軸是直線，且的面積為18
(1)求該拋物線對應的函數表達式；(2)求點的坐標；(3)設為線段的中點，為直線上的一個動點，連接，，將沿翻折，點的對應點為．問是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)(2)(3)存在，點的坐標為或或或
【分析】（1）根據對稱軸為直線，將點代入，進而待定系數法求解析式即可求解；
（2）設，過點作軸交于點，過點作交于點，繼而表示出的面積，根據的面積為，解方程，即可求解．
（3）先得出直線的解析式為，設，當為平行四邊形的對角線時，可得，當為平行四邊形的對角線時，，進而建立方程，得出點的坐標，即可求解．
【詳解】（1）解：∵對稱軸為直線，∴①，
將點代入得，∴②，
聯立①②得，，∴解析式為；
（2）設，如圖所示，過點作軸交于點，過點作交于點，

∴，，則，
∴
解得：或（舍去），
（3）存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：
∵，∴，設直線的解析式為，
∴，解得：，∴直線的解析式為，設，
如圖所示，當BP為平行四邊形的對角線時，，，
∵，∴，由對稱性可知，，∴，
∴解得：∴點的坐標為或
如圖3，當為平行四邊形的對角線時，，，由對稱性可知，，∴，
∴，解得：或，
∴點的坐標為或
綜上所述，點的坐標為或或或．
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，平行四邊形的性質，軸對稱的性質是解題的關鍵．
2．（2023年內蒙古中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過點作軸平行線交于點，過點作軸平行線交軸于點，求的最大值及點的坐標；(3)如圖2，設點為拋物線對稱軸上一動點，當點，點運動時，在坐標軸上確定點，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點的坐標．
【答案】(1)(2)的最大值為，點的坐標為
(3)符合條件的點坐標為：或
【分析】（1）利用待定系數法即可求解；（2）先求得直線的解析式，設，則，，得到，利用二次函數的性質求解即可；（3）先求得拋物線的頂點，對稱軸為，分當點在軸上和點在軸負半軸上時，兩種情況討論，當點在軸負半軸上時，證明，求得，再證明，求得點的坐標為，由點在拋物線上，列式計算求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，與軸交于點
解得 拋物線的解析式為：；
（2）解：當時，，解得，，∴，
設直線的解析式為：，
把，代入得：，解得∴直線的解析式為，
設，∵軸，∴點的縱坐標為，
又∵點在直線上，∴，，
∴，∴，∵軸，∴，
∴，
∵，，∴當時，有最大值，最大值為，
當時，，∴點的坐標為；
答：的最大值為，點的坐標為；
（3）解：，則拋物線的頂點，對稱軸為，
情況一：當點在軸上時，為拋物線的頂點，
∵四邊形為矩形，∴與縱坐標相同，∴；
情況二：當點在軸負半軸上時，四邊形為矩形，
過作軸的垂線，垂足為，過作軸的垂線，垂足為，
設，則，∴，，∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴，
∵拋物線對稱軸為，點在對稱軸上，，
∴，，∴，即，
∵，，∴，
∴，∴，，
∴，∴點的坐標為，
∵點在拋物線上，∴，
解得，（舍去），∴，
綜上所述：符合條件的點坐標為：或．
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法，相似三角形的判定和性質，矩形的性質等知識，解題的關鍵是方程思想的應用．
◇典例12：（2023年湖北省鄂州市中考數學真題）某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發現：如圖1所示，該類型圖象上任意一點P到定點的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結論不需要證明）．他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，叫做拋物線的準線方程．準線l與y軸的交點為H．其中原點O為的中點，．例如，拋物線，其焦點坐標為，準線方程為l：，其中，．
【基礎訓練】(1)請分別直接寫出拋物線的焦點坐標和準線l的方程：_________，_________；
【技能訓練】(2)如圖2，已知拋物線上一點到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，求點P的坐標；
【能力提升】(3)如圖3，已知拋物線的焦點為F，準線方程為l．直線m：交y軸于點C，拋物線上動點P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請直接寫出的最小值；
【拓展延伸】該興趣小組繼續探究還發現：若將拋物線平移至．拋物線內有一定點，直線l過點且與x軸平行．當動點P在該拋物線上運動時，點P到直線l的距離始終等于點P到點F的距離（該結論不需要證明）．例如：拋物線上的動點P到點的距離等于點P到直線l：的距離．
請閱讀上面的材料，探究下題：(4)如圖4，點是第二象限內一定點，點P是拋物線上一動點，當取最小值時，請求出的面積．

【答案】(1)，；(2)；(3)(4)
【分析】（1）根據題中所給拋物線的焦點坐標和準線方程的定義求解即可；（2）利用兩點間距離公式結合已知條件列式整理得，然后根據，求出，進而可得，問題得解；（3）過點作直線交于點，過點作準線交于點，結合題意和（1）中結論可知，，根據兩點之間線段最短可得當，，三點共線時，的值最小；待定系數法求直線的解析式，求得點的坐標為，根據點是直線和直線m的交點，求得點的坐標為，即可求得和的值，即可求得；
（4）根據題意求得拋物線的焦點坐標為，準線l的方程為，過點作準線交于點，結合題意和（1）中結論可知，則，根據兩點之間線段最短可得當，，三點共線時，的值最小；求得，即可求得的面積．
【詳解】（1）解：∵拋物線中，∴，，
∴拋物線的焦點坐標為，準線l的方程為，故答案為：，；
（2）解：由（1）知拋物線的焦點F的坐標為，
∵點到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，
∴，整理得：，
又∵，∴解得：或（舍去），
∴，∴點P的坐標為；
（3）解：過點作直線交于點，過點作準線交于點，結合題意和（1）中結論可知，，如圖：

若使得取最小值，即的值最小，故當，，三點共線時，，即此刻的值最小；∵直線與直線垂直，故設直線的解析式為，
將代入解得：，∴直線的解析式為，
∵點是直線和拋物線的交點，令，解得：，（舍去），故點的坐標為，∴，
∵點是直線和直線m的交點，令，解得：，故點的坐標為，
∴，．即的最小值為．
（4）解：∵拋物線中，∴，，
∴拋物線的焦點坐標為，準線l的方程為，過點作準線交于點，結合題意和（1）中結論可知，則，如圖：
若使得取最小值，即的值最小，故當，，三點共線時，，即此刻的值最小；如圖：
∵點的坐標為，準線，∴點的橫坐標為，代入解得，
即，，則的面積為．
【點睛】本題考查了兩點間距離公式結合，兩點之間線段最短，三角形的面積，一次函數的交點坐標，一次函數與拋物線的交點坐標等，解決問題的關鍵是充分利用新知識的結論．
◆變式訓練
1．（2023年寧夏回族自治區中考數學真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．已知點的坐標是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點的坐標；(2)在對稱軸上找一點，使的值最小．求點的坐標和的最小值；(3)第一象限內的拋物線上有一動點，過點作軸，垂足為，連接交于點．依題意補全圖形，當的值最大時，求點的坐標．
【答案】(1)(2)點，的最小值為(3)
【分析】（1）根據拋物線的對稱性，進行求解即可；（2）根據拋物線的對稱性，得到，得到當三點共線時，的值最小，為的長，求出直線的解析式，解析式與對稱軸的交點即為點的坐標，兩點間的距離公式求出的長，即為的最小值；（3）根據題意，補全圖形，設，得到，，將的最大值轉化為二次函數求最值，即可得解．
【詳解】（1）解：∵點關于對稱軸的對稱點為點，對稱軸為直線，∴點為；
（2）當時，，∴，連接，
∵，∴，∵點關于對稱軸的對稱點為點，∴，
∴當三點共線時，的值最小，為的長，設直線的解析式為：，

