資源簡介

專題10.1 隨機事件與概率（重難點題型精講）
1．有限樣本空間
(1)隨機試驗
我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示.我們感興趣的是具
有以下特點的隨機試驗：
①試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；
②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；
③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.
(2)有限樣本空間
我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間.
一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點.如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果，，，，
則稱樣本空間={，，，}為有限樣本空間.
2．事件
(1)隨機事件
一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們
將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母A，B，C，表示.在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.
(2)必然事件
A作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件.
(3)不可能事件
空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱 為不可能事件.
3．事件的關(guān)系和運算
(1)兩個事件的關(guān)系和運算
事件的關(guān)系或運算 含義 符號表示 圖形表示
包含 A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生
并事件 （和事件） A與B至少一個發(fā)生 或
交事件 （積事件） A與B同時發(fā)生 或
互斥 （互不相容） A與B不能同時發(fā)生
互為對立 A與B有且僅有一個發(fā)生 ，
(2)多個事件的和事件、積事件
類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.對于多個事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或
A+B+C+)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，中至少一個發(fā)生，A∩B∩C∩ (或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，同時發(fā)生.
4．樣本空間中樣本點的求法
(1)列舉法
列舉法也稱枚舉法.對于一些情境比較簡單，樣本點個數(shù)不是很多的概率問題，計算時只需一一列舉，
即可得出隨機事件所包含的樣本點.注意列舉時必須按一定順序，做到不重不漏.
(2)列表法
對于樣本點個數(shù)不是太多的情況，可以采用列表法.通常把對問題的思考分析歸結(jié)為“有序?qū)崝?shù)對”，以
便更直接地得到樣本點個數(shù).列表法的優(yōu)點是準(zhǔn)確、全面、不易遺漏，其中最常用的方法是坐標(biāo)系法.
(3)樹狀圖法
樹狀圖法適用于按順序排列的較復(fù)雜問題中樣本點個數(shù)的求解，是一種常用的方法.
5．用集合觀點看事件間的關(guān)系
符號 概率角度 集合角度
必然事件 全集
不可能事件 空集
試驗的可能結(jié)果 中的元素
事件 的子集
的對立事件 的補集
事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集
事件A等于事件B 集合A等于集合B
或 事件A與事件B的并（和）事件 集合A與B的并集
或 事件A與事件B的交（積）事件 集合A與B的交集
事件A與事件B互斥 集合A與B的交集為空集
，且 事件A與事件B對立 集合A與B互為補集
6．古典概型
(1)事件的概率
對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定義
我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.
(3)古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)
一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：有限性和等可能性.并不是所
有的試驗都是古典概型.
下列三類試驗都不是古典概型：
①樣本點(基本事件)個數(shù)有限，但非等可能;
②樣本點(基本事件)個數(shù)無限，但等可能；
③樣本點(基本事件)個數(shù)無限，也不等可能.
7．古典概型的概率計算公式
一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間A包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分別表示事件A和樣本空間包含的樣本點個數(shù).
8．概率的基本性質(zhì)
性質(zhì)1 對任意的事件A，都有P（A）≥0.
性質(zhì)2 必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（）= 1，P()=0.
性質(zhì)3 如果事件A與事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推廣：如果事件A1，A2，…，Am．兩兩互斥，那么事件發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性質(zhì)4 如果事件A與事件B互為對立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B).
性質(zhì)5 如果，那么P（A）≤P（B）.
性質(zhì)6 設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P（）=P（A）＋P（B） P（）.
【題型1 事件的分類】
【方法點撥】
根據(jù)隨機事件、必然事件與不可能事件的定義，進行求解即可.
【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）以下事件是隨機事件的是（ ）
A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈
C．長和寬分別為的矩形，其面積為 D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根
【解題思路】根據(jù)隨機事件的概念判斷即可
【解答過程】解：A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會沸騰，是必然事件；故本選項不符合題意；
B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件；故本選項符合題意；
C．長和寬分別為的矩形，其面積為是必然事件；故本選項不符合題意；
D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根，是必然事件．故本選項不符合題意．
故選：B．
【變式1-1】（2023·高一課時練習(xí)）下列四個事件：
①明天上海的天氣有時有雨；②東邊日出西邊日落；③雞蛋里挑骨頭；④守株待兔．
其中必然事件有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【解題思路】判斷選項中每個事件為隨機事件還是必然事件還是不可能事件，可得答案.
