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專題10.3 事件的相互獨立性（重難點題型精講）
1．事件的相互獨立性
(1)定義
對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.
(2)性質
若事件A與B相互獨立，則與B，A與，與也相互獨立.
(3)應用
因為“A與B相互獨立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要條件，所以如果已知兩個事件是相互獨立的，則由它
們各自發生的概率可以迅速得到它們同時發生的概率.在實際問題中，我們常常依據實際背景去判斷事件之間是否存在相互影響，若認為事件之間沒有影響，則認為它們相互獨立.
(4)推廣
兩個事件的相互獨立性可以推廣到n(n>2，n∈)個事件的相互獨立性，即若事件，，，相互獨立，則這n個事件同時發生的概率P()=P()P()P().
2．互斥事件與相互獨立事件的辨析
(1)互斥事件與相互獨立事件都描述的是兩個事件間的關系，但互斥事件強調不可能同時發生，相互獨立事件則強調一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響.用表格表示如下：
相互獨立事件 互斥事件
判斷方法 一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響. 兩個事件不可能同時發生，即AB=.
概率公式 若事件A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B). 若事件A與B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.
(2)已知事件A，B發生的概率分別為P(A)，P(B)，我們有如下結論：
事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互獨立）
A，B中至少有一個發生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB)
A，B都發生 P(AB) 0 P(A)P(B)
A，B都不發生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P()
A，B恰有一個發生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B)
A，B中至多有一個發生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B)
【題型1 獨立性的判斷】
【方法點撥】
(1)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以準確地判斷兩個事件是否相互獨立.
(2)定性法：直觀地判斷一個事件發生與否對另一個事件的發生的概率是否有影響，若沒有影響就是相互獨
立事件.
【例1】（2022·全國·高三專題練習）下列事件中，是相互獨立事件的是（ ）
A．一枚硬幣擲兩次，“第一次為正面”，“第二次為反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”
C．擲一枚骰子，“出現點數為奇數”，“出現點數為偶數”
D．“人能活到20歲”，“人能活到50歲”
【解題思路】利用相互獨立事件的概念，對四個選項逐一分析排除，從而得出正確選項.
【解答過程】解：對于A中，把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結果不受先后影響，故是獨立事件；
對于B：兩個事件是不放回地摸球，顯然事件與事件不相互獨立；
對于C，事件A，B應為互斥事件，不相互獨立；
對于D是條件概率，事件受事件的影響．
故選：A．
【變式1-1】（2023·高一課時練習）袋中有黑、白兩種顏色的球，從中進行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，則與是（ ）
A．相互獨立事件 B．不相互獨立事件
C．互斥事件 D．對立事件
【解題思路】根據相互獨立事件的含義即可判斷.
【解答過程】由題意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影響,故事件與是相互獨立事件，
由于與可能同時發生，故不是互斥事件也不是對立事件.
故選：A.
【變式1-2】（2022秋·廣東梅州·高二階段練習）拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的骰子，記下股子朝上面的點數.用表示紅色股子的點數，用表示綠色骰子的點數，用表示一次試驗的結果.定義事件：“為奇數”，事件“”，事件“”，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．A與互斥
C．與獨立 D．A與獨立
【解題思路】A選項，利用古典概型求概率公式得到，從而得到；由得到B正確；求出，判斷出與獨立，由得到D錯誤.
【解答過程】由題意得：當一奇一偶時，為奇數，
若為奇數，為偶數，有種情況，同理若為偶數，為奇數，有種情況，則共有種情況
則，
，故，A選項正確；
因為當一奇一偶時，為奇數，故，同理當時，一定是偶數，
故，互斥，B選項正確；
“”包含或6，而可能取值為6種，故共有種情況，故，
而事件包含兩種情況，即，故，
由，得與獨立，C正確；
因為，故A與B不獨立，D錯誤.
故選：D.
【變式1-3】（2023秋·浙江紹興·高三期末）數字1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字的的六位數，A表示事件“1和2相鄰”，B表示事件“偶數不相鄰”，C表示事件“任何連續兩個位置奇偶性都不相同”，D表示事件“奇數按從小到大的順序排列”．則（ ）
A．事件A與事件B相互獨立 B．事件A與事件C相互獨立
C．事件A與事件D相互獨立 D．事件B與事件C相互獨立
【解題思路】根據排列組合分別計算概率，進而根據相互獨立事件滿足的概率公式即可求解.
【解答過程】，
對于A，，故A錯誤，
對于B，,故B錯誤，
對于C，，故C正確，
對于D，,故D錯誤.
故選：C.
【題型2 相互獨立事件的概率】
【方法點撥】
利用相互獨立事件的概率乘法公式，進行求解即可.
【例2】（2023秋·山東濟寧·高二期末）假設，且與相互獨立，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據獨立事件的并事件的概率公式計算.
