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專題6.11 解三角形（重難點題型精講）
1．余弦定理
(1)余弦定理及其推論的表示
(2)對余弦定理的理解
①余弦定理對任意的三角形都成立.
②在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量.
③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題.用余弦
定理的推論還可以根據角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.
④余弦定理的另一種常見變式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.
2．正弦定理
(1)正弦定理的表示
在△ABC中，若角A,B,C對應的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.
(2)正弦定理的常見變形
在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=kA，b=kB，c=kC，由此可得
正弦定理的下列變形：
①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；
②======；
③a:b:c=A:B:C；
④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.
(3)三角形的邊角關系
由正弦定理可推導出，在任意三角形中，有“大角對大邊，小角對小邊”的邊角關系.
3．解三角形
(1)解三角形的概念
一般地，三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個
元素求其他元素的過程叫做解三角形.
(2)余弦定理在解三角形中的應用
利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：
①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；
③已知三邊，求三角形的三個角.
(3)正弦定理在解三角形中的應用
公式==反映了三角形的邊角關系.
由正弦定理的推導過程知，該公式實際表示為：=，=，=.上述的
每一個等式都表示了三角形的兩個角和它們的對邊的關系.從方程角度來看，正弦定理其實描述的是三組方程，對于每一個方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：
①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，
③已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角.
4．測量問題
(1)測量距離問題的基本類型和解決方案
當AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：
(2)測量高度問題的基本類型和解決方案
當AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：
(3)測量角度問題
測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方
位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關鍵是根據題意、圖形及有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
5．對三角形解的個數的研究
已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.
已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現一解、兩解或無解的情況，三
角形不能被唯一確定.
(1)從代數的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知
a,b和A，解三角形為例加以說明.
由正弦定理、正弦函數的有界性及三角形的性質可得：
①若B=>1，則滿足條件的三角形的個數為0；
②若B==1，則滿足條件的三角形的個數為1；
③若B=<1，則滿足條件的三角形的個數為1或2.
顯然由0角形內角和等于”等，此時需進行討論.
(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，以已知a,b和A，解三角形為例，用幾何法探究如下：
6．三角形的面積公式
(1)常用的三角形的面積計算公式
①=a=b=c (,,分別為邊a,b,c上的高).
②將=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三
角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.
(2)三角形的其他面積公式
①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分別為△ABC的內切圓半徑及△ABC的周長.
②=，=，=.
【題型1 三角形的解的個數問題】
【方法點撥】
方法一：從代數的角度分析，利用正弦定理進行分析；
方法二：從幾何的角度分析，結合幾何圖形進行分析求解.
【例1】（2022秋·陜西寶雞·高二期中）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（ ）
A．一個解 B．二個解 C．無解 D．無法確定
【解題思路】根據，即可得到答案.
【解答過程】因為，如圖所示：
所以，即，所以三角形解的情況為二個解.
故選：B.
【變式1-1】（2022·高一課時練習）在中，若，，，則此三角形解的情況為（ ）
A．無解 B．兩解
C．一解 D．解的個數不能確定
【解題思路】根據正弦定理求出的值，結合大邊對大角定理可得出結論.
【解答過程】由正弦定理，得，
得，
因為，則，故為銳角，故滿足條件的只有一個.
故選：C.
【變式1-2】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三階段練習）在中，內角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】結合已知條件和正弦定理即可求解.
【解答過程】對于A：由正弦定理可知，
∵，∴，故三角形有一解；
對于B：由正弦定理可知，，
∵，∴，故三角形有兩解；
對于C：由正弦定理可知，
∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；
對于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.
故選：B.
【變式1-3】（2022秋·陜西咸陽·高二階段練習）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，則此三角形（ ）
A．無解 B．一解 C．兩解 D．解的個數不確定
【解題思路】利用正弦定理結合已知條件分析判斷即可.
【解答過程】由正弦定理，得，解得.
因為，所以.
又因為，所以或，
故此三角形有兩解，
故選：C.
【題型2 利用正弦定理解三角形】
【方法點撥】
事實上，所謂解三角形本質上就是解基于邊角的內蘊方程，已知三角形的兩角與一邊解三角形時，
(1)由三角形內角和定理A+B+C=，可以計算出三角形的第三個角；
(2)由正弦定理==，可計算出三角形的另兩邊.
【例2】（2022春·河北唐山·高一階段練習）在中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用正弦定理即可求解.
【解答過程】由，
得.
故選：B.
【變式2-1】（2022春·廣西貴港·高一期中）記的內角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據正弦定理可求出結果.
【解答過程】由正弦定理，
得.
