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專題10.5 頻率與概率（重難點題型精講）
1．頻率與概率
(1)頻率與概率的區(qū)別
頻率 本身是隨機的，在試驗之前是無法確定的，在相同的條件下做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗，得到的事件的頻率也可能會不同.
概率 本身是一個在[0,1]內(nèi)的確定值，不隨試驗結(jié)果的改變而改變.
舉例辨析 例如，在相同條件下擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)是521，則正面向上的頻率（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一個客觀常數(shù)，
(2)頻率的特點
隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生具有不確定性，但是，在相同條件下的大量重復(fù)試驗中，它發(fā)生的頻
率有以下特點.
①在某次隨機試驗中，事件A發(fā)生的頻率是一個變量，事先是無法確定的.但在大量重復(fù)試驗后，它又
具有穩(wěn)定性，即頻率在某個“常數(shù)”附近擺動，并且隨著試驗次數(shù)的增加，擺動的幅度具有越來越小的趨勢.
②有時候試驗也可能出現(xiàn)頻率偏離“常數(shù)”較大的情況，但是隨著試驗次數(shù)的增加，頻率偏離“常數(shù)”的可
能性會減小.
③個別隨機事件在一次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但在大量試驗中，它出現(xiàn)的次數(shù)與總試驗次數(shù)
之比常常是比較穩(wěn)定的.這種現(xiàn)象稱為頻率的穩(wěn)定性，是隨機事件內(nèi)在規(guī)律性的反映.
(3)頻率的穩(wěn)定性(用頻率估計概率)
大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地，隨著
試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的
概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率(A)估計概率P(A).
2．生活中的概率
(1)游戲的公平性
在各類游戲中，如果每個游戲參與者獲勝的概率相等，那么游戲是公平的.例如，在體育比賽中，裁判
員用抽簽器決定兩個運動員誰先發(fā)球，兩個運動員獲得發(fā)球權(quán)的概率均為0.5，所以這個規(guī)則是公平的.
(2)天氣預(yù)報的概率解釋
天氣預(yù)報是氣象專家依據(jù)氣象觀測資料和氣象學(xué)理論以及專家們的實際經(jīng)驗，經(jīng)過分析推斷得到的.天
氣預(yù)報的概率屬于主觀概率，這是因為在現(xiàn)有的條件下，不能對“天氣”做多次重復(fù)試驗，進行規(guī)律的總結(jié)，因此，在天氣預(yù)報中所提及的概率和我們前面通過頻率穩(wěn)定性來定義的概率并不一樣.
另外，天氣預(yù)報中降水概率的大小只能說明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次試驗中“降水”這個事件是否發(fā)生仍然是隨機的.例如，天氣預(yù)報說“明天降水的概率為90%”，盡管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是隨機事件，因此明天仍然有可能不下雨.
3．隨機數(shù)的產(chǎn)生
(1) 隨機數(shù)的定義
隨機數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)的每一個數(shù)的機會相等.
(2)產(chǎn)生隨機數(shù)的方法
①利用抽簽法產(chǎn)生隨機數(shù)
要產(chǎn)生1n(n∈)之間的隨機整數(shù)，把n個大小、形狀相同的小球分別標上1，2，3，，n放入一
個袋中，把它們充分攪拌，然后從中摸出一個球，這個球上的數(shù)就稱為隨機數(shù).
②利用計算機或計算器產(chǎn)生偽隨機數(shù)
計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)是依照確定算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性(周期很長)，它們具有類似隨機數(shù)
的性質(zhì).因此，計算機或計算器產(chǎn)生的并不是真正的隨機數(shù)，我們稱它們?yōu)閭坞S機數(shù).
(3)用隨機模擬法估計概率
①隨機模擬法產(chǎn)生的必要性
用頻率估計概率時，需做大量的重復(fù)試驗，費時費力，并且有些試驗具有破壞性，有些試驗無法進行，
因而隨機模擬試驗就成為一種重要的方法，它可以在短時間內(nèi)多次重復(fù).
②隨機模擬法估計概率的思想
隨機模擬法是通過將一次試驗所有可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)字化，用計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)來替代每
次試驗的結(jié)果.其基本思想是，用產(chǎn)生整數(shù)值的隨機數(shù)的頻率估計事件發(fā)生的概率.