【解答過程】由題意可知，①明天上海的天氣有時有雨為隨機事件；
②東邊日出西邊日落為必然事件；
③雞蛋里挑骨頭為不可能事件；
④守株待兔為隨機事件，
故必然事件有1個，
故選：B.
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列事件中，是隨機事件的是（ ）
①經(jīng)過有交通信號燈的路口，剛好是紅燈；
②投擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，點數(shù)之和為14；
③拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，字朝上；
④13個人中至少有2個人的生日在同一個月.
A．①③ B．③④ C．①④ D．②③
【解題思路】由隨機事件，不可能事件和必然事件的定義判斷即可.
【解答過程】解：由題可知，①③可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機事件；
對于②，骰子最大的點數(shù)為6，2顆骰子的點數(shù)之和不可能為14，故②是不可能事件；
對于④，每年有12個月，13個人中至少有2個人的生日在同一個月，故④是必然事件.
故選：A.
【變式1-3】（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（ ）
A．事件“都是紅色卡片”是隨機事件
B．事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是必然事件
D．事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機事件
【解題思路】根據(jù)隨機事件、必然事件、不可能事件的定義判斷.
【解答過程】袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，
在A中，事件“都是紅色卡片”是隨機事件，故A正確；
在B中，事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件，故B正確；
在C中，事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是隨機事件，故C錯誤；
在D中，事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機事件，故D正確．
故選：C．
【題型2 事件與樣本空間】
【方法點撥】
求試驗的樣本空間主要是通過觀察、分析、模擬試驗，列舉出各個樣本點.對于樣本點個數(shù)的計算，要保證
列舉出的試驗結(jié)果不重不漏.寫樣本空間時應(yīng)注意兩大問題：一是抽取的方式是否為不放回抽取；二是試驗
結(jié)果是否與順序有關(guān).
【例2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）一個家庭有兩個小孩，則樣本空間為（ ）
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
【解題思路】列舉出所有可能結(jié)果，由此可得樣本空間.
【解答過程】兩個小孩的所有結(jié)果是：男男，男女，女男，女女，
則所有樣本空間為{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．
故選：C.
【變式2-1】（2022秋·廣東佛山·高二階段練習(xí)）體育彩票搖獎時，將10個質(zhì)地和大小完全相同，分別標(biāo)有號碼0，1，2，…，9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬髶u出一個球．記“搖到的球的號碼小于6”為事件，則事件包含的樣本點的個數(shù)為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解題思路】根據(jù)樣本空間及樣本點的定義即可求解.
【解答過程】由題意可知，事件,共個樣本點.
故選：C.
【變式2-2】（2022·高一課時練習(xí)）先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，此試驗的樣本空間為（ ）
A．正面，反面
B．｛正面，反面｝
C．｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝
D．｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝
【解題思路】利用列舉法可得答案
【解答過程】解：先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，此試驗的樣本空間為
｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝
故選：D.
【變式2-3】（2022·高二課時練習(xí)）在試驗：連續(xù)射擊一個目標(biāo)10次，觀察命中的次數(shù)中，事件A=“至少命中6次”，則下列說法正確的是
A．樣本空間中共有10個樣本點
B．事件A中有6個樣本點
C．樣本點6在事件A內(nèi)
D．事件A中包含樣本點11
【解題思路】連續(xù)射擊一個目標(biāo)10次，可能全部脫靶，最好的情況是全部命中，故有11個樣本點；事件A={6,7,8,9,10}，由此判斷選項。
【解答過程】樣本空間中有11個樣本點，故A錯；
事件A中有5個樣本點，故B錯；
樣本點中沒有11，故D錯.
故選：C.
【題型3 事件的關(guān)系及運算】
【方法點撥】
根據(jù)事件之間的關(guān)系，結(jié)合具體問題，進行轉(zhuǎn)化求解.