則：，解得：，∴，
∵點在拋物線的對稱軸上，∴；∴點，的最小值為；
（3）過點作軸，垂足為，連接交于點，如圖所示，
∵，設拋物線的解析式為：，
∵，∴，∴，∴，
設，則：，由（2）知：直線：，
∴，∴，
∵，∴，，∴，
∴，∴，∴，
∴，
∴當時，有最大值，此時．
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用．正確的求出函數解析式，利用拋物線的對稱性以及數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．
1．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數學真題）如圖，在正方形中，，動點M，N分別從點A，B同時出發，沿射線，射線的方向勻速運動，且速度的大小相等，連接，，．設點M運動的路程為，的面積為，下列圖像中能反映與之間函數關系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據，求出與之間函數關系式，再判斷即可得出結論．
【詳解】解：，
，，，
故與之間函數關系為二次函數，圖像開口向上，時，函數有最小值6，故選：A．
【點睛】本題考查了正方形的性質，二次函數的圖像與性質，本題的關鍵是求出與之間函數關系式，再判斷與之間函數類型．
2．（2023年湖北省襄陽市中考數學真題）如圖，一位籃球運動員投籃時，球從點出手后沿拋物線行進，籃球出手后距離地面的高度與籃球距離出手點的水平距離之間的函數關系式是．下列說法正確的是 （填序號）．
①籃球行進過程中距離地面的最大高度為；②籃球出手點距離地面的高度為．

【答案】①
【分析】先求的頂點為，再求時的值即可判斷．
【詳解】解：由的頂點為，
得籃球行進過程中距離地面的最大高度為，即①正確；
由當時，，即②不正確；故答案為：①．
【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的應用，充分利用函數表達式是關鍵．
3．（2023年浙江省紹興市中考數學真題）在平面直角坐標系中，一個圖形上的點都在一邊平行于軸的矩形內部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯矩形．例如：如圖，函數的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯矩形為矩形．若二次函數圖象的關聯矩形恰好也是矩形，則 ．

【答案】或
【分析】根據題意求得點，，，根據題意分兩種情況，待定系數法求解析式即可求解．
【詳解】由，當時，，∴，
∵，四邊形是矩形，∴，
①當拋物線經過時，將點，代入，
∴解得：
②當拋物線經過點時，將點,代入，
∴解得：
綜上所述，或，故答案為：或．
【點睛】本題考查了待定系數法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關鍵．
4．（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分是等腰三角形，，，點、、分別是邊、、的中點；下半部分四邊形是矩形，，制造窗戶框的材料總長為16米（圖中所有黑線的長度和），設米，米．(1)求與之間的函數關系式，并求出自變量的取值范圍；
(2)當為多少時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計算窗戶的最大面積．

【答案】(1)
(2)當時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），最大面積為．
【分析】（1）由可表示出的長，由，可表示出，，，，，的長，進而可求出與之間的函數關系式；
（2）根據（1）中相關數據列出函數解析式，然后利用函數的性質解答．
【詳解】（1）∵四邊形是矩形，∴，
∵，∴．
∵，是邊的中點，∴，，
∵，∴，∴．
∵點、、分別是邊、的中點，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴；
（2）設面積為S，則，
∴當時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），最大面積為．
【點睛】本題考查了一次函數的應用，二次函數的應用，正確列出函數解析式是解答本題的關鍵．
5．（2023年湖北省黃石市中考數學真題）某工廠計劃從現在開始，在每個生產周期內生產并銷售完某型號設備，該設備的生產成本為萬元/件．設第個生產周期設備的售價為萬元/件，售價與之間的函數解析式是，其中是正整數．當時，；當時，．(1)求，的值；(2)設第個生產周期生產并銷售完設備的數量為件，且y與x滿足關系式．當時，工廠第幾個生產周期獲得的利潤最大 最大的利潤是多少萬元
當時，若有且只有個生產周期的利潤不小于萬元，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，；(2)，；．
【分析】（）用待定系數法求出，的值即可；
（）當，根據利潤(售價成本)設備的數量，可得出關于的二次函數，由函數的性質求出最值；
當時，關于的函數解析式，再畫出關于的函數圖象的簡圖，由題意可得結論．
【詳解】（1）把時，；時，代入得：
，解得：，；
（2）設第個生產周期創造的利潤為萬元，由（）知，當時，，
∴，，，
∵，，∴當時，取得最大值，最大值為，
∴工廠第個生產周期獲得的利潤最大，最大的利潤是萬元；
當時，，∴，
∴，則與的函數圖象如圖所示：

由圖象可知，若有且只有個生產周期的利潤不小于萬元，
∴當，時，，當，時，，∴的取值范圍．
【點睛】此題考查了一次函數與二次函數在銷售問題中的應用，明確一次函數與二次函數的性質并分類討論是解題的關鍵．
6．（2023年湖北省黃石市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．(1)求此拋物線的解析式；
(2)已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；
(3)若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．

【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）由待定系數法即可求解；（2）在中，，則，得到直線的表達式為：，進而求解；（3）作，證明且相似比為，故當、、共線時，為最小，進而求解．
【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為：，
即，則，故拋物線的表達式為：①；
（2）解：在中，，
，則，故設直線的表達式為：②，
聯立①②得：，解得：（不合題意的值已舍去）；
（3）解：作，

設，，且相似比為，則，
故當、、共線時，為最小，
在中，設邊上的高為，則，
即，解得：，則，
則，過點作軸于點，則，
即點的縱坐標為：，同理可得，點的橫坐標為：，即點，
由點、的坐標得，，即的最小值為．
【點睛】主要考查二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．
7．（2023年遼寧省盤錦市中考數學真題）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點是軸上方拋物線上一點，射線軸于點，若，且，請直接寫出點的坐標．(3)如圖2，點是第一象限內一點，連接交軸于點，的延長線交拋物線于點，點在線段上，且，連接，若，求面積．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）將點，代入拋物線得到，解方程組即可得到答案；（2）設，，則，則，，從而表示出點的坐標為，代入拋物線解析式，求出的值即可得到答案；
（3）求出直線的表達式，利用，得到，求出點的坐標，再根據進行計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點，，
，解得：，拋物線的解析式為：；
（2）解：，設，，
，，，
點，，，點的坐標為，
點是軸上方拋物線上一點，，
解得：（舍去）或，；
（3）解：設點，直線的解析式為，
，，解得：，
直線的解析式為，當時，，
，，，
在拋物線中，當時，，，，
，設點的坐標為，
，，，，，
，解得：，點的坐標為，
．
【點睛】本題為二次函數綜合，主要考查了求二次函數的解析式、二次函數圖象和性質、一次函數的應用、銳角三角函數、三角形面積的計算，確定關鍵點的坐標是解本題的關鍵．
8．（2023年山東省濟南市中考數學真題）在平面直角坐標系中，正方形的頂點，在軸上，，．拋物線與軸交于點和點．
(1)如圖1，若拋物線過點，求拋物線的表達式和點的坐標；(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平移線段，使點的對應點落在直線上，點的對應點落在拋物線上，求點的坐標；(3)若拋物線與正方形恰有兩個交點，求的取值范圍．