故選：B.
【變式2-2】（2022秋·甘肅定西·高二開學考試）在中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若：：：2：3，則a：b：（ ）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2
【解題思路】根據題意利用正弦定理進行邊化角，結合三角形的內角和為運算求解.
【解答過程】∵：：：2：3，且，
∴，，，則，
故
故選：
【變式2-3】（2022秋·遼寧葫蘆島·高三階段練習）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則外接圓的半徑為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用三角函數基本關系式求出，再根據正弦定理即可得解.
【解答過程】因為，所以，
因為，所以，所以外接圓的半徑為.
故選：A.
【題型3 利用余弦定理解三角形】
【方法點撥】
根據具體題目，利用余弦定理或其推論，進行轉化求解即可.
【例3】（2022春·山東聊城·高一期中）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則B等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由，設,利用余弦定理求解.
【解答過程】解：在中，，
設,
由余弦定理得，
因為，
所以，
故選：B.
【變式3-1】（2022春·浙江麗水·高一階段練習）在中，，則的最小角為 （　?。?br/>A． B． C． D．
【解題思路】由已知，根據條件給出的三邊確定的最小角為，直接利用余弦定理計算，即可完成求解.
【解答過程】由已知，在中，，
因為，所以的最小角為，
所以，
又因為，
所以.
故選：C.
【變式3-2】（2022秋·陜西西安·高二期中）在中，角所對的邊分別為，若，，，則（ ）
A． B． C．或 D．
【解題思路】根據正弦值，分別在和的情況下，利用余弦定理求得結果.
【解答過程】，，或；
當時，，解得：；
當時，，解得：.
綜上所述：或.
故選：C.
【變式3-3】（2022秋·河南·高三階段練習）在中，，點在邊上，且，則的長是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先利用余弦定理求出，設，，在分別利用余弦定理列方程，解方程組可求出，從而可求得結果.
【解答過程】由余弦定理知，
所以，
在中，設，則.
設，則.
由余弦定理，
即①，
，
即②，
由①②解得，即.
故選：C.
【題型4 三角形的面積問題】
【方法點撥】
根據具體條件，結合三角形面積公式，進行轉化求解即可.
【例4】（2022秋·陜西·高三階段練習）已知的內角所對的邊分別為，則的面積為（ ）
A． B． C．27 D．36
【解題思路】根據余弦定理求出，再根據求出，再根據面積公式求解.
【解答過程】由余弦定理得：
即即，即
所以，又因為，所以
所以的面積為
故選：C.
【變式4-1】（2022秋·內蒙古呼和浩特·高三階段練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的面積為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意和正弦定理可得，進而，利用誘導公式可得，結合三角形的面積公式計算即可求解.
【解答過程】，由正弦定理，
得，又，所以，
所以，則，
所以，
所以的面積為.
故選：A.
【變式4-2】（2022秋·甘肅武威·高三階段練習）已知中， 分別是角 所對的邊，已知，若，，則的面積等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據條件求出，結合余弦定理求出，的值，然后利用三角形的面積公式進行求解即可.
【解答過程】，可得：，即，
均為三角形的邊，，
，即，
，，
由余弦定理： ，得：
再將代入式可得：，
得，，
又由，可得，
所以，三角形的面積是：.
故選：D.
【變式4-3】（2023秋·江蘇蘇州·高三階段練習）已知△ABC中，sinA=3sinCcosB，且AB=2，則△ABC的面積的最大值為（ ）
A．3 B． C．9 D．
【解題思路】法一：根據正弦定理，將角化邊，從而利用三角形面積公式，半角公式及三角函數有界性求出面積的最大值；
法二：根據正弦定理，將邊化角，得到，畫出圖形，作出輔助線，設，得到，利用基本不等式求出三角形面積的最大值.
【解答過程】法一：由正弦定理得：，
；
法二：由正弦定理得：，
所以
故，如圖所示：過點A作AD⊥BC于點D，
設，則，
由勾股定理得：，
所以，
當且僅當時，等號成立，
故選：A.
【題型5 正、余弦定理在幾何圖形中的應用】
【方法點撥】
正、余弦定理本身是研究幾何圖形計算的工具，因此在面對幾何圖形時，關鍵是尋找相應的三角形，并在
三角形中運用正、余弦定理，特別是涉及公共邊時，要利用公共邊來進行過渡，即利用公共邊創造的互補
或互余關系列式，其本質是構建關于角的關系的方程.
【例5】（2023秋·北京東城·高三期末）如圖，在銳角中，，，，點在邊的延長線上，且.