進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必
要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析.也可類比集合的關(guān)系和運算用Venn圖分析事件.
【例3】（2022秋·上海徐匯·高二期末）設(shè)M，N為兩個隨機事件，如果M，N為互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C．與一定為互斥事件 D．與一定不為互斥事件
【解題思路】根據(jù)對立事件和互斥事件的定義，再借助維恩圖即可求解.
【解答過程】因為M，N為互斥事件，則有以下兩種情況，如圖所示
（第一種情況）
（第二種情況）
無論哪種情況，均是必然事件．故A正確．如果是第一種情況，不是必然事件，故B不正確，如果是第一種情況，與不一定為互斥事件，故C不正確，如果是第二種情況，與一定為互斥事件，故D不正確.
故選：A.
【變式3-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）拋擲一枚骰子，“向上的面的點數(shù)是1或2”為事件，“向上的面的點數(shù)是2或3”為事件，則（ ）
A． B．
C．表示向上的面的點數(shù)是1或2或3 D．表示向上的面的點數(shù)是1或2或3
【解題思路】由題意，得到事件，所包含的基本事件，由此分析判斷即可．
【解答過程】解：由題意可知，，，，，
所以，，2，，
則表示向上的面的點數(shù)是1或2或3，故ABD錯誤，C正確．
故選：C．
【變式3-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，那么互斥不對立的兩個事件是（ ）
A．恰有1名女生與恰有2名女生 B．至多有1名女生與全是男生
C．至多有1名男生與全是男生 D．至少有1名女生與至多有1名男生
【解題思路】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念對選項逐一分析，由此選出正確選項．
【解答過程】“從中任選2名同學(xué)參加演講比賽”所包含的基本情況有：
兩男、兩女、一男一女．
恰有1名女生與恰有2名女生是互斥且不對立的兩個事件，故A正確；
至多有1名女生與全是男生不是互斥事件，故B錯誤；
至多有1名男生與全是男生既互斥又對立，故C錯誤；
至少有1名女生與至多有1名男生不是互斥事件，故D錯誤．
故選：A．
【變式3-3】（2022·高一單元測試）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關(guān)系不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)至少有1名男生包含2名全是男生 1名男生1名女生，則，，可判斷A,C; 事件B與D是互斥事件,判斷B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判斷D.
【解答過程】至少有1名男生包含2名全是男生 1名男生1名女生，故，，
故A，C正確；
事件B與D是互斥事件，故，故B正確，
表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，
故，D錯誤，
故選：D.
【題型4 古典概型的判斷及其概率的求解】
【方法點撥】
第一步，閱讀題目，判斷試驗是否是古典概型；
第二步，計算樣本空間中的樣本點個數(shù)n；
第三步，計算所求事件A包含的樣本點個數(shù)k；
第四步，計算所求事件A的概率，.
【例4】（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）為培養(yǎng)學(xué)生“愛讀書 讀好書 普讀書”的良好習(xí)慣，某校創(chuàng)建了人文社科類 文學(xué)類 自然科學(xué)類三個讀書社團．甲 乙兩位同學(xué)各自參加其中一個社團，每位同學(xué)參加各個社團的可能性相同，則這兩位同學(xué)恰好參加同一個社團的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)古典概型公式即可求解.
【解答過程】記人文社科類 文學(xué)類 自然科學(xué)類三個讀書社團分別為，
則甲 乙兩位同學(xué)各自參加其中一個社團的基本事件有共9種，
而這兩位同學(xué)恰好參加同一個社團包含的基本事件有共3種，
故這兩位同學(xué)恰好參加同一個社團的概率.
故選：A.
