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第7章 萬有引力與宇宙航行 第3講 萬有引力理論的成就
課前預(yù)習(xí)（看教材填空）
一、“稱量”地球的質(zhì)量
1．思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，物體的重力等于（ ）。
2．關(guān)系式：mg＝（ ）。
3．結(jié)果：m地＝（ ），只要知道地面的重力加速度g、地球的半徑R、引力常量G的值，就可計(jì)算出地球的質(zhì)量。
4．推廣：若知道其他星球表面的重力加速度和星球半徑，就可計(jì)算出該星球的質(zhì)量。
二、計(jì)算天體的質(zhì)量
1．思路：質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，（ ）提供向心力。
2．關(guān)系式：G＝mr。
3．結(jié)論：m太＝（ ），只要再知道引力常量G、行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r就可以計(jì)算出太陽的質(zhì)量。
4．推廣：若已知引力常量G、衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的周期和衛(wèi)星與行星之間的距離，就可計(jì)算出行星的質(zhì)量。
三、發(fā)現(xiàn)未知天體
1．海王星的發(fā)現(xiàn)：英國劍橋大學(xué)的學(xué)生（ ）和法國年輕的天文學(xué)家（ ）根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計(jì)算出天王星外“新”行星的軌道。1846年9月23日，德國的（ ）在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星。
2．其他天體的發(fā)現(xiàn)：海王星之外殘存著太陽系形成初期遺留的物質(zhì)。近100年來，人們?cè)诤Ｍ跣堑能壍乐庥职l(fā)現(xiàn)了（ ）、鬩神星等幾個(gè)較大的天體。
四、預(yù)言哈雷彗星回歸
1．英國天文學(xué)家（ ）從1337年到1698年的彗星記錄中挑選了24顆彗星，依據(jù)萬有引力定律，用一年的時(shí)間計(jì)算了它們的軌道。發(fā)現(xiàn)1531年、1607年和1682年出現(xiàn)的這三顆彗星軌道看起來如出一轍。他大膽預(yù)言，這三次出現(xiàn)的彗星是（ ），周期約為（ ），并預(yù)言它將于（ ）再次回歸。1759年3月這顆彗星如期通過了近日點(diǎn)。
2．海王星的發(fā)現(xiàn)和（ ）彗星的“按時(shí)回歸”確立了萬有引力定律的地位，也成為科學(xué)史上的美談。
課堂講解
知識(shí)點(diǎn)1、天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算
1．基本思路
一般行星或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力由中心天體對(duì)它的萬有引力提供。
2．兩個(gè)常用關(guān)系
(1)萬有引力提供向心力：G＝ma向＝m＝mω2r＝mr。
(2)物體在天體表面時(shí)受到的萬有引力等于物體的重力：mg＝G，得gR2＝Gm天，這表明gR2與Gm天可以相互替代。gR2＝Gm天通常被稱為黃金代換式。
3．四個(gè)重要結(jié)論
設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
項(xiàng)目 推導(dǎo)式 關(guān)系式 結(jié)論
v與r的關(guān)系 G＝m v＝ r越大，v越小
ω與r的關(guān)系 G＝mω2r ω＝ r越大，ω越小
T與r的關(guān)系 G＝mr2 T＝2π r越大，T越大
a與r的關(guān)系 G＝ma a＝ r越大，a越小
說明：從以上四個(gè)關(guān)系式我們可以得出，在描述某一天體繞另一中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的四個(gè)物理量線速度、角速度、向心加速度和周期中，只有周期隨半徑增大而增大，其他三個(gè)物理量都隨半徑的增大而減小．這一結(jié)論在很多定性判斷中很有用，因此要理解記憶．
4．解決天體運(yùn)動(dòng)問題時(shí)應(yīng)注意的問題
(1)在用萬有引力等于向心力的關(guān)系列式求天體的質(zhì)量時(shí)，只能求出中心天體的質(zhì)量，而環(huán)繞天體的質(zhì)量在方程式中被消掉了．
(2)應(yīng)用萬有引力定律求解問題時(shí)要注意挖掘題目中的隱含條件．如地球公轉(zhuǎn)一周是365天，自轉(zhuǎn)一周是24小時(shí)，其表面的重力加速度約為9.8 m/s2等．
例1、“祝融號(hào)”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設(shè)火星和地球的冬季是各自公轉(zhuǎn)周期的四分之一，且火星的冬季時(shí)長約為地球的1.88倍。火星和地球繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列關(guān)于火星、地球公轉(zhuǎn)的說法正確的是( )
A．火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大
B．火星公轉(zhuǎn)的角速度比地球的大
C．火星公轉(zhuǎn)的半徑比地球的小
D．火星公轉(zhuǎn)的加速度比地球的小
變式1、(多選)火星直徑約為地球直徑的，質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，它繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑約為地球繞太陽公轉(zhuǎn)半徑的1.5倍．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是(　 　)
A．火星表面重力加速度的數(shù)值比地球表面小
B．火星公轉(zhuǎn)的周期比地球的長
C．火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大
D．火星公轉(zhuǎn)的向心加速度比地球的大
知識(shí)點(diǎn)2、計(jì)算天體質(zhì)量的常用方法
使用方法 已知量 利用公式 表達(dá)式 備注
質(zhì)量的計(jì)算 利用運(yùn)行天體(天體環(huán)繞法) r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天體 的質(zhì)量