【答案】(1)，；(2)；(3)或
【分析】（1）將點，代入拋物線，利用待定系數法求出拋物線的表達式，再令，求出值，即可得到點的坐標；（2）設直線的表達式為，將點，代入解析式，利用待定系數法求出直線的表達式為：，設點，根據平移的性質，得到點，將點P代入，求出的值，即可得到點的坐標；（3）根據正方形和點C的坐標，得出，，，將代入，求得，進而得到頂點坐標，分兩種情況討論：①當拋物線頂點在正方形內部時，②當拋物線與直線交點在點上方，且與直線交點在點下方時，分別列出不等式組求解，即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線過點，
，解得：，拋物線表達式為，
當時，，解得：（舍去），，；
（2）解：設直線的表達式為，直線過點，，
，解得：，直線的表達式為：，
點在拋物線上，設點，
，，且由平移得到，
點向左平移2個單位，向上平移3個單位得到點，

點在直線上，將代入，
，整理得：，解得：，（舍去），
當時，點坐標為；
（3）解：四邊形是正方形，，，，
，點A和點D的橫坐標為，點B和點C的橫坐標為2，
將代入，得：，，
頂點坐標為，
①如圖，當拋物線頂點在正方形內部時，與正方形有兩個交點，，解得：；

②如圖，當拋物線與直線交點在點上方，且與直線交點在點下方時，與正方形有兩個交點，，解得：，
綜上所述，的取值范圍為或．
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的圖象和性質，待定系數法求函數解析式，平移的性質，函數圖像上點的坐標特征，拋物線與直線交點問題，解一元二次方程，解一元一次不等式組等知識，利用分類討論的思想，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題關鍵．
9．（2023年四川省內江市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)存在，的最大值為，(3)或
【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；
（2）可求直線的解析式為，設（），可求，從而可求，即可求解；
（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設， 可求，，由，可求，進而求出直線的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得 ，解得：，
拋物線的解析式為．
（2）解：設直線的解析式為，則有
，解得：，直線的解析式為；
設（），，解得：，
，，
，，
，
，當時，的最大值為，
，．故的最大值為，．
（3）解：存在，如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，
∵拋物線的對稱軸為直線，設，
，，，
，，解得：，；
設直線的解析式為，則有
，解得，直線解析式為，
，且經過，直線解析式為，
當時，， ；綜上所述：存在，的坐標為或．
【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點坐標滿足的函數解析式是解題的關鍵．
10．（2023年湖南省湘潭市中考數學真題）如圖，二次函數的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．

(1)求這個二次函數的表達式；(2)在二次函數圖象上是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由；(3)點是對稱軸上一點，且點的縱坐標為，當是銳角三角形時，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)或或
(3)或．
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）根據，可得到的距離等于到的距離，進而作出兩條的平行線，求得解析式，聯立拋物線即可求解；
（3）根據題意，求得當是直角三角形時的的值，進而觀察圖象，即可求解，分和兩種情況討論，分別計算即可求解．
【詳解】（1）解：將點，代入，得
解得：∴拋物線解析式為；
（2）∵，頂點坐標為，
當時，解得：∴，則
∵，則∴是等腰直角三角形，
∵∴到的距離等于到的距離，
∵，，設直線的解析式為
∴解得：∴直線的解析式為，
如圖所示，過點作的平行線，交拋物線于點，

設的解析式為，將點代入得，解得：
∴直線的解析式為，
解得：或∴，
∵
∴∴是等腰直角三角形，且，
如圖所示，延長至，使得，過點作的平行線，交軸于點，則，則符合題意的點在直線上，∵是等腰直角三角形，
∴∴是等腰直角三角形，∴∴
設直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為
聯立 解得：或
∴或
綜上所述，或或；
（3）①當時，如圖所示，過點作交于點，
當點與點重合時，是直角三角形，當時，是直角三角形，

設交于點，∵直線的解析式為，則，∴,
∵，∴是等腰直角三角形，∴∴，
設，則
∵∴
解得：（舍去）或∴
∵是銳角三角形∴；
當時，如圖所示，同理可得即∴
解得：或（舍去） 由（2）可得時，∴

綜上所述，當是銳角三角形時，或．
【點睛】本題考查二次函數綜合運用，面積問題，角度問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
1．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標出相關數據（單位：）．有下列結論：
①；②池底所在拋物線的解析式為；③池塘最深處到水面的距離為；
④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．
其中結論正確的個數是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】根據圖象可以判斷①；設出池底所在拋物線的解析式為，再把代入解析式求出即可判斷②；把代入解析式求出，再用即可判斷③；把代入解析式即可判斷④．
【詳解】解：①觀察圖形可知，，故①正確；
②設池底所在拋物線的解析式為，
將代入，可得，故拋物線的解析式為；故②正確；
③，當時，，
故池塘最深處到水面的距離為，故③錯誤；
④當池塘中水面的寬度減少為原來的一半，即水面寬度為12時，
將代入，得，可知此時最深處到水面的距離為，
即為原來的，故④正確．故選：B．
【點睛】本題考查拋物線的實際應用，體現了數學建模、數學抽象、數學運算素養．
2．（2023·山西大同·校聯考模擬預測）生物學研究表明，在一定的溫度范圍內，酶的活性會隨溫度的升高逐漸增強；在最適溫度時，酶的活性最強；超過一定溫度范圍，酶的活性又隨溫度的升高逐漸減弱，甚至會失去活性現已知某種酶的活性值（單位：）與溫度（單位：）的關系可以近似用二次函數來表示，則當溫度為最適宜溫度時，該種酶的活性值為 ．

【答案】240
【分析】化為頂點式求解即可．
【詳解】解：，
∵，∴拋物線開口向下，當時，的最大值為，
故當溫度為時，該種酶的活性值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數圖象的應用，熟練掌握二次函數的性質是解答本題的關鍵．對于二次函數(a，h，k為常數，)，當時，拋物線開口向上，在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，此時函數有最小值；當時，拋物線開口向下，在對稱軸的左側y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側y隨x的增大而減小，此時函數有最大值．
3．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）某公園內人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度為4米．在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據學習函數的經驗，對d和h之間的關系進行了探究．

下面是小紅的探究過程，請補充完整：
(1)經過測量，得出了d和h的幾組對應值，如下表．
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88
在d和h這兩個變量中，______是自變量，______是這個變量的函數；
(2)在下面的平面直角坐標系中，畫出（1）中所確定的函數的圖象；
(3)結合表格數據和函數圖象，解決問題：①求該函數的解析式：②公園欲開設游船項目，現有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設置警戒線，并且，要求游船能從C，D兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離至少為多少米 （，精確到0.1米）

【答案】(1)d，h(2)見解析(3)①；②C處距橋墩的距離至少為0.7米
【分析】根據函數的定義進行判斷作答即可
（2）①待定系數法求解析式即可；②令，代入求解即可．
【詳解】（1）解：由題意知，在d和h這兩個變量中，d是自變量，h是這個變量的函數
故答案為：d，h；
（2）解：描點，連線，作圖如下；
（3）①解：設二次函數的解析式為，
把，代入得：，解得：，
∴二次函數的解析式為；
②解：令，得：，解得
或，∴則C處距橋墩的距離至少為0.7米．
【點睛】本題考查了函數的定義，二次函數解析式，二次函數的圖象，二次函數的應用．解題的關鍵在于正確的求二次函數解析式．
4．（2023·山東臨沂·統考一模）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點離噴水口的水平距離為、高出噴水口，灌溉車到綠化帶的距離為（單位：）