③隨機模擬法的優(yōu)點
不需要對試驗進行具體操作，是一種簡單、實用的科研方法，可以廣泛地應(yīng)用到生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域
中去.
④隨機模擬法的步驟
建立概率模型；進行模擬試驗(可用計算器或計算機進行)；統(tǒng)計試驗結(jié)果.
【題型1 頻率與概率的區(qū)別與特點】
【方法點撥】
根據(jù)頻率與概率的區(qū)別，頻率的穩(wěn)定性等基礎(chǔ)知識，進行求解即可.
【例1】（2023·高一課時練習(xí)）以下說法正確的是（ ）
A．概率與試驗次數(shù)有關(guān) B．在試驗前無法確定概率
C．頻率與試驗次數(shù)無關(guān) D．頻率是在試驗后得到的
【解題思路】根據(jù)頻率和概率的特征判斷即可.
【解答過程】概率本身是一個在內(nèi)的確定值，不隨試驗結(jié)果的改變而改變，故AB錯誤；
頻率本身是隨機的，在試驗之前是無法確定的，在相同條件下做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗，
得到的事件的頻率值也可能會不同，故C錯誤，D正確.
故選：D.
【變式1-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列四個命題中真命題的個數(shù)為（ ）個
①有一批產(chǎn)品的次品率為，則從中任意取出件產(chǎn)品中必有件是次品；
②拋次硬幣，結(jié)果次出現(xiàn)正面，則出現(xiàn)正面的概率是；
③隨機事件發(fā)生的概率就是這個隨機事件發(fā)生的頻率；
④擲骰子次，得點數(shù)為的結(jié)果有次，則出現(xiàn)點的頻率為.
A． B． C． D．
【解題思路】由頻率和概率的概念與意義進行辨析即可.
【解答過程】對于①，一批產(chǎn)品的次品率即出現(xiàn)次品的概率，它表示的是產(chǎn)品中出現(xiàn)次品的可能性的大小，并非表示件產(chǎn)品中必有件次品，故①不是真命題；
對于②，拋次硬幣，結(jié)果次出現(xiàn)正面，可知出現(xiàn)正面的頻率是，而非概率，故②不是真命題；
對于③，隨機事件發(fā)生的概率不隨試驗次數(shù)的多少而發(fā)生變化，是事件的一種固有屬性，而隨機事件發(fā)生的頻率，會發(fā)生變化，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會穩(wěn)定于概率，但頻率只是概率的近似值，并不表示概率就是頻率，故③不是真命題；
對于④，擲骰子次，得點數(shù)為的結(jié)果有次，即次試驗中，“出現(xiàn)點”這一事件發(fā)生了次，則出現(xiàn)點的頻率為，故④為真命題.
綜上所述，真命題個數(shù)為個.
故選：A.
【變式1-2】（2022秋·河北保定·高二階段練習(xí)）拋擲一枚硬幣100次，正面向上的次數(shù)為48次，下列說法正確的是（　?。?br/>A．正面向上的概率為0.48 B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的頻率為0.48 D．反面向上的頻率是0.48
【解題思路】根據(jù)頻率和概率的定義逐項判定可得答案.
【解答過程】對于A，正面向上的概率為0.5，是固定不變的，故錯誤；
對于B，反面向上的概率也是0.5，是固定不變的，故錯誤；
對于C，拋擲一枚硬幣100次，正面向上的次數(shù)為48次，根據(jù)頻率的定義可知，正面向上的頻率為0.48，正確；
對于D，拋擲一枚硬幣100次，正面向上的次數(shù)為48次，反面向上的次數(shù)為52次，根據(jù)頻率的定義可知，反面向上的頻率是0.52，故錯誤.
故選：C.
【變式1-3】（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）考慮擲硬幣試驗，設(shè)事件“正面朝上”，則下列論述正確的是（ ）
A．擲2次硬幣，事件“一個正面，一個反面”發(fā)生的概率為
B．擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)一定是4
C．重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率
D．當投擲次數(shù)足夠多時，事件A發(fā)生的頻率接近0.5
【解題思路】根據(jù)隨機事件的性質(zhì)可判斷A，B；根據(jù)頻率與概率的關(guān)系可判斷C，D.