r、v G＝m M＝
v、T G＝m G＝mr M＝
質(zhì)量的計(jì)算 利用天體表面重力加速度(重力加速度法) 　 　 g、R mg＝G M＝ “黃金代換式” GM＝gR2
注意區(qū)分R、r、h的意義：一般情況下，R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑，h指行星或衛(wèi)星距離中心天體表面的高度，三者關(guān)系：r＝R＋h。
例2、　(多選)下列幾組數(shù)據(jù)中能算出地球質(zhì)量的是(引力常量G是已知的)(　　)
A．已知地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期和地球中心與太陽中心之間的距離
B．已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期和地球的半徑
C．已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度和月球中心與地球中心之間的距離
D．已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期和軌道半徑
變式2、(多選)一衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為r，周期為T，已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，則地球的質(zhì)量可表示為( )
A. B．
C. D．
知識(shí)點(diǎn)3、計(jì)算天體密度的常用方法
使用方法 已知量 利用公式 表達(dá)式 備注
密度的計(jì)算 利用運(yùn)行天體(天體環(huán)繞法) r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝， 當(dāng)r＝R時(shí)，ρ＝ 利用近地 衛(wèi)星只需 測出其運(yùn) 行周期　
利用天體表面重力加速度(重力加速度法)　　 g、R mg＝G M＝ρ·πR3 ρ＝ —
例3、(多選)已知月球半徑為R，地心與月球中心之間的距離為r，月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為T1，嫦娥4號(hào)飛船繞月球表面的運(yùn)行周期為T2，引力常量為G，由以上條件可知( )
A．地球質(zhì)量為 B．月球質(zhì)量為
C．地球的密度為 D．月球的密度為
變式3、“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星剛開始繞地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過變軌、制動(dòng)后，成為一顆繞月球做圓軌道運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星．設(shè)衛(wèi)星距月球表面的高度為h，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T.已知月球半徑為R，引力常量為G.(球的體積公式V＝πr3，其中r為球的半徑)求：
(1)月球的質(zhì)量M；
(2)月球表面的重力加速度g；
(3)月球的密度ρ.
課后鞏固
1．過去幾千年來，人類對(duì)行星的認(rèn)識(shí)與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51 peg b”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕．“51 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運(yùn)動(dòng)半徑的.該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為(　 　)
A． B．1
C．5 D．10
2．因“光纖之父”高錕的杰出貢獻(xiàn)，早在1996年中國科學(xué)院紫金山天文臺(tái)將一顆于1981年12月3日發(fā)現(xiàn)的國際編號(hào)為“3463”的小行星命名為“高錕星”．假設(shè)“高錕星”為均勻的球體，其質(zhì)量為地球質(zhì)量的倍，半徑為地球半徑的倍，則“高錕星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的(　 　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
3．銀河系的恒星中大約四分之一是雙星．某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由天文觀測得其周期為T，S1到C點(diǎn)的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知萬有引力常量為G.由此可求出S2的質(zhì)量為(　 　)
A． B．
C． D．
4．有一星球的密度與地球的密度相同，但它表面處的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，則該星球的質(zhì)量將是地球質(zhì)量的(　 　)
A． B．4倍
C．16倍 D．64倍
5．(多選)如右圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球相對(duì)飛行器的張角為θ.下列說法正確的是(　 　)
A．軌道半徑越大，周期越長
B．軌道半徑越大，速度越大
C．若測得周期和張角，可得到星球的平均密度
D．若測得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度
6．有兩個(gè)行星A、B，在這兩個(gè)行星表面附近各有一顆衛(wèi)星，如果這兩顆衛(wèi)星運(yùn)行的周期相等，則行星A、B的密度之比(　 　)
A．1：1　　　　　　　　　 B．2：1
C．1：2 D．無法計(jì)算
7．若地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期及其公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R, 月球繞地球公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)半徑分別為t和r，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為(　 　)
A． B．
C． D．
8．人造衛(wèi)星離地球表面距離等于地球半徑R，衛(wèi)星以速度v沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，設(shè)地面上的重力加速度為g，則(　 　)