【解答過程】由與相互獨立，
則.
故選：B．
【變式2-1】（2022·高一課時練習）已知事件A，B相互獨立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，給出下列四個式子：①P(AB)＝0.12；②P(B)＝0.18；③P(A)＝0.28；④P( )＝0.42.其中正確的有(　　)
A．4個 B．2個
C．3個 D．1個
【解題思路】根據獨立事件的概率公式，進行求解即可.
【解答過程】根據事件A，B相互獨立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，知在①中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.3＝0.12，故①正確；在②中，P(B)＝P()P(B)＝0.6×0.3＝0.18，故②正確；在③中，P(A)＝P(A)P()＝0.4×0.7＝0.28，故③正確；在④中P()＝P()P()＝0.6×0.7＝0.42，故④正確，
故選A.
【變式2-2】（2022春·安徽安慶·高一期末）設事件A，B相互獨立，，，則（ ）
A．0.36 B．0.504 C．0.54 D．0.9
【解題思路】根據獨立事件的概率計算公式，結合題意，帶值求解即可.
【解答過程】根據題意，互斥，相互獨立，，相互獨立，，相互獨立，
故
.
故選：C.
【變式2-3】（2022春·山西太原·高一期末）設，，是一個隨機試驗中的三個事件，且，，，給出下列結論：
①若與互斥，則；
②若與獨立，則；
③若，，兩兩獨立，則；
④若，則，，兩兩獨立．
則其中正確結論的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】根據互斥事件、對立事件以及相互獨立事件的性質逐個判定即可
【解答過程】對A，若與互斥，則根據互斥事件不能同時發生可得，又，，故A正確；
對B，若與獨立，則，故B錯誤；
對C，若，，兩兩獨立，且，則，但事件不一定與相互獨立，故C錯誤；
對D，若，則事件與相互獨立，但推導不出，，兩兩獨立，故D錯誤；
故選：B.
【題型3 事件相互獨立的應用】
【方法點撥】
實際問題中，計算相互獨立事件同時發生的概率，先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件.對于計算
問題：將題中所求事件轉化為若干個獨立事件的交事件，利用獨立事件的性質和推廣求解.
【例3】（2022·高一單元測試）甲、乙、丙三人能獨立解決某一問題的概率分別是，，，則此三人至少有一個人把此問題解決的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設此三人至少有一個人把此問題解決為事件，計算出三人都沒有把此問題解決的概率，再由間接法可得答案.
【解答過程】設此三人至少有一個人把此問題解決為事件，
三人都沒有把此問題解決的概率是，
則此三人至少有一個人把此問題解決的概率是.
故選：D.
【變式3-1】（2022·高二單元測試）一個袋子中有4個紅球，n個綠球，采用不放回的方式從中依次隨機地取出2個球，若取出第二個球是紅球的概率為0.4，那么n的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【解題思路】結合已知條件，分類討論第一個球的顏色，按照獨立事件的乘法公式即可求解.
【解答過程】若取出的第一個球為紅色，
則第二個球也是紅色的概率；
若取出的第一個球為綠色，
則第二個球是紅色的概率.
所以取出第二個球是紅色的概率，
解得，.
故選：C.
【變式3-2】（2022春·黑龍江綏化·高二期中）某學校餐廳就餐刷卡器是由三個電子元件按如圖所示的方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則刷卡器能正常工作.如果各個元件能否正常工作相互獨立，元件1、元件2正常工作的概率都是，元件3正常工作的概率是，那么該刷卡器能正常工作的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用對立事件的概率求出元器件1和2至少一個正常工作的概率，再由相互獨立事件同時發生的概率公式求刷卡器正常工作的概率即可.
【解答過程】該刷卡器能正常工作需要元器件1和2至少有一個正常工作，同時元器件3正常工作，
所以刷卡器能正常工作的概率.
故選：B.
【變式3-3】（2022·高一單元測試）高一年級某同學參加了學校“數學社”“物理社”“話劇社”三個社團的選拔，該同學能否成功進入這三個社團是相互獨立的．假設該同學能夠進入“數學社”“物理社”“話劇社”三個社團的概率分別為，，，該同學進入兩個社團的概率為，且三個社團都進不了的概率為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用相互獨立事件的概率乘法公式，列出關于，的方程組，求解即可．
【解答過程】解：由題意可知，該同學可以進入兩個社團的概率為，
則①，
又三個社團都進不了的概率為，
所以②，
由①②可得，．
故選：A．
【題型4 互斥事件、事件的相互獨立性的綜合應用】
【方法點撥】
閱讀題目，分析事件之間的關系，一般將問題劃分為若干個彼此互斥的事件，然后運用互斥事件的概率加
法公式和相互獨立事件的概率乘法公式求解.