【解答過程】擲2次硬幣，事件“一個正面，一個反面”發(fā)生的概率，A錯誤；
擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機的，B錯誤；
重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率無限接近于事件A發(fā)生的概率，C錯誤；
當投擲次數(shù)足夠多時，事件A發(fā)生的頻率接近0.5，D正確.
故選：D.
【題型2 頻率估計概率在統(tǒng)計中的應(yīng)用】
【方法點撥】
此類題目的解題方法是：先利用頻率的計算公式依次計算出各個頻率，然后根據(jù)頻率與概率的關(guān)系估計事
件發(fā)生的概率，據(jù)此得出統(tǒng)計推斷.
【例2】（2022秋·陜西榆林·高二階段練習(xí)）從某高校隨機抽樣100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的樣本數(shù)據(jù)，整理得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：，．
(1)求這100名學(xué)生中該周課外閱讀時間在范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)；
(2)估計該校學(xué)生每周課外閱讀時間超過6小時的概率．
【解題思路】（1）根據(jù)頻率之和為1，求出周課外閱讀時間在的頻率，即可求解；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求出每周課外閱讀時間超過6小時的頻率之和，即可得出結(jié)論.
【解答過程】（1）由圖易知，該周課外閱讀時間在的頻率為：
，
這100名學(xué)生中該周課外閱讀時間在范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為人．
（2）每周課外閱讀時間超過6小時的頻率為，
估計該校學(xué)生每周課外閱讀時間超過6小時的概率為．
【變式2-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）某超市從2019年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機抽取100個，并按，，，，分組，得到頻率分布直方圖如下，假設(shè)甲、乙兩種酸奶的日銷售量相互獨立.
（1）寫出頻率分布直方圖（甲）中的的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為，，試比較與的大?。唬ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）
（2）用頻率估計概率，求在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于20箱的概率.
【解題思路】（1）根據(jù)頻率之和為1求得，根據(jù)數(shù)據(jù)的集中程度可比較方差；
（2）分別求出未來的某一天，甲、乙種酸奶的銷售量不高于20箱的概率即可求出.
【解答過程】（1）根據(jù)頻率分布直方圖（甲）可得：，解得，
根據(jù)兩個頻率分布直方圖可得，乙種酸奶日銷售量數(shù)據(jù)更集中，所以；
（2）設(shè)事件A：在未來的某一天，甲種酸奶的銷售量不高于20箱，
事件B：在未來的某一天，乙種酸奶的銷售量不高于20箱，
事件C：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于20箱，
則，，
所以.
【變式2-2】（2023·高一課時練習(xí)）某校高三分為四個班.調(diào)研測試后，隨機地在各班抽取部分學(xué)生進行測試成績統(tǒng)計，各班被抽取的學(xué)生數(shù)依次為22，，，人．抽取出來的所有學(xué)生的測試成績統(tǒng)計結(jié)果的頻率分布條形圖如圖所示，其中120~130（包括120分但不包括130分）的頻率為0.05，此分數(shù)段的人數(shù)為5人.
(1)問各班被抽取的學(xué)生人數(shù)各為多少人？
(2)在抽取的所有學(xué)生中，任取一名學(xué)生，求分數(shù)不小于90分的概率．
【解題思路】（1）由頻率分布條形圖知抽取的學(xué)生總數(shù)，各班被抽取的學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則求出可得答案；
（2）任取一名學(xué)生，分數(shù)不低于90分的概率等于1減去分數(shù)低于90分的概率，結(jié)合頻率分布直方圖可得答案.
【解答過程】（1）由頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)知，抽取的學(xué)生總數(shù)為人，又各班被抽取的學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，人數(shù)最少的班被抽取了22人，則首項為22.設(shè)公差為d，則，，因此各班被抽取的人數(shù)分別是22人，24人，26人，28人；
（2）在抽取的所有學(xué)生中，任取一名學(xué)生，分數(shù)不低于90分的概率等于1減去分數(shù)低于90分的概率，而分數(shù)低于90分的概率等于，因此所求概率為10.25=0.75.
