資源簡介

(
平均數、眾數、中位數
)
【學習目標】
1.能夠充分了解算術平均數、加權平均數、眾數、中位數等幾種統計量的概念，并會熟練求各種統計量的值；
2.會用平均數、眾數、中位數描述一組數據的集中趨勢.
【重難點分析】
1.能夠充分理解幾種統計量的意義與求法，可以結合實際統計圖求相應的統計量；
2.掌握從不同角度分析一組數據的集中趨勢，進行決策分析.
【情景導入】
有關平均數的趣味題目：
劉木頭開了一家小工廠,生產兒童玩具.工廠的管理人員由劉木頭、他的弟弟及其他6個親戚組成.工作人員由5個領工和10個工人組成.現在需要一個新工人,劉木頭正在與一個叫小王的青年人談招聘問題.劉木頭說:“我們這里報酬不錯,平均每個人的薪金是每周300元,但在學徒期間每周是75元,不過很快就可以加工資.”
　小王上了幾天班以后,要求和廠長談談.小王說:“你騙我,我已經和其他工人核對過了,沒有一個人的工資超過每周100元.每人平均工資怎么可能是一周300元呢 ”
　劉木頭皮笑肉不笑地回答:“小王,不要激動嘛!每人平均工資確實是300元,不信你自己算一算.”劉木頭拿出一張表,說道:“這是我每周付出的薪金.我得2400元,我弟弟得1000元,我的6個親戚每人得250元,5個領工每人得200元,10個工人每人得100元.總共是每周6900元,付給23個人,平均每人得300元,對嗎 ”
　“對,對,你是對的,每人的平均工資是每周300元.可你還是騙了我.”小王生氣地說.
　劉木頭拍著小王的肩膀說:“這我可不同意,你自己算的結果也表明我沒騙你呀!小兄弟,你根本不懂得平均數的含義,怪不得別人喲!”
　同學們,你能當個小法官來判一下誰說的對嗎
【要點集結】
【精講精練】
平均數與加權平均數
一．平均數
一組數據中，有n個數據，分別記為x1、x2、……xn，則它們的平均數為：
注意：一組給定的數據的平均數是唯一的，它不一定是數據中的某個數據。
二、加權平均數
1.權：
含義：權表示數據的重要性。
表示形式：百分比或者整數比。例如：畢業成績評估中：平時成績占40%，期末考試成績占60%
2.加權平均數
加權平均數是不同比重數據的平均數，加權平均數就是把原始數據按照合理的比例來計算：若n個數中，x1出現f1次，x2出現f2次，xn出現fn次，那么： 叫做x1、x2、……xn的加權平均數．f1、f2、……fn是x1、x2、……xn的權。
例1. 一組數據2，3，5，7，8的平均數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】解：數據2，3，5，7，8的平均數==5．
故選D．
練習1.小明期末語、數、英三科的平均分為92分，她記得語文是88分，英語是95分，把數學成績忘記了，你知道小明數學多少分嗎？（ ）
A．93分 B．95分 C．92.5分 D．94分
【答案】A
【解析】解：設數學成績為x，
則（88+95+x）÷3=92，
解得x=93；
故本題選A．
練習2.為了滿足顧客的需求，某商場將5kg奶糖，3kg酥心糖和2kg水果糖混合成什錦糖出售．已知奶糖的售價為每千克40元，酥心糖為每千克20元，水果糖為每千克15元，混合后什錦糖的售價應為每千克（ ）
A．25元 B．28.5元 C．29元 D．34.5元
【答案】C
【解析】解：根據題意得：
（40×5+20×3+15×2）÷（5+3+2）=29（元），
答：混合后什錦糖的售價應為每千克29元．
故選C．
練習3.某中學舉行校園歌手大賽，7位評委給選手小明的評分如下表：
評委 1 2 3 4 5 6 7
得分 9.8 9.5 9.7 9.8 9.4 9.5 9.4