(1)求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程；(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點的坐標；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出的取值范圍
【答案】(1)，米(2)(3)
【分析】（1）由頂點得，設，再根據拋物線過點，可得的值，從而解決問題；（2）過點H作軸，交上邊緣拋物線于點M，當時，則
解得：，，則，則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，可得點的坐標；（3）根據，求出點的坐標，利用增減性可得的最大值為最小值，從而得出答案．
【詳解】（1）解：由題意得是上邊緣拋物線的頂點，設，
又拋物線過點，，，上邊緣拋物線的函數解析式為；
令，則解得：，∴米．
（2）解：如圖，過點H作軸，交上邊緣拋物線于點M，
對于上邊緣拋物線，當時，
則解得：，，則，
∵下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到
下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，∴點B是點C向左平移得到，
由（1）知米，∴(米)點的坐標為；
（3）解：，點的縱坐標為，，解得，
，，當時，隨的增大而減小，
當時，要使，則，
當時，隨的增大而增大，且時，，
當時，要使，則，
，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，的最大值為，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，的最小值為2，
綜上所述，的取值范圍是．
【點睛】本題是二次函數實際應用，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的圖象性質，二次函數的圖象的平移，二次函數與方程的關系等知識，讀懂題意，建立二次函數模型是解題關鍵．
5．（2023·河南洛陽·校聯考一模）如圖，是某水上樂園為親子游樂區新設滑梯的示意圖，其中線段是豎直高度為6米的平臺，滑道分為兩部分，其中段是雙曲線，段是拋物線的一部分，兩滑道的連接點B為拋物線的頂點，B點的豎直高度為2米，滑道與水平面的交點D距的水平距離為8米，以點O為坐標原點建立平面直角坐標系，距直線的水平距離為x．

(1)請求出滑道段y與x之間的函數關系式；(2)當滑行者滑到C點時，距地面的距離為1米，求滑行者此時距滑道起點A的水平距離；(3)在建模實驗中發現，為保證滑行者的安全，滑道落地點D與最高點B連線與水平面夾角應不大于，，求長度的取值范圍．
【答案】(1)滑道段y與x之間函數關系式為
(2)滑行者距滑道起點的水平距離為米(3)
【分析】（1）由B在雙曲線上，且根據題意，得到，由B為拋物線的最高點，可設拋物線的解析式為，滑道與水平面的交點D距的水平距離為8米，得到點D的坐標為，把代入得，，解得，即可得到拋物線的解析式；（2）依據前面的解析式求出A、C的橫坐標，它們的差距即為所經過的水平距離；
（3）先判斷的最小值，再根據已知求出最大值即可．
【詳解】（1）解：B在雙曲線上，且根據題意，∴，
∵B為拋物線的最高點，則設拋物線的解析式為，
∵滑道與水平面的交點D距的水平距離為8米，∴點D的坐標為，
把代入得，，解得，
∴滑道段y與x之間函數關系式為；
（2）令上式時，則，解得，（不合題意，舍去），
∴，將代入中得，∴，
∴，此時滑行者距滑道起點的水平距離為米；
（3）解： 根據上面所得，當時，，此時，
則D點不可往左，可往右，的最小值為8，
又∵，∴，∴．∴長度的取值范圍為．
【點睛】本題主要考查了二次函數和反比例函數的實際應用，用到了待定系數法求二次函數解析式、求函數圖象上點的坐標等知識，數形結合是解題的關鍵．
6．（2023·安徽滁州·校考二模）北京冬奧會的召開激起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖是某小型跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過跳臺終點做水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某滑雪愛好者小劉從點正上方點滑出，滑出后沿一段拋物線 運動．
(1)小山坡最高處的高度是 　　米；(2)小劉在某次訓練中，滑到離處的水平距離為6米時，達到滑行的最大高度米（相對于水平線），在這次訓練中，當小劉滑出后離的水平距離為多少米時，他滑行高度與小山坡的豎直距離為米？(3)小劉若想滑行到最大高度時恰好在坡頂正上方，且與坡頂距離不低于3米，求跳臺滑出點的最小高度．
【答案】(1)7(2)運動員與小山坡的豎直距離為米(3)跳臺滑出點的最小高度為2米
【分析】（1）由的頂點為，即可解得答案．（2）設運動員運動的水平距離為米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米，依題意列出方程，解出即可；（3）先求出，再根據與坡頂距離不低于3米列出關于的不等式，即可解得答案．
【詳解】（1）故答案為：7；
（2）小劉滑到離處的水平距離為6米時，其滑行高度最大為米，
的頂點為，，，解得，
設運動員運動的水平距離為米時，運動員與小山坡的豎直距離為米，
依題意得：，
整理得：，解得：，（舍去），
運動員運動的水平距離為9米時，運動員與小山坡的豎直距離為米；
（3）拋物線，
當時，運動員到達坡頂，，解得，，
與坡頂距離不低于3米，，解得：．跳臺滑出點的最小高度為2米．
【點睛】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，熟練掌握二次函數的基本性質，并能將實際問題與二次函數模型相結合．
7．（2023·江蘇泰州·校考二模）如圖，已知拋物線與軸分別交于、兩點，與軸交于點，且．(1)求拋物線的函數表達式：(2)如圖，點是拋物線頂點，點是在第二象限拋物線上的一點，分別連接、、，若，求的值；(3)如圖，若的角平分線交軸于點，過點的直線分別交射線、于點、（不與點A重合），則的值是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出它的值．

【答案】(1)；(2)；(3)不變，．
【分析】（1）利用待定系數法求解二次函數的解析式即可；（2）如圖，過作于，連接，先求頂點，證明，，則，再列方程求解即可；（3）過作軸交于，過作軸交于，過作軸交于，證明，，可得，同理可得：，從而可得答案．
【詳解】（1）解：拋物線與、軸分別交于、兩點
設拋物線為：，，，
把點代入，，解得
所以拋物線解析式為；
（2）解：如圖，過作于，連接，

，頂點，
，，，
，，，，
，
，，，，，，
，經檢驗是方程的解且符合題意；即的值為；
（3）解：不變，求解過程如下：
過作軸交于，過作軸交于，過作軸，如圖：

∵軸，軸，軸，，
∴，，，
，，
平分，，，
，同理可得：，
由（1）可知：，，，，
，為定值不變．
【點睛】本題考查了利用待定系數法求解二次函數的解析式，銳角三角函數的應用，勾股定理及其逆定理的應用，相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
8．（2022·福建寧德·統考一模）如圖1，拋物線與直線（是常數）交于A，B兩點（點A在點B的左邊），且是直角三角形．(1)求的值；(2)如圖2，將拋物線向下平移，得到拋物線，若拋物線與直線交于C，D兩點（點C在點D的左邊），與x軸正半軸交于點E．求證：是直角三角形；(3)如圖3，若拋物線（）與直線交于M，N兩點（點M在點N的左邊），點K在拋物線上，當是直角三角形時，直接寫出點K的坐標．（用含，的代數式表示）

【答案】(1)4；(2)見解析；(3)或．
【分析】（1）設與y軸的交點為P．可得是等腰直角三角形，進而可得點B的坐標為．將其代入即可求解；（2）分別過點C，D作軸于點H，軸于點Q．可通過證求證，也可通過勾股定理的逆定理求證；（3）設平移后得到．過點作x軸的平行線l3，分別過點M'，N'作于點L，于點T．證即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1，設與y軸的交點為P．
∵平行于x軸，的圖象關于y軸對稱，∴