【變式2-3】（2023秋·北京平谷·高二期末）某高中高一500名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示．
(1)從總體的500名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于60的概率；
(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；
(3)估計隨機抽取的100名學(xué)生分數(shù)的眾數(shù)，估計測評成績的75%分位數(shù)；
(4)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．
【解題思路】（1）由對立事件結(jié)合頻率分布直方圖先得出數(shù)不小于60的頻率，即可得出分數(shù)小于60的頻率，則可得出總體的500名學(xué)生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于60的概率估計值；
（2）先由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于50的頻率，即可得出分數(shù)不小于50的人數(shù)，在集合題意即可得出總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；
（3）總數(shù)為頻率分布直方圖中頻率最高的分數(shù)區(qū)間的中間值，測評成績的75%分位數(shù)先得出從前到后的頻率之和為0.75時在那個區(qū)間，在通過頻率求出；
（4）先由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)，在通過已知得出樣本中的男女生比例，即可得出總體中男女生的比例估計.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于60的頻率為：，
則分數(shù)小于60的頻率為：，
故從總體的500名學(xué)生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于60的概率估計為；
（2）由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于50的頻率為：，
則分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為：人，
則總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為：人；
（3）由頻率分布直方圖可得分數(shù)在區(qū)間的頻率最高，
則隨機抽取的100名學(xué)生分數(shù)的眾數(shù)估計為，
由頻率分布直方圖可得分數(shù)小于70的頻率為，分數(shù)小于80的頻率為，
則測評成績的75%分位數(shù)落在區(qū)間上，
則測評成績的75%分位數(shù)為；
（4）由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為人，
因為樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等
所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為人，
又因為樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，
所以樣本中的男生共有人，
則樣本中的女生共有人，
所以總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為.
【題型3 游戲公平性的判斷】
【方法點撥】
無論是怎樣的游戲，游戲公平與否就是看參與游戲的每個個體獲勝的概率是否相同，相同則公平，不相同
則不公平.
【例3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）甲、乙兩人做游戲，下列游戲中不公平的是（ ）
A．拋一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則乙勝
B．同時拋兩枚相同的骰子，向上的點數(shù)之和大于7則甲勝，否則乙勝
C．從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝
D．甲、乙兩人各寫一個數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝
【解題思路】運用古典概型的概率計算公式，分別計算A，B，C，D中的概率，結(jié)合題意，即可得到所求結(jié)論．
【解答過程】解：A項，P（點數(shù)為奇數(shù)）＝P（點數(shù)為偶數(shù)）＝；
B項，P（點數(shù)之和大于7）＝，P（點數(shù)之和小于等于7）＝；
C項，P（牌色為紅）＝P（牌色為黑）＝；
D項，P（同奇或同偶）＝P（奇偶不同）＝．
故選：B.
【變式3-1】（2022·高二課時練習(xí)）張明與張華兩人做游戲,下列游戲中不公平的是(　　)
①拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝,向上的點數(shù)為偶數(shù)則張華獲勝;
②同時拋擲兩枚硬幣,恰有一枚正面向上則張明獲勝,兩枚都正面向上則張華獲勝;
③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則張明獲勝,撲克牌是黑色的則張華獲勝;
④張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8,如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝,否則張華獲勝.
A．①② B．② C．②③④ D．①②③④
【解題思路】分別計算①、②、③、④中的概率，結(jié)合題意，即可得到所求結(jié)論．
【解答過程】①拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)是等可能的，均為，所以公平；
②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)兩種情況,而兩枚都正面向上僅為(正,正),因此②中游戲不公平.
③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色和黑色是等可能的，均為，所以公平；
④張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8,一共四種情況(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，兩人寫的數(shù)字相同和不同是等可能的，均為，所以公平；.
故選B.