(1)求；
(2)求的周長.
【解題思路】（1）在中，利用正弦定理即可求解；
（2）由（1）可求得，在中，利用余弦定理可求，從而可求的周長.
【解答過程】（1）在中，，，，
由正弦定理可得，故，
因為是銳角三角形，所以 .
（2）由（1）得，所以.
在中，，，，
所以.
所以的周長為.
【變式5-1】（2022秋·陜西渭南·高二期末）在中，角的對邊分別為，已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值及的面積.
【解題思路】(1)直接利用余弦定理計算即可；
(2)由題意可知，利用正弦定理求的值即可；根據求解即可.
【解答過程】（1）∵，，，
∴由余弦定理，得，
解得；
（2）在中，
∵，∴，
∵，
∴，
∴.
【變式5-2】（2022秋·廣東揭陽·高二期末）在 中，，，分別為角、、的對邊，．
(1)求 ；
(2)若角 的平分線交于， 且，， 求．
【解題思路】（1）利用正弦定理進行邊角互換得到，然后根據正弦的和差公式得到，再進行邊角互換得到，最后利用余弦定理求即可；
（2）根據角平分線定理得到，然后利用等面積的思路得到，解方程即可得到，，最后利用余弦定理求即可.
【解答過程】（1）因為，
所以，
即，
即，所以，
因為，所以.
（2）因為角 的平分線 交 于 ， 且，
由角平分線定理得：，又，
即，
所以，即，所以，，
由余弦定理得，，所以.
【變式5-3】在銳角中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周長的取值范圍．
【解題思路】（1）根據正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）根據正弦定理得到，從而得到，求出，得到，，從而求出周長的取值范圍.
【解答過程】（1），由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因為，
所以；
（2）銳角中，，，
由正弦定理得：，
故，
則
，
因為銳角中，，
則，，
解得：，
故，，
則，
故，，
所以三角形周長的取值范圍是.
【題型6 解三角形的實際應用】
【方法點撥】
正、余弦定理在解決實際問題中的應用，本質上還是正、余弦定理在解決幾何圖形(主要是三角形與四邊形)
問題中的應用，因此利用幾何圖形本身及實際問題中涉及的術語(如方位角等)構建恰當的三角形，在三角形
中運用正弦定理或余弦定理即可.
【例6】（2022春·江蘇鎮江·高一期末）某景區的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，其中BD，BE為景區內的乘車觀光游覽路線，ED，DC，CB，BA，AE是步行觀光旅游路線（所有路線均不考慮寬度），經測量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，，DE＝8，且.
(1)求BE的長度；
(2)景區擬規劃區域種植花卉，應該如何設計，才能使種植區域面積最大，并求此最大值．
【解題思路】（1）在中，根據正弦定理，可得BD的長，在中，根據余弦定理，即可得答案.
（2）在中，由余弦定理及基本不等式，可得，代入面積公式，即可得答案.
【解答過程】（1）
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得或（舍）
（2）
在中，由余弦定理得，
所以，
所以，
當且僅當時等號成立，
此時面積最大值，
所以當步行觀光旅游路線時，種植區域面積最大，且最大值為.
【變式6-1】（2022·高一課時練習）江西浮梁地大物博，山清水秀；據悉，某建筑公司在浮梁投資建設玻璃棧道 摩天輪等項目開發旅游產業，考察后覺得當地兩座山之間適合建造玻璃棧道，現需要測量兩山頂M，N之間的距離供日后施工需要，特請昌飛公司派直升機輔助測量，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量A，B，M，N在同一個鉛垂平面內（如示意圖）.飛機測量的數據有在A處觀察山頂M，N的俯角為：，在B處觀察山頂M，N的俯角為；，飛機飛行的距離AB為，請問：用以上測得的數據能否計算出兩山頂間的距離MN，若能，請幫助該建筑公司求出MN，結果精確到，若不能，請說明理由.
（參考數據：）
【解題思路】由正弦定理求出AM,AN,再由余弦定理求MN即可.
【解答過程】由正弦定理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得 .
【變式6-2】（2022·高一課時練習）如圖，測量河對岸的塔高，可以選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C和D．現測得米，在點C測得塔頂A的仰角為，
(1)求的面積；
(2)求塔高．
【解題思路】(1)利用正弦定理求出線段BC長，再借助三角形面積定理計算即得.
(2)在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數定義計算作答.
【解答過程】（1）
在中，因，則，
，
由正弦定理得：，，
則，
所以的面積是平方米.
（2）
依題意，平面BCD，而平面 BCD，則有，
在中，，由得：
，
所以塔高是米.