【變式4-1】（2023·吉林通化·模擬預(yù)測）隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們“向上的點數(shù)之和不超過5”的概率記為”，“向上的點數(shù)之和為奇數(shù)”的概率記為，“向上的點數(shù)之積為偶數(shù)”的概率記為”，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】用列舉法結(jié)合古典概型的公式求出，，即可求解．
【解答過程】把隨機擲兩枚骰子的所有可能結(jié)果列表如下：
共有36種等可能的結(jié)果，
其中“向上的點數(shù)之和不超過5”的有10種情況，
“向上的點數(shù)之和為奇數(shù)”的有18種情況，
“向上的點數(shù)之積為偶數(shù)”的有27種情況，
所以“向上的點數(shù)之和不超過5”的概率，
“向上的點數(shù)之和為奇數(shù)”的概率，
“向上的點數(shù)之積為偶數(shù)”的概率，
因為，
所以，
故選：A．
【變式4-2】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）如圖，這是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.現(xiàn)用紅色和藍(lán)色給這4個三角形區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)古典概型概率的計算公式即可求解.
【解答過程】將四塊三角形區(qū)域編號如下，
由題意可得總的涂色方法有種，
若相鄰的區(qū)域所涂顏色不同，即12同色，34同色，故符合條件的涂色方法有2種，
故所求概率.
故選：A.
【變式4-3】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有6個大小相同 質(zhì)地均勻的小球，球上標(biāo)有數(shù)字1，3，3，4，5，6.從這6個小球中隨機取出兩個球，如果已經(jīng)知道取出的球中有數(shù)字3.則所取出的兩個小球上數(shù)字都是3的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】列出事件所含基本事件，根據(jù)古典概型求解即可.
【解答過程】任取兩個小球，則出的球中有數(shù)字3的事件有
，共9個基本事件，
其中所取出的兩個小球上數(shù)字都是3的基本事件共1個，
所以所取出的兩個小球上數(shù)字都是3的概率.
故選：C.
【題型5 概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用】
【方法點撥】
根據(jù)具體問題，準(zhǔn)確表示事件，分析事件之間的關(guān)系，結(jié)合概率的基本性質(zhì)，計算概率.
【例5】（2023春·安徽·高一開學(xué)考試）若事件為兩個互斥事件，且，有以下四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（ ）
①
②
③
④
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【解題思路】根據(jù)互斥事件的含義可判斷①；根據(jù)題意可知，從而判斷②；根據(jù)概率的性質(zhì)可判斷③④．
【解答過程】事件為兩個互斥事件，，，故①正確；
事件為兩個互斥事件，則，，故②錯誤；
，故③正確；
，故④正確，
綜上，①③④正確，
故選：A．
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機事件，，中，與互斥，與對立，且，，則（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【解題思路】由對立事件概率關(guān)系得到發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計算公式求P(A + B).
【解答過程】因為，事件與對立，所以，又，與互斥，
所以.
故選：C.
【變式5-2】（2022·高一課時練習(xí)）若隨機事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性質(zhì)列式即可作答.
【解答過程】因隨機事件，互斥，則，
依題意及概率的性質(zhì)得，即，
解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
【變式5-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）袋子中有5個質(zhì)地完全相同的球，其中2個白球，3個是紅球，從中不放回地依次隨機摸出兩個球，記第一次摸到紅球”，“第二次摸到紅球”，則以下說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用古典概型概率公式求出，即可判斷A、C；利用公式求出，即可判斷B、D.
【解答過程】，則，故C正確；
，則，故A錯誤；
，則，故B錯誤；
，故D錯誤，
故選：C.
【題型6 古典概型與其他知識的綜合】
【方法點撥】
對于古典概型與其他知識的綜合問題，解題的關(guān)鍵是求出所求事件包含的樣本點的個數(shù).找出滿足條件的情
況，從而確定樣本點的個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式求解即可.
【例6】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習(xí)）今年5月底，中央開始鼓勵“地攤經(jīng)濟”，地攤在全國遍地開花．某地政府組織調(diào)研本地地攤經(jīng)濟，隨機選取100名地攤攤主了解他們每月的收入情況，并按收入（單位：千元）將攤主分成六個組，，，，，，得到下面收入頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中t的值，并估計每月每名地攤攤主收入的眾數(shù)和中位數(shù)（單位：千元）；
(2)已知從收入在的地攤攤主中用分層抽樣抽取5人，現(xiàn)從這5人中隨機抽取2人，求抽取的2人收入都來自的概率．
【解題思路】（1）由頻率分布直方圖中所有長方形的面積和為1，列方程可求出t的值，利用中位數(shù)兩邊的頻率相同可求出中位數(shù)，平均數(shù)等于各組中點值乘以對應(yīng)的頻率，再把所有的積加起來可得平均數(shù)；
（2）利用分層抽樣的比例求出和的人數(shù)，然后利用列舉法把所有情況列出來，再利用古典概型的概率公式求解即可.