【變式3-2】（2022·高二課時練習(xí)）下面有三種游戲規(guī)則：袋子中分別裝有大小相同的球，從袋中取球．
游戲1 游戲2 游戲3
3個黑球和1個白球 1個黑球和1個白球 2個黑球和2個白球
取1個球，再取1個球 取1個球 取1個球，再取1個球
取出兩個球同色→甲勝 取出的球是黑球→甲勝 取出的兩個球同色→甲勝
取出的兩個球不同色→乙勝 取出的球是白球→乙勝 取出的兩個球不同色→乙勝
其中不公平的游戲是（ ）
A．游戲1； B．游戲1和游戲3； C．游戲2； D．游戲3．
【解題思路】依次求出每個游戲中甲勝的概率，然后可得答案，
【解答過程】游戲1中，取2個球的所有可能情況為：（黑1，黑2）、（黑1，黑3）、（黑2，黑3）、（黑1，白）、（黑2，白）、（黑3，白），
所以甲勝的可能性為0.5，故游戲是公平的；
游戲2中，顯然甲勝的可能性為0.5，游戲是公平的；
游戲3中，取2個球的所有可能情況為：（黑1，黑2）、（黑1，白1）、（黑1，白2）、（黑2，白1）、（黑2，白2）、（白1，白2），
所以甲勝的可能性為，游戲是不公平的．
故選：D．
【變式3-3】（2022·高一課時練習(xí)）甲、乙兩人做游戲,下列游戲不公平的是(　　)
A．拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)為奇數(shù)則甲獲勝,向上的點數(shù)為偶數(shù)則乙獲勝
B．同時拋擲兩枚硬幣,恰有一枚正面向上則甲獲勝,兩枚都正面向上則乙獲勝
C．從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則甲獲勝,撲克牌是黑色的則乙獲勝
D．甲、乙兩人各寫一個數(shù)字1或2,如果兩人寫的數(shù)字相同甲獲勝,否則乙獲勝
【解題思路】分別計算各選項中的概率，結(jié)合題意，即可得到所求結(jié)論．
【解答過程】對于A：拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)為奇數(shù)的概率為，向上的點數(shù)為偶數(shù)的概率為故A公平；
對于B中同時拋擲兩枚硬幣,恰有一枚正面向上的概率為，兩枚都正面向上的概率為 所以對乙不公平
對于C：從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的概率為，撲克牌是黑色的概率為，所以公平；
對于D：甲、乙兩人各寫一個數(shù)字1或2,如果兩人寫的數(shù)字相同的概率為，數(shù)字不同的概率為，所以公平；
故選B.
【題型4 概率模擬問題】
【方法點撥】
求解概率模擬問題的注意點
(1)選擇適當?shù)奶娲铮驗樘娲锏倪x取是否合理決定了試驗結(jié)果的可信度，因此在用替代物模擬試驗中，
要求必須在相同條件下進行.
(2)用計算機(器)模擬試驗時對隨機數(shù)范圍的確定.例如，有20張大小相同的卡片，分別寫有1~20的數(shù)，從
中隨機抽取一張，求結(jié)果是5的倍數(shù)的概率，在這種情況下，隨機數(shù)的范圍應(yīng)是1~20內(nèi)的整數(shù).
【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）氣象臺預(yù)報“本市未來三天降雨的概率都為30%”，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計未來三天降雨的情況：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三天降雨的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683
431 257 393 027 556 481 730 113 537 989
據(jù)此估計，未來三天恰有一天降雨的概率為（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【解題思路】由隨機數(shù)組確定表示降雨的隨機數(shù)組后可得概率．
【解答過程】表示未來三天恰有一天降雨的有：925，815，683，257，027，481，730，537共8個，
概率為，
故選：C．
【變式4-1】（2022秋·湖北·高二期中）在一個實驗中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機產(chǎn)生出[0，9]之間整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
據(jù)此估計三只豚鼠中至少一只被感染的概率為（　?。?
A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75
【解題思路】根據(jù)題意分析隨機數(shù)中沒有1，2，3，4中的數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)對立事件的概率求解即可
【解答過程】由題意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的對立事件為三只豚鼠都沒被感染，隨機數(shù)中滿足三只豚鼠都沒被感染的有907，966，569，556，989共5個，故三只豚鼠都沒被感染的概率為，則三只豚鼠中至少一只被感染的概率為，
故選：D.