【例4】（2022秋·陜西榆林·高二階段練習）甲乙兩運動員進行乒乓球比賽，采用7局4勝制．在一局比賽中，先得11分的運動員為勝方，但打到10：10平后，先多得2分者為勝方．在10：10平后，雙方實行輪換發球法，每人每次只發1個球．若在某局比賽中，甲發球時甲得分的概率為，乙發球時甲得分的概率為，各球的結果相互獨立，在雙方10：10平后，甲先發球，則甲以13：11贏下此局的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意，分為乙分別在第一二場勝兩種情況，結合概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.
【解答過程】由題意，此局分兩種情況：
（1）后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為：；
（2）后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為：；
所以，所求事件概率為.
故選：C.
【變式4-1】（2022·高一單元測試）甲、乙兩人比賽，每局甲獲勝的概率為，各局的勝負之間是獨立的，某天兩人要進行一場三局兩勝的比賽，先贏得兩局者為勝，無平局．若第一局比賽甲獲勝，則甲獲得最終勝利的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分兩種情況（甲第二局獲勝或甲第二局負，第三局獲勝）討論得解.
【解答過程】解：根據題意知只需考慮剩下兩局的情況，
（1）甲要獲勝，則甲第二局獲勝，此時甲獲得最終勝利的概率為；
（2）甲要獲勝，則甲第二局負，第三局獲勝，所以甲獲得最終勝利的概率為．
故甲獲得最終勝利的概率為.
故選：B.
【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習）2021年神舟十二號、十三號載人飛船發射任務都取得圓滿成功，這意味著我國的科學技術和航天事業取得重大進步．現有航天員甲、乙、丙三個人，進入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項試驗任務，工作時間不超過10分鐘，如果10分鐘內完成任務則試驗成功結束任務，10分鐘內不能完成任務則撤回再派下一個人，每個人只派出一次．已知甲、乙、丙10分鐘內試驗成功的概率分別為，，，每個人能否完成任務相互獨立，該項試驗任務按照甲、乙、丙順序派出，則試驗任務成功的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】把試驗任務成功的事件拆成三個互斥事件的和，再求出每個事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式計算作答.
【解答過程】試驗任務成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，
事件，，互斥，，，，
所以試驗任務成功的概率.
故選：D.
【變式4-3】（2022·全國·統考高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
【解題思路】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率.并對三者進行比較即可解決
【解答過程】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，
記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為，
則此時連勝兩盤的概率為，
則
；
記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，
則，
記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為，
則，
則，
，
即，，
則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；
與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關.選項A判斷錯誤.
故選：D.專題10.3 事件的相互獨立性（重難點題型精講）
1．事件的相互獨立性
(1)定義
對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.
(2)性質
若事件A與B相互獨立，則與B，A與，與也相互獨立.
(3)應用
因為“A與B相互獨立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要條件，所以如果已知兩個事件是相互獨立的，則由它
們各自發生的概率可以迅速得到它們同時發生的概率.在實際問題中，我們常常依據實際背景去判斷事件之間是否存在相互影響，若認為事件之間沒有影響，則認為它們相互獨立.
(4)推廣
兩個事件的相互獨立性可以推廣到n(n>2，n∈)個事件的相互獨立性，即若事件，，，相互獨立，則這n個事件同時發生的概率P()=P()P()P().
2．互斥事件與相互獨立事件的辨析
(1)互斥事件與相互獨立事件都描述的是兩個事件間的關系，但互斥事件強調不可能同時發生，相互獨立事件則強調一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響.用表格表示如下：
相互獨立事件 互斥事件
判斷方法 一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響. 兩個事件不可能同時發生，即AB=.
概率公式 若事件A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B). 若事件A與B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.
(2)已知事件A，B發生的概率分別為P(A)，P(B)，我們有如下結論：
事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互獨立）
A，B中至少有一個發生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB)
A，B都發生 P(AB) 0 P(A)P(B)
A，B都不發生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P()
A，B恰有一個發生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B)
A，B中至多有一個發生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B)
【題型1 獨立性的判斷】
【方法點撥】
(1)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以準確地判斷兩個事件是否相互獨立.
(2)定性法：直觀地判斷一個事件發生與否對另一個事件的發生的概率是否有影響，若沒有影響就是相互獨
立事件.