∵是等腰直角三角形．∴．∴．∴點B的坐標為．
∵點B在拋物線上，∴．∵，∴．
（2）證明：如圖2，分別過點C，D作軸于點H，軸于點Q．
聯立 解得
∴點C的坐標為，點D的坐標為
將代入，解得，(舍去)．
∴點E的坐標為∴，，，．
證法一：∵，∴．∴．
∵，∴．∴．
∵．∴．∴．∴是直角三角形．
證法二：在中，根據勾股定理，得．
同理可得 ．∴．
∵∴．∴是直角三角形．
（3）解：點K的坐標為，或．
將拋物線向左平移h個單位得到拋物線．設平移后得到，
如圖3．過點作x軸的平行線l3，分別過點M'，N'作于點L，于點T．

聯立 解得
∴點M'的坐標為(，)，點N'的坐標為(，)．
設的坐標為(，)，．∴．
易證．∴．
即．∴．
∵，∴．∴點的縱坐標為，即點的縱坐標為．
解方程，得．∴點K的坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合運用．需要學生熟練掌握二次函數的各項性質．
9．（2023·遼寧葫蘆島·統考一模）如圖，拋物線與x軸交于點A和點，與y軸交于點，點D是拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當點D在直線上方時，作軸于點F，交直線于點E，當時，求點D的坐標；(3)點P在拋物線的對稱軸l上，點Q是平面直角坐標系內一點，當四邊形為正方形時，請直接寫出點Q的坐標．

【答案】(1)(2)(3)，，，
【分析】（1）將B，C兩點坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求解即可；
（2）根據題意可求出直線的解析式，由可證明，作于H，則，設點D的橫坐標為t，分別表達和，建立方程即可得出結論；
（3）若四邊形為正方形，則是等腰直角三角形，且，根據題意畫出對應圖形，利用全等三角形建立方程，即可得出結論．
【詳解】（1）經過點，點
解得拋物線的函數解析式為：
（2）軸， 軸， ，，，，
設直線的解析式為，將，代入得其解析式得，
，解得，，∴直線的解析式為
作于H，如圖，則

設點D的橫坐標為t，則，，
，
解得（舍），
（3）∵，∴拋物線的對稱軸為，
若四邊形為正方形，則是等腰直角三角形，且，
設點D的橫坐標為n，則，
如圖2，過點D作于點M，設直線l與x軸交于點N，
則，，，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，解得或，
當時，點D與點A重合，如圖3，，則或，則；
當時，則；

如圖4，過點D作于點M，設直線l與x軸交于點N，
同理可證，，∴，
∴，∴，解得或，
當時，點D與點A重合，同上；當時，，則；
綜上，點Q的坐標為：或或或
【點睛】本題屬于二次函數綜合題，涉及待定系數法，等腰三角形的性質與判定，正方形的性質與判定等相關知識，解題關鍵是利用轉化思想對已知信息進行轉化，將轉化為，將正方形的存在性轉化為等腰直角三角形的存在性．
10．（2023·廣東茂名·統考二模）如圖，在直角坐標系中有一直角三角形，為坐標原點，，，將此三角形繞原點逆時針旋轉，得到，拋物線經過點、、．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t，
①是否存在一點P，使的面積最大？若存在，求出的面積的最大值；若不存在，請說明理由．②設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接，交于，直接寫出當與相似時，點P的坐標．
【答案】(1)(2)①存在，最大值為，理由見解析；②或
【分析】（1）根據正切函數，可得，根據旋轉的性質可得，據此求出A、B、C的坐標，再利用待定系數法即可求出函數解析式；
（2）①可求得直線的解析式，過作軸于點，交于點，可用表示出的長，當取最大值時，則的面積最大，可求得其最大值；②當時，，過點作軸于點，證明，得到，進而推出，則，解方程即可；當時，，此時，軸，則．
【詳解】（1）解：在中，，，，
是由繞點逆時針旋轉而得到的，．
，，的坐標分別為，，，
代入解析式得：，解得：，拋物線的解析式為；
（2）解：存在點使的面積最大，的面積有最大值為
理由如下：設直線解析式為，
把、兩點坐標代入可得：，解得：，直線解析式為，
如圖，過作軸，交軸于點，交直線于點，
點橫坐標為，，，點在第二象限，點在點上方，
，
當時，有最大值，最大值為，
，
當有最大值時，的面積有最大值，，
綜上可知，存在點使的面積最大，的面積有最大值為；
當時，，過點作軸于點，
∴，又∵，∴，
，，點的橫坐標為，，
在第二象限，，，，
解得，，與在二象限，橫坐標小于矛盾，舍去，
當時，，，
當時，，此時，軸，
當與相似時，點的坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數綜合題，相似三角形的性質與判定，一次函數與幾何綜合，解直角三角形，旋轉的性質等等，解（1）的關鍵是利用旋轉的性質得出，的長，又利用了待定系數法；解（2）的關鍵是利用相似三角形的性質得出．
11．（2023·湖北武漢·校聯考模擬預測）已知拋物線與軸交于、兩點點在左側．
(1)，、分別交拋物線于、兩點，的解析式為點在第一象限，的解析式為，直接寫出的值點在第三象限；
(2)在（1）的條件下，若，求證：一定與定直線平行；
(3)若，、、都在拋物線上，且四邊形為平行四邊形，求證：必過一定點．

【答案】(1)(2)見解析(3)見解析
【分析】（1）令，得，可得，，設交軸于點，交軸于點，可證得，得出，由一次函數圖象與軸的交點坐標為，，即可求得答案；（2）聯立方程組得，則，同理可得：，結合（1）的結論可得，進而可得，設的解析式為，可得，再由，可求得，即直線與直線平行．（3）設解析式，聯立得，設，，，，由平行四邊形的性質可得，，可求得，再由點在拋物線上，可得，即，解得：，故直線過定點．
【詳解】（1）解：，令，得，
解得：，，，，，
設交軸于點，交軸于點，如圖，，，