【變式4-2】（2023秋·陜西榆林·高二期末）天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計算機產(chǎn)生了10組隨機數(shù)為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．據(jù)此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，計算隨機數(shù)中每組數(shù)中有2個數(shù)字在集合中判斷即可
【解答過程】由題意，隨機數(shù)中417，386，196，206表示這三天中恰有兩天下雨，故估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為
故選：B.
【變式4-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計算器或計算機產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，由于成功率是0.6，我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個隨機數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生如下10組隨機數(shù)：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【解題思路】由題可知10組隨機數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有2組，即求.
【解答過程】解：由題意，10組隨機數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有： 569, 989，故2個，
故估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為.
故選：A.專題10.5 頻率與概率（重難點題型精講）
1．頻率與概率
(1)頻率與概率的區(qū)別
頻率 本身是隨機的，在試驗之前是無法確定的，在相同的條件下做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗，得到的事件的頻率也可能會不同.
概率 本身是一個在[0,1]內(nèi)的確定值，不隨試驗結(jié)果的改變而改變.
舉例辨析 例如，在相同條件下擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)是521，則正面向上的頻率（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一個客觀常數(shù)，
(2)頻率的特點
隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生具有不確定性，但是，在相同條件下的大量重復(fù)試驗中，它發(fā)生的頻
率有以下特點.
①在某次隨機試驗中，事件A發(fā)生的頻率是一個變量，事先是無法確定的.但在大量重復(fù)試驗后，它又
具有穩(wěn)定性，即頻率在某個“常數(shù)”附近擺動，并且隨著試驗次數(shù)的增加，擺動的幅度具有越來越小的趨勢.
②有時候試驗也可能出現(xiàn)頻率偏離“常數(shù)”較大的情況，但是隨著試驗次數(shù)的增加，頻率偏離“常數(shù)”的可
能性會減小.
③個別隨機事件在一次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但在大量試驗中，它出現(xiàn)的次數(shù)與總試驗次數(shù)
之比常常是比較穩(wěn)定的.這種現(xiàn)象稱為頻率的穩(wěn)定性，是隨機事件內(nèi)在規(guī)律性的反映.
(3)頻率的穩(wěn)定性(用頻率估計概率)
大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地，隨著
試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的
概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率(A)估計概率P(A).
2．生活中的概率
(1)游戲的公平性
在各類游戲中，如果每個游戲參與者獲勝的概率相等，那么游戲是公平的.例如，在體育比賽中，裁判
員用抽簽器決定兩個運動員誰先發(fā)球，兩個運動員獲得發(fā)球權(quán)的概率均為0.5，所以這個規(guī)則是公平的.
(2)天氣預(yù)報的概率解釋
天氣預(yù)報是氣象專家依據(jù)氣象觀測資料和氣象學(xué)理論以及專家們的實際經(jīng)驗，經(jīng)過分析推斷得到的.天
氣預(yù)報的概率屬于主觀概率，這是因為在現(xiàn)有的條件下，不能對“天氣”做多次重復(fù)試驗，進行規(guī)律的總結(jié)，因此，在天氣預(yù)報中所提及的概率和我們前面通過頻率穩(wěn)定性來定義的概率并不一樣.
另外，天氣預(yù)報中降水概率的大小只能說明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次試驗中“降水”這個事件是否發(fā)生仍然是隨機的.例如，天氣預(yù)報說“明天降水的概率為90%”，盡管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是隨機事件，因此明天仍然有可能不下雨.
3．隨機數(shù)的產(chǎn)生
(1) 隨機數(shù)的定義
隨機數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)的每一個數(shù)的機會相等.
(2)產(chǎn)生隨機數(shù)的方法
①利用抽簽法產(chǎn)生隨機數(shù)
要產(chǎn)生1n(n∈)之間的隨機整數(shù)，把n個大小、形狀相同的小球分別標上1，2，3，，n放入一
個袋中，把它們充分攪拌，然后從中摸出一個球，這個球上的數(shù)就稱為隨機數(shù).
②利用計算機或計算器產(chǎn)生偽隨機數(shù)
計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)是依照確定算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性(周期很長)，它們具有類似隨機數(shù)
的性質(zhì).因此，計算機或計算器產(chǎn)生的并不是真正的隨機數(shù)，我們稱它們?yōu)閭坞S機數(shù).