若比賽的計分方法是：去掉一個最高分，去掉一個最低分，其余分數的平均值作為該選手的最后得分，則小明的最后得分為（ ）
A．9.56 B．9.57 C．9.58 D．9.59
【答案】C
【解析】解：根據題意得小明的最后得分=（分）．
故選C．
練習4.已知5個數a1、a2、a3、a4、a5的平均數是a，則數據a1+1，a2+2，a3+3，a4+4，a5+5的平均數為（ ）
A．a B．a+3 C．a D．a+15
【答案】B
【解析】解：a+[（a1+1+a2+2+a3+3+a4+4+a5+5）﹣（a1+a2+a3+a4+a5）]÷5
=a+[1+2+3+4+5]÷5
=a+15÷5
=a+3
故選：B．
【小結】
關于平均數的與加權平均數的題型不但考察平均數與加權平均數的定義、計算方法。而且還可能與方程等知識聯系起來。
例2. 某學校要招聘一名教師，分筆試和面試兩次考試，筆試、面試和最后得分的滿分均為100分，競聘教師的最后得分按筆試成績：面試成績=3：2的比例計算．在這次招聘考試中，某競聘教師的筆試成績為90分，面試成績為80分，則該競聘教師的最后成績是（ ）
A．43分 B．85分 C．86分 D．170分
【答案】C
【解析】解：∵（90×3+80×2）÷（3+2）
=430÷5
=86（分）
∴該競聘教師的最后成績是86分．
故選：C．
練習1.假期里小菲和小琳結伴去超市買水果，三次購買的草莓價格和數量如下表：從平均價格看，誰買得比較劃算？（ ）
價格/（元/kg） 12 10 8 合計/kg
小菲購買的數量/kg 2 2 2 6
小琳購買的數量/kg 1 2 3 6
A．一樣劃算 B．小菲劃算 C．小琳劃算 D．無法比較
【答案】C
【解析】解：∵小菲購買的平均價格是：（12×2+10×2+8×2）÷6=10（元/kg），
小琳購買的平均價格是：（12×1+10×2+8×3）÷6=（元/kg），
∴小琳劃算；
故選C．
練習2.某次歌詠比賽，最后三名選手的成績統計如下：
測試項目 測試成績
王飛 李真 林楊
唱功 98 95 80
音樂常識 80 90 100
綜合知識 80 90 100
若唱功，音樂常識，綜合知識按6：3：1的加權平均分排出冠軍、亞軍、季軍、則冠軍，亞軍，季軍分別是
（ ）
A．王飛、李真、林楊 B．李真、王飛、林楊
C．王飛、林楊、李真 D．李真、林楊、王飛
【答案】B
【解析】解：王飛的成績是：（98×6+80×3+80）÷10=90.8（分）；
李真：（95×6+90×3+90）÷10=93（分）；
林楊：（80×6+100×3+100）÷10=88（分）．
∵93＞90.8＞88，
∴冠軍是李真、亞軍是王飛、季軍是林楊．
故選B．
練習3.有甲、乙、丙三種糖果混合而成的什錦糖100千克，其中各種糖果的單價和千克數如表所示，商家用加權平均數來確定什錦糖的單價．
甲種糖果 乙種糖果 丙種糖果
單價（元/千克） 20 25 30
千克數 40 40 20
（1）求該什錦糖的單價．
（2）為了使什錦糖的單價每千克至少降低2元，商家計劃在什錦糖中加入甲、丙兩種糖果共100千克，問其中最多可加入丙種糖果多少千克？
【答案】（1）24元；（2）最多0千克
【解析】解（1）根據題意得：（元/千克）．
答：該什錦糖的單價是24元/千克；
（2）設加入丙種糖果x千克，則加入甲種糖果（100﹣x）千克，根據題意得：
解得：x≤0．
答：最多可加入丙種糖果0千克．
【小結】
1.數據的權能夠反映數據的相對“重要程度”，要突出某個數據，只需要給它較大的“權”，權的差異對結果會產生直接的影響．
2.平均數能反應數據的一種集中趨勢，并多結合統計圖.