又，，，的解析式為點在第一象限，的解析式為點在第三象限，，，
點在軸正半軸上，點在軸負半軸上，且，；
（2）證明：的解析式為，與拋物線的解析式聯立得：，，則，同理可得：，
，由（1）知：，，
，，，，
設的解析式為，則，，
，，即，
，，解得：，
又，，即直線與直線平行，一定與定直線平行；
（3）證明：設解析式，與拋物線的解析式聯立，得，
，設，，，，
，且四邊形為平行四邊形，，，
，，
，，，
點在拋物線上，，
，解得：，直線過定點．
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
備考指南
知識導圖
知識清單
考點梳理
真題在線
專項練習
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第三章 函數
第五節 二次函數的應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次函數的實際應用 ☆☆ 二次函數的應用在中考中較為常見，其中，二次函數在實際生活中的應用多為選填題，出題率不是特別高，一般需要根據題意自行建立二次函數模型；而利用二次函數圖象解決實際問題和最值問題則多為解答題，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數據較大，還需根據實際情況判斷所求結果是否合適，需要考生在做題過程中更為細心對待。
考點2 二次函數的幾何問題 ☆☆☆
■考點一　二次函數的實際應用
1.用二次函數解決實際問題的一般步驟：
1）審：仔細 ，理清 ；
2）設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的 ；
3）列：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的 ；
4）解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖象和性質等求解實際問題；
5）檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.
2.利用二次函數解決利潤最值的方法：巧設未知數，根據利潤公式列出函數關系式，再利用二次函數的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。
3.利用二次函數解決拱橋（門）/隧道/噴泉/球類運行軌跡類問題的方法：先建立適當的 ，再根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線的 ，最后根據圖象信息解決實際問題。
4.利用二次函數解決面積最值的方法：先找好 ，再利用相關的圖形面積公式，列出函數關系式，最后利用函數的最值解決面積最值問題。
5.利用二次函數解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的 或表示出與動點有關的線段 ，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．
■考點二　二次函數的幾何問題
二次函數與幾何知識聯系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關系為紐帶，把二次函數常與全相似、最大(小)面積、周長等結合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐標和線段長度的聯系，從圖形中建立 的模型，從而使問題得到解決，解這類問題的關鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數的有關性質和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題目的。
1.二次函數與幾何圖形的長度（面積）問題
二次函數與幾何圖形的長度（面積）問題一般是利用距離或面積公式表示出圖形長度（面積）的函數關系式（一般是二次函數的表達式），再利用函數的解析式的特點求長度（面積）的最值問題；此外還會涉及到長度（面積）相等、給出長度（面積）的值等問題，其核心處理方法都是表示出長度（面積）的表達式，再去研究相關的性質。
2.二次函數與特殊三角形
1）在二次函數的圖象中研究等腰三角形的問題，需要注意分類討論思想的應用，找準頂角與底角分類討論的關鍵，借助等腰三角形的等邊對等角、等角對等邊、三線合一等性質來轉化已知條件是常用的處理手段；
2）在二次函數的圖象中研究直角三角形的問題，需要注意分類討論思想的應用，找準直角頂點是分類討論的關鍵，借助直角三角形的勾股定理，兩銳角互補等性質來轉化已知條件是常用的處理手段。
3.二次函數特殊平行四邊形
在二次函數的圖象中研究平行四邊形的問題常會用到平行四邊形的一些性質之間的轉化，同時此類問題也會涉及到矩形、菱形、正方形的確定，其分析思想是互通的。
4.二次函數與線段和、差的最值問題
在二次函數的圖象中研究線段的和、差最值問題,一般會用到將軍飲馬、胡不歸、阿氏圓、瓜豆原理等來解決相關最值問題。
5.利用二次函數解決存在性問題的方法：一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的 ；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段 或其他點的 等；最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．
■易錯提示
1. 二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．
■考點一　二次函數的實際應用
◇典例1：（2023年浙江省湖州市中考數學真題）某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）存在一次函數關系，部分數據如下表所示：
銷售價格x（元/千克） 50 40
日銷售量y（千克） 100 200
(1)試求出y關于x的函數表達式．(2)設該經銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？
◆變式訓練
1.（2023年湖南省益陽市中考數學真題）某企業準備對A，B兩個生產性項目進行投資，根據其生產成本、銷售情況等因素進行分析得知：投資A項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數表達式為：，投資B項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數表達式為：．(1)若將10萬元資金投入A項目，一年后獲得的收益是多少？(2)若對A，B兩個項目投入相同的資金m（）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，則m的值是多少？(3)2023年，我國對小微企業施行所得稅優惠政策．該企業將根據此政策獲得的減免稅款及其他結余資金共計32萬元，全部投入到A，B兩個項目中，當A，B兩個項目分別投入多少萬元時，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？
2．（2023年江蘇省泰州市中考數學真題）某公司的化工產品成本為30元/千克．銷售部門規定：一次性銷售1000千克以內時，以50元/千克的價格銷售；一次性銷售不低于1000千克時，每增加1千克降價元．考慮到降價對利潤的影響，一次性銷售不低于1750千克時，均以某一固定價格銷售．一次性銷售利潤y（元）與一次性銷售量x（千克）的函數關系如圖所示．

(1)當一次性銷售800千克時利潤為多少元？(2)求一次性銷售量在之間時的最大利潤；
(3)當一次性銷售多少千克時利潤為22100元？
◇典例2：（2023年河南省中考數學真題）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數學知識對羽毛球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網與y軸的水平距離，，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足一次函數關系；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足二次函數關系．(1)求點P的坐標和a的值．(2)小林分析發現，上面兩種擊球方式均能使球過網．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．

◆變式訓練
1.（2023年浙江省嘉興市中考數學真題）根據以下素材，探究完成任務．
如何把實心球擲得更遠？
素材1
小林在練習投擲實心球，其示意圖如圖，第一次練習時，球從點A處被拋出，其路線是拋物線．點A距離地面，當球到OA的水平距離為時，達到最大高度為．
素材2
根據體育老師建議，第二次練習時，小林在正前方處（如圖）架起距離地面高為的橫線．球從點A處被拋出，恰好越過橫線，測得投擲距離．
問題解決
任務1
計算投擲距離 建立合適的直角坐標系，求素材1中的投擲距離．
任務2
探求高度變化 求素材2和素材1中球的最大高度的變化量
任務3
提出訓練建議 為了把球擲得更遠，請給小林提出一條合理的訓練建議．
◇典例3：（2023年山東省威海市中考數學真題）城建部門計劃修建一條噴泉步行通道．圖1是項目俯視示意圖．步行通道的一側是一排垂直于路面的柱形噴水裝置，另一側是方形水池．圖2是主視示意圖．噴水裝置的高度是2米，水流從噴頭A處噴出后呈拋物線路徑落入水池內，當水流在與噴頭水平距離為2米時達到最高點B，此時距路面的最大高度為3.6米．為避免濺起的水霧影響通道上的行人，計劃安裝一個透明的傾斜防水罩，防水罩的一端固定在噴水裝置上的點處，另一端與路面的垂直高度為1.8米，且與噴泉水流的水平距離為0.3米．點到水池外壁的水平距離米，求步行通道的寬．（結果精確到0.1米）參考數據：

◆變式訓練
1. （2023年吉林省長春市中考數學真題）年5月8日，商業首航完成——中國民商業運營國產大飛機正式起飛．時分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”、是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為米時，兩條水柱在物線的頂點H處相遇，此時相遇點H距地面米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退米，兩條水柱的形狀及噴水口、到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點距地面 米．

◇典例4：（2023年甘肅省蘭州市中考數學真題）一名運動員在高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面的高度與離起跳點A的水平距離之間的函數關系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為時離水面的距離為．
(1)求y關于x的函數表達式；(2)求運動員從起跳點到入水點的水平距離的長．

◆變式訓練
1.（2023·廣東深圳·校考模擬預測）已知某運動員在自由式滑雪大跳臺比賽中取得優異成績，為研究他從起跳至落在雪坡過程中的運動狀態，如圖，以起跳點為原點O，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，我們研究發現他在空中飛行的高度y（米）與水平距離x（米）具有二次函數關系，記點A為該二次函數圖象與x軸的交點，點B為該運動員的成績達標點，軸于點C，相關數據如下：
水平距離x（米） 5 10 20 30
空中飛行的高度y（米） 4.5 6 0
(1)請求出第一次跳躍的高度y（米）與水平距離x（米）的二次函數解析式______；
(2)若該運動員第二次跳躍時高度y（米）與水平距離x（米）滿足，則他第二次跳躍落地點與起跳點平面的水平距離為_____米，d_____30，成績是否達標？_____．（填寫是或否）