(3)用隨機模擬法估計概率
①隨機模擬法產(chǎn)生的必要性
用頻率估計概率時，需做大量的重復(fù)試驗，費時費力，并且有些試驗具有破壞性，有些試驗無法進行，
因而隨機模擬試驗就成為一種重要的方法，它可以在短時間內(nèi)多次重復(fù).
②隨機模擬法估計概率的思想
隨機模擬法是通過將一次試驗所有可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)字化，用計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)來替代每
次試驗的結(jié)果.其基本思想是，用產(chǎn)生整數(shù)值的隨機數(shù)的頻率估計事件發(fā)生的概率.
③隨機模擬法的優(yōu)點
不需要對試驗進行具體操作，是一種簡單、實用的科研方法，可以廣泛地應(yīng)用到生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域
中去.
④隨機模擬法的步驟
建立概率模型；進行模擬試驗(可用計算器或計算機進行)；統(tǒng)計試驗結(jié)果.
【題型1 頻率與概率的區(qū)別與特點】
【方法點撥】
根據(jù)頻率與概率的區(qū)別，頻率的穩(wěn)定性等基礎(chǔ)知識，進行求解即可.
【例1】（2023·高一課時練習(xí)）以下說法正確的是（ ）
A．概率與試驗次數(shù)有關(guān) B．在試驗前無法確定概率
C．頻率與試驗次數(shù)無關(guān) D．頻率是在試驗后得到的
【變式1-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列四個命題中真命題的個數(shù)為（ ）個
①有一批產(chǎn)品的次品率為，則從中任意取出件產(chǎn)品中必有件是次品；
②拋次硬幣，結(jié)果次出現(xiàn)正面，則出現(xiàn)正面的概率是；
③隨機事件發(fā)生的概率就是這個隨機事件發(fā)生的頻率；
④擲骰子次，得點數(shù)為的結(jié)果有次，則出現(xiàn)點的頻率為.
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022秋·河北保定·高二階段練習(xí)）拋擲一枚硬幣100次，正面向上的次數(shù)為48次，下列說法正確的是（　　）
A．正面向上的概率為0.48 B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的頻率為0.48 D．反面向上的頻率是0.48
【變式1-3】（2022·上海·高二專題練習(xí)）考慮擲硬幣試驗，設(shè)事件“正面朝上”，則下列論述正確的是（ ）
A．擲2次硬幣，事件“一個正面，一個反面”發(fā)生的概率為
B．擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)一定是4
C．重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率
D．當投擲次數(shù)足夠多時，事件A發(fā)生的頻率接近0.5
【題型2 頻率估計概率在統(tǒng)計中的應(yīng)用】
【方法點撥】
此類題目的解題方法是：先利用頻率的計算公式依次計算出各個頻率，然后根據(jù)頻率與概率的關(guān)系估計事
件發(fā)生的概率，據(jù)此得出統(tǒng)計推斷.
【例2】（2022秋·陜西榆林·高二階段練習(xí)）從某高校隨機抽樣100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的樣本數(shù)據(jù)，整理得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：，．
(1)求這100名學(xué)生中該周課外閱讀時間在范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)；
(2)估計該校學(xué)生每周課外閱讀時間超過6小時的概率．
【變式2-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）某超市從2019年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機抽取100個，并按，，，，分組，得到頻率分布直方圖如下，假設(shè)甲、乙兩種酸奶的日銷售量相互獨立.
（1）寫出頻率分布直方圖（甲）中的的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為，，試比較與的大??；（只需寫出結(jié)論）
（2）用頻率估計概率，求在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于20箱的概率.
【變式2-2】（2023·高一課時練習(xí)）某校高三分為四個班.調(diào)研測試后，隨機地在各班抽取部分學(xué)生進行測試成績統(tǒng)計，各班被抽取的學(xué)生數(shù)依次為22，，，人．抽取出來的所有學(xué)生的測試成績統(tǒng)計結(jié)果的頻率分布條形圖如圖所示，其中120~130（包括120分但不包括130分）的頻率為0.05，此分數(shù)段的人數(shù)為5人.