眾數與中位數
一、眾數
定義：一組數據中出現次數最多的數據成為這組數據的眾數。
注意：1、一組數據可能沒有眾數；如：2,3,4,5
2、眾數也可能有兩個；如：2,3,2,3,7,5,8
二、中位數
定義：將一組數據按照由小到大（或者由大到小）的順序排列，如果數據的個數為奇數，那么稱處于中間的數為這組數據的中位數；如果這組數據的個數為偶數，那么稱中間兩個數據的平均數為這組數據的中位數。
求中位數的步驟：1、排列數據；2、確定數據總數；3、確定中位數
例1.數據21、12、18、16、20、21的眾數和中位數分別是（ ）
A．21和19 B．21和17 C．20和19 D．20和18
【答案】A
【解析】解：在這一組數據中21是出現次數最多的，故眾數是21；
數據按從小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位數是（18+20）÷2=19，故中位數為19．
故選A．
練習1.2015年1月1日起，杭州市城區實行全新的階梯水價，之前為了解某社區居民的用水情況，隨機對該社區20戶居民進行了調查，下表是這20戶居民2014年8月份用水量的調查結果：那么關于這次用水量的調查和數據分析，下列說法錯誤的是（ ）
居民（戶） 1 2 8 6 2 1
月用水量（噸） 4 5 8 12 15 20
A．平均數是10（噸） B．眾數是8（噸） C．中位數是10（噸） D．樣本容量是20
【答案】C
【解析】解：A、平均數=（4×1+5×2+8×8+12×6+15×2+1×20）÷20=10（噸），正確，不符合題意；
B、眾數是8噸，正確，不符合題意．
C、中位數=（8+8）÷2=8（噸），錯誤，符合題意；
D、樣本容量為20，正確，不符合題意．
故選C．
練習2.一組數據：﹣1，1，3，4，a，若它們的平均數為2，則這組數據的眾數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：根據題意得：（﹣1+1+3+4+a）=2，
解得：a=3．
則組數據的眾數是3．
故選C．
練習3.某單位若干名職工參加普法知識競賽，將成績制成如圖所示的扇形統計圖和條形統計圖，根據圖中提供的信息，這些職工成績的中位數和平均數分別是（ ）
A．94分，96分 B．96分，96分 C．94分，96.4分 D．96分，96.4分
【答案】D
【解析】解：總人數為6÷10%=60（人），
則94分的有60×20%=12（人），
98分的有60﹣6﹣12﹣15﹣9=18（人），
第30與31個數據都是96分，這些職工成績的中位數是（96+96）÷2=96；
這些職工成績的平均數是（92×6+94×12+96×15+98×18+100×9）÷60
=（552+1128+1440+1764+900）÷60
=5784÷60
=96.4．
故選：D．
練習4.甲、乙、丙三個家電廠家在廣告中都聲稱，他們的某種電子產品在正常情況下的使用壽命都是8年，經質量檢測部門對這三家銷售的產品的使用壽命進行跟蹤調查，統計結果如下：（單位：年）
甲廠：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15
乙廠：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15
丙廠：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16
請回答下列問題：
（1）分別求出以上三組數據的平均數、眾數、中位數；
（2）這三個廠家的銷售廣告分別利用了哪一種表示集中趨勢的特征數；
（3）如果你是顧客，宜選購哪家工廠的產品？為什么？
【解答】解：（1）甲廠：平均數為，眾數為5，中位數為6；
乙廠：平均數為，眾數為8，中位數為8.5；
丙廠：平均數為，眾數為4，中位數為8；
（2）甲廠用的是平均數，乙廠用的是眾數，丙廠用的是中位數；
（3）平均數：乙大于丙大于甲；眾數：乙大于甲大于丙；中位數：乙大于丙大于甲，顧客在選購產品時，一般以平均數為依據，選平均數大的廠家的產品，
因此應選乙廠的產品．
【小結】
牢記一組數據中位數及眾數的求值方法：