【變式6-3】（2022春·河北保定·高一階段練習）西昌市邛瀘旅游風景區在邛海舉行搜救演練，如圖，、是邛海水面上位于東西方向相距公里的兩個觀測點，現位于點北偏東、點西北方向的點有一艘漁船發出求救信號，位于點南偏西且與點相距公里的點的救援船立即前往營救，其航行速度為公里/小時.求：
(1)觀測點與點處的漁船間的距離；
(2)點的救援船到達點需要多長時間？
【解題思路】（1）求出的三個內角，利用正弦定理可求得的長；
（2）利用余弦定理求出，結合救援船行駛的速度可求得所需時間.
【解答過程】(1)
解：在中，，，則，
所以，，
由正弦定理，所以，（公里）.
(2)
解：在中，，，，
由余弦定理可得，
因此，救援船所需時間為（小時）.專題6.11 解三角形（重難點題型精講）
1．余弦定理
(1)余弦定理及其推論的表示
(2)對余弦定理的理解
①余弦定理對任意的三角形都成立.
②在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量.
③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題.用余弦
定理的推論還可以根據角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.
④余弦定理的另一種常見變式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.
2．正弦定理
(1)正弦定理的表示
在△ABC中，若角A,B,C對應的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.
(2)正弦定理的常見變形
在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=kA，b=kB，c=kC，由此可得
正弦定理的下列變形：
①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；
②======；
③a:b:c=A:B:C；
④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.
(3)三角形的邊角關系
由正弦定理可推導出，在任意三角形中，有“大角對大邊，小角對小邊”的邊角關系.
3．解三角形
(1)解三角形的概念
一般地，三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個
元素求其他元素的過程叫做解三角形.
(2)余弦定理在解三角形中的應用
利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：
①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；
③已知三邊，求三角形的三個角.
(3)正弦定理在解三角形中的應用
公式==反映了三角形的邊角關系.
由正弦定理的推導過程知，該公式實際表示為：=，=，=.上述的
每一個等式都表示了三角形的兩個角和它們的對邊的關系.從方程角度來看，正弦定理其實描述的是三組方程，對于每一個方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：
①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，
③已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角.
4．測量問題
(1)測量距離問題的基本類型和解決方案
當AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：
(2)測量高度問題的基本類型和解決方案
當AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：
(3)測量角度問題
測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方
位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關鍵是根據題意、圖形及有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
5．對三角形解的個數的研究
已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.
已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現一解、兩解或無解的情況，三
角形不能被唯一確定.
(1)從代數的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知
a,b和A，解三角形為例加以說明.
由正弦定理、正弦函數的有界性及三角形的性質可得：
①若B=>1，則滿足條件的三角形的個數為0；
②若B==1，則滿足條件的三角形的個數為1；
③若B=<1，則滿足條件的三角形的個數為1或2.
顯然由0角形內角和等于”等，此時需進行討論.
(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，以已知a,b和A，解三角形為例，用幾何法探究如下：
6．三角形的面積公式
(1)常用的三角形的面積計算公式
①=a=b=c (,,分別為邊a,b,c上的高).
②將=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三
角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.
(2)三角形的其他面積公式
①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分別為△ABC的內切圓半徑及△ABC的周長.
②=，=，=.
【題型1 三角形的解的個數問題】
【方法點撥】
方法一：從代數的角度分析，利用正弦定理進行分析；
方法二：從幾何的角度分析，結合幾何圖形進行分析求解.
【例1】（2022秋·陜西寶雞·高二期中）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（ ）
A．一個解 B．二個解 C．無解 D．無法確定
【變式1-1】（2022·高一課時練習）在中，若，，，則此三角形解的情況為（ ）
A．無解 B．兩解
C．一解 D．解的個數不能確定
【變式1-2】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三階段練習）在中，內角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式1-3】（2022秋·陜西咸陽·高二階段練習）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，則此三角形（ ）
A．無解 B．一解 C．兩解 D．解的個數不確定
【題型2 利用正弦定理解三角形】
【方法點撥】
事實上，所謂解三角形本質上就是解基于邊角的內蘊方程，已知三角形的兩角與一邊解三角形時，
(1)由三角形內角和定理A+B+C=，可以計算出三角形的第三個角；
(2)由正弦定理==，可計算出三角形的另兩邊.
【例2】（2022春·河北唐山·高一階段練習）在中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022春·廣西貴港·高一期中）記的內角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2022秋·甘肅定西·高二開學考試）在中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若：：：2：3，則a：b：（ ）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2
【變式2-3】（2022秋·遼寧葫蘆島·高三階段練習）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則外接圓的半徑為（ ）
A． B． C． D．
【題型3 利用余弦定理解三角形】
【方法點撥】
根據具體題目，利用余弦定理或其推論，進行轉化求解即可.