【解答過程】（1）每月每名地攤攤主收入的眾數(shù)為：(千元)
由，則，
由，由，
則中位數(shù)為(千元)，
（2）由分層抽樣可知應(yīng)抽取2人記為1，2，
應(yīng)抽取3人記為a，b，c，
則從這5人中抽取2人的所有情況有：
，共10種情況，
記其中2人收入都來自為事件A，情況有3種，
則.
【變式6-1】（2022秋·上海松江·高二期末）全世界人們越來越關(guān)注環(huán)境保護問題，某監(jiān)測站點于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
空氣質(zhì)量指數(shù)
空氣質(zhì)量等級 空氣優(yōu) 空氣良 輕度污染 中度污染 重度污染
天數(shù) 20 40 m 10 5
(1)根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖；
(2)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于和監(jiān)測數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取5天，再從中任意選取2天，求事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.
【解題思路】(1)根據(jù)頻率的定義可求得，從而求得，進一步計算每組的頻率，從而完成頻率分布直方圖；
(2)根據(jù)分層抽樣的定義可以確定空氣質(zhì)量指數(shù)為和的監(jiān)測天數(shù)中分別抽取4天和1天，再根據(jù)古典概率模型計算公式即可求解.
【解答過程】（1）因為，解得，
因為，解得，
，，，．
完成頻率分布直方圖如圖：
（2）空氣質(zhì)量指數(shù)為和的監(jiān)測天數(shù)中分別抽取4天和1天，
在所抽取的5天中，將空氣質(zhì)量指數(shù)為的4天分別記為，將空氣質(zhì)量指數(shù)為的1天記為．
從中任取2天的基本事件分別為，，，，，，，，，，共10天，
其中事件“兩天空氣都為良”包含的基本事件為，，，，，，共6天，
所以事件“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率．
【變式6-2】（2023秋·遼寧鐵嶺·高一期末）公司檢測一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，共計件，將其質(zhì)量指標(biāo)值統(tǒng)計如下所示.
(1)求的值以及這批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值以及方差；(同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值表示)
(2)若按照分層抽樣的方法在質(zhì)量指標(biāo)值為的產(chǎn)品中隨機抽取件，再從這件中任取件，求至少有件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)在的概率.
【解題思路】（1）根據(jù)頻率和為1計算得到，根據(jù)公式計算平均值和方差即可.
（2）根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到各層的個數(shù)，列舉出所有情況，統(tǒng)計滿足條件的情況，得到概率.
【解答過程】（1），解得；
；
.
（2）由分層抽樣可知，質(zhì)量指標(biāo)在的產(chǎn)品中抽個，記為；
在的產(chǎn)品中抽個，記為，則任取個，
所有的情況為，共種，
其中滿足條件的為，共種，
故所求概率.
【變式6-3】（2022秋·四川成都·高二階段練習(xí)）某電視臺為宣傳本省，隨機對本省內(nèi)15~65歲的人群抽取了人，回答問題“本省內(nèi)著名旅游景點有哪些”統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示
組號 分組 回答正確的人數(shù) 回答正確的人數(shù)占本組的頻率
第1組 0.5
第2組 18
第3組 0.9
第4組 9 0.36
第5組 3
(1)分別求出、、、的值；
(2)從第2 3 4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，并從這6人中隨機抽取2人，求所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率.
(3)求出直方圖中，前三組（第1 2 3組）的平均年齡數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）？
【解題思路】（1）先算出第4組的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)頻率分布直方圖得到第4組的頻率，從而可計算總?cè)藬?shù)，最后計算出相應(yīng)組人數(shù)后利用統(tǒng)計結(jié)果表可得的值；
（2）先利用分層抽樣求得第2、3、4組抽取的人數(shù)，再利用列舉法及古典概型概率的求法即可得解；
（3）利用頻率分布直方圖平均數(shù)的求法即可求得所求.