【例1】（2022·全國·高三專題練習）下列事件中，是相互獨立事件的是（ ）
A．一枚硬幣擲兩次，“第一次為正面”，“第二次為反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”
C．擲一枚骰子，“出現點數為奇數”，“出現點數為偶數”
D．“人能活到20歲”，“人能活到50歲”
【變式1-1】（2023·高一課時練習）袋中有黑、白兩種顏色的球，從中進行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，則與是（ ）
A．相互獨立事件 B．不相互獨立事件
C．互斥事件 D．對立事件
【變式1-2】（2022秋·廣東梅州·高二階段練習）拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的骰子，記下股子朝上面的點數.用表示紅色股子的點數，用表示綠色骰子的點數，用表示一次試驗的結果.定義事件：“為奇數”，事件“”，事件“”，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．A與互斥
C．與獨立 D．A與獨立
【變式1-3】（2023秋·浙江紹興·高三期末）數字1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字的的六位數，A表示事件“1和2相鄰”，B表示事件“偶數不相鄰”，C表示事件“任何連續兩個位置奇偶性都不相同”，D表示事件“奇數按從小到大的順序排列”．則（ ）
A．事件A與事件B相互獨立 B．事件A與事件C相互獨立
C．事件A與事件D相互獨立 D．事件B與事件C相互獨立
【題型2 相互獨立事件的概率】
【方法點撥】
利用相互獨立事件的概率乘法公式，進行求解即可.
【例2】（2023秋·山東濟寧·高二期末）假設，且與相互獨立，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022·高一課時練習）已知事件A，B相互獨立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，給出下列四個式子：①P(AB)＝0.12；②P(B)＝0.18；③P(A)＝0.28；④P( )＝0.42.其中正確的有(　　)
A．4個 B．2個
C．3個 D．1個
【變式2-2】（2022春·安徽安慶·高一期末）設事件A，B相互獨立，，，則（ ）
A．0.36 B．0.504 C．0.54 D．0.9
【變式2-3】（2022春·山西太原·高一期末）設，，是一個隨機試驗中的三個事件，且，，，給出下列結論：
①若與互斥，則；
②若與獨立，則；
③若，，兩兩獨立，則；
④若，則，，兩兩獨立．
則其中正確結論的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【題型3 事件相互獨立的應用】
【方法點撥】
實際問題中，計算相互獨立事件同時發生的概率，先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件.對于計算
問題：將題中所求事件轉化為若干個獨立事件的交事件，利用獨立事件的性質和推廣求解.
【例3】（2022·高一單元測試）甲、乙、丙三人能獨立解決某一問題的概率分別是，，，則此三人至少有一個人把此問題解決的概率是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·高二單元測試）一個袋子中有4個紅球，n個綠球，采用不放回的方式從中依次隨機地取出2個球，若取出第二個球是紅球的概率為0.4，那么n的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【變式3-2】（2022春·黑龍江綏化·高二期中）某學校餐廳就餐刷卡器是由三個電子元件按如圖所示的方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則刷卡器能正常工作.如果各個元件能否正常工作相互獨立，元件1、元件2正常工作的概率都是，元件3正常工作的概率是，那么該刷卡器能正常工作的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·高一單元測試）高一年級某同學參加了學校“數學社”“物理社”“話劇社”三個社團的選拔，該同學能否成功進入這三個社團是相互獨立的．假設該同學能夠進入“數學社”“物理社”“話劇社”三個社團的概率分別為，，，該同學進入兩個社團的概率為，且三個社團都進不了的概率為，則（ ）
A． B． C． D．
【題型4 互斥事件、事件的相互獨立性的綜合應用】
【方法點撥】
閱讀題目，分析事件之間的關系，一般將問題劃分為若干個彼此互斥的事件，然后運用互斥事件的概率加
法公式和相互獨立事件的概率乘法公式求解.
【例4】（2022秋·陜西榆林·高二階段練習）甲乙兩運動員進行乒乓球比賽，采用7局4勝制．在一局比賽中，先得11分的運動員為勝方，但打到10：10平后，先多得2分者為勝方．在10：10平后，雙方實行輪換發球法，每人每次只發1個球．若在某局比賽中，甲發球時甲得分的概率為，乙發球時甲得分的概率為，各球的結果相互獨立，在雙方10：10平后，甲先發球，則甲以13：11贏下此局的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022·高一單元測試）甲、乙兩人比賽，每局甲獲勝的概率為，各局的勝負之間是獨立的，某天兩人要進行一場三局兩勝的比賽，先贏得兩局者為勝，無平局．若第一局比賽甲獲勝，則甲獲得最終勝利的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習）2021年神舟十二號、十三號載人飛船發射任務都取得圓滿成功，這意味著我國的科學技術和航天事業取得重大進步．現有航天員甲、乙、丙三個人，進入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項試驗任務，工作時間不超過10分鐘，如果10分鐘內完成任務則試驗成功結束任務，10分鐘內不能完成任務則撤回再派下一個人，每個人只派出一次．已知甲、乙、丙10分鐘內試驗成功的概率分別為，，，每個人能否完成任務相互獨立，該項試驗任務按照甲、乙、丙順序派出，則試驗任務成功的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2022·全國·統考高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

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