【例3】（2022春·山東聊城·高一期中）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則B等于（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022春·浙江麗水·高一階段練習）在中，，則的最小角為 （　?。?br/>A． B． C． D．
【變式3-2】（2022秋·陜西西安·高二期中）在中，角所對的邊分別為，若，，，則（ ）
A． B． C．或 D．
【變式3-3】（2022秋·河南·高三階段練習）在中，，點在邊上，且，則的長是（ ）
A． B． C． D．
【題型4 三角形的面積問題】
【方法點撥】
根據具體條件，結合三角形面積公式，進行轉化求解即可.
【例4】（2022秋·陜西·高三階段練習）已知的內角所對的邊分別為，則的面積為（ ）
A． B． C．27 D．36
【變式4-1】（2022秋·內蒙古呼和浩特·高三階段練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的面積為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2022秋·甘肅武威·高三階段練習）已知中， 分別是角 所對的邊，已知，若，，則的面積等于（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023秋·江蘇蘇州·高三階段練習）已知△ABC中，sinA=3sinCcosB，且AB=2，則△ABC的面積的最大值為（ ）
A．3 B． C．9 D．
【題型5 正、余弦定理在幾何圖形中的應用】
【方法點撥】
正、余弦定理本身是研究幾何圖形計算的工具，因此在面對幾何圖形時，關鍵是尋找相應的三角形，并在
三角形中運用正、余弦定理，特別是涉及公共邊時，要利用公共邊來進行過渡，即利用公共邊創造的互補
或互余關系列式，其本質是構建關于角的關系的方程.
【例5】（2023秋·北京東城·高三期末）如圖，在銳角中，，，，點在邊的延長線上，且.
(1)求；
(2)求的周長.
【變式5-1】（2022秋·陜西渭南·高二期末）在中，角的對邊分別為，已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值及的面積.
【變式5-2】（2022秋·廣東揭陽·高二期末）在 中，，，分別為角、、的對邊，．
(1)求 ；
(2)若角 的平分線交于， 且，， 求．
【變式5-3】在銳角中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周長的取值范圍．
【題型6 解三角形的實際應用】
【方法點撥】
正、余弦定理在解決實際問題中的應用，本質上還是正、余弦定理在解決幾何圖形(主要是三角形與四邊形)
問題中的應用，因此利用幾何圖形本身及實際問題中涉及的術語(如方位角等)構建恰當的三角形，在三角形
中運用正弦定理或余弦定理即可.
【例6】（2022春·江蘇鎮江·高一期末）某景區的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，其中BD，BE為景區內的乘車觀光游覽路線，ED，DC，CB，BA，AE是步行觀光旅游路線（所有路線均不考慮寬度），經測量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，，DE＝8，且.
(1)求BE的長度；
(2)景區擬規劃區域種植花卉，應該如何設計，才能使種植區域面積最大，并求此最大值．
【變式6-1】（2022·高一課時練習）江西浮梁地大物博，山清水秀；據悉，某建筑公司在浮梁投資建設玻璃棧道 摩天輪等項目開發旅游產業，考察后覺得當地兩座山之間適合建造玻璃棧道，現需要測量兩山頂M，N之間的距離供日后施工需要，特請昌飛公司派直升機輔助測量，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量A，B，M，N在同一個鉛垂平面內（如示意圖）.飛機測量的數據有在A處觀察山頂M，N的俯角為：，在B處觀察山頂M，N的俯角為；，飛機飛行的距離AB為，請問：用以上測得的數據能否計算出兩山頂間的距離MN，若能，請幫助該建筑公司求出MN，結果精確到，若不能，請說明理由.
（參考數據：）
【變式6-2】（2022·高一課時練習）如圖，測量河對岸的塔高，可以選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C和D．現測得米，在點C測得塔頂A的仰角為，
(1)求的面積；
(2)求塔高．
【變式6-3】（2022春·河北保定·高一階段練習）西昌市邛瀘旅游風景區在邛海舉行搜救演練，如圖，、是邛海水面上位于東西方向相距公里的兩個觀測點，現位于點北偏東、點西北方向的點有一艘漁船發出求救信號，位于點南偏西且與點相距公里的點的救援船立即前往營救，其航行速度為公里/小時.求：
(1)觀測點與點處的漁船間的距離；
(2)點的救援船到達點需要多長時間？

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