眾數：一組數據中出現次數最多的數據成為這組數據的眾數。
求中位數的步驟：1、排列數據；2、確定數據總數；3、確定中位數
例2. 在我市舉辦的中學生“爭做文明盤錦人”演講比賽中，有15名學生進入決賽，他們決賽的成績各不相同，小明想知道自己能否進入前8名，不僅要了解自己的成績，還要了解這15名學生成績的（ ）
A．眾數 B．方差 C．平均數 D．中位數
【答案】D
【解析】解：由題意可得：
一名學生想要知道自己能否進入前8名，不僅要了解自己的成績，還要了解這15名學生成績的中位數，
故選D．
練習1.某專賣店專營某品牌的襯衫，店主對上一周中不同尺碼的襯衫銷售情況統計如下：
尺碼 39 40 41 42 43
平均每天銷售數量/件 10 12 20 12 12
該店主決定本周進貨時，增加了一些41碼的襯衫，影響該店主決策的統計量是（ ）
A．平均數 B．方差 C．眾數 D．中位數
【答案】C
【解析】解：由于眾數是數據中出現次數最多的數，故影響該店主決策的統計量是眾數．
故選：C．
練習2.某公司員工的月工資情況統計如下表：
員工人數 2 4 8 20 8 4
月工資（元） 5000 4000 2000 1500 1000 700
（1）分別計算該公司員工月工資的平均數、中位數和眾數；
（2）你認為用（1）中計算出的哪個數據來代表該公司員工的月工資水平更為合適？請簡要說明理由．
【分析】（1）根據平均數公式求平均數；
按從小到大的順序排列得到中間的兩數的平均值為中位數；出現次數最多的數為眾數；
（2）眾數，因為它出現的次數最多，能代表大部分人的工資水平．
【解答】解：（1）平均數
（元）
中位數=1500（元）
眾數=1500（元）
（2）眾數代表該公司員工的月工資水平更為合適．因為1500出現的次數最多，能代表大部分人的工資水平．
練習3.某餐廳共7名員工，所有員工的工資情況如下表所示：
人員 經理 廚師甲 廚師乙 會計 服務員甲 服務員乙 勤雜工
人數 1 1 1 1 1 1 1
工資額 3000 700 500 450 360 340 320
回答下列問題：
（1）餐廳所有員工的平均工資是多少元？
（2）所有員工工資的中位數是多少？
（3）用平均數還是用中位數來描述該餐廳員工工資的一般水平比較恰當？
（4）去掉經理的工資后，其他員工的平均工資是多少元是否也能反映該餐廳員工工資的一般水平？
【分析】（1）平均工資等于工資總數÷總人數．
（2）7個數據，中位數應是第4個數據．
（3）根據平均數和中位數的意義判斷；
（4）其他員工的平均工資=其余人的工資總數÷6．
【解析】解：（1）餐廳所有員工的平均工資=（3000+700+500+450+360+340+320）÷7=810（元）；
（2）表中的數是按從大到小的順序排列的，因而第四個數450（元）是中位數．
（3）用中位數來描述該餐廳員工工資的一般水平比較恰當
（4）去掉經理的工資后，其他員工的平均工資=（700+500+450+360+340+320）÷6=445（元）．
能反映該餐廳員工工資的一般水平．
【小結】
中位數：僅與數據排列位置有關，反應的是這組數據的中等水平。可靠性較差但是某些較大的數據變化對它沒有影響。
眾數：對一個數據出現次數的考察，大小只與數據中某部分數據有關。
【當堂總結】
一、平均數
把一組數據的總和除以這組數據的個數所得的商。平均數反映一組數據的平均水平，平均數分為平均數和加權平均數。平均數＝（+++…）。加權平均數=。
二、眾數、中位數
1、眾數
在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。
2、中位數
將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。
注意：
要求平均數只要求出數據之和再除以總個數即可；
找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數或兩個數的平均數為中位數；眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個。

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