◇典例5：（2023年貴州省中考數學真題）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學習二次函數后，受到該圖啟示設計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在處，對稱軸與水平線垂直，，點在拋物線上，且點到對稱軸的距離，點在拋物線上，點到對稱軸的距離是1．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖②，為更加穩固，小星想在上找一點，加裝拉桿，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點的位置并求出坐標；(3)為了造型更加美觀，小星重新設計拋物線，其表達式為，當時，函數的值總大于等于9．求的取值范圍．
◆變式訓練
1. （2023·陜西·統考中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求給出了兩個設計方案．現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：
方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點N在x軸上，，．
方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點在x軸上，，．
要在拱門中設置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架的面積記為，點A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上．現知，小華已正確求出方案二中，當時，，請你根據以上提供的相關信息，解答下列問題：(1)求方案一中拋物線的函數表達式；(2)在方案一中，當時，求矩形框架的面積并比較，的大小．
◇典例6：（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）如圖1，在平行四邊形中，，已知點在邊上，以1m/s的速度從點向點運動，點在邊上，以的速度從點向點運動．若點，同時出發，當點到達點時，點恰好到達點處，此時兩點都停止運動．圖2是的面積與點的運動時間之間的函數關系圖象（點為圖象的最高點），則平行四邊形的面積為（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1. （2023年遼寧省錦州市中考數學真題）如圖，在中，，，，在中，，，與在同一條直線上，點C與點E重合．以每秒1個單位長度的速度沿線段所在直線向右勻速運動，當點B運動到點F時，停止運動．設運動時間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（ ）

A． B． C． D．
■考點二　二次函數綜合問題
◇典例7：（2023年青海省西寧市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經過點A，B，且對稱軸是直線．
(1)求直線l的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標．

◆變式訓練
1.（2023年遼寧省撫順市、葫蘆島市中考數學真題）如圖，拋物線與x軸交于點A和點，與y軸交于點，點P為第一象限內拋物線上的動點過點P作軸于點E，交于點F．(1)求拋物線的解析式；(2)當的周長是線段長度的2倍時，求點P的坐標；
(3)當點P運動到拋物線頂點時，點Q是y軸上的動點，連接，過點B作直線，連接并延長交直線于點M．當時，請直接寫出點的坐標．

◇典例8：（2023年浙江省湖州市中考數學真題）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與y軸的交點坐標為，圖象的頂點為M．矩形的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B的坐標為．
(1)求c的值及頂點M的坐標，(2)如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個單位得到對應的矩形．已知邊，分別與函數的圖象交于點P，Q，連接，過點P作于點G．①當時，求的長；②當點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

◆變式訓練
1.（2023年山東省青島市中考數學真題）許多數學問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發現數學研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨，的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，，關于y軸對稱．分米，點A到x軸的距離是分米，A，B兩點之間的距離是4分米．(1)求拋物線的表達式；(2)分別延長，交拋物線于點F，E，求E，F兩點之間的距離；(3)以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為，將拋物線向右平移個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為．若，求m的值．

◇典例9：（2023年湖北省十堰市中考數學真題）已知拋物線過點和點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點在線段上（與點不重合），點是的中點，連接，過點作交于點，連接，當面積是面積的3倍時，求點的坐標；(3)如圖2，點是拋物線上對稱軸右側的點，是軸正半軸上的動點，若線段上存在點（與點不重合），使得，求的取值范圍．

◆變式訓練
1.（2023年遼寧省鞍山市中考數學真題）如圖1，拋物線經過點，與y軸交于點，點E為第一象限內拋物線上一動點．
(1)求拋物線的解析式．(2)直線與x軸交于點A，與y軸交于點D，過點E作直線軸，交于點F，連接．當時，求點E的橫坐標．(3)如圖2，點N為x軸正半軸上一點，與交于點M．若，，求點E的坐標．
　　
◇典例10：（2023年青海省中考數學真題）如圖，二次函數的圖象與軸相交于點和點，交軸于點．(1)求此二次函數的解析式；(2)設二次函數圖象的頂點為，對稱軸與軸交于點，求四邊形的面積（請在圖1中探索）；(3)二次函數圖象的對稱軸上是否存在點，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖中探索）．

◆變式訓練
1.（2023年江蘇省常州市中考數學真題）如圖，二次函數的圖像與x軸相交于點，其頂點是C．(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經過點D，過點作x軸的垂線l．已知在l的左側，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點P的坐標．

2.（2023年湖南省婁底市中考數學真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．(1)求b，c的值．(2)點是拋物線上的動點①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

◇典例11：（2023年西藏自治區中考數學真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點D，使為等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；(3)如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、Q兩點使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點的坐標，若不存在，請說明理由．

◆變式訓練
1.（2023年山東省淄博市中考數學真題）如圖，一條拋物線經過的三個頂點，其中為坐標原點，點，點在第一象限內，對稱軸是直線，且的面積為18
(1)求該拋物線對應的函數表達式；(2)求點的坐標；(3)設為線段的中點，為直線上的一個動點，連接，，將沿翻折，點的對應點為．問是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

2．（2023年內蒙古中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過點作軸平行線交于點，過點作軸平行線交軸于點，求的最大值及點的坐標；(3)如圖2，設點為拋物線對稱軸上一動點，當點，點運動時，在坐標軸上確定點，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點的坐標．
◇典例12：（2023年湖北省鄂州市中考數學真題）某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發現：如圖1所示，該類型圖象上任意一點P到定點的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結論不需要證明）．他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，叫做拋物線的準線方程．準線l與y軸的交點為H．其中原點O為的中點，．例如，拋物線，其焦點坐標為，準線方程為l：，其中，．
【基礎訓練】(1)請分別直接寫出拋物線的焦點坐標和準線l的方程：_________，_________；
【技能訓練】(2)如圖2，已知拋物線上一點到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，求點P的坐標；
【能力提升】(3)如圖3，已知拋物線的焦點為F，準線方程為l．直線m：交y軸于點C，拋物線上動點P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請直接寫出的最小值；
【拓展延伸】該興趣小組繼續探究還發現：若將拋物線平移至．拋物線內有一定點，直線l過點且與x軸平行．當動點P在該拋物線上運動時，點P到直線l的距離始終等于點P到點F的距離（該結論不需要證明）．例如：拋物線上的動點P到點的距離等于點P到直線l：的距離．
請閱讀上面的材料，探究下題：(4)如圖4，點是第二象限內一定點，點P是拋物線上一動點，當取最小值時，請求出的面積．

◆變式訓練
1．（2023年寧夏回族自治區中考數學真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．已知點的坐標是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點的坐標；(2)在對稱軸上找一點，使的值最小．求點的坐標和的最小值；(3)第一象限內的拋物線上有一動點，過點作軸，垂足為，連接交于點．依題意補全圖形，當的值最大時，求點的坐標．
1．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數學真題）如圖，在正方形中，，動點M，N分別從點A，B同時出發，沿射線，射線的方向勻速運動，且速度的大小相等，連接，，．設點M運動的路程為，的面積為，下列圖像中能反映與之間函數關系的是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023年湖北省襄陽市中考數學真題）如圖，一位籃球運動員投籃時，球從點出手后沿拋物線行進，籃球出手后距離地面的高度與籃球距離出手點的水平距離之間的函數關系式是．下列說法正確的是 （填序號）．
①籃球行進過程中距離地面的最大高度為；②籃球出手點距離地面的高度為．