【解答過程】（1）由頻率表中第4組數(shù)據(jù)可知，第4組總?cè)藬?shù)為，
再結(jié)合頻率分布直方圖可知，
所以，
，
，
.
（2）由（1）可知第2、3、4組回答正確的共有人，
所以利用分層抽樣在54人中抽取6人，第2組抽取（人），記為；
第3組抽取（人），記為；第4組抽取（人），記為；
所以從6人隨機抽取2人的基本事件有，共15件，
其中所抽取的人中恰好沒有第3組的人（記為事件）的基本事件有，共3件，
所以，即所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率為.
（3）根據(jù)題意，得
前三組（第1 2 3組）的頻率為，
所以前三組（第1 2 3組）的平均年齡數(shù).專題10.1 隨機事件與概率（重難點題型精講）
1．有限樣本空間
(1)隨機試驗
我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示.我們感興趣的是具
有以下特點的隨機試驗：
①試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；
②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；
③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.
(2)有限樣本空間
我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間.
一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點.如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果，，，，
則稱樣本空間={，，，}為有限樣本空間.
2．事件
(1)隨機事件
一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們
將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母A，B，C，表示.在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.
(2)必然事件
A作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件.
(3)不可能事件
空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱 為不可能事件.
3．事件的關(guān)系和運算
(1)兩個事件的關(guān)系和運算
事件的關(guān)系或運算 含義 符號表示 圖形表示
包含 A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生
并事件 （和事件） A與B至少一個發(fā)生 或
交事件 （積事件） A與B同時發(fā)生 或
互斥 （互不相容） A與B不能同時發(fā)生
互為對立 A與B有且僅有一個發(fā)生 ，
(2)多個事件的和事件、積事件
類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.對于多個事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或
A+B+C+)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，中至少一個發(fā)生，A∩B∩C∩ (或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，同時發(fā)生.
4．樣本空間中樣本點的求法
(1)列舉法
列舉法也稱枚舉法.對于一些情境比較簡單，樣本點個數(shù)不是很多的概率問題，計算時只需一一列舉，
即可得出隨機事件所包含的樣本點.注意列舉時必須按一定順序，做到不重不漏.
(2)列表法
對于樣本點個數(shù)不是太多的情況，可以采用列表法.通常把對問題的思考分析歸結(jié)為“有序?qū)崝?shù)對”，以
便更直接地得到樣本點個數(shù).列表法的優(yōu)點是準(zhǔn)確、全面、不易遺漏，其中最常用的方法是坐標(biāo)系法.
(3)樹狀圖法
樹狀圖法適用于按順序排列的較復(fù)雜問題中樣本點個數(shù)的求解，是一種常用的方法.
5．用集合觀點看事件間的關(guān)系
符號 概率角度 集合角度
必然事件 全集
不可能事件 空集
試驗的可能結(jié)果 中的元素
事件 的子集
的對立事件 的補集
事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集
事件A等于事件B 集合A等于集合B
或 事件A與事件B的并（和）事件 集合A與B的并集
或 事件A與事件B的交（積）事件 集合A與B的交集
事件A與事件B互斥 集合A與B的交集為空集
，且 事件A與事件B對立 集合A與B互為補集
6．古典概型
(1)事件的概率
對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定義
我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.
(3)古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)
一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：有限性和等可能性.并不是所
有的試驗都是古典概型.
下列三類試驗都不是古典概型：
①樣本點(基本事件)個數(shù)有限，但非等可能;
②樣本點(基本事件)個數(shù)無限，但等可能；
③樣本點(基本事件)個數(shù)無限，也不等可能.
7．古典概型的概率計算公式
一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間A包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分別表示事件A和樣本空間包含的樣本點個數(shù).
8．概率的基本性質(zhì)
性質(zhì)1 對任意的事件A，都有P（A）≥0.
性質(zhì)2 必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（）= 1，P()=0.