A．v＝ B．v＝
C．v＝ D．v＝
9．一衛(wèi)星在某一行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測力計(jì)測量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時(shí)，彈簧測力計(jì)的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為(　 　)
A． B．
C． D．
10．所有繞同一恒星運(yùn)轉(zhuǎn)的行星，其軌道半徑的立方和運(yùn)轉(zhuǎn)周期的平方的比值即＝k，那么k的大小(　 　)
A．只與行星質(zhì)量有關(guān)
B．只與恒星質(zhì)量有關(guān)
C．與行星及恒星的質(zhì)量都有關(guān)
D．與恒星質(zhì)量及行星的速率有關(guān)
11．(多選)設(shè)想人類開發(fā)月球，不斷把月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上，假定經(jīng)過長時(shí)間開采后，地球仍可看作是均勻的球體，月球仍沿開采前的圓周軌道運(yùn)動(dòng)，則與開采前相比(　 　)
A．地球與月球間的萬有引力將變小
B．地球與月球間的萬有引力將變大
C．月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變長
D．月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變短
12．假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體．已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G.地球的密度為(　 　)
A． B．
C． D．
13．土星和地球均可近似看作球體，土星的半徑約為地球半徑的9.5倍，土星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的95倍，已知地球表面的重力加速度g0＝10 m/s2，地球密度約為ρ0＝5.5×103 kg/m3，試計(jì)算：
(1)土星的密度；
(2)土星表面的重力加速度．
14．借助于物理學(xué)，人們可以了解到無法用儀器直接測定的物理量，使人類對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)更完善．現(xiàn)已知太陽光經(jīng)過時(shí)間t到達(dá)地球，光在真空中的傳播速度為c，地球繞太陽的軌道可以近似認(rèn)為是圓，地球的半徑為R，地球赤道表面的重力加速度為g，地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的周期為T.試由以上數(shù)據(jù)及你所知道的物理知識(shí)推算太陽的質(zhì)量M與地球的質(zhì)量m之比為多大？(地球到太陽的間距遠(yuǎn)大于它們的大小)
本節(jié)課反饋（學(xué)生意見和建議反饋本節(jié)課掌握情況）：
參考答案
課前預(yù)習(xí)
地球?qū)ξ矬w的引力 G
行星與太陽間的萬有引力
亞當(dāng)斯 勒維耶 伽勒 冥王星
哈雷 同一顆星 76年 1758年底或1759 哈雷
課堂講解
答案 D
解析　由題意可知，火星的公轉(zhuǎn)周期大于地球的公轉(zhuǎn)周期，根據(jù)G＝mr可得T＝2π，可知火星的公轉(zhuǎn)半徑大于地球的公轉(zhuǎn)半徑，故C錯(cuò)誤；根據(jù)G＝m可得v＝，結(jié)合C選項(xiàng)，可知火星公轉(zhuǎn)的線速度小于地球公轉(zhuǎn)的線速度，故A錯(cuò)誤；根據(jù)ω＝可知火星公轉(zhuǎn)的角速度小于地球公轉(zhuǎn)的角速度，故B錯(cuò)誤；根據(jù)G＝ma可得a＝，可知火星公轉(zhuǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)的加速度，故D正確。
變式1、答案 AB
解析：由G＝mg得g＝G，計(jì)算得火星表面的重力加速度約為地球表面的，選項(xiàng)A正確；由G＝m2r得T＝2π，公轉(zhuǎn)軌道半徑大的周期長，選項(xiàng)B正確；周期大的線速度小(或由v＝判斷軌道半徑大的線速度小)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；公轉(zhuǎn)向心加速度a＝G，則火星公轉(zhuǎn)的向心加速度比地球的小，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
答案 CD
解析 已知地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期和地球的軌道半徑，只能求出太陽的質(zhì)量，而不能求出地球的質(zhì)量，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期和地球的半徑，而不知道月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，不能求出地球的質(zhì)量，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度和軌道半徑，由G＝mrω2可以求出地球的質(zhì)量，選項(xiàng)C正確；已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期和軌道半徑，由G＝mr可求得地球質(zhì)量為M＝，選項(xiàng)D正確．
變式2、答案 AC
解析　根據(jù)G＝mr得M＝，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；在地球的表面附近有mg＝G，則M＝，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。
答案 AD
解析　月球繞地球公轉(zhuǎn)，由萬有引力提供向心力得G＝m月r，解得地球的質(zhì)量m地＝，A正確，B錯(cuò)誤；地球的半徑未知，所以無法求解地球的密度，C錯(cuò)誤；飛船繞月球表面運(yùn)行，由萬有引力提供向心力得G＝m0R，解得月球的質(zhì)量m月＝，則月球的密度ρ＝＝＝，D正確。
變式3、答案 (1)　(2)(R＋h)3(3)(R＋h)3
解析：(1)萬有引力提供向心力，
有G＝m(R＋h)
解得月球的質(zhì)量M＝(R＋h)3；
(2)在月球表面，萬有引力等于重力，有G＝mg
解得月球表面的重力加速度g＝(R＋h)3；
(3)月球的密度ρ＝，V＝πR3，M＝(R＋h)3
聯(lián)立解得ρ＝(R＋h)3.