3．（2023年浙江省紹興市中考數學真題）在平面直角坐標系中，一個圖形上的點都在一邊平行于軸的矩形內部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯矩形．例如：如圖，函數的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯矩形為矩形．若二次函數圖象的關聯矩形恰好也是矩形，則 ．

4．（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分是等腰三角形，，，點、、分別是邊、、的中點；下半部分四邊形是矩形，，制造窗戶框的材料總長為16米（圖中所有黑線的長度和），設米，米．(1)求與之間的函數關系式，并求出自變量的取值范圍；
(2)當為多少時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計算窗戶的最大面積．

5．（2023年湖北省黃石市中考數學真題）某工廠計劃從現在開始，在每個生產周期內生產并銷售完某型號設備，該設備的生產成本為萬元/件．設第個生產周期設備的售價為萬元/件，售價與之間的函數解析式是，其中是正整數．當時，；當時，．(1)求，的值；(2)設第個生產周期生產并銷售完設備的數量為件，且y與x滿足關系式．當時，工廠第幾個生產周期獲得的利潤最大 最大的利潤是多少萬元
當時，若有且只有個生產周期的利潤不小于萬元，求實數的取值范圍．
6．（2023年湖北省黃石市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．(1)求此拋物線的解析式；
(2)已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；
(3)若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．

7．（2023年遼寧省盤錦市中考數學真題）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點是軸上方拋物線上一點，射線軸于點，若，且，請直接寫出點的坐標．(3)如圖2，點是第一象限內一點，連接交軸于點，的延長線交拋物線于點，點在線段上，且，連接，若，求面積．
8．（2023年山東省濟南市中考數學真題）在平面直角坐標系中，正方形的頂點，在軸上，，．拋物線與軸交于點和點．
(1)如圖1，若拋物線過點，求拋物線的表達式和點的坐標；(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平移線段，使點的對應點落在直線上，點的對應點落在拋物線上，求點的坐標；(3)若拋物線與正方形恰有兩個交點，求的取值范圍．

9.（2023年四川省內江市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
10．（2023年湖南省湘潭市中考數學真題）如圖，二次函數的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．(1)求這個二次函數的表達式；(2)在二次函數圖象上是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由；(3)點是對稱軸上一點，且點的縱坐標為，當是銳角三角形時，求的取值范圍．

1．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標出相關數據（單位：）．有下列結論：
①；②池底所在拋物線的解析式為；③池塘最深處到水面的距離為；
④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．
其中結論正確的個數是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
2．（2023·山西大同·校聯考模擬預測）生物學研究表明，在一定的溫度范圍內，酶的活性會隨溫度的升高逐漸增強；在最適溫度時，酶的活性最強；超過一定溫度范圍，酶的活性又隨溫度的升高逐漸減弱，甚至會失去活性現已知某種酶的活性值（單位：）與溫度（單位：）的關系可以近似用二次函數來表示，則當溫度為最適宜溫度時，該種酶的活性值為 ．

3．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）某公園內人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度為4米．在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據學習函數的經驗，對d和h之間的關系進行了探究．

下面是小紅的探究過程，請補充完整：
(1)經過測量，得出了d和h的幾組對應值，如下表．
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88
在d和h這兩個變量中，______是自變量，______是這個變量的函數；
(2)在下面的平面直角坐標系中，畫出（1）中所確定的函數的圖象；
(3)結合表格數據和函數圖象，解決問題：①求該函數的解析式：②公園欲開設游船項目，現有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設置警戒線，并且，要求游船能從C，D兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離至少為多少米 （，精確到0.1米）

4．（2023·山東臨沂·統考一模）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點離噴水口的水平距離為、高出噴水口，灌溉車到綠化帶的距離為（單位：）

(1)求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程；(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點的坐標；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出的取值范圍
5．（2023·河南洛陽·校聯考一模）如圖，是某水上樂園為親子游樂區新設滑梯的示意圖，其中線段是豎直高度為6米的平臺，滑道分為兩部分，其中段是雙曲線，段是拋物線的一部分，兩滑道的連接點B為拋物線的頂點，B點的豎直高度為2米，滑道與水平面的交點D距的水平距離為8米，以點O為坐標原點建立平面直角坐標系，距直線的水平距離為x．
(1)請求出滑道段y與x之間的函數關系式；(2)當滑行者滑到C點時，距地面的距離為1米，求滑行者此時距滑道起點A的水平距離；(3)在建模實驗中發現，為保證滑行者的安全，滑道落地點D與最高點B連線與水平面夾角應不大于，，求長度的取值范圍．

6．（2023·安徽滁州·校考二模）北京冬奧會的召開激起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖是某小型跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過跳臺終點做水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某滑雪愛好者小劉從點正上方點滑出，滑出后沿一段拋物線 運動．
(1)小山坡最高處的高度是 　　米；(2)小劉在某次訓練中，滑到離處的水平距離為6米時，達到滑行的最大高度米（相對于水平線），在這次訓練中，當小劉滑出后離的水平距離為多少米時，他滑行高度與小山坡的豎直距離為米？(3)小劉若想滑行到最大高度時恰好在坡頂正上方，且與坡頂距離不低于3米，求跳臺滑出點的最小高度．
7．（2023·江蘇泰州·校考二模）如圖，已知拋物線與軸分別交于、兩點，與軸交于點，且．(1)求拋物線的函數表達式：(2)如圖，點是拋物線頂點，點是在第二象限拋物線上的一點，分別連接、、，若，求的值；(3)如圖，若的角平分線交軸于點，過點的直線分別交射線、于點、（不與點A重合），則的值是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出它的值．

8．（2022·福建寧德·統考一模）如圖1，拋物線與直線（是常數）交于A，B兩點（點A在點B的左邊），且是直角三角形．(1)求的值；(2)如圖2，將拋物線向下平移，得到拋物線，若拋物線與直線交于C，D兩點（點C在點D的左邊），與x軸正半軸交于點E．求證：是直角三角形；(3)如圖3，若拋物線（）與直線交于M，N兩點（點M在點N的左邊），點K在拋物線上，當是直角三角形時，直接寫出點K的坐標．（用含，的代數式表示）

9．（2023·遼寧葫蘆島·統考一模）如圖，拋物線與x軸交于點A和點，與y軸交于點，點D是拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當點D在直線上方時，作軸于點F，交直線于點E，當時，求點D的坐標；(3)點P在拋物線的對稱軸l上，點Q是平面直角坐標系內一點，當四邊形為正方形時，請直接寫出點Q的坐標．

10．（2023·廣東茂名·統考二模）如圖，在直角坐標系中有一直角三角形，為坐標原點，，，將此三角形繞原點逆時針旋轉，得到，拋物線經過點、、．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t，
①是否存在一點P，使的面積最大？若存在，求出的面積的最大值；若不存在，請說明理由．②設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接，交于，直接寫出當與相似時，點P的坐標．
11．（2023·湖北武漢·校聯考模擬預測）已知拋物線與軸交于、兩點點在左側．
(1)，、分別交拋物線于、兩點，的解析式為點在第一象限，的解析式為，直接寫出的值點在第三象限；
(2)在（1）的條件下，若，求證：一定與定直線平行；
(3)若，、、都在拋物線上，且四邊形為平行四邊形，求證：必過一定點．

備考指南
知識導圖
知識清單
考點梳理
真題在線
專項練習
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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