性質(zhì)3 如果事件A與事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推廣：如果事件A1，A2，…，Am．兩兩互斥，那么事件發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性質(zhì)4 如果事件A與事件B互為對立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B).
性質(zhì)5 如果，那么P（A）≤P（B）.
性質(zhì)6 設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P（）=P（A）＋P（B） P（）.
【題型1 事件的分類】
【方法點撥】
根據(jù)隨機事件、必然事件與不可能事件的定義，進行求解即可.
【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）以下事件是隨機事件的是（ ）
A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈
C．長和寬分別為的矩形，其面積為 D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根
【變式1-1】（2023·高一課時練習(xí)）下列四個事件：
①明天上海的天氣有時有雨；②東邊日出西邊日落；③雞蛋里挑骨頭；④守株待兔．
其中必然事件有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列事件中，是隨機事件的是（ ）
①經(jīng)過有交通信號燈的路口，剛好是紅燈；
②投擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，點數(shù)之和為14；
③拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，字朝上；
④13個人中至少有2個人的生日在同一個月.
A．①③ B．③④ C．①④ D．②③
【變式1-3】（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（ ）
A．事件“都是紅色卡片”是隨機事件
B．事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是必然事件
D．事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機事件
【題型2 事件與樣本空間】
【方法點撥】
求試驗的樣本空間主要是通過觀察、分析、模擬試驗，列舉出各個樣本點.對于樣本點個數(shù)的計算，要保證
列舉出的試驗結(jié)果不重不漏.寫樣本空間時應(yīng)注意兩大問題：一是抽取的方式是否為不放回抽取；二是試驗
結(jié)果是否與順序有關(guān).
【例2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）一個家庭有兩個小孩，則樣本空間為（ ）
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
【變式2-1】（2022秋·廣東佛山·高二階段練習(xí)）體育彩票搖獎時，將10個質(zhì)地和大小完全相同，分別標(biāo)有號碼0，1，2，…，9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬髶u出一個球．記“搖到的球的號碼小于6”為事件，則事件包含的樣本點的個數(shù)為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式2-2】（2022·高一課時練習(xí)）先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，此試驗的樣本空間為（ ）
A．正面，反面
B．｛正面，反面｝
C．｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝
D．｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝
【變式2-3】（2022·高二課時練習(xí)）在試驗：連續(xù)射擊一個目標(biāo)10次，觀察命中的次數(shù)中，事件A=“至少命中6次”，則下列說法正確的是
A．樣本空間中共有10個樣本點
B．事件A中有6個樣本點
C．樣本點6在事件A內(nèi)
D．事件A中包含樣本點11
【題型3 事件的關(guān)系及運算】
【方法點撥】
根據(jù)事件之間的關(guān)系，結(jié)合具體問題，進行轉(zhuǎn)化求解.
進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必
要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析.也可類比集合的關(guān)系和運算用Venn圖分析事件.
【例3】（2022秋·上海徐匯·高二期末）設(shè)M，N為兩個隨機事件，如果M，N為互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C．與一定為互斥事件 D．與一定不為互斥事件
【變式3-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）拋擲一枚骰子，“向上的面的點數(shù)是1或2”為事件，“向上的面的點數(shù)是2或3”為事件，則（ ）
A． B．
C．表示向上的面的點數(shù)是1或2或3 D．表示向上的面的點數(shù)是1或2或3
【變式3-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，那么互斥不對立的兩個事件是（ ）
A．恰有1名女生與恰有2名女生 B．至多有1名女生與全是男生
C．至多有1名男生與全是男生 D．至少有1名女生與至多有1名男生
【變式3-3】（2022·高一單元測試）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關(guān)系不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【題型4 古典概型的判斷及其概率的求解】
【方法點撥】
第一步，閱讀題目，判斷試驗是否是古典概型；
第二步，計算樣本空間中的樣本點個數(shù)n；
第三步，計算所求事件A包含的樣本點個數(shù)k；
第四步，計算所求事件A的概率，.