課后鞏固
答案 B
解析：行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，G＝mr2，M＝，該中心恒星的質(zhì)量與太陽的質(zhì)量之比＝·＝3×≈1.04，B項(xiàng)正確．
答案 C
解析：根據(jù)黃金代換式g＝，并利用題設(shè)條件，可求出C項(xiàng)正確．
答案 D
解析：設(shè)S1、S2兩星體的質(zhì)量分別為m1、m2，根據(jù)萬有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：對(duì)S1有G＝m12r1，解之可得m2＝.所以正確選項(xiàng)是D．
答案 D
解析：由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，＝·＝＝4.
結(jié)合題意，該星球半徑是地球半徑的4倍．
根據(jù)M＝得＝·＝64.
答案 AC
解析：由G＝mR得T＝·2π，可知A正確．由G＝m得v＝，可知B錯(cuò)誤．設(shè)軌道半徑為R，星球半徑為R0，由M＝和V＝πR得ρ＝3＝3，可判定C正確．當(dāng)測得T和R而不能測得R0時(shí)，不能得到星球的平均密度，故D錯(cuò)誤．
答案 A
答案 A
解析：無論地球繞太陽公轉(zhuǎn)還是月球繞地球公轉(zhuǎn)，統(tǒng)一表示為G＝mr，即M∝，所以＝，選項(xiàng)A正確．
答案 D
解析：人造衛(wèi)星的軌道半徑為2R，所以G＝m，又因?yàn)閙g＝G，聯(lián)立可得v＝，選項(xiàng)D正確．
答案 B
解析：由N＝mg得g＝.在行星表面G＝mg，衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，則G＝m，聯(lián)立以上各式得M＝，故選項(xiàng)B正確．
答案 B
解析：由＝mr2得k＝＝，所以k的大小只與恒星質(zhì)量有關(guān)，B正確．
答案 AD
解析：設(shè)地、月間的距離為r，它們的質(zhì)量分別為M、m，則它們之間的引力大小F＝G，隨著礦藏的開發(fā)，M變大，m變小，M·m變小，地、月間的萬有引力變小，故A正確，B錯(cuò)誤；由G＝mr得周期T＝2π，由于M變大，故月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期變短，C錯(cuò)誤，D正確．
答案 B
解析：在兩極處的物體所受的重力等于萬有引力，即G＝mg0，在赤道處的物體重力等于萬有引力與向心力的差值，則G－mg＝mR，則密度ρ＝＝·＝.B正確．
答案(1)0.61×103 kg/m3　(2)10.5 m/s2
解析：(1)星體的密度ρ＝＝，
＝＝≈0.11，
故土星的密度約為ρ＝0.11ρ0≈0.61×103 kg/m3.
(2)根據(jù)星球表面的物體受到的萬有引力近似等于物體的重力，有mg＝G，解得g＝
則＝＝≈1.05，
所以土星表面的重力加速度g＝1.05g0＝10.5 m/s2.
14、答案
解析：設(shè)地球繞太陽公轉(zhuǎn)軌道半徑為r，由萬有引力定律得：
G＝mr，①
在地球表面：G·＝m′g，②
r＝ct，③
由①②③可得：＝.

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