(1)問各班被抽取的學(xué)生人數(shù)各為多少人？
(2)在抽取的所有學(xué)生中，任取一名學(xué)生，求分數(shù)不小于90分的概率．
【變式2-3】（2023秋·北京平谷·高二期末）某高中高一500名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示．
(1)從總體的500名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于60的概率；
(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；
(3)估計隨機抽取的100名學(xué)生分數(shù)的眾數(shù)，估計測評成績的75%分位數(shù)；
(4)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．
【題型3 游戲公平性的判斷】
【方法點撥】
無論是怎樣的游戲，游戲公平與否就是看參與游戲的每個個體獲勝的概率是否相同，相同則公平，不相同
則不公平.
【例3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）甲、乙兩人做游戲，下列游戲中不公平的是（ ）
A．拋一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則乙勝
B．同時拋兩枚相同的骰子，向上的點數(shù)之和大于7則甲勝，否則乙勝
C．從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝
D．甲、乙兩人各寫一個數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝
【變式3-1】（2022·高二課時練習(xí)）張明與張華兩人做游戲,下列游戲中不公平的是(　　)
①拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝,向上的點數(shù)為偶數(shù)則張華獲勝;
②同時拋擲兩枚硬幣,恰有一枚正面向上則張明獲勝,兩枚都正面向上則張華獲勝;
③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則張明獲勝,撲克牌是黑色的則張華獲勝;
④張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8,如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝,否則張華獲勝.
A．①② B．② C．②③④ D．①②③④
【變式3-2】（2022·高二課時練習(xí)）下面有三種游戲規(guī)則：袋子中分別裝有大小相同的球，從袋中取球．
游戲1 游戲2 游戲3
3個黑球和1個白球 1個黑球和1個白球 2個黑球和2個白球
取1個球，再取1個球 取1個球 取1個球，再取1個球
取出兩個球同色→甲勝 取出的球是黑球→甲勝 取出的兩個球同色→甲勝
取出的兩個球不同色→乙勝 取出的球是白球→乙勝 取出的兩個球不同色→乙勝
其中不公平的游戲是（ ）
A．游戲1； B．游戲1和游戲3； C．游戲2； D．游戲3．
【變式3-3】（2022·高一課時練習(xí)）甲、乙兩人做游戲,下列游戲不公平的是(　　)
A．拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)為奇數(shù)則甲獲勝,向上的點數(shù)為偶數(shù)則乙獲勝
B．同時拋擲兩枚硬幣,恰有一枚正面向上則甲獲勝,兩枚都正面向上則乙獲勝
C．從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則甲獲勝,撲克牌是黑色的則乙獲勝
D．甲、乙兩人各寫一個數(shù)字1或2,如果兩人寫的數(shù)字相同甲獲勝,否則乙獲勝
【題型4 概率模擬問題】
【方法點撥】
求解概率模擬問題的注意點
(1)選擇適當?shù)奶娲铮驗樘娲锏倪x取是否合理決定了試驗結(jié)果的可信度，因此在用替代物模擬試驗中，
要求必須在相同條件下進行.
(2)用計算機(器)模擬試驗時對隨機數(shù)范圍的確定.例如，有20張大小相同的卡片，分別寫有1~20的數(shù)，從
中隨機抽取一張，求結(jié)果是5的倍數(shù)的概率，在這種情況下，隨機數(shù)的范圍應(yīng)是1~20內(nèi)的整數(shù).
【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）氣象臺預(yù)報“本市未來三天降雨的概率都為30%”，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計未來三天降雨的情況：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三天降雨的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683
431 257 393 027 556 481 730 113 537 989
據(jù)此估計，未來三天恰有一天降雨的概率為（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【變式4-1】（2022秋·湖北·高二期中）在一個實驗中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機產(chǎn)生出[0，9]之間整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
據(jù)此估計三只豚鼠中至少一只被感染的概率為（　?。?
A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75
【變式4-2】（2023秋·陜西榆林·高二期末）天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計算機產(chǎn)生了10組隨機數(shù)為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．據(jù)此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計算器或計算機產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，由于成功率是0.6，我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個隨機數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生如下10組隨機數(shù)：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5

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