【例4】（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）為培養(yǎng)學(xué)生“愛讀書 讀好書 普讀書”的良好習(xí)慣，某校創(chuàng)建了人文社科類 文學(xué)類 自然科學(xué)類三個讀書社團．甲 乙兩位同學(xué)各自參加其中一個社團，每位同學(xué)參加各個社團的可能性相同，則這兩位同學(xué)恰好參加同一個社團的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2023·吉林通化·模擬預(yù)測）隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們“向上的點數(shù)之和不超過5”的概率記為”，“向上的點數(shù)之和為奇數(shù)”的概率記為，“向上的點數(shù)之積為偶數(shù)”的概率記為”，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）如圖，這是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.現(xiàn)用紅色和藍(lán)色給這4個三角形區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有6個大小相同 質(zhì)地均勻的小球，球上標(biāo)有數(shù)字1，3，3，4，5，6.從這6個小球中隨機取出兩個球，如果已經(jīng)知道取出的球中有數(shù)字3.則所取出的兩個小球上數(shù)字都是3的概率為（ ）
A． B． C． D．
【題型5 概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用】
【方法點撥】
根據(jù)具體問題，準(zhǔn)確表示事件，分析事件之間的關(guān)系，結(jié)合概率的基本性質(zhì)，計算概率.
【例5】（2023春·安徽·高一開學(xué)考試）若事件為兩個互斥事件，且，有以下四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（ ）
①
②
③
④
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機事件，，中，與互斥，與對立，且，，則（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【變式5-2】（2022·高一課時練習(xí)）若隨機事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）袋子中有5個質(zhì)地完全相同的球，其中2個白球，3個是紅球，從中不放回地依次隨機摸出兩個球，記第一次摸到紅球”，“第二次摸到紅球”，則以下說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 古典概型與其他知識的綜合】
【方法點撥】
對于古典概型與其他知識的綜合問題，解題的關(guān)鍵是求出所求事件包含的樣本點的個數(shù).找出滿足條件的情
況，從而確定樣本點的個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式求解即可.
【例6】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習(xí)）今年5月底，中央開始鼓勵“地攤經(jīng)濟”，地攤在全國遍地開花．某地政府組織調(diào)研本地地攤經(jīng)濟，隨機選取100名地攤攤主了解他們每月的收入情況，并按收入（單位：千元）將攤主分成六個組，，，，，，得到下面收入頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中t的值，并估計每月每名地攤攤主收入的眾數(shù)和中位數(shù)（單位：千元）；
(2)已知從收入在的地攤攤主中用分層抽樣抽取5人，現(xiàn)從這5人中隨機抽取2人，求抽取的2人收入都來自的概率．
【變式6-1】（2022秋·上海松江·高二期末）全世界人們越來越關(guān)注環(huán)境保護問題，某監(jiān)測站點于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
空氣質(zhì)量指數(shù)
空氣質(zhì)量等級 空氣優(yōu) 空氣良 輕度污染 中度污染 重度污染
天數(shù) 20 40 m 10 5
(1)根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖；
(2)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于和監(jiān)測數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取5天，再從中任意選取2天，求事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.
【變式6-2】（2023秋·遼寧鐵嶺·高一期末）公司檢測一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，共計件，將其質(zhì)量指標(biāo)值統(tǒng)計如下所示.
(1)求的值以及這批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值以及方差；(同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值表示)
(2)若按照分層抽樣的方法在質(zhì)量指標(biāo)值為的產(chǎn)品中隨機抽取件，再從這件中任取件，求至少有件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)在的概率.
【變式6-3】（2022秋·四川成都·高二階段練習(xí)）某電視臺為宣傳本省，隨機對本省內(nèi)15~65歲的人群抽取了人，回答問題“本省內(nèi)著名旅游景點有哪些”統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示
組號 分組 回答正確的人數(shù) 回答正確的人數(shù)占本組的頻率
第1組 0.5
第2組 18
第3組 0.9
第4組 9 0.36
第5組 3
(1)分別求出、、、的值；
(2)從第2 3 4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，并從這6人中隨機抽取2人，求所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率.
(3)求出直方圖中，前三組（第1 2 3組）的平均年齡數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）？

展開更多......

收起↑